EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Autor: Dr. Roberto Estrada Cingualbres Centro de Estudios CAD/CAMUniversidad de Holguín, Cuba

Solo hay un bien, el conocimiento; solo hay un malla ignorancia. Sócrates

Objetivos del cursoObjetivos del curso:

•Conozcan las potencialidades del Método de los Elementos Finitos.

•Conozcan la fundamentación físico-matemática del método.

• Se instruyan en el trabajo con el paquete profesional de análisis por Elementos Finitos Cosmos/Works 2006.

Bibliografía:Bibliografía:•Análisis por Elementos Finitos (FEA). CosmosWorks 2006. R.E Cingualbres, 2006.

•Cosmos Works 2006, Tutorial Básico

•Cosmos Works 2006, Online User’s Guide.

•Shigley, J.E y Michke, C.R., Diseño Mecánico Ingenieril, Mc GRAN-Hill, 1989.

•Beer, F. P y Russell Johston, E., Mecánica de los Materiales, Mc Graw-Hill, 1981.

•Sistemas CAD/CAM/CAE, Serie: Mundo electrónico, Editorial Marcombo, 1986.

•Feodosiev, Resistencia de Materiales, edit. Pueblo y Educación.

•El Método de los Elementos Finitos, O.C. Zienkiewicz. GRAN-Hill, 1994

Conf.1: Introducción. Métodos de cálculo y simulación en CAD. El Método de los Elementos Finitos. Aplicaciones.Objetivos:•Conocer los principales métodos de cálculo y simulación.•Por qué surge el MEF•Qué es el análisis por elementos finitos•Algunas Aplicaciones del MEF

Análisis del Diseño

Algunos métodos usados en el análisis: Soluciones análíticas

Solución de ecuaciones diferenciales

exactas.

Solución de aproximación por series.

Energético (Rayleigh – Ritz).

Soluciones numéricas

Diferencias finitas

Elementos de contorno.

Elementos finitos.

Soluciones analíticas

Soluciones numéricas

Soluciones numéricas•Las soluciones numéricas de las ecuaciones de gobernabilidad son aproximadas mediante la división de todo el dominio (el Sistema) en pequeñas piezas (subdominios).

•En cada pieza, la ecuación o la solución son aproximadas.

•La combinación de la solución simple para todas las piezas pequeñas del dominio (subdominios), provee de una solución aproximada del problema.

Método de las Diferencias Finitas

Por ejemplo: La ecuación de gobernabilidad de un problema térmico es reemplazada por la ecuación lineal

xT /

xxTxT /1

Elementos de contorno

Elementos Finitos

¿ Por qué surge el Método de los Elementos Finitos?

Que se pudiera extender a otras disciplinas ingenieriles como los análisis térmicos, de flujos de fluidos, electromagnetismo y análisis dinámico.

Optimización del diseño

Los grados de libertad (g.d.l): (Ux , Uy , Uz, x, y, z).

El número de g.d.l por nodo.

Ejemplo:-El elemento BEAM tiene 6 g.d.l por nodo-El PLANE 2D tiene 2 g.d.l por nodo.-El elemento SOLID, tiene 3 g.d.l por nodo.Las condiciones de borde definen los apoyos y las

condiciones de cargas aplicadas a la estructura.Los elementos finitos deben deformarse bajo cargas tales

que no existan espacios o superposición entre los elementos

Terminología:

Cuadro histórico.

Los egipcios empleaban métodos de discretización para determinar el volumen de las pirámides. Arquímedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo método para calcular el volumen de todo tipo de sólidos o la superficie de áreas. El matemático chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polígono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que conseguía una aproximación al número Pi de 3.1416.

Courant (1943) propuso la división del dominio en triángulos.Análisis matricial de estructuras. Las aproximaciones con elementos en formas de vigas en las estructuras aeroespaciales y civiles comenzaron a ser usadas en los 1950.

Método directo de los desplazamientos. Se utiliza el elemento finito triangular, publicado en 1956.

El uso del método inició su explotación en 1960 en diferentes campos ingenieriles con el surgimiento de potentes computadoras, aunque ya el término elemento finito había aparecido en 1956.

Los avances logrados en la computación en la década de los 80, permitió el uso de potentes software en los ordenadores personales.

FORMULACION DIRECTA DEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

¿Cómo realizar la discretización de un elemento o estructura?

La discretización responde, por parte del ingeniero, a una intuición.

Se fija tal grado de discretización de la estructura y se hace una hipótesis de aproximación del estado de corrimiento de todos sus puntos en forma polinómica tomando como incógnitas los corrimientos correspondiente.

Consideremos un elemento triangular con solo dos grados de libertad por nodos.

Incógnitas:u ,, v

Función de interpolación de los corrimientos en los puntos interiores del elemento finito

Teorema:

El estado de corrimiento verdadero {(x, y)} de cada punto

interior del elemento finito nos es desconocido, pero se puede

sentar la hipótesis de que una expresión aproximada { (x, y)}

del mismo puede ser obtenida en forma polinómica, cuyos

coeficientes o parámetros (también denominados coordonadas

generalizadas) sean en número igual al de grados de libertad

nodal total, característicos de cada elemento finito

Método de las coordenadas generalizadas

Función de los corrimientos

(1.1) 654

321

yaxaayaxaa

vu

Matricialmente

APy x 1 0 0 00 0 0y x 1

6

5

4

3

2

1

aaaaaa

vu

ui= a1 + a2.xi + a3.yi

vi= a4 + a5.xi + a6.yi

uj= a1 + a2.xj + a3.yj (1.2)

vj= a4 + a5.xj + a6.yj

ul= a1 + a2.xl + a3.yl

vl= a4 + a5.xl + a6.yl

e

l

l

j

j

i

i

l

j

i

e

C

C

aaaaaa

vu

v

uvu

1

6

5

4

3

2

1

ll

ll

jj

jj

ii

ii

A

(1.3) A

y x1 0 0 00 0 0 y x1

y x1 0 0 0

0 0 0 y x1y x1 0 0 00 0 0 y x1

eelji

e

NNNN

C

I ,I ,I

PAP 1

Desarrollando (1.3) los valores de u y v en función de los corrimientos nodales se obtiene:

lljjii

llll

jjjjiiii

uNuNuN

uycxba

uycxbauycxbaA

u

)(

)()(21

lljjii

llll

jjjjiiii

vNvNvN

vycxba

vycxbavycxbaA

v

)(

)()(21

y x1

y x1y x1

2

l l

j j

i i

ijllijjli

jilimjlji

ijjilliiljjllji

xxcxxcxxc

yybyybyyb

yxyxayxyxayxyxa

A

Método de las Funciones de Interpolación

Las funciones de interpolación N deben ser elegidas de tal manera que se verifique (1.3), por ej. Para el nodo i

Ni (xi,yi)=1 Ni (xj , yj)=0 Nl (xl , yl)=0

Expresión del estado de deformación en función de los corrimientos nodales

Según la teoría de la Elasticidad

ee BNLL

Lvu

Lvu

xy

y

x

xy

y

x

ε

xy

y

x

,

, 0

0 ,

v u

v

u Así, para nuestro caso particular

Sustituyendo L operador el aplicandoy N e

eeie

lji

lji

l

l

j

j

i

i

iiiiii

lji

BB

ccc

bbb

A

vu

v

u

vu

xyxyxy

yyy

xN

xN

xN

ε

lj

lji

lji

iji

B ,B ,

b b b

c 0 c 0 c 0

0 0 0

21

N N N N N N

N 0 N

0 N 0

0 0 0

Expresión del Estado Tensional en función de los corrimientos nodales (1.5) SBDD eee

(1.6) 00 D

Para el Estado Deformacional Plano

D

221 0 0

0 1 0 0 1

)21)(1(E

xy

y

x

xy

y

x

Para el Estado Deformacional Plano

D

21 0 0

0 1 00 1

1E

xy

y

x

2

xy

y

x

Matriz tensión del elemento triángulo de deformación constante

BDSe

lljjii

llj j ii

lljjii

lljjii

lji

lji

e

b2

)21( c2

)21( b2

)21( c2

)21( b2

)21( c2

)21(

c)1( b c)1( b c)1( b

c b)1( c b)1( c b)1(

A)21)(1(2E

b c b c b c

c 0 c 0 c 0

0 b 0 b 0 b

A21

221 0 0

0 1 0 0 1

)21)(1(ES

FUERZAS NODALES ESTATICAS EQUIVALENTES

dv dvFTT

eT

e p

dv dvFT

eT

e e

T

e BpN

dv dvF Te BpN T

00

00

eeee

pe

eepe

Te

Te

Te

FFFF

FFF dv

dvdvdv dvF

ee0T

0T

KB

DBDBBDBpN

obtenemos 00 D

Matriz de rigidez elemental

dvT BDBKe

616

515

414

313

212

111

ee

l6

l5

j4

j3

i2

i1

e

KFKFKFKFKFKF

F

0v0u

0v

0u0v1u

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K

)( )( )( )( )( )( 000001 654321 )( 11

)( 05

)( 03

)( 04

)( 02

)( 06

jiij

jT

iij

KK

dvBDBK

e

nj21

K

0001

nn njn2n1

in iji2i1

2n2j2221

1n 1j1211

K . .. . .K . . . . . K K

K . .. . .K . . . . . K K

K . . . . . K . . . . . K K

K . .. . .K . . . . . K K

)( . . . . . ).( . . . . . )( )(

)( 11

)( 0i

)( 02

)( 0n

Fig.Fuerzas nodales elásticas equivalentes

Matriz de rigidez axial del elemento barra

APaa

x1xaau2

121xx

ACaa

l 00 1

uu

2

1

2

1e

u(x)=a1+a2.x

u(x=0)=u1= a1

u(x=l)=u2= a1+a2.l

l1

l1-

0 1 C 1

2

1e

1

uu

l1

l1-

0 1 CA

e2

1

2

1xx N

uu

lx ,

lx1

uu

l1

l1-

0 1 x 1u

lxN

lx1N

2

1

22

11

Bl1

dxdN

Bl1

dxdN

laaa

1 , 1l1B

uu

B,Buu

NLuu

Ndxdu

dxd

dxdu

21

1e

2

121

2

1

2

1

Recuérdese que

u1=a1 u2=a1+l a2

l1B

l1B 21

v

11-

dx ).A(xd

l1B T

1 1-1- 1

lEAx

1 1-1- 1

lEA

Adx1 ,1l1E

1 1

l1vdBDBK

2

l

0

Te

l

EAvdBDBK

lEAvdBDBK

lEAvd2BDBK

lEAvdBDBK

2T

222

1T

221

T112

1T

111

1 ,1l1ES

uu

1 ,1l1ESBD

e

2

1eee

Matriz rigidez del elemento triángulo de deformación constante, para el caso de deformación plana

2l

2i

ll2i

2l

ljljjllj2j

2j

ljjlljljjj2j

2j

liliillijijiijji2i

2i

iiljilijiijjijiii2i

2i

βbαa

bβ)a(α βaαb

bβbaαa bβabα βbαa

bβabμa aβabαb bβ)a(μ βaαb

bβbaαa bβabμa bβbaαa bβabμa βbαa

bβabμa aβabαb bβabμa aβabαb bβ)a(μ βaαb

)21)(1(A4tEKe

Equilibrio nodal. Matriz de rigidez global de la estructura

0KP EGEGEG

0K KK K

PP

s

l

sssl

lsll

s

l

0KP llll

E1

EE PK

0KP llll

0FFFFFP

0FFFFFP5jy

4jy

3jy

2jy

1jyjy

5jx

4jx

3jx

2jx

1jxjx

Cambio de ejes de coordenadas cartesianas:

eee

Δ 00 Δ

e

1 0 00 c s0 s- c

Δ

1 0 0 0 0 00 c s 0 0 00 s- c 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 c s0 0 0 0 s- c

e

eee

e

Te

eeTe

e FF Por la invariancia del trabajo en el elemento

eee

eeTe

e FF

eee

ee FF

eee

e KF

eT

eeee

e K.F

Teeee K.K

Condiciones de compatibilidad o de convergencia de las funciones de aproximación de los corrimientos1o Condición de continuidad.

La función de los corrimientos aproximados (x) elegida, debe ser continua dentro del elemento finito y tal que las diferencias de corrimiento, en los bordes, entre elementos adyacentes, sean pequeñas.2o Condión de deformación constante.

La función de los corrimientos aproximados (x) debe ser tal que cualquier estado de deformación constante del elemento pueda ser expresado mediante una adecuada elección de corrimientos nodales del mismo.3o Condión de deformación de cuerpo rígido.

La función de los corrimientos aproximados (x) debe ser elegida de forma tal que ninguna parte interior del elemento finito se deforme cuando los corrimientos nodales del mismo sean del movimiento de cuerpo rígido.

Guía para la aplicación del método.Definida, geométrica y mecánicamente, la estructura, y conocido su estado de solicitación, procederemos al análisis de la misma operando del siguiente modo:1. Discretización de la estructura en elementos finitos.2. Numeración de nodos, elementos finitos y grados de libertad de los nodos respecto de los ejes coordenados generales, con el correspondiente convenio de signos. Establecimiento de las matrices [N], [B], [D], y [e] para cada elemento respecto a sus ejes de coordenadas locales.3. Para facilitar las operaciones computacionales se establece la tabla de conectividad de los elementos entre si.4. Determinación de la matriz de rigidez [Ke] de cada elemento referida a los ejes de coordenadas generales para su ensamblado.

5. Determinación de las matrices global [KEG] y reducida [KE] de la estructura, y Ia inversa [KE]-1

Teeee K.K

8. Determinados {EG} y {e} son conocidos, como consecuencia, los corrimientos nodales {e} de cada uno de los elementos finitos y, con ello, los vectores deformación =[B]. {e} y tensión =[D].[B]. {e}=[Se]. {e} pueden ser ya hallados.

9.Definición, finalmente, del estado de tensión representativo de cada elemento en los puntos específicos del mismo.

6. Deterrninación del vector de las cargas nodales equivalentes (incrermentado con las concentradas {PE} y, mediante [KE], la determinación de los corrimientos {e} partiendo del sistema de ecuaciones, expresado en forma matricial siguiente:

E1

Ee PK 7. Con los corrimientos provenientes de las condiciones forzadas de ligadura de los nodos de enlace con el exterior de la estructura, y los hallados en el punto 6 anterior, (en conjunto {EG}) determinación de las cargas de enlace o de soporte (reacciones), incluidas en {PEG} mediante Ia ecuación matricial

EG EGEG KP

Asumimos que el movimiento ocurre solo en la dirección de x

Ejemplo2: Modelo con dos muelles

Para discretizar este modelo, tomaremos cada muelle como un elemento (numerado en el cuadro azul claro), los extremos de cada muelle serán los nodos ( en los círculos verde claro).

Los desplazamientos de los tres nodos son: U1, U2 y U3, que son las incógnitas de este problema.

Por cuanto tenemos una sola variable, para cada uno de los nodos (el desplazamiento en X, Ui), cada nodo tendrá un grado de libertad

El sistema tendrá por tanto tres grados de libertad

Considerando un solo muelle en un instante

Si los nodos i y j se desplazaran, las fuerzas en los nodos producirian la tracción o la compresión del muelle (tomaremos el convenio de que el signo positivo es hacia la derecha)

)-(k k k

)-(k k k -

aaa

aaa

jijija

ijjiia

uuuuf

uuuuf

Que escrita en forma matricial

j

i

ja

ia

uu

ff

k- k k k

a a

a a Esta es la formulación matricial para un solo elemento

uKf Para cada elemento quedará

2

1

1 1

1 1

21

11 k- k k k

uu

ff

Para el muelle 1

3

2

2 2

2 2

32

22 k- k k k

uu

ff

Para el muelle 2

Planteamos la ecuación de equilibrio de fuerzas en los nodos, teniendo en cuenta además las fuerzas externas en los nodos Fi.

00

0

323

22212

111

fFffF

fF

Combinando las ecuaciones matriciales de los dos muelles con la ecuación de equilibrio, obtenemos

3222

322221112

21111

uKuKFuKuKuKuKF

uKuKF

Que escrita en forma matricial

RuK

Pueden observarse las matrices de rigidez individual en la matriz de rigidez global

• La matriz de rigidez es simétrica respecto a la diagonal.

• Como el sistema está fijo en el nodo 1, entonces U1=0.

• La fuerza externa en el nodo 2 es igual a cero, quedando la ecuación de la sigiente forma:

Fu

uKKK 0K K-

3

2

22

221

Para resolver esta ecuación debemos determinar [ K ]-1, o utilizar el método de Gauss, determinado finalmente los desplazamientos en los nodos 2 y 3.

Ejemplo 3:Análisis de una armadura

La armadura está sometida a las siguientes condiciones:

• La barra 2-4 está expuesta a una variación de temperatura T.

• R1 y R2 son las fuerzas externas.

• 1 y 2 son los desplazamientos globales desconocidos

•Las barras articuladas tienen un área A de sección transversal.

•Las fuerzas nodales las denotaremos como Pij y las deformaciones de las barras como ij

Planteamos las ecuaciones de equilibrio en X y Y.

La ecuación que relaciona las fuerzas y las tensiones para este caso es:

P=A. (1)Las ecuaciones de compatibilidad para los desplaxzmientos son:

)()((2)

)()(

2134

224

2114

CosSen

CosSen

La ecuación de compatibilidad entre las deformaciones y los desplazamientos y de las tensiones –deformaciones incluida la expansión térmica serán respectivamente:

= /L y =/+T (3)

Combinando las ecuaciones (1), y (3) para las tres barras y recordando que solo la barra 2-4 está sometida a un gradiente de temperatura (T1-4= T3-4=0); obtenemos

Combinado ahora con la ecuación (2), obtenemos

Ahora nuestra meta es formular un grupo de ecuaciones en la cual los desplazamientos en las barras sean una función de las fuerzas externas, para lo cual sustituiremos la ecuación anterior en las ecuaciones de equilibrio iniciales; obteniendo

Que escrito en forma matricial

RuK