Laboratorio Pendulo Fisico y Teorema de Steiner 2013-1

INFORME DE LABORATORIO DE FÍSICA 2013-I

PRÓLOGO

En el mundo natural, hay varios tipos de movimiento; traslación y rotación entre los más conocidos a nivel general, pero en este

informe trataremos acerca de un tipo de movimiento muy importante, que se da en prácticamente todas las estructuras

conocidas por el hombre: el movimiento oscilatorio.

El movimiento oscilatorio, como su nombre lo dice, se trata de un objeto que se mueve entre un rango de distancia alrededor de un punto de equilibrio estable. Las aplicaciones son innumerables,

entre ellas están los péndulos, los circuitos de radio, los sistemas acústicos.

En el presente informe estudiaremos la correspondencia entre el periodo de un péndulo físico con la distancia desde el punto de apoyo hacia el centro de masa y estableceremos una relación

matemática entre las dos variables, además determinaremos el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el centro de

gravedad del objeto que conforma el péndulo, así como al masa del mismo.

Facultad de Ingeniería Mecánica Página 1


INDICE

1. PROLOGO 1

2. INDICE 2

3. OBJETIVOS 3

4. REPRESENTACION ESQUEMATICA DEL ENSAYO 3-4

5. FUNDAMENTO TEORICA 5-8

6. HOJA DE DATOS 8

7. CALCULOS Y RESULTADOS 8-14

8. OBSERVACIONES 15

9. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 16

10. BIBLIOGRAFIA 17



OBJETIVOS:

Comprobar experimentalmente las leyes del péndulo físico constituido por una barra metálica y un soporte, midiendo el periodo de oscilación de la barra, para varias posiciones desde el centro de gravedad (C.G).

Hallar la variación del periodo despecto a la longitud dentre el C.G y el eje en el que oscila.

Comparar los momentos de inercia teoricos y los momentos de inercia hallados de forma experimental.

REPRESENTACION ESQUEMATICA DEL ENSAYO:


Materiales a usar:

Una mordaza simple Un soporte de madera con

cuchilla Una barra metálica con

agujeros Un cronómetro Una regla milimetrada

Paso 1: Colocar horizontalmente la barra metálica sobre la cuchilla del soporte de madera para encontrar el centro de masa, de ahí se realizaran 10 medidas, en los 10 primeros agujeros.



Paso 2: Usar la mordaza simple para ajustar la parte central protegida de la base del soporte de madera al filo de la mesa de trabajo.

Paso 3: Colocar la cuchilla del soporte en cada uno de los 10 agujeros por encima del centro del masa de la barra metálica, usando el cronómetro se mide 3 veces el tiempo que demora la barra en dar 12,15 y 18 oscilaciones en cada agujero a estudiar.


FUNDAMENTO TEÓRICO

MOVIMIENTO OSCILATORIO:

Una partícula se considera en movimiento oscilatorio cuando se desplaza entre dos puntos, de manera periódica (cada cierto periodo de tiempo se repiten las condiciones de una fase del movimiento), por ejemplo, se le perturba a una canica de un estado de equilibrio estable, y aparecen fuerzas recuperadoras que tratan de regresarla al equilibrio.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

Es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una de función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un armónico simple.En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un movimiento armónico simple, oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO

La base de un movimiento armónico simple consiste en que la magnitud de la única fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional al desplazamiento x de ésta respecto al equilibrio. En un desplazamiento según el eje O x, esta fuerza es tal que F x=−kx, donde k es una constante positiva y x es la elongación, es decir, la posición de la partícula en cualquier instante respecto de la posición de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partícula experimenta una fuerza contraria a su posición (le "empuja" hacia la posición de equilibrio).Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial.

md2 xd t2

=−kx

- Siendo m la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo ω=√ km se

obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:

md2 xd t2

=a ( t )=−ω2 x

Una solución de la ecuación diferencial es;

x (t )=Asen(ωt+∅ )A ,ωϵ R+¿ ,∅∈⊏0,2 π>¿¿


Ι oθ. .

+mg (Lsenθ )=0


Donde:

: es la elongación, es decir, la posición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra.

: es la amplitud del movimiento (alejamiento máximo del punto de equilibrio).

ω: es la frecuencia angular

: es el tiempo que determina el movimiento.

∅ : recibe el nombre de fase inicial e indica el estado de vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.

Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como

f= ω2π

= 12π √ km

, y por lo tanto el periodo como su inversa

La velocidad y aceleración de la partícula oscilante se pueden obtener derivando respecto del tiempo la expresión de la posición.

x (t )=Asen (ωt+∅ )

PÉNDULO FÍSICO:

Es aquél cuerpo rígido que puede oscilar libremente por algún eje que no pasa por su centro de masa. Es un sistema con un sólo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo ZZ′ (Figura 1). La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación (ZZ′) y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación


Figura I.- Un péndulo físico genérico

Ecuación diferencial del movimiento del péndulo

físico.

T=2π √ Imgl

IO=IG+m l2

IG=m(a2+b2)12

I=∑mi ri2


En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones (demostradas en el apéndice):

Donde:

Ti: Periodo experimental

Ii : Momento inercia para cada # de hueco

IG: Momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)

m : Masa (constante)

i : Longitud del centro de gravedad a cada # de hueco

b : Longitud de la barra (constante)

a : Ancho de la barra (constante)

MOMENTO DE INERCIA:

Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:


T=Iα


Para un cuerpo de masa continua (Medio c o ntinuo ) lo anterior se generaliza como:

I=∫V

❑

r2dm=∫V

❑

ρ r2dV

El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.

Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.(La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación) Así, por ejemplo, la segunda ley de newton tiene como equivalente para la rotación:

CÁLCULOS Y RESULTADOS:

1) Tabla de datos :

# de

hueco

Longitud(m)

t 1(s)15

Oscilaciones

t 2(s)12

Oscilaciones

t 3(s)18

Oscilaciones

T(s)

1 0.504 25.61 20.37 30.66 1.7027

2 0.453 25.00 19.67 29.84 1.6547

3 0.403 24.55 19.38 29.38 1.6280

4 0.353 24.01 19.21 28.99 1.6040

5 0.302 23.93 18.89 28.87 1.5912

6 0.252 24.15 19.45 29.28 1.6192

7 0.201 25.25 20.27 30.38 1.6867

8 0.151 27.19 21.84 32.16 1.8065

9 0.100 30.57 24.96 37.03 2.0584

10 0.050 41.15 33.38 49.30 2.7547



2) Datos:a) Grafica L(m) vs T(s)

b) Cálculo de a partir del periodo T, cuando T es mínimo:

Partiendo del “Teorema de Steiner” y la fórmula original del periodo para un péndulo físico:

Finalmente obtenemos la siguiente relación matemática:

Aplicamos la derivación para calcular el valor de ℓ en el que la función ubica realmente su mínimo valor.


Sabemos que:

a=1 .102mb=0 .037mM=1 .855Kg ΙG=M

112

(a2+b2 )=0 .1879kg .m2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

f(x) = − 776.669 x⁵ + 1252.95 x⁴ − 785.824 x³ + 243.955 x² − 38.5108 x + 4.15618

LONGITUD (m) VS PERIODO (s)

LONGITUD"L"(m)

PERI

ODO

"T"

(s)

Longitud

(m)

T(s)

0.504 1.7027

0.453 1.6547

0.403 1.6280

0.353 1.6040

0.302 1.5912

0.252 1.6192

0.201 1.6867

0.151 1.8065

0.100 2.0584

0.050 2.7547

Τ=2π √ Ι oMgℓ

=2π √M 112

(a2+b2 )+Mℓ2

Mg ℓ

⇒Τ=2π √ 112 gℓ

(1 .1022+0 .0372 )+ ℓg

Τ=√ 0.4077ℓ+4 .0243 ℓ

dΤdℓ

=−0 .5−0 .4077

ℓ2+4 .0243

√ 0 .4077ℓ+4 .0243 ℓ

=0 ⇒ ℓ=0 .318m


Podemos asegurar ahora que en ℓ=0 .318m el periodo es el mínimo y toma el

valor de 1 .60 s .

c) Del gráfico mostrado anteriormente se observa que el hueco 4 tiene el mismo periodo de oscilación.

d) El periodo para la distancia ℓ=0 .318m es 1 .60 s

e) El hueco 4 y 5 tienen un periodo similar a 1,6 s .

3) Nuevamente utilizamos la fórmula original para el periodo de un péndulo físico, esta vez para calcular el momento de Inercia respecto al eje de

oscilación (I l) para construir una tabla con L2 vs I l

#de

hueco

L(m)

L2

(m2)

T(s)

T 2

(s2)Momentode inerciaI l(kg.m2)

1 0.504 0.2540 1.7027 2.8992 0.66600

2 0.453 0.2052 1.6547 2.7380 0.53650

3 0.403 0.1624 1.6280 2.6504 0.48100

4 0.353 0.1246 1.6040 2.5728 0.41620

5 0.302 0.0912 1.5912 2.5319 0.35150

6 0.252 0.0635 1.6192 2.6218 0.30340

7 0.201 0.0404 1.6867 2.8449 0.26288

8 0.151 0.0228 1.8065 3.2634 0.22736

9 0.100 0.0100 2.0584 4.2370 0.19591

10 0.050 0.0025 2.7547 7.5884 0.18310

4) Tabla L2 vs I l

L2

(m2)

Momento deInercia I l(kg.

m2)0.2540 0.66600

0.2052 0.53650

0.1624 0.48100

0.1246 0.41620

0.0912 0.35150

0.0635 0.30340

0.0404 0.26288

0.0228 0.22736

0.0100 0.19591

0.0025 0.18310


0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

f(x) = 1.84288943434317 x + 0.182408417842046R² = 0.995937743292057

L² vs I

L²

Mom

ento

de

iner

cia (I

)


Mediante el método de regresión lineal podemos asociar con mucha exactitud una función lineal a la gráfica:

5) Comparamos:Bueno la relación matemática encontrada en el proceso anterior con la expresión del “Teorema de Steiner” aplicada a la situación del experimento, es decir, para expresar el momento de inercia de la barra respecto al eje de oscilación.

Por simple comparación deducimos que el valor de la masa de la barra para este análisis es 1.842 Kg y el valor del momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje de oscilación que pasa por el centro de gravedad de la barra es 0.182 Kg.m2

6) Obtención del error experimental para IG

Aplicando la fórmula para una barra homogénea:

ΙG=m (a2+b2)12

Donde:

a: ancho de la barrab: largo de la barram: masa

Reemplazando los datos tenemos IG = 0.1879 Kg.m2

El error experimental es: % error=0 .1879−0 .182

0 .1879×100

% error=3 .14%


Ι o=1.842 L2+0 .182

Ι o=ML2+ ΙGΙ o=1.842 L2+0 .182


7) CÁLCULOS DEL PÉNDULO SIMPLE EQUIVALENTE AL PÉNDULO DEL EXPERIMENTO:

1. Se utilizó la relación (I) para calcular el periodo del péndulo físico conformado por la barra cuando oscila alrededor de un eje que pasa por el orificio Nro. 9 de la misma.

2. Mediante la fórmula del periodo para un péndulo simple se calcula la longitud que debería tener este para ser equivalente al péndulo físico conformado por la barra metálica


Τ=√ 0.4077ℓ+4 .0243 ℓ ⇒ Τ 5=√ 0 .40770 .302

+4 .0243(0 .302 )

⇒Τ 5=2 .565 s

Τ=2π √ ℓg=2.565 s ⇒ ℓ=2 .5652×g

4 π2

⇒ ℓ=1.6349m


8) DEMOSTRACIONES:

a) DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DEL PERIODO PARA UN PÉNDULO FÍSICO:

Usamos la 2da ley de Newton para cuerpos rígidos:

Usando técnicas de solución de ecuaciones diferenciales se llega al siguiente resultado:


Ecuación diferencial del movimiento del péndulo físico

−mg (Lsenθ )=Ι oθ. .

O L

paraθ<15osenθ≈θ

−mg (Lsenθ )=Ι oθ. .

L

θ

mg

C .G

C .GLsenθ

Ι oθ. .

+mg (Lsenθ )=0

θ=θmax sen ( pt+φ ) donde p=√mgLΙ oademás : p=2 π

Τ∴Τ=2 π √ Ι o

mgL


b) DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE STEINER

Sea el vector unitario α perteneciente a la recta :

Usando la definición de momento de Inercia obtenemos:

Si definimos a en el sistema cartesiano tendremos: Ahora si hacemos coincidir la recta aleatoria con un eje conocido, por ejemplo el eje X, tendríamos que:

α=i ⇒ s .α=X Ι x=∫(Y 2+Z2 )dm

A continuación, hacemos coincidir el origen de un nuevo eje de coordenadas con el centro de gravedad del cuerpo, de manera que el eje sea paralelo al eje .

La definición de la posición del CG nos dice lo siguiente:


L

( s .α )αs

r

dm

ΙL=∫ [s2−(s .α )2 ]dmmg

L

s=X i+Y j+Z ksL

x

Y ´Z´

YZ

C .G

C .Gy ´

yz ´

z

x ´x

x ´

ΙG=∫ [Y ´2+Z ´2 ]dmℓ

ΙG=∫ (Y 2+Z2 )dm+∫ [ (Y−Y ´ )2+ (Z−Z´ )2]dm−2 (Y−Y ´ )∫Ydm−2 (Z−Z´ )∫Zdm

yG=1m∑i=1

n

mi y i=1m∫ yi dm y i=Y ; yG=Y−Y ´ ⇒∫Ydm=(Y−Y ´ )m

∴ Ι x=ΙG+mℓ2⇒ [ (Y 2−Y ´ 2)+(Z2−Z ´2 ) ]=ℓ2

ΙG=Ι x+ [ (Y 2−Y ´2)+ (Z2−Z´2 ) ]m−2 [ (Y 2−Y ´2 )+ (Z2−Z´ 2) ]m


OBSERVACIONES:

La condición para que exista oscilaciones en el péndulo físico es que el eje de oscilación no pase por el centro de masa.

El soporte con cuchilla deberá ser enganchado en el borde lateral de la mesa de trabajo para evitar el deterioro de la misma.

En los cálculos del experimento se considero a la barra maciza, es decir, se desprecio el efecto de los agujeros.

Ya que este es un informe de laboratorio de Física, es mejor usar para cualquier parámetro las unidades del S.I, por ello desde el comienzo expresamos a la longitud “L” en metros.

En la segunda sección de Cálculos: Cálculos del péndulo simple equivalente al péndulo del experimento, se utilizaron las medidas respecto al agujero Nro. 5 de la barra, su uso nos fue indicado por el profesor de práctica.

Para representar las graficas se utilizo el programa Microsoft Excel.

La condición para que exista oscilaciones en el péndulo físico es que el eje de oscilación no pase por el centro de masa(C.M.).

El soporte con cuchilla deberá ser enganchado en el borde lateral de la mesa de trabajo para evitar el deterioro de la misma.

Para hallar experimentalmente el centro de masa de la barra metálica debemos encontrar el punto sobre el cual, si lo apoyamos utilizando la cuchilla, se mantenga en una posición horizontal paralela al suelo.



CONCLUSIONES:

A medida que la distancia entre el eje y el centro de masa se va haciendo más pequeña el periodo disminuye hasta llegar al punto en donde el periodo es mínimo, a partir de dicho punto el periodo se eleva hasta tomar valores cercanos al infinito.

Al momento de reemplazar el péndulo físico por un péndulo simple del mismo periodo, es irrelevante definirle a este ultimo una masa igual a de la barra, ya que el periodo de un péndulo simple es independiente de la

masa que lleve en su extremo recordar T=2π √ lg

.

El periodo del péndulo simple que sustituirá a la barra metálica depende indirectamente de la masa de ésta, de su momento de inercia y de la longitud entre el punto de apoyo de la barra y su centro de masa.

Como la barra es dividida simétricamente por el eje que traspasa su centro de masa, entonces los agujeros en los dos lados darán los mismos resultados.

El péndulo simple equivalente obtenido no debe tener necesariamente la misma masa que la barra homogénea, ya que sólo depende de la longitud de la cuerda.

El ángulo máximo en el que debe oscilar la barra metálica no debe exceder los 15 grados sexagesimales, de lo contrario, el error circular, que es el error obtenido por aproximar el seno del ángulo de oscilación con la medida del ángulo en radianes, aumentará de manera considerable.

RECOMENDACIONES:

Se recomienda limpiar la barra de las manchas hechas por el uso de otros experimentos.

Para tener una mejor precisión a la hora de medir el tiempo de oscilación con el cronometro, es necesario tomar una referencia fija de llegada de la barra luego de cumplir sus oscilaciones.



BIBLIOGRAFÍA:

Física I para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería, (2008; 142, 189:193), 1era Edición, José Martín Casado Márquez, Editado por Editorial Universitaria de la Universidad Nacional de Ingeniería, Impreso en Imprenta UNI, Lima-Perú.

FISICA Volumen I: Mecánica, versión en español, (1986; 364:371), Marcelo Alonso; Edward J. Finn, Editado por Sistemas Técnicos de Edición, S.A de C.V, Impreso en México.

Mecánica Vectorial para Ingenieros Dinámica, R.C.Hibbeler; Pearson Prentice Hall, décima edición; Pág. 605 – 609 618 – 619.

Manual de laboratorio de física general, 1999, José Pachas.


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