LA TRANSFORMADA RAPIDA DE FOURIER SUS USOS Y SU APLICACIÓN

Ing. Pedro Arturo Carmona Bravo.

F (u , v )=∑n=0

N−1

∑m=0

M−1

f (n ,m ) e− j2π ( unN + vm

m )

Resumen

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El presente documento comprende la investigación sobre los fundamentos matemáticos, algoritmos y aplicación práctica en el procesamiento de imágenes de la Transformada de Fourier, y la difusión a través de la elaboración de un texto orientado a los estudiantes de Informática, Sistemas o ramas afines, ya que la implementación de la Transformada Rápida de Fourier (más conocida como FFT por sus siglas en inglés).

Introducción

La Transformada de Fourier es una herramienta matemática que tiene un uso muy amplio en lo referente al tratamiento digital de señales, se encuentra implementada bajo la forma de dispositivos electrónicos de reconocimiento de voz e imagen; puede ser aplicada a varios campos como análisis espectral, ecuaciones diferenciales, resolución de problemas elásticos estacionarios y dinámicos, etc.

Este documento, enlaza los aspectos teóricos con la aplicación práctica de la Transformada de Fourier en el procesamiento digital de imágenes mediante el desarrollo de aplicaciones que implementan los algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier, los mismos que son explicados y analizados de una manera clara y didáctica.

Importancia

El desarrollo matemático de la transformada de Fourier fue explicado por Jean Baptiste Joseph Fourier, en su libro la Teoría Analítica del Calor, publicado en 1822; posteriormente, en 1965 Cooley y Tukey publicaron su artículo “Un algoritmo para calcular las Series de Fourier Complejas”, el cual es conocido como algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) y que con el desarrollo acelerado de las computadoras digitales ha permitido la aplicación de la FFT a diferentes campos.

Su aplicación al procesamiento de imágenes se encuentra documentado en los libros específicos sobre la materia a un nivel teórico, en los que no se expone directamente, la forma de implementación de los diferentes algoritmos, y en el mejor de los casos presentan una descripción narrativa del algoritmo, como ejemplo se puede revisar el libro Digital Image Processing de González y Woods. Por otra parte, los libros específicos sobre la Transformada Rápida de Fourier, se centran su aplicación mayormente a la fundamentación matemática y explicación de los algoritmos, presentando aplicaciones más orientadas al Procesamiento Digital de Señales, que corresponde al campo de la Electrónica.

Objetivo del estudio

Con las consideraciones anteriores, el presente documento, reúne en una serie de fundamentos matemática, los algoritmos de la transformada Rápida de Fourier, y la aplicación de los mismos al procesamiento de imágenes mediante el desarrollo de software que muestra como se implementan dichos algoritmos.

Diseño de Investigación

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Para el desarrollo de la investigación se aplicó el método lógico deductivo, el cual permitió desarrollar y explicar los fundamentos matemáticos de la FFT, también se utilizó el método do experimental, para comprobar los resultados arrojados por los algoritmos implementados al aplicarlos en las imágenes digitales.

Para la realización del proyecto fue necesario identificar la bibliografía especializada en dos áreas: transformada Rápida de Fourier y Procesamiento Digital de Imágenes, la misma que se anexa.

Algoritmos de la Transformada Rápida de Fourier

La transformada discreta de Fourier en una dimensión está dada por:

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X (u )=∑n=0

N−1

x (n)e− j2 πunN

Donde x(n) es el conjunto de datos original

X(u) es la transformada de x(n)

N es el número de elementos

u representa la variable en el dominio de la frecuencia

Y su extensión a dos dimensiones está definida por

F (u , v )=∑n=0

N−1

∑m=0

M−1

f (n ,m)e− j2π (unN + vm

m )

Partiendo de estas definiciones se analizaron los algoritmos en diferentes fuentes bibliográficas y se implementaron en Visual Basic.Net los siguientes:

Para una dimensión

Método directo: el cual implementa directamente la definición de la transformada discreta en una dimensión.

Método recursivo: el cual está basado en el algoritmo FFT propuesto por Cooley y Tukey.

Método iterativo, también basado en el algoritmo anterior, y que presenta una mayor complejidad, puesto que requiere de la implementación del algoritmo de reversión de bits de un arreglo.

Un prototipo de esta implementación se muestra a continuación.

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Implementación de las aplicaciones de la FFT

Usos y aplicaciones:

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Tratamiento de imagen (JPEG) y audio (MP3)

Reducción de ruido en señales, como el ruido blanco

Análisis en frecuencia de cualquier señal discreta

Análisis de materiales y estadística

Ejemplo:function []=fftej7(N,D) [ref.4]

% fftej7(N,d)% x(t)=exp(-2*t)*sin(2*pi*3*t)%

ts=D/N;d=ts/10;t=0:ts:D-d;x=exp(-2*t).*sin(2*pi*3*t);

X=fft(x);

% ReordenarM=N/2;Xaux=X;X(M+1:N)=Xaux(1:M);X(1:M)=Xaux(M+1:N);

% Separar Modulo y Fase de los coeficientes X(k)Xm=abs(X)*ts;Xf=unwrap(angle(X))*180/pi; %En grados

% Transformar Indices k en frecuenciasfaux(M+1:N)=0:M-1;faux(1:M)=-M:-1;f=faux/D;

% Reconstruir los muestreos originales a partir de los X(k)xr=zeros(1,N);for i=1:N

for k=1:Nxr(i)=xr(i)+X(k)*exp(j*2*pi*f(k)*ts*(i-1));

endendxr=xr/N;

%Plotsfigure;lines(t,x,'oc5','-c5');hold on;lines(t,xr,'xc3','-c3');zoom;title('Puntos de muestreo (o) y Reconstrucción a partir de X[k] (x)');xlabel('Tiempo (s)');ylabel('x(t)');

figure;lines(f,Xm,'oc5','-c5');zoom;title('Módulo de los coeficientes espectrales de x(t)');xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('|X[k]|'); figure;lines(f,Xf,'oc3','-c3');zoom;title('Fase de los coeficientes espectrales X[k]');xlabel('Frecuencia (Hz)');ylabel('Fase X[k]');

%Reconstruccion de la señal original a partir de los X(k)%Utilizamos un mayor número de puntos ts=ts/10ts=1/64;d=ts/2;t=0:ts:2*D-d;x=exp(-2*t).*sin(2*pi*3*t);Ns=length(x);

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xr=zeros(1,Ns);for i=1:Ns

for k=1:Nxr(i)=xr(i)+X(k)*exp(j*2*pi*f(k)*ts*(i-1))/N;

endend

%plots

figure;plot(t,x,'g-');hold on;plot(t,xr,'r--');zoom;title('Comparación entre x(t) y su reconstrucción a partir de X[k]');xlabel('Tiempo (t)');ylabel('x(t)');

FILTROS DIGITALES

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Un filtro digital es un sistema que, dependiendo de las variaciones de las señales de entrada en el tiempo y amplitud, se realiza un procesamiento matemático sobre dicha señal; generalmente mediante el uso de la Transformada rápida de Fourier; obteniéndose en la salida el resultado del procesamiento matemático o la señal de salida El filtrado digital consiste en la realización interna de un procesado de datos de entrada. El valor de la muestra de la entrada actual y algunas muestras anteriores (que previamente habían sido almacenadas) son multiplicadas por unos coeficientes definidos. También podría tomar valores de la salida en instantes pasados y multiplicarlos por otros coeficientes. Finalmente todos los resultados de todas estas multiplicaciones son sumados, dando una salida para el instante actual. Esto implica que internamente tanto la salida como la entrada del filtro serán digitales, por lo que puede ser necesaria una conversión analógico digital o digital analógico para uso de filtros ‐ ‐digitales en señales analógicas.Los objetivos comunes del proceso de filtrado son mejorar la calidad de la señal, comúnmente se usa para atenuar o amplificar algunas frecuencias, por ejemplo se puede implementar un sistema para controlar los tonos graves y agudos del audio del estéreo del auto, removiendo o atenuando el nivel de ruido, extrayendo

Información de dos o más señales previamente combinadas para hacer uso eficiente de un canal de comunicación, etc.El procesamiento interno y la entrada del filtro serán digitales, por lo que puede ser necesario una conversión analógica-digital o digital-analógica para uso de filtros digitales con señales analógicas.

Podemos darnos cuenta que la tendencia actual es la migración de la tecnología analógica a la digital, en este caso el filtrado digital ofrece varias ventajas con respecto a los filtrados analógicos:• El ancho de banda de un filtro digital esta limitado por la frecuencia de muestreo, mientras que en un filtro analógico, este parámetro depende de las características de los componentes físicos.• Se pueden implementar tanto en software como en hardware.La gran ventaja de los filtros digitales sobre los analógicos es que presentan una gran estabilidad de funcionamiento en el tiempo.

TIPOS DE FILTROSHay varios tipos de filtros así como distintas clasificaciones para estos filtros:

De acuerdo con la parte del espectro que dejan pasar y que atenúan hay:• Filtros pasa alto.• Filtros pasa bajo.• Filtros pasa banda.

De acuerdo con el tipo de respuesta ante entrada unitaria:• FIR (Finite Impulse Response)

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• IIR (Infinite Impulse Response)• TIIR (Truncated Infinite Impulse Response)

De acuerdo con la estructura con que se implementa:• Directa• Transpuesta• Cascada• Fase Lineal• Laticce

FILTROS IIR (Filtros con respuesta al Impulso de longitud infinita)

La forma de obtener en general la salida en este tipo de filtros es mediante formulas recursivas, una de las particularidades de estos filtros respecto a los tipo FIR es el hecho de que su comportamiento respecto a la fase es peor. Esta respuesta impulsiva h[n], n = 0, 1, 2, . . . caracteriza completamente el filtro, a punto tal que las señales de entrada y salida están relacionadas por la suma de convolución, que para filtros IIR toma la forma:

Al observar esta ecuación podemos evidenciar que la suma convolución no es adecuada para esta clase de filtros debido a que la respuesta impulsiva es muy larga (en teoría, infinitamente larga). Por ello, los filtros IIR se implementan con ecuaciones a diferencia que permiten calcular las muestras de salida en forma recursiva:

El número N es el orden del filtro, y fija la cantidad de modos de la respuesta impulsiva. En la ecuación podemos ver que la salida y[n] es función de los valores actuales y pasados de la entrada, y de valores pasados de la salida (de ahí el nombre recursivo), por lo tanto el filtro IIR es sistema realimentado.Aplicando la transformada Z a la respuesta impulso:

Diseño de filtros IIR Las formas habituales de diseñar este tipo de filtros son:

Indirecta (a partir de prototipos analógicos) • Impulso invariante • Aproximación de derivadas • Transformación bilineal

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Directa • Aproximación de Padé • Aproximación de mínimos cuadrados

FILTROS FIR (Filtros con respuesta al Impulso de longitud finita)Se trata de un tipo de filtros digitales en el que, como su nombre indica, si la entrada es una señal impulso la salida tendrá un número finito de términos no nulos. Su expresión en el dominio n es:

En la expresión anterior (N) es el orden del filtro, que también coincide con el número de términos no nulos y con el número de coeficientes del filtro. Los coeficientes son ( ). La señal a la salida y[n] sólo depende de los valores pasados de la entrada x(n).Aplicando la

Transformada Z a la respuesta impulso.

Diseño de filtros FIR Para resumir hay tres métodos básicos para diseñar este tipo de filtros:Método de las ventanas.

Las más habituales son: • Ventana rectangular • Ventana de Barlett • Ventana de Hanning • Ventana de Hamming • Ventana de Blackman • Ventana de Kaiser

Muestreo en frecuencia. Rizado constante (Aproximación de Chebyshev y algoritmo de intercambio de Remez).

La decisión “difícil” es optar entre FIR o IIR. En aquellos casos en que las propiedades de los FIR (respuesta de fase estrictamente lineal, estabilidad inherente) son imprescindibles, la mejor elección puede ser el diseño por métodos óptimos, o usando ventanas (generalmente la de Kaiser). Si, en cambio, son deseables las características de los IIR (menor cantidad de coeficientes para especificaciones similares) el método de la transformada bilineal es apropiado para la mayoría de los casos.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE FILTROS IIR Y FIR.• Los filtros FIR pueden tienen una respuesta lineal en fase (no se introduce distorsión por fase en la señal), los filtros IIR tienen respuesta no lineal. • Los filtros FIR que son realizados sin recursividad son siempre estables porque no tienen polos. En los IIR esto no siempre se puede garantizar. Cuando se diseñan filtros IIR con polos cerca del

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círculo unitario se debe hacer con cuidado porque no es raro que al implementar el filtro, resulte que el polo caiga fuera del círculo haciéndolo inestable. • Los efectos de la longitud de palabra finita son menos en los filtros FIR que en los filtros FIR. • Los filtros IIR requieren menos coeficientes, menos cálculos y son más eficientes, Los FIR requieren más procesamiento y memoria.

• Los filtros analógicos pueden ser transformados en su equivalente IIR, los FIR no tienen equivalente analógico.

• Los filtros FIR son más difíciles de sintetizar, en los IIR se logra más fácil la respuesta arbitraria en frecuencia. Las características principales de los filtros FIR es que no cuentan con retroalimentación, por lo cual cuenta con mayor localidades de memoria pero la salida del filtro es siempre estable, por lo general llegan hacer de fase lineal y es más fácil de implementar que in filtro IIR. Este tipo de filtros tiene especial interés en aplicaciones de audio.

El procesamiento digital de señales se ha utilizado para diversas aplicaciones, como lo son el sonido, imágenes, videos y datos, siendo el enfoque del presente documentó el procesamiento digital de un sonido. El procesamiento digital de sonidos se puede realizar por medio de un ecualizador digital, efectos de sonido, etc., a partir de esto nos enfocaremos en el ecualizador, que comprende la modificación de las frecuencias a partir de filtros digitales. Un filtro digital es un tipo de filtro que trabaja con señales discretas de entrada, este sistema depende de las variaciones en la señal en tiempo y en amplitud, realizando un proceso matemático mediante el uso generalmente de la Transformada Rápida de Fourier; y obteniendo así una señal de salida resultado del procesamiento matemático realizado por dicho sistema. En una señal de sonido al pasar por el sistema de filtros o ecualizador se modifican las frecuencias siendo este capaz de atenuar la señal o amplificarla.

Señal de Audio y sus Características. Una señal de audio es una señal analógica, conocida como un sonido audible para los seres humanos, normalmente una señal de audio tiene un rango de frecuencias entre los 20 y los 20,000 Hz aproximadamente. Para describir un sonido “musical” (de frecuencias entre 20 y 20,000 Hz, por lo cual, sólo se pueden escuchar aprox. 10 octavas, con doce notas cada una) se utilizan los términos de altura, timbre e intensidad.

Para describir la voz (de frecuencias entre 80 y 1100 Hz), se utilizan principalmente la intensidad y el timbre.

La altura está relacionada con la frecuencia de oscilación, para que un sonido tenga una altura clara o no debe haber una periodicidad en la señal. Mientras más alta sea la frecuencia de una señal, es más agudo el sonido. La intensidad depende de la diferencia de las presiones máximas y

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mínimas de la onda, se asocia al volumen del sonido, y se puede decir que mientras haya más amplitud de onda, hay mayor volumen.

El timbre ayuda a distinguir entre distintos tipos de voz, o instrumentos, ya que dos señales pueden tener la misma frecuencia (altura) pero diferente forma (timbre). Las ondas de los sonidos son complejas, ya que vibran con varias frecuencias al mismo tiempo; para esto, la frecuencia de vibración menor (la más grave) define el período y la altura, ésta es la frecuencia base y las demás son consideradas armónicas. El sonido es la vibración de un medio elástico, bien sea gaseoso, líquido o sólido. Las ondas generadas por la fuente sonora producen ciertas variaciones de presión en el medio (por ejemplo, el aire o el agua), y esto es lo que permite que sean percibidas por el ser humano (si bien no percibe cualquier variación; si es demasiado rápida o demasiado lenta no la escuchará). Es por ello que en el espacio cósmico no hay sonidos, ya que falta el medio por el que deben discurrir, en el espacio sólo hay vacío y por ello no puede haber variaciones de presión audibles.

Analógica que recibe mediante el muestreo. En el proceso contrario, al reproducir el sonido almacenado, la tarjeta lee las secuencias de ceros y unos y reproduce el sonido de cada muestra, tan rápido como cuando se tomó. Cuando digitalizamos el sonido se debe elegir el formato que se utilizará para almacenarlo en la computadora. Describiendo brevemente los formatos más utilizados tenemos: WAV: El formato estándar de Windows, éstos almacenan todos los bits obtenidos de la digitalización, ocupan mucho espacio en disco pero conservan la calidad obtenida inicialmente. MP3: Utiliza técnicas de compresión para lograr archivos varias veces más pequeños que sus correspondientes WAV, la diferencia de calidad es casi imperceptible (ambos MP3 y WAV consideran solo sonido dado por la suma de sonidos individuales). MIDI: define diversos tipos de datos como números que corresponden a notas particulares, ocupan menos espacio que los WAV,

Una de sus desventajas es que nunca logra reproducir de manera fiel la interpretación original, ya que la computadora la “interpreta” según su capacidad.

Tarjeta de Sonido. Realiza el proceso de interpretar y convertir el sonido en datos y viceversa, para esto cuenta con dos dispositivos conversores: El convertidor analógico a digital (ADC) y el convertidor digital a análogo (DAC), éstos trabajan por separado y a la vez, para que la conversión del sonido en datos sea inmediata.

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Conclusiones.

Al ecualizar y definir ciertas frecuencias que sean capaces de ser escuchadas con plenitud y claridad por el humano, se debe de tener en claro que es lo que se desea resaltar y que se desea atenuar según el espacio o medio en el que se propagaran las ondas sonoras según el alcance de las frecuencias. La ecualización es en esencia

Que el oído humano puede identificar y definir lo que mejor se pueda cada instrumento, y no simplemente basarse en tablas o normas para ecualizar. Para el género clásico la ecualización debe de ser altamente detallada y la mejor alternativa encontrada es tratar de modificar lo menos posible los anchos de banda tanto en agudos como en graves y así obtener una fidelidad y calidad de sonido mayor.

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