Instituto

Tecnológico

Superior

Concejo Provincial

de Pichincha

TECNICISMO ALGEBRAICO

El tecnicismo algebraico consiste en transformar 1 polinomio en todos los factores

como sea posible comúnmente conocido como factorización y de acuerdo a la

naturaleza del polinomio se utilizan casos especiales con sus respectivas

características

FACTOR COMÚN MONOMIO

Este polinomio se caracteriza por que “EN TODOS SUS TERMINOS EXISTE

1ELEMENTO COMUN EL CUAL PUEDE TENER SU SIGUIENTE NATURALEZA”

NUMEROS

FACTOR COMUN MONIO LITERAL

NUMERO y LITERAL

1. Identifica en todos los términos la naturaleza del elemento común.

3ax4+6bx7-12cx9+18dx5

2. Para la parte numérica extraiga aquella cantidad que sea el máximo común

de los divisores; Para la parte literal extraiga la letra o letras en comunes

con el menor de los exponentes.

3X4(a + 2bx3 + 4cx5 + 9dx)

3. Divida cada 1 de los términos y para verificar aplique la propiedad

distributiva

3ax4+6bx7-12cx9+18dx5

3X4(a + 2bx3 + 4cx5 + 9dx)

N = N1 MONOMIO = 1 TERMINO = -18am2n

N = 1N BINOMIO = 2 TERMINOS = 4x2y+ 8ab

N0= 1 TRINOMIO = 3 TERMINOS =7xy+8x2-9

2 O MAS TERMINOS = POLINOMIO

EJERCICIOS

3ax4+6bx7-12cx9+18dx5

3x4 (a + 2bx3 - 4cx5 - 6dx)

9a3b4c + 7a2b2c2 - 13a2b4c5 + 8a7b2c2

A2b2c (pab3 + 7c - 13ª2b3c5 + 8ª5c2)

26am + 52cn - 104ef + 208hj

26 (am + 2cn - 4ef +8hj)

36x2 - 18y2 - 48x2y2

6 (6x2 - 3y2 - 8x2y2)

20a2b - 72ab + 28ab2ç

4ab(5ª - 18 + 7b)

135x2yz + 16zxy - 189xy2z - 108x2y

17xy (5xz + 6 - 7yz - 4x)

13(a+b) - 19(a+b)2

13(a + b) - [1 - 3(a+b)]

13(a+b) (1 - 3a - 3b)

Observaciones:

1. Cuando existen expresiones con polinomios determine el

polinomio común y utiliza corchetes luego aplique la propiedad

distributiva para obtener los factores deseados.

2. Recuerde que términos semejantes son aquellas expresiones

que tienen la misma letra o letras con los mismos exponentes.

3. En cuantos términos no se aprecia el polinomio común el

problema bajo las condiciones ya conocidas.

4. Recuerde que la ley de signos siempre se cumple para todos las

leyes y se mantiene

EJERCICIOS:

2(x + 3) (+ - 1) + 1 – x + (x - 1) (x - 2)

2(x + 3) (x - 1) - (x + 1) + (x - 1) (x - 2)

(x - 1) (2x + 6 - 1 + x - 2)

(x - 1) (3x + 3)

(x - 1) (3(x + 1))

4(x - 2) (x - 4) + 4 – x + (x + 4) (x – 4)

4(x - 2) (x - 4) - (x - 4) + (x + 4) (x – 4)

(x - 4) [ 4(x - 2) - 1 + (x + 4) ]

(x - 4) (4x - 8 - 1 + x + a)

(x - 4) (5x - 5)

-6(x + 1) (x - 8) + 16 - 2x + 2 (x + 1) (x - 8)

-6(x + 1) (x - 8) - 2(x - 8) + 2 (x + 1) (x - 8)

(x - 8) [ -6(x + 1) - 2 + 2 (x + 1) ]

(x - 8) (-6x - 6 - 2 + 2x + 2)

2(x-8) (-2x - 3)

-2(x-8) (-2x + 3)

(x – 1) factor

común

“3” factor

común

Agrupacion

2 POSIBLES

RESPUETSAS

3(x + 5) (x - 4) + 5(x - 4)2 – 6(x + 3) (x – 4)

(x - 4) [3(x + 5) + 5(x – 4) - 6x - 18]

(x - 4) (3x + 15 + 5x + 20 - 6x - 18)

5(x - 1) (x - 3) – 10(x - 1)2 + 15(x + 2) (x - 1)

(x - 1) [5(x - 3) - 10(x - 1) + 15(x + 2)]

(x - 1) (5x - 15 - 10x + 10 + 15x + 30)

(x - 1) (10x + 25)

(x - 1) 5(2x + 5)

FACTOR COMÚN AGRUPADO POLINOMIO

Es un polinomio especial que por lo general se presenta en pares y en casos

especiales como 9 y 15; Para resolver 1 polinomio utilizando este método realicé

lo siguiente:

Identifique los términos que posean algún elementó común

Agrúpelos cuidando la ley de signos y el orden alfabético

Aplique factor común

Aplique le polinomio común

Ejercicios:

2ax + ay - az - 2bx - by + bz

(2ax- 2bx) + (ay- by) – (az - bz)

2x(a - b) + a(a - b) - z(a – b)

(2ax + ay – az) – (2bx + by – bz)

a(2x + y – z) – b(2x + y – z)

(2x + y – z) (a – b)

Observaciones:

Cuando 1 aplicación posea expresiones Racionales “Fracciones” si es posible

extraiga el factor común del numerador y del denominador o ambos.

ax + 10bz + ay – 5az – 2bx

(ax + ay – 5az) – (2bx + 2by – 10bz)

a( x + y – 5z) – 2b(x + y – 5z)

(x + y) (a – 2b) (5z)

ax + 10bz + ay – 2by – 5az – 2bx

(ax + ay – 5az) – (2abx + 2by – 10bz)

a(x + y – z) – 2b(x+ y – z)

ax –xb + 2cx + 2aby + 2bcy -2b2y - 3 acz + 3bcz – 6c2z

(ax - xb + 2cx) + (2aby + 2bcy - 2b2y) - (3acz - 3bcz + 6c2z)

x(a - b + 2c) + 2by(a - b + 2c) - 3az(a - b + 2c)

(a - b + 2c) (x + 2by - 3az)

11/26a2x + 2/3b3cy + 22/13a2by + 1/2ax + 2aby + 1/6b2cx

(

a2x +

a2by) + (

b2cx +

b3cy) + (

ax + 2aby)

a2(1/2x + 2by) +

bc2 (

x + 2by) + (

x + 2by)

(

a2 +

b2c + a) (

ax + 2by)

DIFERENCIA DE CAUDARADOS

Regla común: a2 – b2 = (a+b) (a-b)

Observaciones:

1. si la aplicación se presenta en expresiones racionales, extraiga la raíz del

numerador, denominador o ambos se es necesario.

2. Para extraer la raíz de la parte literal se debe tener en cuenta que el

procedimiento lógico es divide el exponente para el índice radical.

3. Si la aplicación es compuesta aplique la regla general utilizando corchetes,

aplique la propiedad distributiva y finalmente términos semejantes

Ejercicios:

400 a10 b14 - 169 m8 n6

(20a5b7 + 13m4n3) (20a5b7 – 13m4n3)

9

5p8 q14 - 324 s20

( 4

5p4q7+ 18s10) (

4

5p4q7- 18s10)

4(a + b + c)2 - 25(a - c)2

[2(a + b + c) + 5(a - c)] [2(a + b + c) - 5(a - c)]

(2a + 2b +2c + 5a - 5c) (2a + 2b +2c - 5a + 5c)

(7a + 2b - 3c) (-3a + 2b +7c)

121(3m + 2n)2 - 196(2n - 5m)2

[11(3m + 2n) + 14(2n - 5m)] [11(3m + 2n) - 14(2n - 5m)]

(33m + 22n + 28n - 70m) (33m + 22n + 28n + 70m)

(-37m + 50n) (103m – 6n)

36(7a - 2b)2 - 81(4b - 5a)2

[6(7a - 2b) + 9(4b - 5a)] [6(7a - 2b) - 9(4b - 5a)]

(42a - 12b + 36b - 45a) (42a - 12b - 36b + 45a)

(-3a + 24b) (87a - 48b)

3(-a + 8b) 3(29a – 16b)

9(-a + 8b) (29a – 16b)

Trinomios

Trinomio cuadrado perfecto

a2 + 2ab + b

2

a2 - 2ab+ b

2

1. Si 1ero y 3ero son cuadrados perfectos y positivos el 2do

termino es el doble producto de las raíces del 1ero y 3ero

términos

Solución:

(Raíz signo raíz)

1ºt 2ºt 3ºt

EJERCICIOS:

169a4b4 – 286 a2b2c3d3 + 121 c6d6

13a2b2 *2* 11c3d3

(13a2b

2 – 11c

3d

3)2

100(a + b)2 - 180(a

2 - b

2) + 81(a - b)

2

10(a + b) *2* 9(a – b)

[10(a + b) - 9(a – b)]

(10a +10b – 9ª +9b)

(a+19b)2

36(3m+2n)2 - 120(3m+2n) +100

6(3m+2n) *2* 10

[6(3m+2n) -10]

(18m+12n-10)2

121(x + 9)2 + 220(x

2 + 2x - 63) + 100(x - 7)

2

11(x+9) *2* 10(x - 7)

[11(x+9) + 10(x - 7)]

(11x+ 99 +10x – 77)

(21x + 29 )2

36(x - 3)6

- 84(x2 5x -24) + 49(x+8)

2

6(x+3) *2* 7(X+8)

[6(x+3) - 7(X+8)]

(6x + 18 - 7x - 56)

(-x – 74)2

81(x + 8)2 - 360(x

2 - x - 72) + 400(x - 9)

2

9(x+8) *2* 20(x - 9)

[9(x+8) - 20(x - 9)]

(9x + 72 – 20 +180)

(-11x + 252)2

81

/169m2n

8 -

84/65m

2n

4p

6 +

196/225p

12

9/13mn

4 *2*

14/15p

6

(14

/15p6 -9/13mn

4)

Trinomio de la forma x2+bx+c

C no es cuadrado perfecto;±

bx no es doble producto

Solución:

(Raíz signo + R1) ( Raíz signo + R2)

1ºt 2ºt 1ºt 2º * 3ºt

R1± R2 = b

R1 * R2 = b

OBSERVACIONES:

1. En ciertas aplicaciones o simple vista no se observaran los números

buscados que en forma general es encontrar las raíces o soluciones

de un polinomio planteado; Entonces para determinar estos números

realice la descomposición de factores

Ejemplos:

a2 – 2a - 3s

(a - 7) (a + 5)

c x2 – xy – 182y2

(x – 14y) (x + 13y) 14

Ojo Suma

++ se suman conservando el signo

--

Resta

++ se restan conservando el signo

-- de la cantidad mayor

182 2

91 7

13 13

1

PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR UN POLINOMIO POR

EL MÉTODO DE EVALUACIÓN

1. Ordene el polinomio en forma descendente

2. Extraiga los coeficientes comunes con su mismo signo en el

caso de que falte 1 termino remplácelo por 0

3. Analiza los divisores del termino independiente

4. Realiza la división sintética con cualquier de los divisores hasta

que la división quede satisfecha

5. Escriba la respuesta en forma de factores

x3 - 4x

2 + x + 6 6={±1;±2;±5;±6}

1 -4 +1 +6 1

-1 +5 -6

1 -5 +6 0 -2

+2 -6

1 -3 0

x - 3 R= (x+1) (x-2) (x-3)

Cambia el signo al subir. Se suma o resta dependiendo el signo.

6x3 + 23x

2 + 9x - 18 6={±1;±2;±5;±6}

6 +23 +9 -18 3

-18 -15 +18

6 +5 -6 0

(x - 3) (6x2 + 5x -6)

𝑥 + 5𝑥 −

36x2 +36x – 36

6

(6x + 9) (6x - 4)

6

3(2x + 3) 2(3x - 2)

6

R= (x+3) (2x+3) (3x-2)

X5 + 2x

4 - 15x

3 - 3x

2 – 6x + 45

45={±1;±3;±5;±9;±15 ± 45}

1 +2 -15 -3 -6 +45 -3

+3 +15 +0 -9 -45

1 +5 +0 -3 -15 0 5

-5 +0 0 +15

1 0 +0 -3 0

x3 + x

2 + x – 3 = (x

3 - 3)

(x - 3) (x +5) (x3 - 3)

(x - 3) (x +5) (x - 33

) (x2 + x 3

3 +( 3

3)2)

−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

𝑎

x= −

3± 9

3−4 9

3

x= −

3± − 9

3

− 3

− − 93

− 3

+ − 93

R=(x - 3) (x +5) (x - 33

) ( −

3− − 9

3

) (

− 3

+ − 93

)

X7-20x

5+ 2x

4 + 64x

3 - 40x

2 – 128

128={±1;±2;±4;±8;±16;±64;±128}

1 +0 -20 -2 +64 +40 +0 -128 4

-4 +16 +16 -56 -32 -32 +128

1 -4 -4 +14 +8 +8 -32 0 -2

+2 -4 -16 -4 +8 +32

1 -2 -8 -2 +4 +16 0 -2

-2 +8 0 +4 -16

1 -4 0 -2 +8 0

(x+4) (x-2) (x+2) (x4-4x

3 -2x +8 )

(x+4) (x-2) (x+2) (x-4)(x3-2)

(x - 23

) (x2 + x 2

3 + 4

3)

X=−𝑏± 𝑏2−4𝑎𝑐

𝑎

x= −

3± 4

3−4 4

3

x= −

3± − 4

3

− 3

− − 43

− 3

+ − 43

R=(x - 3) (x +5) (x - 33

) ( −

3− − 4

3

) (

− 3

+ − 43

)

(x4-4x3) – (2x – 8)

X3 (x-4)-2(x-4)

(x-4)(x3-2)

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Máximo común divisor (MCD) El M.C.D de 2 o más cantidades es la expresión (numérica,

literal o polinomica) que permite dividir por lo tanto se encuentra

inmerso o incluido en cada 1 de las expresiones dadas

P(x) Q(x)

M.C.D

R(x)

El M.C.D de 2 o más cantidades es el menor de los divisores

que permite dividir a las cantidades dadas y su resultado que

final no tenga elementos comunes

6 , 30 , 40 12 , 48 , 91

M.C.D =2 M.C.D= 3

Literal

El M.C.D de 2 o más expresiones literales es la letra o

letras que posean menores exponentes

a2 b3 c4, a3 b3 c4, a2 b5 c6

M.C.D= a2 b3 c4

Ab4, mb3, sb5

M.C.D= b3

acd ,mpq ,rst

M.C.D= 1

El M.C.D de dos o más cantidades que no tienen elementos

comunes siempre será 1

v

c

POLINOMIOS

Para determinar el M.C.D de varios polinomios considere

aquellas expresiones o factores de menor exponente

SOLUCIÓN:

1. Factorise los polinomio dados

2. Identifique los factores comunes que se encuentre

en todos los polinomios planteados

NOTA: En ejercicios combinados se escribirá parte numeral

simple parte literal simple y factores comunes

Mínimo común múltiplo (mcm) El mcm de varias cantidades es el mayor de los múltiplos que

contienen a las otras expresiones dadas

P(X) Q(X)

R(X)

Para determinar el mcm de 2 cantidades realice la

descomposición mediante galería por todas las formas posibles

y multiplique sus factores

15, 20, 70

15 20 70 2

15 10 35 2

15 5 35 3

5 5 35 5

1 1 7 7

1 1 1 2*2*3*5*7=420

Literal

El mcm de 2 o más expresiones literales es aquella letra o letras

que posean el mayo de los exponentes

Observaciones:

En expresiones no comunes el mcm debe contener a todos los

elementos dados con todos los exponentes

a4 b c3, a5 b7 c2 , a b c

m.c.m = a4 b7 c2

a b c , m p q , r s w

m.c.m = a b c m p q r s w

Polinomios

Para determinar el mcm de 2 o más polinomios dado determine

los factores comunes y no comunes de mayor grado o

exponente.

1) Factorize los polinomios dados

2) Identifique los factores comunes y no comunes una sola vez

con el mayor exponente.

OJO

mcd . Incluido (Dentro)

mcm . Incluir (Abarcado)

mcd . Elementos Comunes, menor guardado

mcm . Elementos Comunes y No Comunes mayor grado

EJERCICIOS:

Determinar el mcd y el mcm de los polinomios planteados.

3x + 3 , 6x – 6

3x + 3 = 3 (x+1)

6x – 6 = 6 (x-1)

mcd = 3

mcm = 6 (x -1) (x+1)

4a2 – 9b2 , 4a2 – 12ab + 9b2

4a2 – 9b2 = (2a + 3b) (2a – 3b)

4a2 – 12ab + 9b2 = (2a – 3b)2

mcd = (2a – 3b)

mcm = (2a – 3b)2 (2ª + 3b)

6a2 + 13a + 6 , 3a2 + 14a + 8 , 4 + 12a + 9a2

6a2 + 13a + 6 = (2a + 3) (3a + 2)* trinomio de la forma a2+bx+c

(6a2 + 13ª + 6)6

6

36a2 + 13(6)a + 36

6

(6ª + 9) (6ª + 4)

6

3 (3ª + 3) 2 (3ª + 2)

6

3a2 + 14ª + 8 = (a + 4) (3ª + 2) *a2+bx+c

(3a2 + 14ª + 8)3

3

9a2 + 14(3)a + 24

3

(3ª + 12) (3ª + 2)

3

3 (a + 4) (3ª + 2)

3

4 +12ª + 9a2 = (2 + 3a)2

mcd = (2 + 3a)

mcm = (2 + 3a)2 (a + 4) (2ª + 3)

x2 – 25 , x3 – 125 , 2x + 10

x2 – 25 = (x + 5) (x - 5)

x3 – 125 = (x – 5) (x2 + 5x + 25)

2x + 10 = 2 (x + 5)

mcd = 1

mcm = 2(x + 5) (x - 5) (x2 + 5x + 25)

2x3 – 12x2 +18x ; 3x4 – 27x2 ; 5x3 30x2 + 45x

2x2 – 12x + 18x = 2x (x2 – 6x + 9) = 2x (x - 3)2

3x4 – 27x2 = 3x2 (x2 - 9) = 3x2 (x - 3) (x + 3)

5x3 + 30x2 + 45x = 5x (x2 + 6 + 9) = 5x (x + 3)2

mcd = x

mcm = 30x2 (x - 3)2 (x + 3)2

ax – 2bx + ay – 2by ; x2 + xy ; x2 – xy

ax – 2bx + ay – 2by = (ax – 2bx) + (ay – 2by)

x(a -2b) + y(a – 2b)

(x + y) (a – 2b)

x2 + xy = x (x + y)

x2 – xy = x (x - y)

mcd =1

mcm =x (x + y) (x - y) (a – 2b)

Operaciones con Expresiones Racionales Polinomios

Con expresiones racionales polinomicas se pueden ejecutar con

suma, resta, multiplicación, división.

Suma y Resta con Expresiones Racionales Polinómicas

±

±

± ±

÷ B d f } Polinomios mcm

Solucion:

1. Factorizar los denominadores

2. Determinar el mcm

3. Aplicar el esquema P. Distributiva

4. Simplificar si es posible

Ejemplo:

−

+

2+ +4

+

3−

( 2+ +4) + − + − +

− 2+ +4

2 4 8 2 3 4 6 6 12

2 2 4

4 3 1

2 2 4

2 4 5

2 2 4

4 5

2 4

Ojo:

a – a = 0

-a + a = 0

16x2 - 3(4)x – 40

4

(4x-8) (4x+5)

4

4(x-2) (4x+5)

4

(x-2) (4x+5)

− 2

9− 2 2

9+ + 2

9− + 2

1

3 3

3

6

3

3 3 1 3 3 6

3 3

9 1 9 6 9 6 6

3 3

9 9 4 9 6 4 54 36

3 3

12 1 54 9

3 3

+

2− −

+4

2−4 −5

+5

2+5 +4

1

5 4

4

5 1

5

4 1

1 1 4 4 5 5

5 4 1

2 1 8 16 25

5 4 1

1 42

5 4 1

5

2+5 +

2− −

2− −

2

2 3 2

1

2 2 3

3

2 1

2 2 1 2 3 3

2 3 1 2

2 4 1 6 9

2 3 1 2

4

2 3 1 2

+

+

2

2+ −

−

2 1

4 3 2

3 2 2 1

2

8 2 1

2 2 1 2 1 8 3 2 2

8 3 2 2 1

4 8 2 1 8 3 2 2

8 3 2 2 1

8 4 16 8 8 6 4

8 3 2 2 1

6 12 4

8 3 2 2 1

2 3 6 2

8 3 2 2 1

Protocolo de Expresiones Racionales

Polinomios

Para multiplicar dos o más expresiones polinomicas realice lo

siguiente:

x x

Solucion:

1. Factorizar el numerador

2. Aplicar el esquema

3. Simplificar

2− 4

2− −

2−

2+ +5

2− + 5

2− + 4

8 8

6 5 6 6

8 5

8

+ − + − − −5

− −5 + − − 2 =

6

8

3+

2− − 2− +

2−9 2+ +9

2+ +9

3 3 9

1 2 1 6

3 3

3

3 9

3 6 9 1 6 3

1 2 3 3 3 9

6 3

2

+

2− 4 + 44 2 2+4 +

2+ − 2 2− 44 2

2−4

2 4 2 4 8 16

11 12

2

11 12

11 12 11 12

2 2

2 4 2 4 8 16 2 11 12 11 12

11 12 11 12 2 2

4 2 4 8 16 2

División de Expresiónes Racionales

Polinomios

E: Extremos

M: Medios

Producto Cruzado E

Producto Cruz M

Solucion

1. Factorizar numerador y denominador

2. Aplicar el producto cruz

3. Simplificar

2+ + 5

2−9

2+ −5

9 2−

4 2+ +

+5 4 +

4 + 4 −

+5 +

+ −

+ +

+5 4 +5 + −

4 + 4 − +5 −

4 +5 4 +

+

4 −

2+ −

+ 5 −

+5 −

+

−

− +

+ −

+ +

−

−

+ +

− +

− +

+ −

− −