LAS MATEMÁTICAS EN LAS TESELACIONES REGULARES DE

ESCHER

Mtro. Adrián Cuevas González

Presentación.

Iniciaré por mencionar que el presente texto se escribe con el propósito de realizar

un acercamiento a la concepción matemática de la obra de Escher, focalizada en

las teselaciones creadas por el autor a partir de la matematización de los mosaicos

moriscos que cubren los muros de la Alhambra de Granada. Esto le permitió

descubrir que los módulos básicos visualizados en sus inicios como formas

orgánicas, resignificarlos en polígonos regulares.

Al observar los mosaicos creados por Maurits Cornelius Escher no deja de

asombrar la forma en que se entrelazan a la perfección las figuras orgánicas, de tal

manera que al apreciarlos difícilmente nos damos cuenta que se diseñaron a partir

de transformaciones geométricas de polígonos regulares, lo que impregna un

significado especial a sus teselaciones como producto del arte geométrico.

Para comprender la matemática que vive en los mosaicos escherianos en

palabras de Freire (1996) y Lockhart (2008) debemos identificarla como un proceso

de matematización, como el descubrir que en un mosaico compuesto por figuras de

lagartos o patos y peces entrelazados además de una ilusión óptica se encuentran

patrones matemáticos.

Con referencia a lo anterior, apreciar la geometría en la obra de Escher es un

proceso de mate-alfabetización que implica además de reconocer el valor estético

cultural de sus realizaciones, la necesidad de replantear su significado en una

realidad que nos invita a incursionar en el concepto de procesos geométricos como

las proyecciones simétricas o la compensación de áreas en los polígonos.

A fin de atender al propósito centraré la atención en los procesos

matemáticos a los que recurre Escher para el diseño de sus mosaicos teselados

como punto de partida es necesario conceptualizar los términos teselación, tesela,

mosaico y su significado específico en la obra de Maurits Cornelius.

Conceptualización.

Para conocer el significado del término teselación, iniciaré por su origen

etimológico, procede del latín <tesella>, que puede traducirse <azulejo>, y este a

su vez de la palabra griega <tessares>, que es sinónimo de <cuatro>. De acuerdo

con el diccionario electrónico Definición.de la conceptualiza como el patrón que se

sigue al recubrir una superficie en la que se requiere evitar la superposición de

figuras y asegurar que no se registran espacios en blanco en el recubrimiento.

La Asociación Mexicana de Ciencias en el comunicado de divulgación

‘Teselaciones, arte y matemática’ conceptualiza la teselación de un plano como el

recubrimiento de

un friso o un zócalo con figuras regulares e iguales con la única condición de

que en cada vértice confluya un número entero de figuras, de donde se

deduce que el ángulo formado entre dos lados consecutivos debe ser divisor

de 360°. Esto deja tres opciones: los cuadrados (90°), los triángulos (60°) y

los hexágonos (120°). Las posibilidades se multiplican si se combinan

figuras, figuras no regulares o deformaciones varias. (Asociación Mexicana

de Ciencias, 2013)

La obra de Escher que refiero en este artículo son teselaciones regulares,

mosaícos teselados creados a partir de módulos o teselas por la transformación de

polígonos utilizando el método de compensación de áreas, donde aprovecha cada

espacio libre para diseñar formas con patrones definidos que representan figuras

de animales y humanos que no son otra cosa que creativos dibujos geométricos, lo

que lo hizo estar más cerca de los matemáticos que de los artistas de su tiempo.

A diferencia de éstas teselaciones escherianas existen “los teselados

irregulares que están construidos a partir de polígonos regulares e irregulares que,

al igual que todas las teselaciones, cubren toda la superficie sin sobreponerse ni

dejar espacios vacíos.” (PLAN CEIBAL, s.f.); los demi-regulares que se forman a partir

de la combinación de dos o más polígonos regulares pero de modo que no todos los vértices

tengan la misma distribución y los semirregulares formados por la combinación de dos o

más polígonos regulares pero distribuidos de modo tal que en todos los vértices aparezcan

los mismos polígonos y en el mismo orden.

Reformulando los significados expuestos, las teselaciones creadas por

Escher se definen como teselados regulares, mosaicos reconocidos por su valor

artístico concebido a partir de patrones matemáticos que se han convertido en

modelo al crear innovaciones en el diseño de mosaícos, cenefas y textiles. El

estudio de la relación arte-matemática en la obra de este singular arquitecto además

de representar un objeto de estudios académico, abre oportunidades para su uso

en la enseñanza de transformaciones geométricas.

Contextualización.

Para contextualizar la matemática en la obra de Escher como objeto de

estudio se recurrió a la base de datos de GOOGLE ACADÉMICO del 2000 a 2016.

Entre los 2,000 resultados de la búsqueda sólo en páginas en español se

encontraron doce indirectamente relacionados con ‘Las matemáticas en la obra de

Escher’, al buscar en inglés fueron veintiséis los textos con relación relativa a ‘The

mathematics of MC Escher’

Se consideran como antecedentes al presente estudio los siguientes textos

académicos: ‘M.C. Escher. Reflexiones sobre la división regular del plano’ escrito

en el año 2000 por Rafael Pérez Gómez en el que expone cómo el autor realiza sus

teselaciones a partir de descubrir la geometría en los muros de la Alhambra. ‘Escher

I. Las matemáticas para construir’ publicado en 2005 por Capi Corrales donde

muestra los procesos de construcción y pensamiento matemático utilizados por el

arquitecto en sus obras. ‘El extraño mundo de las teselaciones’ tesis realizada por

Sara Alejandra Pando Figueroa en la que evidencia los patrones matemáticos que

se involucran en la creación de mosaicos teselados.

El texto publicado con mayor cercanía al propósito de este estudio es el que

refiere a la investigación realizada por Sara Pando a partir de su inquietud por

acercarse a la matemática en los mosaicos teselados y descubrir que hay cosas

realmente sorprendentes que se pueden crear y explicar con el pensamiento

geométrico. En específico el capítulo 3 en el que sustenta la relación entre

geometría, arte, ciencia y teselados; y el capítulo 4 dedicado a la aplicación de

isometrías y simetrías en los mosaicos.

La contextualización permitió observar que entre los resultados aportados por

GOOGLE ACADÉMICO, son escasos los que se relacionan directamente con el

estudio. Destacan los textos de Pérez Gómez por sus aportaciones para

fundamentar los patrones matemáticos en la obra de Escher, el escrito por Corrales

sobre la construcción de teselaciones y el realizado por Pando con relación a los

procesos geométricos que se utilizan al teselar.

Demostración.

La información encontrada en los textos aporta elementos para demostrar que

la matemática está presente en la obra de Escher y puede observarse como:

1. Deformación de polígonos

2. Las simetrías en los mosaicos (teselaciones)

3. Teselaciones regulares

1.Deformación de polígonos. Las teselaciones de Escher se construyen a partir

de la descomposición de polígonos con el método de áreas compensadas que

consiste en realizar en uno de los lados del polígono tomado como base, una

deformación a la cual debemos aplicarle una isometría, con el fin de que la figura

formada mantenga la misma área que la original. Este procedimiento puede ser

aplicado más de una vez hasta formar la figura deseada. A las nuevas figuras que

teselan el plano se les llama trisides.

Resulta sencillo identificar la deformación del triángulo equilátero con el

método de compensación de áreas para descubrir un pez volador.

Otras deformaciones de polígonos utilizadas por Escher incluyen triángulos

encontrados, cuadrados o hexágonos, la imagen 2 muestra cómo se generan las

formas orgánicas a partir de la compensación de áreas.

2.Las simetrías en los mosaicos (teselaciones). Para demostrar que la

simetría se encuentra presente en la obra de Escher debe significarse de acuerdo

con el planteamiento de Enrique de la Torre:

la teoría de la simetría es una parte de la geometría que, operando sobre el

espacio euclídeo, engloba como transformaciones a todas las isometrías,

siendo su interés específico el estudio de los grupos de isometrías que dejan

invariantes las figuras. Las transformaciones en el plano afín reciben también

el nombre de isometrías; la palabra isometría proviene del griego y significa

‘igual medida’. Podemos concluir entonces que las traslaciones, los giros y

las simetrías son movimientos en el plano, y cualquier otro movimiento que

se realice es composición de ellos. Todo movimiento en un plano es o bien

la identidad o una traslación o una rotación (movimientos directos, que no

cambian la orientación del objeto después de aplicarle el movimiento), o bien

una simetría o una simetría deslizante (movimientos indirectos, que cambian

la orientación). (De la Torre Fernández, 2012)

desde esta visión, se entiende una teselación como un recubrimiento especial del

plano, que se genera con la repetición, en dos o más direcciones distintas donde

cada tesela cumple ciertas características de acoplamiento y regularidad.

En la imagen 4 es sencillo identificar un triángulo equilátero con vértices en

la cola y las aletas de cada pez volador. Los movimientos que convierten el triángulo

en el pez son las simetrías centrales generadas en rotación de orden 6 en los

vértices del triángulo.

En otro ejemplo más complicado sobre la utilización de las simetrías en las

teselaciones de Escher, la imagen 5 muestra con una cuadrícula sobrepuesta al

dibujo la forma en que se generan las imágenes y sus proyecciones.

3.Teselaciones regulares. Los mosaicos creados por Escher se consideran

teselaciones regulares porque al utilizarse en la composición de un mosaico los

polígonos son equivalentes, además de pertenecer al grupo de diecisiete que son

periódicas y se clasifican en cinco tipos conforme a las simetrías que se generan a

partir de la repetición de la figura base.

Evidencia y cierre

Para finalizar incluyo el siguiente comentario sobre las matemáticas en la

obra de Escher producto de una entrevista informal al Dr. en Educación Jaime

Hernández, catedrático en la licenciatura en Diseño en el Instituto de estudios

superiores de occidente (ITESO).

EO:

Entrevistado Jaime Entrevistador Adrián

Fecha 10/11/2016

Las teselaciones de Escher son básicas en el diseño textil, la forma en que crea las compensaciones de áreas en los polígonos para producir mosaicos que a simple vista aparentan ser un conjunto de módulos orgánicos, y al observarlos detenidamente se descubre que la tesela es una forma geométrica regular son básicas al crear patrones para el estampado de telas de manera que al convertirse en prendas de vestir se produzca un mosaico armónico

En conclusión, el pensamiento geométrico permea los procesos creativos

de Escher, desde la singular apreciación que realiza a los muros de la Alhambra

que le permite encontrar en ellos isometrías y simetrías, descubrir que la tesela

básica para realizar cualquiera de los mosaicos moriscos es un polígono regular.

Su creación es trascendente porque a partir de los principios de compensación de

áreas y transformaciónes geométricas construye composiciones complejas. Lo

que conduce a afirmar que sus teselaciones son una expresión artística

matematizada.

Si te interesa saber más acerca de la obra de Escher te recomiendo los

siguientes libros ‘la magia de M.C. Escher’ de editorial TASCHEN; ‘M.C. Escher:

Simmetry Book publicado por POMEGRANATE; si tu interés se inclina hacia los

procesos geométricos desde su concepción clásica resulta interesante ‘Lo que cabe

en el espacio’ de Héctor Xenil, editado por copIt-arXives.

Referencias Asociación Mexicana de Ciencias. (6 de Junio de 2013). Teselaciones, Arte y Matemáticas. Boletín

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