CUESTIONARIO DE PROBABILIDAD.a) Antecedentes histricos de la probabilidad.

Girolamo cardano (1501- 1576), filsofo, antrlogo y matemtico italiano, a quin se le tribuye la primera discusin sobre probabilidad en su manual para jugadores liber de ludo aleae (Manual para tirar los dados) Galileo Galilei (1563- 1642), matemtico, fsico y astrnomo italiano, en 1620 escribi una exposicin sobre el tema, al ser requerido por entusiastas de los juegos de azar. La historia que en el ao 1650 el caballero francs de mer, un apasionado al juego, habra llevado a Blas pascal, (1632- 1662), problemas relacionados con juegos de azar. Pascal a su vez inici correspondencia con otros matemticos amigos, destacndose entre ellos Pierre permat (1601- 1665) por los estudios realizados. Cristian huygens (1629- 1695), fsico gemetra y astrnomo holands, publica en 1657 tratado de problemas de probabilidades que fue un tratado de problemas relacionados con los juegos. Abraham de moivre (1667-1754), gemetra francs, publico en 1718 the doctrine of chance (la doctrina de las probabilidades), donde figuran las primeras indicaciones de la distribucin normal de probabilidades. Sinon de laplace (1749-1827), introdujo reglas e ideas nuevas y demostr que la teora poda ser aplicada a mltiples problemas de ndole cientfica y prctica. Public en 1812 thorie analytique des probablits. Para laplace, la teora de las probabilidades no es otra cosa que el sentido comn reducido a clculos.

b) Definicin de probabilidad.Es un mtodo por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realizacin de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.La probabilidad refiere a la posibilidad de ocurrencia de un fenmeno.c) Clasificacin de acuerdo a su enfoque.

Enfoque clsico de la probabilidad: Este enfoque permite determinar valores de probabilidad antes de ser observado el experimento por lo que se le denomina enfoque a priori. El enfoque clsico es aplicado cuando todos los resultados son igualmente probables y no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Enfoque de frecuencias relativas: Este enfoque permite determinar la probabilidad con base en la proporcin de veces que ocurre un resultado favorable en cierto nmero experimentos. No implica ningn supuesto previo de igualdad de probabilidades. A este enfoque se le denomina tambin enfoque emprico debido a que para determinar los valores de probabilidad se requiere de la observacin y de la recopilacin de datos. Tambin se le denomina a posteriori, ya que el resultado se obtiene despus de realizar el experimento un cierto nmero de veces.

Enfoque subjetivo de la probabilidad: Se diferencia de lo dos enfoques anteriores, debido a que tanto el enfoque clsico como el de frecuencia relativa producen valores de probabilidad objetivos. El enfoque seala que la probabilidad de un evento es el grado de confianza que una persona tiene en que el evento ocurra, con base en toda la evidencia que tiene disponible, fundamentado en la intuicin, opiniones, creencias personales y otra informacin indirecta.Este enfoque no depende de la repetitividad de ningn evento y permite calcular la probabilidad de sucesos nicos y se da el caso de que ocurra o no esa nica vez. Debido a que el valor de la probabilidad es un juicio personal, al enfoque subjetivo se le denomina tambin enfoque personalista.

d) Clasificacin de la probabilidad segn su usoExisten dos tipos de probabilidad: la probabilidad clsica, tambin llamada terica o matemtica, y la probabilidad frecuencia o emprica. La probabilidad clsica o terica se aplica cuando cada evento simple del espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir. Frmula para obtener la probabilidad clsica o terica: Probabilidad de un evento = Numero de resultados favorables al evento/Nmero total de resultados posibles. En smbolos: P(E) = n(E)/n(S). La probabilidad frecuencia se obtiene cuando se experimenta un gran nmero de veces el mismo fenmeno en condiciones semejantes. Frmula de la probabilidad frecuencia o emprica: Probabilidad Frecuencia = Numero de aciertos / nmero de experimentos. Empleando smbolos: P(E) = f /ne) Terminologa empleada en probabilidad.DIAGRAMA DE ARBOL. Dispositivo grfico til para definir puntos maestrales de un experimento donde se presentan varias etapas.DIAGRAMA DE DISPERSIN. Mtodo grfico para mostrar la relacin entre dos variables cuantitativas. Una variable se representa sobre el eje horizontal y la otra sobre el eje vertical.PROBABILIDAD. Es el nmero de posibilidades que hay de que un fenmeno suceda o no suceda.EVENTO. Uno o ms de los posibles resultados al hacer algo, o bien uno de los posibles resultados que se producen al efectuar un experimento.EVENTOS INDEPENDIENTES. Dos eventos son independientes si la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro.EVENTOS DEPENDIENTES. Dos eventos son dependientes si la ocurrencia de un evento si tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro.EXPERIMENTO. Cualquier proceso que genere resultados bien definidos, que se representan por EiPERMUTACIONES. Tcnica de conteo. Se utiliza para obtener el nmero de posibles arreglos resultantes de un conjunto de elementos, considerando la importancia o jerarqua.COMBINACIONES. Tcnica de conteo. Cuando el orden de cualquier conjunto de elementos no importa.

f) Como define la ley de los grandes nmeros.La ley de los grandes nmeros nos dice que la frecuencia relativa de las obtenciones de un experimento de carcter aleatorio se estabiliza en un nmero que coincide con la probabilidad, cuando el experimento se realiza muchas veces.Teniendo en cuenta que la frecuencia relativa es la proporcin de veces que ocurre un determinado suceso o, lo que es lo mismo, la cantidad de veces que sale un nico suceso entre el nmero de veces que se ha realizado el experimento, podemos afirmar que la razn por la cual se estabiliza la frecuencia relativa es porque al ser el denominador cada vez ms grande, al cociente le afectan cada vez menos las oscilaciones del numerador.Dentro de la ley de los grandes nmeros podemos encontrar laLey Dbily laLey Fuerte. La Ley Dbil:esta ley asegura que en muchas situaciones, la media aritmtica denvariables aleatorias se aproxima a un lmite de la probabilidad de E[X].Esta ley se cumple si en una sucesin de variables aleatorias (Xn), {Xn -E[Xn]} se aproxima al lmite de probabilidad 0. La Ley Fuerte:esta ley afianza la ley dbil, puesto que se va a establecer la convergencia con probabilidad 1 en vez, solamente, convergencia en probabilidad.De todo esto, podemos concluir la ley de los grandes nmeros en la siguiente ''frmula'':Lm fr(S) =P[S] Cuando N tiende a infinito.

g) Dentro de la probabilidad, a qu se llama experimento y a que resultado?

Cuando trabajamos con probabilidad, una accin aleatoria o serie de acciones se llamaexperimento.Unresultadoes la consecuencia de un experimento, y uneventoes una coleccin particular de resultados. Los eventosh) Dentro de la probabilidad, a qu se llama experimento y a que resultado?

Cuando trabajamos con probabilidad, una accin aleatoria o serie de acciones se llamaexperimento. Unresultadoes la consecuencia de un experimento, y uneventoes una coleccin particular de resultados. Los eventos usualmente son descritos usando una caracterstica comn de los resultados.I) A que se le llama espacio muestral.Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria.J) Que es un evento de acuerdo con la probabilidadEs cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatorio.K) Que son eventos: igualmente probables, dependientes, complementarios, compuestos. Eventos IndependientesDos o ms eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso tpico de eventos independiente es el muestreo con reposicin, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la poblacin donde se obtuvo.Ejemplo:Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento. Eventos dependientes Dos o ms eventos sern dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado.La expresin P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A s el evento B ya ocurri.Se debe tener claro que A|B no es una fraccin.P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A) ComplementarioDos eventos se denominan complementarios cuando su unin da el espacio muestral y su interseccin es vaca. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1.Se denomina Ac al evento complementario del evento A. Por ejemplo, la probabilidad de obtener un mltiplo de 3 al tirar un dado es , y la probabilidad de no obtener un mltiplo de 3 ser de. CompuestoEvento que incluye dos o ms eventos independientes.Un ejemplo es el evento de obtener el mismo lado (la misma cara) al lanzar dos veces una moneda. El resultado del primer lanzamiento no afecta al segundo resultado. Es necesario considerar ambos resultados para determinar el resultado final. Eventos no excluyentes Sacar un 5 y una carta de espadas. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar un 5 de espadas. Sacar una carta roja y una carta de corazones. Son eventos no excluyentes pues las cartas de corazones son uno de los palos rojos. Sacar un 9 y una carta negra. Son eventos no excluyentes pues podemos tomar el 9 de espadas o el 9 de trboles. Para los tres ejemplos es posible encontrar por lo menos una carta que hace posible que los dos eventos ocurran a la vez.Eventos mutuamente excluyentes Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas. Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra. Sacar una carta de trboles roja. Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de trboles son exclusivamente negras. No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez. Eventos Independientes y DependientesL) Que son eventos mutuamente excluyentes.Dos o ms eventos son mutuamente excluyentes, si no pueden ocurrir simultneamente.Es decir, la ocurrencia de un evento impide automticamente la ocurrencia del otro evento (o eventos). Adems el ejemplo de la moneda (si sale cara, no puede salir cruz a la vez), tambin se aplica al del dado: en este caso que ocurra un evento (que el dado caiga mostrando el 1) impide automticamente que ocurran otros 5 eventos (que salgan el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6)

m) Que es un evento independiente:Evento cuyo resultado no tiene que ver con el resultado de otro(s) evento(s). En estadstica es cuando la ocurrencia o no del mismo no tiene efecto sobre (y no es afectado por) la ocurrencia de otro evento.La principal caracterstica de una situacin con eventos independientes es que el estado original de la situacin no cambia cuando ocurre un evento. Existen dos maneras de que esto suceda:Los eventos independientes ocurren ya sea cuando:El proceso que genera el elemento aleatorio no elimina ningn posible resultado oEl proceso que s elimina un posible resultado, pero el resultado es sustituido antes de que suceda una segunda accin. (A esto se le llama sacar unreemplazo.)

Por ejemplo, el resultado de lanzar una moneda, y que caiga de cualquier lado, no depende del resultado de ninguno de los lanzamientos anteriores. Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente.Otro ejemplo podra ser el lanzamiento de un dado. En la primera oportunidad puede salir un nmero del 1 al 6, y en el segundo lanzamiento tambin puede salir un nmero del 1 al 6 sin importar cul fue el resultado del evento anterior.Eventos IndependientesDEFINICIN. Independencia para dos eventosSeaydos eventos. Se dice queyindependientessi

Siyno son independientes se dice que ellos sondependientes.

NOTAS1.Con la anterior definicin, si A y B son independientes, la probabilidad de B dado que ya ocurri A es:

2.La probabilidad de A dado que ya ocurri B es:

DEFINICIN. Eventos mutuamente independientesLoseventossonMutuamente independientessi las las siguientesrelaciones se tienen

EjemploSe sacan tres cartas de un juego en sucesin, sin reemplazo, de un paquete ordinario. Encuentre la probabilidad de que se presente, dondees el evento de que la primera carta sea un as rojo,que la segunda carta sea un 10 o una jota yque la tercera carta es mayor que 3 y menor que 7.

As, la probabilidad de que al sacar tres cartas de una baraja, la primera carta sea un as rojo, la segunda carta sea un 10 o jota y la tercera carta sea mayor que 3 y menor que 7 es de 0.0014 o 0.14%.

n) Que importancia tienen los diagramas de Venn Euler en la probabilidadLos diagramas de Venn Euler son ilustraciones usadas en las ramas de las matemticas conocida como teora de conjuntos.Adems se usan para mostrar grficamente la relacin matemtica o lgicas entre diferentes grupos (conjuntos) representando cada conjunto por medio de crculos. La forma en que estos crculos se relacionan o se interponen entre si muestran todas las posibles relaciones lgicas entre estos.La importancia y el empleo de los diagramas de Venn Euler en la probabilidad actualmente se utilizan para Ensear las matematicas elementales y reducir la lgica y la Teora de conjuntos al clculo simbolico.Otra importancia de este diagrama es que se suelen usar de 2 o 3 conjuntos como herramienta de sintesis para ayudar a comparar y contrastar elementos en las que se pueden incluir sus caracteristicas como lo son la union, interseccion, etc.Con ayuda de los diagramas de Venn podemos dar los primeros pasos para la comprensin del clculo de probabilidades de distintos sucesos de un espacio muestral. Elsiguiente geogebrase ha realizado con dicho propsito. En l trabajaremos en trminos de porcentajes y en caso de querer calcular probabilidades slo habr que dividir entre cien los resultados obtenidos. Para trabajar estos conceptos se puede proponer un ejercicio similar al siguiente.En una ciudad se publican 3 revistas sobre tecnologa y videojuegos A, B y C. Mediante una encuesta se estima que el 30% lee la revista A, el 20% la revista B, el 15% lee la C, el 10% lee A y B, el 6% lee A y C, el 5% lee B y C, y el 3% lee las tres revistas. Qu porcentaje lee al menos dos revistas? Qu porcentaje lee solo una revista? Qu porcentaje no lee ninguna revista? Qu porcentaje lee A pero no B?En primer lugar introduciremos los datos que nos dan en el ejercicio tal y como aparece en el Geogebra al que puedes acceder pinchando en la imagen y obtendremos interactivamente los distintos valores del diagrama de Venn:

Una vez se tienen los datos en el diagrama de Venn y se entiende su significado ser muy fcil contestar las preguntas propuestas:a) Qu porcentaje lee al menos dos revistas? 7+3+3+2=15%b) Qu porcentaje lee solo una revista? 17+8+7=32%c) Qu porcentaje no lee ninguna revista? 53%d) Qu porcentaje lee A pero no B? 17+3=20%

O) Represente la regla de adicin de la probabilidad

La regla de la adicin oregla de la sumaestablece que la probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) si A y B son no excluyentes.Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultnea de los eventos A y B.Loseventos compuestosse generan al aplicar las operaciones bsicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de inters frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones bsicas de los conjuntos tambin son tiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:

Demostracin:Se conoce que

Por otro lado se tiene queEntonces

Regla general de la adicin de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentesSi A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes, es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez (al mismotiempo), entonces se aplica la siguiente regla para calcular dichaprobabilidad:

El espacio muestral (S) corresponde al conjuntouniversoen lateorade conjuntosEjemplos ilustrativos0) Sea A el suceso de sacar un As de una baraja estndar de 52cartasy B sacar unacartaconcoraznrojo. Calcular laprobabilidadde sacar un As o un corazn rojo o ambos en una sola extraccin.

Solucin:A y B son sucesos no mutuamente excluyentes porque puede sacarse el as de corazn rojo.Las probabilidades son:

Reemplazando los anterioresvaloresen la regla general de la adicin de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes se obtiene:

P) Represente la regla de la multiplicacin de la probabilidad.

Regla de MultiplicacinLaregla de la multiplicacinestablece que la probabilidad de ocurrencia de dos o ms eventos estadsticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes.P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.

De la definicin deprobabilidad condicionalse tienen los siguientes resultados al despejarLas relacionesyson casos especiales de la llamadaRegla de la multiplicacin, la cual es til para:Calcular probabilidades de intersecciones de eventoscon base en probabilidades condicionales.Esta regla de manera general se puede expresar como:Seaeventos tales que. Entonces

Ejemplo1.(Inspeccin de Lotes)Un lote contienetems de los cualesson defectuosos. Los tems son seleccionados uno despus del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos tems son seleccionadossin reemplazamiento (Significa que el objeto que se selecciona al azar se deja por fuera del lote). Cul es la probabilidad de que los dos tems seleccionados sean defectuosos?

SolucinSea los eventos

Entonces dos tems seleccionados sern defectuosos, cuando ocurre el eventoque es la interseccin entre los eventosy. De la informacin dada se tiene que:As probabilidad de que los dos tems seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer tem, entonces la probabilidad de que los tres tems seleccionados sean defectuosos es

Q) Como se emplea la tabla de contingencia o mtodo corto de la probabilidad

Enestadsticalastablas de contingenciase emplean para registrar y analizar la relacin entre dos o ms variables, habitualmente de naturalezacualitativa(nominales u ordinales).Un mtodo til para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante lastablas de contingencia.Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.Se dispone de dos variables, la primera el sexo (hombre o mujer) y la segunda recoge si el individuo es zurdo o diestro. Se ha observado esta pareja de variables en una muestra aleatoria de 100 individuos. Se puede emplear una tabla de contingencia para expresar la relacin entre estas dos variables:DiestroZurdoTOTAL

Hombre43952

Mujer44448

TOTAL8713100

Las cifras en la columna de la derecha y en la fila inferior reciben el nombre defrecuencias marginalesy la cifra situada en la esquina inferior derecha es elgran total.La tabla nos permite ver que la proporcin de hombres diestros es aproximadamente igual a la proporcin de mujeres diestras. Sin embargo, ambas proporciones no son idnticas y lasignificacin estadsticade la diferencia entre ellas puede ser evaluada con laprueba de Pearson, supuesto que las cifras de la tabla son una muestra aleatoria de una poblacin. Si la proporcin de individuos en cada columna vara entre las diversas filas y viceversa, se dice que existeasociacinentre las dos variables. Si no existe asociacin se dice que ambas variables sonindependientes.