8/17/2019 Lista de Ejercicios Adicional

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MA1004-Álgebra Lineal

Lista de Ejercicios

Recopilada por Javier A. Carvajal Rojas.

Fuente: T. M. Apostol.   Calculus I . España, 1984.

I-2013

1. Dados cuatro vectores no nulos u1, u2, u3, u4  de  Rn

tales que u3 =  u1 + u2y u1  es paralelo a  u4. Demostrar que u3  es paralelo a  u4  si y sólo si  u2  esparalelo a  u4.

2. Si  ABCD  es un cuadrilátero. Demostrar que B +   12

−−→BD  =   1

2

−→AC .

3. Demostrar que para dos vectores u  y  v  de  Rn, se tiene la identidad

u + v2 − u− v2 = 4u · v,y por tanto   u · v   = 0 si y s ólo si u +  v   = u − v. Interpretar esteresultado geométricamente.

4. Demostrar que para dos vectores cualesquiera  u  y  v  de  Rn se tiene

u + v2 + u− v2 = 2u2 + 2v2.¿Qué teorema geométrico acerca de los lados y diagonales de un paralelo-gramo se pueden deducir de esta identidad?

5. Un vector u  de  Rn tiene magnitud o norma 6. Un vector  v  de  Rn tiene lapropiedad de que para todo par de escalares  α,  β   los vectores  αu + βv  y4βu−9αv son ortogonales. Calcular la norma de v  y la norma de 2u + 3v.

6. Tres vectores u,  v  y  w  de  R3 satisfacen las propiedades siguientes:

u = 5 = w,   v = 1,   u− v + w = u + v + w.Si el ángulo que forman  u  y v  es π/8, hallar el que forman  v  y w.

7. Dados tres vectores no nulos u, v , w  de  Rn. Supóngase que el ángulo queforman u  y  w  es igual al que forman  v  y  w. Demostrar que w  es ortogonalal vector vu− uv.

8. Sea θ el ángulo que forman los dos vectores siguientes de Rn:  u = (1, 1,..., 1)y  v  = (1, 2,...,n). Hallar el l ı́mite de  θ  cuando  n −→ +∞. Repita el ejer-cicio con  u  = (2, 4, 6, ..., 2n) y  v  = (1, 3, 5,..., 2n− 1).

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9. Formando el producto escalar de los dos vectores (cosa, sin a) y (cos b, sin b),

deducir la identidad trigonométrica cos(a− b) = cos a cos b + sin a sin b.10. Halle todos los números reales t para las cuales los dos vectores (1+ t, 1−t)

y (1 − t, 1 + t) de  R2 son linealmente independientes.11. En  Rn defina los vectores  u1  = e1,  u2  = e1 +  e2,  u3  = e1 +  e2 +  e3, y aśı

sucesivamente hasta un  =  e1 + e2 + e3 + · · ·+ en. En donde  e1,...,en   sonlos vectores canónicos.

(a) Demostrar que los vectores u1, u2, u3,...,un son linealmente indepen-dientes.

(b) Exprese cada ei como una combinación lineal de los vectores u1,...,un.

(c) Exprese cualquier vector a  = (a1, a2,...,an) de  Rn como una combi-

nación lineal de los vectores  u1,...,un.

12. (a) Demostrar que los tres vectores siguientes de  R3 son linealmente in-dependientes: (

√ 3, 1, 0), (1,

√ 3, 0), (0, 1,

√ 3).

(b) Demostrar que los tres siguientes son dependientes: (√ 

2, 1, 0), (1,√ 

2, 0),(0, 1,

√ 2).

(c) Hallar todos los números reales t  para los cuales los vectores (t, 1, 0),(1, t, 0), (0, 1, t).  son dependientes.

13. Considere los siguientes conjuntos de vectores de  R4. En cada caso, hallarun subconjunto linealmente independiente que contenga el mayor númeroposible de vectores.

(a)

(1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (2, 0,−1, 0).(b)

(1, 1, 1, 1), (1,−1, 1, 1), (1,−1,−1, 1), (1,−1,−1,−1).

(c)

(1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)

.

14. Dados tres vectores linealmente independientes u, v  y  w  de Rn. Demostrarsi son o no son ciertas las proposiciones siguientes.

(a)   u + v,  v + w,  w  + u  son linealmente independientes.

(b)   u− v,  v + w,  w  + u  son linealmente independientes.15. Dados dos vectores linelamente independientes   u   y   v   de   R3. Sea   w   :=

(v × u)− v.(a) Demostrar que u  es ortogonal a  v  + w.

(b) Demostrar que el ángulo θ  que forman  v  y  w  satisface   12

π < θ < π.

(c) Si v = 1 y v × u = 2, calcular la longitud de  w .

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16. Sean  u  = 2ı̂− ˆ  + 2k̂  y  v  = 3ı̂ + 4ˆ  − k̂.(a) Hallar un vector x ∈ R3 tal que u×x =  v. ¿Hay más de una solución?(b) Hallar un vector  x ∈ R3 tal que  u× x =  v  y  u · x = 1. ¿Hay más de

una solución?

En general, dado un vector no nulo  u  y  v  un vector ortogonal a  u, ambosen  R3. Pruebe que existe un sólo vector  x  tal que  u × x =  v  y  u · x = 1.

17. Dados dos vectores no paralelos u   y   v   de  R3 siendo   u · v   = 2, u   = 1,v = 4. Sea w  = 2(u× v)− 3v. Calcular u · (v + w), c, y el coseno delángulo que forman v  y  w .

18. Dados dos vectores ortogonales u, v  de  R3, ambos de norma 1. Sea  w  unvector que satisface la igualdad  w

×v  =  u

−w. Demostrar cada una de

las siguientes proposiciones.

(a)   w  es ortogonal a  v  y tiene longitud   12

√ 2.

(b) (w × v)× v = −w.(c)   w =   1

2u−   1

2

u× v.

19. (a) Hallar todos los vectores  aı̂ + bˆ  + ck̂  que satisfagan la relación

(aı̂ + bˆ  + ck̂) · k̂ × (6ı̂ + 3ˆ  + 4k̂).

(b) Hallar el vector aı̂+bˆ +ck̂ de menor longitud que satisfaga la relaciónde (a).

20. Demuestre la identidad de Jacobi; a saber, pruebe que para u,  v   y  w   enR

3 vale la igualdad

u× (v ×w) + v × (w × u) + w × (u× v) = 0.

21. Demuestre si es o no cierta la fórmula

u× u× (u× v)· w = −u2u · (v × w).

22. Demostrar que el volumen del tetraedro cuyos vértices son  A,  B,  C   y  Des

1

6(B − A) · (C − A)× (D −A).

Calcule dicho volumen cuando  A = (1, 1, 1),  B  = (0, 0, 2),  C  = (0, 3, 0) yD = (4, 0, 0).

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23. La fórmula de Herón para calcular el área S  de un triángulo cuyos lados

tienen longitudes   a,b,c  es  S   = 

s(s− a)(s− b)(s− c), siendo  s  = (a +bc)/2. Este ejemplo esboza una demostración vectorial de ésta fórmula.Supongamos que el triángulo tiene los vértices en O, A  y  B , siendo A =a, B = b, B −C  = c.

(a) Combinar las dos identidades

A×B2 = A2B2−(A·B)2,   −2A·B = A−B2−A2−B2

para obtener la fórmula

4S 2 = a2b2−14

c2−a2−b2

2=

  1

4

2ab−c2+a2+b2

2ab+c2−a2−b2

.

(b) Poner la fórmula de la parte (a) en la forma

S 2 =  1

16

a + b + c

a + b − c

c − a + b

c + a − b

,

y de ah́ı deducir la fórmula de Herón.

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