LOS NÚMEROS PRIMOS · 2015-10-17 · los números primos en los que se concentra esta...

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Enrique J. Blaksley Bazterrica

LOS NÚMEROS PRIMOS

(TERCERA PARTE FINAL)

Universidad del Salvador

Año 2010

2

D E D I C A T O R I A

A mi familia

A la universidad del Salvador

Al colegio del Salvador

3

- I -

P R Ó L O G O INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

La ciencia matemática en su forma más elemental, la aritmética de los números “enteros

positivos” (números naturales), es conocida desde lejanas épocas. Ya en los años 5700

(A.C.) los sumerios disponían de un calendario, lo que hace suponer que habían desarrollado

ya algún tipo de aritmética. Tres mil años después, 2500 A.C., los mismos sumerios,

desarrollaron el sistema de numeración denominado Sexagesimal utilizando la base 60 o

escala de los sesenta; sistema aún vigente en la actualidad.

Los babilónicos tenían tablas elaboradas que datan de 2000 años (A.C). La primera

orientación científica de los números enteros, es decir: el estudio sistemático que dió origen

a la Teoría de Números, se atribuye a los griegos. La escuela Pitagórica, 600 años A.C., había

realizado estudios bastante completos sobre los enteros y los clasificaron en:

_Números pares: 2,4,6,…., múltiplos del dos

_Números impares:,1,3,5,….., iguales a un número par más o menos 1; impar = par +- 1.

_Los número primos: 2(único primo par),3,5,7,11,13,17,19,23,….., números que no son

múltiplos de ningún entero, no pueden descomponerse en un producto de números

anteriores a ellos.

_Los números compuestos: 4,6,8,…, 9,15,21,105…, que se descomponen en un producto de

números enteros menores (anteriores) a ellos.

En la actualidad, en los libros de matemática, encontramos más de 50 tipos de números.

Este dato nos da una idea del enorme desarrollo que ha alcanzado esta ciencia ; desarrollo

de gran magnitud con altos niveles de abstracción y diversos tipos de lógica.

Los números primos, sobre los cuales se realizó la investigación motivo de este trabajo,

son un capítulo muy particular, especial, y de permanente actualidad. Su estudio es

característico en la rama de la matemática denominada “TEORÍA DE NÚMEROS”.

Después de Euclides y sus famosos elementos, quien 300 A.C. fue el primero en

presentar hechos matemáticos explicados con demostraciones rigurosas. De la colección de

sus 13 libros, en 3 de ellos, (libros VII, IX y X) desarrolla temas correspondientes a la teoría

de números. En el IX libro dió la demostración, que aún se enseña en nuestras aulas, la cual

prueba la existencia de infinitos números primos.

Se necesitaron más de quinientos años para lograr nuevos avances en teoría de números.

En el año 250 D.C., el matemático griego Diofanto de Alejandría, publicó numerosos libros

de los cuales solo se conservan 6 (seis) dando origen al capítulo denominado análisis

diofántico, estudio de ecuaciones resolubles por medio de números enteros.

En el siglo diecisiete, gracia al genio y los esfuerzos del matemático francés Pierre de

Fermat (1601-1665), quien se considera el padre de la Teoría moderna de números, cuyos

aportes en gran parte están basados, derivan, de los trabajos de Diofanto. Fue el primero en

descubrir propiedades verdaderamente profundas de los números enteros.

4

- II –

A Fermat lo sucedieron matemáticos de la talla de Euler (1707-1783), Lagrange (1763-

1813), Legendre (1752-1833), Gauss (1777-1855), Dirichlet (1805-1859), entre otros.

Epoca de matemáticos prominentes, quienes dieron un significativo avance y desarrollo

de la Teoría de números en los altos niveles de la matemática superior, entre otros muchos

aportes que dieron a distintos capítulos de las ciencias exactas.

A pesar de todos los descubrimientos logrados en el hoy vasto campo de la Teoría de

números, existen muchos problemas, de enunciación sencilla, algunos de ellos referidos a

los números primos en los que se concentra esta investigación.

Continuación y tercera parte del modelo matemático ideado en el año 2001, investigación

presentada ante la universidad del Salvador (USAL) bajo el título: “LOS NÚMEROS PRIMOS”

(Modelo matemático). Este prólogo de la 3ra. Parte está extractado de la segunda parte

por estar íntimamente ligadoa a las conclusiones de la parte segunda de la investigación.

David Hilbert (1862-1943):

Uno de los más grandes matemáticos alemanes contemporáneos,

tuvo la a original idea, en el año 1900, de formular 23 problemas presentados en el

Congreso Internacional de Matemáticos en París. Hasta la fecha se han podido resolver

solamente 12 de los 23 problemas planteados. Uno de los no resueltos, “La Hipótesis de

Riemann” permanece misterioso y desafiante.

Esta famosa hipótesis está relaciónada con la función de frecuencia acumulada de primos

π(X), que es uno de los temas importante y avanzado de la investigación en cuestión, que

sigue a este breve prólogo.

El trabajo es una teoría muy completa sobre los números impares, teoría que se

concentra en la contabilización, separación, e individualización, de los impares primos y no

primos, los pares solo contienen un solo primo el “2” y está fuera del universo de impares

analizado en el estudio.

Puede ser, que la teoría lograda y detallada en la investigación sea de utilidad, de ayuda,

en el estudio de la hipótesis de Riemann, y de otros temas como la conjetura de Golbach

que también pertenece a los 23 problemas de Hilbert, y tratan sobre los números primos.

La tercera parte del modelo matemático, continuación, ampliación y profundización de la

teoría más arriba mencionada y desarrollada en primera instancia en el año 2001 en la

universidad del Salvador (USAL), presenta como característica su simplicidad; habiéndose

podido construir, idear, con conocidos y nuevos principios, lo mismo en cuanto a

propiedades, postulados, fórmulas, métodos graficos, por tablas, y analíticos. Desarrollo

lógico que alcanza los objetivos planteados en la investigación.

5

- III -

Andrew Wiles:

Es el mátemático británico que en “1995” logró demostrar el difícil teorema de

Fermat. Problema que había estado en la mente de los matemáticos durante 350 años.

“La demostración” produjo un gran suceso científico, dando origen a la Fundación del

empresario Landon Clay, cuyo comité científico está integrado por el famoso descubridor

“Wiles”, prestigioso experto de la Universidad de Princeton.

La Fundación The Clay Mathematics Institute (CMI), de Cambridge, en los Estados Unidos,

imitando la idea de David Hilbert en el año 1900, planteó la investigación de “siete”

conocidos y difíciles problemas a resolver, asignando un millón de dólares a cada uno de

ellos como premio a quien logre encontrar soluciones, siete premios independientes. No se

exige fecha de entrega a los trabajos a presentar, dada la dificultad que presentan los temas

seleccionados.

La Fundación Clay

Comenta que el pensamiento matemático contiene:

“Belleza, fuerza y universalidad. Y que los avances en la matemática van de la mano con

los descubrimientos de todas las ciencias”.

Francisco Vera: Autor de numerosas obras de matemática, como –Historia de la matemática

en España, 1929. Los judíos españoles y su contribución a las ciencias exactas,Bs.As. 1948.

Introducción a la ecuación de segundo grado en Europa, Varsovia 1933. La matemática de

los musulmanes españoles, Bs.As. 1946. La matemática en el occidente latino medieval,

Bs.As. 1956. Etcétera…

Escribe en su Lexicon publicado por Editorial Kapelusz en 1960, en la página 483, que

muchas son las cuestiones planteadas y no resueltas sobre los números primos, además de

ésta, la Hipótesis de Riemann, entre ellas las cinco siguientes cuestiones se consideran

fundamentales:

I. Encontrar un número primo mayor que otro.

II. Establecer una fórmula que dé números primos.

III. Calcular el número primo que sigue a otro dado.

IV. Determinar el número de números primos (cardinal primos) menores o iguales a un

número “X”.

Es decir : la frecuencia total de números primos menores o iguales a “X”, la función π(X).

V. Calcular directamente el n-simo (enésimo) número primo.

6

- IV -

Por último terminada esta introducción, a continuación, se agregan algunas notas

convenientes.

ADVERTENCIA:

El número de página del punto medio del margen superior corresponde al

índice del libro.

El número al pié de cada página -margen inferiores la numeración en seguidilla de la

totalidad de páginas ; no coincide con la numeración del índice.

NOTA: “La sucinta introducción histórica, detallada en lás páginas anteriores, es el prólogo

de la segunda parte, copiado textualmente pues la tercera parte que sigue está íntima _

mente ligada a las conclusiones de la segunda parte de la investigación”.

ACLARACIÓN CONVENIENTE PARA INICIAR EL DESARROLLO DE ESTA ÚLTIMA PARTE:

En la primera (2001) y segunda parte (año 2009), del modelo matemático ideado para

estudiar los números impares en relación a su separación en Primos y No Primos, se utilizó

el criterio de analizar los números impares no primos como el producto de dos impares

ordenados “Ij x Ii=In” (número impar no primo), ordenados de tal modo que Ij (1er.factor) es

menor o igual al Ii (2do. Factor); y los naturales j<=i ; Ij=2j+1; Ii=2i+1

El segundo y fundamental criterio, base del modelo, clasifica al conjunto universal de

impares en intervalos de clase contiguos, en seguidilla. Intervalos que son clases de

equivalencia que subdividen al universo; y cuyo análisis y desarrollo está contenido en el

modelo matemático ideado. Modelo exaustivo, con sus fórmulas de cálculo análitico y

procedimientos de cálculo númerico, más propiedades, postulados, etc., y finalmente las

conclusiones pertinentes.

A continuación traemos a colación las primeras clases de equivalencia para conectar lo que

sigue en páginas siguientes, a las bases de la investigación. 2 2

In(jco)=(1; 3 ]=(1; 9] 1ra. Clase de equivalencia o subconjunto {3,5,7,9} . 2 2

In(jc1)=(3; 5 ]= (9; 25] 2da. clase de equivalencia o intervalo de clase, etcétera………………… 2 2

…..In(jc4) =(9; 11 ]=(81; 121] 5ta. Clase de equivalencia (Io; If] ; Io=81 ; If =121

(Io; If] ={83,85.87,89,91,93,95,97,99,101,103,105,107,109,111,113,115,117,119,121] # = 20 impares

7

- 1 -

FUNCION ACUMULATIVA DE PRIMOS – π(x=441) . TABLA DE CÁLCULO NUMÉRICO Impares no primos = INPr = Ij X Ii ; producto de dos impares ordenados (1ro.X 2do.) según Ij <= Ii ; j <= i

_________________________________________________________________________________________

In Ij1=3 Ij2=5 Ij3=7 Ij5=11 Ij6=13 Ij8=17 Ij9=19 Ij10=21 Tipo de

Impar j1=1 j2=2 j3=3 j5=5 j6=6 j8=8 j9=9 j10=10 Impar

_________________________________________________________________________________________

3 inicio de jco clase de equivalencia inicial (1; 9] Primo

5 Primo

7 Primo

9 3 X 3 Fin jco INPr(SR)=0R

11 inicio de jc1 2da. clase de equivalencia (9; 25] Primo

13 Primo

15 3 X 5 INPr(SR)=0R

17 Primo

19 Primo

21 3 X 7 INPr(SR)=0R

23 Primo

25 5 X 5 Fin jc1 INPr(SR)=0R

27 3 X 9 inicio jc2 (25; 49] INPr(SR)=0R

29 Primo

31 Primo

33 3 X 11 INPr(SR)=0R

35 ///////// 5 X 7 INPr(SR)=0R

37 Primo

39 3 X 13 INPr(SR)=0R

41 Primo

43 Primo

45 3 X 15 5 X 9 R INPr(R)=1R

47 Primo

49 7 X 7 Fin jc2 INPr(SR)=0R

51 3 X 17 inicio jc3 (49; 81] INPr(SR)=0R

53 Primo

55 5 X 11 INPr(SR)=0R

57 3 X 19 INPr(SR)=0R

59 Primo

61 Primo

63 3 X 21 7 X 9 R INPr(R)=1R

65 5 X 13 INPr(SR)=0R

67 Primo

69 3 X 23 INPr(SR)=0R

71 Primo

73 Primo

75 3 X 25 5 X 15 R INPr(R)=1R

sigue///

8

- 2 - ///continuación

__________________________________________________________________________________________

In Ij1=3 Ij2=5 Ij3=7 Ij5=11 Ij6=13 Ij8=17 Ij9=19 Ij10=21 Tipos de

Impares

77 7X11 INPr(SR)=0R

79 Primo

81 3X27 Fin jc3 INPr(SR)=0R

83 Inicio jc4 (81; 121] Primo

85 5X17 INPr(SR)=0R

87 3X29 INPr(SR)=0R

89 Primo

91 7X13 INPr(SR)=0R

93 3X31 INPr(SR)=0R

95 5X19 INPr(SR)=0R

97 Primo

99 3X33 INPr(SR)=0R

101 Primo

103 Primo

105 3X35 5X21 R 7X15 R INPr(R)=2R

107 Primo

109 Primo

111 3X37 INPr(SR)=0R

113 Primo





123 3X41 inicio jc5 (121; 169] INPr(SR)=0R


127 Primo


131 Primo


135 3X45 5X27 R INPr(R)=1R

137 Primo

139 Primo


143 11X13 INPr(SR)=0R


147 3X49 7X21 R INPr(R)=1R

149 Primo

151 Primo



Sigue ///

9


In Ij1=3 Ij2=5 Ij3=7 Ij5=11 Ij6=13 Ij8=17 Ij9=19 Ij10=2| Tipo de

impares

157 Primo



163 Primo

165 3X55 5x33 R 11X15 R INPr(R)=2R

167 Primo


171 3X57 Inicio jc6 (169; 225] INPr(SR)=0R

173 Primo

175 5X35 7X25 R INPr(R)=1R


179 Primo

181 Primo



187 11X17 INPr(SR)=0R

189 3X63 7X27R INPr(R)=1R

191 Primo

193 Primo

195 3X65 5X39 R 13X15 R INPr(R)=2R

197 Primo

199 Primo





209 11X19 INPr(SR)=0R

211 Primo





221 13X17 INPr(SR)=0R

223 Primo

225 3X75 5X45 R Fin jc6 INPr(R) =1R

227 Inicio Ic7 (225; 289] Primo

229 Primo

231 3X77 7X33 R 11X21 R INPr(R)=2R

233 Primo


sigue ///

10

- 4 -

///continuación

In Ij1=3 Ij2=5 Ij3=7 Ij5=11 Ij6=13 Ij8=17 Ij9=19 Ij10=21 Tipos de impares


239 Primo

241 Primo


245 5X49 7X35 R INPr(R)=1R

247 13X19 INPr(SR)=0R


251 Primo

253 11X23 INPr(SR)=0R

255 3X85 5X51 R INPr(R)=1R

257 Primo



263 Primo



269 Primo

271 Primo

273 3X91 7X39 R 13X21 R INPr(R)=2R

275 5X55 11X25 R INPr(R)=1R

277 Primo


281 Primo

283 Primo

285 3X95 5X57 R INPr(R)=1R



291 3X97 Inicio jc8 (289; 361] INPr(SR)=0R

293 Primo


297 3X99 11X27 R INPr(R)=1R 299 13X23 INPr(SR)=0R


303 3X101 INPr(SR)=0R


307 Primo

309 3X103 INPr(SR)=0R

311 Primo

sigue ///

11



Impares

313 Primo

315 3X105 5X63 R 7X45 R INPr(R)=2R

317 Primo

319 11X29 INPr(SR)=0R

321 3X107 INPr(SR)=0R

323 17X19 INPr(SR)=0R

325 5X65 13X25 R INPr(R)=1R

327 3X109 INPr(SR)=0R


331 Primo

333 3X111 INPr(SR)=0R


337 Primo

339 3X113 INPr(SR)=0R

341 11X31 INPr(SR)=0R


345 3X115 5X69 R INPr(R)=1R

347 Primo

349 Primo

351 3X117 13X27 R INPr(R)=1R

353 Primo


357 3X119 7X51 R 17X21 R INPr(R)=2R

359 Primo


363 3X121 11X33 R Inicio jc9 INPr(R)=1R

365 5X73 (361;441] INPr(SR)=0R

367 Primo

369 3X123 INPr(SR)=0R


373 Primo

375 3X125 5X75 R INPr(R)=1R

377 13X29 INPr(SR)=0R

379 Primo

381 3X127 INPr(SR)=0R

383 Primo

385 5X77 7X55 R 11X35 R INPr(R)=2R

387 3X129 INPr(SR)=0R

389 Primo

391 17X23 INPr(SR)=0R

393 3X131 INPr(SR)=0R

sigue ///

12



impares


397 Primo

399 3X133 7X57 R 19X21 R INPr(R)=2R

401 Primo

403 13X31 INPr(SR=0R

405 3X135 5X81 R INPr(R)=1R

407 11X37 INPr(SR)=0R

409 Primo

411 3X137 INPr(SR)=0R



417 3X139 INPr(SR)=0R

419 Primo

421 Primo

423 3X141 INPr(SR)=0R

425 5X85 17X25 R INPr(R)=1R


429 3X143 11X39 R 13X33 R INPr(R)=2R

431 Primo

433 Primo

435 3X145 5X87 R INPr(R)=1R

437 19X23 INPr(SR)=0R

439 Primo

441=X; 3X147 7X63 R Fin jc9 21X21 R INPr(R)=2R

N=220 impares vértice

F(S1;Ij) mul - 73 42 29 15 11 5 3 1 Suma=179

tiplos de Ij F(S1)=INPr

___________________________________________________________________________________________

# (IjxIi R) 0 14 13 7 5 2 1 1 #INPr(R)

F(S2;Ij )colum. F(S2) = 43

__________________________________________________________________________________________

INPr(SR)=0R 73 28 16 8 6 3 2 0 F(S1)-F(S2)

F(SR;Ij) col. 179-43=136

No primos F(SR)sinrepe-

_________________________________________________________________________________tidos______

CALCULO DE π(x=441) FUNCIÓN ACUMULATIVA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES O IGUALES A X=441:

Restando a los N=220 impares del intervalo (1; X=441] , los 136 INPr(SR) impares no primos sin repetidos R

Obtenemos el cardinal de los números primos π(X=441)= 220 – 136 = 84 Primos impares (excluido el 2 par)

- 7 -

Resultado exacto de la fórmula (X-1)/2 – [F(S1) –F(S2)]=84 Primos

13

- 7 -

NOMENCLATURA:

- IPr= impar primo, no puede determinarse por un producto de dos números impares Ij x Ii

- Ij =2j+1 <= Ii =2i+1 ; “j” número natural menor o igual al número natural “i” , condición

fundamental del modelo matemático desarrollado (tres partes).

Ij 1er. factor, menor o igual (<=) a, Ii 2do.factor.

- INPr impar no primo, producto de por lo menos dos números Impares “Ij x Ii” mayores

cada uno de ellos a la unidad “1”. In =impar no primo=INPr = Ij x Ii

- INPr(SR)=0R impar no primo “Sin Repetidos (SR)”, determinable por un único producto de

dos impares “Ij x Ii” .

- INPr(R)=1R o 2R o 3R, etcétera… Impar determinable por varios productos de dos impares

“Ij x Ii” de igual resultado In.

- F(S1;Ij) = cardinal de los impares no primos (INPr) correspondientes a cada columna Ij.

- Suma 179 de la tabla=F(S1)= F(S1;Ij) suma de todos los cardinales indicados al fin de cada

columna Ij . Los Ij, cabezas de las columnas, son los Impares primos fundamentales.

- Número total de impares N = (X – 1)/2 = 220 cardinal del subconjunto In=(1; X] ; X=441 ;

X=If (jc9)

RESUMEN DE CÁLCULO CORRESPONDIENTE A LA TABLA NUMÉRICA DE π(x=441) –Pág.6-.

F(S1)=F(S1;Ij)=179 ; Función suma de los cardinales múltiplos simples de los fundamen_

tales Ij. Incluyen impares sin repetir INPr(SR)=0R e INPr(R)=Repetidos (1R, 2R, 3R, …) es

decir la totalidad de los impares no primos más sus repeticiones en las distintas columnas Ij

F(S2)=F(S2;Ij)=43 ; Función suma de los cardinales de los impares no primos repetidos,

suma de INPr(R), en las distintas columnas Ij . R2 quiere decir impar In doble repetido en dos

distintos niveles Ij y, además, excluidas las repeticiones reiteradas o intersecciones identifi_

cables con los productos triples de los impares fundamentales Ij.

F(S1) – F(S2)= F(SR)= 136 ; Función suma de el # de los “impares no primos sin repetidos”

F(SR) ; Impares no primos sin repetidos (R) ; (R) repetidos.

14

- 8 -

Tabla resumen de los TIPOS DE IMPARES por cada clase de equivalencia jc

Clases Intervalos de #PRIMOS INPr(SR;Ij) #INPr(R) Totales

jc Clase (Io; If] sin par 2 F(SR;Ij) repetidos # In

__________________________________________unificados______________

jco (1; 9] 3 1 0 4

jc1 (9; 25] 5 3 0 8

jc2 (25; 49] 6 5 1 12

jc3 (49; 81] 7 7 2 16

jc4 (81; 121] 8 11 1 20

jc5 (121; 169] 9 12 3 24

jc6 (169; 225] 9 15 4 28

jc7 (225; 289] 13 13 6 32

jc8 (289; 361] 11 19 6 36

jc9 (361; 441] 13 18 9 40

________________________________________________________________

TOTALES (1; 441] 84 104 32 220

104 + 32 = 136 = F(SR) ; 220 – 136 =84 impares PRIMOS = π(X=441). Total impares (1;441]#=220

32 impares no primos (múltiplos) repetidos (R), sin contabilizar sus repeticiones, unificadas en su In.

Total de impares no primos sin repetidos (0R) = INPr(0R)=104 ; 104 + 32 = 136 = F(SR)=F(S1) - F(S2)

15

- 9 –

MÉTODOS ANALÍTICOS – DEDUCCIÓN Y APLICACIÓN DE FÓRMULAS

“EN EL APÉNDICE PAG. 27 Y SIGUIENTES SE DETALLA MÁS EL CÁLCULO POR FÓRMULAS”

RESUMEN DE CÁLCULO CORRESPONDIENTE A LA TABLA NUMÉRICA DE π(X=441) -Pág.6:

F(S1)=INPr(Ij)=179 ; Función suma de los cardinales múltiplos simples de los

fundamentales Ij. Incluyen impares sin repetir INPr(SR)=0R e INPr(R)=Repetidos (1R, 2R, 3R,

…) es decir la totalidad de los impares no primos más sus repeticiones en las distintas

columnas Ij

F(S2)= F(S2;Ij)=43 ; Función suma de los cardinales de los impares no primos repetidos,

INPr(R), de las distintas columnas Ij

F(S1) – F(S2)= F(SR)= 136 ; Función suma de # de los impares no primos sin repetidos

SR abreviatura de “Sin Repetidos” ; F(SR) = #N - #PRIMOS= 220 – 84 = 136

Las fórmulas provienen del cálculo realizado utilizando progresiones aritmética

Caso I Fórmula “F(S1)” :

j=naturales {1,2,3,5,6,8,9] y vértice j10 ={10}

Ij = 2j+1 = impares {3,5,7,11,13,17,19} primos fundamentales y vértice Ij=Ij10={21} jc9 2

F(S1) = [(X – Ij )/(2Ij) + 1] +1Vért =[(441-9)/6 +1] + [(441-25)/10 + 1] + [(441-49)/14 + 1] +[(441-121)/22 + 1] + j1 j1 j2 j3 j5

+ [(441-169)/26 + 1] + [(441-289)/34 + 1] + [(441-361)/38 + 1] + 1(#vértice) =

j6 j8 j9

F(S1) = [73] + [42,6] + [29] + [15,545…] + [11,4615…] + [5,4705…] + [3,105…] + 1(#vértice) j1 j2 j3 j5 j6 j8 j9 j10

Los corchetes con decimales se debe a que X=441 no es múltiplo de su fundamental Ij. Los

decimales indican que el último impar de la progresión aritmética de múltiplos de Ij o

impares no primos INPr(Ij), es el impar inmediato inferior al número decimal del corchete.

Se reemplazan los números decimales por su parte entera izquierda, es decir:

Eizq(42,6)=42 ; Eizq(15,545…)=15 ; Eizq(11,4615…)=11 ; Eizq(5,4705…)=5 ; Eizq(3,105…]=3 , finalmente

obtenemos los cardinales correspondientes a la cantidad de términos de las progresiones

aritméticas de razónes iguales a 2Ij en cada columna o “nivel Ij”

j1 j2 j3 j5 j6 j8 j9 j10 El resultado concuerda con cardinal (#) pág. 6

F(S1)=73 + 42 + 29 + 15 + 11 + 5 +3 + 1vértice = 179 =#Total INPr

“Más adelante puede verse la fórmula simplificada, reduciendo el cálculo”

16

- 10 –

Fórmula F(S2)= (#) de los Impares no primos repetidos (INPr R) de cada fundamental Ij.

Esta fórmula mide los #repetidos (R) incluidos en F(S1), números impares (Ij x Ii) que se

encuentran contenidos en las distintas columnas Ij . Las columnas Ij, correspondientes a los

INPr(Ij) presentan impares (In) idénticos, fueron denominados repetidos y deben excluirse ,

lo que se logra restando a la función F(S1) la función de los productos dobles (R) calculados

en la fórmula F(S2). Se obtiene, así, los impares no primos sin repetidos F(SR)=136.

Para la deducción de la fórmula cuya nomenclatura figura en el título de más arriba, se

organizan los impares no primos de cada columna Ij en “niveles”.

El primer nivel base son los INPr(Ij1) cuyo cardinal 73 indica los múltiplos del primo

fundamental Ij1=3, calculados en la página anterior para j1. Este nivel base se considera sin

impares repetidos (R), pues los repetidos aparecen en los niveles superiores Ij2 hasta Ij9

más el vértice (#=1).

Para deducir la fórmula en cuestión, que denominaremos función suma F(S2) del cardinal

# de los impares no primos dobles o repetidos en dos o más niveles, por ejemplo, In=105 se

repite en el primer, segundo y tercer nivel al ser múltiplo de Ij1, Ij2, Ij3 Impares primos

fundamentales, 105 es impar doble y triple.

Seguiremos el procedimiento de cálculo, de los impares dobles, triples, etc. , paso a paso.

Primer paso:

Se determinan los Pares (Ijk; Ijh), h menor a k ; Ijk nivel fijo ; Ijh nivel inferior a Ijk.

Los elementos a multiplicar 2 a 2 son {Ij1,Ij2,Ij3,Ij5,Ij6,Ij8,Ij9}={3,5,7,11,13,17,19} y el vértice

Ij10=21.

Los productos dobles, que se calculan más abajo, determinan progresiones aritméticas

que permiten calcular la función F(S2) o función suma de los productos dobles entre un par

de niveles y que se encuentra en resultados de la “TABLA DE CÁLCULO NUMÉRICO”pág.6 .

Las progresiones aritméticas de los productos dobles deben ajustase de tal modo que sus

términos primero y último cumplan con las condiciones siguientes

a) Razón de la progresión r=2Ijk 2

b) - Primer término de la progresión, mayor o igual a Ijkfijo , constante en cada par

- Último término de la progresión, menor o igual (<=) a X=441

Primer nivel base Ij1=3: contiene 73 múltiplos del 3, como fue calculado, y no puede tener

repetidos, INPr(R). Es decir que este nivel o primera columna de la tabla, carece de

repetidos, F(S2;Ij1)=0, en su columna de la “TABLA DE CÁLCULO NÚMERICO” que comienza

en página 1, así figura en resultados columna Ij1 de página 6. La suma de todos los Ij da:

F(S2)=43.

17

- 11 –

Segundo Nivel Ij2=5 : Par (5fijoxIj1); Impares In repetidos en el nivel Ij2=5, del nivel base Ij1=3

Ij2=5 factor fijo <=Ii ; In = (5x3) = 15 producto doble que genera la progresión aritmética de

-Razón r=2x(5x3)=2 x 15 =30 2

-Primer término de la progresión 15+r=45 >=Ij2 = 25

-Último término 435 = 5x87=<=441=X

-Progresión del producto doble ={45,75,105,135,165,195,225,255,285,315,345,375,405,435} # =14 R

-Progresión factoreada = 15 x{3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29} # =14=F(S2;Ij2) Repetidos,

múltiplos del impar fundamental del nivel Ij2=5, - ver su resultado en columna TABLA Pág. 6

Tercer Nivel Ij3=7 : Múltiplos Repetidos del 7 ; Pares Dobles (Ij3fijo;Ij1) e (Ij3fijo;Ij2)

(Ij3fijo; Ij1)=(7;3) ; (Ij3fijo; Ij2)=(7;5) ; Productos dobles (7fijox3)=21 y (7fijox5)=35 .

El nivell Ij3=7fijo. 2 2

Impar menor de la progresión aritmética > =Ij3 = 7 =49 ; Impar máximo <=X=441

Par (7x3)=21 ; Razón =2x21=42=r ; Primer término = 21+42=63>=49

Progresión de múltiplos del 7 y 3 en el nivel Ij3=7

{63,105,147,189,231,273,315,357,399,441} #=10 (I) ; factoreando=21x{3,5,7,9,11,13,15,17,19,21}#10

Par (7x5)=35 ; Razón = 2x35=70=r ; Primer término =35+70=105>=49

Progresión ={105,175,245,315,385}#=5 (II) ; Último término 385<=X=441

Intersección {(I) ^ (II)} = {105,315}#=2=F(S3;Ij3) que se desdoblan en triples de los

fundamentales Ij . #(Ij3fijoxIi R)Ij3)=INPr(R;Ij3)= #(I) + #(II) = 15 productos dobles con R ;

terna o 3 niveles = (7fijo, 5 , y 3) incluyen repeticiones reiteradas (intersecciones).

Suma de cardinales a los que debemos restar el # de la intersección =2 (productos triples) ,

medido con la función F(S3; Ij3)#=2 (triples) que hay que descontar de los productos dobles

#(Ij3xIi R) =#INPr(R;Ij3) 15 ; determinando los repetidos dobles F(S2;Ij3)=15 – 2=13

excluidos los “2” triples o intersecciones de los dobles (Tabla pag.6) .

Finalmente los repetidos INPr(R) o múltiplos, en los resultados de se su columna o nivel

TABLA pág.6, es:

#INPr(R;Ij3) –F(S3;Ij3)=F(S2;Ij3)= 15-2=13 ; Valor del Total de TABLA columna Ij3, página 6.

Finalmente los #INPr(SR;Ij3)=F(SR;Ij3) = F(S1,Ij3) – F(S2,Ij3)=29 – 13 =16 impares no primos

sin repetidos (SR) en columna Ij3, ver Tabla pág.6, es decir F(SR;Ij3)=16 impares (SR).

El nivel Ij3=7 relaciona tres niveles el Ij3 (3er.nivel)=7, el Ij2=5 (2do.nivel) y el nivel base

Ij1=3. Los impares fundamentales (7,5 y 3) admiten 2(dos) productos triples (intersecciones),

y sus progresiones los términos { 105,315}#=2 ; impares que pertenecen al intervalo

(49;441].

18

- 12 -

Productos triples válidos posibles – pertenecientes al intervalo [49; 441]:

(7fijox3x5)=105 ; r=2x105=210; progresión {105,315}#=2 productos triples en los niveles Ij3=7 ,Ij2=5;Ij1=3

(7fijox3x9))=189 ; r=2x189=378; progresión {189}#=1

(7fijox3x11)=231 ; r=2x231=462; progresión {231}#=1


(7fijox3x15)=315 ; r=2x315=630 ; progresión {315}#=1



Los productos triples que corresponden al nivel estudiado Ij3 y sus Inferiores Ij2 e Ij1 son los de la primera

progresión aritmética {105, 315} #=2 que incluyen dobles 105=7x15 Y 315=7x 45

4to. Nivel Ij5=11: Columna (Ij5) de la TABLA pág.1 y siguientes 2 El Intervalo al que deben pertenecer los términos de las progresiones de los 4 productos dobles es [Ij5; X=441]

Intervalo= [121; 441] valores extremos, limites de los términos de las progresiones.

2

F(S1;Ij5) = [(X-Ij5/(2Ij5) +1 ]= [(441-121)/22 + 1] = 15,5454…; entera izquierda Eizq=15

= # INPr(Ij5)=15 múltiplos simples del impar fundamental Ij5=11 o 4to.nivel

La Función suma de los múltiplos simples -del nivel Ij5=11 - es F(S1;Ij5)=15

Pares y progresiones de Productos dobles con los niveles inferiores de los impares

fundamentales:

1) (Ij5fijoxIj1)=(11x3)=33 ; razón progresión r=2x33=66 ; primer término=33+2r= 165>=121

Progresión {165,231,297,363,429}#= 5 (I) ; 5 múltiplos de 33 en nivel Ij5

2) (Ij5fijoxIj2) =(11x5)=55 ; razón progresión r=2x55=110 ; primer término=55+r=165>=121

Progresión {165,275,385}#=3 (II) ; 3 múltiplos de 55 en el nivel Ij5

3) (Ij5fijoxIj3) =(11x7)=77 ; razón progresión r=2x77=154 ; primer término=77+154=231>=121

Progresión {231,385}#=2 (III) ; 2 múltiplos del 77 en el nivel Ij5

Los productos dobles del nivel Ij5=11 o #(Ij5fijoxIi R) , sin eliminar las intersecciones es:

#(Ij5xIi R)=(I)+#(II)+#(III) = 5 + 3 + 2 = 10 ; suma de cardinales a la que hay que restar las de

las intersecciones {(I)^(II)} ={165}#=1 ; {(I)^(III)}={231}#=1 ; {(II)^(III)}={385}#=1

Cardinal de las intersecciones =1+1+1=3 =F(S3;Ij4) que coinciden con las progresiones de tres

productos triples reiterados como se indica en página siguiente.

El cardinal resultante que mide los múltiplos dobles eliminando los triples reiterados es:

(5+3+2) – (1+1+1) = 10 – 3 = 7 ; resultado de F(S2;Ij5)#=7 en su columna Ij5 de TABLA pág.6.

#3Intersecciones = F(S3;Ij5) función suma de los impares triples que siguen a continuación.

19

- 13 -

Productos triples válidos (pertenecientes al intervalo [121;441] en el nivel Ij5=11fijo

(11fijox3x5)=165 razón r=2x165=330 progresión {165} #=1 (A)

(11fijox3x7)= 231 razón r=2x231=462 progresión {231}#=1 (B)

(11fijox5x7)=385 razón r=2x385=770 progresión {385]#=1 (C)

#Productos triples = (A)+(B)+(C) =3 . Estos tres productos triples son los mismos que los

hallados en las intersecciones. Se obtiene, en consecuencia, F(S2;Ij5) = (5+3+2) – (3) = 7

concordando con lo desarrollado en página anterior.

F(S2;Ij5)=7 Repetidos productos dobles – las intersecciones productos triples

(ver resultados Tabla, pág.6). Luego se calculan los impares no primo sin repetidos (SR)

F(SR; Ij5) (sin repetidos) es la diferencia F(S1;Ij5) – F(S2;Ij5) = 15 – 7 = 8 (Tabla pág.6).

El 4to. Nivel Ij5=11 no tiene productos cuatriples : (Ij5fijoxIj3xIj2xIj1)=(11fijox7x5x3))= 1155 no

es válido pues queda fuera del intervalo de impares estudiado [121;441]

“No existen productos cuatriples en el nivel Ij5=11 o 4ta. Columna de la TABLA” #=0

Quinto Nivel Ij6=13: Columna (Ij6fijo) TABLA página 1 y siguientes. F(S1;Ij6)=11fijo Pág.6 Tabla 2

[Ij6; X]= [169; 441]=[Ij6; X] intervalo de impares que ajustan los términos de las progresiones.

Productos dobles y sus progresiones, determinación de la función F(S2;Ij6):

1) (13fijox3)=39 ; r=razón=2x39=78 ; primer término 39+2x78=195>=169 condición

Progresión {195,273,351,429}#=4 (I) impares múltiplos del producto doble 39

2) (13fijox5)=65 ; r=razón=2x65=130 ; primer término 65+130=195

Progresión {195,325}#=2 (II) impares múltiplos del producto doble 65


Progresión {273}#=1 (III) único impar múltiplo del producto doble 91

4) (13fijox11)=143 ; r=razón=2x143=286 ; primer término=143+286=429

Progresión {429}#1 (IV) único impar múltiplo del producto doble 143 .

20

- 14 –

Cardinal total de los múltiplos productos dobles #(13fijoxIi R) =4+2+1+1=8 impares no primos

repetidos INPr(R2 dobles;Ij6)=8 a los cuales falta restar las intersecciones o productos

triples.

Intersecciones entre los términos de las progresiones 1),2),3,)4)

(I)^(II) = {195,273,351,429}^{195,325}={195}#=1 ; (I)^(III)=(I)^{273}={273}#=1

(I)^(IV) = (I)^{429}={429}#=1

(II)^(III)={195,325}^{273}={vacío)#=0 cardinal nulo (no hay intersección)

(II)^(IV)={195,325}^{429}={vacío}#=0 cardinal nulo (no hay intersección)

(III)^(IV)={273}^{429}={vacío}#=0 cardinal nulo (no hay intersección}

Suma de cardinales intersecciones 1+1+1 = 3 impares dobles de las intersecciones que se

identifican con triples productos, como vemos líneas abajo.

INPr(R2;Ij6)=(I)+(II)+(III)+(IV)=4+2+1+1=8 ; F(S2;Ij6)=INPr(R2;Ij6) – F(S3;Ij6)

F(S2;Ij6)= 8 – 3 = 5 función suma de los múltiplos del 13 ver Tabla página 6 (resultados)

F(S2;Ij6)=5 mide los Repetidos (R) múltiplos de Ij6= F(R;Ij6) excluidos los 3 “R” reiterados

Los repetidos reiterados o múltiplos de Ij6 triples (de tres factores Ij fundamentales),

se indican con la función suma de cardinales F(S3;Ij6)#= de los productos triples que se

identifican con los 3 impares de las intersecciones {195,273,429}#=3

Los impares triples válidos para el nivel Ij6 son:

195=(13fijox3x5)=(Ij6fijoxIj1xIj2) ; 273=(13fijox3x7)=(Ij6fijoxIj1xIj3) ; 429=(13fijox3x11)

F(S3;Ij6)#= de {195,273,429)=3 productos triples coincidentes con las intersecciones

Cardinal de los impares no primos (múltiplos), sin repetidos (SR), función suma=F(SR;Ij6):

F(SR;Ij6) = F(S1;Ij6) – F(S2;Ij6) = 11 – 5 = 6 Ver Tabla pág.6 resultado que corresponde a la

función suma de impares no primos - múltiplos del nivel o columna Ij6=13 -sin Repetidos.

Cardinal medido por la función “F(SR;IJ6)= 6” (ver Tabla pág.6).

21

- 15 –

Sexto nivel Ij8=17fijo: Columna Ij8 Tabla pág. 1 a 6. Función F(S1;Ij8)=5 pág.6 Tabla; ver Total#Ij8

Niveles relacionados (Ij8fijo,Ij6,Ij5;Ij3,Ij2,Ij1)=(17fijo,13,11,7,5,3)

F(S1,Ij8)=5=múltiplos simples de Ij8 F(S1,Ij8=Eizq.[(441-289)/(2x17)+1] = Eizq.(5,47….)=5

Extremo inferior de los impares In válidos 2 2

Ij8 = 17 = 289

Extremo superior de In válidos X=441 ; Intervalo que incluye los impares In = [289;441].

Productos dobles y sus progresiones aritméticas. Función F(S2;Ij8):

1) (17fijox3)=51 ; razón r=2x51=102 ; primer término=51+3x102=357>=289 extremo inferior

Progresión {357}#=1 (I) ; un solo impar doble, múltiplo de 51=17x3

2) (17fijox5)=85 ; razón r=2x85=170 ; primer término=85+2x170= 425>=289 y <=441

Progresión {425}#=1 (II) ; un solo impar doble, múltiplo de 85=17x5

3) (17fijox7)=119 ; razón r=2x119=238 ; primer término=119+238=357 pertenece a

[289;441]

Progresión {357}#=1 (III) ; un solo impar doble, múltiplo de 119=17x7

4) (17fijox11)=187 ; razón r=2x187=374 ; primer término=187+374=561 impar no válido

pues no pertenece al intervalo [289;441] ; en consecuencia:

Progresión {vacío}#=0 (IV) ; ningún múltiplo de 187 pertenece al intervalo [289;441]

5) (17fijox13)=221 carece de múltiplos #=0 (V); que pertenezcan a [289;441] idénticamente a

al inciso anterior 4).

Finalmente la suma #(I)+#(II)+#(III)+#(IV)+#(V)=1+1+1+0+0=3 cardinal total de los múltiplos

(Ij8xIi) oproductos dobles (R) repetidos del nivel Ij8, productos dobles repetidos, múltiplos

del fundamental Ij8, indicados, también, mediante #(Ij8fijoxIi R)=17=#INPr(R2; Ij8).

Impares repetidos (R) a los cuales falta restar las intersecciones o repetidos reiterados.

Intersecciones que se identifican con productos triples (tres factores fundamentales):

(I)^(II)={357}^{425}={vacío}#=0 ; (I)^(III)={357}^{357}={357}#=1 ; (II)^(III)={vacío}#=0

cardinal, múltiplo triple Producto de (17x7x3)=357 triple (Ij8xIj3xIj1), y :

(17x21)=357 producto doble (Ij8xIi)=(17x21) Ij=17<=Ii=21 condición fundamental del Modelo

los impares #intersecciones = F(S3;Ij8) = 0+1+0=1 un solo Repetido reiterado a excluir.

22

- 16 –

F(S3;Ij8)=1 cardinal de {357)=1 impar producto triple coincidente con las intersecciones

Único repetido reiterado “R” que debe excluirse

F(S2;Ij8)=#INPr(R;Ij8) – F(S3;Ij8)=3 – 1 = 2 Repetidos ver resultado pag.6 TABLA

Cardinal de los impares no primos (múltiplos) sin repetidos (SR) o función suma F(SR;Ij8):

F(SR;Ij8) = F(S1;Ij8) – F(S2;Ij8) = 5 -2 = 3 ; Ver Tabla pág.6 resultado que corresponde a la

función suma de impares no primos múltiplos de Ij8 “3”, excluido los Repetidos (R)

SR= sin repetidos ; INPr(SR) o impares no primos sin múltiplos repetidos (excluidos).

La función F(SR;Ij8) mide el cardinal del sub-conjunto {289,323,391}#=3.

Séptimo nivel Ij9=19fijo: columna TABLA pág.1 a 6. Función F(S1;Ij9)=3 resultado pág.6

#INPr(Ij9)

Niveles relacionados (Ij9fijo=19; Ij8=17; Ij6=13; Ij5=11; Ij3=7; Ij2=5; Ij1=3).

F(S1;Ij9) =Eizq[(441-361)/(2x19) + 1]=Eizq.(3,105…) = 3 ; Intervalo de impares In=[361; 441] 2 2

Extremo inferior del intervalo = Ij9 = 19 = 361 ; extremo superior X=441

Productos Dobles y sus progresiones aritméticas. Función F(S2;Ij9):

1) (19fijox3)=57 ; razón=2x57=114 ; primer término=57+3x114=399>=361 extremo inferior

Progresión={399]#=1 (I) ; un solo impar no primo=399, múltiplo doble de 57=19x3

2) (19fijox5)=95; razón=2x95=190 ; 95+190=285 <361 y 95+2x290=475>441=X no válidos

Progresión {vacío}#=0 (II) ; ningún múltiplo doble de 95 cae en el intervalo [361; 441]

3) (19fijox7)=133 ; razón=2x133=266 ; primer término=133+266=399>=361 extremo inferior

Progresión {399}#=1 (III) ; un solo impar no primo=399, múltiplo doble de 133=19x7

4) (19fijox11)=209 ; razón r=2x209=418 ; primer término=209+418=627 no válido >=441

no válidos. Progresión {vacío}#=0 (IV) ; 209 y 627 fuera del intervalo [361; 441].

5) (19fijox13)=247 ; razón r=2x247=494 ; primer término 247+494=741 no válidos

Progresión {vacío}#=0 (V) ; fuera del intervalo [361; 441]

23

- 17 –

6) (19fijox17)=323 ; razón r=2x323=646 ; primer término=969 fuera del intervalo [361; 441]

Progresión {vacío}#=0 (VI)

Unión de las progresiones de 1) a 6)={399,399}={399 2R} múltiplo del 3,7 y19 (2R)

Intersecciones de los productos dobles 1),2),3),4),5),6):

El único producto doble repetido es la intersección (I)^(III) ={399}#=1 un solo múltiplo

Intersección que se identifica con el producto triple (19x3x7)=399 y el doble (19x21).

Intersecciones cuatriples no existen, pues el producto cuatriple de menor valor es:

(19fijox3x5x7)=1995>=441 ; 1995 producto cuatriple mínimo, (19fijo), fuera del intervalo

[361; 441=X]

Finalmente podemos calcula la función suma F(S2;Ij9)=#INPr(R2;Ij9) - triples + cuatriples

F(S2,Ij9)= #(I)+#(II)+#(III)+#(IV)+#(V)+#(VI) – 1 + 0 = 1+0+1+0+0+0-1+0 = 1

F(S2;Ij9)=#INPr(S2;Ij19) – F(S3;Ij19) + F(S4;Ij19) = 1 Ver resultados pág.6.

Cardinal de los impares no primos sin repetidos = F(SR;Ij9) = F(S1;Ij9) – F(S2;Ij9) = 3 – 1 = 2

El nivel Ij9=19 contiene 2 números impares SR , es decir múltiplos sin repetir

{361=19x19, 437=19x23}.

Finalmente con los resultados de cada columna o nivel “Ij” obtenemos las fórmula finales

Ij10 2

F(S1) = [(X-Ij )/(2Ij) +1]= 73+42+29+15+11+5+3+1 = 179 INPr(simples) impares no primos

Ij1 Niveles j1 j2 j3 j5 j6 j8 j9 j10(vértice) (niveles o columnas de la tabla)

F(S2) = 0+14+13+7+5+2+1+1= 43 impares repetidos (R) = #INPr(R) ; (R) repetidos IjxIi

niveles j1 j2 j3 j5 j6 j8 j9 j10vértice ; vértice Ij10=21 In={441}#1

F(S1) – F(S2) = (73-0)+(42-14)+(29-13)+(15-7)+(11-5)+(5-2)+(3-1)+(1-1)=179-43 = 136 F(SR)

F(SR) = 73 + 28 + 16 + 8 + 6 + 3 + 2 +0 = 136 “impares no primos sin repeticiones (SR)”.

Impares no primos sin repetidos o también múltiplos de los Ij sin repetidos, pertenecientes

a los distintos niveles Ij . Función suma F(SR) para el conjunto o también #INPr(SR=0R)

Total de impares In en el intervalo (1; X=441]#=(441-1)/2 = 220 N=220 impares

Total #PRIMOS acumulados o función de frecuencia acumulada π(X=441) = N – F(SR)

Es decir π(441) = 220 – 136 = 84 números primos impares, exluido el par “2” .

24

-18 –

Deducción de la fórmula F(S2) - #de los impares no primos repetidos INPr(R) -

Exclusión de los repetidos reiterado triples y recomposición de los cuatriples:

Esta fórmula mide el cardinal del conjunto de impares no primos que se repiten

en distintos niveles Ijh, relacionados a un “nivel superior principal Ijk” ; h<k

La fórmula general es sumatoria de la que se aplica a cada nivel Ijk.

EJEMPLO DE PAG. 12 -4to. Nivel Ij5=11: Columna (Ij5) de la TABLA pág.1 y siguientes 2

El Intervalo al que deben pertenecer los términos de las progresiones de los 4 productos dobles es [Ij5; X=441]

Intervalo= [121; 441] valores extremos, limites de los términos de las progresiones.

2

F(S1;Ij5) =Eizq [(X-Ij5)/(2Ij5) +1 ]=E [(441-121)/22 + 1] =Eizq.( 15,5454…) = 15 ; Eizq=15

= # INPr(Ij5)=15 múltiplos simples del impar fundamental Ij5=11 o 4to.nivel

La Función suma de los múltiplos simples -del nivel Ij5=11 - es F(S1;Ij5)=15

Pares y progresiones de Productos dobles con los niveles inferiores de los impares

fundamentales:

1) (Ij5fijoxIj1)=(11x3)=33 ; razón progresión r=2x33=66 ; primer término=33+2r= 165>=121

Progresión {165,231,297,363,429}#= 5 (I) ; 5 múltiplos de 33 en nivel Ij5

2) (Ij5fijoxIj2) =(11x5)=55 ; razón progresión r=2x55=110 ; primer término=55+r=165>=121

Progresión {165,275,385}#=3 (II) ; 3 múltiplos de 55 en el nivel Ij5

3) (Ij5fijoxIj3) =(11x7)=77 ; razón progresión r=2x77=154 ; primer término=77+154=231>=121

Progresión {231,385}#=2 (III) ; 2 múltiplos del 77 en el nivel Ij5

Los productos dobles del nivel Ij5=11 o #(Ij5fijoxIi R) , sin eliminar las intersecciones es:

#INPr(R2;Ij5)= #(I)+#(II)+#(III) = 5 + 3 + 2 = 10=#INPr(R2;Ij5) ; suma de cardinales a la que hay

que restar los # de las intersecciones {(I)^(II)} ={165}#=1 ; {(I)^(III)}={231}#=1 ;

{(II)^(III)}={385}#=1

Cardinal de las intersecciones # =1+1+1=3 que coinciden con las progresiones de tres

productos triples como se indica en página siguiente. Conjunto {165,231,385}#= 3


(5+3+2) – (1+1+1) = 10 – 3 = 7 ; resultado de F(S2;Ij5)=7 en su columna Ij5 de TABLA pág.6.

#3Intersecciones = F(S3;Ij5) función suma de los impares triples, que sigue a continuación.

25

- 19 -

Productos triples válidos (pertenecientes al intervalo [121;441] en el nivel Ij5=11fijo

(11fijox3x5)=165 razón r=2x165=330 1er.Tno. y progresión {165} #=1 (A)

(11fijox3x7)= 231 razón r=2x231=462 1er.Tno. y progresión {231}#=1 (B)

(11fijox5x7)=385 razón r=2x385=770 1er.Tno y progresión {385]#=1 (C)




F(S2;Ij5)=7 Repetidos productos dobles – excluidas las intersecciones triples –

(ver resultados Tabla, pág.6). Luego se calculan lo impares no primo sin repetido (SR)

F(SR; Ij5) (sin repetidos) es la diferencia F(S1;Ij5) – F(S2;Ij5) = 15 – 7 = 8 (Tabla pág.6).


es válido pues queda fuera del intervalo de impares estudiado [121;441]


FÓRMULAS DE CÁLCULO APLICADAS AL EJEMPLO Y GENERALIZADAS

Calculamos de 1) el primer término 33 (I) ; el número de razones necesarias para entrar

en el intervalo [121;441]. En este ejemplo explicativo empezamos con 33+r=33+66=99, no

alcanza el extremo inferior 121; continuamos sumando razones 33+2r=33+132=165>=121

165 es el primer impar repetido INPr(R) de la progresión del producto doble (Ij5xIj1).

La fórmula del número de términos de la progresión aritmética o cardinal (INPrR;Ij5), es:

(I)=INPr(R2;Ij5)= Eizq[(X-primer término)/r +1]=Eizq[(441-165)/(2x33) +1]=Eizq(5,18…)= 5

Obtenemos así la progresión {165,231,297,363,429}#=5 “verifica ”

Idénticamente para los incisos 2) y 3) del EJEMPLO:

2) (11fijox5)=55 ; razón r=2x55=110 ; primer término =1er.Tno.=55+r=165>121

(II)=INPr(R2;Ij5)=Eizq[(441-165)/(2x55) +1]# = 3 progresión {165,275,385}#= 3

26

- 20 -

3) (11fijox7)=77 ; r=2x77=154 ; 1er.Tno.=77+r=231>121 ; progresión {231,385}#=2

(III)=INPr(R2;Ij5)=Eizq[(441-231)/(2x77) +1]#= 2 progresión {231,385} #= 2

INPr(R2;Ij5)=5+3+2=10

Unión de las Intersecciones : {IÎI} U {IÎII} U {IIÎII)} ={165,231,385}#= 3 = F(S3;Ij5)

Productos triples y Progresiones de los múltiplos triples, coincidentes con las

intersecciones de los dobles. Fórmulas:

Análogamente a lo calculado para los productos dobles (Ij5fijo;Ij), tenemos:

Productos triples: (Ij5fijoxIj1xIj2)=(11fijox3x5)=165 ; razón r=2x165 = 330

1er.Tno. progresión 165+330=465 no válido >=441=X fuera del intervalo. Queda un único

producto triple válido , el 1er.Tno.=“165”, que pertenece al intervalo [121; 441] ;

progresión {165)#=1 un solo término=intersección IÎI.

Fórmula de cálculo Eizq[(X-1er. término)/(razón r) +1]# = 1 es decir

Eizq[(441-165)/330 + 1]=1 cardinal de los términos múltiplos INPr del triple 165

Idénticamente se calcula para los demás productos triples del nivel Ij5 en estudio, que

generan progresiones cuyos términos pertenezcan al Intervalo = [121; 441].

A saber:

(Ij5fijoxIj1xIj3)=(11fijox3x7)=231 r=2x231=462 ; 1er.Tno.=231+0x462=231

progresión {231}#= 1 un solo término=intersección IÎII.

Fórmula de cálculo Eizq([X-1er.Tno.)/(razón r) +1]#= 1

(Ij5fijoxIj2xIj3)=(11x5x7)=385 r=2x385=770 1er.Tno. = 385+0xr=385

Progresión {385}#= 1 un solo término=intersección IIÎII . #{productos triples)

Sumatoria

Eizq[(X-1er.Tno.)/(razón) + 1](productos triples)#=interseciones= 3

Restando de los impares no primos repetidos (R), productos dobles, determina F(S2,Ij5)

Es decir:

F(S2;Ij5) = INPr(R2;Ij5) – F(S3;Ij5) = (5+3+2) – 3= 7 ver pág.6

Cardinal de los impares no primos repetidos (R) múltiplo de Ij5

27

- 21-

Productos cuatriples válidos, pertenecientes al intervalo [Ij5; X] = [121; 441]

No hay productos cuatriples para el nivel estudiado Ij5=11 pues el menor de ellos sobrepasa

el intervalo de referencia, en efecto:

(Ij5fijoxIj1xIj2xIj3)=(11fijox3x5x7) = 1155 no válido, mucho mayor a X=441; es decir

INPr(S4;Ij5)#= 0 (Nulo) conjunto vacío

El procedimiento y fórmulas de cálculo son en un todo análogas a las de los productos

triples.

Finalmente se logra el objetivo de poder calcular los impares no primos repetidos (R)

múltiplos de los Ij fundamentales, en este ejemplo Ij5=11, eliminando el exceso de

reiteraciones repetidas en distintos niveles, Ijh menores a Ijk=Ij5=11.

Es decir:

F(S2;Ij5)#= #(Ij5fijoxIi R) – F(S3;Ij5) + F(S4;Ij5) = 10 – 3 + 0= 7 “ver TABLA” pág. 6 columna Ij5

Dobles Triples Cuatriples

INPr(R2;Ij5)=10

La Fórmula total para todas las columnas Ij fundamentales es:

Ij9=19

Total In(Repetidos) = F(S2)= F(S2;Ij) = 0 + 14 +13 +7 + 5 + 2 + 1 +1 = 43 impares no primos

Ij1=3 en el intervalo (1;X=441)

Ver pág.6

Cálculo de la función acumulada de impares sin repetidos

F(SR) = F(S1) – F(S2)= 179 – 43 = 136 INPr excluidos los R

Cálculo de la función acumulada de Primos π(X=441) = N – F(SR) = 220 – 136 = 84

Fórmula: N=(X-1)/2 =220

(X – 1)/2 - F(SR) = 220 – 136 = 84 excluido el par “2” tenemos

Total - INPr= IPrimos 84 impares PRIMOS en (1; 441]

136=Impares no primos (excluidos R) pertenecientes al intervalo (1; X=441] ;

220=Total Impares In=2n+1 ; pertenecientes al intervalo (1; X=441]

28

- 22 -

TABLA RESUMEN -DE IMPARES EN FUNCIÓN DE LAS CLASES DE EQUIVALENCIA “Ijc” :

___________________________________________________________________________ Impares Ijco Ijc1=3 Ijc2=5 Ijc3=7 Ijc4=9 Ijc5=11 Ijc6=13 Ijc7=15 Ijc8=17 Ij9=19 Ij =2j+1 fundamentales

In jco jc1=1 jc2=2 jc3=3 jc4=4 jc5=5 jc6=6 jc7=7 jc8=8 jc9=9 Totales

__________________________________________________________________________

#In(j) 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 220=(X-1)/2=N

__________________________________________________________________________

#F(SR) 1 3 6 9 12 15 19 19 25 27 136 =F(S1)-F(S2) Sin repetidos =F(SR)

__________________________________________________________________________

#Primos 3 5 6 7 8 9 9 13 11 13 84=IPr(jc)

__________________________________________________________________________ Desgloce: 0R=cero repetidos

INPr(0R) 1 3 5 7 11 12 15 13 19 18 104

INPr(Runif.) F(SR)=136

Unificados 0 0 1 2 1 3 4 6 6 9 32

__________________________________________________________________________

F(S1;jc) 1 3 7 11 14 19 24 27 33 40 179=F(S1) Impares no primos simples (IjxIi), con (R), múltiplos de los fundamentales Ij (INPr simples con R)

RESUMEN DE PRINCIPALES FÓRMULAS FINALES – OBTENCIÓN DE π(X=441):

- #In = (X-1)/2 =220 = N totalidad de impares en el intervalo (1; X=441) 2

- F(S1)#=179 impares no primos simples con repetidos (R)= F(S1)= [(X-Ij )/(2xIj +1

- F(S2)#= F(S2;Ij) = 43= F(S2,Ij1)+F(S2;Ij2)+F(S2;Ij3)+F(S2;Ij5)+F(S2;Ij6)+F(S2;Ij8)+F(S2;Ij9)+F(S2;Ij10)

jh productos dobles repetidos (R)

- F(S3)#=F(S3;Ijk) = productos triples ; F(S4)#= 0 productos cuatriples

- F(SR)=Impares no primos, excluidos los repetidos (R) ; F(SR) = F(S1) – F(S2) = 179-43=136

#PRIMOS= N – F(SR)=π(X=441) = 220 – 136 = 84 IPr, impares primos, excluido el par “2”

29

- 23 -

Primos de π(X=441) = 85 , incluyendo el par “2”:

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37, 41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,

137,139,149, 151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,

269,271,277,281,283,293, 307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,

419, 421,431,433,439} # 85 PRIMOS pertenecientes al intervalo (1; X=441)

CONCLUSIONES DE LA INVESTIGACIÓN EN ESTA ÚLTIMA TERCERA PARTE FINAL:

Esta última etapa de la investigación sobre los números Impares “In”, con el fin de en-

contrar un lógica clara y rotunda que permita separar los impares PRIMOS Y NO PRIMOS,

determinando además los principios, conceptos y nociones generales, las propiedades y

procedimientos - gráficos, por tablas, y métodos analíticos con sus fórmulas de cálculo

generales -. Investigación que arribó a buen fin, alcanzando el principal objetivo de la

investigación emprendida.

La teoría ideada, llega a medir la frecuencia acumulada de Primos π(X) con total precisión.

La lógica seguida, más el recurso de utilizar las propiedades de las progresiones aritmé-

ticas, es no solamente efectiva, teórica y prácticamente, sino que explica y muestra como los

números primos presentan una distribución complicada, irregular, que parece seguir las

leyes del azar.No obstante en la teoría se observa como el comportamiento de los

números primos se ajusta bien a una lógica clásica propia de la aritmética tradicional. No

recurre a la matemática probabilística, cuyas leyes llevan implícito un error intrínsico,

presente y obligado en los estudios estadísticos propios de la medición de variables

aleatorias o estocásticas.

Sin embargo, el cálculo logrado en la teoría, realiza contabilizaciones muy precisas y en

general exactas para los números no primos (INPr). Su reconocimiento y clasificación, con

deducciones rigurosas muestran, en forma obvia y elemental, como es el proceso de cálculo

para los números primos; su organización e individualización en diversas situaciones -

agrupamientos, sub-conjuntos, clases de equivalencias, intervalos-, etcétera.

La famosa hipótesis de Riemann esta íntimamente ligada con los ceros no triviales de la

función acumulada de primos π(X), la función zeta de Riemann: s

(s)=0=1/(n) ; s=(+it) ; i unidad imaginaria. Hipótesis que no ha podido ser demostrada

en forma general y que es uno de los siete problemas no resueltos para los cuales la

fundación Clay Mathematics Institute a establecido el premio de un 1.OOO.OOO de dólares

para c/uno de los siete problemas, sin fecha límite por la extrema dificultad que encierran.

La Teoría desarrollada se aplica en, el apéndice, a problemas que más atrás hemos

mencionado como no resueltos y figuran en el “Lexicón” de Francisco Vera” pág.483,

Editorial Kapelusz (año 1960), Buenos Aires.

30

- 24 –

CONCLUSIONES: DE LA 1era. Y 2da. PARTE DE LA INVESTIGACIÓN FINALIZADA

1)PARTE PRIMERA (MODELO MATEMÁTICO), AÑO 2001 UNIVERSIDAD DEL SALVADOR:

El modelo matemático ideado logra:

a)_Determinar una lógica rigurosa y simple para analizar los números PRIMOS, estableciendo

reglas y procedimientos para analizar estos números; reglas matemáticas a las que se

ajustan, los mismos, sin dificultad.

b)_El Modelo está estructurado con un conjunto de fórmulas generales y sintéticas,

diagramas y procedimientos gráficos, por Tablas y por cálculo analítico, etcétera. Consigue

así, el modelo, separar los números IMPARES clasificados en PRIMOS Y NO PRIMOS; impares

agrupados en sucesivos intervalos de clase definidos por los impares cuadrados

consecutivos, intervalos que son clases de equivalencia que dividen el conjunto universal de

los impares.

c) El Modelo permite acotar la frecuencia acumulada de PRIMOS π(X), tema de permanente

y actualizada investigación matemática, ligado a la famosa hipótesis de Georg Riemann

(1826-1866). Mejora, también, las estimaciones basadas en el teorema fundamental de los

números primos.

ETCÉTERA…..

2)SEGUNDA PARTE – PRESENTADA EN LA UNIVERSIDAD DEL SALVADOR (USAL), FEBRERO

DE 2010:

El trabajo concluido, ampliación y perfeccionamiento de la investigación titulada“LOS

NÚMEROS PRIMOS” (Modelo matemático), realizada en la universidad del Salvador en el año

2001, trata numerosos temas y cuestiones relativas a los números primos y no primos.

Cuestiones que son de gran interés en “Teoría de Números”, de vieja data y difícil

solución, mencionadas en el breve prólogo escrito en la iniciación del libro. Prólogo que

remarca el actual interés de la Ciencia en los temas investigados, para los cuales se han

instituido numerosos y muy valiosos premios para incentivar el estudio y la posible solución

de hipótesis y conjeturas matemáticas famosas.

La fundación The Clay Matematics Institute (CMI), de Cambridge, en los Estados Unidos

ofrece siete millones de dólares por siete famosos enigmas, un millón por cada uno de

ellos que alguien logre descifrar, y aceptada su solución por la comunidad científica. La

famosa “hipótesis de Geor Riemann”, el gran matemático alemán que observó que la

distribución de frecuencias de los números primos guarda relación con la función

matemática denominada “zeta de Riemann”. Es uno de esos siete, aún misteriosos,

enigmas. Hipótesis a la que le falta la demostración general. Ver prólogo inicial.

31

- 25 -

El modelo matemático ideado en esta investigación tiene numerosos logros, a saber:

1_ Desarrolla una teoría completa para el análisis del conjunto universal de números

impares, clasificados en primos y no primos.

Esta teoría presenta una lógica de real interés, y es una ayuda en el estudio de los

números primos, por su sencillez y simplicidad. Permite atacar difíciles cuestiones aún

irreductibles, siendo varias de ellas de vieja data, antiguas, y aún sin soluciones satisfactorias

hasta el presente, muy buscadas en la actividad matemática actual y mencionadas en el

prólogo.

2_ El modelo comienza utilizando clases de equivalencia para el universo de números

impares. El análisis de las mismas permitió determinar sencillos métodos de cálculo:

gráficos, por tablas y analíticos. Métodos aplicables a la resolución de clásicos problemas de

los números de Impares (In), clasificados en Primos (IPr) y No Primos (INPr) . Contabiliza sus

cardinales (#) e individualiza los primos y los no primos separándolos.

3_ Análogamente a lo mencionado en el párrafo anterior, el modelo aplica estos métodos a

la frecuencia acumulada de los números primos π(X), relacionada con la hipótesis de

Riemann, determinando soluciones exactas.

4_En números grandes, se contabilizó hasta diez mil millones de naturales. Se

determinaron cotas inferiores y superiores con fórmulas sintéticas (polinomios de segundo

grado) aplicables a grandes números, determinando el error de estimación δ(X).

-El error de estimación presenta variaciones irregulares que son motivo de investigación

-Se introdujo una variante en el Teorema fundamental de los números primos X/logX , que

da una estimación de la función acumulada de primos π(X) con una marcada disminución en

el error de estimación δ(X). Es decir mejorando la precisión de las estimaciones.

5-Se calcula, analíticamente con exactitud, la función π(X) (frecuencia primos), en base a los

impares no primos acumulados INPr(X sin repetidos), obtenidos por fórmula.

32

- 26 -

3) TERCERA PARTE FINAL, UNIVERSIDAD DEL SALVADOR (USAL), AÑO 2010,AÑO 2010:

Esta última etapa de la investigación sobre los números Impares “In”, con el fin de en-

contrar un lógica clara y rotunda que permita separar los impares PRIMOS Y NO PRIMOS,

determinando además los principios, conceptos y nociones generales, las propiedades y

procedimientos - gráficos, por tablas, y métodos analíticos con sus fórmulas de cálculo

generales -. Investigación que arribó a buen fin, alcanzando el principal objetivo de la

investigación emprendida.

La teoría ideada, llega a medir la frecuencia acumulada de Primos π(X) con total precisión.

La lógica seguida, más el recurso de utilizar las propiedades de las progresiones aritmé-

ticas, es no solamente efectiva, teórica y prácticamente, sino que explica y muestra como los

números primos presentan una distribución complicada, que parece seguir las leyes del

azar.No obstante en la teoría se observa como el comportamiento de los números primos

se ajusta bien a una lógica clásica propia de la aritmética tradicional. No recurre a la

matemática probabilística, cuyas leyes llevan implícito un error intrínsico, presente y

obligado en los estudios estadísticos propios de la medición de variables aleatorias o

estocásticas.

Sin embargo, el cálculo logrado en la teoría, realiza contabilizaciones muy precisas y en

general exactas para los números no primos (INPr). Su reconocimiento y clasificación, con

deducciones rigurosas muestran, en forma obvia y elemental, como es el proceso de cálculo

para los números primos; su organización e individualización en diversas situaciones -

agrupamientos, sub-conjuntos, clases de equivalencias, intervalos-, etcétera.

La famosa hipótesis de Riemann esta íntimamente ligada con los ceros no triviales de la

función acumulada de primos π(X), la función (zeta) de Riemann: s

(s)=0=1/(n ) ; s=(+it) ; i unidad imaginaria. Hipótesis que no ha podido ser demostrada

en forma general y que es uno de los siete problemas no resueltos para los cuales la

fundación Clay Mathematics Institute a establecido el premio de un 1.OOO.OOO de dólares

para c/uno de los siete problemas, sin fecha límite por la extrema dificultad que encierran.

La Teoría desarrollada se aplica, en el apéndice, en algunos de los problemas que más atrás

hemos mencionado como no resueltos. Fiiguran en el “Lexicón” de Francisco Vera” pág.483.

Editorial Kapelusz (año 1960), Buenos Aires.

33

- 27 –

A P É N D I C E

___________________

ALGUNAS APLICACIONES Y RELACIONES DE INTERÉS

- LA HIPÓTESIS DE GEOR RIEMANN

- EL MODELO MATEMÁTICO

34

- 28 -

TEMA TRANSCRIPTO DE LOS NÚMEROS PRIMOS SEGUNDA PARTE, PÁG. 65

FÓRMULA PRÁCTICA (IV):

jc9=9 2

Fórmula (IV) INPr(X=400)= (400/2) .(1/Ij) – (1/2) .jc9 . ; jc=Eizq.(9,5)=9=jc9

j1=1

Ij=2j+1={3,5,7,9,11,13,15,17,19,21(vértice)} ; j={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(vértice)}

Impares fundamentales naturales fundamentales

Los INPr 9 y 15 pueden elminarse o no, es indiferente, los resultados finales no varían.

Calculando:

INPr(X=400, incluyen repetidos) = 200 . (1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/13+1/15+1/17+1/19} – (1/2) .81

INPr(X=400) = 200 . 1,13325553 – 40,5 = 186,151106… ; Eizq.=186 ; D=decimal

0,151106…

Aclaración:

Como se explicó en página anterior hay que separar los repetidos INPr (múltiplos de los Ij).

Podemos seguir dos caminos; usando el resultado total (con repetidos) 186 (decimal

0,151106), o también calcular por separado cada uno de los nueve términos de la sumatoriade

los recíprocos impares y sumar resultados, discriminando partes enteras y decimales,

obteniendo otra respuesta parcial diferente. En nuestro ejemplo obtendremos 182 (suma de

Eizq.) y 4,151106 (suma decimales).

La suma de esta discriminación recompone el total 186,151106… .

A los efectos del cálculo total es lo mismo pues se obtiene la misma cantidad de INPr

(X=400; sin repetidos) que, como veremos, es 122.

La TABLA siguiente muestra en detalle lo dicho:

j Ij Fórmula IV Eizq. Decimales Repetidos <=X INPr(sin rep.)

INPr(X) In=Ij .Ii sin repetidos

Con rep. múltiplos INP(X) – INpr(sin rep.)

1 3 66,16666666… 66 0,16666666… 0 66

2 5 38,50000000 38 0,50000000 12 26

3 7 26,07142857… 26 0,7142857… 12 14

4 9 18,72222222… 18 0,72222222… 18 0 (Ij no primo)

5 11 13,68181818… 13 0,68181818… 6 7

6 13 9,88461539… 9 0,88461539… 4 5

7 15 6,83333333… 6 0,83333333… 6 0 (Ij no primo)

8 17 4,26470588… 4 0,26470588… 1 3

9 19 2,02631579… 2 0,02631579… 1 1

Total 186,151106… 182 4,151106… 60 122 INPr(sin repetidos)

35

- 29 -

Impares primos sin repetir = 122 ; Total de impares (1 a 400) =199={3,5,7,…,397,399}#199

Función acumulada de Primos π(X=400) = 199 – 122 = 77 impares primos < X=400 ;

excluido el “2” primo par, resultado exacto.

Aplicación de la fórmula práctica (V) al ejemplo antes visto, para X=400 ; jc=9 , Ijc=19:

jc jc 2 2

(V) INPr(Ij)= Eizq.[(X/(2j)] – (1/2) .jc = (66+40+28+22+18+15+13+11+10) – (1/2) .9 =

j1 j1 = E (223 - 40,5)=182 parte entera izquierda izq.

En página 65, segunda parte de la investigación: tenemos un total de 60 repetidos que

restando de 182 da 122 impares no primos excluyendo los repetidos (INPr SR); SR sin repe-

tidos restando los impares no primos sin repeticiones (122) del total de impares menores o

iguales a X, en nuestro caso 199, obtenemos el total de primos menores o iguales a X=400.

Es decir: 199 – 122 = 77 = π(X) “resultado exacto”.

NOTA:

El redondeo de los decimales puede llevar a un pequeño error.Es conveniente comparar los

resultados de las dos últimas fórmulas, (IV) y (V), y ver si coinciden los valores enteros

izquierda.

CÁLCULO DE LA CANTIDAD (CARDINAL #) DE NÚMEROS PRIMOS, EN UN INTERVALO ∆X

_________________________________________________________________________

∆X1 = X2 – X1 = 441 – 400 el intervalo de impares In2 =(1; X2=441] contiene 220 impares

Según #In2=Eizq.[(X2-1)/2] =220 impares.

El intervalo (1; X1=400] contiene el cardinal correspondiente al impar menor o igual a

Eizq.[(X1-1)/2]=Eizq.(199,5)=199 impares.

Tenemos los cardinales (#) de los Primos acumulados π(X) para los números X1=400 y X2=400

calculados en lasegunda parte (pág.65) y en la tercera parte (págs.8 y 25), de la investigación

“LOS NÚMEROS PRIMOS (MODELOMATEMÁTICO)”, a saber:

π(X2)#=84 Primos impares (sin el par “2”) ; π(X1)#=77 Primos impares (sin el par “2”)

Luego 84 – 77 = 7 Primos ; cardinal de la cantidad de Primos en el intervalo ∆π(Primos)

∆π(X)=π( X2) – π(X1)={401,409,419,421,431,433,439}#=7 Primos entre X1=400 y X2=441

A partir de la siguiente página se realiza el cálculo con fórmulas, es decir utilizando el

procedimiento analítico.

36

- 30 –

FÓRMULAS DE CÁLCULO ANALÍTICO PARA EL INTERVALO ∆π(X1) DE PÁGINA ANTERIOR

________________________________________________________________________

Para X1=400: Impares fundamentales {3,5,7,11,13,17,19,21}={Ij1,Ij2,Ij3,Ij5,Ij6,Ij8,Ij9,Ij10(vértice)} j9 2 vértice {21x21}={121}#= 1 un impar 1v.

F(S1) = Eizq[(X-Ij )/(2Ij) + 1]+1v. =[(400-9)/6 +1]+[(400-25)/10 +1]+[(400-49)/14 +1]+[(400-121)/22 +1]+

j1 +[(400-169)/26 +1]+[(400-289)/34 +1]+[(400-361)/38 +1] + 1(vértice) =

Aclaración: Eizq.=E = parte entera izquierda

F(S1) = E (66,67..)+E(38,5)+E(25,07..)+E(13,68..)+E(9,88..)+E(4,26..)+E(2,03..)+1(vértice)

F(S1) = 66+38+25+13+9+4+2+1v. = 158 = impares no primos (múltiplos) simples =INPr(Ij)

F(S2) = Función Suma2, acumulación de impares no primos dobles(R)= IjxIi, múltiplos

repetidos en distintas columnas de los impares fundamentales, determinantes del mismo

impar In (ver Tabla numérica) Ij1,Ij2,Ij3,Ij5,Ij6,Ij8,Ij9;Ij10vértice={3,5,7,11,13,17,19,21vértice}

En Tabla pág.6, por cálculo numérico empírico se observa que su valor es “F(S2)=43”

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO SEGÚN PÁG.9 Y SIGUIENTES-METODO ANALÍTICO:

INTERVALO (1; 400)=[3;399]

Las columnas de los fundamentales Ijh, h{1,2,3,5,6,8,9,10} se consideran niveles de

referencia, a saber:

Primer nivel Ij1=3fijoNivel base: en el cual se considera que no hay repetidos (R). En tabla, en

la columna de Ij1 observamos un total de 66 números impares In menores o iguales a X1=400

Subconjuntos de impares (1; 399] ={3,5,7,…,395,397,399}#=66 múltiplos del 3=Ij1

Por Fórmula F(S1;Ij1=400)=Eizq[(400-9)/6 +1]=E(66,16…)=66 enteros impares no primos

INPr(Ij1; X1=400)=66 aplicando fórmula explicada en pág.9 (METODOS ANALÍTICOS…)

Como no hay repetidos en el nivel base Ij1 (ver pág.9 y siguientes)

F(S2; Ij1) = 0R cero repetidos

Segundo nivel Ij2=5fijo:

F(S1; Ij2)=Eizq[(400-25)/10 +1]=E(38,5)=38 múltiplos impares de 5

(Ver “métodos analíticos” pág. 9 y siguientes)

37

- 31 -

F(S2; Ij2)Segundo Nivel Ij2=5fijo : Par (5fijoxIj1)=IjxIi producto doble; Impares In repetidos en el nivel

Ij2fijo=5, del nivel base Ij1=3 (ver pág.11)

Ij2=5 factor fijo <=Ii ; In = (5x3) = 15 producto doble que genera la progresión aritmética de

-Razón r=2x(5x3)=2 x 15 =30=r 2

-Primer término de la progresión 15+r=45 >=Ij2 = 25

-Último término 45+30x11=1er.tno.+r.(n-1)=45+30x11=375<=400=X1

-Progresión del producto doble ={45,75,105,135,165,195,225,255,285,315,345,375,} # =12 R

-Progresión factoreada = 15 x{3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25} # =12=F(S2;Ij2) Repetidos, múltiplos

del impar fundamental del nivel Ij2=5, - ver su resultado en columna TABLA Pág. 6

-Cálculo por Fórmulas: F(S2;Ij2)-triples a descontar=Eizq[(375-45)/30 +1]=E(12,83…)#=12 R

Dobles - triples F(S3;Ij2)

- En este Segundo Nivel no puede haber productos triples pues solo se dispone de dos

niveles (Ij2fijoxIj1base)=productos de solo dos impares, no hay productos triples F(S3;IJ2)=0

Al no haber triples queda F(S2;Ij2)=12R , ver tabla columna Ij2(R) es decir INPr(Ij2;R) múltiplos

de Ij2 repetidos en columna Ij1.

Tercer Nivel Ij3=7fijo :

F(S1;Ij3)=Eizq[(400-49)/14 +1]=E(26,07…)=26 impares no primos simples múltiplos del “7”

Pares Dobles (Ij3fijo;Ij1) ; (Ij3fijo;Ij2) es decir (Ij3fijo; Ij1)=(7;3) ; (Ij3fijo; Ij2)=(7;5) ; Productos

dobles (7fijox3)=21 y (7fijox5)=35 . El nivell Ij3=7fijo. 2

Impar menor de la progresión aritmética > =Ij3xIj3 = 7 =49 ; Impar máximo <X=400

Par (7x3)=21 ; Razón =2x21=42=r ; Primer término = 21+42=63>=49

Ultimo término 63+8x42=399<400 ; Progresión de múltiplos del 7 y 3 en el nivel Ij3=7fijo

{63,105,147,189,231,273,315,357,399} #=9 (I) ; Fórmula[(399-63)/42 +1]#=9

factoreando=21x{3,5,7,9,11,13,15,17,19,}#9

Par (7x5)=35 ; Razón = 2x35=70=r ; Primer término =35+70=105>=49

Progresión ={105,175,245,315,385}#=5 (II) ; Último término 385<=X=441

Fórmula [(385-105)/70 +1]#=5

Intersección triples= {(I) ^ (II)} = {105,315}#=2=F(S3;Ij3) que se desdoblan en triples de los

fundamentales Ij El nivel dos (Ij2) incluye dos productos triples que debes restarse para

obtener F(S2;Ij3) = [#(I)+#(II)] – F(S3;Ij3)= INPr(R;Ij3) – F(S3;Ij3)=(9 + 5) - 2 = 12 impares no

38

-32-

primos repetidos eliminando los repetidos reiterados (In múltiplos de 7 >=49 ; <=399<X1

#(Ij3fijoxIi R)=INPr(R;Ij3)= #(I) + #(II) = 9 + 5 =14 productos dobles que incluyen los triples

F(S3,Ij3)=2 triples a eliminar; terna o 3 niveles = (IJ3=7fijo, Ij2=5 , y Ij1=3) ; (7x5x3)=105 incluyen

repeticiones reiteradas (intersecciones o productos triples).El producto triple incluye dobles:

(7x15)=105 ; (5x21)=105 ; (3x35)=105.

Suma de cardinales medidos con la función F(S3; Ij3)#=2 ,triples, que hay que descontar

de los dobles ; #INPr(R;Ij3) = 14 ; determinando los repetidos dobles sin reiteraciones, es

decir:

F(S2;Ij3)=14 – 2=12 excluidos los “2” triples o intersecciones de los dobles, (Tabla pág.6) .

Finalmente los múltiplos repetidos (R) , eliminados los triples (reiterados)son F(S2;Ij3)=12

menores o iguales (<=) a 400 (X1). Contabilizados en su columna o nivel TABLA pág.6.

Es decir:

#INPr(R;Ij3) –F(S3;Ij3)= 14-2=12 = F(S2;Ij3) ; Valor coincidente con TABLA columna Ij3 .

F(S2;Ij3)={63,105,147,175,189,231,245,273,315,357,385,399}#=12 verificado.

Por último los no primos sin repetidos F(SR;Ij3) son:

#INPr(SR;Ij3)=F(SR;Ij3) = F(S1,Ij3) – F(S2,Ij3)=26 – 12 =14 impares no primos (SR) múltiplos “sin

repetidos del impar fundamental, columna, Ij3=7 ; ver Tabla pág.6, es decir F(SR;Ij3)=14

impares (SR) {49,77,91,119,133,161,203,217,259,287,301,329,343,371}#=14 verificado.

El nivel Ij3=7 relaciona tres niveles el Ij3 (3er.nivel)=7, el Ij2=5 (2do.nivel) y el nivel base

Ij1=3. Los impares fundamentales (7,5 y 3) admiten 2(dos) productos triples (intersecciones),

y sus progresiones los términos { 105,315}#=2 ; impares que pertenecen al intervalo

[49;399<X1]. “Los subconjuntos detallados pueden verificarse en la tabla columna Ij3=7xIi”

Productos triples válidos posibles – pertenecientes al intervalo [49; 441]:

(7fijox3x5)=105 ; r=2x105=210; progresión {105,315}#=2 productos triples en los niveles Ij3=7 ,Ij2=5;Ij1=3

(7fijox3x9))=189 ; r=2x189=378; progresión {189}#=1




(7fijox5x9)=315 ;; r=2x315=630; progresión {315}#=1


Los productos triples que corresponden al nivel estudiado Ij3 y sus Inferiores Ij2 e Ij1 son los de la primera

progresión aritmética {105, 315} #=2 que incluyen dobles 105=7x15 Y 315=7x 45

4to. Nivel Ij5=11fijo: Columna (Ij5) de la TABLA pág.1 y siguientes.

El Intervalo al que deben pertenecer los términos de las progresiones de los 4 productos 2

dobles es [Ij5; X1=400)=[121;399] ; valores extremos de los términos de las progresiones.

39

- 33 -

2

F(S1;Ij5) = [(X-Ij5/(2Ij5) +1 ]= Eizq[(400-121)/22 + 1] = 13 ; entera izquierda E=13

E= # INPr(Ij5)=13 múltiplos simples del impar fundamental Ij5=11 (4to.nivel)

La Función suma de los múltiplos simples -del nivel Ij5=11fijo - es F(S1;Ij5)=13

Pares y progresiones de Productos dobles. Pares con los niveles inferiores de los impares

fundamentales:

1) (Ij5fijoxIj1)=(11fijox3)=33 ; razón progresión r=2x33=66 ; primer término=33+2r= 165>=121

Progresión {165,231,297,363,}#= 4 (I) ; 4 múltiplos del 33 en nivel Ij5

2) (Ij5fijoxIj2) =(11fijox5)=55 ; razón progresión r=2x55=110 ; primer término=55+r=165>=121

Progresión {165,275,385}#=3 (II) ; 3 múltiplos del 55 en nivel Ij5

3) (Ij5fijoxIj3) =(11fijox7)=77 ; razón progresión r=2x77=154 ; 1er.término=77+154=231>=121

Progresión {231,385}#=2 (III) ; 2 múltiplos del 77 en nivel Ij5

Los productos dobles del nivel Ij5=11 (#Ij5fijoxIi R). Sin eliminar las intersecciones es:

#(Ij5xIi R)=(I)+#(II)+#(III) = 4 + 3 + 2 = 9 ; suma de cardinales a la que hay que restar las de las

intersecciones {(I)^(II)} ={165}#=1 ; {(I)^(III)}={231}#=1 ; {(II)^(III)}={385}#=1

Cardinal de las intersecciones =1+1+1=3 =F(S3;Ij4) que coinciden con las progresiones de tres

productos triples reiterados como se indica en página siguiente.


(4+3+2) – (1+1+1) = 9 – 3 = 6 ; resultado de F(S2;Ij5)#=6 en su columna Ij5 de TABLA pág.6.

#3Intersecciones = F(S3;Ij5) función suma de los impares triples que siguen a continuación.

Productos triples válidos (pertenecientes al intervalo [121;400=X1) en nivel Ij5=11fijo

Razón y 1er.término progresiones :

(11fijox3x5)=165 ; razón r=2x165=330 progresión {165} #=1 (A)

(11fijox3x7)= 231 ; razón r=2x231=462 progresión {231}#=1 (B)

(11fijox5x7)=385 ; razón r=2x385=770 progresión {385]#=1 (C)




F(S2;Ij5)=6 Repetidos productos dobles, las intersecciones productos triples

ver TABLA (columna Ij5=11).

40

- 34 -

Finalmente se calculan los impares no primos sin repetidos (SR):

F(SR; Ij5) (sin repetidos) es la diferencia F(S1;Ij5) – F(S2;Ij5) = 13 – 6 = 7 (ver Tabla).


es válido pues queda fuera del intervalo de impares estudiado [121;400)=[121;399]


“El cardinal de los triples (A); (B); (C); se calcula con las fórmulas”:

- (11fijox3x5)=165 ; Eizq[(400-1er.término)/r +1]=E(400-165)/330 +1]=E(1,71…)#=1

- (11fijox3x7)=231 ; Eizq[(400-231)/462 +1]=E(1,366…)=1

- (11fijox5x7)=385 ; Eizq[(400-385)/770 +1]=E(1,019…)=1

Total F(S3;Ij5)=1+1+1=3 triples, o intersecciones de los subconjuntos dobles {IjxIi}

Por último, por uso de fórmulas F(S2;Ij5)=#INPr(Ij5) –F(S3;Ij5) = 9 – 3 = 6 repetidos dobles

F(SR;Ij5)=F(S1;Ij5) – F(S2;Ij5) = 13 – 6 =7 In sin repetidos (SR)

Quinto Nivel Ij6=13fijo: Columna (Ij6fijo) TABLA página 1 y siguientes. F(S1;Ij6)=9 2

[Ij6; X]= [169; 400)=[Ij6; X)=[169;377] intervalo de impares que ajustan los términos de las

progresiones. {169,195,221,247,273,299,325,351,377}#=9=F(S1;Ij6) impares no primos

simples, múltiplos del fundamental Ij6=13

Productos dobles y sus progresiones, determinación de la función F(S2;Ij6):

1) (13fijox3)=39 ; r=razón=2x39=78 ; primer término 39+2x78=195>=169 condición

Progresión {195,273,351}#=3 (I) impares múltiplos del producto doble 39

Por Fórmula: Eizq[(400-195)/78 + 1] =E(3,628…) = 3


Progresión {195,325}#=2 (II) impares múltiplos del producto doble 65

Por Fórmula: Eizq[(400-195)/130 + 1]=E(2,57…)=2


Progresión {273}#=1 (III) único impar múltiplo del producto doble 91

Por Fórmula: Eizq[(400-273)/182 + 1]=E(1,69…)=1

41

-35 -

4) (13fijox11)=143 ; r=razón=2x143=286 ; primer término=143+286=429<X1=400 ¡falso!

Progresión {vacío }#=0 (nulo) (IV) ningún múltiplo del producto doble 143, vacío

. Por Fórmula: Es un conjunto vació #=0 (nulo), no tiene sentido la fórmula.

Cardinal total de los múltiplos productos dobles #(13fijoxIi R) =3+2+1+0=6 impares no

primos repetidos INPr(R2 dobles;Ij6)=6 a los cuales falta restar las intersecciones o

productos triples.

Intersecciones entre los términos de las progresiones 1),2),3,)4)

(I)^(II) = {195,273,351)^{195,325}={195}#=1 ; (I)^(III)=(I)^{273}={273}#=1

(I)^(IV) = (I)^{vacío}={vacío}#= 0 (nulo)

(II)^(III)={195,325}^{273}={vacío)#=0 cardinal nulo (no hay intersección)

(II)^(IV)={195,325}^{vacío}={vacío}#=0 cardinal nulo (no hay intersección)

(III)^(IV)={273}^{vacío}={vacío}#=0 cardinal nulo (no hay intersección}

Suma de # intersecciones 1+1+0+0+0+0 = 2 # de las intersecciones que se identifican con

triples productos, repetidos reiterados a descontar, como vemos líneas abajo.

INPr(R2;Ij6)=(I)+(II)+(III)+(IV)=3+2+1+0=6 ; F(S2;Ij6)=INPr(R2;Ij6) – F(S3;Ij6) = 6 – 2= 4

F(S2;Ij6) función suma de los múltiplos dobles (R) repetidos del Ij6=13 (ver Tabla)

F(S2;Ij6)=4 mide los Repetidos (R) múltiplos de Ij6= INPr(R;Ij6) excluidos los 2 “R” reiterados

Los repetidos reiterados o múltiplos de Ij6 triples (de tres factores Ij fundamentales),

se indican con la función suma de cardinales F(S3;Ij6)#=2 de los productos triples que se

identifican con los 2 impares de las intersecciones {195,273,429}#=2

Los impares triples válidos para el nivel Ij6 y X1=400 son:

195=(13fijox3x5)=(Ij6fijoxIj1xIj2) ; 273=(13fijox3x7)=(Ij6fijoxIj1xIj3) ; 429=(13fijox3x11)

Excluido >X1=400

F(S3;Ij6)#= de {195,273)=2 productos triples coincidentes con las intersecciones

Por Fórmulas: Eizq[(400-195)/390 +1]=1 ; Eizq[(400-273)/546 +1]=1 Total=1+1=2

42

-36 -

Cardinal de los impares no primos (múltiplos), sin repetidos (SR), función suma=F(SR;Ij6):

F(SR;Ij6) = F(S1;Ij6) – F(S2;Ij6) = 9 – 4 = 5 (SR) sin Repetidos columna Ij6=13. Cardinal medido

por la función “F(SR;IJ6)= 5” (ver Tabla).

Sexto nivel Ij8=17fijo: Columna Ij8 Tabla pág. 1 a 6. Función F(S1;Ij8)=4 Tabla ver #Ij8

Niveles relacionados (Ij8fijo,Ij6,Ij5;Ij3,Ij2,Ij1)=(17fijo,13,11,7,5,3)

F(S1,Ij8)= =múltiplos simples de Ij8 F(S1,Ij8=[(400-289)/(2x17)+1] = Eizq.(4,26….)=4

Extremo inferior de los impares In válidos 2 2

Ij8 = 17 = 289

Extremo superior de In válidos X1=400 ; Intervalo que incluyen los impares In = [289;441].

Productos dobles y sus progresiones aritméticas. Función F(S2;Ij8):

1) (17fijox3)=51 ; razón r=2x51=102 ; primer término=51+3x102=357>=289 extremo inferior

Progresión {357}#=1 (I) ; un solo impar doble, múltiplo de 51=17x3

Por fórmula: Eizq[(400-357)/102 + 1]=E(1,42…)= 1

2) (17fijox5)=85 ; razón r=2x85=170 ; primer término=85+2x170= 425>=289 y <=441

Progresión {vacío}#=0 (II) ; ningún impar doble, múltiplo de 85=17x5, en [289;400)

Por fórmula: vacío , no se puede aplicar fórmula, no tiene sentido

3) (17fijox7)=119 ; razón r=2x119=238 ; primer término=119+238=357 pertenece a [289;400)

Progresión {357}#=1 (III) ; un solo impar doble, múltiplo de 119=17x7

Por Fórmula: Eizq[(400-357)/238 + 1] =E(1,18…)= 1

4) (17fijox11)=187 ; razón r=2x187=374 ; primer término=187+374=561 impar no válido

pues no pertenece al intervalo [289;400) ; en consecuencia:

Progresión {vacío}#=0 (IV) ; ningún múltiplo de 187 pertenece al intervalo [289;400)

5) (17fijox13)=221 carece de múltiplos #=0 (V); que pertenezcan a [289;400) idénticamente a

al inciso anterior 4). Por fórmula #=0 pues no puede aplicarse, no tiene sentido.

Finalmente la suma #(I)+#(II)+#(III)+#(IV)+#(V)=1+0+1+0+0=2 cardinal total de los múltiplos

(Ij8xIi) oproductos dobles (R) repetidos del nivel Ij8, productos dobles repetidos, múltiplos

del fundamental Ij8, indicados, también, mediante #(Ij8fijoxIi R)=17=#INPr(R2; Ij8).

Impares repetidos (R) a los cuales debe restarse las intersecciones o repetidos reiterados.

Intersecciones que se identifican con productos triples (tres factores fundamentales):

(I)^(II)={357}^{425}={vacío}#=0 ; (I)^(III)={357}^{357}={357}#=1 ; (II)^(III)={vacío}#=0

cardinal, múltiplo triple Producto de (17x7x3)=357 triple única intersección (Ij8xIj3xIj1), y :

(17x21)=357 producto doble (Ij8xIi)=(17x21) Ij=17<=Ii=21 condición básica.

Los triples o intersecciones se denominan con F(S3;Ij8) = 1.

43

- 37 -

F(S3;Ij8)=1 cardinal de {357)#=1 impar producto triple coincidente con la única intersección

{357} Único triple o repetido reiterado “R” que debe excluirse.

F(S2;Ij8)=INPr(R) – F(S3;Ij8)=2 – 1 = 1 (R) dos repetidos múltiplos del 17=Ij8 en el intervalo

[289;X1=400)

Cardinal de los impares no primos (múltiplos) sin repetidos (SR) o función suma F(SR;Ij8):

F(SR;Ij8) = F(S1;Ij8) – F(S2;Ij8) = 4 -1 = 3 ; Ver Tabla resultado que corresponde a la función

suma de impares no primos múltiplos de Ij8 “3”, excluido los Repetidos (SR).

SR= sin repetidos ; INPr(SR) o impares no primos sin múltiplos repetidos (excluidos).

La función F(SR;Ij8) mide el cardinal del sub-conjunto {289,323,391}#=3.

Séptimo nivel Ij9=19fijo X1=400: columna Ij9=19 ; TABLA pág.1 a 6.

Función F(S1;Ij9)=Eizq[(400-361)/38 + 1] = E(2,02…) = 2 =#INPr(Ij9) múltiplos del 19

En el intervalo [361;X1=400) ; {361,399}#=2

Niveles relacionados (Ij9fijo=19; Ij8=17; Ij6=13; Ij5=11; Ij3=7; Ij2=5; Ij1=3).

Intervalo de impares In=[361; 441] 2 2

Extremo inferior del intervalo = Ij9 = 19 = 361 ; extremo superior X=400 excluido

Productos Dobles y sus progresiones aritméticas. Función F(S2;Ij9):

1) (19fijox3)=57 ; razón=2x57=114 ; primer término=57+3x114=399>=361 extremo inferior

Progresión={399]#=1 (I) ; un solo impar no primo=399, múltiplo doble de 57=19x3

Por Fórmula : Eizq[(400-399)/114 +1]=E(1,008…)= 1 (I)

2) (19fijox5)=95; razón=2x95=190 ; 95+190=285 <361 y 95+2x290=475>X1 no válidos

Progresión {vacío}#=0 (II) ; ningún múltiplo doble de 95 cae en el intervalo [361; 400)

No tiene sentido la fórmula

3) (19fijox7)=133 ; razón=2x133=266 ; primer término=133+266=399>=361 extremo inferior

Progresión {399}#=1 (III) ; un solo impar no primo=399, múltiplo doble de 133=19x7

Por fórmula: Eizq[(400-399)/266 + 1]= 1 un solo múltiplo doble (Ij9xIi)

4) (19fijox11)=209 ; razón r=2x209=418 ; primer término=209+418=627 no válido >X1=400

no válidos. Progresión {vacío}#=0 (IV) ; 209 y 627 fuera del intervalo [361; 441].

No tiene sentido la fórmula por conjunto vacío ; cardinal #= 0

5) (19fijox13)=247 ; razón r=2x247=494 ; primer término 247+494=741 no válidos

Progresión {vacío}#=0 (V) ; fuera del intervalo [361; 441], no tiene sentido la fórmula

44

- 38 -

6) (19fijox17)=323 ; razón r=2x323=646 ; primer término=969 fuera del intervalo [361; 441]

Progresión {vacío}#=0 (VI). La fórmula no tiene sentido

Unión de las progresiones de 1) a 6)={399}={399(R)}#=2R dos repeticiones múltiplo del 3,7

y19 . Luego tenemos INPr(R2;Ij9) = 1+0+1+0+0+0=(I)+(II)+(III)+(IV)+(V)+(VI)=2

Intersecciones de los productos dobles 1),2),3),4),5),6):

El único producto triple es la intersección (I)^(III) ={399}#=1 un solo múltiplo triple

Intersección o producto triple (19fijox3x7)=399 repetido como doble (19fijox21)={399}.

Intersecciones cuatriples no existen, pues el producto cuatriple de menor valor es:

(19fijox3x5x7)=1995>X1=400 ; 1995 producto cuatriple mínimo, (19fijo), fuera del intervalo

[361; 441=X] no existen productos cuatriples en el intervalo [361;X1=400)

Finalmente podemos calcular la función suma F(S2;Ij9)=#INPr(R2;Ij9) - triples + cuatriples…

F(S2,Ij9)=[ #(I)+#(II)+#(III)+#(IV)+#(V)+#(VI)] – 1 + 0 = [2]-1+0 = 1

F(S2;Ij9)=#INPr(S2;Ij19) – F(S3;Ij19) + F(S4;Ij19) = 1 Ver Tabla

Cardinal de los impares no primos sin repetidos = F(SR;Ij9) = F(S1;Ij9) – F(S2;Ij9) = 2 – 1 = 1

El nivel Ij9=19 contiene 1 solo número impar SR , es decir múltiplo sin repetir de Ij9=19

La columna Ij9 de Tabla da el conjunto INPr(Ij9)={361,399}#=2 399R y 361SR

Finalmente con los resultados de cada columna o nivel “Ij” obtenemos las fórmula finales

Ij9 2

F(S1) = [(X-Ij )/(2Ij) +1]= 66 + 38 +26 +13 +9 +4 +2 = 158 INPr(simples) impares no primos

Ij1 Niveles Ij1 Ij2 Ij3 Ij5 Ij6 Ij8 Ij9 (niveles o columnas de la tabla)

F(S2) = 0+12+12+6+4+1+1= 36 impares no primos repetidos (R) = #INPr(R)

Niveles Ij1 Ij2 Ij3 Ij5 Ij6 Ij8 Ij9

F(S1) – F(S2) = F(SR) = 122 ; F(SR)= impares no primos sin repetidos INPr(SR)

F(SR) = 66+26+14+7+5+3+1 = 122 =F(S1)-F(S2) “impares no primos sin repeticiones (SR)”.

Impares no primos sin repetidos o también múltiplos de los Ij sin repetidos, pertenecientes

a los distintos niveles Ij . Función suma F(SR) para el conjunto o también #INPr(SR=0R)

Total de impares In en el intervalo (1; X=400)#=Eizq[(400-1)/2 ] = 199 impares In =N(X1)

45

-39-

Total #PRIMOS acumulados o función de frecuencia acumulada π(X=400) = N – F(SR)

Es decir π(400) = 199 – 122 = 77 cantidad acumulada de números primos menores o iguales

a X1=400, exluido el par “2”, es decir: π(X1=400) = N – F(SR) = 77 (pág. anterior) .

RESUMIENDO EL CÁLCULO DE π(X1=400), método analítico por Fórmulas: 2

F(S1) = 158 Impares no primos, acumulados en el intervalo [Ij1 ; X1=400)=[9 ; 400)

Ij9

F(S1)=INPr(Ij) Suma de impares no primos múltiplos de Ij que incluyen repetidos y SR Ij1 Ij9

F(S2) = 36= {INPr(S2;Ij) - F(S3;Ij) + F(S4;Ij) …} = #INPr(R) múltiplos de los Ij sin reiteraciones

Ij1

Impares no primos repetidos (R) ,sin reiteraciones en intervalo [Ij1 ; X1=400)

F(S3;Ij)= impares no primos en columna Ij, productos triples - intersecciones en [Ij1 ; Ij9) -

F(S4;Ij) =impares no primos, productos cuatriples (cuádruples)=0 en intervalo [9 ; 400)

F(SR)=INPr(SR)=F(S1) – F(S2) = 158 – 36 =122= INPr(SR)

impares no primos, múltiplos de los Ij, sin repetidos (SR) en intervalo [9 ; X1=400)

N(X1) = (X1-1)/2 = número total de impares en intervalo (1; X1=400) =Eizq(199,5)=199

PRIMOS, FRECUENCIA ACUMULADA π(X):

π (X1=400) = N (X1) – F(SR) = 199 – 122 = 77 (#números primos) IPr<X1=400 excluido el par “2”

Nota: En página siguiente están resumidos los cálculos de π(X2=441) de página 22.

Encuadrados en Tabla, junto a los de π(X1=400) de líneas arriba.

46

-40-

TABLA RESUMEN -DE IMPARES EN FUNCIÓN DE LAS CLASES DE EQUIVALENCIA Ijc -:

___________________________________________________________

Funciones X2=441 X1=400 ∆=Incrementos

___________________________________________________________

N(X)=Eizq[(X-1)/2] 220 199 21

F(S1) 179 158 21

INPr(simples y R)

F(S2) 43 36 7

INPr(R) (repetidos)

F(SR) =F(S1)-F(S2) 136 122 14 Sin repetidos

___________________________________________________________

Primos =N(X)-F(SR) 84 77 ∆π(X1)=7

π(X) acumulación primos π(X2) π(X1) π(X2)-π(X1)

___________________________________________________________

RESUMEN DE PRINCIPALES FÓRMULAS FINALES – OBTENCIÓN DE π(X2=441): Ver pág.22

- #In = Eizq[(X-1)/2]= N totalidad de impares en el intervalo (1; X] 2

- F(S1)= impares no primos simples y repetidos (R)= F(S1)= Eizq.[(X-Ij )/(2Ij) +1] =179

- F(S2)#= F(S2;Ij) = 43= F(S2,Ij1)+F(S2;Ij2)+F(S2;Ij3)+F(S2;Ij5)+F(S2;Ij6)+F(S2;Ij8)+F(S2;Ij9)+1vértice

Ijh productos dobles repetidos en dos o más niveles Ij (R) restados F(S3;Ij), sumados F(S4;Ij) ….etc.

- F(S3)#=F(S3;Ijk) = productos triples ; F(S4)#= 0= productos cuatriples

- F(SR)=Impares no primos sin repetidos (SR) ; F(SR) = F(S1) – F(S2) = 179-43=136

SR= sin repetidos

- #PRIMOS= N – F(SR)=π(X2=441) = 220 – 136 = 84 IPr, impares primos, excluido el par “2”

- ∆π(x1) ={401,409,419,421,431,433,439}#=7 (ver Tabla), incremento del número de Primos

47

-41-

LA HIPÓTESIS DE “RIEMANN, GEORG FIEDRICH BERNHARD (1826-1866)” :

Leemos, en el “Lexicon de Editorial Kapelusz (1960)”- MATEMÁTICA, de Francisco Vera-,

en últimos renglones de página 482, que:

Hoy se trabaja en la determinación de los valores

más aproximados de “π(x)” íntimamente ligados al de los valores que toma la función de

Riemann: ∞ s

(S)= (1/(n ))

n=1

S= +i.t variable compleja , parte real y t parte imaginaria, i=unidad imaginaria o (-1)

Raíz cuadrada de menos uno

(S) para valores de S de parte real positiva y menor que la unidad.

“Riemann”, planteó su famosa hipótesis de que: todos los valores de S cuyas partes reales

estén comprendidas entre 0 y 1, y que anulen a (S), -considerando los ceros no triviales de

su función (S) =0- , tienen 1/2 por parte real (=0,5).

Si esta hipótesis fuese cierta, entonces sería:

x

π(x) = ∫ dx /logx + Ψ(x) ; siendo el módulo ІΨ(x)І < A .x . logx ; “A” número fijo

2 logx=lnx (logaritmo neperiano o natural)

La hipótesis afirma que , cumpliéndose esta fórmula , significaría que la distribución de

los números primos, cuya función de frecuencia acumulada es π(x), se verifica al azar; en

consecuencia se ajusta a las leyes del cálculo de probabilidades y se comporta como las

distribuciones de las variables aleatorias de la estadística.

Demás está decir que las variables aleatorias de la estadística implican, siempre,

algún error de estimación, no admiten la exactitud absoluta. Solo pueden estimarse

probabilísticamente. Los errores de estimación son ineludibles en el cálculo de

probabilidades.

Esta singular hipótesis de G. Riemann, como se dijo en esta investigación, ha sido incluida

entre los siete problemas matemáticos que tienen asignados un millón de dólares cada uno,

sin fecha de vencimiento, por la Fundación Clay de los EEUU; lo que indica el gran interés

científico que presenta la cuestión.

A continuación se relaciona lo dicho con el Modelo Matemático de esta investigación.

48

-42-

EL MODELO MATEMÁTI CO – INVESTIGACIÓN “LOS NÚMEROS PRIMOS” (USAL 2001):

El Modelo Matemático cuya tercera parte, o etapa de la investigación, ha sido

sintetizada en este trabajo como proyecto del año 2010, presenta algunas características

que tienen interés en relación a la famosa y misteriosa hipótesis de G. Riemann.

Resumimos las de mayor relevancia que son:

1_ La primera parte (año 2001) incluye, entre muchas otras cosas, un estudio sobre nuevas

funciones estimativas de la función π(x); algunas de ellas utilizando recursos probabilísticos

como los estudios de correlación y regresión no lineal de la estadística. 16

Se logró aproximaciones muy buenas para números muy grandes del orden de 10 (diez mil

billones), estimaciones con errores mucho menores a las realizadas partiendo del teorema

fundamental del primo.

2_ En la segunda parte (2009), y tercera parte (2010) , especialmente en esta última, se

determinaron fórmulas de cálculo analítico F(S1), F(S2), F(SR), etc., y sistemas de cálculo

numérico, midiendo con total exactitud los valores de la frecuencia acumulada de números

primos π(x) y de sus variaciones o incrementos ∆π(x).

3_ El Modelo Matemático ideado está desarrollado con una lógica general simple, clara,

rigurosa y completa. Se basa principalmente en recursos de la aritmética clásica aplicada a

los números impares. Apunta a la separación, contabilización y clasificación de los impares,

en Primos y no Primos. Utiliza, en el cálculo analítico, las progresiones aritméticas y sus

propiedades.

En menor medida, utiliza recursos de la matemática moderna y del cálculo superior.

Especialmente aplica la teoría de conjuntos con sus clases de equivalencias y las funciones

de variables discretas ligadas al Cálculo General en Variaciones arbirarias (USAL), genera_

lización del Cálculo Infinitesimal de Newton y Leibnitz(1996-1999), y unificación de la

Matemática Finita e Infinita bajo un misma lógica (2007).

El Modelo al haber logrado relaciones de exactitud total, para obtener los valores de la

función de frecuencias acumuladas de los números primos π(x) , y de sus variaciones ∆π(x),

no necesita considerar, ni suponer, que la distribución de los números primos es aleatoria.

“Estos resultado obtenidos parecen dejar de lado, por completo, la famosa

Hipótesis de G. Riemann”. Muestran como los números impares primos y no

primos se ajustan a relaciones y leyes de total exactitud, anulando considera-

ciones hoy sospechadas en la Teoría moderna de números, sobre la aleato –

reidad de los números Primos”.

49

- 43 -

B I B L I O G R A F Í A

1- Arachevaleta R. P. Eduardo S.J., “Análisis Numérico” I y II. Librería de Victoriano Suárez,

Madrid (1921).

2- Alberto Dou, “Actas de la Reunión Matemática en honor de A. Dou. Editorial Universidad

Complutense; Madrid 1989.

3- Blaksley Bazterrica, E.J. –“Cálculo General con variaciones arbitrarias”-. USAL, Buenos

Aires (1996)

4- Dirk J. Struik, “Geometría Diferencial Clásica”. Editorial Aguilar; Madrid 1955.

5- Edouard Goussat, “A Course in Mathematical Análisis”, Vol. I . Dover Publication, Inc. –

New York (1904).

6- E.Kamke, “Theory of sets”. Dover Publication, Ink. New Cork (1950).

7- E. L. Ince, “Integración de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias”, 4ta. edición inglesa y

2da. española . Editorial Dossat S.A., Madrid (1943).

8- Gilbert Stranz y George J. Fix, “An Análysis of the Finite Elemente Method”. Préntice-

Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. (1973).

9- Hurewicz, “Lectures on Ordinary Differential Equations”. John Wiley & Sons, Inc.-New

York (1958)

10- John L. Kelley, “General Topology” . D-Van Nostrand Company, Inc. (1955).

11- John Charles Burkill, “The Theory of Ordinary Differential Equations”. Oliver and Boyd,

New York (1956).

12- Juan de la C. Puig, “Complementos de Algebra”. Imprenta M. Biedma, 2da. edición,

Buenos Aires (1909).

13- Kervor, Juan B._ “Aplicaciones técnicas de las Funciones de Variable Compleja”.

Editorial Don Bosco, Buenos Aires (1967).

14- Kolmogórov y Fomín. “Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional”.

Editorial Mir, Moscú (1972).

15- Kolmogórov y Fomín. “Lebesgue Integrals, and Hilbert Space. Academic Press, New York

and London (1961).

50

- 44 -

16- Konrad Knopp, “Theory of Functions” Vol. I and Part II. Dover Publication, Inc.- New

York (1948).

17- López De La Rica y De Retana Arostegui, “Funciones de Variable Compleja”. Editorial

Razón y Fe S.A. ; Madrid (1968).

18- Lars V. Ahlfors, “Complex Análisis”. Editorial Mc Graw-Hill Company, Inc. (1953).

New York

19- Máltsev, A.I. –“Fundamentos del Algebra Lineal”. Editorial Mir, Moscú (1972).

20- Mischa Cotlar y R. Cignoli, “Nociones de Espacios Normados”, EUDEBA Buenos Aires

(1971).

21- Ramos Mejía, Ildefonso P.-“Cálculo Infinitesimal”. Publicado por A. Romero, Buenos

Aires (1896).

22 ___________________________ Primera Parte. Editorial A. Galli, Buenos Aires (1909)

23 ___________________________ Segunda Parte. Editorial A. Galli, Buenos Aires (1909)

24- Rey Pastor-Trejo-Pi Calleja, “Análisis Matemático” Tomos I-II-III. Editorial Kapelusz,


25- Rojo, O. Armando, “Algebra I-II”. Editorial El Ateneo, Buenos Aires (1991).

26- Ruel V. Churchill, “Fourier Series and Boundary Value Problems”. Editorial Mc Graw-Hill

Book Company, Inc.- New York , 2da.edición (1963).

27- Rutherford, Aris. “Vector, Tensors, and the Basic Equation of Fluid Mechanics. Prentice-

Hall, Inc. Englewood Cliff, N.J. (1962).

28- Sadosky-Guber, “Elementos de Cálculo Diferencial e Integral”. Editorial Alsina, Buenos

Aires (1958)

29- Sagastume Berra y Fernández G.- “Algebra y Cálculo Numérico”. Editorial Kapelusz,


30- Stern - Barbeyrac-Poggi; “Méthodes Practiques D’Etudes des Functions Aléatoires”.

Dunod Paris (1967).

31- Vidal Abascal, “La Nueva Matemática”. Editorial Dossat S.A., Madrid (1961).

51

- 45 -

CURRICULUM VITAE SINTÉTICO 2010

Enrique Jorge Blaksley Bazterrica 72 años, Estado: Casado 2-4-1964

Av. Libertador 16434, San Isidro, Buenos Aires, Argentina Tel particular: (011) 4742-6876

E-mail: [email protected]

ANTECEDENTES PROFESIONALES EN DOCENCIA Y EXPERIENCIA LABORAL:

-Profesor titular de la Universidad del Salvador (USAL), antigüedad 47 años (desde 1963)

y del Colegio del Salvador (desde 1968 hasta jubilación obligatoria 2003)

-Materias: Matemática, Física y Estadística. En nivel secundario, terciario (universidad)

y post-grados.

-Niveles de post-grado donde dictó las materias mencionadas y cursos de investigación:

Facultad de Medicina (Cardioangiología, cirugía general, cirugía cardiovascular, etcétera) USAL –

Post Grado-.

Facultad de Psicología USAL

Carrera de Ingeniería especializada USAL –Post Grado-

Instituto de investigaciones cardiológicas dependiente de la U.B.A –Post Grado-.

Conferencia sobre Estadística e investigación médica en Academia Nacional de Medicina

-Vicerrectorado de Investigación y Desarrollo (USAL), curso a la distancia.

Etcétera...

Libros y artículos de investigación. Editados y Publicados:

-Editorial EUDEBA (U.B.A.),"Métodos especiales para ecuaciones diferenciales", en los Manuales,

año 1969. Tres mil (3000) ejemplares a todo Hispano-América".

-Editorial Hitos, Revista-libro, artículo principal. Título: "Entre la física y la filosofía"

año 1978.

-Revista-LIBRO (SIGNOS, USAL). Artículo titulado "La Estadística Matemática" (aplicación en

investigación científica). Número correspondiente a CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

-Editorial Magisterio del Río de La Plata. Publicación libro titulado:"Una nueva mecánica", año

1988.

-Ediciones El Salvador (USAL). Libro titulado "Mecánica de las micro-partículas"

-Ediciones el Ateneo, Publicación "14 tomos ENCICLOPEDIA MÉDICA “artículo de Estadística en el

primer tomo.

-Libro Publicado por el Dr. URIBURU, Presidente de la Academia Nacional de Medicina.

Titulado El Cáncer de Mama". Artículo: "ESTADÍSTICA MÉDICA”.

52

- 46 -

-Cargos directivos docentes:

-Director del curso Básico en Mecina (500 alumnos/año)

-Secretario Académico de la Carrera de Matemáticas, 1992 a 1999 año en que se cerró

la admisión de alumnos al no alcanzar el cupo mínimo exigido por la USAL.

Investigaciones (inéditas) realizadas en la USAL, con derechos compartidos

-Solución General Completa de las ecuaciones diferenciales de 2do. Orden con coeficientes

variables.

-Solución General de la ecuación diferencial de Vanderpol, ecuación no lineal con

coeficientes variables.

-Cálculo General en variaciones arbitrarias.

-Matemática Finita e Infinita bajo una misma lógica.

-Teoría General sobre "LOS NÚMEROS PRIMOS", tres partes.

-"Unified Theory of the Physics" (Teorìa Unificada de la Física)

- " Un nuevo modelo atómico", aplicación de la Teoría Unificada de la Física"

-"Radio de giro asociado al Spin del electrón, aplicación de Teoría Unificada.

-Chi-cuadrado generalizado (investigación en métodos estadísticos)

-Etcétera.

Asesoramiento En Métodos Estadísticos para Investigación, en general, para

Instituciones Científicas y/o Tecnológicas, de Alto prestigio nacional e

internacional:

- Chrysler Benz Argentina

- Roemmers S.A.

- Bayer S.A.

- Boeringer S.A.

- Fundación Favaloro

- Instituto de Cardiologìa Nacional, dependiente de la U.B.A –Post Grado-

- Astarsa S.A.

- Laboratorios Le Petit

- Laboratorio Orcintec

- Massalin (Phylips Morris)

- Etcétera …..

PRINCIPALES DISTINCIONES ACADÉMICAS Y CIENTÍFICAS – DESIGNADO:

- Maestro de la Facultad de Medicina de la Universidad del Salvador (USAL, 1993).

- Miembro Titular de la Corporación de Científicos Católicos (CCC), año 1997.

- Miembro Honorario de la Conferencia Internacional del Dolor. Academia Nacional

de Medicina. Laboratorios Roemmers S.A.(1994).

- Profesor Consulto en Universidad del Salvador (USAL, 2010).

53

- 47 -

INVESTIGATION WORKS CARRIED OUT BY THE AUTHOR IN THE UNIVERSITY OF THE

SALVADOR. BUENOS AIRES, ARGENTINE.

I_ THEORETICAL PHYSICS. II_ MATHEMICAL ANALYSIS. III_ STATISTIC. I-1 Theoretical Physics (1986). I-2 Mechanics of the micro-partícles (1988). I-3 Unified Theorie of Motion (1989). I-4 Interaction proton-electron (1997), M.E.Mryglod y N. Bourbón. (E. J. Blaksley padrino) I-5 Mathematical Law of the dispertion of the light (1999). I-6 Critic to the scientific truth (2002), edit. Dunken. I-7 Unified theory of the Physics (1990). I-8 Artícle "Radius associated to the Spin del electrón". Universidad del Salvador, 2003. I-9 Critic to the scientífic truth, corrected version and enlarged, Edit.Dunken 2005, Bs.As. II-1 Widespread Differential calculation I, in the plane (X:Y) (1996). II-2 Widespread Differential calculation II, for “n” real variable (1997). lI-3 Widespread Differential calculation III, in complex variable (1998).

II-4 Linear diferential equations of 2do. Order, with variables coefficients. General solution complete (1999). II-5 The diferential equation of Riccati, general method of solution (1999). II-6 Differential equations, not linear, solution for oblique trajectories. General solution of

the equation of Vanderpol (2000). II-7 The numbers cousins (2001). II-8 The numbers cousins, second part (2009) II-9 The numbers cousins, third final part (2010) II-10 The finite Mathematics and infinite Mathematics, in a general logic.USAL 2007 III-1 Homogenized Chi-square (1999). III-2 Analysis alternative discriminates (2000). III-3Sex-dependent electrocardiographic pattern of cardiac repolarization (Bidoggia,Maciel,

Capalozza, Quinteiro, Blaksley, Mosca, Valverde, Bertrand, Arini, Biagetti) Published in American Heart Journal, september and october del 2000.

III-4Sex differences on the electrocardiographic pattern or cardiac repolarization:posible role of testosterone (Bidoggia, Maciel, Capalozza, Quinteiro, Blaksley, Mosca,Valverde, Bertrand, Arini, Biagetti).Published in American Heart Journal, september and october del 2000.

III-5 Statistic and scientific investigation (2001). III-6The Mathematical Satistic, study. Review-books SIGNOS, USAL, Science and Tecnology.

Buenos Aires 1997.

54

- 48 -

APPLICATION OF THE UNIFIED THEORY IN DIFFERENT CHAPTERS OF THE PHYSICS

_ Refraction of the light, corpuscular theory.

_ Mathematical Law of the Refraction of the light, lines of Fraunhofer (refraction

index “n”).

_ General theory of the movement. Special corpuscles wiht quantified impulse.

_ Physical meant and deduction of the length of wave of Broglie and Compton.

_ The atom of Hydrogen, deduction of the “quantum postulate of Bohr”, discontinuous

spectrum, principles series of the Hydrogen.

_ Meant mechanic of the constant of Planck. Deducction

_ Refraction of a energetic corpuscle (foton), deducction of the refraction -Index based

on the principles of conservation of the energy and quantity of movement (momentum).

Inccrement of mass.

_ Meant of the electronic radius.

_ Constant of fine estructure and fundamental radius of the Hydrogen.

_ Movement types inside of and outside of the atomic nucleus.

_ Stability of the atomic nuclei.

_ Analysis of the movement of the special corpuscle with impulse quantified mechanic ,

equivalency with a electromagnetic vibration.

_ Interaction proton-electron.

_ Quantified radius

_ Radius of Bohr

_ Radius of nuclear resonance, -rays

_Explanation Rutherfor-Bohr atomic model, based in the classic electromagnetic theory

of Faraday, Maxwell and Hertz. Spin del Electrón

55

- 49 -

_ Radius associated to electronic Spin

_ Gamma Energy ()and even electronic

_ Foton, Messon and Hyperon, masses. The free neutron .

_ Nuclear cohesion. Negative mass of Lorentz

_ Synchronization of frequencies in the orbits of the atom of Hydrogen, stable and unstable

balance.

_ Electromagnetic mass and magnetic radius of the electrón.

_ Analogy between relativistic mechanic with the development of movement in a

resistant energetic medium. Similary with the development of movement in a viscous

medium.

_ Resistant work of the energetic medium. Law of Planck, Einstein, Broglie and Compton.

_ Deduction of the Lorentz transformation for inertial coordinated system .

_ Center of inertia in Cartesian axes .

_ The space-time in a dynamic conception .

_ Effect Doppler in the relative movement of the light.

_ Comentary on Michelson and Morley experiment .

_ Intrinsic Impedance of void and constant of Planck.

_ The magneton Bohr, fine structure , intimated couples of line of the spectre.

_ Theories: Classic mechanics,reativistic and quantum.

_ APPLICATION IN MATHEMATICS AND STATISTICS, SCIENCE AND PHILOSOFY , …..etc.

56

-50-

I N D I C E A P E N D I C E

Página N°

PRÓLOGO - INTRODUCCIÓN HISTÓRICA - I - Romano

ACLARACIÓN CONVENIENTE -IV- Romano

FUNCION ACUMULATIVA DE PRIMOS – π(x=441) - TABLA………………………………………1

CALCULO DE π(x=441) FUNCIÓN ACUMULATIVA DE LOS NÚMEROS PRIMOS…………. 6

NOMENCLATURA ……………………………………………………………………………………………………7

Tabla resumen de los TIPOS DE IMPARES por cada clase de equivalencia jc …………… 8

MÉTODOS ANALÍTICOS – DEDUCCIÓN Y APLICACIÓN DE FÓRMULAS ………………………9

Deducción de la fórmula F(S2)………………………………………………………………………………….18

Pares y progresiones de Productos dobles con los niveles inferiores ………………………18

FÓRMULAS DE CÁLCULO APLICADAS AL EJEMPLO Y GENERALIZADAS …………………….19

TABLA RESUMEN: - Fórmulas: F(S1); F(S2) ; F(S3) ; F(SR) ; π(x) -……………………………….22

Primos de π(X=441) = 85 , incluyendo el par “2” ……………………………………………………23

CONCLUSIONES DE LA INVESTIGACIÓN EN ESTA ÚLTIMA TERCERA PARTE FINAL…….23

CONCLUSIONES: DE LA 1ra. Y 2da. PARTE DE LA INVESTIGACIÓN FINALIZADA ……….24

El Modelo matemático ……………………………………………………………………………………………25

APÉNDICE – APLICACIONES - LA HIPÓTESIS DE GEORG RIEMANN …………………………..27

EL MODELO MATEMÁTICO ……………………………………………………………………………………..27

CÁLCULO DE LA CANTIDAD (CARDINAL #) DE NÚMEROS PRIMOS, INTERVALO ∆X…..29

FÓRMULAS DE CÁLCULO ANALÍTICO - INTERVALO ∆π(X1) - DE PÁGINA ANTERIOR ….30

TABLA RESUMEN……………………………………………………………………………………………………..40

RESUMEN DE PRINCIPALES FÓRMULAS FINALES – OBTENCIÓN DE π(X2=441) ……….40

LA HIPÓTESIS DE “RIEMANN, GEORG FIEDRICH BERNHARD (1826-1866)”………………41

El MODELO MATEMÁTICO Y LA HIPÓTESIS DE RIEMANN……………………………………….42

INVESTIGACIÓN SOBRE LOS NÚMEROS PRIMOS (USAL 2001)………………………………….42

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………………………………….43

CURRICULUM VITAE SINTÉTICO (2010)……………………………………………………………………45

INVESTIGATION Works carried out by the autor in the

University of the Salvador. Buenos Aires, Argentine…..………….……………………………..47

APPLICATION ………………………………………………………………………………………………………….48

57

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DIRECCIÓN NACIONAL DEL DERECHO DE AUTOR

Expediente N° 229238 Formulario I N° 57985

ENTE COOPERADOR LEY 23412 – C.A.P.I.F.

C Recibo N° 002-00096261

LOS NÚMEROS PRIMOS · 2015-10-17 · los números primos en los que se concentra esta...

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