Los números

algebraicos.

Autor: Jorge Alfaro Vargas.

Carné: A90217

Algebraicos y trascendentes.

Los números reales los hemos

clasificado en racionales e

irracionales. Sin embargo, existe

otra forma de clasificarlos, esta es:

en algebraicos y trascendentes.

Números

algebraicos: son

las raíces de los

polinomios con

coeficientes

racionales.

Números

trascendentes: son

aquellos números

reales que no son

raíces de ningún

polinomio.

Clasificación:

Un número real β se dice ser

algebraico si existe un polinomio 𝑃 𝑥

con coeficientes racionales,

𝑃 𝑥 = 𝑐𝑛𝑥𝑛 + 𝑐𝑛−1𝑥𝑛−1 + … + 𝑐1𝑥 + 𝑐0

Tal que 𝑃 β = 0. De lo contrario se dice

que β es trascendente.

Definición:

Una ecuación algebraica o ecuación polinómica de grado n, n 𝐼𝑁∗, en una variable o incógnita 𝑥, con coeficientes racionales, es de la forma:

0 = 𝑐𝑛𝑥𝑛 + 𝑐𝑛−1𝑥𝑛−1 + … + 𝑐1𝑥 + 𝑐0

con 𝑐0, 𝑐1,…, 𝑐𝑛 coeficientes racionales y 𝑐𝑛 ≠ 0. Los 𝑐𝑖 ∀𝑖 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 se llaman coeficientes de la ecuación. El 𝑎𝑛 se llama coeficiente principal de la ecuación.

En general, serán

algebraicos todos

los números

gaussianos, pues

todos ellos son

raíces de

polinomios mónicos.

Debe observarse

que existen muchos

otros números

algebraicos que no

son gaussianos.

Definición:

Para un algebraico 𝑥, definimos el

grado de 𝑥 como el menor grado

de todos los polinomios 𝑃 𝑥 (del

tipo de la definición dada) que

satisfacen 𝑃 𝑥 = 0.

El número racional 𝑎 ∕ 𝑏 satisface la ecuación algebraica 𝑏𝑥 − 𝑎 = 0, de manera que el grado de cualquier número racional es 1.

Las soluciones de las ecuaciones algebraicas 𝑐1𝑥 + 𝑐0 = 0, (con 𝑐1 y 𝑐0 números racionales) son siempre números racionales.

De manera que los racionales son

precisamente los números

algebraicos de grado 1 , mientras

que los irracionales algebraicos

tendrán grado superior o igual a 2.

23

y cos 20 ° son

algebraicos

ambos de

grado 3

El número

El número 23

Sabemos que el número

23

es irracional y satisface

la ecuación algebraica

𝑥3 − 2 = 0

¿Existirá alguna otra

ecuación de grado menor

con coeficientes enteros

para la cual 23

también sea

solución?

23

no puede ser solución de

una ecuación algebraica

de grado 1.

𝑎𝑥 + 𝑏 = 0

Pues implicaría que 23

=−𝑏

𝑎

que es un racional,

contradiciendo el hecho

que 23

es un irracional.

23

no es solución de una

ecuación algebraica de

segundo grado con

coeficientes enteros 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

supongamos que existen

𝑎 ≠ 0, 𝑏 y 𝑐 tales que

𝑎 23 2

+ 𝑏 23

+ 𝑐 = 0 (1)

En virtud de que 23

es

solución de 𝑥3 − 2 = 0 ,

sustituyendo 𝑥 por 23

y

luego multiplicando por 23

obtenemos:

23 3

= 2 y 23 4

= 2 23

En la ecuación (1)

trasladamos el término 𝑐 a la

derecha y elevamos al

cuadrado para obtener:

𝑎2 23 4

+ 𝑏2 23 2

+ 2𝑎𝑏 23 3

= 𝑐2

Reemplazando los términos

23 3

y 23 4

por sus

equivalentes y simplificando

obtenemos un sistema lineal

de dos ecuaciones en las

incógnitas:

23 2

y 23

𝑎 23 2

+ 𝑏 23

= −𝑐

𝑏2 23 2

+ 2𝑎2 23

= 𝑐2 − 4𝑎𝑏

Halamos la solución para 23

:

23

=𝑏2𝑐 − 4𝑎2𝑏 + 𝑎𝑐2

2𝑎3 − 𝑏3

Es decir, 23

sería un racional, lo cual es

contradictorio a la irracionalidad de 23

El número cos 20° Este número es irracional y

además satisface la

ecuación algebraica

8𝑥3 − 6𝑥 − 1 = 0

¿Satisface cos 20° alguna

otra ecuación algebraica

con coeficientes enteros de

grado menor que 3?

Observemos que cos 20° no

es solución de una ecuación

algebraica de grado 1 con

coeficientes enteros 𝑎 y 𝑏.

𝑎 cos 20° + 𝑏 = 0

Implicaría que cos 20° sea de

la forma 𝑎/𝑏 , es decir un

racional, cosa que no es

cierta.

A continuación, probemos

que tampoco cos 20° es

solución de una ecuación

algebraica de grado 2 con

coeficientes enteros 𝑎, 𝑏 y 𝑐.

𝑎 cos 20° 2 + 𝑏 cos 20° + 𝑐 = 0 (2)

Supongamos que la

ecuación (2) se satisface.

Escribamos 𝛽 = cos 20° para

simplificar notación. En virtud

de que 𝛽 satisface:

8𝑥3 − 6𝑥 = 0 tendremos

entonces:

𝛽3 =3

4𝛽 +

1

8 o bien 𝛽4 =

3

4𝛽 +

1

8𝛽

Al elevar al cuadrado la

ecuación (2) y

reemplazando los términos

𝛽3y 𝛽4 por sus equivalentes,

obtenemos el siguiente

sistema de dos ecuaciones

lineales:

𝑎𝛽2 + 𝑏𝛽 = −𝑐 3

4𝑎2 + 𝑏2 𝛽 +

1

8𝑎2 +

3

2𝑎𝑏 𝛽 = 𝑐2 −

1

4𝑎𝑏

Despejando 𝛽 se obtiene:

β = cos 20° =6𝑎2𝑐 + 8𝑐𝑏2 − 2𝑎2𝑏 + 8𝑎𝑐2

6𝑎2𝑏 + 𝑎3 − 8𝑏3

que es un número racional, contradiciendo el hecho de que cos 20° es irracional.

Bibliografía.

Barrantes, H. (2005) Introducción a la

Matemática. Editorial: UNED. San José,

Costa Rica.

González, F. (2007) Álgebra I. Editorial:

UNED. San José, Costa Rica.

Piza, E. (2008) Los Números Reales. Editorial:

CIMPA. San José, Costa Rica.

Muchas gracias.