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ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS SEGUNDA FASE 27/05/2011 PREPARATORIA”IGNACIO RAMIREZ CALZADA” ING. ROBERTO MERCADO DORANTES

2

Triángulos rectángulos

1. Una escalera de 6 metros esta apoyada en el extremo superior de una pared. Si el

ángulo de elevación es de 600, calcula la altura de la pared.

A

h 6metros

C B

2. Calcula el ángulo de depresión de los rayos del Sol cuando un poste de 4.5m proyecta

una sombra de 2m.

A

4.5m

C 2m B

3. La torre Latinoamericana ubicada en la ciudad de México tiene una altura de 182, ¿A

qué distancia debo colocarme de ella para verla con un ángulo de elevación de 076 ?

760

Solución

h=5.196metros

Solución

A=23044’

3

4. Un avión de reconocimiento localiza un barco, a un ángulo de depresión de 400. Si el

avión vuela a 3500 metros de altura, ¿Cuál es la distancia entre el avión y

el barco?

400

3500m

d

5. Se quiere construir una autopista de manera que cada 1000 metros se eleve 85

metros, calcular el ángulo de elevación y la longitud de la carretera en ese tramo.

85 m

1000m

6. Un buque navega 32 km al sur y después 15 km al oeste.

Determinar el rumbo que debe tomar para regresar a su punto de partida.

4

7. Calcular el área del siguiente triángulo rectángulo

35.03 metros

20metros

8. Un barco recorre 205 km con dirección N 560 E; en seguida recorre 813 km en

dirección S340E. ¿Qué distancia debe recorrer el barco para llegar a su punto de

partida y con que ángulo de dirección en relación con su ultima posición?

5

9. Con un alambre de 5.6 metros de longitud se forma un triangulo rectángulo. Se desea

conocer las medidas de sus ángulos internos, si dos lados son exactamente de

2.4metros y 0.7 metros.

10. Durante un aterrizaje el piloto desea pasar 190 metros arriba de un edificio de 11

pisos de altura y tocar tierra a 400 metros más allá del edificio. Obtener el ángulo de

descenso, considerando que cada piso mide 2.5metros de altura.

180 metros

400 metros

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Triángulos oblicuángulos

1. Un terreno de siembra de forma triangular mide 140 m y 130 m de cada lado y el

ángulo opuesto al primer lado es de 500. Calcular el perímetro del terreno.

C

130m 140m

50

A B

c

Para conocer el perímetro necesitamos calcular la medida del tercer lado “c”

Datos

A=500

b=130m

a=140 m

2. Para calcular la distancia entre dos puntos a las orillas de un lago, se establece un

punto P a 100m del punto M; al medir los ángulos resulta que <M=1100 y <P=400.

¿Cuál es la distancia entre los puntos M y Q?

Solución: Se realiza una figura que represente el problema

M

Q 100m

P

Ley de Senos

Solución

P=140+130+181.96

P=451.96

La distancia entre los puntos M y Q es de

128.54m

7

3. Un observador se encuentra en un punto P que dista de dos edificios, 250m y

380m, respectivamente. Si el ángulo formado por los 2 edificios y el observador es

38020`; encuentra la distancia entre los dos edificios.

250m '02038 380m

P

Ley de cosenos

4. Dos aviones parten de una ciudad y sus direcciones forman un ángulo de 74023’.

Después de una hora, uno de ellos se encuentra a 225 km de la ciudad, mientras

que el otro esta a 300 km de esta. ¿Cuál es la distancia entre ambos aviones?

225k '02374 300km

Solución:

La distancia entre los

dos edificios es

240.55m

Solución:

La distancia entre ambos

aviones es de 322.92km

8

5. Resuelve el siguiente triangulo oblicuángulo de acuerdo con los datos

proporcionados.

C

b a

A B

c

20,12,15)

2167,5.11,9)

4.32,2037,2463)

18,3943,2057)

'0

'0'0

'0'0

cbad

Ccac

cCAb

bCBa

Soluciones:

'0'0'0

'0'0

'0

'0

5694,4236,2048)

2466,1446,4.11)

1679,7.47,4.52)

179,7.14,9.20)

CBAd

BAbc

Babb

Acaa

9

Sector circular

1. Determinar la longitud de la circunferencia y el área del circulo de 70 cm. de diámetro.

2. Calcular el radio de una circunferencia de longitud 384cm.

Solución:

LC= 219.91cm,

A= 3848.46 cm2

Solución:

r= 61.11cm

10

3. Calcular el radio de una circunferencia de área 384 cm2

1. La cara externa de una caldera se hace de una placa circular plana; su área es de 40m2. Calcular el diámetro de la caldera.

Solución:

r= 11.05cm

Solución

D= 7.13 cm.

Desarrollo:

Desarrollo:

11

2. Una placa semicircular tiene un diámetro de 3m. Determinar su área y perímetro.

Respuesta

51. Calcular el área de un sector circular de 750, cuyo radio mide 2m

Operaciones:

Desarrollo:

A = 3.53m2

P = 4.71 m

12

52. Calcular el perímetro y área de un sector circular de ángulo central igual a 2700 y radio

de 5cm. (utiliza tu estuche geométrico para representar con una figura las condiciones

del problema)

53. Un limpiador de parabrisas de un automóvil mide 60 cm de largo y el hule mide 40 cm

si al moverse gira un ángulo de 1050;calcular el área que limpia

1050

40cm

54. Un reloj de péndulo tiene una longitud de 40cm. Si el ángulo de oscilación es de 290,

¿Cuánto recorre la lenteja del péndulo?

Operaciones:

Procedimiento:

13

55. ¿Cuál es la longitud del segmento de arco interceptado por un ángulo de 1/3

radianes en un circulo cuyo radio mide 9 pulgadas.

56. Una rueda de automóvil tiene un radio de 11 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones tendrá

que completar para recorrer 200 pies?

Procedimiento:

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Área y perímetros

1. Si un rectángulo tiene base 15cm y área 105cm2 ¿Cuánto mide su altura? A) 7 cm B) 10 cm C) 90 cm D) 15 cm

2. En un triángulo escaleno sus lados son números enteros consecutivos (por ejemplo 6, 7 y 8). Encuentra la medida del lado menor si su perímetro es de 87 cm A) 30 cm B) 13 cm C) 28 cm D) 21 cm

3. Si el área de un cuadrado es 144 cm2. ¿Cuánto miden sus lados? A) 17 cm B) 36 cm C) 14 cm D) 12 cm

4. Se quiere empastar un terreno rectangular que es 10 metros más largo que ancho y su perímetro es de 100 metros. ¿Cuántos metros cuadrados de pasto necesitan comprar para empastarlo? A) 120 m2 B) 900 m2 C) 875 m2 D) 600 m2

5. El perímetro de un triángulo equilátero es 60 cm más grande que la medida de sus lados. ¿Cuánto miden los lados de dicho triángulo? A) 15 cm B) 20 cm C) 30 cm D) 12.5 cm

6. El área de un trapecio es de 64 cm2 su altura es de 8 cm y el de su base mayor 12 cm. ¿Cuánto mide su base menor? Nota: No olvides escribir la respuesta con sus unidades, es decir, dejando un espacio y poniendo: cm

7. Si el perímetro de un cuadrado es 36 cm más grande que uno de sus lados. ¿Cuánto mide su área? A) 144 cm2 B) 81 cm2 C) 36 cm2 D) 121 cm2

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8. Si el área de un triángulo es de 112 cm2 y su base es de 14cm ¿cuánto mide su altura? A) 20 cm B) 8 cm C) 7 cm D) 16 cm

9. Si el perímetro de un rombo es de 48 cm ¿cuánto miden sus lados? Nota: No olvides escribir la respuesta con sus unidades, es decir, dejando un espacio y poniendo: cm

10. Si el perímetro de un cuadrado mide 20 cm. ¿Cuánto mide su área? A) 5 cm B) 25 cm2 C) 16 cm2 D) 400 cm2

1. "Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo de los

animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 50 m. de largo y 20 m. de ancho": ¿cuántos metros de alambre necesita?

2. "La señora María vive en una casa de un piso que tiene 72 m2 construidos."¿Qué

superficie es mayor: la de tu sala de clases o la de la casa de la señora María? ¿Cuántos metros cuadrados tienen de diferencia, aproximadamente?

3. En una escuela han organizado una campaña de invierno de confección de

frazadas a partir de cuadrados de lana de 20 cm por 20 cm. Si desean hacer

frazadas que midan 2 metros de largo y 1 metro 60 cm de ancho: ¿Cuántos

cuadrados de lana se necesitan para una frazada? Si logran reunir 1.000 cuadrados de lana ¿cuántas frazadas se pueden confeccionar? ¿Sobran cuadrados?

1Hal lar la d iagonal , e l perímetro y e l área de l cuadrado:

Respuestas:

1. A 2.C 3.D 4.D 5.C 6. 4 cm 7.A 8.D 9. 12 cm 10.B

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2. Ha l lar e l per ímetro y e l área de l t rapec io rectángulo:

3. Ha l lar e l per ímetro y e l área de l tr iángulo equi lá tero:

Funciones trigonometricas de arcos

1. Marque en una circunferencia unitaria, los arcos siguientes, partiendo de la posición

normal y determine su arco reducido (utilice colores diferentes)

6.5)

96.3)

84.1)

49.0)

Ud

Uc

Ub

Ua

a) b)

17

c) d)

2. Obtener el valor de las razones trigonométricas de los siguientes arcos de circunferencia

unitaria utilizando calculadora.

a) s = 1.13

b) s = -2.85 c) s = -1.52 d) s = 4.42 e) s = -6.93 f) u = 3

g) u = 2

h) u = 3

4

i) u = 6

7

OBTENCIÒN DEL ARCO DADO EL VALOR DE SU RAZÒN TRIGONOMÈTICA

2. Calcule el valor del número real u tal que u0 radianes, dado el valor de su razón

trigonométrica

a) u = 25.0arccos

b) u = 15.2arctan

c) u = 74.0arcsen d) u = arc sec 2.36 e) u = arc cot 3.15

f) u = 12.5cscarc

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3. Calcule el valor del número real u, para los casos siguientes. Considere que 20 u

radianes

a) ,2254.0senu si u CI

b) .468.0cosu si u CII

c) ,567.3tanu si u CII

d) ,7893.2cscu si u CII

e) ,2346.4secu si u CIV

f) ,674.1cotu (obtenga las dos soluciones)

g) ,866.0cosu (obtenga las dos soluciones)

4. Traza los siguientes arcos en diferentes circunferencias unitarias, y obtén su arco reducido en cada caso. Indica el cuadrante al que pertenecen.

a) 45.0u

b) 57.1u

c) 24.2u

Soluciones (1)

Razones trigonométricas

de un arco

(a)

(b)

(c )

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

senu 0.9044 -0.9987 -0.6026

1.0000 -0.5000

cosu 0.4266. 0.0507 0.7980 0.0000 -0.8660

tanu 2.1197 -19.6695 -0.7551

0.5773

cotu 0.4717 -0.0508 -1.3241

0.0000 1.7320

secu 2.3437 19.6949 1.2531 -1.1547

cscu 1.1056 -1.0012 -1.6593

1.0000 -2.0000

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Soluciones 2

(a) (b) (c) (d) (e) (f)

1.3181 0.8330 y 2.3085 0.3073

Soluciòn3

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)

0.2273 1.8441 4.9507 2.6179 y 3.6652

Soluciones 4

(a) (b) (c)

0.45 0.9015

Graficas de funciones trigonometricas

Recorrido de sen y cos

Dominio de la función

cuando crece de sen cos

00 a 900 Crece de o a 1 Decrece de 1 a 0

900 a 1800 Decrece de 1 a 0 Decrece de 0 a -1

1800 a 2700 Decrece de 0 a -1 Crece de -1 a 0

2700 a 3600 Crece de -1a 0 Crece de 0 a 1

1. Grafique las siguientes funciones trigonometricas, escriba su dominio, rango y

principales características.

)3(6)

20;45)

20;3)

20;)

xsenyd

xxsenyc

xsenxyb

xsenxya

20

a)

b)

21

c)

d)

22

2. Grafique las siguientes funciones trigonometricas, escriba su dominio, rango y

principales características.

)3cos(6)

20;4cos5)

20;cos3)

20;cos)

xyd

xxyc

xxyb

xxya

a)

23

b)

24

c)

d)

25

Identidades trigonometricas

1. Reduce la primera expresión a la segunda en cada uno de los siguientes incisos.

Identidades trigonométricas fundamentales

a) Identidades de recíprocos

1.3

1.2

1.1

CotuTanu

SecuCosu

CscuSenu

b) Identidades de división

Senu

CosuCotu

Cosu

SenuTanu

.2

.1

c) Identidades de cuadrados o Pitagóricas

uCscuCot

uSecuTan

uSenuCos

22

22

22

1.3

1.2

1.1

26

1,cotcostansec.5

csc,seccot.4

,tancot.3

sec,csctan.2

tan,sec.1

222

uuuu

uuu

senuuu

uuu

uusenu

Verifica la validez de las siguientes identidades

senu

u

u

senu

uusen

u

uuu

u

u

senuu

senuu

senusenu

u

1

cos

cos1.5

cos1cos1

.4

tan)tan1)(cos1.(3

tan1

tan1

cos

cos.2

11

cos.1

2

2

4

222

2

Ecuaciones trigonométricas

Resolver las siguientes ecuaciones para A00 <0360 , ó A0 < 2

0cos2cos.5

0cot.4

02.3

02.2

012.1

2

2

AsenAA

AsenAsenA

senAAsen

AsensenA

senA

Las reducciones se dejan a cargo del

estudiante

Soluciones

1. Identidad

2. No es una identidad

3. Identidad

Los ejercicios 4 y 5 se dejan a

cargo del estudiante

Soluciones:

0000

00

00

270,150,90,30,5

4

5,

4.4

180,0.3

6

11,

6

7,,0.2

150,30.1