La forma plasmada sobre una superficie para representar un objeto o comunicar una idea surgió mucho antes que la escritura, por lo que la representación gráfica constituye un medio de comunicación universal.

La forma es el elemento básico en la elaboración de cualquier imagen, puesto que cuando nuestra mente la perciba, lo primero que detectará es el volumen y el contorno exterior, y más tarde añadirá los detalles que le caracterizan.

Ramificación:Ramificación: división de una forma inicial

Traslación:Traslación: repetición periódica de un módulo

Expansión:Expansión: agregación a partir de un núcleo

Las formas pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios; así describiremos formas naturales, artificiales, simples, complejas,

simétricas…

Naturales

ArtificialesComplejas: difíciles de delimitar

Simples: formas básicas

Simetría radial

Asimétricas

Simetría axial

Autor:  Eduardo Chillida (1924). Técnica: Escultura abstracta en acero. Estilo: Informalismo.

Autor: Xavier Grau (2008).Técnica: pintura abstracta.Estilo: Expresionismo abstracto.

Formas abstractas

Autor: V. Vasarely (1969).Técnica: Pintura.Estilo: Op Art, abreviatura de

"Optical-Art“. Es una evolución matemática del arte abstracto y se usa la repetición de las formas simples.

 

Autor: M.C.Escher (1953)Técnica: pintura.Estilo: Refleja gráficamente el pensamiento matemático moderno. 

Formas geométricas

AXIOMAS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES Y BASES DE LA GEOMETRÍA

Fueron los griegos, y entre ellos Euclides, quienes fundaron esta ciencia. La construyeron observando directamente los cuerpos de la naturaleza. De ellos extrajeron los conceptos de punto, recta y plano, que forman la base de esta ciencia. Cualquier figura geométrica es un conjunto de puntos, rectas y planos.

Estos tres conceptos sobre los cuales construimos la geometría, como todo concepto primario, no admiten una definición; por lo tanto, tenemos que recurrir a la intuición.

Estos conceptos intuitivos e indefinibles reciben el nombre de primeros principios, axiomas o postulados.

Además necesitamos de ciertos postulados que no necesitan demostración por resultar evidentes, llamados axiomas, que son proposiciones evidentes por sí mismas y no necesitan demostración.Los axiomas y los conceptos primitivos son la base fundamental de la geometría.

Axiomas básicos:

- El espacio tiene infinitos puntos, rectas y planos.- El plano tiene infinitos puntos y rectas.- La recta tiene infinitos puntos.

Los otros postulados que vayamos construyendo necesitarán demostración, es decir que, utilizaremos la lógica junto con los conceptos primitivos y los axiomas para validarlos. Estos nuevos postulados recibirán el nombre de teoremas, y entonces ellos pueden usarse para las demostraciones de los siguientes postulados o propiedades.

Por una recta pasan infinitos planos.

Por dos puntos pasa una única recta.

Por un punto pasan infinitas rectas.

 Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que pasa por esos dos puntos también se encuentra en el mismo plano.

Por tres puntos no alineados pasa un único plano.En este caso debemos aclarar que significa alineados. Tres puntos están alineados si pertenecen a una misma recta.

GEOMETRÍA PLANA

Polígonos generales

-Los polígonos regulares son porciones de espacio limitadas por líneas rectas, es decir, se trata de figuras planas que, por el hecho de ser regulares, están formados por lados que miden lo mismo.

-Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia, llamada circunferencia circunscrita. También pueden construirse conociendo la medida del lado.

-Propiedades de los polígonos regulares:

Suma de los ángulos interiores 180 (n-2). (n, número de lados del polígono).

Suma de los ángulos exteriores 360 . Suma de los ángulos centrales 360 . Diagonales n ( n -3)/2. Un polígono se puede descomponer en triángulos n-2. Área de un polígono regular convexo p. a / 2. (Semiperímetro

por apotema). Las bisectrices de los ángulos interiores y las mediatrices de los

lados coinciden en el centro.

CLASIFICACIONES DE LOS POLÍGONOS

-EQUILÁTERO: lados iguales.-EQUIÁNGULO: ángulos iguales.

1. Según la disposición de lados o ángulos.-CONVEXO: Polígono que queda completo respecto de una recta coincidente con

cualquiera de sus lados.-CÓNCAVO: Polígono que queda dividido respecto de una línea coincidente con alguno

de sus lados.-CRUZADO: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso CRUZADO: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso

más interesante.más interesante.

2. Según la disposición de lados o ángulos.-INSCRIPTIBLE: Polígono con sus vértices en la circunferencia.-CIRCUNSCRIPTIBLE: Polígono con sus lados tangentes a la circunferencia.

3. Según los segmentos que lo limitan.-RECTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos.-MIXTILÍNEO: Polígono de segmentos rectos y curvos.-CURVILÍNEO: Polígono de segmentos curvos.

4. Según la igualdad de lados y de ángulos.-REGULAR: Polígono de lados y ángulos iguales. (Equilátero y equiángulo).-IRREGULAR: Polígono con algún lado o ángulo desigual.-SEMIRREGULAR: Polígono de lados iguales y ángulos alternativamente iguales, o

polígono de ángulos iguales y lados alternativamente iguales.-ESTRELLADO: Polígono de ángulos salientes y entrantes de forma alternativa, y cuyos lados constituyen una línea quebrada continua y cerrada.

5. Según el número de lados.-TRIÁNGULO - CUADRILÁTERO - PENTÁGONO - HEXÁGONO - HEPTÁGONO - -

OCTÓGONO - ENEÁGONO - DECÁGONO - UNDECÁGONO - DODECÁGONO - -13 LADOS - /.../ - CIRCUNFERENCIA.

CruzadoCruzado

ConvexoConvexo

CóncavoCóncavo

IrregularIrregular

RegularRegular

EstrelladoEstrellado

La suma de los ángulos La suma de los ángulos interiores de un polígono de n interiores de un polígono de n lados es 180(n-2).lados es 180(n-2).

En un polígono convexo la En un polígono convexo la suma de los ángulos suma de los ángulos exteriores es 360.exteriores es 360.

Número de diagonales Número de diagonales (segmentos que unen vértices no (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es consecutivos) de un polígono es DDnn = n (n-3)/2 = n (n-3)/2

SemirregularSemirregular

Ángulo interiorÁngulo interiorÁngulo exteriorÁngulo exterior

Elementos, puntos y líneas en los polígonos regulares

-LADO: Cada uno de los segmentos de la línea poligonal que forma el polígono, l.

-VÉRTICE: Punto común de dos lados, v.

-PERÍMETRO: Suma de las magnitudes de los lados.

-CENTRO: Punto interior a igual distancia de los vértices, O.

-APOTEMA: Segmento perpendicular a cada lado desde el centro, a. En la circunferencia equivale al radio, r.

-RADIO: Segmento trazado del centro al vértice del polígono, r.

-DIAGONAL: Segmento que une dos vértices no consecutivos, d.

-ALTURA: Recta perpendicular desde el vértice al lado opuesto.

-ÁNGULO CENTRAL: Formado por dos radios consecutivos. Es igual al formado por dos apotemas consecutivas.

-ÁNGULO INTERIOR: Formado por dos lados consecutivos, suplementario del formado por dos apotemas consecutivas.

-ÁNGULO EXTERIOR: Formado por un lado y la prolongación del consecutivo, suplementario del interior.

-CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA: Circunferencia que contiene todos los vértices y tiene por radio el del polígono.

-CIRCUNFERENCIA INSCRITA: Circunferencia tangente a todos los lados y tiene por radio la apotema del polígono.

CONSTRUCCIÓN DEL PENTÁGONO REGULAR DADO EL LADO.

1. Se traza la mediatriz del lado AB para determinar su punto medio M.

2. A partir del extremo B se traza una perpendicular con la medida del lado AB.

3. Con centro en M y radio MN, se traza un arco.

4. Con radio MO se trazan arcos desde A y B. Se obtiene D.

5. Desde D, se traza un arco de radio AB. Se obtiene E y C.

6. Se unen los puntos A, B, C, D y E. Se obtiene el pentágono.

N

CONSTRUCCIÓN DE UN HEXÁGONO REGULAR CONOCIENDO EL LADO

Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de radio igual al lado.

1. Desde un punto cualquiera de una recta r, se traza una circunferencia de radio AB.

2. Desde los puntos A y D se trazan arcos con el radio AB.

3. Se unen los puntos A, B, C, D, E y F obteniendo el hexágono regular.

CONSTRUCCIÓN DE UN HEPTÁGONO CONOCIDO EL LADO

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca la base AB.

2. Con el radio AB se traza un arco desde A y otro desde B.

3. Por 1 y por B se trazan dos perpendiculares a r.

4. Se traza la bisectriz del ángulo 1AB. Corta a la perpendicular en 2.

5. Con el radio A2 se traza un arco hasta cortar a la perpendicular s.

6. Desde O, con un radio AO, se traza una circunferencia. A partir de B se lleva 7 veces el lado AB.

7. Se unen todos los puntos y se obtiene el heptágono.                       

CONSTRUCCIÓN DE UN OCTÓGONO CONOCIDO EL LADO

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB y se traza su mediatriz.

2. En el punto B, se traza una perpendicular y se coloca el lado AB.

3. Se une el punto A con 1. Corta a la mediatriz en 2.

4. Haciendo centro en 2 y con radio 2-1, se traza un arco. Se obtiene O.

5. Haciendo centro en O, y radio OA, se traza la circunferencia. Sobre esta, se lleva el lado 8 veces.

6. Se unen todos los puntos y se obtiene el octógono.

CONSTRUIR UN ENEÁGONO CONOCIDO EL LADO

1. Sobre una recta r cualquiera se coloca el lado AB y se traza su mediatriz utilizando el lado.

2. Se traza la bisectriz del ángulo A. Corta a la mediatriz en el punto 2.

3. Se trazan dos rectas que salen de A y B, y pasan por el punto 1.

4. Con centro en 1 y radio 1-2, se traza un arco. Se obtiene 3 y 4.

5. Se unen 3 y 4, y se obtiene O, centro de la circunferencia donde se sitúa el eneágono.

6. Se lleva el lado 9 veces sobre la circunferencia y se unen los puntos.

CONSTRUCCIÓN DE UN DECÁGONO CONOCIDO EL LADO

1. Sobre una recta r cualquiera se realizan las operaciones para construir un pentágono.

2. El vértice superior del pentágono (O) es el centro de la circunferencia donde se sitúa el decágono.

3. Sobre la circunferencia se lleva 10 veces el lado.

4. Se unen todos los puntos y se obtiene el decágono.

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

A) Conociendo el lado

Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que queremos construir. Seguidamente, hacemos centro en A y B, respectivamente, y trazamos dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O.

Haciendo centro en el punto O trazamos la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexágono de lado AB. Trazamos el diámetro perpendicular al lado AB y dividimos el radio OM en seis partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de un polígono de lado AB y n número de lados.

B) Conociendo el radio de la circunferencia circunscrita

1. Se trazan los diámetros perpendiculares y la circunferencia.

2. Dividimos el diámetro vertical en el mismo nº de partes iguales que queremos dividir la circunferencia (en este caso 11).

3. Con centro en C y radio igual al diámetro de la circunferencia, trazamos dos arcos que se cortan el punto E.

4. Uniendo el punto C con la división 2 del diámetro vertical prolongando hasta que se corte a la circunferencia nos da el punto F.

               5. La longitud CF es la onceava parte de

la circunferencia.

MÉTODO GENERAL PARA LA CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS

ESTRELLADOS

Si unimos los vértices de un polígono saltando rítmicamente un número dado de vértices hasta volver al primero, conseguiremos un polígono estrellado.

Dependiendo del número de vértices, podremos conseguir más o menos polígonos estrellados a partir de un polígono.

CONSTRUCCIÓN DE HILORAMAS

Los ángulos se clasifican según su medida

ÁNGULOSUn ángulo es la región del Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas plano comprendida entre dos semirrectas con origen común.con origen común.

El origen común es el vértice.El origen común es el vértice.

A las semirrectas se las llama lados del A las semirrectas se las llama lados del ángulo.ángulo.

TANGENCIAS

Tangencia entre dos circunferencias: dos circunferencias son tangentes en un punto T cuando existe una recta t

tangente común a ambas en T.

Tangencia entre recta y circunferencia: una recta t es tangente a una circunferencia de centro C en un punto T, cuando es perpendicular en T al radio CT .

Rectas tangentes a una circunferencia pasando por un punto exterior a la circunferencia

Para trazar la recta tangente a una circunferencia de centro O por un punto P exterior a la misma, debe tenerse en cuenta que si T es el punto de tangencia buscado entonces el triángulo POT debe ser rectángulo en T, puesto que el radio OT es perpendicular a la tangente PT según se dedujo antes. En consecuencia, el punto de tangencia T deberá estar situado, además de sobre la propia circunferencia, sobre el arco capaz del ángulo recto con respecto al segmento PO. Recordando que el arco capaz del ángulo recto es la semicircunferencia que tiene por diámetro al segmento con respecto al cual se quiere trazar el arco capaz, la resolución del problema comprenderá los siguientes pasos: -Hallar el punto medio M del segmento PO.-Trazar la circunferencia de centro M que pasa por P y por O.-Los puntos de corte de la circunferencia anterior (arco capaz del ángulo recto) con la circunferencia de centro O son los puntos de tangencia buscados. Las rectas tangentes serán las que pasen por P y estos puntos de tangencia.

Dadas las dos posibles posiciones del arco capaz del ángulo recto (semicircunferencia a uno u otro lado del segmento PO, que en conjunto forman la circunferencia completa), habrá asimismo dos puntos de tangencia posibles y, por lo tanto, dos rectas diferentes tangentes a la circunferencia y que pasan por el punto exterior P. Ambas rectas, así como los puntos de tangencia, son simétricas con respecto a la recta PO.

Rectas tangentes a dos circunferencias

Dos circunferencias C y C' poseen, en general, cuatro rectas tangentes comunes. Dichas tangentes, así como los respectivos puntos de tangencia, son simétricas dos a dos respecto de la recta CC' que une los centros de las circunferencias. Cada par de tangentes simétricas se cortan en un punto de la recta CC'. En función de la ubicación de este punto se distingue entre tangentes interiores (cuando el punto de corte está situado entre los dos centros C y C') y tangentes exteriores (en el caso contrario) a las dos circunferencias. Estos puntos de corte de las tangentes simétricas no son otros que los centros de homotecia positiva y negativa de las circunferencias.

Si r es el radio de la circunferencia C y r' es el radio de la circunferencia C', entonces las rectas tangentes deben ser tales que estén a una distancia r del punto C y a una distancia r' del punto C', justificando la relación de simetría. Por otra parte, si r'<r y se traza una paralela a una recta tangente a una distancia r' de la misma de forma que pase por el centro C', su distancia al punto C será ahora r+r' o r-r', según que la paralela se aleje o se acerque al centro C. La recta paralela a una tangente común a dos circunferencias C y C' que pasa por el centro C' estará más próxima a C que la recta tangente si la tangente es exterior, y estará más alejada de C si la tangente es interior.

Trazado de las dos rectas tangentes exteriores comunes a dos circunferencias C y C‘ Los pasos para trazar las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias C y C' de radios respectivos r y r', con r mayor que r', son:

1. Trazar un radio de la circunferencia de centro C, que cortará a la propia circunferencia en un punto A de la misma. 2. Con centro en el punto A, se dibuja un arco de radio r', que cortará al radio antes trazado en un punto B interior a la circunferencia de centro C. 3. Trazar la circunferencia con centro en C que pasa por el punto B, cuyo radio será r-r'. 4. Hallar las rectas tangentes a la circunferencia de centro C y radio r-r' antes dibujada, trazadas desde el punto exterior C'. • En las dos circunferencias C y C' se trazan ambos radios perpendiculares a cada una de las tangentes obtenidas. Estos radios cortarán a la circunferencia correspondiente en los puntos de tangencia de las tangentes exteriores comunes a las dos circunferencias.• Unir las parejas de puntos de tangencia halladas para obtener las dos rectas tangentes exteriores comunes a las circunferencias C y C’.

Trazado de las dos rectas tangentes interiores comunes a dos circunferencias C y C'

1. Dibujar un radio cualquiera de la circunferencia de centro C y sea el punto A el extremo de este radio situado sobre la circunferencia. 2. Con centro en el punto A trazar un arco de radio igual al radio r' de la circunferencia C'; este arco cortará a la prolongación del radio antes dibujado en el punto B, exterior a la circunferencia de centro C. 3. Dibujar la circunferencia con centro en C que pasa por el punto B, que tendrá un radio igual a r+r'. 4. Trazar las rectas tangentes a la circunferencia de centro C y radio r+r' antes dibujada que pasan por el punto exterior C'. 5. Trazar radios perpendiculares a cada una de las dos tangentes anteriores en ambas circunferencias. Los extremos de estos radios situados sobre las circunferencias serán los puntos de tangencia de las rectas tangentes interiores comunes con las correspondientes circunferencias.6. Unir los puntos hallados anteriormente para obtener las correspondientes rectas tangentes interiores comunes a las circunferencias C y C'.

Enlaces

Los enlaces son aplicaciones de las tangencias, que nos permiten unir líneas rectas o curvas de forma que parezcan una sola línea continua. Por ejemplo, en el dibujo vemos el enlace de dos rectas con una circunferencia de radio r.

Nomenclatura de los problemas de tangencia

-Existe una nomenclatura simplificada para nombrar los problemas de tangencia usando las siguientes letras:

C= circunferencia; r= recta; R= radio; P= punto; T=punto de tangencia. Por ejemplo, el problema (rrr) nos pide hallar circunferencia tangentes comunes a tres rectas y el (RCr) circunferencias de radio R tangentes comunes a una recta y a una circunferencia.

-Se resuelven por aplicación de trazados fundamentales los problemas (rrr), (Rrr), (rrT), (PPR), (CCR), (CPT), (CPR), (CTr), (CRr), además del trazado de las rectas tangentes comunes a dos circunferencias.

1.-Dado el segmento AB, se traza una recta L’ con origen en A, determinándose un ángulo agudo.

2.- Con un compás y con una misma abertura, se marcan los puntos C, D y E en L’.

3.- Se unen con un trazo, primero los puntos E y B; después, trazando paralelas, D y D’; C y C’.

TEOREMA DE TALES: dividir un segmento en partes iguales

PROPORCIONALIDAD

Se considera que la proporción tiene su origen en la observación de la naturaleza. En efecto, al analizar las estructuras biológicas y pretender copiarlas fielmente, es necesario tener en cuenta la relación de las partes con el todo.

Decimos que una figura está proporcionada cuando existe una relación de medidas entre cada parte y el total. Dichas medidas se consideran apropiadas al compararlas con ejemplos conocidos y que nos parecen ideales.

Clases de proporcionalidad

A lo largo de la historia los filósofos, artistas y científicos de distintas épocas y especialidades han establecido varias categorías relacionadas con la proporcionalidad.

Así, están las relaciones geométricas de igualdad, simetría y semejanza.

Finalidad de las proporciones

La proporcionalidad puede usarse con finalidad expresiva (expresar sentimientos), estética (sugerir estabilidad, movimiento…), publicitaria (para llamar la atención sobre un producto)

LA PROPORCIÓN EN LAS RELACIONES GEOMÉTRICAS

IGUALDAD

Dos figuras planas son iguales cuando coinciden sus magnitudes lineales y angulares, es

decir, cuando sus lados y sus ángulos son iguales.

-Por coordenadas-Por traslación

-Por giro

SIMETRÍA

-Axial.-Central.

SEMEJANZA

Traslación

Es el movimiento que un punto, línea o figura realiza desplazándose en una dirección y a una distancia determinada, quedando definido por tres parámetros (para trasladar una figura hacia otro punto):

Dirección (D): la dirección queda determinada mediante una recta que aparecerá en el dibujo con una orientación específica.

Sentido: que puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda. También se puede definir en sentido derecha - izquierda (hacia la izquierda) o en sentido izquierda - derecha (hacia la derecha).La punta de flecha sobre la dirección nos indica el sentido.

Distancia (a): que quedará definida mediante una magnitud numérica en milímetros, centímetros, etc. o mediante un segmento.

- Procedimiento de traslación- Procedimiento de traslación

Dado un cuadrilátero ABCD, trazamos mediante traslación Dado un cuadrilátero ABCD, trazamos mediante traslación otro polígono igual conociendo la dirección, sentido y distancia:otro polígono igual conociendo la dirección, sentido y distancia:

Nos dan un polígono, en este caso un cuadrilátero Nos dan un polígono, en este caso un cuadrilátero (Trapezoide). Asimismo, nos dan una dirección (mediante una (Trapezoide). Asimismo, nos dan una dirección (mediante una recta), el sentido de izquierda - derecha y la distancia de recta), el sentido de izquierda - derecha y la distancia de traslación mediante un segmento a.traslación mediante un segmento a.

Este movimiento que hemos hecho con A lo haremos Este movimiento que hemos hecho con A lo haremos también con B, C y D, obteniendo sus respectivos movimientos, B', también con B, C y D, obteniendo sus respectivos movimientos, B', C' y D'. Uniendo A', B', C' y D' obtenemos el nuevo polígono a la C' y D'. Uniendo A', B', C' y D' obtenemos el nuevo polígono a la distancia, dirección y sentido marcados.distancia, dirección y sentido marcados.

Giro

El giro es un movimiento angular de cada uno de los puntos a partir de un punto que es el centro de giro. Para este movimiento es necesario dar un ángulo y el punto centro de giro.

Comenzamos por el punto A, y con centro en O, medimos el ángulo de giro deseado (en este caso, 100º), y obtenemos A’. Así sucesivamente.

Simetría

La simetría geométrica es la propiedad de un objeto que se presenta cuando las características de forma, tamaño y posición relativa de sus partes, son las mismas en ambos lados de una línea divisora equidistante imaginaria llamada eje de simetría.

- Simetría axial

Son simetrías respecto a un eje. Dos figuras son simétricas respecto a un eje (llamado eje de simetría) si los puntos homólogos están a la misma distancia del eje y la recta que los une es perpendicular a él.

- Simetría central

Dos figuras son simétricas respecto a un punto, llamado centro de simetría si sus puntos homólogos equidistan al centro y están en línea recta con él.

Hay figuras que tienen varios ejes de simetría. Por ejemplo, un rectángulo tiene dos, un cuadrado cuatro y un círculo infinitos (cualquier recta que pasa por su centro es

eje de simetría).

SEMEJANZA

Dos polígonos son semejantes cuando sus ángulos internos son iguales y sus lados son proporcionales. Debe existir una relación de proporción entre los polígonos. Si sus ángulos internos son iguales y sus lados proporcionales, solo cambiará su tamaño.

- Procedimiento sencillo.

1.Partiendo de la figura ABCDE (verde), y un punto exterior O, trazaremos líneas desde ese punto y que pasen por cada uno de los vértices.2.Tomamos una medida, por ejemplo, 4 cm desde cada vértice y señalamos los puntos correspondientes A’’B’’C’’D’’E’’ y los unimos, consiguiendo la figura (amarilla). 3.Al otro lado de la figura original, procedemos de la misma manera y conseguimos una figura de mayor tamaño A’B’C’D’E’ (rosa).

Tales

Para desarrollar polígonos semejantes a otros, nos vamos a basar en el teorema de Thales.

En dos polígonos semejantes, la relación existente entre ellos es la relación de proporción, cuyo valor se denomina razón de semejanza, K=m/n, siendo m y n, respectivamente, las longitudes de dos lados homólogos del polígono final y del polígono inicial.

Si el resultado del cociente m/n (razón de semejanza) es:

· Mayor que 1 (>1) entonces la figura resultante es mayor que la original.

· Menor que 1 (<1) entonces la figura resultante es menor que la original.

· Igual a 1 (=1) entonces la figura resultante es igual que la original (Igualdad

-Procedimiento de semejanza (avanzado)

Siendo el polígono dado ABCDE, queremos trazar un polígono cualquiera semejante a éste. Para ello simplemente tenemos que elegir un punto P cualquiera. Este centro P puede situarse:

- Fuera del polígono.- Dentro del polígono.- En el perímetro del polígono (por ejemplo un vértice).

Ahora, si queremos trazar una razón de semejanza concreta, por ejemplo K=2/1, el polígono semejante será dos veces el original, es decir, el doble de grande. Por lo tanto, debemos atender al teorema de Thales que se produce en cada una de las proyecciones de la semejanza.

Colocando la distancia PA sobre la prolongación de la recta en A encontramos A', vértice homólogo del polígono semejante de razón K=2/1.

Trazando paralelas con la escuadra y el cartabón a los lados del polígono inicial sobre los puntos que voy encontrando en las proyecciones desde P determinamos el polígono semejante.

*Ver siguiente diapositiva.

Semejanza entre polígonos. Punto

centro de homotecia exterior.

Semejanza entre polígonos. Punto

centro de homotecia interior.

Semejanza entre polígonos. Punto

centro de homotecia En un vértice.

ESCALAS

Se define la escala como la relación entre la dimensión dibujada respecto de su dimensión real:

E = dibujo / realidad

Las semejanzas se utilizan para elaborar planos, mapas, maquetas, fotocopias... En ellos reducimos, de manera proporcional, las dimensiones que tienen los objetos en la realidad, obteniendo una representación igual en la forma, pero no en el tamaño.Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala de ampliación, y será de reducción en caso contrario.

- La escala 1:1 corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural);

- Ampliación: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1 ...

- Reducción: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50 …

-Tipos

- Escala numérica: se representa mediante una fracción (1:25000, 1:50000, 1:100000, etcétera) que nos dice que a una unidad del mapa (milímetro, centímetro, metro), corresponden tantas unidades en la realidad.

- Escala gráfica: Se representa mediante una recta segmentada en la que se indica su distancia en la realidad (500 metros, 1, 5, 10, 50, 100 kilómetros, etcétera).

Escala numérica

Escalas gráficas

Ejemplo escala entre objetos

Un objeto no es grande ni pequeño de manera absoluta. Siempre se le mide según la obra y los otros objetos.

SECCIÓN ÁUREA DE UN SEGMENTO

Esta proporción se da de manera que al dividir un segmento en dos partes, la razón entre la totalidad del segmento y la parte mayor sea igual a la razón entre ésta (la parte mayor) y la parte menor. Matemáticamente, siendo las partes a y b: El número áureo F es un número irracional.

Se trata de un número que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción.

Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en las partes de un cuerpo, y en la naturaleza como relación entre cuerpos, en la morfología de diversos elementos tales como caracolas, nervaduras de las hojas de algunos árboles, el grosor de las ramas, proporciones humanas, etc.

Platón (c. 428-347 a. C.), consideró la sección áurea como la mejor de todas las relaciones matemáticas y la llave a la física del cosmos.

Este número, esta proporción, rige el universo entero

prácticamente. Los griegos creían que era la medida de la proporción divina, de la belleza perfecta, y se encuentra en el

universo entero, desde caracolas, la cara de los tigres, las aletas de los peces... hasta el crecimiento demográfico, la

pintura, la música, la arquitectura, las proporciones de nuestro cuerpo, de nuestro

ADN.Lo extremadamente curioso y verdaderamente sorprendente reside en que no se encuentra

sólo en cosas artificiales y "humanas" (que también), sino

en la propia naturaleza y en cosas incontrolables. La espiral áurea contenida en un

rectángulo áureo

Algunas curiosidades:

·Si divides tu altura total entre la distancia del suelo a tu ombligo da Phi (en realidad da algo cercano, si diera Phi nuestras proporciones de altura serían perfectas).·Igual pasa si divides la distancia total de tu brazo entre la distancia de la punta de los dedos al codo.·Las espirales de las caracolas crecen en proporción Phi una de la anterior, al igual que ocurre en los girasoles y los pétalos de las rosas (los pétalos de las rosas siguen la serie de Fibonacci [ver más adelante]).·Los templos griegos guardan esta proporción en su construcción, al igual que las pirámides de Egipto.·En las estructuras formales de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert y Debussy (estos compositores probablemente compusieron estas relaciones de manera inconsciente, basándose en equilibrios de masas sonoras).·El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Da Vinci, entre otros.

 Phi (Φ, léase /fi/), es una letra

del alfabeto griego,

usada para representar el

Número Dorado, la Proporción

Divina.

El Número Áureo, la Divina

Proporción.

Phi presente en arquitectura egipcia y griega, en el arte renacentista y en la catedral de Nôtre Dame (París), como director de la orquesta de la belleza y el equilibrio.

Obras de arte (en el canon de Leonardo el radio del círculo es la sección áurea de la altura del individuo, es decir, de la altura

del cuadrado).

El hombre de Vitruvio.Leonardo Da Vinci. 

Imagen del rostro de la Gioconda, pintada por Leonardo de Vinci; se encuadra en un rectángulo áureo.

Le Corbusier escribió varios libros en los que expuso sus ideas en forma complementaria a sus propios proyectos. La Segunda Guerra Mundial redujo sus posibilidades de proyectar, lo que hizo que dedicara más atención a la teoría. Entre los años 1942 y 1948 desarrolló “el Modulor”, un sistema de medidas en el que cada magnitud se relaciona con las demás según la Proporción Áurea (también conocida como Sección Áurea) y a la vez se corresponde con las medidas del cuerpo humano. El Modulor es aplicable al diseño funcional y estético en arquitectura.Con el Modulor Le Corbusier retomó el antiguo ideal de establecer una relación directa entre las proporciones de los edificios y las del hombre. 

Figuras geométricas (en el pentagrama o estrella de cinco puntas AB' es la sección áurea de AC' que a su vez es la

sección áurea de AC).

Los 4 círculos de las alas de las mariposas se sitúan en lo

puntos Phi se sus proporciones.

Espiral áurea en la oreja humana.

Proporciones áureas en los dientes y labios humanos.

Las espirales de la caracola creciendo en función de Phi.

PROPORCIÓN EN LA FIGURA HUMANA

El escultor Miguel Ángel, estableció en sus estudios un dimensionado para la figura humana que variaba según al tipo que pretendía lograr esculpir.

Estas medidas oscilaban entre:

•las siete cabezas y media para las personas varones adultas.•8 cabezas para las personas con un cuerpo "ideal“.•...y la 8 cabezas y media para el tipo de figura heroica.

Esto es igualmente válido tanto para varones como féminas y sólo se diferencian el hombre de la mujer en el dimensionado de la altura, en la que la altura del hombre es superior al de la mujer aproximadamente en media cabeza.

Baste con recordar que, la proporción del ANCHO por el ALTO es de DOS y OCHO cuadrantes exactos.

Por último, podemos ver la cadena evolutiva de las personas a diferentes edades.

En ella se aprecia que a cada rango de edad le corresponde una distribución en cuadrantes que nos sirven para encontrar la proporcionalidad del cuerpo humano.

Estudios sobre las manos

Las manos, posiblemente sea una de las partes más difíciles de dibujar de nuestro cuerpo.

Es tanta la expresividad que transmiten que ésta varia según la posición que adopten. Por ello, es imprescindible tener una idea muy clara de su estructura y las posiciones que adoptan, las cuales estarán siempre de acorde con el estado de ánimo de la persona. 

La composición musculosa varia o adopta formaciones muy distintas al tener la mano en una u otra posición, pero en nada varían su estructura ósea. Por ello hemos de prestar una gran atención a los gestos de estas, dado que son las mas fieles transmisores de la palabra. 

Bocetos de pies y piernas

Bocetos de manos

La cabeza se toma como patrón y es la base sobre la que el cuerpo se dimensiona. Dependiendo de si se trata de un niño, adulto o personaje de mas edad, la cabeza siempre adquiere una proporción que determina el resto del cuerpo.

El tamaño de esta, aumenta proporcionalmente menos que el cuerpo a lo largo de la vida.

En los cómic o tebeos, adquiere vital importancia, pues su dimensionado define muy claramente el "tipo" de individuo que se quiere crear, siendo este grotesco, simpático, héroe o insignificante según el dimensionado o desproporción de acuerdo con su cuerpo.

La cabeza está dividida en cuatro partes mediante dos líneas básicas, una horizontal y otra vertical. La vertical define la simetría de ambos costados y la horizontal la posición de los ojos.

El pelo no se tiene en cuenta en la definición de la cabeza.

Uno de los aspectos dificultosos es el de la posición de los ojos. Al realizar una vista de perfil o inclinada, los ojos deben mantener una posición centrada respecto a la altura de la cabeza. 

También por norma, se situará la nariz con una ligera separación del globo ocular, frente amplia y orejas ligeramente bajas respecto a la línea; igualmente el labio superior sobresale más que el inferior.

Posiciones con dificultad normal

Dificultad de grado mayor

Otras posiciones más difíciles

Estudios finales 

REDES MODULARES

En todos los campos del diseño se hace uso de una estructura o soporte básico para ordenar las formas. Las redes modulares son algunas de estas estructuras aplicadas al diseño. A través de ellas se organiza el espacio bidimensional y tridimensional.

Las redes planas formadas por polígonos que no dejan ningún espacio vació se llaman mallas .

Las mallas se producen cuando los ángulos de los polígonos utilizados son submúltiplos de 360º. Estos polígonos pueden ser el triangulo, el cuadrado y el hexágono, que esta formado por triángulos unidos entre sí. Sus ángulos son respectivamente 60, 90 y 120 grados.

REDES MODULARES

El módulo

El módulo es una forma repetida dentro de una composición.

Puede considerarse como una unidad de medida dentro de una red modular.

Las formas modulares aparecen en algunas estructuras naturales, como los panales de las abejas o los granos de maíz en una mazorca.

La presencia de módulos tiene a unificar el diseño de una composición, proporcionado una expresividad armónica y rítmica.

MÓDULOS

Submódulos

Si un módulo está formado por elementos más pequeños e iguales, a estos se les llama submódulos.

El submódulo ha de conservar la forma del módulo y estar contenido en él un número exacto de veces.

Un submódulo es una parte de un módulo, de igual forma que este y contenido en él un número exacto de veces.

Una de las posibilidades plásticas que brinda el submódulo es la capacidad de crear una nueva estructura o red modular de dimensiones menores, e incluso de combinar diferentes tamaños de submódulos.

* Ver siguiente diapositiva.

SUBMÓDULOS

Redes superpuestas y redes mixtas

Sobre las redes fundamentales podemos formar nuevas redes, conservando la estructura modular y superponiendo otras en una nueva dirección y de distinto tamaño y forma.

Si superponemos dos estructuras o redes básicas, una cuadrada y otra triangular, y hacemos coincidir los centros de los cuadrados o triángulos equiláteros con los vértices donde concurren dichas redes, obtenemos una nueva estructura que posibilita la realización de formas planas o volumétricas.

La superposición de una red de cuadrados sobre otra concuadrados más pequeños, y situados en sentido diagonal, generantriángulos isósceles. Por otro lado, la superposición de una red detriángulos equiláteros con otra del mismo tipo de triángulos, perocuyos lados miden 2/3 de la altura de los primeros, da lugar a unared de triángulos rectángulos con ángulos de 60º y 30º.

* Ver siguiente diapositiva.

REDES SUPERPUESTAS Y REDES MIXTAS

Deformaciones

La deformación de las redes modulares es un procedimiento muy atractivo y con numerosas posibilidades de investigación.

Las redes pueden sufrir desviaciones, compresiones o dilataciones aumentando la expresividad de las composiciones realizadas en este sentido.

Transformaciones

En las variaciones sobre redes modulares, otra posibilidad es la transformación de un módulo de estructura geométrica en una forma artística, en formas naturales o en objetos.

Módulos libres

Además de los procedimientos mencionados, una composición modular puede estar realizada con módulos libres colocados en una posición cualquiera, sin ajustarse a una ordenación fija y cambiando levemente su contorno y color.

TRAMAS

Las tramas son unas láminas transparentes y adhesivas, con unos motivos impresos, que pueden ser de muchos tipos.

Dibujo con

tramas

El papel de trama es un instrumento de dibujo, habitualmente para el dibujo en blanco y negro, consiste en una lámina trasparente adhesiva que lleva un motivo impreso (puntos negros de distintas densidades, rayas y otros efectos)  sobre un soporte de plástico también trasparente.

Uno de los infinitos motivos que puede llevar el papel de trama. Este serviría para un fondo, para ropa, etc.

¿Cómo se utiliza?

El papel de trama se sitúa encima del original y lo fijamos para que no se mueva. Acto seguido con un cúter recortamos el papel de trama siguiendo el trazado de la zona que después queremos cubrir con ese motivo. Una vez recortada la despegamos de su soporte trasparente y la adherimos sobre el original.

Trama de degradado ideal para hacer sombras y dar profundidad.

¿Para qué sirven los motivos del papel de trama para el cómic?

Los usos son infinitos desde sombrear el dibujo a rellenar un fondo y usar algunos efectos de combate, mostrar un sentimiento etc. El uso apropiado de la trama le dará a nuestro cómic un toque muy profesional.La trama estándar, por así decirlo, es la formada por pequeños puntos negros que a no ser que veamos muy cerca y con lupa no veremos los puntos, sólo un efecto gris. Hay varios tipos y según el grosor del punto y el espacio entre dos puntos dará un gris más o menos oscuro. Podremos sombrear, crear las texturas de prendas de vestir u otros objetos o sencillamente usarlo como fondo de una viñeta.

Trama gris para darle sombras a la cara y el pelo. Algunos toques con tinta blanca le dan brillo.

LOS MATERIALES DE DIBUJO

- Lápices.- Portaminas.- Gomas de borrar y sacapuntas.- Reglas: regla con escala gráfica, escalímetro, escuadra, cartabón y

transportador.- Compás:  es un instrumento usado trazar circunferencias o arcos de circunferencia.

El lápiz de la serie “b” se utiliza para el dibujo artístico. Se numeran del 0 al 10, indicando la dureza: 1b=menos blando que 8b. Cuanto más blando, más oscuro y menos marca el papel, pero lo ensucia con mucha facilidad.

El lápiz de

grafito

El lápiz de la serie “h” se utiliza para el dibujo técnico. Se gradúa del 0 al 10, siendo el de mayor dureza este último.

Su trazo deja más huella en el papel a medida que la dureza es mayor, y se borra con más dificultad en este caso, pero mancha muy poco.

Para el técnico se utiliza también el portaminas.

BREVE HISTORIA DEL GRAFITO

En 1564 se descubrió el grafito cerca de Borrowdale, en Inglaterra. Una tormenta derribó unos árboles dejando al descubierto una veta de grafito o plombagina, "plomo negro". Dicho material empezó a ser usado por los habitantes locales para marcar. Posteriormente, comenzó a comercializarse en barritas, que se vendían en Londres, como "piedras de marcar". El problema de la suciedad que producían, se resolvió liándoles un cordón que se quitaba conforme se iba gastando; más tarde lo introducían dentro de un primitivo portaminas de madera. 

A partir del siglo XVII el grafito se convirtió en un mineral estratégico para Inglaterra, llegándose a castigar incluso con la pena de muerte a quien robase un trozo de grafito, debido a que era usado en la fundición de cañones. La escasez de grafito obligó a buscar soluciones alternativas al resto de países. 

En 1760, Kaspar Faber, artesano de Baviera, mezcló el grafito con polvo de azufre, antimonio y resinas, obteniendo una masa que, tras ser horneada, se comportaba como el grafito puro. Posteriormente, en 1795, fue mejorada la calidad de estas barritas de grafito por Nicolás Jacques Conté al incorporarle arcilla a la mezcla. Así, han llegado hasta nuestros días. Los lápices son más blandos cuanto más grafito contienen y más duros si aumenta la proporción de arcilla. 

John Eberhard construyó la primera fábrica de lápices a gran escala, en Estados Unidos, a mediados de 1800. Actualmente, el mayor fabricante de lápices del mundo es Brasil, con una producción alrededor de unos 4.500 millones de unidades.

El escalímetro 

(Denominado algunas veces escala de arquitecto) es una regla especial cuya sección transversal tiene forma prismática con el objeto de contener diferentes escalas en la misma regla.

Se emplea frecuentemente para medir en dibujos que contienen diversas escalas. En su borde contiene un rango con escalas calibradas y basta con girar sobre su eje longitudinal para ver la escala apropiada.

La escuadra y el cartabón

Son las plantillas que se utilizan para poder dibujar correctamente rectas paralelas y perpendiculares.

Puede tener diferentes tamaños y también tener una escala gráfica. Su forma es la de un triángulo cuyos ángulos son 90º, 45º y 45º. Esta herramienta es muy usada en el dibujo técnico y suele emplearse, junto a un cartabón o regla, para hacer líneas paralelas, perpendiculares o ángulos diversos, o como regla si tiene una escala gráfica.

Escuadra 

Puede tener diferentes tamaños y también tener una escala gráfica. Su forma es la de un triángulo cuyos ángulos son 90º, 60º y 30º. Esta herramienta es muy usada en el dibujo técnico y suele emplearse, junto a una escuadra o regla, para hacer líneas paralelas, perpendiculares o ángulos diversos, o como regla si tiene una escala gráfica.

Cartabón

El transportadorEl transportador

Es un instrumento semicircular graduado que nos permite Es un instrumento semicircular graduado que nos permite medir ángulos. En los problemas de geometría plana es medir ángulos. En los problemas de geometría plana es fundamental construir los ángulos con regla y compás.fundamental construir los ángulos con regla y compás.

Esto se considera parte del problema. En los problemas de Esto se considera parte del problema. En los problemas de geometría descriptiva se dibujan los ángulos con escuadra y geometría descriptiva se dibujan los ángulos con escuadra y cartabón o con transportador.cartabón o con transportador.

Para medir los GRADOS (º) de un ángulo puedes usar un TRANSPORTADOR.

Sitúa el centro del transportador en el vértice del ángulo y alinea el diámetro (recta de 0º) con uno de los lados.   El avión forma con el suelo un ángulo de 20º.

1-Traza una recta y llámala C.2-Sitúa el centro del transportador en el vértice B de modo que la recta pase por la marca de 0º (+).3-Marca un punto en 135º y llámalo A.4-Traza la recta AB.            

También puedes usar el transportador para dibujar ángulos.

La regla graduada 

Es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en centímetros. Es útil para trazar segmentos rectilíneos.

El compás

Es un milenario instrumento de dibujo que se utiliza para hacer

circunferencias o arcos, aunque su uso es muy extendido para todo tipo de

mediciones en geometría.

Primero necesitamos la medida del diámetro del círculo, el cual vamos a dividirlo por dos para saber el radio.

Una vez que tenemos el radio apoyamos el compás sobre una regla y

tomamos esa medida, para luego ajustarlo con el fin de que no se mueva.

Solo resta apoyar el compás en la hoja y girar suavemente para que el circulo

aparezca ante nuestros ojos.