Los Primeros Aprendizajes Algebraicos

5/13/2018 Los Primeros Aprendizajes Algebraicos - slidepdf.com

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Los primeros aprendizajesLos primeros aprendizajes

algebraicos.algebraicos. Cuando las letrasCuando las letras

entran en la clase de Matemática.entran en la clase de Matemática.Informe sobre una investigación en marchaInforme sobre una investigación en marcha..

Mabel PanizzaMabel Panizza -- Patricia SadovskyPatricia Sadovsky -- Carmen SessaCarmen Sessa

Ciclo Básico Común y Fac. de Cs. Exactas y Naturales.Ciclo Básico Común y Fac. de Cs. Exactas y Naturales.UBA.UBA.

Presentación realizada por: Adelfa Hernández.Presentación realizada por: Adelfa Hernández.Maestría en Enseñanza de la Matemática. UPELMaestría en Enseñanza de la Matemática. UPEL



PreliminaresPreliminares

Trabajo presentado en la ReuniónTrabajo presentado en la Reunión Anual de la Unión Matemática Anual de la Unión Matemática

Argentina Argentina --REM, Rio CuartoREM, Rio Cuartooctubre de 1995.octubre de 1995.

«como dijéramos antes, estas reflexiones se

encuentran en pleno estado de elaboración y

tienen, por lo tanto, un alto grado de provisoriedad. El objetivo de comunicarlas -

vale la pena resaltarlo- es someterlas al debate

y a la confrontación.



1. Introducción1. Introducción

identificar las condiciones de apropiaciónidentificar las condiciones de apropiacióndel álgebra elemental en alumnos de ladel álgebra elemental en alumnos de laescuela media. Inscribimos la misma en elescuela media. Inscribimos la misma en el

marco teórico y metodológico de la Teoría demarco teórico y metodológico de la Teoría deSituaciones ( Brousseau,G; 1987) y de laSituaciones ( Brousseau,G; 1987) y de laIngeniería Didáctica (Artigue,M; 1988) .Ingeniería Didáctica (Artigue,M; 1988) .

..reflexiones, con el aporte de resultados de..reflexiones, con el aporte de resultados dedistintas investigaciones en Didáctica dedistintas investigaciones en Didáctica de

Algebra. Algebra.



2. Análisis previos2. Análisis previos

. Ante la pregunta. Ante la pregunta "Qué diferencia"Qué diferenciahay entre afirmar quehay entre afirmar que '2+3=3+2' y'2+3=3+2' y

afirmar que 'afirmar que 'a+ba+b == b+ab+a'' ?"?" para una gran parte de los alumnos,para una gran parte de los alumnos,

una ecuación se identifica con eluna ecuación se identifica con elprocedimiento que se debe realizarprocedimiento que se debe realizar

para resolverla.para resolverla.




Ante la demanda específica de decidir si Ante la demanda específica de decidir siun número dado era solución de unaun número dado era solución de una

ecuación dada, sólo el 16% de losecuación dada, sólo el 16% de losalumnos reemplazó el valor en laalumnos reemplazó el valor en laecuación, mientras que el 80%ecuación, mientras que el 80%comparó el valor dado con el obtenidocomparó el valor dado con el obtenido

al resolver la.al resolver la.




A la pregunta : "Por qué te parece que A la pregunta : "Por qué te parece quese usan letras en la clase dese usan letras en la clase de

matemática?", se obtuvieron una granmatemática?", se obtuvieron una grancantidad de respuestas que no otorgancantidad de respuestas que no otorgana las letras ningún uso específico, si noa las letras ningún uso específico, si nomás bien un status superior, una mayormás bien un status superior, una mayor

complejidad.complejidad.




Al requerir a los alumnos que Al requerir a los alumnos quepropusieran una ecuación que tuviera alpropusieran una ecuación que tuviera al

número 5 como solución, gran parte denúmero 5 como solución, gran parte delos estudiantes escribió una expresiónlos estudiantes escribió una expresióndel tipo a x + b = 5. Este resultadodel tipo a x + b = 5. Este resultadoindica que la mayoría de los alumnosindica que la mayoría de los alumnos

interpreta que "solución de unainterpreta que "solución de unaecuación" alude a "resultado, escrito aecuación" alude a "resultado, escrito ala derecha de un signo igual".la derecha de un signo igual".




Cuando se les pidió que escribieran unaCuando se les pidió que escribieran unasolución de la ecuación 3 x + 2 y = 7 ysolución de la ecuación 3 x + 2 y = 7 y

casi ningún alumno pudo obtenerla.casi ningún alumno pudo obtenerla. Algunos estudiantes "agregaron" otra Algunos estudiantes "agregaron" otraecuación lineal y resolvieron el sistema.ecuación lineal y resolvieron el sistema.Si bien los alumnos habían estudiadoSi bien los alumnos habían estudiado

sistemas lineales indeterminados, nosistemas lineales indeterminados, nopudieron reconocer que las infinitaspudieron reconocer que las infinitassoluciones de un sistema de dossoluciones de un sistema de dos

ecuaciones indeterminado , sonecuaciones indeterminado , son



3.3. Restricción del problema :Restricción del problema :

"los primeros aprendizajes de "los primeros aprendizajes de

las herramientas algebraicas"las herramientas algebraicas" Estudio exploratorio, en base a:Estudio exploratorio, en base a:

a) Los resultados de la encuesta exploratoriaa) Los resultados de la encuesta exploratoria

b) Distintos trabajos de investigación hacenb) Distintos trabajos de investigación hacen

referencia a la compleja problemática del pasaje dereferencia a la compleja problemática del pasaje dela aritmética al álgebra (Chevallard,Y;1984, 1989,la aritmética al álgebra (Chevallard,Y;1984, 1989,

Vergnaud,G Vergnaud,G; 1987, Kieran,C;1989 ).; 1987, Kieran,C;1989 ).

c) Esta investigación se propone, entre otras cosas,c) Esta investigación se propone, entre otras cosas,

identificar las relaciones existentes entre condicionesidentificar las relaciones existentes entre condicionesdelas situaciones didácticas ( a propósito deldelas situaciones didácticas ( a propósito delálgebra), y los distintos sentidos que los alumnosálgebra), y los distintos sentidos que los alumnosconstruyen a través de las mismas.construyen a través de las mismas.



cuestiones centralescuestiones centrales

¿ Qué situaciones ponen de manifiesto la¿ Qué situaciones ponen de manifiesto lainsuficiencia de la aritmética y la necesidadinsuficiencia de la aritmética y la necesidadde representar relaciones que requieran elde representar relaciones que requieran eluso de variables e incógnitas?uso de variables e incógnitas?

¿ Cuál es la complejidad máxima de una¿ Cuál es la complejidad máxima de unasituación para que ésta sea abordable porsituación para que ésta sea abordable porquienes recién se están aproximando a laquienes recién se están aproximando a la

herramienta algebraica?herramienta algebraica? ¿ Cuál es la mínima para que tenga sentido¿ Cuál es la mínima para que tenga sentido

dicha herramienta?dicha herramienta? G.VergnaudG.Vergnaud y A. Cortés (1987y A. Cortés (1987

Y

. Chevallard (1984)



Las prioridadesLas prioridades

Estaba claro para nosotras que debíamos respondernos muchosEstaba claro para nosotras que debíamos respondernos muchosinterrogantes antes de diseñar y poner a prueba una propuestainterrogantes antes de diseñar y poner a prueba una propuestaglobal. Definimos entonces como prioritario:global. Definimos entonces como prioritario:

1) profundizar en el análisis de las diferentes "1) profundizar en el análisis de las diferentes "viasvias dede

entrada"entrada" yy 2) conocer mejor lo que estaba sucediendo en el sistema2) conocer mejor lo que estaba sucediendo en el sistema

en relación a la enseñanza de las primeras herramientasen relación a la enseñanza de las primeras herramientasalgebraicas.algebraicas.

Esa fue la tarea que abordamos, en la que nosEsa fue la tarea que abordamos, en la que nos

encontramos actualmente, y que relataremos a continuación.encontramos actualmente, y que relataremos a continuación.Lo que sigue intenta reflejar los análisis que hemos realizadoLo que sigue intenta reflejar los análisis que hemos realizadoque, por encontrarse en estado de elaboración, sonque, por encontrarse en estado de elaboración, sonnecesariamente parciales, incompletos y provisorios.necesariamente parciales, incompletos y provisorios.

Las vías de entrada al álgebra



4.1.1 Leyes4.1.1 Leyes

Se podría pensar , por ejemplo , que lasSe podría pensar , por ejemplo , que laspropiedades aritméticas requieren delpropiedades aritméticas requieren delálgebra para ser formuladas. Sinálgebra para ser formuladas. Sinembargo los chicos "manejan" ciertasembargo los chicos "manejan" ciertasleyesleyes (por ejemplo la conmutativa para(por ejemplo la conmutativa parala adición de naturales) sin que vean lala adición de naturales) sin que vean la

necesidad de expresarla mediante elnecesidad de expresarla mediante eluso de variables.uso de variables.




4.1.1 Leyes4.1.1 Leyes

En tanto la ley general puedeEn tanto la ley general puedeexpresarse a través de ejemplos, estosexpresarse a través de ejemplos, estosejemplos representan la ley y dejan sinejemplos representan la ley y dejan sinsentido la necesidad de apelar a lassentido la necesidad de apelar a lasletras para representar "un númeroletras para representar "un númerocualquiera".cualquiera".




4.1.2 Ecuaciones e inecuaciones4.1.2 Ecuaciones e inecuaciones

¿ Cuáles son las condiciones que deben cumplir los¿ Cuáles son las condiciones que deben cumplir losproblemas para que las ecuaciones resulten un instrumentoproblemas para que las ecuaciones resulten un instrumento" necesario" ( por imprescindible o por económico)?" necesario" ( por imprescindible o por económico)?

¿Dado un problema que puede resolverse con recursos¿Dado un problema que puede resolverse con recursosaritméticos, es posible identificar variables didácticas que loaritméticos, es posible identificar variables didácticas que lotransformen en un problema algebraicotransformen en un problema algebraico(**)?(**)?

(**)(**) Llamamos variables didácticas a aquellos elementos de laLlamamos variables didácticas a aquellos elementos de la

situación sobre los que el docente puede actuar para provocarsituación sobre los que el docente puede actuar para provocarmodificaciones importantes en las estrategias de resolución de losmodificaciones importantes en las estrategias de resolución de losalumnos.alumnos.




4.1.3 Funciones4.1.3 Funciones

¿ Son las letras necesarias para¿ Son las letras necesarias paramanejarse con el concepto de función?manejarse con el concepto de función?

¿ Cuáles son los sentidos de las letras¿ Cuáles son los sentidos de las letrasque se ponen en juego con estaque se ponen en juego con estaentrada? ¿ Cómo se relacionarían éstosentrada? ¿ Cómo se relacionarían éstoscon otros usos? ¿ Cómo jugarán en elcon otros usos? ¿ Cómo jugarán en el

momento del trabajo con ecuaciones?momento del trabajo con ecuaciones?




4.2 La relación aritmética4.2 La relación aritmética--álgebra álgebra

en el sistema de enseñanzaen el sistema de enseñanza

Las problemáticas elegidas se centraronLas problemáticas elegidas se centraronen dos aspectos:en dos aspectos:

¿ Cómo se establece la relación¿ Cómo se establece la relaciónaritméticaaritmética-- álgebra?álgebra? a) la enseñanza usual no tiene por objetivoa) la enseñanza usual no tiene por objetivo

introducir al álgebra como herramienta que haceintroducir al álgebra como herramienta que hace

posible resolver problemas para los que la aritméticaposible resolver problemas para los que la aritméticaresulta insuficiente;resulta insuficiente;

b) las expresiones y relaciones algebraicas sonb) las expresiones y relaciones algebraicas sontratadas como generalizaciones de la aritmética.tratadas como generalizaciones de la aritmética.




4.2 La relación aritmética4.2 La relación aritmética--álgebra álgebra

en el sistema de enseñanzaen el sistema de enseñanza

Las problemáticas elegidas se centraronLas problemáticas elegidas se centraronen dos aspectos:en dos aspectos:

¿ Cómo se establece el cambio¿ Cómo se establece el cambioinstitucional primariainstitucional primaria--media?media? Los primeros aprendizajes del álgebra se insertan enLos primeros aprendizajes del álgebra se insertan en

el comienzo de la escuela media. Es así que, ael comienzo de la escuela media. Es así que, a

diferencia de otras rupturas conceptuales que sediferencia de otras rupturas conceptuales que seproducen dentro del mismo marco institucional, laproducen dentro del mismo marco institucional, laruptura que supone el aprendizaje del álgebra seruptura que supone el aprendizaje del álgebra seinserta dentro de otra, la institucional.inserta dentro de otra, la institucional.




4.2.3. La búsqueda de 4.2.3. La búsqueda de

indicadores relevantesindicadores relevantes

Las variables seleccionadas son lasLas variables seleccionadas son lassiguientes :siguientes :

-- El docente tiene en cuenta el conocimiento previoEl docente tiene en cuenta el conocimiento previode los alumnos tanto a nivel de conceptos como dede los alumnos tanto a nivel de conceptos como desímbolos y formas de representación.símbolos y formas de representación.

-- El docente explicita relaciones entre conceptos yaEl docente explicita relaciones entre conceptos yaaprendidos y los que está planteandoaprendidos y los que está planteando

a) a nivel del sujeto que aprendea) a nivel del sujeto que aprende b) a nivel del objeto matemático.b) a nivel del objeto matemático.






La letra hereda automáticamente el manipuleoLa letra hereda automáticamente el manipuleoaritmético.aritmético.

-- El docente explicita el sentido del signo igual.El docente explicita el sentido del signo igual.

-- Problematización de la actividadProblematización de la actividada) problema aritméticoa) problema aritmético

b) problema algebraicob) problema algebraico

c) la actividad conduce a conceptos que pretenden serc) la actividad conduce a conceptos que pretenden ser

el contenido de la claseel contenido de la clased) las letras como herramientas para resolverd) las letras como herramientas para resolverproblemasproblemas

e) conflicto cognitivoe) conflicto cognitivo






-- El docente favorece resoluciones de los alumnosEl docente favorece resoluciones de los alumnosprevias a su intervención.previas a su intervención.

-- El docente se refiere a las letras como númeroEl docente se refiere a las letras como número

desconocido, variable, incógnita. ________desconocido, variable, incógnita. ________ -- Cuando el docente manipula ecuacionesCuando el docente manipula ecuaciones

a) habla de deshacer operacionesa) habla de deshacer operaciones

b) se remite a las propiedades de los números.b) se remite a las propiedades de los números.

-- El docente se refiere al conjunto solución.El docente se refiere al conjunto solución.Explicita que se conserva a través de lasExplicita que se conserva a través de lastransformaciones.transformaciones.

-- Se verifica la ecuación a posteriori de la resolución.Se verifica la ecuación a posteriori de la resolución.




CríticaCrítica

La ingeniería didáctica Vs la didácticaLa ingeniería didáctica Vs la didácticatradicional de los docentes.tradicional de los docentes.

Procedimientos para la observaciónProcedimientos para la observación Necesidad de obtener informaciónNecesidad de obtener información

detallada sobredetallada sobre los estudiantes.los estudiantes.

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