Limites

12/04/2312/04/23 17:1517:15 Hecho por M.Sc. Jorge Hernández Hecho por M.Sc. Jorge Hernández 11

Límites.Límites.

Universidad Centroccidental Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoLisandro Alvarado

M. Sc. Jorge Hernández. M. Sc. Jorge Hernández.

Jorge Hernandez

12/04/2312/04/23 17:1517:15 Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # Hecho por M.Sc.Jorge Hernandez - Clase # 3030

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III. Límites. Derivadas. III. Límites. Derivadas. ContinuidadContinuidad

1. Límites: Introducción.1. Límites: Introducción.

2. Definición de límites lateral2. Definición de límites lateral

3. Definición de límite.3. Definición de límite.

4. Existencia del límite.4. Existencia del límite.

5. Límites conocidos de funciones no 5. Límites conocidos de funciones no trascendentestrascendentes

6. Ejemplos.6. Ejemplos.

7. Límites de formas indeterminadas.7. Límites de formas indeterminadas.

8. Problemario sugerido.8. Problemario sugerido.

Jorge Hernandez


33

III.1 Límites: Introducción.III.1 Límites: Introducción. La noción de “límite”, como palabra La noción de “límite”, como palabra

ordinariamente usada, la tenemos asociada al ordinariamente usada, la tenemos asociada al significado de frontera, de borde, de separación significado de frontera, de borde, de separación entre objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos entre objetos. Por ejemplo, si pensamos en dos bolas de billar muy cercanas, tanto que parecen bolas de billar muy cercanas, tanto que parecen tocarse (véase figura), el punto del espacio que tocarse (véase figura), el punto del espacio que falta para que las bolas, en realidad se unen, lo falta para que las bolas, en realidad se unen, lo podríamos llamar límite.podríamos llamar límite.


44

III.1 Límites: Introducción.III.1 Límites: Introducción. Similarmente, cuando nos desplazamos sobre Similarmente, cuando nos desplazamos sobre

una línea recta numerada, horizontalmente hasta una línea recta numerada, horizontalmente hasta llegar lo más cercano que podamos al número 2, llegar lo más cercano que podamos al número 2, sin tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos sin tocarlo, el mismo punto al que nos acercamos se convierte en el punto límite.se convierte en el punto límite.


55

III.1 Límites: Introdución.III.1 Límites: Introdución.Nos hacemos una pregunta: ¿Hacia que punto Nos hacemos una pregunta: ¿Hacia que punto o valor numérico se acercan los valores de una o valor numérico se acercan los valores de una función, cuando nos acercamos hacia un función, cuando nos acercamos hacia un determinado valor numérico del dominio de la determinado valor numérico del dominio de la misma? Antes de darle una respuesta a esta misma? Antes de darle una respuesta a esta pregunta, veamos el siguiente gráfico.pregunta, veamos el siguiente gráfico.


66

III. 2 Límites Laterales.III. 2 Límites Laterales.2.1 Definición2.1 Definición: El valor numérico aproximado que : El valor numérico aproximado que

encontramos por medio de las imágenes de las encontramos por medio de las imágenes de las aproximaciones menores que un valor determinado aproximaciones menores que un valor determinado usando la función usando la función f,f, se denomina “ se denomina “límite lateral límite lateral izquierdo de izquierdo de ff cuando cuando xx tiende al valor tiende al valor aa”, y se ”, y se denota pordenota por

Nota:Nota: Este símbolo representa un valor numérico Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir, es un número. El símbolo aproximado, es decir, es un número. El símbolo representa la forma en la cual nos aproximamos representa la forma en la cual nos aproximamos hacia en este caso, el acercamiento es por el lado hacia en este caso, el acercamiento es por el lado izquierdo.izquierdo.

)x(fLimax

ax


77

III. 2 Límites Laterales.III. 2 Límites Laterales.2.2 Definición2.2 Definición: El valor numérico aproximado que : El valor numérico aproximado que

encontramos por medio de las imágenes de las encontramos por medio de las imágenes de las aproximaciones mayores que un valor determinado aproximaciones mayores que un valor determinado usando la función usando la función f,f, se denomina “ se denomina “límite lateral límite lateral derecho de derecho de ff cuando cuando xx tiende al valor tiende al valor aa”, y se ”, y se denota pordenota por

Nota:Nota: Este símbolo representa un valor numérico Este símbolo representa un valor numérico aproximado, es decir, es un número. El símbolo aproximado, es decir, es un número. El símbolo representa la forma en la cual nos aproximamos representa la forma en la cual nos aproximamos hacia en este caso, el acercamiento es por el lado hacia en este caso, el acercamiento es por el lado derecho.derecho.

)x(fLimax

ax


88

III. 3 Definición de Límite.III. 3 Definición de Límite.2.3 Definición: Límite de una función,2.3 Definición: Límite de una función,

El valor numérico único, encontrado cuando El valor numérico único, encontrado cuando xx tiende hacia el valor numérico “a”, por la izquierda tiende hacia el valor numérico “a”, por la izquierda y por la derecha, se denomina “y por la derecha, se denomina “límite de la límite de la función función ff cuando cuando xx tiende a , tiende a , y se denota por y se denota por

Nota:Nota: El símbolo representa la forma en como nos El símbolo representa la forma en como nos aproximamos hacia el valor “aproximamos hacia el valor “aa”; en este caso la ”; en este caso la ausencia de los signos “+” y “-“, indica que ausencia de los signos “+” y “-“, indica que xx se se acerca al valor “acerca al valor “aa” en ambos sentidos, derecha e ” en ambos sentidos, derecha e izquierda.izquierda.

)x(fLimax

ax


99

III. 4. Existencia del límite.III. 4. Existencia del límite.

Teorema:Teorema: El límite de una función El límite de una función ff cuando cuando xx tiende al tiende al

valor numérico “valor numérico “aa”, existe, es decir, es un valor ”, existe, es decir, es un valor numérico numérico LL, si y solo si, si y solo si

)()( xfLimLxfLimaxax


1010

III. 4. Existencia del límite.III. 4. Existencia del límite. En este gráfico se En este gráfico se

observa que las observa que las aproximaciones de la aproximaciones de la función se función se concentran en 4, a concentran en 4, a medida que los medida que los valores de valores de xx se se aproximan a dos por aproximan a dos por el lado izquierdo. el lado izquierdo. Esto quiere decir Esto quiere decir que que

42

2

xLim

x


1111

III. 4. Existencia del límite.III. 4. Existencia del límite.En este gráfico se En este gráfico se observa que los observa que los valores de la función valores de la función se aproximan a 4 en la se aproximan a 4 en la medida que las medida que las aproximaciones de aproximaciones de xx se aproximan a 2. se aproximan a 2. Esto quiere decir que Esto quiere decir que

42

2

xLim

x


1212

III. 4. Existencia del límite.III. 4. Existencia del límite. Usando entonces el teorema de existencia del límite, concluimos que el límite existe y su valor es 4. Podemos escribir entonces que

42

2

xLim

x


1313

III.5 Algunos límites III.5 Algunos límites conocidos.conocidos.

5.1 Función constante5.1 Función constante

5.2 Función identidad5.2 Función identidad

5.3 Función potencial5.3 Función potencial

5.4 Función 5.4 Función polinomialpolinomial

,k)x(f .RakkLim)x(fLimaxax

,

,x)x(f .RaaxLim)x(fLimaxax

,

, )0n(,x)x(f n .RaaxLim)x(fLim nn

axax

,

,cxc..xc)x(f 01n

n

.Racacac)cxc..xc(Lim)x(fLim 01n

n01n

naxax

, ..


1414


5.5 Función Racional5.5 Función Racional

5.6 Función radical5.6 Función radical

si el límite de si el límite de ff existe y existe y nn es impar, ó si el es impar, ó si el límite de límite de ff existe, es positivo y existe, es positivo y n n es par. es par.

, 01

nn

01n

n

dxd..xd

cxc..xc)x(f

Domfadad..ad

cac..ac

dxd..xd

cxc..xcLim)x(fLim

01m

m

01n

n

01m

m

01n

n

axax

,

,)x(f)x(h n nax

n

axax)x(fLim)x(fLim)x(hLim


1515


Función suma:Función suma:

Si existe y existe Si existe y existe entonces, entonces,

Función producto:Función producto:

Si existe y existe Si existe y existe entonces, entonces,

)x(fLimax

)(xgLim

ax

)()())()(( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax

)x(fLimax

)(xgLim

ax

))())((())()(( xgLimxfLimxgxfLimaxaxax


1616


Función cociente:Función cociente: Si y existen, y además Si y existen, y además

entonces entonces

)(

)(

)(

)(

xgLim

xfLim

xg

xfLim

ax

ax

ax

)(xgLimax

)x(fLim

ax

0)(

xgLim

ax


1717

III.6 Ejemplos.III.6 Ejemplos.6.16.1 Sea Encuentre Sea Encuentre

RespuestaRespuesta: : Observamos que la función Observamos que la función ff es un es un polinomio, en consecuencia, usando 5.4 polinomio, en consecuencia, usando 5.4 tenemos:tenemos:

.1x4)x(f 2 ).x(fLim1x

31)1(41x4Lim)x(fLim 22

1x1x


1818

III.6 Ejemplos.III.6 Ejemplos.6.26.2 Sea Encuentre Sea Encuentre

RespuestaRespuesta: : Como podemos ver, Como podemos ver, ff es una función es una función racional; por otra parte, como racional; por otra parte, como a =2 a =2 es un punto es un punto del dominio de del dominio de f,f, entonces podemos usar 5.5, y entonces podemos usar 5.5, y obtener:obtener:

. 3x

x4)x(f

).x(fLim2x

5

2

32

24

3x

x4Lim)x(fLim

2x2x


1919

III. 7. Límites de formas III. 7. Límites de formas indeterminadasindeterminadas

Por una forma indeterminada entendemos: una Por una forma indeterminada entendemos: una división de funciones, donde la función del división de funciones, donde la función del numerador se hace cero para algún valor de numerador se hace cero para algún valor de x x y y la función del denominador se anula en el la función del denominador se anula en el mismo valor de mismo valor de x. x.

En otras palabras, si para algún En otras palabras, si para algún x=a x=a se tiene se tiene que que

donde donde ff y y g g son funciones. son funciones.

0)(

)( 0

ag

af


2020


Ahora, sucede que cuando se requiere tomar Ahora, sucede que cuando se requiere tomar límite a una expresión de esta naturaleza, se límite a una expresión de esta naturaleza, se observa por simple por inspección que el límite observa por simple por inspección que el límite de la función del numerador existe y su valor es de la función del numerador existe y su valor es cero, y similarmente, el límite de la función del cero, y similarmente, el límite de la función del denominador existe y vale cero; en denominador existe y vale cero; en consecuencia, se podría cometer el error de consecuencia, se podría cometer el error de escribir lo siguiente escribir lo siguiente

)(

)(

)(

)(

xgLim

xfLim

xg

xfLim

ax

ax

ax


2121


Para resolver estos límites es necesario aplicar Para resolver estos límites es necesario aplicar algunas técnicas de orden algebraico que nos algunas técnicas de orden algebraico que nos permitan eliminar el término que anula al permitan eliminar el término que anula al denominador, puesto que este precisamente es el denominador, puesto que este precisamente es el factor que contribuye a la división entre cero.factor que contribuye a la división entre cero.

Nosotros solo estudiaremos los casos siguientes:Nosotros solo estudiaremos los casos siguientes:

7.1 División entre polinomios.7.1 División entre polinomios.

7.2 División que contenga raíces pares.7.2 División que contenga raíces pares.


2222


7.1 División entre polinomios:7.1 División entre polinomios:

Consideremos la función Consideremos la función

entonces:entonces:

1. Factorizamos el numerador y el denominador1. Factorizamos el numerador y el denominador

2. Cambiamos la función del numerador y del 2. Cambiamos la función del numerador y del denominador denominador

por sus correspondientes factorizaciones. por sus correspondientes factorizaciones.

3. Simplificamos el cociente de tal manera que 3. Simplificamos el cociente de tal manera que puedan puedan

eliminarse los términos que se anulan.eliminarse los términos que se anulan.

01

01

..

..)(

bxbxb

axaxaxf

mm

nn


2323


44. Procedemos a tomar el límite. Si la . Procedemos a tomar el límite. Si la situación de situación de

división entre cero persiste, entonces el división entre cero persiste, entonces el límite no límite no

existe.existe.

Veamos un ejemplo. Veamos un ejemplo.

Sea la función Sea la función

Encontremos el siguiente límiteEncontremos el siguiente límite

2

4)(

2

x

xxf

)(2

xfLimx


2424


Procedemos así:Procedemos así:

1.1. Factorización del numeradorFactorización del numerador

2.2. Factorización del denominadorFactorización del denominador

3. Reemplazo de las funciones por sus 3. Reemplazo de las funciones por sus factorizacionesfactorizaciones

)2)(2(42 xxx

iónfactorizacnecesita no 2x

.2),2()2(

)2)(2(

2

42

xxx

xx

x

xsi


2525


4.4. Procedemos a tomar el límite:Procedemos a tomar el límite:

Con esto, vemos que en apariencia un límite Con esto, vemos que en apariencia un límite puede no existir, sin embargo usando algunas puede no existir, sin embargo usando algunas técnicas algebraicas encontramos un valor técnicas algebraicas encontramos un valor numérico para este límite.numérico para este límite.

4)2(2

4)(

2

2

22

xLimx

xLimxfLim

xxx


2626


7.2 División entre polinomio y funciones que tengan 7.2 División entre polinomio y funciones que tengan binomios de raíces con índice par, :binomios de raíces con índice par, :

Consideremos la función Consideremos la función

Aquí procedemos así:Aquí procedemos así:

1. Factorizamos el polinomio1. Factorizamos el polinomio

2. Determinamos la conjugada de la expresión con 2. Determinamos la conjugada de la expresión con raícesraíces

3. Sustituimos la factorización3. Sustituimos la factorización

4. Racionalizamos la expresión, es decir, 4. Racionalizamos la expresión, es decir, multiplicamos y multiplicamos y

dividimos por la conjugada.dividimos por la conjugada.

)()(

..)( 01

xqxp

axaxaxf

nn


2727


5. Tomamos el límite después de operar los 5. Tomamos el límite después de operar los resultados resultados

anteriores. Si persiste la situación de anteriores. Si persiste la situación de división entre cero división entre cero

el límite no existe. el límite no existe.

Veamos un ejemplo.Veamos un ejemplo.

Sea la función Sea la función 4

2)(

x

xxf


2828


Procedemos así:Procedemos así:

1.1. Factorizamos la expresión polinomialFactorizamos la expresión polinomial

2.2. Determinación de la conjugadaDeterminación de la conjugada

3.3. Sustitución de la factorización, y Sustitución de la factorización, y racionalizaciónracionalización

22 xx deconjugada la es

ofactorizadesta ya 4x

)2(

1

)2)(4(

)4(

)2)(4(

4)(

2

2

4

2

4

2 2

xxx

x

xx

x

x

x

x

x

x

x


2929


4. Ahora, tomamos límite4. Ahora, tomamos límite

4

1

24

1

)2(

1

4

244

xLim

x

xLim

xx


3030

III. 8. Problemario III. 8. Problemario Sugerido.Sugerido.

Se aconseja realizar todos los ejercicios propuestos en esta Se aconseja realizar todos los ejercicios propuestos en esta sección, de tal manera de adquirir destreza en el manejo de sección, de tal manera de adquirir destreza en el manejo de límites. límites.

Problemario:Problemario:

- Ejercicios del 1 al 30 de la página 466 en el libro de Arya.- Ejercicios del 1 al 30 de la página 466 en el libro de Arya.

- Ejercicios del 37 al 41 de la página 466 en el libro de Arya.- Ejercicios del 37 al 41 de la página 466 en el libro de Arya.

- Ejercicios del 1 al 8 en la página 509 del libro de Tan.- Ejercicios del 1 al 8 en la página 509 del libro de Tan.

- Ejercicios del 23 al 40 de la página 510 del libro de Tan.- Ejercicios del 23 al 40 de la página 510 del libro de Tan.

- Ejercicios del 49 al 62 de la página 511 del libro de Tan.- Ejercicios del 49 al 62 de la página 511 del libro de Tan.

Las soluciones de los ejercicios impares están en la página Las soluciones de los ejercicios impares están en la página 817 del libro de Arya y en las páginas 967 y 968 del libro de 817 del libro de Arya y en las páginas 967 y 968 del libro de Tan.Tan.


3131

Fin de la Presentación.Fin de la Presentación.

Gracias por su atención.Gracias por su atención.

Jorge Hernandez

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