La teoría cinética trata de

explicar las propiedades de los

gases, tales como la presión, la

temperatura ó el volumen,

considerando su composición

molecular y su movimiento

2

2

1

3

Definimos la velocidad cuadrática media, como:

3rms

P v

Pv v

H 1,920 m/s

N 517 m/s

O 483 m/s

Vapor de agua 645 m/s

23

2 2

m vkT

La temperatura es

directamente proporcional

a la energía cinética media

de las moléculas del gas

Es una teoría mecánica de los gases suponiéndolos formados por partículas independientes o moléculas.El gas se supone a presión baja, es un gas ideal.Las distancias entre partículas son muy grandes frente al tamaño de las mismas.Cumple el “límite termodinámico”, o sea, que siendo N y V , su densidad de partículas se mantiene finita:

finitoV

Nn

•El gas está formado por partículas iguales, esféricas, macizas y de masa m

•Las partículas no ejercen fuerzas a distancia

•Las paredes del recipiente son perfectas

•Todos los choques son perfectamente elásticos

•No soporta ningún campo de fuerzas externo

•El espacio que ocupan es uniforme e isótropo

•Su densidad es el Número de Avogadro: 6.023 ×1023 moléculas/mol

2A 1A

L

Masa de cada molécula:

Velocidad de cada molécula: , ,x y z

m

v v v v

El estado mecánico de cada partícula se define por su posición y su velocidad:

El “espacio de configuración” tiene seis dimensiones y cada punto representa el estado de una partícula.

, , y , ,r x y z v x y z

Es el número de partículas por unidad de

volumen del espacio de configuración:

, , , ,

x y zdr dxdydz dv dv dv dv

dN r v t f r v t drdv

La función de distribución es la densidad de partículas

del gas en el espacio de configuración y está sometida

a las propiedades de ese espacio.

1) El espacio es uniforme y todos los puntos son equivalen

tes:

, , ,

2) El gas está en equilibrio y sus propiedades no dependen

del tiempo:

,

3) El espacio es isótropo y todas sus direcciones equivalentes:

x y z

f r v t f v t

f v t f v

f v f v f v f v f v

El número de partículas en un volumen

es

Por lo tanto, el número de partículas por unidad

de volumen en el espacio real será

drdv

dN f v drdv

dNdn f v dv

dxdydz

2

2

Usando coordenadas esféricas en el espacio

de las velocidades, tenemos

sen

y por tanto

, , sen

dNdn f v dv

dxdydz

dv v dvd d

dn v f v dv f v v dv d d

Desde luego se tiene que

es el ángulo polar

es el ángulo azimutal

2

Son las partículas por unidad de volumen

del espacio real cuyas variables

geométricas se encuentran entre

y y y ,

y cuyo mó

, ,

dulo de la velocida

e

e

d

s

s

n

e

dn v f v dv f v v dv

d d

d d

ncuentra entre

y v v dv

2

2 2

0

2

Como todas las direcciones son equivalentes,

( no depende de y ), podemos integrar

sobre sen y ob

, ,

sen 4

t er

sen

en

v

o

f v

d d

dn dn v f v v dv d d f v v dv

dn v f v dv f v v dv d d

d

24

Es el número de partículas por unidad de

volumen del espacio real

con una magnitud de la velocidad entre

y

en cualquier dirección

vdn dn v f v v dv

v v dv

2

2

Tenemos

4

y

, , sen

Por tanto, haciendo álgebra elemental

1, , sen

4

v

v

dn dn v f v v dv

dn v f v dv f v v dv d d

dn v dn d d

Consideremos un semiespacio limitado por una superficie, y estudiemos el número de choques que realizan las moléculas de un gas por unidad de área de esa superficie.

Imaginemos un cilindro de base ,

altura

e inclinación ,

Su volumen vale:

cos

dA

vdt

dV dAvdt

Todas las partículas con parámetros , , ,

contenidas en el volumen chocarán con la

superficie en el tiempo .

Por tanto, el número choques con será

el producto del número de partículas con ,

v

dV

dA dt

dA

v

,

por unidad de volumen por el volumen del cilindro,

( , , ) sen cos4

vdnd dn v dV v d d dAdt

El cambio de cantidad de movimiento de la partícula

al chocar con el área , está dado como

( ) cos ( cos ) 2 cos

dA

mv mv mv mv

v

v

senv

senv

cosv

cosv

dA

El impulso de la fuerza que sufre la pared es igual

al cambio de su cantidad de movimiento.

Este, a su vez, será igual a la suma la cantidad de

movimiento de las partículas que chocan:

( ) ( )dFdt MV mv (2 cos )d mv d

2 2

2 2

Sustituyendo se obtiene

sen cos2

y por tanto

sen cos2

sen cos4

2 cos

v

v

v

d

md

dnd v d d dA

Fdt v dn d d dAdt

dF mP v dn d

dt

dFd d

dA

t mv

d

/ 2 22 2

0 0 0

Integrando en el semiespacio que ocupa el gas,

o sea, entre los valores 0 /2 y 0 <2 ,

sen cos2 v

dF mp v dn d d

dA

2

0

/ 22

0

2

1sen cos

3

d

d

/ 2 22 2

0 0 0

2

0

2 2

0

sen cos2

3

Definimos ahora

1

que es el valor medio del cuadrado de la

velocidad

v

v

v

dF mP v dn d d

dA

mP v dn

v v dnn

/ 2 22 2

0 0 0

2

0

2

2

sen cos2

3

3

13

v

v

dF mP v dn d d

dA

mP v dn

nmP v

P v

2 22 1

2 1

Por las hipótesis estructurales hechas, un gas ideal

sólo acumula energía cinética. La energía interna

sólo es cinética. Así que

2 2

Pero según la interpretación cinética de la

m v m vU U U N

2

2 22 1

2 1 2 1

temperatura:

3 1

2 2y tenemos

3

2 2 2

kT m v

m v m vU U U N Nk T T

Tenemos que

3

2así que

3 3

2 2VV

U Nk T

UC Nk nR

T

Toda variable mecánica que exprese la energía

en forma del cuadrado de una variable contribuye

a la energía interna con la mitad de la constante

de Boltzmann por la temperatura absoluta.

Es decir, si l 2a energía mecánica es

la energía interna vinculada con esa variable vale:

1

2x

E x

U N kT

Sea una molécula que posee variables mecánicas,

o grados de libertad, que expresan la energía en

forma de cuadrado. En ese caso:

2 2

El calor molar del gas que forma valdrá:

1V

f

f fU N k T nR T

Uc

n

2

fR

T

2 2 2

Energía cinética de traslación:

1 1 1

2 2 2x y zmv mv mv

2 2 2

Energía cinética de rotación

1 1 1

2 2 2x x y y z zI I I

2 2 2

Energía cinética de vibración

1 1 1

2 2 2x y zmv mv mv

2 2 2

Energía potencial de vibración

1 1 1

2 2 2kx ky kz

Gas monoatómico:

1 3

2

5

2

VV

p v

Uc R

n T

c c R R

Gas diatómico:

1 5

2

7

2

VV

p v

Uc R

n T

c c R R

Gas poliatómico

Grados de libertad, 6 ó más, siendo traslaciones y rotaciones:

1 63

2

3 4

VV

p v

f

Uc R R

n T

c c R R R R

Cristal formado por átomos o moléculas monoatómicas

ordenados en el espacio.

Cada partícula vibra sobre su posición de equilibrio y

tiene tres grados de libertad cinéticos y tres potenciales:

1V p

Uc c

n T

6

32V

R R