5.3 Leyes de la lgica Las tautologas son muy importantes en lgica y matemticas. En lo que resta de esta seccin consideraremos ocho tautologas, o leyes de la lgica; el lector debe familiarizarse con ellas de manera que pueda referirse a cada una por su nombre. Estas leyes formarn la base sobre la cual se pueden fundar ciertos mtodos de demostracin que son importantes en lgica y matemticas. Primeramente enumeraremos las ocho tautologas, y luego se considerar y probar cada una de ellas. TAUTOLOGA FORMA SIMBLICA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Tautologa trivial 1. p p Ley de la doble negacin 2. p ~( ~ p ) Ley del medio excluido 3. p V ~ q Razonamiento directo 4. [ (p p q ) 0 p] q Razonamiento indirecto 5. [(p p q) 0 ~ q] ~ p Ley de transitividad 6. [( pp q) 0 (qp r )] (p p r ) Ley de la contrarrecproca 7. ( p p q ) (~ q p ~ p ) Silogismo disyuntivo 8. [ ( p V q) 0 ~ p] q

5.4 La tautologa trivial, p p La tautologa trivial establece que cualquier proposicin es equivalente a s misma. La demostracin se da por medio de una tabla de verdad: p pp TT FT Puesto que la ltima columna contiene solamente valores T, el resultado queda probado. 5.5 Ley de la doble negacin, p ~ ( ~ p ) En el Cap. 2 se demostr que ( p) poda ser reemplazada por p sin afectar los valores de verdad de las proposiciones involucradas. Probaremos ahora la tautologa repitiendo la tabla de verdad de p y ( p) dada en el Cap. 2. p ~ p ~(~ p) p ( ~ p ) TF T T FT F T LEY DE LA DOBLE NEGACIN p m [~ ( ~ p )] EJEMPLO 4 Sea p: Ello es concebible. Ello es concebible. m Ello no es inconcebible. 5.6 Ley del medio excluido, p V (~ p)

Esta tautologa dice que cualquier proposicin es o verdadera o falsa. La demostracin se da por medio de la tabla de verdad siguiente: p p p V (~ p) TFT F TT EJEMPLO 5 Sea p: Alberto es culpable Alberto es culpable, o Alberto no es culpable. LEY DEL MEDIO EXCLUIDO p V (~ p) 5.7 Razonamiento directo, [ (p p q ) 0 p] q Este razonamiento se conoce tambin con el nombre de modus ponens, con el de ley de separacin, o razonamiento de suposicin del antecedente. Dado que esta tautologa a es un poco ms complicada, comenzaremos por considerar el ejemplo siguiente: p p q Si lvaro obtiene la mxima calificacin en el examen final, entonces pasar el curso

p lvaro obtiene la mxima calificacin en el examen final p Por lo tanto lvaro pasa el curso. Recurdese de la geometra que:. es un antiguo smbolo que se emplea para representar la frase por lo tanto. El argumento anterior consta de dos premisas, o hiptesis, y una conclusin. El argumento es vlido si [ (p p q ) 0 p] q es una tautologa. Por medio de la Tabla 12, se puede ver que el argumento resulta vlido.Tabla

12

DEMOSTRACIN DE LA LEY DE RAZONAMIENTO DIRECTO p T T F F q T F T F ppq T F T T (p p q ) 0 p T F F F [ (p p q ) 0 p] q T T T T

El modelo del razonamiento directo es muy importante y se debe memorizar. Se ilustra como sigue. RAZONAMIENTO DIRECTO Premisa mayor: p p q Premisa menor: p

Conclusin: ... p EJEMPLO 6 Si Vctor juega ajedrez, entonces es inteligente. Vctor juega ajedrez.

Por lo tanto, Vctor es inteligente. Si Judith es una persona lgica, entonces entender este ejemplo. Judith es una persona lgica.

Por lo tanto, Judith entiende este ejemplo. Decimos que estos argumentos son vlidos, puesto que se identifican como ejemplos de razonamiento directo. 5.8 Razonamiento indirecto, [(p p q) 0 ( ~ q)] ( ~ p) Este razonamiento tambin se llama modus tollens o razonamiento de negacin del consecuente. El ejemplo que sigue ilustra lo que llamamos razonamiento indirecto. Si lvaro obtiene la mxima calificacin en el examen pp q final, entonces pasa el curso. ~ q lvaro no pasa el curso. ~ p Por lo tanto, lvaro no obtiene la mxima calificacin en el examen final. Se puede razonar como sigue: ~ p debe ser verdadera, ya que si fuera falsa, entonces p sera verdadera; pero sip es verdadera, entonces q es verdadera; esto es imposible debido a la premisa menor. La forma simblica del argumento debe ser memorizada. RAZONAMIENTO Premisa mayor: p p q

INDIRECTO Premisa menor: ~ p Conclusin: ~ p Se puede probar la tautologa considerando la tabla de verdad (vase la Tabla 13). Tabla 13 DEMOSTRACIN DE LA LEY DE RAZONAMIENTO INDIRECTO p T T F F EJEMPLO 7 Si el gato atrapa al ratn, entonces el ratn toma el queso. El ratn no toma el queso. Por lo tanto, el gato no atrapa al ratn. Si lvaro obtiene la mxima calificacin en ese examen, entonces yo soy Napolen. Yo no soy Napolen. Por lo tanto, lvaro no obtiene la mxima calificacin en ese examen. q T F T F ppq T F T T (p p q ) 0 p T F F F [ (p p q ) 0 p] q T T T T

5.9 Ley de transitividad, [( pp q) 0 (qp r )] (p p r ) Esta tautologa nos permite considerar cadenas de razonamiento ms largas y complicadas. La demostracin se deja al lector. LEY DE TRANSITIVIDAD pp q qp r pp r

EJEMPLO 8 Sean p: Linda asiste a clases. q: Linda pasar el curso.r:

Linda se graduar.

Si Linda asiste a clases, entonces pasar el curso. Si Linda pasa el curso, entonces se graduar. Por lo tanto, si Linda asiste a clases, entonces se graduar.

La transitividad se puede extender de manera que queden conectadas en cadena varias proposiciones de la forma si - entonces. Por ejemplo, podramos continuar: Si Linda se grada, entonces obtendr un buen empleo. Si Linda obtiene un buen empleo, entonces se relacionar con personas importantes. Si Linda se relaciona con personas importantes, entonces llegar a ser muy conocida. Por lo tanto, si Linda asiste a clases, entonces llegar a ser muy conocida.

Recurdese el famoso grito del rey en la escena culminante del drama Ricardo III: "Por falta de un clavo se perdi un reino". Aqu se emple este tipo de razonamiento para concluir: "Si pierdo un clavo, entonces perder un reino. 5.10 Ley de la contrarreciproca, ( p p q ) (~ q p ~ p ) En la Secc. 3.2 se demostr que una proposicin poda ser reemplazada siempre por su contrarrecproca sin afectar su veracidad o falsedad. (Los valores de verdad se muestran en la Tabla 8, de la pgina 19). En la siguiente proposicin simblica, podemos reemplazar cualquier elemento de una columna con el correspondiente elemento de la otra columna, y no afectar la veracidad o falsedad del argumento. LEY DE LA CONTRARRECIPROCA (O CONTRAPOSICIN) Columna 1 pp q p p ~q ~ppq Columna 2 ~qp~p qp~p ~qpp

~pp~q

qp p

5.11 Silogismo disyuntivo, [ ( p V q) 0 ~ p] q Supngase que se sabe que p V q es verdadera. Supngase adems, que posteriormente se averigua que p es falsa (esto es p es verdadera). Qu se puede decir acerca de q? Esta pregunta se responde por medio de lo que se llama silogismo disyuntivo. SILOGISMO DISYUNTIVO pVq ~p q Esto se puede probar empleando una tabla de verdad (vase la Tabla 14). Tabla 14 DEMOSTRACIN DEL SILOGISMO DISYUNTIVO p V ~ ( p V q) 0 (~ [ ( p V q) 0 ~ p] q q p) q TTT F F T TFT F F T F TT T T T F TT T T T pq EJEMPLO 9 Sean p: El gran premio se encuentra detrs de la puerta 1. q: El gran premio se encuentra detrs de la puerta 2.

El gran premio se encuentra detrs de la puerta 1 o de la puerta 2. El gran premio no est detrs de la puerta 1. Por lo tanto el gran premio est detrs de la puerta 2.