Libro de Cónicas

8/3/2019 Libro de Cnicas

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Las Conicas

Prof. Eduardo Mena Caravaca

Bachillerato

CEMATH


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Indice general

1. Lugares geometricos 2

1.1. Busqueda de relaciones entre la abscisa y la ordenada de un punto del plano . . . . . . . . 2

1.2. Las conicas como lugares geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Ecuaciones de las conicas 6

2.1. Cambio de sistema de referencia mediante una traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2. Ecuacion canonica de las conicas centrada en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Ecuacion canonica de una conica no centrada en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4. Ecuacion general de una conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Problemas 13

3.1. Circunferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2. Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3. Hiperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4. Parabolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1


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Captulo 1

Lugares geometricos

1.1. Busqueda de relaciones entre la abscisa y la ordenada de

un punto del plano

Definicion 1 Un lugar geometrico del plano R2 son todos los puntos P(x, y) R2 que cumplen ciertascondiciones. Viene expresado por una igualdad que relaciona la x y la y de un punto generico P(x, y)

Ejemplo 1 Hallar el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A(1, 0) yB(3, 2)

Solucion

Expresamos la relacion con la condicion impuesta. Sea P(x, y) los puntos que cumplen la condicion:

d(P, A) = d(P, B)

(x + 1)2 + y2 =

(x 3)2 + (y 2)2

Elevando al cuadrado y desarrollando, nos queda:

(x + 1)2 + y2 = (x 3)2 + (y 2)2

x2 + 1 + 2x + y1 = x2 + 9 6x + y2 + 4 4y 8x + 4y 12 = 0 2x + y 3 = 0

Obtenemos la ecuacion de una recta, que por definicion del lugar geometrico, es la mediatriz delsegmento AB

2


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CEMATH Las conicas 3

Problema 1 De un triangulo ABC se conocen los vertices A(4, 2), B(2, 6) y su area que es 10 u2.Hallar el lugar geometrico del vertice C

Solucion

Sea C(x, y) los puntos que cumplen la condicion impuesta:

1

2d(A, B)d(C, r) = 10 (1.1)

Siendo r la recta que pasa por A y B.

x

4

2 =y

2

4 r 2x + y 10 = 0

Sustituyendo en (1.1)1

2

(2)2 + 42 |2x + y 10|

22 + 12= 10

1

2

20 |2x + y 10|

5= 10

|2x + y 10| = 10

2x + y 10 = 10 2x + y = 02x + y 10 = 10 2x + y 20 = 0

Obtenemos dos soluciones la recta r 2x + y = 0 y la recta s 2x + y 20 = 0

Figura 1.1:

Problema 2 Sobre la recta r 3x + y 6 = 0 se mueve un segmento AB de longitud 5. Hallar ellugar geometrico del baricentro del triangulo OAB

Solucion

Los puntos A y B pertenecen a la recta r. Escribimos la recta r en forma parametrica, siendo (2, 0) ry vr = (1, 3):

x = 2 + y = 3


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El punto A lo podemos escribir como A(2 + , 3) y B como B(2 + , 3). Las coordenadas delbaricentro son:

x =

0 + 2 + + 2 +

3=

4 + +

3

y =0 + 3 + 3

3= +

(1.2)

Eliminamos en (1.2) los parametros, para obtener la relacion entre x e y

= y x = 4 + y + 3

x = 4 + y3

y = 3x 4

Que es la ecuacion (una recta) del lugar geometrico del baricentro del triangulo OAB

1.2. Las conicas como lugares geometricos

Definicion 2 La circunferencia es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de un

punto llamado centro.

d(P, O) = r

Definicion 3 La elipse es el lugar geometrico de los puntos del plano cuya suma de distancia a dos

puntos fijos llamados focos, es constante.

d(P, F1) + d(P, F2) = k


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Definicion 4 La hiperbola es el lugar geometrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias

a dos puntos fijos llamados focos, es constante.

d(P, F2) d(P, F1) = k

Definicion 5 La parabola es el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de un punto

llamado foco y de una recta llamada directriz.

d(P, F) = d(P, d)


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Captulo 2

Ecuaciones de las conicas

2.1. Cambio de sistema de referencia mediante una traslacion

Consideremos un punto P en el plano. Tomamos el sistema de referencia canonico OX Y formadopor el origen (0, 0) y los vectores i = (1, 0) y j = (0, 1). Respecto de ese sistema el punto P tiene de

coordenadas (x, y) que corresponde a las coordenadas del vector de posicion OP. Trasladamos el origenO(0, 0) mediante el vector v = (x0, y0) al punto C = O + v = (x0, y0) y formamos un nuevo sistema de

referencia {C,i,j}, donde el punto P tiene de coordenadas (x

, y

) Observamos la Fig:2.1 y vemos que:

Figura 2.1:

OP = v + CP (x, y) = (x0, y0) + (x, y)

x = x0 + x

y = y0 + y

Que son las ecuaciones que relacionan las coordenadas de P mediante una traslacion del origen.

Tambien podemos obtener nuevos sistemas de referencia haciendo un giro, pero esa isometra no laestuadiamos en bachillerato. Esas ecuaciones que relacionan las coordenadas mediante una traslacion, nosreduce el problemas de obtener las ecuaciones de la c onica para aquellas que estan centrada en el origen.

6


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2.2. Ecuacion canonica de las conicas centrada en el origen.

ECUACION de la CIRCUNFERENCIA

d(P, O) = rx2 + y2 = r x2 + y2 = r2

ECUACION de la ELIPSE

d(P, F1) + d(P, F2) = k

Llamamos a al semieje mayor, b al semieje menor y c a la semidistancia focal. Los focos tienen decoordenadas F1(c, 0) y F2(c, 0)

Deducimos alguna relaciones importante:

d(A1, F1) + d(A1, F2) = k d(A1, F1) + d(A1, F2) = 2a k = 2a

d(B1, F1) + d(B1, F2) = 2a 2d(B1, F1) = 2a d(B1, F1) = aa2 = b2 + c2

Escribimos la ecuacion de la elipse:

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a(x c)2 + y2 +

(x + c)2 + y2 = 2a


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(x c)2 + y2

2=

2a

(x + c)2 + y22

(x c)2 + y2 = 4a2 4a

(x + c)2 + y2 + (x + c)2 + y2

4a

(x + c)2 + y2 = 4cx + 4a2 a

(x + c)2 + y2 = cx + a2

a2[(x + c)2 + y2] = c2x2 + a4 + 2ca2x

a2x2 + a2c2 + 2a2cx + a2y2 = c2x2 + a4 + 2ca2x

(a2 c2)x2 + a2y2 = a4 a2c2

(a2 c2)x2 + a2y2 = a2(a2 c2)

b2x2 + a2y2 = a2b2 b2x2

a2b2 +a2y2

a2b2 = 1

x2

a2+

y2

b2= 1

ECUACION de la HIPERBOLA

d(P, F2) d(P, F1) = k

Llamamos a al semieje real, b al semieje imaginario y c a la semidistancia focal. Los focos tienen decoordenadas F1(c, 0) y F2(c, 0)

Deducimos alguna relaciones importante:

d(A1, F2) d(A1, F1) = k d(A1, F2) d(A1, F1) = 2a k = 2a

d(B1, A1) = c

c2 = a2 + b2

Escribimos la ecuacion de la hiperbola:

d(P, F2) d(P, F1) = 2a

(x + c)2 + y2

(x c)2 + y2 = 2a


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(x + c)2 + y2

2=

2a +

(x c)2 + y22

(x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a

(x c)2 + y2 + (x c)2 + y2

4cx 4a2 = 4a

(x c)2 + y2 cx a2 = a

(x c)2 + y2c2x2 + a4 2ca2x = a2[(x c)2 + y2]

c2x2 + a4 2ca2x = a2x2 + a2c2 2a2cx + a2y2(c2 a2)x2 a2y2 = a2c2 a4

(c2 a2)x2 a2y2 = a2(c2 a2)

b2x2

a2y2 = a2b2

b2x2

a2

b2

a2y2

a2

b2

= 1

x2

a2 y

2

b2= 1

ECUACION de la PARABOLA

d(P, F) = d(P, d)

V(0, 0) es el vertice y el parametro p es la distancia del foco F

0,p

2

a la directriz y = p

2

Conceptos importante:

d(F, V) = d(V, d) =p

2

La recta que pasa por el foco y el vertice se llama eje de la parabola y es perpendicular a la directriz.

Escribimos la ecuacion de la parabola:

d(P, F) = d(P, d)x2 + (y p

2)2 =

y + p2

02 + 12x2 + (y p

2)22

=

y +p

2

2x2 +

y p

2

2= y2 +py +

p2

2x2 + y2 py +

p2

2= y2 +py +

p2

2x2 = 2py


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2.3. Ecuacion canonica de una conica no centrada en el origen

Consideremos la conica que aparece en la Fig (2.2) cuyo centro es el punto C(x0, y0).

Figura 2.2:

La ecuacion de esta conica referida al sistema de referencia {C,i,j} cuyos ejes de coordenadas sonCX y CY es:

(x)2

a2+

(y)2

b2= 1

Si queremos obtener su ecuacion referida al sistema

{O,i,j

}sabemos que mediante la traslacion, las

coordenadas de P estan relacionadas por las ecuaciones:x = x0 + x

x = x x0y = y0 + y

y = y y0

Y obtenemos:(x x0)2

a2+

(y y0)2b2

= 1

De esta forma la ecuacion canonica de las conicas no centrada en el origen, quedara:

CIRCUNFERENCIA

(x x0)2

+ (y y0)2

= r2

ELIPSE(x x0)2

a2+

(y y0)2b2

= 1

HIPERBOLA(x x0)2

a2 (y y0)

2

b2= 1

PARABOLA

(x x0)2 = 2p(y y0) vertice V(x0, y0)


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2.4. Ecuacion general de una conica

Si en la ecuacion canonica de una conica, desarrollamos los cuadrados, quitamos denominadores eigualamos a cero, obtenemos una expresion del tipo:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0

A la que llamamos ecuacion general de una conica con ejes paralelos a los ejes de coordenadas OXy OY. Esta es la forma mas c omoda de expresar una conica, pero la menos explcita, ya que no expresasus elementos. Para obtener sus elementos tenemos que completar cuadrados y obtener su ecuacioncanonica.

Ejemplo 2 Clasifica la conica 9x2 4y2 + 18x + 16y 43 = 0, calcula sus elementos y representala.

Solucion

Completamos cuadrados:

9x2 + 18x = 9(x2 + 2x) = 9[(x + 1)2 1] = 9(x + 1)2 94y2 + 16y = 4(y2 4y) = 4[(y 2)2 4] = 4(y 2)2 + 16

Sustituyendo, nos queda:

9(x + 1)2 9 4(y 2)2 + 16 43 = 09(x + 1)2 4(y 2)2 = 36

(x + 1)2

4 (y 2)

2

9= 1

Centro

C(1, 2)Semiejes

Como el signo de la x2 es positivo, el semieje real es paralelo al eje OX y su valor es a2 = 4 a = 2y el semieje imaginario es b2 = 9

b = 3

Vertices

A1(1 + 2, 2) = (1, 2) A2(1 2, 2) = (3, 2) B1(1, 2 + 3) = (1, 5) B2(1, 2 3) = (1, 1)

Semidistancia focal

c2 = a2 + b2 c2 = 22 + 32 = 13 c =

13

Focos (Situados en el eje real)

F1(1 +

13, 2) F2(1

13, 2)


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Asntotas (rectas que pasan por el centro y de pendiente m = ba

)

y 2 = 32

(x + 1) 3x + 2y 1 = 0; y 2 = 32

(x + 1) 3x 2y + 7 = 0

Excentricidad

e =c

a=

13

2

Representacion grafica


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Captulo 3

Problemas

3.1. Circunferencias

Problema 3 Hallar la ecuacion de una circunferencia que pasa por los puntos A(1, 2), B(1, 2) yC(0, 2).

Solucion

El centro lo obtenemos como la interseccion de las mediatrices de los segmentos AB y BC.

Mediatriz de AB

Punto medio de AB M(0, 0). Vector director de AB, v = (2, 4)

Luego la ecuacion de la mediatriz es y = 12

x

Mediatriz de BC

Punto medio de BC N12

, 2. Vector director de BC, u = (1, 0)Luego la ecuacion de la mediatriz es x =

1

2

El centro viene dado por solucion del sistema:

y = 12

x y = 14

x =1

2

C

1

2, 1

4

13


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El radio es la distancia del centro a uno de los puntos por donde pasa:

r = d(C, C) =

1

2

2+

9

4

2=

85

4

La ecuacion de la circunferencia es:x 1

2

2+

y +

1

4

2=

85

16

Problema 4 Hallar la ecuacion de una circunferencia que pasa por los puntos A(1, 0), B(3, 2) y sucentro esta en la recta r 3x y + 3 = 0.

Solucion

El centro lo obtenemos como la interseccion de las mediatriz del segmento AB con la recta r.

Mediatriz de AB

Punto medio de AB M(1, 1). Vector director de AB, v = (4, 2)

Luego la ecuacion de la mediatriz es y 1 = 2(x 1) y = 2x + 3 El centro viene dado porsolucion del sistema:

y = 2x + 33x

y + 3 = 0

3x + 2x

3 + 3 = 0

x = 0

y = 3

C(0, 3)

El radio es la distancia del centro a uno de los puntos por donde pasa:

r = d(A, C) =

12 + 32 =

10

La ecuacion de la circunferencia es:

x2 + (y 3)2 = 10


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Problema 5 Hallar la ecuacion de una circunferencia cuyo centro es el punto A(1, 0), y es tangentea la recta r 3x + 4y 7 = 0.

Solucion

Conocemos el centro, tenemos que calcular el radio. Como la recta r es tangente, el radio que une elcentro con el punto de tangencia es perpendicular a la tangente, por tanto, el radio es la distancia delcentro a la recta tangente.

Radio de la circunferencia.

r = d(A, r) =|3(1) + 0 7|

32 + 42= 2

La ecuacion de la circunferencia es:

(x + 1)

2

+ y

2

= 4

Problema 6 Calcular la ecuacion de la recta que pasa por P(3, 4) y es tangente a la circunferenciax2 + y2 4x 2y + 1 = 0.

Solucion

Completamos cuadrado para hallar el centro y el radio de la circunferencia.

x2 4x = (x 2)2 4


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y2 2y = (y 1)2 1

Sustituyendo, nos queda:(x 2)2 4 + (y 1)2 1 + 1 = 0

(x 2)2 + (y 1)2 = 22

Radio de la circunferencia r = 2 y centro C(2, 1)

Por el punto P(3, 4) pasan infinitas rectas y su ecuacion es y 4 = m(x 3), siendo m la pendiente.Puesta en forma general es s mx y + 4 3m = 0

Para calcular m le imponemos la condicion de que d(C, s) = r

Luego:|2m 1 + 4 3m|

m2 + (1)2 = 2 |3 m| = 2

m2 + 1

Elevando al cuadrado, nos queda:

|3 m|2 = 4(m2 + 1) 9 + m2 6m = 4m2 + 4 0 = 3m2 + 6m 5

Cuyas soluciones son:

m =6 6

2 4 3 (5)

6

=6 96

6

=3 26

3

=

1

2

3

6

Las rectas solucion del problema son:

y =

1 2

3

6

(x 3) + 4 y =

1 + 2

3

6

(x 3) + 4

Problema 7 Calcular la ecuacion de la circunferencia inscrita al triangulo de vertices A(0, 3) B(1, 4)y C(3, 2).

Solucion

El centro de la circunferencia inscrita es el incentro y se obtiene hallando la interseccion de dosbisectrices interiores del triangulo. Para ello, calculamos los lados del triangulo.

Lado AB. Vector AB = (1, 1)

x

1=

y 31

x y + 3 = 0

Lado AC. Vector AC = (3, 1)x

3=

y 31 x + 3y 9 = 0


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19/24


3.2. Elipses

Problema 8 Clasifica la conica 9x2 + 4y2 + 18x + 16y 11 = 0, calcula sus elementos y representala.

Solucion


9x2 + 18x = 9(x2 + 2x) = 9[(x + 1)2 1] = 9(x + 1)2 94y2 + 16y = 4(y2 + 4y) = 4[(y + 2)2 4] = 4(y + 2)2 16


9(x + 1)2 9 + 4(y + 2)2 16 11 = 09(x + 1)2 + 4(y + 2)2 = 36

(x + 1)2

4+

(y + 2)2

9= 1

Centro

C(1, 2)

Semiejes Como el semieje mayor esta en el denominador de la y2, el semieje mayor es paralelo al ejeOY y su valor es b2 = 9

b = 3 y el semieje menor es a2 = 4

a = 2

Vertices

A1(1 + 2, 2) = (1, 2) A2(1 2, 2) = (3, 2)B1(1, 2 + 3) = (1, 1) B2(1, 2 3) = (1, 5)

Semidistancia focal

a2 = b2 + c2 c2 = 32 22 = 5 c =

5

Focos (Situados en el eje mayor)

F1(1, 2 +

5) F2(1, 2

5)


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Excentricidad

e =c

b=

5

3

Problema 9 Hallar el lugar geometrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos

P(3, 1) y Q(3, 1) sea 8.

Solucion

Es la definicion de una elipse, cuyos focos son los puntos P y Q y el eje mayor es 2a = 8 a = 4. Elcentro es el punto medio de P y Q, luego C(0, 1) y la semidistancia focal es c = 3

Centro

C(0, 1)

Semiejes

Los focos estan en el eje mayor, luego en nuestro caso, el semieje mayor es paralelo al eje OX y esta enel denominador de la x2, y el semieje menor es b2 = a2

c2 = 42

32 = 7

b =

7

La elipse viene dada por la ecuacion:

x2

16+

(y 1)27

= 1

Su ecuacion general es:

7x2 + 16(y 1)2 = 112 7x2 + 16y2 32y + 16 112 = 0 7x2 + 16y2 32y 96 = 0


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Problema 10 Hallar la ecuacion gerneral de una elipse cuyo centro es el punto P(1, 1) el eje menor,

paralelo al eje OY, mide 6 u y su excentricidad es4

5

.

Solucion

Como el eje menor vale 2b = 6, el semieje es b = 3. Por otra parte la excentricidad viene dada por

e =c

a

Luego resolviendo el sistema:

4

5=

c

a c = 4a

5

a2 = 32 + c2 a2 = 9 +

4a

5

2 9a

2

25= 9 a2 = 25 a = 5

La ecuacion canonica de la elipse viene dada:

(x 1)225

+(y 1)2

9= 1

Y desarrollando obtenemos su ecuacion general:

9(x 1)2 + 25(y 1)2 = 225 9(x2 + 1 2x) + 25(y2 + 1 2y) 225 = 09x2 + 25y2 18x 50y 191 = 0


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3.3. Hiperbolas

Problema 11 Dada la hiperbola 4x2 + y2 + 16x + 2y 19 = 0, calcula sus elementos y representala.

Solucion


4x2 + 16x = 4(x2 4x) = 4[(x 2)2 4] = 4(x 2)2 + 16y2 + 2y = (y + 1)2

1


4(x 2)2 + 16 + (y + 1)2 1 19 = 04(x 2)2 + (y + 1)2 4 = 0

(x 2)2

1+

(y + 1)2

4= 1

Centro

C(2, 1)

Semiejes

Como el signo de la y2 es positivo, el semieje real es paralelo al eje OY y su valor es b2 = 4 b = 2y el semieje imaginario es a2 = 1 a = 1

Vertices

A1(2, 1 + 2) = (2, 1) A2(2, 1 2) = (2, 3) B1(2 1, 1) = (1, 1) B2(2 + 1, 1) = (3, 1)

Semidistancia focal

c2 = a2 + b2 c2 = 12 + 22 = 5 c =

5

Focos (Situados en el eje real)

F1(2, 1 + 5) F2(2, 1 5)

Asntotas (rectas que pasan por el centro y de pendiente m = ba

)

y + 1 = 2(x 2) 2x + y 3 = 0; y + 1 = 2(x 2) 2x y 5 = 0

Excentricidad

e =c

b=

5

2


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3.4. Parabolas

Problema 12 Dada la parabola y2 2y + 4x 7 = 0, calcula sus elementos y representala.

Solucion

Completamos cuadrados:y2 2y = (y 1)2 1

Sustituyendo, nos queda:(y 1)2 1 + 4x 7 = 0

(y 1)2 = 4(x 2)

Parametro

2p = 4 p = 2

VerticeV(2, 1)

Directriz Como aparece la y2 la directriz es paralela al eje OY y a una distanciap

2

= | 1| = 1 delvertice. Como p < 0 la parabola mira a la izquierda.

x = 2 +p

2

= 3Eje El eje es perpendicular a la directriz y pasa por el vertice:

y = 1


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Foco (Situado en el eje de la parabola)

F

2 p

2

, 1 = (1, 1)

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