La Matemática, sus orígenes y su desarrollo

L A M A T E M A T I C A

S U S O R I G E N E SY S U D E S A R R O L L O

D I R K J . S T R U I K


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LOS ORIGENES

Nuestras concepciones matemáticas se formaroncomo resultado de un prolongado proceso social eintelectual, cuyas raíces se esconden en el remotopasado. Sus orígenes pueden buscarse en el períodoneolítico, cuando los hombres, en lugar de limitarsea buscar y conservar sus alimentos, se convirtieronen productores de los mismos, sentándose los ci-mientos de la agricultura, la domesticación deganado y, eventualmente, el trabajo de los metales.Los vestigios de algunas actividades de la Edad dePiedra -productos de carpintería, tejido, cestería yalfarería- prueban que esas actividades pudieronestimular el desarrollo de concepciones geométricas.Los procedimientos primitivos de contar, reducidosprimeramente a la forma "uno, dos, muchos",condujeron gradualmente a una manera más precisade denotar los números desde uno hasta diez, y

LA MATEMIÁTICA, SUS ORÍGENES Y SU DESARROLLO

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posteriormente, hasta números más grandes.Durante la Edad de Piedra hubo un tráficoconsiderable, que estimuló también el arte de contar.El estudio de los lenguajes africanos oindoamericanos revela sistemas de numeración, aveces en escala decimal o en una escala de cinco,doce o veinte. Aquí y allá aparecen fracciones

simples.1 Esto condujo a la noción abstracta denúmero y forma. Cuando en Sumeria y Egiptoaparecen los primeros documentos escritos, revelanya algún dominio de las reglas aritméticas simples.Se advierten tales reglas cuando cuatro aparececomo dos más dos, diecinueve como veinte menosuno, veinte como dos veces diez. Los lenguajesmuestran también estas relaciones en su manera deexpresar los números cardinales. Hicieron suaparición los dibujos en vestidos, cestas y alfom-bras; se tensaron, ligaron y anudaron cuerdas, ysurgieron algunas figuras regulares como símbolosprotectores en los ritos mágicos.

Este proceso se vio acelerado en el siguienteperíodo de desarrollo cultural, el de las primitivas

1 D. E. Smith: History of Mathematics (Boston, Ginn, 1923-1925), vol. 1,págs. 6-18.


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civilizaciones de Oriente: Egipto, India, Babilonia yChina. Aquí, la matemática apareció ya como unaciencia, pero primero y ante todo como una cienciapráctica, y hasta empírica, indispensable para la agri-cultura, la medición de la tierra, la tributación, laingeniería y el arte de la guerra. La veracidad de lasproposiciones y teoremas aritméticos y geométricosera comprobada constantemente en los tratos delhombre con la naturaleza y con su propia estructurasocial.

La etapa empírico-práctica de la matemática fuecomplementada, casi desde sus comienzos, por unadefinida tendencia opuesta, una tendencia hacia laabstracción. La creación de los mismos conceptosde número y figura fue un hecho de abstracción tal,que probablemente debe asociarse con un nivelrelativamente elevado de la vida neolítica. Pero tanpronto como se crean estos conceptos, adquierenvida propia. La suma, la resta, la multiplicación,empiezan a ser entendidas como operacionesabstractas, ejecutadas primeramente con objetos,pero después también con los símbolos mismos. Sedescubrió que mediante la suma el sistema de nú-meros puede extenderse indefinidamente y esposible tener un atisbo de la impresión que esto


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debió ejercer si se advierte el interés que pusieronlos pueblos agrícolas primitivos en la manipulaciónde números muy grandes. Este hecho es importantepara comprender cómo pueden crearse lasconcepciones matemáticas generalizadas en elmismo proceso social, porque la experiencia directano conduce a una noción definida de cualesquieranúmeros, sino de los pequeños. También losconceptos de linea, plano y circulo empezaron a ad-quirir vida propia.

La primitiva historia de las matemáticas descubre,pues, lo que Stuart Mill observó hace cien años: quelas premisas originales de esta ciencia de las cualesse deducen las verdades permanentes, pese a todaslas apariencias en contrario, son un resultado de laobservación y la experiencia, y se fundan, en suma,

en la evidencia de los sentidos.2

Ahora sabemos que la concepción de Mill deestas premisas originales pecaba de exceso desimplificación, que los axiomas de la aritmética y lageometría entrañan algo más que lo que él creía.Pero es cierto que las matemáticas, como ciencia, se

2 Mill: A system of Logic (Nueva York, 1848), pág. 364.


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desarrollaron mediante la elaboración de conceptosabstractos basándose en el material empírico ydejando luego que estos conceptos vivieran su vidapropia. Lo general se desarrolló partiendo de loparticular; el método, del ejemplo. Este desarrollode una ciencia abstracta no condujo de hechos obje-tivos a hechos imaginativos, sino de la verdadempírica directa a una verdad situada en un planomás elevado de generalidad. En lugar de contarseries de pequeña extensión, tales como los dedos,pudieron enumerarse rebaños o ejércitos. La suma,la resta y los principios de la multiplicación se ex-tendieron de números pequeños a otros mayores.Con el descubrimiento de que podían escribirsetodos los números dentro de la estructura de unsistema (generalmente, el decimal), es decir, en laforma a0bn + a1bn-1 + . . . + an-1b + an (a0, . . .,anmenos que b, b generalmente = 10), se encontró yauna importante ley aritmética, aunque, por supuesto,no en esta forma explícita. En este interjuego de in-ducción y deducción las matemáticas mostraron yadesde su mismo nacimiento algunos de los aspectosde una verdadera ciencia.

E. T. Bell hace notar que los intuicionistasmodernos, que aceptan la formación de la secuencia


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inacabable de los números naturales como"intuición original", puede que cuenten con unpunto de partida inatacable para una construcciónabstracta de las matemáticas, pero su posición esclaramente anti-histórica. No cabe duda que laintuición "es punto menos que universal entre losprimitivos, que, presumiblemente, son seres hu-

manos''.3 La concepción de los números naturalesfue el resultado de un proceso de generalizaciónaplicado, en milenios de práctica humana, a losdatos empíricos, proceso sometido constantementea prueba a la luz de la nueva experiencia. Estaexperiencia se amplió con la llegada de las socie-dades orientales que practicaban la irrigación, peroel proceso de abstracción continuó también a ritmoacelerado.

Con el desarrollo de la antigua civilizaciónoriental, advino otro progreso que hizo que lasmatemáticas se divorciaran considerablemente delmundo de la experiencia directa: la enseñanza de lasmatemáticas en las escuelas de escribas, en los

3 Bell: The Development of Mathematics, Segunda edición (Nueva York,McGraw-Hill, 1945), pág. 561.


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templos y edificios administrativos de Menfis,Babilonia y otros centros orientales.

La preparación de nuevos administradorescondujo al planteamiento de problemas abstractoscon fines de enseñanza, y esto empezó a adquirir yala forma de un cultivo de las matemáticas por supropio valor. Se llegó así a una nueva maneraabstracta de abordar los problemas relativos anúmero y espacio, en la que surgieron algoritmos,teoremas y teorías. Los babilonios del segundomilenio antes de J. C. conocían las relaciones nu-méricas entre los lados de un triángulo rectángulo,conocidas ahora como el teorema de Pitágoras, y re-solvían ecuaciones cuadráticas y algunas cúbicas ybicuadráticas. Parte de estas actividades, máscomplicadas, principalmente numéricas y al-gebraicas, puede explicarse por las exigencias de laastronomía, pero existía claramente un cultivo de lasmatemáticas por sí mismas. Las relacionesmatemáticas, que se descubrieron y estudiaronindependientemente de su aplicabilidad directa,fueron el resultado de la lógica intrínseca y delpoder creador de las matemáticas mismas. La rela-ción de estas matemáticas orientales con la práctica


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siguió siendo siempre harto notoria, y la estructuralógica se desarrolló muy poco.

Sin embargo, la comprobación de la soluciónnumérica de una ecuación de grado superior no seencuentra ya en su aplicación a la tributación, a lageodesia e incluso a la astronomía, sino en laestructura matemática de la ecuación misma. Estedesarrollo, iniciado así, fructificó plenamente en lasmatemáticas griegas.

Un ejemplo instructivo de la manera en que losnuevos conceptos matemáticos surgieron de lalógica del simbolismo mismo, aunque siguieronexpresando al mismo tiempo relaciones en elmundo objetivo, se encuentra en la introducción delcero. Los babilonios usaban un sistema sexagesimalde numeración (que facilita la computación frac-cional) superpuesto a un sistema decimal (quepresenta en su base diez el vestigio constante de queel concepto de número cristalizó en la prácticacomercial de contar con los dedos). Este sistemasexagesimal se expresó en un sistema de "valor dellugar", que fue a su vez un gran descubrimiento enel formalismo matemático. El uso de un símbolosocial para el cero llegó como complementonecesario del mencionado sistema, para señalar la


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diferencia entre la notación de números tales como2 x 602 + 5 y 2 x 60 + 5. Aquí, el desarrollo delsimbolismo matemático mismo condujo, no sólo auna extensión del sistema numérico, sino también ala introducción del símbolo cero en el razonamientomatemático.

La historia de este símbolo, especialmente en lamatemática india, lo conecta con la concepción delvacío, que desempeña también un papel en la física

aristotélica.4 No sólo el ser, sino también el no ser,se convirtió en tema de la operación matemática,como preliminar de la matemática del devenir, de lamatemática del cambio. Hay que insistir en que estaintroducción del cero no significaba que lamatemática cayera en ociosas especulaciones, sinoque no hizo más que simplificar su procedimientode ocuparse de los objetos, caracterizados por losnúmeros naturales así como por las fracciones.

Con la clase de los mercaderes jónicos del sigloVI antes de J. C., dio comienzo el desarrollo de laestructura lógica de las matemáticas. Esto constituyóun aspecto del racionalismo jónico en su conjunto,

4 C. B. Boyer: "El cero: el símbolo, el concepto y el número", NationalMathematics Magazine, vol. XVll (1944), páginas 323-330.


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que se desarrolló en una atmósfera de actividadescomerciales a las que el despotismo oriental no pusodemasiados obstáculos. Sabemos muy poco acercadel desarrollo de esta nueva manera de enfocar lasmatemáticas, aunque parece bastante seguro quealgunos de sus descubrimientos -lo irracional y lasparadojas del infinito- se desarrollaron como partede las luchas ideológicas entre la aristocracia y de-mocracia en la Edad de Oro de Grecia. Se revelóclaramente la estructura nórdica de la matemática, laposibilidad de un fundamento axiomático de estaciencia. La elaboración posterior de estosfundamentos tuvo lugar, primero en la penínsulagriega en la escuela de Platón, y después por con-ducto principalmente de los sabios profesionales enla corte de los Ptolomeos en Egipto y de algunosotros monarcas helenísticos. La totalidad del perío-do creador de la matemática "griega" durósolamente unos cuantos siglos y tuvo lugar en unescenario social verdaderamente excepcional cuyoestudio requiere todavía un cuidadoso análisis. Elperíodo comenzó con la primera aparición de unademocracia en la historia -aunque una democraciacoexistente con la esclavitud- y presenció eldesarrollo de una aristocracia dueña de esclavos, de


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la que Platón era un representante, que luchaba losrestos de democracia, y llegó a su fin en losprimeros siglos del helenismo, cuando Grecia yOriente se reunieron bajo la hegemonía griega.Durante el imperio romano, cuando la esclavitudalcanzó mayor importancia y se convirtió cada vezmás en la base de la propiedad, a la vez que Grecia yel Oriente quedaban reducidos a la categoría decolonias, las clases gobernantes volvieron a caer enuna cómoda mediocridad en la que no podíasobrevivir la originalidad.

Se abandonó entonces el contacto inmediato conla práctica en la forma típica de la matemática"griega". Los hombres que crearon esta matemáticaestaban en efecto distanciados del comercio y deltrabajo manual: se les había enseñado adespreciarlos. Así pudieron consagrar todo sutiempo al esfuerzo creador de una naturalezaabstracta. En los Elementos de Euclides se situaba a lamatemática dentro de un riguroso esquema deduc-tivo. Los teoremas se derivaban de un pequeñoconjunto de axiomas. No se formulaban preguntasrespecto al origen de los axiomas ni se daban res-puestas. Aunque la elección de los axiomas y lospostulados, así como el lenguaje en el que son


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expresados, indica aún su relación con el mundoobjetivo, los teoremas son demostradosreduciéndolos a los axiomas y postulados. Se echade menos toda tentativa de probar la verdad de losteoremas con la experiencia, si bien subsiste elhecho significativo de que muchos de los teoremasde Euclides pueden probarse sobre figuras mate-riales y resultar exactos dentro de los límites. de laobservación. Sólo hay, por ejemplo, cinco poliedrosregulares diferentes, como prueban ampliamente losexperimentos con modelos de cartón o yeso y lainvestigación sobre los cristales. Sin embargo, entrelos conceptos materiales de Euclides hay algunosque ya no pueden ser sometidos a experimento, yaquí es donde resulta más evidente el progreso delrazonamiento matemático más allá de la experienciainmediata. La prueba entre la conmensurabilidad einconmensurabilidad de los segmentos linealesradica en la razón, no en el experimento, y aunquetodavía podemos demostrar con la comprobaciónefectiva que el volumen de la pirámide es el terciodel de un prisma de base y altura iguales, la pruebarequiere el método exhaustivo, es decir, la es-tructuración de la pirámide en tan gran número depequeños prismas que nos parece preferible encon-


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trar la demostración sólo por el razonamiento. Elrazonamiento mismo ha creado sus propias leyes.La prueba de la verdad en las matemáticas se haconvertido ahora en la ausencia de contradicciones.Un teorema es verdadero cuando puede reducirsegradualmente, mediante ciertas operaciones lógicasaceptadas, a una serie de axiomas, cuya verdad essimplemente postulada. La matemática moderna haaceptado sin reservas este criterio de verdad: laprueba de verdad de una teoría matemática es laausencia de contradicciones lógicas. En los tiemposmodernos, las pruebas se han trasladado de lageometría a la aritmética, de la aritmética a la lógica.Las diferentes teorías de nuestro tiempo respecto ala fundamentación de estos campos se ocupan todasde métodos destinados a probar las contradiccionesposibles de un sistema matemático, o mejor, lascontradicciones y saltos (consecuencia e integridad).Cuando prevalece tal punto de vista, la cuestión deprobar la verdad de la matemática como una imagendel mundo objetivo se convierte en algo remoto, ymuchos matemáticos "puros" ni siquiera le prestangran atención.


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LA MATEMATICA "CAPITALISTA"

La matemática moderna es el producto de laaparición del capitalismo. Las ciudades comercialesde la Alta Edad Media europea se hallaban go-bernadas por una clase de mercaderes,políticamente conscientes, clase que gradualmentese emancipó de los pequeños señores feudales yestableció su propio imperio comercial. La grandiferencia entre estos mercaderes y los jónicos dedos milenios antes, consistía en la ausencia de es-clavitud. La esclavitud, a la larga, frustra elperfeccionamiento tecnológico, y con ello, ahoga laoriginalidad científica. La clase comerciante de laAlta Edad Media no tropezó con ese impedimento.Había artesanos libres y una clase obrera libreincipiente. La posibilidad de obtener grandes bene-


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ficios en el nuevo sistema capitalista condujo a loscomerciantes, así como a algunos de los príncipes, acultivar la navegación y la astronomía. En lasciudades florecieron la aritmética, el álgebra y elnuevo arte de la teneduría de libros. La posibilidadde emplear máquinas con fines productivos esti-muló la inventiva. El uso creciente de estasmáquinas condujo al estudio de la mecánica, y ésta,a su vez, a la investigación de nuevos métodos en la

matemática. Donde la Rechenhaftigkeit5 de la primitivaburguesía promovió la aritmética y el álgebra, la in-ventiva de esta clase llevó eventualmente al cálculo.Las fuentes de la aritmética y del álgebra seencontraron en Oriente, las del cálculo, entre losgriegos, especialmente en Arquímedes. Y cuando, enel primer entusiasmo del descubrimiento, se pasó amenudo por alto la estructura lógica de la matemáti-ca, la naturaleza misma de esta ciencia exigió even-tualmente el retorno a las cuestiones fundamentales.Mientras Kepler y Stevin fueron esencialmenteexperimentadores en el campo de la matemática,algo así como si fueran una especie de físicos, los

5 Esta expresión se debe a W. Sombart (Der Bourgeois, Munich, 1920,pág. 164).


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grandes matemáticos del siglo XVII se vieron lleva-dos a desarrollar la matemática por su propio valor.Los grandes descubrimientos de este período -eltratamiento algebraico de la geometría y el cálculo-sólo fueron posibles porque los matemáticos nobuscaban aplicaciones inmediatas, sino que seguíanla lógica dialéctica de la ciencia misma. Dialéctica,porque estableció nuevas relaciones entre camposantes separados, entre el álgebra y la geometría,entre el problema de la tangente y la determinaciónde volúmenes, entre el finito y el infinito, entre lamatemática y la lógica.

El hecho de que se desarrollaran las matemáticaspor su propio valor no quiere decir que se perdierala conexión entre la teoría y la práctica. Lasmatemáticas, a los ojos de todos los grandesmatemáticos, desde Descartes hasta Leibniz,constituían la clave para la mecánica; y lamatemática, la clave para el entendimiento de la na-turaleza. La matemática no sólo llegó a ser elmodelo de toda la ciencia, sino que proporcionótambién la clave de los inventos. Característico detodo este período era la convicción, no sólo de quela matemática enseña las propiedades de la materia,sino de que la armonía de la matemática refleja en


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cierto modo la armonía del mundo. En los primerostiempos del Renacimiento, Aristóteles fue reem-plazado, en muchas escuelas, por Platón, con sucreencia pitagórica en la universalidad del número, yeste credo en los poderes de la matemática pasó aconvertirse nuevamente, en forma modificada, enuna característica típica de los grandes racionalistasdel siglo XVII.

La misma relación íntima entre la matemática"pura" y la "aplicada" prevaleció en el siglo XVII yduró hasta bien entrado el siguiente, especialmenteen Francia. Para los Bernoulli, al igual que paraEuler, Lagrange y Laplace, la matemática era antetodo un instrumento para la comprensión delcosmos. Esto se pone de manifiesto en las grandesobras de la época: las dos grandes obras mate-máticas en que culminó el siglo XVII fueron elHorologium oscillatorium de Huygens y los Principia de

Newton;6 las dos grandes obras culminantes del

6 El trabajo de B. Hessen "Raíces sociales y económicas de los Principiade Newton", leído en el Congreso Internacional de la Historia de laCiencia y la Tecnología, celebrado en Londres en 1931, trabajopublicado en Science at the Cross Roads (Londres, Kniga, 1933), págs.151-192, ha llevado a muchos hombres de ciencia a comprender elpunto de vista materialista en la historia de la ciencia. Véase también R.


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siglo siguiente fueron la Méchanique analytique deLagrange y la Mechanique celeste de Laplace. Estaidentificación virtual de la matemática y la mecánicano fue esencialmente rota por las notablesdescubrimientos de Euler y otros en la teoría de losnúmeros, ni por Lagrange en el álgebra.

Con la Revolución Francesa se abrió un nuevoperíodo en la historia de la matemática. Es notableque el nuevo ímpetu científico procediera de la grantransformación política, siendo mucho másindirecta al principio la influencia de la RevoluciónIndustrial subyacente sobre el desarrollo de lamatemática. Inglaterra, que fue el primer país afec-tado por la Revolución Industrial, dio muestras deesterilidad durante muchas décadas en el terreno dela matemática. En cambio, la revolución políticaafectó de manera mucho más directa las opiniones ylas perspectivas. Llevó a posiciones de influencia ypoder a nuevas clases interesadas en la promociónde la educación técnica, en el ensanchamiento de lasbases sociales de la ciencia y en nuevas ideas delibertad intelectual. La École Polytechnique fundadaen París en 1795 para la preparación de ingenieros K.; "La ciencia y la economía en la Inglaterra del siglo XVII", Science andSociety, vol. III (1939) pág. 3-27.


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se convirtió en el prototipo de una institución de-dicada no sólo a la enseñanza científica, sinotambién a la investigación fundamental en el terrenode la matemática y de las ciencias naturales. Losprincipios de la revolución en la ciencia y en laeducación se extendieron a otros países, incluso aaquellos en los que el feudalismo conservaba aún supoder sobre el capitalismo naciente. Después deFrancia, Alemania surgió como un gran centromatemático, siendo seguida por otros países. Lasdemandas hechas a la ciencia se multiplicaron.

En este escenario social, el progreso sólo podíarealizarse por medio de la especialización. Así, lamatemática se desarrolló en todo su esplendorcomo un campo de investigación dependiente,aunque no sólo la mecánica, sino también la nuevafísica matemática ejerció poderosa influencia. Estasdos formas de abordar la matemática, la "pura" y la"aplicada", nunca estuvieron realmente separadas,aun cuando los matemáticos mismos seespecializaron cada vez más. Eran muchos los casosen que la matemática "pura" influía sobre la rama"aplicada" y viceversa. Esto demuestra que a pesarde la incrementada abstracción, ha seguidopresentando un cuadro de relaciones en el mundo


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objetivo. Las historias de la matemática reconoceneste hecho hasta cierto punto, si bien la interacciónde la matemática, la física y la ingeniería es muchomás íntima de lo que suele admitirse. La geometríadiferencial de las curvas se desarrolló bajo la in-fluencia de las investigaciones de Barré deSaint-Venant en la elasticidad, la de las superficiescomo resultado del interés de Monge en laingeniería y del de Gauss en la geodesia. El estudioque hizo Hamilton de los rayos de la luz condujo asu teoría de las ecuaciones diferenciales parciales.Hasta la tendencia al rigor en la matemáticamoderna recibió un poderoso impulso del estudiode las series trigonométricas, introducido porFourier en la teoría del calor: la rigurosa definiciónde la integral de Riemann se derivaba en su trabajode series trigonométricas. Durante la segunda mitaddel siglo XIX, tanto Klein como Poincaré, losprincipales matemáticos de esa época, recalcaron ensu obra la íntima relación que existe entre lamatemática y sus aplicaciones, a la vez que revelaronalgunos de sus más sutiles pensamientos. Kleinsubrayó la importancia de la teoría del grupo en lacristalografía y la mecánica y, en la última parte desu vida, vio en la teoría de la relatividad otra


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aplicación de sus ideas. En cuanto a la obra dePoincaré, probablemente se comprenderá mejor sitomamos como punto de partida su obra sobre lamecánica celeste. Klein fue quien promovió lafundación del Instituto de Matemáticas Aplicadas enGotinga. Esta actitud se refleja también en lasconferencias de Klein sobre la historia de lamatemática en el siglo XIX, conferencias que enmuchos lugares ofrecen un punto de vistamaterialista. El reconocimiento de esta estrecha rela-ción entre la teoría y la práctica, entre los símbolos yel mundo que representan, se advierte también enlas tentativas de Hilbert por rescatar los resultadosde la matemática moderna de la arremetida de los

intuicionistas.7

Los matemáticos de los siglos II y XVIII abrigabanpocas dudas en cuanto a la objetividad de los

7 El trasfondo social de las investigaciones matemáticas en losdiferentes períodos de la historia es delineado con más detalles en laobra de Dirk J. Struik A Concise History of Mathematics (Nueva York, 1948,dos volúmenes). Véase también L. Hogben: Mathematics for the Million(Nueva York, 1937). Sólo podrá llegarse a una comprensión masprofunda de las fuerzas sociales que intervienen en el desarrollo de lamatemática cuando los historiadores de la materia empiecen apercatarse del vasto territorio no descubierto aún por los historiadoreseconómicos. Con ello debe combinarse el estudio de la historia de latecnología, que es un campo relativamente inexplorado todavía.


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resultados de sus especulaciones. Como no existíauna separación entre la matemática pura y laaplicada, la matemática era para ellos, por encima detodo, una manera de resolver ecuaciones, deencontrar áreas y volúmenes, de resolver problemasde mecánica e ingeniería y de descubrir las leyes deun universo mecanicista. Galileo decía que solopuede comprender la naturaleza quien ha aprendidosu lenguaje y las señales con las que nos habla: estelenguaje es la matemática y sus señales son lasfiguras matemáticas. Hasta el propio Leibniz, sindejar de creer en el carácter "innato" de las verdadesnecesarias y eternas, las entendía como "los princi-pios mismos de nuestra naturaleza al igual que deluniverso", y veía en las matemáticas una de esasverdades necesarias que servía como la exposiciónuniversal de formas posibles de conexiones en

general y de dependencia mutua.8 La teoría delnúmero, por su carácter abstracto y su evidente"utilidad" pudo ofrecer una oportunidad para la

8 Ernst Cassirer: Substance and Function (Chicago, Open Court, 1923),pág. 92. Bertrand Russell: A Critical Exposition of the Philosophy of Leibniz(Londres, Cambridge University Press, 1900), pág. 70. Gottfried W.Leibniz: The Monadology and Other Philosophical Writings, traducción deRobert Latta (Oxford, Clarendon, 1898), págs. 233-234.


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especulación idealista, pero no la encontramosclaramente en esos autores.

La reacción idealista no procedió de losmatemáticos, sino del obispo Berkeley, cuyo esse estpercipi fue un ataque directo contra las cienciasnaturales, inclusive contra el carácter objetivo de lasconcepciones matemáticas.

Berkeley se expresó con absoluta claridad:

Pero es evidente, por lo que ya hemosdemostrado, que la extensión, la figura y elmovimiento son sólo ideas que existen en elespíritu... Que el número es por completo unacriatura del espíritu, aun cuando se permita a lasotras cualidades existir sin él, será evidente paratodo el que considere que la misma cosa tieneuna denominación diferente de número cuandoel espíritu la considera con diferentes aspectos.Así, la misma extensión es uno, o tres, o treinta yseis, según que el espíritu la considere con

referencia a una yarda, un pie o una pulgada.9

9 George Berkeley: A Treatise Concerning the Principle of Human Knowledge(Dublin, 1710), incluido en las obras completas editadas por G.Sampson, vol. I, págs. 183, 184.


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La reacción de los matemáticos puede juzgarsepor Leibniz, quien desechó despectivamente lasabiduría de Berkeley:

El hombre de Irlanda que impugna la realidadde los cuerpos parece que ni da razonesadecuadas ni se explica suficientemente.Sospecho que pertenece a esa clase de hombres

que desean ser conocidos por sus paradojas.10

La crítica que Berkeley hizo de los fundamentosdel cálculo siguió siendo, sin embargo, durantemucho tiempo un reto para los matemáticos.

Durante la primera parte del siglo XIX, la actitudde la mayoría de los matemáticos no varió grancosa, aun cuando Kant les causó alguna impresiónen lo relativo a su manera de pensar. Gauss no creíaen el carácter apriorístico de nuestras nociones de lageometría proclamado por Kant. La euclidicidad delespacio era para Gauss una proposición empírica:

He llegado cada vez más a la convicción de quela necesidad de nuestra geometría no puede serdemostrada. Hasta que se haga esto, debemosequiparar a la geometría; no con la aritmética, que


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conserva su carácter puramente apriorístico, sino

más bien con la mecánica.11

Gauss tomó incluso las mediciones geodésicas deun triángulo (formado por las cumbres de lasmontañas Brocken, Hohenhagen e Inselsberg) paraaveriguar si la suma de los ángulos es de 180°, ycomprobó que, dentro de los límites de la observa-ción, esta suma es efectivamente de 180°.

Riemann, la figura central de la matemática delsiglo XIX, manifestó claramente:

¿Cuándo es verdadero nuestro entendimientodel mundo?

Cuando la interconexión (Zusammenhang) denuestras concepciones (Vorstellungen] corresponde

a las interconexiones de las cosas.12

Y Weierstrass, en su discurso inaugural de 1857,después de señalar que la matemática griega habíaestablecido las propiedades de las secciones cónicasmucho antes de que se descubriera que eran tamb-ién las órbitas de los planetas, agregó que abrigaba

10 B. Russell, op. cit., pág. 72.11 Carta de Gauss a Olibes, 1817. Gauss: Werke, vol. VIII (1900) pág.177.12 B. Riemann: Ges. Math. (1892), pág. 523. Riemann murió en 1866.


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la esperanza de que habría más funciones con pro-piedades tales como las que Jacobi atribuye con en-comio a su función tetha, la cual nos enseña encuantos cuadrados puede descomponerse todo nú-mero, cómo puede rectificarse el arco de la elipse, yla cual es capaz -siendo la única función que puedehacerlo- de representar la verdadera ley de la osci-

lación del péndulo.13

13 Karl Weierstrass: Mathematische Werke (Berlin, 1894-1927), vol. I, pág.226.


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EL ESCLARECIMIENTO DELOS FUNDAMENTOS DEL CÁLCULO

Cuando en el transcurso del siglo XIX lamatemática llegó a niveles cada vez más profundosde generalización y abstracción, y estableció unatécnica más y más complicada, empezó apresentarse a los ojos de muchas personas comouna estructura independiente, como una creaciónexclusiva de la mente humana. La ciencia solíadesarrollarse en el salón académico, separada delproceso social. Se descuidaba así su función social yla matemática participó más que las otras ciencias eneste divorcio de la vida. La creciente especializacióndel matemático individual tendió a reforzar esteaislamiento. La reconciliación del materialismo conel idealismo en Kant encontró partidarios entre los


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matemáticos, y la afirmación de Kant respecto al

carácter apriorístico de la geometría euclidiana14

fue durante muchos años un poderoso obstáculopara la aceptación de la geometría no euclidiana. Enla introducción de Hermann Grassmann a su obraAusdehnungslehre, publicada en 1844, encontramoscierto matiz kantiano en su creencia de que lamatemática es solamente una cuestión de pensa-miento:

El pensar existe solo en relación con un ser quese alza frente a él y del que es una imagen (einSein, era ihm gegenuber tritt y durch das Denken abge-bildet wird], pero este ser es para las ciencias rea-les una entidad independiente que existe por símisma fuera del pensar, aunque para las cienciasformales es planteado por el pensar mismo, quenuevamente se contrapone como un segundoacto del pensar. Puesto que la verdad en generalconsiste en la conformidad del pensar con el ser,en las ciencias formales estriba especialmente en

14 Tal era, en todo caso, la interpretación común de la doctrina deKant, interpretación basada en la "estética trascendental". Hay otrospasajes de Kant que permiten una interpretación menos apodíctica, v.g. el Schematismus des reinen Verstandesbegriffe.


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la conformidad del segundo acto del pensar conel ser planteado por el primer acto, y por ende, enla conformidad de ambos actos del pensar. Porconsiguiente, en las ciencias formales, la pruebano trasciende del pensar mismo a otra esfera,sino que radica puramente en la combinación delos diferentes actos del pensamiento. Las cienciasformales, por lo tanto, no pueden apartarse de losprincipios (Grundsätze], como las ciencias reales,sino que sus fundamentos son formados por lasdefiniciones. Las ciencias formales estudian, sealas leyes generales del pensamiento, sea la entidadespecial planteada por el pensar. Las primerascorresponden a la dialéctica (a la lógica) y la

segunda a la matemática pura.15

A este aislamiento de la matemática con respectoa la vida podemos atribuir también lo que Klein ha

llamado el "nuevo humanismo" de Jacobi,16 queveía el único fin de la ciencia en el "honor delespíritu humano", sin reclamar para ella ningunafunción social:

15 H. Grassmann: Die Ausdehnungslehre, en Werke, vol. 1, introducción.16 Naturwissenchaftlich gerichteter Neuhumanismus.


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Cierto es que Monsieur Fourier tenía la opiniónde que el principal objetivo de la matemática con-sistía en la utilidad pública y en la explicación delos fenómenos naturales, pero un filósofo comoél debería haber sabido que el único objetivo dela ciencia es el honor del espíritu humano, y que,desde este punto de vista, una cuestión relativa alos números vale tanto como una cuestión

relativa al sistema del mundo.17

En este período comenzó una nueva y minuciosacrítica de los fundamentos del cálculo. Secomprendió la vaguedad que rodeaba aconcepciones tales como límite, continuidad, con-vergencia e infinitesimal, vaguedad que no habíasido eliminada ni por la posición "mística" deNewton y Leibniz, ni por la "racional" de

D'Alembert, ni por la "algebraica" de Lagrange.18

Esto condujo realmente a teoremas falsos, los cualesa su vez, podían haber llevado a erróneasaplicaciones en la mecánica y la física. El programade esclarecimiento de los fundamentos del cálculo

17 C. J. G. Jacobi: Werke, vol. 1, pág. 454, carta del 2 de julio de 1830.


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fue llevado a cabo con éxito por Cauchy, Abel,Riemann, Weierstrass y otros muchos matemáticos,con el resultado de que a partir de entonces pudierausarse el cálculo con confianza. Fácil es ver cómolos matemáticos, profundamente consagrados a larealización de este programa de sutil razonamiento,pudieron tener la impresión de que se entregabanlibremente a un juego de la mente humana. Fácil esver también, retrospectivamente, que estaban edifi-cando el cálculo como un instrumento más perfectopara establecer relaciones objetivas, y gracias a suobra el cálculo puede aplicarse ahora con granconfianza a problemas extraordinariamente sutilesde la mecánica celeste, de la física matemática y de lateoría de probabilidades.

Esta labor sobre los fundamentos del cálculoconstituyó sólo un aspecto, aunque muy importante,de todo el replanteamiento de los principios de lamatemática que se inició en el siglo XIX y hacontinuado hasta nuestros días. Ello condujo, en lasegunda mitad del siglo XIX, a una verdadera luchaentre diferentes opiniones concernientes a la natu-raleza de la matemática. "¿Qué son los números?", 18 Los términos se deben a Karl Marx. Véase D. J. Struik: "Marx y la


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preguntaba Dedekind. "¿Qué es un límite?",preguntaba Du Bois-Reymond. "¿Cual es la relaciónde la matemática con la lógica?", preguntaba Frege.Tales preguntas atrajeron una atención renovadasobre las antiguas dificultades de Zenón y Eudoxio,así como en cuanto a las de Newton y Lagrange conrespecto a la naturaleza del cálculo. La introducciónde nuevas y sutiles concepciones matemáticas -elcorte de Dedekind, la lógica matemática, la teoría delos agregados- pareció colocar a la matemática aritmo acelerado como una ciencia de pensamientopuro, relacionada sólo incidentalmente con la na-turaleza. La matemática, para muchos de sus in-vestigadores, parecía no ser otra cosa que unesquema formal, y de aquí sólo había un paso a lacreencia de que la matemática no era nada más queun juego. Ya en 1882, Du Bois-Reymond lanzó unaadvertencia contra esta posición:

Un esqueleto de análisis puramente formalista yliteral, al que conduciría la separación del númeroy los signos analíticos de la cantidad, degradaríaesta ciencia -que, en verdad, es una ciencianatural- hasta reducirla a un simple juego de

matemática", Science and Society, 1947-48, vol. 12, págs. 181-196.


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signos, en el que podrían asignarse significadosarbitrarios a los signos escritos, como a las

figuras del ajedrez o a los naipes de la baraja.19

Hacia esta misma época, Benjamín Peirce habíadefinido la matemática como "la ciencia que extrae

conclusiones necesarias",20 recalcando el ra-zonamiento formal a expensas del contenido. Suhijo, C. S. Peirce, que fue uno de los hombres queestablecieron la lógica matemática, llegó más lejos.Para él, la matemática era "el estudio deconstrucciones ideales":

Puesto que las observaciones recaensimplemente sobre objetos de la imaginación, losdescubrimientos de la matemática son

susceptibles de alcanzar total certidumbre.21

Esto constituía el reverso directo del antiguosentimiento materialista de los grandes matemáticosde los pasados siglos, puesto que basaba la verdad

19 P. Du Bois-Reymond: Die allgemeine Funktionentheorie (Tubinga, 1882),págs. 53-54.20 B. Peirce: "Álgebra asociativa lineal". American Journal of Mathematics,vol. VI (1881), pág. 97.21 Century Dictionary, artículo "Matemáticas". Véase J. B. Shaw: Lectureson the Philosophy of Mathematics (Chicago, Open Court, 1918), pág. 59.


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de la matemática en su ausencia de correspondenciacon la realidad objetiva. Era otra versión de la inter-pretación de "juego de ajedrez" contra la cual habíaprevenido Du Bois-Reymond. Bajo tal interpreta-ción, la inmensa aplicabilidad de la matemática a lamecánica y a la física se convirtió solamente en unanotable coincidencia. Posteriormente, BertrandRussell, el jefe de la escuela logística que llevó acabo el programa de Peirce, definió la "matemáticapura" como "la clase de todas las proposiciones de

forma p implica q",22 reduciendo todas lasproposiciones de la matemática a proposiciones delógica. La escuela formalista, que se concentró en latarea de demostrar que la estructura matemáticapuede obtenerse mediante una serie de deduccioneshipotéticas tomadas de axiomas no interpretados,no vio a menudo en la matemática nada más queeso, aunque Hilbert, su fundador, vio claramente elcontenido real en la forma abstracta. Y el jefe de laescuela intuicionista, Brouwer, interpretó también lamatemática como un producto exclusivamente delcerebro:

22 B. Russell: Principles of Mathematics (Cambridge, 1903), pág. 3.


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La matemática es una creación libre, indepen-diente de la experiencia: emana de una sola intui-ción original apriorística, que puede llamarse, o

constancia en cambio, o unidad en la realidad.23

Esta "intuición original" corresponde, como labase de un método abstracto de construcciónmatemática, a una dialéctica de la realidad, y en laobra de Brouwer condujo a descubrimientosmatemáticos. Sin embargo, negó significaciónmatemática a considerables secciones de la ma-temática, y en realidad, no sólo mutiló suaplicabilidad, sino que las privó también de algunosde sus mejores resultados. Ello suscitó la ira de Hil-bert: "Nadie nos arrojará del paraíso que Cantor

creó para nosotros''.24 Hilbert fue especialmentequien, en la labor que realizó en busca de un fun-damento impecable de la totalidad de la matemática,desarrolló un aparato puramente formal de signos yreglas de operación, pero recalcó siempre la

23 L. E. J. Brouwer: Over de grondslagen der wiskunde (Amsterdam-Leipzig,1907), pág. 179.24 D. Hilbert: "Ueber das Unedliche", Jahresb. Deutsch. Mathem. Ver., vol.36 (1927), pág. 207.


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armonía entre forma y contenido, entre teoría ypráctica, entre signo humano y mundo objetivo.

La propensión de ciertos matemáticos a sacrificarel contenido a la forma o a considerar su cienciacomo separada de la naturaleza, fue -y sigue siendo-parte integrante de un movimiento académicogeneral que encuentra en las concesiones al idea-lismo, la solución, no sólo de sus inquietudescientíficas y filosóficas, sino también de algunas de

sus preocupaciones sociales.25 El hecho de que enciertos círculos de matemáticos -es decir, aquellosque se interesaban por las cuestiones defundamentación- existiera una tendencia a cultivar laforma más bien que el contenido y a reducir lasmatemáticas a un mero esqueleto de proposiciones,fue recibido como una nueva liberación. El propioRussell fundó toda una filosofía en su "atomismológico", que con toda modestia le parecía "la mismaclase de progreso que el que introdujo en la ciencia

Galileo''.26 Esta tentativa de Russell y otros por

25 Cf. E. Colman: Predment i metod sovremmenoj matematiki (Moscú, 1936,316 páginas) especialmente el capítulo X.26 B. Russell: Scientific Method in Philosophy (Londres, Oxford, 1914), pág.4.


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entender el universo partiendo de un esquema

formal de lógica27 sirvió para que, por conducto deMach y Avenarius, se recayera eventualmente en el

idealismo subjetivo de Berkeley,28 y llevó a MoritzSchlick a la convicción de que el espacio y el tiempo

son subjetivos,29 a Rudolf Carnap a la creencia deque muchas enunciaciones, tales como "el tiempo esinfinito", no son enunciaciones acerca del mundo,sino sólo acerca de la manera en que empleamos el

lenguaje,30 y finalmente a L. Wittgenstein aldescubrimiento de que la matemática sólo es una

tautología.31 Esto significa, según las palabras delprofesor Mannoury, que es muy sencillo escribir unlibro matemático perfecto, como por ejemplo:

a = a = a = a332

27 Esta superestimación del papel de la lógica formal aparece tambiénen la fundamentación "lógica" de la teoría de la probabilidad en la es-cuela de Keynes.28 M. Conrforth: Science Versus Idealism (Londres, Lawrence, 1947).29 Schlick: Allgemeine Erkenntnisslehre (Berlín, 1925), página 224.30 R. Carnap: Logical Syntax of Language (Nueva York, Harcourt, 1937).31 L. Wittgenstein: Tractatus logico-philosophicus (1922), págs. 154, 160, dela versión inglesa.32 G. Mannoury: Mathesis en mystiek (Amsterdam, 1925), pág. 32.


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Vemos todas estas concesiones al formalismo y alidealismo en el último ejemplo como el resultado dela separación de la escuela y la vida, común bajo elcapitalismo moderno. Pero tendencias similaresexisten, no sólo en el terreno filosófico, sinotambién en el histórico. La matemática es descrita amenudo como una sucesión pura de ideas ydesarrollada sin ninguna referencia al escenario so-cial en el que se manifestó. Como resultado, no sehace el menor esfuerzo por dar respuesta a algunasde las más importantes funciones. ¿Por qué se in-terrumpió el elemento creador en la matemáticagriega con el crecimiento del imperio romano? ¿Porqué se originó el cálculo en el siglo XVII en Europa,y no en Bagdad bajo los califas? Montucla, en el si-glo XVIII, intentó todavía situar la historia de lamatemática en un escenario más amplio, mostrandosu relación con la mecánica y la astronomía, perogran parte de esta actitud desapareció en el siglo

XIX, aunque dejó algunos rastros en Cantor.33 Unode los métodos de las conferencias de Klein sobre lahistoria de la matemática en el siglo xix consiste en

33 Moritz Cantor: Vorlesungen über Geschichte der Mathematik (cuatrovolúmenes, Leipzig, 1900-1908).


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que rara vez omite señalar las relaciones entre lamatemática y las ciencias aplicadas e incluso prestaatención a las tendencias filosóficas y

sociológicas.34

Frente al método idealista de abordar el estudio

de la matemática,35 la concepción materialistarecalca:

a) La influencia decisiva de los factoreseconómico-sociales en el moldeamiento del caráctergeneral de la productividad matemática (o de sufalta de productividad) en un escenario históricodado. Ya hemos esbozado cómo puede conducirseese estudio.

b) La imposibilidad de separar la forma y elcontenido, entrelazados en todos los tiempos, yaque el contenido dirige igualmente el progreso de laforma y decide su importancia y supervivencia. Estarelación de forma y contenido impregna la totalidadde la matemática.

34 F. Klein: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik in 19.Jahrhundert (Berlín, 1926-27), vol. I.35 Una crítica similar de los métodos idealistas y formalistas seencuentra en E. Colman, loc. cit., y también en E. Colman: "La crisisactual en las ciencias matemáticas", Science at the Cross Roads (Londres,1931), págs. 215-229.


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Cierto es que el matemático crea sus símbolos ylas leyes de operación a los que aquéllos estánsujetos. Parece ser un agente libre, un Dios que creasu propio mundo. Sus únicas leyes son las de laconsecuencia: su estructura debe estar libre decontradicciones internas y nunca puede conducir a l

≠ l. Muchos matemáticos, como hemos visto, sedetienen aquí y sacan la conclusión de que estándedicados a un juego de signos desprovistos desentido o incluso a un juego de ficciones (como ha

pretendido el filósofo Vaihinger).36

Otros, llevados por la necesidad inherente a laestructura, pretenden que ésta representa algunacaracterística de la mente humana o piensan queestán consagrados a una tautología. Pero la forma yel contenido son inseparables y están entrelazadosincesantemente. Hay una matemática "con sentido",que se diferencia de un juego. Es aplicable a losprocesos de la naturaleza, no de una manera, sinode muchas. Conduce de un aspecto general a otro yestablece conexiones entre diferentes actitudes o

36 El punto de vista de Vaihinger ha sido combatido por el matemáticoE. Study, en Die realistische Weltansicht und die Lechre vom Raume


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diferentes campos. Puede ocurrir que el lado formaltriunfe durante algún tiempo y entonces laconstrucción libre parece prevalecer, hasta que elcontenido se empareja con la forma y dicta a su vezla trayectoria del progreso. La historia de la ma-temática muestra cómo el contenido triunfa a lalarga. Nuestra matemática actual, con todas susabstracciones y estructuras aparentemente libres,tiene una ramificación y una interconexión internas,y una aplicabilidad a los procesos de la naturalezacomo jamás ha tenido. La busca de la consecuenciadebe reflejar las leyes del mundo externo.

El criterio final de la verdad debe ser siempre sucorrespondencia con la realidad. Una teoría es ciertacuando sus teoremas pueden describir o predeciracontecimientos del mundo real. Esto se comprendefácilmente por lo que se refiere a los comienzos dela matemática, pero ¿cuál es la situación tratándosede la matemática moderna, que acepta como criteriode la verdad la ausencia de contradicciones? ¿Existealguna relación entre el criterio objetivo (el"filosófico") de la verdad y el criterio matemático?

(Brunswick, 1923). Study hace una fogosa exposición de la tesis de queexiste un mundo exterior independiente de la conciencia.


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No es este el lugar de examinar las diferentesformulaciones que se han dado a la lógicamatemática. Sin embargo, debemos indicar que lalógica no consiste en el libre juego de símbolos, enuna serie de convenciones de creación humana, sinoque es de por sí fundamental aspecto del mundoreal tal como se refleja en la mente humana. Nosencontramos nuevamente con la cuestión de formay contenido. Tómese, por ejemplo, el concepto deidentidad, x equivale a y, con sus leyes dereflexividad x = x, de simetría (si x = y, entonces y= x), y de transitividad (x = y y y = z, luego x = z).Esto significa sobre el papel la suposición de quepodemos reconocer un signo siempre que sepresenta. Al mismo tiempo, expresa una cualidadesencial del mundo, a saber, la invariación de unobjeto. El mundo fluye eternamente, de modo quedos cosas nunca son iguales y ni siquiera una solacosa sigue siendo la misma. Con todo, es posibleseparar aspectos especiales de este mundo ytratarlos como si no cambiaran. El profesor Levy hallamado a estos aspectos "aislados" y los "'aislados"pueden permanecer invariantes y convertirse enobjeto de discurso. Una línea recta conserva suidentidad para todos nosotros y para todas las


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generaciones, lo mismo que ocurre con el número 4,la esfera, o una integral. La pelota, que me ha dadola concepción de una esfera, puede moverse,mojarse o pudrirse, pero la esfera misma es unaconcepción invariante. Las leyes de identidadexpresan el hecho de que yo puedo llegar aconclusiones exactas conservando sinmodificaciones a través del discurso el elemento"aislado". Es evidente que estas leyes de lógicaformal crean la posibilidad del entendimiento y dela actividad humanas, pero no establecen en modoalguno un divorcio entre la matemática y el mundoreal. Antes al contrario, hacen posible que la

matemática presente una imagen de la realidad.37

La lógica formal nos permite establecer relacionesentre objetos ("aislados") matemáticos y no mate-máticos; pero después de todo se trata de relacionestrilladas (lo que no quiere decir que su estudio seatrivial) y, aun cuando su uso pueda permitir

37 Compárese las "máquinas lógicas en N. Wiener, Cybernetics, or Controland Communication in the Animal and the Machine (Nueva York, 1948), págs.147-148. Este notable libro, que supera las limitaciones delmaterialismo mecánico mediante un análisis del moderno concepto demáquina, contribuye también a una comprensión materialista de lamatemática.


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establecer proposiciones cada vez más complicadas,difícilmente harán de la matemática una cienciacreadora. La antigua ciencia oriental, con su estrechaconexión entre la matemática y la realidad, era yainfinitamente más rica. ¿En qué consiste, pues, elsecreto de la matemática creadora? En otraspalabras, ¿cuál es su contenido? ¿Por qué no es lamatemática simplemente una tautología impresio-

nante como ha preguntado y negado Poincaré38 ycomo ha preguntado y confirmado Wittgenstein?

38 H. Poincaré: La Science et l'hypothèse (Paris, 1918), capítulo I.


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LA MATEMATICA,CREACION INCESANTE

La matemática, como aspecto del mundo real,participa de su dialéctica. La dialéctica implicacreación incesante. Por su misma naturaleza, lamatemática es, pues, creadora, trascendiendoconstantemente las tautologías que pueden surgir ensu estructura. Podemos expresar esto diciendo quela matemática se basa en algo más que la lógicaformal. La lógica de la matemática, y especialmentede la matemática en su desarrollo, es una lógicadialéctica. Gran parte de la labor realizada en losúltimos 30 años para la fundamentación de la mate-mática ha sido estimulada por la necesidad deexpresar en formulación exacta el significado de esteelemento creador de la matemática. Los intui-


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cionistas han recalcado el principio de la induccióncompleta; los formalistas han introducido los"axiomas trascendentales" y se han opuesto enérgi-camente a las tentativas de los logísticos por reducirla matemática a una tautología. La lógica matemáticamoderna, en comparación con la antigua lógicaaristotélica, se ha enriquecido mucho más en elproceso. Sin embargo, es dudoso que pueda encon-trarse un sistema de verdades axiomáticas quepermita explicar todos los aspectos de lamatemática: la realidad tiene más facetas que las queun Horacio axiomaticista sueña en su filosofía. Elformalismo de los axiomas se ha sublevado contralas tentativas por reducir la matemática a una tau-tología, como lo prueban las investigaciones de K.Godel y otros. Aunque todas las escuelas dematemática se han anotado resultados, aún no sehan agotado todas las posibilidades de lamatemática, la cual se ha negado hasta ahora yprobablemente se negará siempre a quedarencerrada dentro de una serie de axiomas y de reglasinterdependientes.

Engels hizo notar que los juicios de la lógicadialéctica de Hegel, a pesar de la arbitrariedad de suclasificación, expresan modos universales de obte-


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ner nueva información, apareciendo una vez más eldesarrollo del pensamiento como el desarrollo de la

obtención de información objetiva.39 Estos juiciospueden considerarse como determinaciones desingularidad, particularidad y universalidad.

Esto puede proporcionarnos, en efecto, uncuadro de la forma en que se han desarrollado lasconcepciones matemáticas. Por ejemplo, nuestramoderna noción de geometría, nacida,primeramente, de la observación de que lasrotaciones conservan las propiedades métricas deuna figura (preeuclidiana), lo cual es una deter-minación de singularidad. En segundo lugar, sedescubrió que ciertas propiedades se mantieneninvariantes bajo diferentes transformaciones, talescomo las proyectivas, afines y rotacionales(principios del siglo XIX), lo cual es unadeterminación de particularidad, y, en tercer lugar,toda geometría es la teoría de las invariantes decierto grupo (programa de Erlanger, 1872), lo cualpuede considerarse como una determinación deuniversalidad. Tales consideraciones pueden

39 F. Engels: Dialectics of Nature (Nueva York, 1940), páginas 237-240.


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captarse en lenguaje formal, como lo prueba unasecuencia como la siguiente: 1) siete es primo; 2) haymuchos primos; 3) el número de primos es infinito.

El progreso de la matemática se lleva a cabo a lolargo de muchos senderos, todos los cuales pueden

considerarse como juicios dialécticos,40 y algunosde los más fértiles pueden describirse así:

a) Pasando de lo específico a lo general v. g., de lateoría de las ecuaciones cuadradas, cúbicas, etc., a lateoría de Galois:

El mismo tema de la matemática ya no puededescribirse como si se tratara simplemente deforma y número. Estas concepciones constituyenaún el fundamento de toda la matemática, perotemas tales como la geometría proyectiva, latopología, la teoría del grupo, rebasan estaclasificación. Asimismo han desaparecido loslímites entre la matemática y la lógica.

b) Pasando de lo discontinuo a lo continuo, de lofinito a lo infinito, v. g., de sumas a integrales, de los

40 Cf. J. B. S. Haldane: The Marxist Philosophy and the Sciences (Londres,1938), cap. II, "Matemática y cosmología".


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números racionales a los reales, o al uso delprincipio de la inducción matemática:

La trascendencia de lo finito a lo infinito hasido uno de los pasos más creadores que se handado en el desarrollo, no sólo de la matemática,sino del entendimiento en general. "Lo infinitoha removido más profundamente que cualquierotra cuestión la mentalidad humana, ha operadode manera más estimulante que cualquier otraidea sobre el espíritu del hombre, y, sin embargo,necesita ser dilucidado más que cualquier otra

concepción", escribió Hilbert.41 La tentativa deHilbert por demostrar que lo infinito puede sereliminado, no sólo de la matemática -tentativahecha ya por Eudoxio- sino también de lasciencias naturales -"lo infinito no se realiza enninguna parte"- no parece convincente: lo infini-to tiene una manera propia de derribar todos loslímites establecidos por el hombre, en un períodohistórico dado, como base de su entendimiento.

c) Pasando de la cantidad a la cualidad, v. g., de lageometría métrica a la proyectiva, y, por ende, a la

41 Hilbert, op. cit., nota 23.


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topología. Al pasar de los números positivos a losnegativos, introducimos en la aritmética la nociónde dirección unidimensional, y al pasar de los núme-ros reales a los complejos, introducimos un sim-bolismo para denotar un cambio de direcciónbidimensional:

La matemática, aunque nacida del estudio delnúmero y de la forma, se ha emancipado de talmanera de sus orígenes, que pocos matemáticosse muestran ya inclinados a definir su cienciacomo la del número y la forma. La misma lógicadel quantum ha conducido a la cualidad de muchasmaneras. Leibniz fue quizás el primero que sepercató de este aspecto del desarrollo de lamatemática. "Creo que necesitamos otro análisis,propiamente geométrico o lineal, que nos expresedirectamente el sitio, como el álgebra expresa la

magnitud" (carta a Huygens, 1679).42

Sin embargo, se ha manifestado una tendenciademostrar que la matemática puede construirsesolamente sobre los números naturales, curiosa

42 Véase H. Grassmann: Werke, vol. II (1894), pág. 417. La respuestadirecta a la observación de Leibnitz ha sido el análisis vector y tensor,pero su indicación tiene un alcance mucho mayor.


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vindicación del punto de vista de Hegel de que elfin y la noción de la matemática es la cantidad,junto con una repudiación de su criterio de queen la matemática no hay desarrollo y relación de

ideas.43

d) El principio de la permanencia de las leyesformales, v. g., cuando pasamos de la aritmética alálgebra de los números reales, y luego al álgebra delos sistemas de números complejos ehipercomplejos, y del dominio "real" al "ideal".

Este principio fue formulado por Hermann

Hankel44 en estas palabras: "Cuando dos formas,expresadas en símbolos generales de la arithmeticauniversalis, son iguales entre sí, lo serán tambiéncuando los símbolos dejen de denotar cantidadessimples y, por ende, las operaciones recibantambién otro contenido."

e) El principio de la permanencia de las relacionesmatemáticas, llamado así por V. Poncelet, quien seinspiró en el descubrimiento de la geometríaproyectiva (el "principio de continuidad", por

43 Hegel: Phenomenologie des Geistes (Lasson, 1927), pág. 37.


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ejemplo, permitió a Poncelet pasar de los teoremasgeométricos conocidos a otros nuevos o relacionarentre sí los teoremas conocidos):

Una aplicación especial de este principio fue lalabor realizada en geometría con elementosimaginarios, que condujo a Cayley y Klein aldescubrimiento de que la geometría métricaforma parte de la geometría proyectiva, despuésde que Poncelet había derivado la segunda de laprimera.

También podemos situar bajo este principio laconcepción fundamental del isomorfismo, que nospermite interpretar de diferentes maneras el mismosistema de relaciones formales entre elementosabstractos. De ello se tienen ejemplos en lapolaridad de la geometría proyectiva y en la pruebaaportada por Hilbert sobre el carácter nocontradictorio de la geometría euclidiana aplicandoésta a un álgebra lineal por medio de coordenadas.Aquí, la forma de un sistema corresponde a unamultiformidad de contenidos, y sólo recibe su vidadel contenido.

44 Theorie der complexcn Zahlensysteme (1867), pág. 11.


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f) El principio de conservación del lenguajematemático, v. g., cuando pasamos de tres sistemasparamétricos aplicables al espacio a cuatro sistemasparamétricos, utilizando nuevamente términos talescomo "punto" y "linea" para un "espacio" de cuatrodimensiones.

Se ha escrito mucho acerca de la confusión queexiste en el uso del lenguaje también en lamatemática. La lógica matemática ha introducidosímbolos para eliminar palabras tales como "o", "y","todos" y "hay". Esta tendencia ha oscurecido aveces el carácter creador del uso de las palabras.Atribuyendo concepciones más amplias a palabrastales como "punto", "espacio" y "vector" se ha faci-litado considerablemente la investigación en nuevoscampos. Un buen ejemplo se encuentra también enel uso de expresiones tales como "espaciofuncional", "funciones ortogonales" y "densidad deprobabilidad".

La negativa de los griegos a extender a lo irra-cional el término "número" tuvo una influenciaperjudicial sobre el desarrollo de su matemática.Esto no debe considerarse simplemente como unaccidente desafortunado. Más bien fue el


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resultado de la importancia que los griegosconcedieron a la geometría abstracta, resultado, asu vez, de la aparente renuencia de algunos de susprominentes matemáticos a aceptar la concepciónoriental de la aritmética y del álgebra, lo cual sólopuede explicarse por la división social entre grie-gos y orientales.

Sin embargo, el hecho de que se empleensímbolos y palabras para expresar concepcionesmatemáticas no debe llevar a una asimilación comola de que "la matemática es el lenguaje del

tamaño"45 la cual sobrestima el aspecto formal dela matemática y trata como incidental su contenido,su aspecto creador como imagen del mundo real.

Podría continuarse esta enumeración de algunosde los principios creadores de la matemática y anali-zarse aquellos casos en que se superponen. Cuandoestos principios creadores se aplicaninconscientemente o semiconscientemente,

podemos hablar de intuición matemática.46 El

45 L. Hogben: Mathematics for the Million (Nueva York, Norton, 1937),pág. 68.46 "El rigor y la fecundidad son dos aspectos complementarios de lamisma realidad: cuando concentramos toda nuestra atención en uno


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sentimiento de armonía con el universo queexperimenta el matemático creador expresa laconcordancia de sus pensamientos con el mundo.Aquí, pisa un terreno común al del artista y elmístico.

Por consiguiente, el carácter deductivo con el quese presenta ante el público la matemática bienorganizada no debe impedirnos ver el carácteresencialmente inductivo en el que se han obtenidosus resultados. Esto equivale, en última instancia, aconsiderarla como un estudio de la naturaleza -auncuando sólo se trate de algunas de sus característicasmás abstractas, menos susceptibles de experimen-tación fuera de los niveles elementales y ajenas a latransformación histórica-, que proporciona larespuesta básica a la cuestión tantas veces citada dePoincaré:

La posibilidad misma de la ciencia matemáticaparece una contradicción insoluble. Si esta cienciasolo es deductiva en apariencia, ¿de dónde leviene ese rigor absoluto que a nadie se le ocurre

perdemos de vista el otro" (R. Duval y G. T. Guillbaud: Le RaisonnementMathématique, (París, 1945, pág. 147). El estudio de esta intuición e in-ventiva matemática ha sido iniciado recientemente por J. Hadamard:


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discutir? Si por el contrario todas las proposi-ciones que establece pueden obtenerse unas deotras mediante las reglas de la lógica formal, ¿porqué no se reduce la matemática a una inmensa

tautología? 47

Sólo añadiremos aquí que el "rigor absoluto" noexiste. Los criterios del rigor en la matemática sonde carácter histórico: lo que parecía riguroso aEuclides o a Gauss no nos lo parece a nosotros. Ycabe esperar -los axiomáticos modernos parecenconfirmarlo- que, aun en el caso de que la mate-mática pudiera reducirse a una tautología a los ojosde una generación, volvería a evadirse de los confi-nes de su prisión en una fecha ulterior.

An Essay on the Psycology of Invention in the Mathematical Field (Princeton,1945, 143 páginas).47 H. Poincaré, op. cit., págs. 9-10.


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LA EXPERIMENTACION DIRECTA Y LOSDESCUBRIMIENTOS MATEMÁTICOS

La prueba de la verdad en la matemática -sucarácter no contradictorio- es la prueba de suaplicabilidad al mundo real. Esta no es una afirma-ción que puede probarse como un teorema: laprueba entre idealismo y materialismo no puededecidirse sobre el papel o en teoría, sino que tieneque decidirse también en la práctica de la vida. Loshechos de que la matemática es posible, de que esaplicable a la naturaleza y de que tiene una funciónsocial están todos ellos entrelazados.

Esto no constituye un punto de vista utilitario,porque la matemática sólo puede desarrollarsecuando puede ser explorada sin perseguirconscientemente aplicaciones inmediatas, ni


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significa tampoco que la matemática sea una cienciaempírica, como pretendía Mill. En tanto que lamatemática sea empírica, no puede atribuírsele lacategoría de ciencia.

Esto no excluye el hecho de que los descu-brimientos matemáticos han sido obtenidos pormedio del experimento directo. En primer lugar,cada generación tiene que aprender por sí misma ysometiéndolos a la prueba directa de la realidad losconceptos fundamentales de la matemática. Nuestraconvicción de la validez eterna de los teoremas dePitágoras o del hecho de que 2 x 2 = 4, no se basaen alguna concepción a priori ni puede serquebrantada por cualquier matemático habilidosoque en un gran libro repleto de fórmulas saque laconclusión de que estos teoremas son simplesconvencionalismos. Nuestra convicción se basa enel hecho de que los teoremas corresponden apropiedades del mundo real ajenas a nuestra con-ciencia, las cuales pueden ser comprobadas y cuyacomprobación es accesible a todas las personasdesde su temprana juventud. La demostración delos teoremas de Pitágoras y las tentativas por probarque 2 x 2 = 4 que han existido desde los días deLeibniz sirven para conectar estas verdades con


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otras todavía más elementales y todavía más fácilesde probar. La creación de una estructura matemáticaes necesaria e indispensable para el descubrimientode otras verdades menos obvias y más difíciles deprobar.

En los tiempos modernos se han hecho re-lativamente pocos descubrimientos matemáticospor medio del experimento y esos descubrimientosse han logrado en gran parte indirectamente alintentar explicar los fenómenos de la física. Unejemplo lo constituye la superficie ondular deFresnel, descubierta al estudiar la doble refracciónen medios cristalinos. Otros resultados indirectosde la experimentación son las numerosas solucionesde las ecuaciones diferenciales obtenidas en elestudio de los problemas eléctricos o mecánicos.Ciertas propiedades de la factorización de grandesnúmeros han sido descubiertas por procedimientosmecánicos y el reciente desarrollo de las máquinascalculadoras puede conducir a más descubrimientos.Algunos teoremas geométricos han sido des-cubiertos por medio de modelos de yeso y alambre(v. g., el teorema de Henrici, de 1874, sobre lamovilidad de las líneas rectas en un hiperboloide).Tales casos, en la matemática moderna, son raros y


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hasta ahora nunca han sido de importancia fun-damental.

El hecho de que relativamente pocos des-cubrimientos matemáticos modernos son elresultado de la experimentación directa no puedeutilizarse para aducir que, cualquiera que haya sidoel origen de la matemática antigua, la moderna es entodo caso un producto puro de la mente humana.No significa que la matemática haya llegado a unaetapa en que puede desarrollarse en gran medidadentro del marco de su propia estructura sin esperarsu comprobación por medio de la experimentación.La situación puede compararse con la de la cons-trucción de nuevos instrumentos (lentes, filtros deondas, etc.), que pueden diseñarse sobre el papelcon la confianza absoluta de que ejecutarán la tareaque de ellos se espera, debido a nuestro exactoconocimiento de las leyes de la física.

Este criterio matemático específico de la verdadnos permite descubrir sobre el papel, con lápiz ypluma, y por medio del razonamiento, relacionesque son una imagen de las relaciones objetivas si elconjunto de axiomas de que partimos es esa imagen.Para el razonamiento matemático no es necesario,como ya sabemos, tomar en consideración en la


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investigación futura el significado objetivo de losaxiomas, aun cuando esto pueda ejercer influenciasobre la selección de los asuntos a investigar. Puedetomarse libremente un punto como "elemento A" yuna línea como "elemento B". La elección de losaxiomas en casi todos los tipos de matemáticasactualmente estudiados estará de acuerdo conciertas reacciones objetivas. A este respecto,estamos de acuerdo con A. Tarski, quien es, por suparte, un lógico:

Así, se oye y hasta se lee de vez en cuando queno puede atribuirse ningún contenido definido alos conceptos matemáticos, que en la matemáticano sabemos realmente acerca de qué estamoshablando y que no nos interesa si nuestras afir-maciones son o no verdaderas. Tales juiciosdeben ser vistos con desconfianza. Si en laconstrucción de una teoría nos conducimoscomo si no entendiéramos el significado de lostérminos de esta disciplina, eso no quiere decir enmodo alguno que esos términos carezcan designificación... Es de suponer que a nadie le


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interesaría un sistema formal respecto del cual no

seamos capaces de dar una sola interpretación.48

Podemos añadir que hasta la misma subsistenciade los matemáticos como grupo (no necesariamentecomo individuos) depende del hecho de que lamatemática tenga sentido. En caso contrario, en lasnóminas de las universidades y escuelas superioresdejaría de haber sitio para ellos. Puede que algunosricos estuvieran dispuestos a contratar a mate-máticos como contratan ahora jugadores de ajedrezo expertos en bridge, y tal vez otros se interesaranpor ayudar a los matemáticos como artistas. Sinembargo, sabido es que los artistas encuentranpocos protectores bajo el capitalismo, muchosmenos que los hombres de ciencia. El papel socialconstructivo que la matemática desempeñó en laedificación del capitalismo comercial e industrial fueesencialmente lo que hizo que se fomentara suestudio, aun cuando tuviera que adoptar formascada vez más abstractas para llegar a planos másprofundos de la realidad.

48 A. Tarski: Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences(Nueva York, Oxford, 1941), pág. 129.


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LA APLICABILIDAD UNIVERSAL

Muchos matemáticos del siglo XIX creían en unamatemática "pura" cultivada solamente por el"honor del espíritu humano" y en un campo"aplicado" más o menos distinto, que solíaconsiderarse como menos digno de esfuerzo. Elcuadro del Tiziano "El amor sagrado y el profano",de la galería Borghese de Roma, parecíales a algunosde ellos que representaba "la matemática pura y laaplicada". Esta distinción va perdiendo rápidamentesentido como forma fundamental de clasificación,aunque siga siendo un modo conveniente dedenotar tipos de especialización. Toda teoríamatemática "pura" ha encontrado, o puedeencontrar pronto, su campo de aplicabilidad. Elmatemático que sigue sobre el papel el


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razonamiento estrictamente teórico de su cienciapuede descubrir en cualquier momento que enrealidad ha estudiado las leyes de algún campo de lafísica, la química o la estadística. El ejemplo clásicolo constituye la teoría de las secciones cónicas,creada por los griegos probablemente con elresultado de su investigación de la trisección delángulo o la duplicación del cubo, investigación que,dos mil años después, resultó ser el estudio de lasórbitas de los planetas. Un ejemplo moderno de ín-dole similar es el cálculo tensor, descubierto comoun estudio de la invariación de las formasdiferenciales cuadráticas, que varias décadas des-pués contribuyó a proporcionar una descripción deluniverso con arreglo a la teoría de la relatividad deEinstein. Ahora sabemos también que los tensoresexpresan nociones fundamentales en la dinámica, laelasticidad y la hidrodinámica. El cálculo tensorpuede aplicarse asimismo a las máquinas eléctricasgiratorias y a la comparación de los colores, yalgunas de sus concepciones más elementales hanencontrado ya su camino en la psicología.

Tales ejemplos pueden multiplicarse centenaresde veces. Una de las concepciones más abstractas dela matemática moderna es la medida de Lebesgue,


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que a algunos matemáticos les pareció la mismaculminación de su ciencia como juego puro del

espíritu.49 Sin embargo, ahora sabemos queconstituye la clave para la comprensión de la teoríade la probabilidad y de la estadística, y esto a su vezes indispensable para la explicación de fenómenostan distintos como el movimiento browniano de laspartículas en suspensión líquida y la conducta de

largo alcance de los sistemas mecánicos.50

Jacobi observó ya cómo las funciones thetadescriben relaciones profundamente ocultas en lateoría del número con los movimientos del péndulo.Ahora, la teoría del número, uno de los campos másabstractos de la matemática, basada en la llamadafunción theta de Riemann, encuentra su camino enproblemas de ingeniería eléctrica así como en algu-nas partes de la física. El álgebra matriz propor-ciona la base de la mecánica del quantum y de laconducta de los átomos en acción. Y Hilbert ha

49 La crítica de algunas conclusiones idealistas de los matemáticosrusos con respecto a este tema y otros afines se encuentra en E.Colman: Predmet i metod sovremmenoj matematiki, pág. 290. Véase tambiénsu Kriticky vyklad symbolycke metody moderni (Praga, 1948), pág. 299.


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indicado que ciertas leyes de la genética, en el casode la pequeña mosca drosophila, obedecen a losaxiomas concernientes a la noción de "entre", asícomo a los axiomas euclidianos lineales de con-gruencia.

Por lo tanto, es posible sostener, como a veces secree (y la concepción idealista subjetiva de lamatemática debe conducir necesariamente a ello)que el amplio radio de aplicabilidad de lamatemática a la naturaleza y a la sociedad essimplemente una coincidencia. La aplicabilidad de lamatemática es demasiado general, demasiadouniversal, para tomar en serio semejante alegato.Cuando aumenta en tales proporciones el númerode esos "accidentes", "coincidencias" y "golpes desuerte" debemos buscar una explicación másracional. Todos los hombres de ciencia están consa-grados a la tarea cooperativa de descubrir elcomportamiento del mundo, y aun cuando a vecespuedan divergir considerablemente los caminos quesiguen y los resultados que obtienen, la unidadfundamental del universo hace posible la armonía

50 Véase N. Wiener: Cybernetics, etc., cap. II, que muestra la conexiónentre la obra de Gibbs sobre la mecánica estática y la de Lebesguesobre integración.


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eventual de todos los resultados. El autor estáconvencido de que todos los hombres de cienciaserios comparten la creencia en esta unidadfundamental de todas las cosas que existen y de queesa creencia les comunica su profunda convicciónen que sus investigaciones están repletas de sentido.

Tanto la práctica como la teoría han justificado asíampliamente nuestra creencia de que toda laactividad matemática es valiosa en el sentido de queproporciona una imagen de algún aspecto delmundo real. Ello parece coincidir con la opinión deLeibniz, según la expresó Schrecker:

Mientras que según los utilitarios, elconocimiento es verdadero porque es útil, seríamás adecuado, a juicio de Leibniz, decir que si elconocimiento es verdadero tiene que ser útil yque, por consiguiente, la utilidad solo es unaconfirmación, pero no un elemento constitutivode la verdad. El conocimiento verdadero, en


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efecto, representa el orden real y objetivo del

universo.51

Debido a esta íntima relación entre pensamiento ynaturaleza, entre experimento y teoría, revelada porla matemática moderna, Hilbert se mostró dispuestoa aceptar la noción de la "armonía preestablecida"formulada por Leibniz; pero en la relación entre lamatemática teórica y sus aplicaciones vio todavíaalgo más que esta "armonía preestablecida":

Sin la matemática, es imposible la astronomía yla física de nuestro tiempo: estas ciencias, en suspartes teóricas, se disuelven, por así decir, en la

matemática.52

A esta unidad del pensamiento y de la naturalezaes a lo que ha conducido el desarrollo de lamatemática moderna.

51 P. Schrecker: "Leibniz and the arts of Inventing Algorithms", Journalof the History of Ideas, vol. VIII (1947). págs. 107-116, especialmente 115-116.52 D. Hilbert: "Naturerkennen und Logik", Gecsammelte Abbandlungen(1930), págs. 378-387. A veces se afirma que, según Hilbert, lamatemática es un juego desprovisto de sentido. Este trabajo muestraque tal afirmación no expresa la cabal comprensión que Hilbert tienede la matemática.

La Matemática, sus orígenes y su desarrollo

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