Lógica Cláica191

L Ó G I C A

C L Á S I C A

DE P R I M E R

B|o R D E N

ESTRATEGIAS

DE DEDUCCIÓN,

FORMALIZ ACIÓN

Y EVALUACIÓN

SEMÁNTICA

José L. Falguera López Concepción Martínez Vidal

L Ó G I C A C L Á S I C A D E P R I M E R O R D E N

estudiantes que se han formado con nosotros en los contenidos de Lógica Clásica de Primer Orden; con ellos hemos ido aprendiendo no pocas cosas relativas a la didáctica de la materia y con frecuen-cia nos han sorprendido con agudas soluciones a determinados pro-blemas o recordándonos lo difícil que a veces resulta hacer com-prensible que determinada respuesta es la correcta. José Luis Falguera inició su formación lógica —cuando realizó su primer año de licenciatura en la Universidad de Salamanca— de la mano de Miguel Ángel Quintanilla, quien le descubrió la utilidad de esta dis-ciplina en el análisis filosófico de determinados problemas. Con-cepción Martínez inició su formación con Rafael Beneyto, quien durante su estancia en la Universidad de Santiago nos hizo gustar a ambos, Concepción y José Luis, de la lógica formal cuando comen-zamos nuestros estudios de Filosofía, manteniendo siempre desde entonces un estrecho contacto académico —bajo su dirección reali-zó su tesis doctoral Concepción Martínez— y amistoso con noso-tros. Paco García Tarancón pasó muchas horas enseñándonos a re-solver ejercicios de deducción y de formalización como los que son objeto de tratamiento en este texto. Nuestros actuales compañeros en el Área de Lógica y Filosofía de la Ciencia han tenido que expli-car en uno u otro momento, como nosotros, Lógica Clásica de Pri-mer Orden: con Juan Vázquez, María Uxía Rivas, Alejandro Sobri-no y Luis Villegas hemos resuelto dudas y dificultades acerca de esta materia cuando surgían, y en ocasiones hemos reflexionado con uno u otro de ellos acerca de algún aspecto de la materia para alcanzar una mayor comprensión de la misma; José Miguel Sagüillo también nos ha ayudado en tales cometidos, pero además ha con-tribuido de manera especial a la realización de este texto leyendo un primer borrador del mismo, detectando errores y erratas, y so-bre todo aportando un sin fin de sugerencias que han supuesto una importante mejora de la obra. Sin la valiosa ayuda técnica de San-tiago Fernández Lanza para con la transcripción del texto, diseño de tablas y figuras y maquetado del manual en el Power Macintosh en el que finalmente fue escrito, así como en la corrección de erra-tas (y a veces de errores), jamás hubiéramos acabado, o cuando me-nos el resultado final habría incorporado muchas más deficiencias de las que ahora encierra. (Ni que decir tiene que de las deficiencias que pueda tener este libro sólo los autores somos responsables.) La Comisión Interministerial de Ciencia y Tecnología del gobierno es-pañol financió el proyecto de manual (DOC96-2415). Marga Pérez Vilariño y Gabriel González Vázquez han tenido que soportar con paciencia nuestra obsesión por realizar este y otros trabajos.

Santiago de Compostela, Mayo de 1998. ]. L. Falguera López—C. Martínez Vidal

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C A P Í T U L O I

PRIMERAS NOCIONES TEÓRICAS

I . l . L Ó G I C A : O B J E T O Y C O N C E P C I O N E S

Los estudios de L Ó G I C A tienen una larga historia que se remonta a la antigüedad griega, pudiendo decirse que su momento fundacio-nal como disciplina tiene lugar con Aristóteles. Esta disciplina des-de sus orígenes ha tenido como objeto fundamental de estudio a los A R G U M E N T O S ; donde por argumento se entiende un conjunto de proposiciones tales que una de ellas, llamada conclusión, se sigue de las otras, llamadas éstas premisas. Ahora bien, en el estudio de los argumentos pueden adoptarse perspectivas muy diferentes. A l -gunas de ellas pueden estar orientadas a analizar los procesos y es-tructuras mentales que subyacen a (y que posibilitan) las formula-ciones lingüísticas de los argumentos. No es esa la aproximación que propia y estrictamente concierne a los estudios de lógica, sino más bien a otra rama del saber: la Psicología. Lo que interesa a los estudios de lógica es analizar los principios y criterios sobre los que se fundamenta la E V A L U A C I Ó N de los argumentos.. Desde este tipo de perspectiva entendemos que los estudios de lógica surgen de una necesidad: la de especificar criterios que nos permitan discernir en-tre "buenos" y "malos" argumentos.1

Una acotación como la que acabamos de establecer del objeto de los estudios de lógica no siempre ha estado clara a lo largo de la historia de la disciplina. De hecho con no poca frecuencia encontra-mos trabajos considerados propios de la disciplina de lógica que re-

1 . Hablar de "buenos" y "malos" argumentos no es deí todo adecuado. De hecho ai avan-zar en el texto se verá que empleamos otras nociones evaluativas que son más apropiadas. En concreto, acerca de los argumentos deductivos diremos que son "válidos" o "no-válidos". Per-mítasenos, no obstante, hablar de "buenos" y "malos" argumentos hasta que no introduzcamos la nociones evaluativas precisas para argumentos deductivos y para argumentos inductivos.

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L Ó G I C A C L Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

cogen planteamientos que estarían más en la línea de lo que antes hemos dicho que son problemas propios de la Psicología.

Además, el que consideremos pertinente la acotación formulada no significa que no existan interrelaciones entre los estudios de una y otra índole (psicología del razonamiento y lógica). Consecuente-mente, no negamos que sean de legítimo interés, e incluso de gran importancia, las investigaciones que se preocupan por dichas rela-ciones. No se trata de rechazar tales tareas. Más bien, lo que debe quedar claro es que, a pesar de las mencionadas relaciones, tiene pleno sentido una disciplina de conocimiento cuya tarea específica sea la del análisis de los principios y criterios que fundamentan la evaluación de los argumentos. Los estudios de lógica conforman, pues, una disciplina autocontenida con una orientación bien deli-mitada, aunque lo suficientemente amplia y abierta como para abarcar muchos y diferentes problemas, así como distintos enfo-ques.

Una vez dicho esto, y sin pretensiones de hacer una prolija in-cursión en la historia de ¡os estudios de lógica, conviene indicar que en la disciplina se ha dado un giro importante a principios del pre-sente siglo X X . Dicho giro permite distinguir entre una concepción tradicional y una concepción moderna de la disciplina. Tal giro se produce por las aportaciones de investigadores como Cantor y Peano, siendo de especial importancia las obras de Frege, Begriffsschrift {Conceptografía) [1879], y de Whitehead y Russell, Principia Mathematica [1910-13]. Como precedente de tal giro en-contramos las aportaciones que, desde mediados del X I X , realiza-ron a los estudios de lógica investigadores con formación matemá-tica como De Morgan, Boole, Schróder, Peirce, ... El giro consiste en relacionar los estudios de lógica con los de Matemáticas, incor-porando a los primeros técnicas consideradas hasta entonces como propias del ámbito de los segundos —obviamente, con anterioridad ambos ámbitos de estudios se consideraban diferentes —.

La nueva línea adoptada en los estudios de lógica los constitu-yen en una C I E N C I A F O R M A L —como lo son también el Álgebra, la Aritmética, la Geometría (no-aplicada), ...—, en contraposición a las ciencias factuales —como la Física, la Química, la Biología, la Sociología, la Psicología,...— y a otras disciplinas que no tienen ca-rácter científico, en un sentido estricto, —como la Metafísica, la Ética, la Filosofía del Lenguaje, la Filología Románica,.. .—, y tam-bién a aquellas que, aunque vinculadas a disciplinas científicas, se caracterizan por ser más bien tecnológicas —como las Ingenierías, la Didáctica, ...—. Este carácter formal de los estudios de lógica puede llevar a pensar que su cometido ya no responde a lo que era el asunto de la concepción tradicional. Dicho con mayor contun-

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P R I M E R A S N O C I O N E S T E Ó R I C A S

dencia: puede conducir a pensar que los estudios contemporáneos de lógica, entendidos como ciencia formal, no tienen nada que ver con aquellos trabajos enmarcados bajo la pauta de la concepción tradicional de la lógica. Nosotros no lo entendemos así. Por el con-trario, consideramos que, aunque la incorporación actual de técni-cas formales introduce problemas específicos debidos a ese carácter formal y conlleva la adopción de un enfoque diferente, el asunto principal de la disciplina ha sido siempre el mismo: los criterios y principios de evaluación de argumentos.

La ventaja de la incorporación de técnicas formales estriba en que los análisis conllevan un mayor rigor y precisión, que han per-mitido logros teóricos importantes y han supuesto un desarrollo es-pectacular de la disciplina a lo largo del siglo X X . Sin embargo, también debe reconocerse que a veces los árboles de las técnicas formales no permiten ver de manera nítida el bosque de los proble-mas de la lógica o dan lugar a mal-concebirlos (especialmente entre quienes hacen incursiones excesivamente periféricas). Además, aun-que la incorporación de técnicas formales a los estudios de lógica da lugar a tratamientos estrictamente matemáticos, éstos no consti-tuyen la totalidad de los estudios de la disciplina, ya que no exclu-yen otro tipo de tratamientos de carácter no-formal. Es más, si es cierto que siempre han sido desarrollados tales tratamientos no-for-males, bien se puede decir que hoy en día están recuperando presti-gio. Claro está que ello no se hace, ni se puede hacer, a costa de desconsiderar los resultados de los tratamientos formales, sino, por el contrario, teniéndolos en cuenta. Entendemos que ambos tipos de tratamientos deben ir de la mano.

Lo dicho justifica que si bien es imprescindible determinada formación matemática para abordar hoy en día los estudios de lógi-ca, también es cierto que dichos estudios no dejan de ser —aunque evidentemente no en exclusiva— un asunto propio de la Filosofía, como desde sus inicios. No pocos avances estrictamente matemáti-cos en el campo de la lógica han estado precedidos de reflexiones y análisis típicamente filosóficos, y viceversa, en muchas ocasiones avances matemáticos en el campo de la lógica han generado refle-xiones y análisis típicamente filosóficos. Y esas reflexiones y análi-sis filosóficos se han dado no sólo en el propio ámbito de la lógica sino también en otros, especialmente en los de la Filosofía del Len-guaje y la Filosofía de la Ciencia.

Las consideraciones del párrafo anterior justifican, en cierta medida, que en este texto, además de preocuparnos por cálculos formales para la Lógica Clásica de Primer Orden y de las estrate-gias de deducción en algunos de esos cálculos, tratemos sobre los procedimientos de formalización de enunciados de un lenguaje na-tural —el castellano— y sobre las intuiciones que subyacen a tales

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estrategias y procedimientos. También justifica que presentemos unos sistemas lógico-formales2 junto con cierta semántica para las expresiones consideradas como lógicas, recogiendo así determina-das intuiciones respecto a los criterios que aseguran la validez de los argumentos expresables en determinada parcela de un lenguaje natural —uno de los lenguajes que los humanos utilizamos en nues-tra vida cotidiana, como el castellano—. Por la misma razón cree-mos conveniente empezar este texto proporcionando de manera in-formal algunas aclaraciones terminológicas sobre expresiones fundamentales en cualquier estudio de lógica que asuma el punto de vista —no restringido al mero cálculo— que hemos defendido.

1.2. A L G U N O S C O N C E P T O S D E L A L Ó G I C A

A l señalar antes cuál es el objeto de los estudios de lógica apareció un concepto fundamental, a saber: A R G U M E N T O . Junto con él tal vez sea oportuno considerar el de A R G U M E N T A C I Ó N . Ambos con-ceptos dan cuenta de entidades de índole diferente, pero que están estrechamente relacionadas entre sí. Por argumento entendemos una entidad conceptual abstracta, mientras que por argumentación entendemos un pasaje lingüístico concreto.3 Conviene pues distin-guir, antes de pasar a explicitar con más detalles estas nociones y otras relacionadas con ellas, los dos planos mencionados: el L I N -

G Ü Í S T I C O y el C O N C E P T U A L . Junto con ellos hemos de mencionar un tercer plano, que diferenciamos de los otros dos, y que en cierta medida juega —si se admite su existencia, como hacen ciertas onto-logías sustantivas— un papel puente entre los otros dos, a saber: el M E N T A L .

Debe resultar claro que el P L A N O L I N G Ü Í S T I C O lo configuran ex-presiones (más o menos complejas) propias de algún lenguaje; mientras que el P L A N O M E N T A L viene dado por los procesos menta-les: procesos (con mayor o menor estructuración y complejidad) que constituyen nuestras formas de pensamiento. No nos interesa considerar en detalle las relaciones entre los planos lingüístico y mental; bástenos con saber que toda expresión lingüística, en cuan-to que utilizada por un sujeto inteligente en su función comunicati-va, puede concebirse acompañada de un proceso mental por el que

2. Hablamos indistintamente de "sistemas lógico-formales" o de "cálculos lógico-forma-

les". 3. Debemos señalar que no hay uniformidad en los textos de lógica al utilizar términos

como "argumento" , "argumentación", y otros relacionados como son "inferencia" y "razona-miento" . Por ello no debe extrañar al lector que la peculiar opción que hemos tomado aquí al presentar las primeras nociones mencionadas no sea totalmente coincidente con la de algún otro texto. En cualquier caso, lo importante es establecer claramente cómo se van a utilizar los térmi-nos a f i n de saber encontrar las correspondencias con los usos fijados en otros lugares.

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se le asocia a la expresión una determinada comprensión de signifi-cado —comprensión adecuada o no con respecto a un contexto so-cio-lingüístico determinado—.

Si hemos hecho mención del plano mental, no es más que por-que nos interesa diferenciarlo (de asumir que existe) del P L A N O

C O N C E P T U A L . Mientras que los (supuestos) procesos mentales sólo están en la mente de cada individuo inteligente (si hay entidades ta-les como las mentes), entendemos que las entidades conceptuales (de cuya existencia no nos cabe duda) son de carácter abstracto y adquieren independencia respecto a los (supuestos) procesos men-tales —o cualquier proceso de carácter subjetivo proporcionador de contenidos cognoscitivos— de uno u otro sujeto inteligente.

Nótese que hemos dicho que las entidades conceptuales adquie-ren independencia, no que sean de por sí independientes. Es decir, no las concebimos como entidades platónicas, existentes por sí mis-mas en un mundo de entidades abstractas. Por el contrario, enten-demos que siempre tienen su origen en la actividad cognoscitiva de algún sujeto inteligente, alcanzando su objetividad y autonomía —podríamos decir que constituyéndose en entidades conceptua-les— al ser susceptibles de explicitación en algún substrato material que sea compartible intersubjetivamente por los miembros de una comunidad cultural. 4 Con frecuencia tales substratos materiales son expresiones lingüísticas mediante las que se formulan contenidos de conocimiento y las comunidades culturales son comunidades lin-güísticas —comunidades que comparten un mismo lenguaje—; pero gráficos, maquetas y otros substratos materiales sirven tam-bién para expresar contenidos de conocimiento intersubjetivos. Restringiéndonos al ámbito de los lenguajes, tenemos que una E N -T I D A D C O N C E P T U A L (más o menos compleja, más o menos estructu-rada) es lo expresado por una entidad lingüística.

Aquí sólo van a interesarnos los planos lingüístico y conceptual. No obstante podríamos decir que, si situamos a los argumentos en el plano conceptual, y a las argumentaciones en el plano lingüístico, los correspondientes procesos en el (supuesto) plano mental serían los razonamientos. Pero volvamos sobre las nociones de argumento y argumentación para caracterizarlas, empezando por esta última. Además, caracterizaremos otras nociones relacionadas con éstas y relevantes en los estudios de lógica. Cuando sea posible ilustrare-mos las nociones con algunos ejemplos.

4. N o adoptamos, pues, un realismo óntico de corte platónico para las entidades abstractas según el cual tales entidades tienen existencia por sí mismas, sino más bien un realismo semánti-co conforme al cual el reino de entidades conceptuales o abstractas se va poblando progresiva-mente como fruto de la actividad cognoscitiva de los humanos (o en general de sujetos inteligen-tes).

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t Ó G I C A C I Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

Argumentación

1 . Una A R G U M E N T A C I Ó N es un P A S A J E L I N G Ü Í S T I C O formado por E N U N C I A D O S (oraciones declarativas). A un enunciado le co-rresponde (en el tratamiento clásico) o bien un valor V E R D A D E R O o bien un valor F A L S O .

2. Una argumentación tiene una estructura en la que se distin-guen dos partes: (i) un conjunto (eventualmente vacío) de enuncia-dos a los que denominamos P R E M I S A S (P)5; y (ii) un único enuncia-do al que denominamos C O N C L U S I Ó N (C). Esta estructura puede representarse mediante la expresión <P,C>. Una argumentación no siempre está establecida de manera que la estructura sea obvia.

3. En una argumentación se da una relación entre premisas y conclusión debida a la pretensión (por parte de alguien) de que la conclusión se siga de las premisas.

Antes de seguir explicitaremos algunos pasajes lingüísticos, para distinguir los que son argumentaciones:

(1) «En general, se cumple lo siguiente: toda descripción física se reduce a una serie de proposiciones, cada una de las cuales se refiere a la coinci-dencia espacio-temporal de dos sucesos A y B. Cada una de estas propo-siciones se expresa en coordenadas gaussianas mediante la coincidencia de las cuatro coordenadas x¡, x2, x}, x4. Por tanto, es cierto que la des-cripción del continuo espacio-temporal a través de coordenadas gaussia-nas sustituye totalmente a la descripción con ayuda de un cuerpo de re-ferencia, sin adolecer de los defectos de este último método, pues no está ligado al carácter euclidiano del continuo a representar.» (Einstein, A. Sobre la teoría de la relatividad especial y general. Alianza Editorial, Madrid, 1984, pp. 84-85))

(2) «Así, pues, cuando tres términos se relacionan entre sí de tal manera que e) último esté contenido en el conjunto del término medio y el térmi-no medio esté o no esté contenido en el conjunto del término primero, habrá necesariamente un razonamiento perfecto entre los términos ex-tremos.» (Aristóteles, Analíticos primeros, Libro 1, 25b 31-35; Tratados de Lógica (Organón), Gredos, Madrid,1988, p.102.)

(3) «... todo el mundo admitirá que una fresa o una cereza madura es tan agradable a la vista como al paladar; que el fruto de la fresa o de la cereza, de colores tan llamativos, y los frutos rojos del acebo son cosas hermosas; pero esta belleza sirve simplemente de guía a las aves y a las

5. U n pasaje lingüístico siempte es una entidad finita. Eso podría dar pie a pensar que una argumentación sólo puede contener un conjunto f in i to de premisas; sin embargo, cabe dar cuen-ta de un conjunto infinito de premisas mediante un pasaje lingüístico en el que dado un conjunto inf in i to ordenable de tales premisas, simplemente se expliciten las primeras premisas de ta) con-junto ordenado dejando implícitas el resto mediante puntos suspensivos indicativos de la serie inf ini ta . En todo caso a lo largo de este texto sólo nos ocuparemos de argumentaciones (y argu-mentos) con un número f inito de premisas.

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bestias, para que el fruto pueda ser devorado y las semillas diseminadas por los excrementos. Deduzco que es así del hecho de que hasta ahora no he encontrado excepción alguna a la regla de que las semillas son di-seminadas siempre de este modo cuando están encerradas en un fruto de cualquier clase —esto es, dentro de una envoltura pulposa o carnosa—, si tienen un color brillante o se hace visible por ser blanco o negro.» (Darwin, Ch. El origen de las especies, SARPE, Madrid, 1983, p. 259.)

(4) «Se reconoce generalmente que todos los seres orgánicos se han for-mado según dos grandes leyes: la de unidad de tipo y la de las condicio-nes de existencia. Por unidad de tipo se entiende la concordancia funda-mental de estructura que vemos en los seres orgánicos de la misma clase, y que es completamente independiente de sus hábitos de vida. Según mi teoría, la unidad de tipo se explica por la unidad de descendencia. La expresión de condiciones de existencia, sobre la que tantas veces insistió el ilustre Cuvier, queda comprendida por completo en el principio de la selección natural. Pues la selección natural obra, o bien adaptando ac-tualmente las partes que varían de cada ser a sus condiciones orgánicas e inorgánicas de vida, o bien por haberlas adaptado durante períodos de tiempo anteriores; siendo ayudadas en muchos casos las adaptaciones por el creciente uso o desuso de las partes, y estando influidas por la ac-ción directa de las condiciones externas, y sometidas en todos los casos a las diversas leyes de crecimiento y variación. Por consiguiente, de he-cho, la ley de las condiciones de existencia es la ley superior; pues me-diante la herencia de las variaciones precedentes y de las adaptaciones comprende a la ley de unidad de tipo.» (Darwin, Ch. El origen de las es-pecies, SARPE, Madrid, 1983, p. 266.)

(5) Galicia y Portugal tienen una estructura económica bastante similar; en Galicia el paro es muy elevado, mientras que en Portugal la tasa ron-da el 6%. En Galicia las empresas presentan un nivel tecnológico eleva-do, de modo que por cada puesto de trabajo se necesita un alto nivel de inversión tecnológica y poca mano de obra que ha de estar cualificada. En Portugal la industria predominante es la textil y la del calzado; te-niendo estas industrias un nivel tecnológico bajo y necesitando gran cantidad de mano de obra. Por lo tanto, el bajo nivel de paro de Portu-gal se explica por el tipo de actividad económica que se desarrolla.

Los pasajes (1), (3), (4) y (5) son argumentaciones en cada una de las cuales se pueden reconocer premisas y conclusión6 —a veces junto con frases que no juegan ninguno de esos roles y que, por lo tanto, son irrelevantes para la argumentación—. Sin embargo, (2) no es una argumentación, sino un mero enunciado con un determi-nado valor veritativo.

6. Dejamos al lector la tarea de reconocer las partes de cada argumentación. Para un texto con ejercicios de tal índole véase Copi-Cohen [1961/94].

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L Ó G I C A C I Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

Argumento

1 . Un A R G U M E N T O es una E N T I D A D C O N C E P T U A L formada por P R O P O S I C I O N E S . Una proposición es lo expresado por un enun-ciado. Un argumento lo expresado por una argumentación.

2. En la medida en que a una misma proposición le pueden corresponder varios enunciados que expresan lo mismo, a un argu-mento también le pueden corresponder varias argumentaciones. También es cierto que a un enunciado ambiguo puede correspon-derle más de una proposición y, por consiguiente, a una argumen-tación con algún enunciado ambiguo puede corresponderle más de un argumento. Pero, precisamente (desde el punto de vista de la ló-gica) sería deseable evitar los casos de enunciados ambiguos para argumentar.

3. Un argumento tiene una estructura pareja a la de una argu-mentación —aunque en términos de proposiciones— y, por consi-guiente, las proposiciones de un argumento se dividen en dos gru-pos: P R E M I S A S (P*) y C O N C L U S I Ó N (C*); con una relación pareja entre ambos grupos a la de una argumentación.

Lo expresado por las argumentaciones correspondientes a (1), (3), (4) y (5) son sus argumentos.

Argumentación formal

Una A R G U M E N T A C I Ó N F O R M A L es una argumentación dada en un L E N G U A J E F O R M A L , de manera que en vez de enunciados de un len-guaje natural contiene fórmulas bien formadas de ese lenguaje for-mal. (Para la noción de L E N G U A J E F O R M A L véase cap. II) .

En capítulos posteriores daremos múltiples ejemplos de argu-mentaciones formales, que de momento, mientras no se presente el lenguaje formal en el que se expresa cada una de las mismas, resul-tarán incomprensibles al lector que no esté previamente familiariza-do con tales lenguajes. No obstante, como primera aproximación a esta noción tendríamos los siguientes esquemas semiformales de ar-gumentaciones, en los que las letras mayúsculas A, B y C son varia-bles de términos generales, mientras que el resto de las expresiones conservan su sentido habitual en castellano:

(6) Todo C es B Algún A no es B Luego, algún A no es C

(7) Algún A es B Todos los A son C Luego, algún C es B

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P R I M E R A S N O C I O N E S T E O R I C A S

Plano Lingüístico | (VALORES) [Plano Conceptual

Enunciado

Oral Escrito Señales electro-magméticas

Proposición

Términos

A Lógicos No-lógicos

ARGUMENTACIÓN <P,C>

Otros valores posibles

Conceptos

A Lógicos No-lógicos

ARGUMENTO <P*,C*>

Deductiva

Inductiva

V Á L

V Á

N l 0 O 1

D O

D é b

Deductivo

Inductivo

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L Ó G I C A C I Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

Argumento formal

Un A R G U M E N T O F O R M A L es una entidad conceptual correspondien-te a lo que expresa una argumentación formal, en la medida en que algunos términos del lenguaje formal, llamados constantes lógicas, que aparecen en la argumentación formal tienen un contenido se-mántico fijado asociado (una interpretación pretendida).

Ejemplos de argumentos formales serían los expresados por las argumentaciones formuladas en lenguajes formales que aparecen a partir del capítulo I I I ; como primera aproximación a esta noción, tendríamos los expresados por las argumentaciones semiformales (6) y (7), teniendo en cuenta que las expresiones de tales pasajes que provienen del lenguaje natural —del castellano— tienen como contenido semántico fijado el que se les da habitualmente en dicho lenguaje natural.

Argumento deductivo

Un A R G U M E N T O D E D U C T I V O es aquel en el que se pretende (por parte de alguien) que la conclusión se siga necesariamente de las premisas.7

Argumento inductivo

Un A R G U M E N T O I N D U C T I V O es aquel en el que se pretende (por par-te de alguien) que la conclusión se siga probablemente de las pre-misas.

Evaluación de argumentos

1 . Todo argumento deductivo es o bien V Á L I D O o bien N O -

V Á L I D O . Un argumento deductivo no es verdadero o falso. 2. Todo argumento inductivo es (más o menos) F U E R T E o

(más o menos) D É B I L .

3. En los argumentos deductivos no hay grados intermedios de evaluación: o es válido o es no-válido. En los argumentos induc-tivos sí se admiten grados, cuya medida cuantitativa es la mayor o menor P R O B A B I L I D A D de que la conclusión se siga de las premisas.

7. Hay autores que además de argumentos deductivos e inductivos, hablan de argumentos de autoridad (Cfr. Hambl in [1970]). Por otro lado, no todo el mundo acepta diferenciar entre argumentos deductivos e inductivos, como si se tratara de tipos diferentes de argumentos, sino que consideran que los argumentos pueden ser evaluados conforme a patrones diferentes, siendo dos patrones de evaluación el deductivo y el inductivo. Según esto, un mismo argumento puede ser evaluado deductivamente (resultando válido o no-válido) o inductivamente (resultando fuer-te o débil) (Cfr. Skyrms [1986], Cp. 1 ; Haack [1978], Cp. 2).

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Argumento deductivo válido

1. Un argumento deductivo es V Á L I D O si la conclusión S E SI-

G U E N E C E S A R I A M E N T E de las premisas. 2. En un argumento deductivo válido es imposible que su

conclusión sea falsa si sus premisas son verdaderas. Los argumentos expresados por las siguientes argumentaciones

son válidos8:

(8) «...si los términos y principios generales de una teoría científica sir-ven a su propósito son innecesarios, como ya se ha señalado [es decir, si establecen conexiones definidas entre fenómenos observables, se puede prescindir de ellos puesto que cualquier cadena de leyes y enunciados in-terpretativos que estableciera tal conexión sería reemplazable por una ley que encadenara directamente antecedentes observacionales a conse-cuencias observacionales], y si no sirven a su propósito son sin duda in-necesarios. Pero en una teoría cualquiera, o bien sus términos y princi-pios sirven a su propósito o bien no lo hacen. En consecuencia, los términos y principios de una teoría cualquiera son innecesarios.» (Hem-peí, C. "El dilema del teórico: un estudio sobre la lógica de la construc-ción de teorías", en: La explicación científica, Paidós, Buenos Aires, 1979, p. 190)

(9) Todo corredor es atleta. Existe un ciego que es corredor. Por lo tan-to, existe un ciego que es atleta.

(10) Todo lo que es bueno es caro. Por lo tanto, si todo es bueno, enton-ces todo es caro.

(11) A no ser que le indemnizaran satisfactoriamente, acudiría a los juz-gados. Pero no acudió a los juzgados. Luego, le indemnizaron satisfacto-riamente.

(12) La ley del aborto de la legislación española es insuficiente o es exce-sivamente permisiva. Si (a mencionada ley es insuficiente, es una mala ley; y si es excesivamente permisiva, es una mala ley. Luego, la susodi-cha ley es una mala ley.

(13) O hay vida después de la muerte o no la hay. Si hay vida después de la muerte, entonces los buenos recibirán su premio y los malos su justo castigo. Si no hay otra vida, entonces, dado lo limitado de la justicia te-rrenal, buenos y malos pasarán a formar parte de la Madre Naturaleza. Por tanto, o los malos reciben su castigo y los buenos su premio, o unos y otros formarán parte de la Madre Naturaleza.

(14) Si alguien come marisco, si la comida está en malas condiciones,

8. Queda para el lector la tarea de justificar intuitivamente su validez. A medida que se avance en el texto se dispondrá de herramientas técnicas para justificar la validez de los argu-mentos expresados entte (8) y (20).

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t Ó G I C A C L Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

entonces se intoxicará. Juan no se intoxicó con la comida. Luego, si la comida de Juan estaba en malas condiciones, entonces es que Juan no comió marisco.

(15) Los mamíferos duermen. Los animales que viven en el mar no duer-men. La ballena es un mamífero y vive en el mar. Luego la ballena duer-me y la ballena no duerme.

(16) Si compramos peces inmaduros, estamos propiciando la extinción de nuestra ya esquilmada riqueza pesquera. Las xoubiñas son peces in-maduros. Luego, el que come xoubiñas guisadas propicia la extinción de nuestra riqueza costera.

(17) Todos los perros son gatos. Todos los gatos son felinos. Todos los felinos tienen uñas. Todos los que tienen uñas cazan. Luego todos los perros cazan.

(18) Todos los que han nacido en Verín han nacido en Orense. Todos los que han nacido en Orense han nacido en Galicia. Todos los que han nacido en Galicia han nacido en España. Todos los que han nacido en España han nacido en Europa. Por tanto, como Marta ha nacido en Ve-rín, entonces ha nacido en Europa.

(19) Todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8 .Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4 y todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2. 64 es múltiplo de 16. Luego, 64 es múltiplo de 2.

(20) Existe algo que es la causa de todo. Por lo tanto, todo tiene alguna causa.

Argumento deductivo no-válido

1. Un argumento deductivo es N O - V Á L I D O cuando la conclu-sión no se sigue necesariamente de las premisas.

2. A un argumento no-válido también se le denomina F A L A -

C I A o A R G U M E N T O F A L A Z . (Pero hay un tipo de falacia que desde un punto de vista estricto es un argumento válido: la falacia de Pe-titio Principii. Además, no todo argumento falaz o falacia es un ar-gumento deductivo).9

Veamos algunos ejemplos de argumentaciones que expresan ar-gumentos deductivos no-válidos1 0:

9. Para un estudio detallado de las falacias cfr. Copi-Cohen [1961/94], Giere [19881, H a m -

blin [1970], Hurley [1982], Woods-Walton [1989]. 10. Queda para el lector la tarea de justificar intuitivamente S u no-validez. A l ir avanzando

en el estudio del texto el lector dispondrá de herramientas más precisas para justificar la no-vali-dez de algunas de esas argumentaciones.

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(21) Todo lo que hay es orgánico o es inorgánico. Por lo tanto, todo lo que hay es orgánico o todo lo que hay es inorgánico.

(22) Los 'contratos basura' proporcionan mano de obra a precio de sal-do. Además, contratar a jóvenes supone el pago de menores cuotas a la seguridad social. Luego, si queremos mejorar la calidad del empleo, hay que subir las cotizaciones a la seguridad social de los contratos tempora-les.

(23) Si los contratos basura proporcionan mano de obra a precio de sal-do, los empresarios seguirán utilizándolos. Si los empresarios continúan utilizando los contratos basura, no se creará empleo estable y de cali-dad. Por tanto, a menos que se suban las cotizaciones a la seguridad so-cial de los contratos basura, no se creará empleo estable y de calidad.

(24) Si Rintintin no es un perro, entonces Rintintin es un reptil. Si Rin-Untin es un reptil, entonces no es un mamífero. Por tanto o estamos en la luna o Rintintin no es un mamífero.

(25) Algunos niños juegan bien al fútbol y algunos niños juegan bien al baloncesto. Por tanto, algunos niños juegan bien al fútbol y al balonces-to.

(26) Algunas casas en Galicia son de piedra y otras muchas están pinta-das de blanco. Por tanto, algunas casas en Galicia son de piedra y están pintadas de blanco.

(27) Algunos seres humanos son mujeres y algunos seres humanos son hombres. Por lo tanto, algunos seres humanos son hombres y mujeres.

(28) Si 2+2=5 entonces yo soy el papa. Si yo soy el papa entonces llueve de abajo a arriba. Por lo tanto, a menos que el sol salga por el sur y llue-va de abajo arriba, yo soy el papa.

(29) Si 2+2=5, entonces 2x2=5. Si 2x2=5, entonces España es un país sin problemas. Por tanto, a menos que todos los hombres sean inmorta-les ó 2x2=5, España es un país sin problemas.

(30) Todos los que han nacido en Madrid, han nacido en España. Todos los que han nacido en Madrid, han nacido en la comunidad autónoma de Madrid. Por tanto, todos los que han nacido en España, han nacido en la comunidad autónoma de Madrid.

(31) O llueve o hay que regar el jardín. Si llueve, entonces las plantas re-cibirán agua suficiente. Si hay que regar, entonces no llueve pero Pablo se moja los pies con e! agua de la mangueta. Si Pablo se moja los pies con el agua de la manguera, entonces se le inflamará la garganta. Por lo tanto, a Pablo se le inflama la garganta.

(32) O hace sol o no voy a la playa. Si hace sol, entonces hará calor. Si

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I Ó G I C A C L Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

no voy a la playa, entonces no hace sol y voy al cine. Por tanto, voy al cine.

(33) Existen los extraterrestres o hay mucho cuentista suelto. Si existen los extraterrestres, entonces no tenemos ni idea de cómo son. Si hay mu-cho cuentista suelto, entonces no existen los extraterrestres y hemos de explicar los fenómenos extraños científicamente. Por tanto, hemos de explicar los fenómenos extraños científicamente.

(34) Juan va al cine o se queda en casa. Si va al cine, entonces disfruta de una agradable velada. Si se queda en casa, prepara una buena cena. Por tanto, Juan prepara una buena cena y disfruta de una agradable ve-lada .

(35) Quien bien te quiere te hará llorar. Los fascistas no te quieren. Lue-go, los fascistas no te harán llorar.

(36) Todo tiene alguna causa. Por lo tanto, existe algo que es la causa de todo.

Argumento inductivo fuerte

1 . Un argumento inductivo es F U E R T E si la conclusión S E SI-

G U E P R O B A B L E M E N T E de las premisas. 2. En un argumento inductivo fuerte es improbable que su

conclusión sea falsa si sus premisas son verdaderas (pero no es im-posible).

Proporcionamos algunos ejemplos de argumentaciones que ex-presan argumentos inductivos más o menos fuertes:

(37) El informe dado por el servicio de meteorología señala que sobre Cataluña hoy avanza un frente de baja presión, con formación de un amplio frente de nubes y habitualmente en esas condiciones llueve. Por lo tanto, hoy lloverá en Cataluña, [argumento inductivo, no muy fuerte]

(38) El 80% de los que fuman más de quince cigarrillos al día acaban te-niendo cáncer de pulmón. Por lo tanto, Juan, que fuma unos veinte ciga-rrillos al día, terminará teniendo un cáncer de pulmón, [argumento in-ductivo, no muy fuerte]

(39) La vida media del radón es de 3'82 días. Por lo tanto, en una mues-tra de radón con un número alto de átomos de este elemento cerca de la mitad se desintegrarán en 3'82 días, [argumento inductivo, muy fuerte]

(40) Todas las esmeraldas encontradas hasta ahora han sido verdes. Por lo tanto, la próxima esmeralda que se localice será verde, [argumento in-ductivo, fuerte]

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ARGUMENTO

Argumento inductivo débil

Un argumento inductivo es si la conclusión no se sigue pro-bablemente de las premisas. Es decir, si la probabilidad de que la conclusión se siga de las premisas es escasa.

Como ejemplos de argumentaciones que expresan argumentos inductivos más bien débiles proporcionamos los siguientes:

(41) La mecánica newroniana determina satisfactoriamente el tiempo in-vertido por un cuerpo en caída libre en alcanzar la superficie de La Tie-rra. La mecánica newtoniana también logra dar cuenta del movimiento de planetas como La Tierra y Júpiter en torno al Sol y de satélites como La luna en torno a La Tierra. Por lo tanto, la mecánica newtoniana es adecuada para determinar los movimientos de cualquier sistema de ob-jetos materiales, [argumento inductivo, débil]

(42) Un 40% de la población infantil de la comunidad autónoma de Ex-tremadura tiene problemas de caries. En una escuela de Mérida hay 400 niños. Por lo tanto, 160 de estos niños deben tener problemas de caries, [argumento inductivo, muy débil]

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(43) Según las encuestas el partido en el poder obtendrá en las próximas elecciones un 37% de los votos. Por lo tanto, un 37% de los habitantes de este país votará al partido en el poder en las próximas elecciones, [ar-gumento inductivo, débil]

(44) Aunque el dado no está trucado, en las diez últimas tiradas que Jai-me hizo con él le ha salido un cuatro siete veces. Por lo tanto, seguro que una de las tres próximas tiradas que Jaime haga con ese dado saldrá un cuatro, [argumento inductivo, muy débil]

(45) El dado no está trucado, y en las cinco últimas tiradas que Jaime hizo con él le ha salido un cuatro . Por lo tanto, seguro que en la próxi-ma tirada que Jaime haga con ese dado no saldrá un cuatro, [argumento inductivo, muy débil]

Notas acerca de argumentos y argumentaciones

Todo lo aplicado a argumentos se puede aplicar mutatis mutandi a argumentaciones.

Además nuestro interés a partir de ahora se va a centrar en los ARGUMENTOS DEDUCTIVOS. Por ello siempre que hablemos de argu-mentos sin más especificación debe entenderse que nos referimos a los DEDUCTIVOS. Es decir, a partir de ahora nos interesamos pr i -mordialmente por el ámbito de la lógica deductiva.1 1

Argumento deductivo: Distinción onto-epistémica

1 . El que un argumento sea válido o no-válido —es decir, el que su conclusión se siga necesariamente de las premisas o n o — no depende de los valores de verdad que les correspondan a las premi-sas y a la conclusión, excepto cuando todas y cada una de las pre-misas son verdaderas y la conclusión es falsa.

2. Un argumento con premisas verdaderas y conclusión falsa es siempre no-válido.

3. El que un argumento sea válido o no lo sea depende de cierta ESTRUCTURA LÓGICA subyacente a ese argumento, que sea re-levante para la evaluación de dicho argumento.1 2

4. Una estructura lógica de un argumento viene fijada por de-11. Para un estudio de la Lógica Inductiva un manual claro y elemental es el de Skyrms

[198(5], 12. Esta afirmación no está exenta de problemas. El primero de ellos viene dado por la cau-

tela de requerir que la estructura lógica sea relevante para la evaluación del argumento en cues-tión, ya que deja completamente abierta la cuestión de qué es lo que determina la relevancia re-querida. Aunque la praxis al tratar con ciertos argumentos concretos (o con correspondientes argumentaciones que los expresan) sí nos permite explicitar las correspondientes estructuras ló-gicas relevantes y dar razones de por qué esa es la estructura lógica relevante para cada uno de tales casos, no parece que se pueda establecer un criterio general para determinar la estructura lógica relevante de cualquier argumento. En la medida en que, conforme estableceremos en este

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terminada forma lógica de cada una de sus proposiciones compo-nentes y por la relación que existe entre las formas lógicas de las premisas y la forma lógica de la conclusión. Así, el cometido de es-tudiar los criterios de evaluación de los argumentos presupone el análisis de determinadas formas lógicas de proposiciones cuales-quiera. Evidentemente una determinada forma lógica de una pro-posición se establece a partir de un enunciado que exprese dicha proposición, por eso desde ahora hablaremos de las formas lógicas de los enunciados.

5. El análisis de cierta FORMA LÓGICA DE UN ENUNCIADO exi-ge diferenciar expresiones lógicas o constantes lógicas, del resto de las expresiones, y entre estas últimas —entre las no-lógicas— reco-nocer cuáles expresan proposiciones, cuáles conceptos (propiedades y relaciones) y cuáles están por entidades individuales (variables o constantes). Es decir, las expresiones que no se toman como expre-siones lógicas han de ser clasificadas conforme a diferentes catego-rías.

6. Un argumento es o bien válido o bien no-válido indepen-dientemente de lo que se piense, se crea o se sepa acerca del mismo por parte de cualquier sujeto cognoscente. La validez o no-validez de un argumento es de CARÁCTER ÓNT1CO, no de carácter epistémi-co.

7. Cuando un argumento es válido —es decir, cuando la con-clusión se sigue necesariamente de las premisas— decimos que se da una relación de IMPLICACIÓN entre premisas y conclusión: las premisas IMPLICAN la conclusión.

8. La relación de implicación es una relación objetiva: se da o no se da independientemente de que alguien lo crea o lo sepa. La dimensión epistémica es la que nos permite, a los sujetos cognos-centes, reconocer y/o demostrar que se da o no se da tal relación de implicación cuando, respectivamente, se da o no se da para un de-terminado argumento.

Deducción

1 . Una D E D U C C I Ó N establece que el conjunto de premisas de un argumento dado (o de una argumentación que expresa dicho ar-gumento) implica su conclusión.

texto, la estructura lógica relevante de los argumentos la condicionan determinadas constantes lógicas que contiene —no necesariamente todas—, podríamos adoptar ta pauta de que para todo argumento se establezca la estructura lógica relevante a partir de la explicitación de todas las constantes lógicas que aparezcan y !a distinción consiguiente de sus expresiones clasificadas se-gún categorías. Pero esto oscurecería en algunos casos Ja determinación de cuáles son las cons-tantes de las que realmente depende la validez del argumento. Además, tropieza con un nuevo problema que no está resuelto de manera definitiva, como es el de dilucidar cuáles son todas las consrantes lógicas para cualesquiera argumentos.

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LÓGICA C I Á S I C A D E HUME!! O R D E N : E S T R A T E G I A S

2. Una D E D U C C I Ó N se concibe como un sistema dado por tres componentes: <P, C, R>, donde P representa las premisas y C la conclusión de un argumento, y R una cadena de enunciados esta-blecidos a modo de pasos intermedios (que presuponen reglas de inferencia) para demostrar la relación de implicación entre P y C.

3. Una deducción es un procedimiento epistémico para de-mostrar la validez de un argumento.

4. Una deducción contiene un argumento válido en tanto que las proposiciones que componen ese argumento son expresadas por las premisas y la conclusión de la deducción, pero no para todo ar-gumento válido se acierta a desarrollar una deducción —para mu-chos argumentos válidos ni siquiera se pretende, ni se ha pretendi-do, ni se pretenderá desarrollar una deducción—.

Veamos algunos ejemplos de deducciones formuladas en len-guaje natural:

(46) Premisa 1: "La ley del aborto de la legislación española es insufi-ciente o es excesivamente permisiva."

Premisa 2: "Si la ley del aborto de la legislación española es insufi-ciente, es una mala ley."

Premisa 3: "Si la ley del aborto de la legislación española es excesi-vamente permisiva, es una mala ley."

Conclusión: "La ley del aborto de la legislación española es una mala ley.

Deducción: Supongamos que la ley del aborto de la legislación española es insu-ficiente. Entonces, por la premisa 2 concluimos que la ley del aborto de la legislación española es mala. Supongamos que la ley del aborto de la legislación española es exce-sivamente permisiva. Entonces, por la premisa 3 concluimos que la ley del aborto de la legislación española es mala. En cualquiera de los dos supuestos la ley del aborto de la legislación española es mala. Por lo tanto, la ley del aborto de la legislación española es mala.

(47) Premisa 1: "Todo lo que es bueno es caro." Conclusión: "Si todo es bueno, entonces todo es caro." Deducción: Supongamos que todo lo que hay es bueno. Dado que , según la premisa 1, todo lo que es bueno es caro, enton-ces todo lo que hay es caro. Luego, todo lo que hay es caro. Por lo tanto si todo es bueno, entonces todo es caro.

(48) Premisa 1: "Todo corredor es atleta." Premisa 2: "Existe al menos un ciego que es corredor." Conclusión: "Existe al menos un ciego que es atleta."

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Deducción: Si todo corredor es atleta y existe al menos un ciego que es corre-dor, entonces al menos ese ciego (sea quien sea) es atleta. Luego, existe al menos un ciego que es atleta.

(49) Premisa 1: "Ningún felino es ovíparo." Premisa 2: "Todo tigre es felino." Conclusión: "Ningún tigre es ovíparo." Deducción: Si ningún felino es ovíparo, entonces para todo felino no es cierto que sea ovíparo. Dado que todos los tigres son felinos, entonces para todo tigre tene-mos que no es cierto que sea ovíparo. La afirmación "para todo tigre no es cierto que sea ovíparo" es equivalente a decir que "ningún tigre es ovíparo". Por lo tanto, ningún tigre es ovíparo.

(50) Premisa 1: "Todos los perros son gatos." Premisa 2: "Todos los gatos son felinos." Premisa 3: "Todos los felinos tienen uñas." Premisa 4: "Todos los que tienen uñas cazan." Conclusión: "Todos los perros cazan" Deducción: Si todos los perros son gatos y todos los gatos son felinos, entonces todos los perros son felinos. Luego, todos los perros son felinos Si todos los perros son felinos y todos los felinos tienen uñas, enton-ces todos los perros tienen uñas. Luego, todos los perros tienen uñas. Si todos los perros tienen uñas y todos los que tienen uñas cazan, entonces todos los perros cazan. Por lo tanto, todos lo perros cazan.

Argumento sólido

1 . Un argumento es S Ó L I D O cuando es válido y además todas sus premisas son verdaderas.

2. Un argumento sólido ha de tener, pues, conclusión verda-dera; ya que no puede darse que un argumento válido tenga premi-sas verdaderas y conclusión falsa.

Las siguientes son argumentaciones que expresan argumentos sólidos:

(51) Ningún felino es ovíparo. Todo tigre es felino. Por lo tanto, ningún tigre es ovíparo.

(52) Los mamíferos son vertebrados. Los perros son mamíferos. Luego, los perros son vertebrados.

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t Ó G I C A C I Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

(53) Dado un sistema físico aislado, la suma de sus energías permanece constante. Sea A es un sistema físico aislado y E su energía total en un instante de tiempo tj. Por lo tanto, la energía total de A en otro instante de tiempo diferente t2 también es E.

Sin embargo, las argumentaciones (8) a (10), ambas inclusive, aunque expresan argumentos válidos, no expresan argumentos sóli-dos.

Prueba

1 . Una P R U E B A es una deducción que nos lleva a saber que una proposición —una determinada conclusión— es verdadera.

2. Una prueba es una deducción cuyas premisas son verdade-ras, es decir, una deducción que contiene un argumento sólido.

3. Una prueba permite demostrar que un determinado argu-mento es sólido.

4. Una P R U E B A puede concebirse como un sistema dado por tres componentes: <Pv, Cv, R>, donde Pv representa las premisas verdaderas, Cv la conclusión (que ha de resultar ser verdadera) de un argumento sólido, y R una cadena de enunciados establecidos a modo de razonamientos intermedios para demostrar la verdad de Cv.

5. Aunque toda prueba es una deducción, no toda deducción es una prueba.

6. Una prueba es un procedimiento epistémico para demos-trar la verdad de un determinado enunciado (o de la proposición que expresa), de una determinada conclusión.

Veamos algunos ejemplos:

(54) Premisa 1 : "Todos los que han nacido en Verín han nacido en Orense."

Premisa 2: "Todos los que han nacido en Orense han nacido en Ga-licia."

Premisa 3: "Todos los que han nacido en Galicia han nacido en Es-paña."

Premisa 4: "Todos los que han nacido en España han nacido en Eu-ropa."

Conclusión: "Como María ha nacido en Verín, entonces ha nacido en Europa."

Prueba: Supongamos que María ha nacido en Verín. Como todos los que han nacido en Verín han nacido en Orense, entonces María ha nacido en Orense. Pero como todos los que han nacido en Orense han nacido en Gali-cia, entonces María ha nacido en Galicia. Pero como todos los que han nacido en Galicia han nacido en Espa-ña, entonces María ha nacido en España. Y como todos lo que han nacido en España han nacido en Europa,

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entonces María ha nacido en Europa. Por lo tanto, como María ha nacido en Verín, entonces ha nacido en Europa.

(55) Premisa 1: "Todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8." Premisa 2: "Todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4 y todos los

múltiplos de 4 son múltiplos de 2." Premisa 3: "64 es múltiplo de 16." Conclusión: "64 es múltiplo de 2." Prueba: Dado que todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 8 y que todos los múltiplos de 8 son múltiplos de 4, tenemos que todos los múlti-plos de 16 son múltiplos de 4. Dado que todos los múltiplos de 16 son múltiplos de 4 y que todos los múltiplos de 4 son múltiplos de 2, tenemos que todos los múlti-plos de 16 son múltiplos de 2. Como 64 es múltiplo de 16, entonces es múltiplo de 2. Luego, 64 es múltiplo de 2.

Contra-argumento

1 . Dado un argumento A, un C O N T R A - A R G U M E N T O de A es otro argumento B que tiene la misma estructura lógica relevante que A y en el que las premisas son evidentemente verdaderas y la conclusión evidentemente falsa.

2. Un contra-argumento es un argumento no-válido que se utiliza por parte de alguien para mostrar la no-validez de otro argu-mento que tiene su misma estructura lógica relevante para su eva-luación, pero en el que no se cumple que todas sus premisas sean evidentemente verdaderas y su conclusión evidentemente falsa.

3. Un contra-argumento es un procedimiento epistémico para demostrar la no-validez de un determinado argumento.

Algunos ejemplos de contra-argumento son: Argumentación que expresa contra-argumento correspondiente

a argumento (33):

(56) Existen planetas fuera del sistema solar o dichos planetas son obje-tos de ficción. Si existen planetas fuera del sistema solar, entonces el Sol no es la única estrella con astros girando a su alrededor. Si los planetas fuera del sistema solar son objetos de ficción, entonces no existen plane-tas fuera del sistema solar y la astrología no podrá descubrirlos. Por lo tanto, la astronomía no puede descubrir planetas fuera del sistema solar.

Argumentación que expresa contra-argumento correspondiente a argumento (34):

(57) Marilyn Monroe se suicidó o fue asesinada. Si se suicidó, murió sin la intervención de otros. Si fue asesinada, entonces murió por la inter-

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IÓGICA CIÁSICA DE PRIME* O R D E N : ESTRATEGIAS

vención de otros. Por tanto, Marilyn Monroe murió sin la intervención de otros y por la intervención de otros.

Argumentación que expresa contra-argumento correspondiente a argumento (35):

(58) A todos los tiburones les gusta la carne. Los perros no son tiburo-nes. Luego, a los perros no les gusta la carne.

Forma lógica y expresiones lógicas

1 . Conforme a lo indicado anteriormente, el intento de esta-blecer los principios y criterios que fundamentan la evaluación de los argumentos conduce a tratar con las FORMAS LÓGICAS de los enunciados.

2. Determinada forma lógica de un enunciado se establece a partir de una determinada distinción entre EXPRESIONES LÓGICAS (o CONSTANTES LÓGICAS) y el resto de las expresiones (teniendo en cuenta que tanto entre las primeras como, especialmente, entre las últimas se pueden establecer diferentes categorías).

3. Las expresiones lógicas son aquellas que articulan cierta forma lógica de un enunciado, articulación que presupone ciertas combinaciones admisibles de expresiones de las diferentes categorí-as contempladas. (Debe tenerse en cuenta que la selección que se considere de expresiones lógicas condiciona qué otras expresiones se distinguen y las categorías bajo las que se agrupan. De esta for-ma veremos que al seleccionar como constantes lógicas solamente a las llamadas conectivas, el resto de las expresiones a considerar son solamente enunciados, ya sean atómicos —es decir, que no contie-nen ninguna de las conectivas— ya moleculares —que contienen al-guna—; en este caso no hay otras expresiones diferentes, ni siquiera más elementales, que sean relevantes para la forma lógica de enun-ciados.)

4. Pero no se puede hablar sin más de la forma lógica de un enunciado. De un mismo enunciado se pueden proporcionar dife-rentes propuestas de forma lógica dependiendo de qué se tome como expresiones lógicas.

5. Qué se tome como expresiones lógicas está en función del tipo de argumentos sobre los que se quiera tratar. Es decir, hay ar-gumentos cuya validez o no-validez está dependiendo de la forma lógica que determinan en ¡os enunciados componentes de las argu-mentaciones (correspondientes a esos argumentos) unas pocas ex-presiones como son: y, o, si...entonces y no (así como aquellas otras expresiones que juegan un papel lógico equivalente a alguna de esas expresiones). A las expresiones y, o, si...entonces y no las llamamos

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CONECTIVAS LÓGICAS. En el caso de otro tipo de argumentos la va-lidez o no-validez depende de la forma lógica que determinan las expresiones antes señaladas junto con las expresiones todo y al me-nos un. A estas últimas las denominamos CUANTIFICADORES. Pode-mos encontrar otro tipo de argumentos en los que su evaluación dependa de la estructura lógica que determinan junto con las expre-siones mencionadas otras como necesariamente y posiblemente. Y, así podríamos ir considerando diferentes expresiones que determi-nan de manera diferente la forma lógica de los enunciados, según se tomen o no en consideración. A este tipo de expresiones es al que denominamos EXPRESIONES LÓGICAS (o CONSTANTES LÓGICAS).

6. N o hemos dado una definición precisa de "expresión lógi-ca"; más bien nos hemos limitado a proporcionar algunos ejemplos paradigmáticos de expresiones del castellano que juegan el papel de determinar la estructura lógica de la que depende la validez o no-validez de un tipo de argumentos. Consideramos que es una forma aceptable de hacer comprensible lo que entendemos por esa noción. Sólo debe añadirse que otras expresiones que juegan ese papel pue-den tomarse como expresiones lógicas."

7. Es normal que las expresiones lógicas de un lenguaje natu-ral como el castellano, de las que depende la validez o no-validez de un tipo de argumentos de ese ¡enguaje, tengan sus correspondientes expresiones lógicas en el LENGUAJE FORMAL de un SISTEMA LÓGICO-FORMAL. De esta forma los principios y criterios que fundamentan la evaluación de un determinado tipo de argumentos son especifica-bles mediante un determinado sistema lógico-formal. (Para las no-ciones de LENGUAJE FORMAL y SISTEMA LÓGICO-FORMAL véase cap.

II) .

Verdad lógica

1 . Un enunciado es LÓGICAMENTE VERDADERO (o es una VER-DAD LÓGICA) si es verdadero en virtud de determinada forma lógica e independientemente del significado concreto de sus términos no-lógicos.

2. Un enunciado lógicamente verdadero es un enunciado que siempre es verdadero, independientemente de cómo sea el mundo.

3. Un enunciado lógicamente verdadero solamente implica otros enunciados lógicamente verdaderos.

4. Un enunciado lógicamente verdadero (o verdad lógica) es

13. Ya en la nota 12 aludíamos al problema de dilucidar cuáles son todas las constantes ló-gicas (o expresiones propiamente lógicas!. La noción de constante lógica no dispone de una ca-racterización general unánimemente aceptada en la literatura de los estudios de lógica. Lo m i s q u e s e alcanza e s un acuerdo sobre algunos ejemplos paradigmáticos como son las conectivas y l o s cuantificadores (Cfr. Haack [19781 Cap. 2 § 4 ;Tarski 11986)).

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LÓGICA CIÁSICA D E P R I M E R O R D E N . E S T R A T E G I A S

implicado por cualquier conjunto de enunciados; en particular se sigue del conjunto vacío de premisas.

Los enunciados que siguen son ejemplos de verdades lógicas:

(59) Si los virus son entidades con vida o son entidades sin vida, enton-ces los virus son entidades con vida o sin vida.

(60) Si existe algo que es la causa de todo, entonces todo tiene alguna causa.

Falsedad lógica

1 . Un enunciado es L Ó G I C A M E N T E F A L S O si es falso en virtud de determinada forma lógica e independientemente del significado concreto de sus términos no-lógicos.

2. Un enunciado lógicamente falso es un enunciado que siem-pre es falso, independientemente de cómo sea el mundo.

3. Un enunciado lógicamente falso implica cualquier otro enunciado.

4. Un enunciado lógicamente falso sólo es implicado por un conjunto de premisas que sea contradictorio; en particular se sigue de cualquier conjunto de premisas que contenga al menos un enun-ciado lógicamente falso.

Algunos ejemplos de falsedades lógicas son:

(61) No es cierto que si dos entidades son idénticas y una de ellas es una entidad abstracta entonces la otra también sea una entidad abstracta.

(62) No es cierto que si algún producto es bueno y es barato entonces algún producto es bueno y algún producto es barato.

(63) En el conjunto de los números reales algunos son entidades abstrac-tas o algunos son entidades mentales, pero no es cierto que algunos nú-meros sean entidades reales y no es cierto que algunos sean entidades ficticias.

Tautología

Una T A U T O L O G Í A es un enunciado que es lógicamente verdadero en virtud de la forma lógica determinada por las C O N E C T I V A S L Ó G I C A S

que contiene. Algunos ejemplos de enunciados tautológicos son:

(64) No es cierto que llueva y no llueva a la vez.

(65) Si es cierto que si España tiene un rey, entonces el estado español es monárquico, entonces si no se da que el estado español es monárquico,

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entonces no se da que España tenga un rey.

(66) Lisboa es la capital de Portugal o no es la capital de Portugal.

(67) Suponiendo que si hay cambio de cuarto lunar, entonces hay un mayor número nacimientos, entonces no es cierto que se produzca cam-bio lunar y no haya mayor número de nacimientos.

Contradicción

Una C O N T R A D I C C I Ó N es un enunciado que es lógicamente falso en virtud de la forma lógica determinada por las C O N E C T I V A S L Ó G I C A S

que contiene. Los siguientes son ejemplos de contradicciones:

(68) Si Cracovia es la capital de Polonia, entonces Cracovia está dentro del territorio polaco; y si Cracovia está dentro del territorio polaco, en-tonces es una ciudad del este europeo; y Cracovia es la capital de Polo-nía, pero no es una ciudad del este europeo.

(69) Llueve y no llueve a la vez.

Puede observarse que (69) viene a ser la negación de (64). En realidad la negación de una tautología siempre es una contradic-ción. (Así, también son contradicciones las negaciones de (65), (66) y (67).

Contingencia

Un E N U N C I A D O C O N T I N G E N T E es un enunciado que es verdadero o falso en virtud del contenido del mismo, de lo que establece sobre el mundo.

Como ejemplos de enunciados contingentes veamos los siguien-tes:

(70) Las grandes concentraciones de materia atraen a la energía colin-dante; y los agujeros negros son concentraciones de materia tan grandes que ninguna energía es emitida desde los mismos al exterior, toda la energía en la vecindad es absorbida.

(71) Salamanca es una ciudad declarada patrimonio de la humanidad.

(72) Adolfo Suárez fue presidente del gobierno español durante el perío-do de transición de la dictadura de Franco a la democracia.

(73) Indurain ha sido uno de los ciclistas más importantes de toda la his-toria de este deporte y, gracias a eso y a haber ganado cinco Tours de

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I Ó G I C A C I Á S I C A D E P R I M E R O R D E N : E S T R A T E G I A S

Francia, ha hecho una gran fortuna.

(74) No es cierto que si los virus son entidades con vida o sin vida, en-tonces los virus son entidades con vida o sin vida.

(75) Si todo tiene alguna causa, entonces algo es la causa de todo.

(76) Si algún producto es bueno y algún producto es barato, entonces al-gún producto es bueno y es barato.

1.3. USO Y MENCIÓN, LENGUAJE Y METALENGUAJE

La distinción entre USO y MENCIÓN puede retrotraerse a una distin-ción equivalente en la teoría de la suppositio medieval; en concreto a la distinción entre uso y mención corresponde la distinción entre suppositio formalis y suppositio materialis, respectivamente. Se dice que se usa una expresión lingüística cuando se emplea de ma-nera ordinaria, por ejemplo cuando con determinada palabra se hace referencia a un objeto extralingüístico; mientras que se dice que se menciona una expresión cuando se emplea para decir algo relativo a la propia expresión, en este caso es habitual entrecomi-llar o poner en cursiva la expresión mencionada. Así, en «Santiago es la capital de Galicia» el término "Santiago" es usado para desig-nar la ciudad de Santiago de Compostela, mientras que en «"San-tiago" tiene ocho letras» el término "Santiago" es mencionado.

La distinción entre LENGUAJE OBJETO y METALENGUAJE obedece a las diferentes funciones que un lenguaje puede desempeñar en distintos contextos. Por lenguaje objeto se entiende, en sentido am-plio, el lenguaje acerca del cual se habla mediante un determinado metalenguaje en cierto contexto. Un metalenguaje es, pues, un len-guaje que se utiliza para hablar o teorizar sobre algún otro lengua-je. En un sentido más estrecho por lenguaje objeto se entiende aquel que habla acerca del mundo —entendiendo "mundo" en sen-tido amplio y no en el restringido de realidad material—. Aquí ha-remos uso del sentido amplio de las expresiones "lenguaje objeto" y "metalenguaje". Así por ejemplo, cuando (tal y como veremos en el capítulo III) utilicemos el castellano para definir el lenguaje de la lógica de primer orden, el castellano será el metalenguaje utilizado para hablar del lenguaje de la lógica de primer orden, y éste último el lenguaje objeto en ese contexto. Ateniéndonos al sentido estrecho de "lenguaje objeto", tenemos que si dado determinado lenguaje objeto, Lo, éste lo concebimos en un primer nivel, correspondiendo el nivel 0 al mundo sobre el que trata, entonces a un metalenguaje L i de Lo le corresponderá un segundo nivel. Pero debe resultar ob-

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vio que el metalenguaje L, puede ser objeto de análisis —y así ser tomado como lenguaje objeto en el sentido amplio— mediante al-gún metalenguaje L 2 , donde a L 2 le correspondería un tercer nivel, y así sucesivamente. Un metalenguaje, pues, se utiliza para mencio-nar expresiones del lenguaje de nivel inmediatamente inferior.

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Lógica Cláica191

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