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B7 �

251

B7 �ResuelveecuacioneslinealesII

Métodos algebraicos: suma y resta, sustitución, igualación y determinantes

Losmétodosalgebraicosdesolucióndeunsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasqueabordaremosenestecursoson:sumayresta,sustitución,igualaciónydeterminantes.Paracualquiermétodoqueseaplique,lasolucióndelsistemaeslamisma,porlocual,paraencontrarlasolucióndeunsistema,sesugiereelegirelmétodoqueconduzcaaprocesosalgebraicosmássimples.

A continuación se describe cada uno de estosmétodos y se indica cuándoelegircadauno,segúnelsistemadeecuacionesplanteado.

Método de suma y resta

Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneas linealescondos incógnitasdelaforma:

a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2

dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesumayresta,delaformasiguiente:

1. Observamossienelsistemasetienentérminossimétricosparalamismavariable; si es así, continuamos al paso dos.De otramanera, debemosmultiplicarporunnúmerounade lasecuacionesdel sistema,oambas,de talmanera que se obtengan coeficientes simétricos para una de lasincógnitas.

2. Efectuamos la suma de las ecuaciones, atendiendo que los términossimétricosseanulen,paraobtenerasíunaecuacióndeprimergradoconunaincógnita.

3. Resolvemosestaecuaciónyencontramosasíelvalordeunaincógnita.

4. Sustituimos el valor de la incógnita encontrado en el paso anterior enalguna de las ecuaciones del sistema, y obtenemos nuevamente unaecuacióndeprimergrado,peroconlaotraincógnita,lacualtambiéndeberesolverse,paraencontrarelvalordelaotraincógnita.

5. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos 3 y 4,formandolapareja(x,y);conellos,haremoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.

Ejemplos

Acontinuaciónseresuelvendossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas, por elmétodode sumay resta, siguiendo cadaunode los pasos antescitados.

Unpastorledijoaotro:«Siteregalounademisovejas,tútendráseldobledelasqueyotengo.Perositúmedasunadelastuyastendríamoslasmismas».¿Cuántasovejasteníancadauno?

Si al efectuar la suma delasecuacionesseobtiene:

1 1 1

2 2 2____________________

a x b y c

a x b y c

+ =+ =

0x 0y c ,c 0+ = ≠

elsistemanotienesolución.Siresulta

1 1 1

2 2 2____________________

a x b y c

a x b y c

+ =+ =

0x 0y 0+ =

elsistematieneunainfinidaddesoluciones.

252

B7 �B7 �I.

( )( )

x y 10 1x y 2 2+ = − − −

− = − − −

1.Seobservaqueloscoeficientesdelavariableysonsimétricos.Luegoseefectúaelsiguientepaso.

2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.

x y

x y

x

+ =

− =

=

10

2

2 12

3.Resolviendolaecuación2x = 12,tenemos:

12x 6

2= =

4.Elvalordex = 6 sesustituyeen(1):

(6) + y = 10Donde: y = 10 – 6 = 4

5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10

6 4 2+ =

− =

II.3 1 1

4 9 2x y

x y− =+ =

( )( )

1. Paraquelostérminosconlavariableytengancoeficientessimétricos, semultiplica(1) por 4,dedonde:

12 4 4 14 9 2

x yx y− =+ =

( )( )

2.Sesumanlasecuacionesendondeseanulanlostérminosdelavariabley.

12 4 4

4 9

13 13

x y

x y

x

− =

+ =

=

3.Resolviendolaecuación13x = 13,tenemos:

x = =1313

1

B7 �

253


Sialefectuarseelpaso2yresolverselaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = c o 0y = c,conc ≠ 0,entonceselsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0 o 0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones..

4.Elvalordex=1sesustituyeen(1):

3(1) – y = 1

Donde:

– y = 1– 3

– y = – 2

y = 2

5.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).

Comprobación:

( )( )

3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Estemétododesumayrestadebeelegirsecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitastengacoeficientessimétricosenlostérminosdelamismaincógnita.

Método de sustitución

Sisetieneelsistemadeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitasdelaforma:

a1x+b1y=c1

a2x+b2y=c2

dondex yy son las incógnitas y a1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces, la soluciónquecorrespondealparordenado(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodesustitucióndelaformasiguiente:

1.Elegimosunadelasecuacionesdelsistemaydespejamosenellaunadelasvariables(seprefiere,silahay,ladecoeficienteuno).

2. Eldespejeobtenidodelpasoanteriorlosustituimosenlaotraecuacióndelsistema,quedandounaecuaciónconunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordeunaincógnita.

3.Elvalorencontradoessustituidoeneldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.

4. Lasolucióndelsistemasonlosvaloresobtenidosenlospasos3 y 4,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente.

254

B7 �B7 �Ejemplos

A continuación se resuelven dos sistemas de ecuaciones simultáneas lineales condosincógnitas,porelmétododesustitución,siguiendocadaunodelospasosarribacitados.(Conlafinalidaddemostrarquelasolucióndelsistemaeslamismaalaplicarcualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).

I.

( )( )

x y 10 1x y 2 2+ = − − −

− = − − −

1.Seeligedespejarxenlaecuación(1),donde:

x = 10 – y2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(2),seobtiene: (10 – y) – y = 2

Resolviendolaecuacióntenemos:10 – 2y = 2 – 2y = 2 – 10

8y 4

2−

= =−

3.Sustituyendoy= 4eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:

x = 10 – (4) = 6

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).

Comprobación:

6 4 106 4 2+ =

− =

II.( )( )

3x y 1 1x 4y 9 2

− = + =

1.Seeligedespejarxenlaecuación(2),dedonde:

x = 9 – 4y 2.Sustituyendoestedespejeenlaecuación(1)seobtiene:

3(9 – 4y) – y = 1Alresolverestaecuacióntenemos:27 – 12y – y = 1

–13y = 1 – 27

26y 2

13−

= =−

B7 �

255


3.Sustituyendoy = 2 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:

x = 9 – 4(2) = 9 – 8 = 1

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación:

( )( )

3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Estemétodode sustitucióndebeelegirse cuandoel sistemadeecuacionessimultáneas de primer grado con dos incógnitas tenga, en alguna de lasecuaciones,porlomenos,untérminoconcoeficienteuno.

Método de igualación



dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicodeigualación,delaformasiguiente:

1. Despejamoslamismaincógnitaenambasecuaciones.

2. Losdespejesobtenidosse igualanentresí,quedandounaecuaciónenunaincógnita,lacualseresuelveparaencontrarelvalordelaincógnita.

3. Elvalorencontradosesustituyeenunodelosdosdespejesobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaotraincógnita.

4. La solución del sistema son los valores obtenidos en los pasos2 y 3,formandolapareja(x,y);conellosharemoslacomprobación,verificandoqueambasecuacionessesatisfacensimultáneamente

Ejemplos

Ahoraresolvemoslossistemasdeecuacionessimultáneaslinealescondosincógnitas,por el método de igualación, siguiendo cada uno de los pasos indicados en elprocedimientoanterior.(Nuevamente,parareafirmarquelasolucióndelsistemaeslamismaaplicandocualquiermétodo,seresuelvenlosmismossistemasdelosejemplosanteriores).

I.( )

( )x y 10 1x y 2 2+ = − − −

− = − − −

1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):

Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = co0y = c,conc≠ 0,elsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0o0y = 0,elsistematieneunainfinidaddesoluciones.

256

B7 �B7 � De (1): x = 10 – y

De (2): x = 2 + y

2.Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:

10 – y = 2 + y

Resolviendolaecuacióntenemos: – 2y = 2 – 10

8y 4

2−

= =−

3.Sustituyendoy=4eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:

x = 10 – (4) = 6

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación: 6 4 10

6 4 2+ =

− =

II.( )( )

3x y 1 1x 4y 9 2

− = + =

1.Despejamosxenlasecuaciones(1) y (2):

De (1): 1 yx

3+

=

De (2): x = 9 – 4y2. Igualamosestosdespejesentresí,obteniendolaecuación:

1 y9 4y

3+

= −

Resolviendolaecuacióntenemos:

31

33 9 4

+

= [ − ]y

y

1 + y = 27 – 12y

13y = 26

26y 2

13= =

B7 �

257


3. Sustituyendoy = 2eneldespejeobtenidodelaecuación(1)enelprimerpaso,setiene:

1 2 3x 1

3 3+

= = =

4.Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).Comprobación: ( )

( )3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Estemétododeigualaciónseeligecuandoelsistemadeecuacionessimultáneasdeprimer grado con dos incógnitas tenga los coeficientes de los términos de ambasecuacionesdistintosdeuno.

Método por determinantes



dondexyysonlasincógnitasya1,a2,b1,b2,c1,c2,1 2 1 2 1 2a ,a ,b ,b ,c , ∈c entonces,lasolución(x,y)quesatisfacesimultáneamentecadaunadelasecuacionespuedeencontrarsepormediodelmétodoalgebraicopordeterminantes,delaformasiguiente:

1 11 2 2 1

2 2

a bD a b a b

a b= = − , 1 1

x 1 2 2 12 2

c bD c b c b

c b= = − , 1 1

y 1 2 2 12 2

a cD a c a c

a c= = −

SiD≠0,lasolucióndelsistemaesúnicayseencuentraalefectuarlasdivisiones:

xDx

D= yD

yD

=

Ejemplos

Denuevacuenta,seresuelvenlosmismossistemasdelejemploanterior,aplicandoelmétodopordeterminantes.

I.x y 10x y 2+ =

− =

Seresuelvenlosdeterminantes:

( )( ) ( )( )1 1

D 1 1 1 1 1 1 21 1

ℵℵℵℵ−

SiD=0,Dx≠ 0yDy≠0elsistemanotienesolución.SiD=0,Dx=0 yDy=0elsistematieneunainfinidaddesoluciones.

258

B7 �B7 �( )( ) ( )( )x

10 1D 10 1 2 1 10 2 12

2 1= = − − = − − = −

−

( )( ) ( )( )y

1 10D 1 2 1 10 2 10 8

1 2= = − = − = −

Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:

xD 12x 6

D 2−

= = =−

yD 8y 4

D 2−

= = =−

Luego,lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(6, 4).Comprobación:

6 4 106 4 2+ =

− =

II.( )( )

3x y 1 1x 4y 9 2

− = + =


( )( ) ( )( )3 1

D 3 4 1 1 12 1 131 4−

= = − − = + =

( )( ) ( )( )x

1 1D 1 4 9 1 4 9 13

9 4−

= = − − = + =

( )( ) ( )( )y

3 1D 3 9 1 1 27 1 26

1 9= = − = − =

Efectuandolasdivisionesindicadas,setiene:

xD 13x 1

D 13= = = yD 26

y 2D 13

= = =

Lasolucióndelsistemaeslaparejaordenada(1, 2).

Comprobación: ( )( )

3 1 2 11 4 2 9

− = + =

Elmétodopordeterminantespuedeaplicarseentodosistemadeecuacionessimultáneasdeprimergradocondosincógnitas.

Otra formade obtener la solución de un sistemade ecuaciones lineales esa partir de la gráfica del sistema en el plano cartesiano, como veremos acontinuación.

Manosydedos.Enunamanohaycincodedos,endos manoshay10dedos.¿Cuántosdedoshayen10manos?

B7 �

259


Interpretación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales: punto de intersección de las rectas y casos en que son paralelas

Lagráficadeunsistemadeecuacioneslinealescondosincógnitasseobtienetrazandoenunmismoplanocartesianoambasecuaciones.

Existentrescasosdesolucióndelsistema:

• Cuando las rectas trazadas se intersectan (cortan) en un punto, lasolucióndelsistemaeslacoordenada(x,y),puntodeintersección.

• Cuandolasrectastrazadassonparalelas,elsistemanotienesolución.• Las rectas pueden ser coincidentes (las mismas); en este caso, el

sistematieneunainfinidaddesoluciones.

Ejemplos

Representar gráficamente los sistemas que se indican,mismos que coinciden conlossistemasquesehanresueltoenlosejemplosanterioresalaplicar losdiferentesmétodosalgebraicosyqueahora,conelmétodogeométrico,podemosvisualizar:

I.( )

( )1

2

y 10 xx y 10y x 2x y 2

= − − − −+ = → = − − − −− =

Lasrectassetrazanutilizandoelmétododetabulación.

Tabulación:

x y = 10 – x P(x, y)4 y = 10 – (4) = 6 (4, 6)5 y = 10 – (5) = 5 (5, 5)6 y = 10 – (6) = 4 (6, 4)

7 y = 10 – (7) = 3 (7, 3)

x y = x – 2 P(x, y)4 y = (4) – 2 = 2 (4, 2)5 y = (5) – 2 = 3 (5, 3)6 y = (6) – 2 = 4 (6, 4)7 y = (7) – 2 = 5 (7, 5)

Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(6, 4),elcualeslasolucióndelsistema.

Comprobación: 6 4 106 4 2+ =

− =

260

B7 �B7 �II.

( )

( )1

2

9 xx 4y 9 y

43x y 1 y 3x 1

−+ = = − − − → − = = − − − −


Tabulación:

x y = (9 – x )/4 P(x, y)–3 y = (9 – (–3) )/4 = 3 (–3, 3)1 y = (9 – (1) )/4 = 2 (1, 2)3 y = (9 – (3) )/4 = 1.5 (3, 1.5)5 y = (9 – (5) )/4 = 1 (5, 1)

x y = 3x – 1 P(x, y)0 y = 3(0) – 1 = –1 (0, –1)1 y = 3(1) – 1 = 2 (1, 2)2 y = 3(2) – 1 = 5 (2, 5)3 y = 3(3) – 1 = 8 (3, 8)

Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes(1, 2),elcualeslasolucióndelsistema.

III.Elsistemaquesepresentaacontinuaciónseresuelveporlosmétodosalgebraicosdesumayrestaeigualación,observaquenotienesolución:

( )( )

2x 3y 7 14x 6y 10 2

+ = − − − + = − − −

Método de suma y resta

Semultiplicapor–2laecuación(1),paraobtener:

( )( )

4x 6y 14 14x 6y 10 2− − = − − − − + = − − −

Alsumarestasecuacionessetiene:

Lo cual indica, por una de las observaciones antes dada, que el sistema no tienesolución.

Niñosymoscas.Sitresniñoscazantresmoscasentresminutos.¿Cuántotardarántreintaniñosencazartreintamoscas?

B7 �

261


Métododeigualación

Sedespejax,enambasecuaciones:

De(1): 7 3yx

2−

=

De(2): 10 6yx

4−

=

Aligualarestosdespejes,tenemos:

7 3y2− = 10 6y

4−

Donde:

7 3y 10 6y4

2 414 6y 10 6y

0y 4

− − = − = −

= −

Lo cual indica, por unade lasobservaciones antesdada, queel sistemanotienesolución.

Acontinuaciónsehacelarepresentacióngeométricadelsistemaanterior.

( )

( )

1

2

7 2xy2x 3y 7 3

4x 6y 10 10 4xy

6

− = − − − + = → + = − = − − −


Tabulación:

x y = (7 – 2x )/3 P(x, y)–4 y = (7 – 2(–4) )/3 = 5 (–4, 5)–1 y = (7 – 2(–1) )/3 = 3 (1, 2)0 y = (7 – 2(0) )/3 = 2.3 (0, 2.3)2 y = (7 – 2(2) )/3 = 1 (2, 1)

x y = (10 – 4x)/6 P(x, y)–2 y = (10 – 4(–2) )/6 = 3 (-2, 3)0 y = (10 – 4(0) )/6 = 1.6 (0, 1.6)1 y = (10 – 4(1) )/6 = 1 (1, 1)4 y = (10 – 4(4) )/6 = –2 (4, –2)

Enelsistema

3 59 3 15

x yx y+ =+ =

ambasecuacionesrepresentanlamismarecta.luegotodoslospuntosdeunacoincidenconlospuntosdelaotrateníendoasí,unainfinidaddesoluciones

262

B7 �B7 �Comopuedesobservarlasrectassonparalelas(nohaypuntodeintersección),porlocualseconcluyequeelsistemanotienesolución.

IV.Resolverlasituaciónqueacontinuaciónseindica,alaplicarunmétodoalgebraico,yhacerlarepresentacióngráficadelsistemavisualizandolasolución.

Danielfuealalmacénypagóportres camisasycincotrajes$4180.00,mientrasquesupapápagópornuevecamisasyocho trajes$6940.00.Silostrajesylascamisasquecomprócadaunotienenelmismoprecio,¿cuántodebiópagarelabuelitoqueenesemomentolosacompañabapordoscamisasydostrajes?

Planteamientoalgebraico

Costodecadacamisa:xCostodecadatraje:ySepagóportrescamisasycincotrajes$4180.00: 3x + 5y = 4180Sepagópornuevecamisasyochotrajes$6940.00: 9x + 8y = 6940

Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:3x 5y 41809x 8y 6940

+ = + =

Porelmétododeigualación:

( )

( )

4180 3xy 13x 5y 4180 5

9x 8y 6940 6940 9xy 2

8

− = − − −+ = → + = − = − − −

Seigualanlosdespejes(1) y (2)yseresuelvelaecuación:

4180 3x 6940 9x5 8

4180 3x 6940 9x40

5 833440 24x 34700 45x

21x 1260x 60

− −=

− − = − = −

==

Sesustituye x = 60en4180 3x

y5−

= ,seobtiene:

( )4180 3 60y

54180 180

y5

4000y 800

5

−=

−=

= =

B7 �

263


Comprobación: ( ) ( )( ) ( )

3 60 5 800 41809 60 8 800 6940

+ = + =

Respuesta:sehaencontradoqueunacamisacuesta$60.00yuntraje$800.00.Luego,despuésdehacerlaoperación2(60) + 2(800) = 1720,elabuelitodebiópagarpordoscamisasydostrajes$1720.00.

Gráficadelsistema.

( )

( )

1

2

4180 3xy3x 5y 4180 5

9x 8y 6940 6940 9xy

8

− = − − −+ = → + = − = − − −


Tabulación

x y P(x, y)–100 y = 896 (–100, 896)

60 y = 800 (60, 800)400 y = 2980 (400, 2980)

900 y = 296 (900, 296)

x y P(x, y)–200 y = 1092.5 (–200, 1092.5)

60 y = 800 (60, 800)

500 y = 305 (500, 305)770 y = 1.25 (770, 1.25)

Puedevisualizarsequeelpuntodeinterseccióndelasrectastrazadasapartirdecadaunadelasecuacionesdelsistemaes (60, 800),elcualeslasolucióndelsistema.

I.Resuelvelossiguientessistemasdeecuacionessimultáneaslineales,yeligeparacadaunodeellos,elmétodoalgebraicomásapropiado,yparacadaunodelossistemasconstruyelagráficayverificalasolución.

Actividad

264

B7 �B7 �1.

3x y 11x 4y 11

+ = + = −

2. x y 0x 4y 15− + =

+ =

15. 2x 5y 208x 3y 46

+ = − + = −

16. x 4y 5002x y 300

+ = + =

3. x 5y 5

2x 5y 15− =

− + = −

4. 4x 5y 22x 7y 11

− = + = −

17. 2x y 1100y 2x 100

+ = − = −

5. 2x 6y 05x 3y 18

− = + =

18. x 78 y

2y 113 x= −

= −

6. 10x 12y 16x 3y 4

− = + =

19. 40x 1190 34y

11y 301 8x− = −

− = −

7. 8x 5y 4

4x 10y 5− + =

− = −20.

x 3 y 212 5 5

x 2y 12

5 3

+ + = + + =

8.

4x y 54x y 5− + = − = −

9. 7x 2y 114x 4y 1

+ = + =

21. 3x 1 y 1

132 3

4x 8 3y 40

4 5

+ − + = − + − =

10. 11x 12y 111x 4y 15

+ =− + =

22.

( ) ( )

( ) ( )

2 x 4 6 3y 451

3 25 x 4 2 3 6y

32 12

+ −+ = −

− − − = −

11. 2 4 6

2 3x yx y

+ =− − = −

12. 21x 40y 1414x 10y 2

+ = − =

23.

x y 87 2 7

x y 67 2 7

+ = − = −

13. 1 1x y 20

2 31 1

x y 04 6

+ = − =

24.

x y 12 9 2

2y 1x

9 4

+ = + =

14. x y 15 2 5

x y 14 8 10

+ = − =

25. 3x y 14 3 7

3x y 18 6 14

+ =− − = −

B7 �

265


II. Encuentra la solución a las situaciones que modelaste antes por unsistema de ecuaciones; utiliza el método algebraico más apropiado,compruebalasoluciónyrespondecorrectamentecadauna.

1. Paolatiene27añosmásquesuhijaCarmen.Dentrodeochoaños,laedaddePaoladoblarálaedaddeCarmen.¿Cuántosañostienecadauna?

2. ElpapádeJuliopesa42 kgmásqueJulio;silosdosjuntospesan138 kg,¿cuántopesacadauno?

3. Laedaddeunhijomáslatercerapartedelaedaddelpadresuman22 años.Dentrodeseisaños, laedaddelpadreexcederáendiezañoseldoblede laedaddelhijo.¿Cuáles laedadactualdecadauno?

4.Uncoheteysucombustiblepesanjuntos5200 kg.Despuésdequesehayagastadouna cuartapartedel combustible, el cohete y elcombustiblerestantepesan 4600kg.¿Cuáleselpeso,enkilogramos,delcohete?

5. Dentrodelaciudad,unautomóvilrinde6km/litro;encambio,encarretera rinde8.5 km/litro.Sielautomóvilconsumió90 litrosenunrecorridode690km,¿quépartedelrecorridohizoenlaciudad?

6.SantiagoescuatrovecesmayorqueJuan,yencuatroañosmássólotendráeldobledeedad.¿Cuáleslaedadactualdecadauno?

7. Enunaalcancíahay$1305.00en150 monedasde$5.00 y $10.00.¿Cuántasmonedassonrespectivamentede$5.00 y $10.00?

8. Haceseisaños laedaddeRicardoera 32de laedaddesunoviay

dentrode6años,cuatroveceslaedaddeRicardoserácincoveceslaedaddesunovia.¿Cuálessonlasedadesactualesdecadauno?

9. Pedro ledaaJuantrescanicasparateneramboselmismotanto,porquesiJuanledaaPedrotrescanicas,éstetendríacuatroveceslasdeJuan.¿Cuántascanicastienecadauno?

10. Lasumadelasdoscifrasdeunnúmeroesnueve,perosilacifradelasdecenasseaumentaenunoyladelasunidadessedisminuyeenuno,lascifrasdelnúmeroseinvierten.¿Cuáleselnúmero?

266

B7 �B7 �

Resuelve en tu cuaderno de notas cada una de las situaciones planteadas,determinandoen cadaunade ellas: sistemade ecuaciones,métodode solución ygráfica.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectoacadauna.

1.JessylediceasuhermanoJulio:“Simedas$50.00detudinero,yotendréeldoblededineroquetendrástú”,sientreamboshermanostienen$600.00,¿cuántotienecadauno?

a)Julio:$250Jessy: $350

c) Julio: $200 Jessy: $300

b) Julio:$350Jessy:$250

d)Julio:$300Jessy:$200

2.LacantidaddedineroquetienenIselayRicardosuma$4500,ladiferenciadeloquetieneIselaconeldobledeloquetieneRicardoes$2100.¿Cuántotienecadauno?

a)Isela:$800Ricardo:$5300

c)Isela:$800Ricardo:$3700

b)Isela:$3700Ricardo:$1800

d)Isela:$3700Ricardo:$800

3. Ana y Paola pesaban5 kg y 6 kg, respectivamente. El peso de cada una se haincrementando1kgcadamesdurante5meses.¿Cuáleselsistemadeecuacionesquerepresentaestasituación?Observalatabla.

Mes (x) Ana PaolaPrimero 6 7Segundo 7 8Tercero 8 9Cuarto 9 10Quinto 10 11

a)A =5-nP =6-n

c)A =5+n

P =6-n

b)A =5+nP =6+n

d)A =5-nP =6+n

4. Karencompra1chocolateydospaletascon $4.00;Karimecompra3chocolatesyunapaletacon$7.00. AlllegaracasasuhermanaLuzdelCarmenlespregunta,¿cuántocostócadadulce?a)Chocolate:$1Paleta:$2

c)Chocolate:$4Paleta: $2

b)Chocolate:$2Paleta:$1

d)Chocolate:$3Paleta:$1

Autoevaluación

B7 �

267


Evaluación FormativaAutoevaluación

Resuelvecorrectamentelasiguientesituación.

Enunexamende40preguntas,Lucíahaobtenido7 decalificación.Cadaaciertovale1puntoycadaerrorleresta2puntos.

Apartirdeestasituaciónrealizaloquesepide:

¿Cuáleselsistemaquemodelalasituaciónplanteada?

a)x y 403x 2y 10

+ =− =

c) x y 33x 2y 8

+ =− =

b) x y 24x 4y 16

+ =− =

d) x y 40x - 2y 7

+ ==

¿CuántosaciertosyerrorestuvoLucy?Aciertos:__________Errores:__________

Enunplanocartesiano,graficalasrectasdelsistema.

Escala de Rango

Nombredelalumno:Escala de valoración:

0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituaciónplanteada

Eligióelsistemacorrectamente

Contestócorrectamentelaspreguntas

Realizólagráfica

TOTAL:

CalTotal

=×

=10

12Observaciones:Nombredequienrevisó:

BLO

QU

E

8 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

»

• Comprendelosmétodospararesolversistemasdetresecuacionescontresincógnitas(3x3).

• Métodonuméricopordeterminantes.• Métodoalgebraicodesustitución.• Ubicaeinterpretasituacionesdiversas

utilizandosistemas3x3.

Resuelve ecuaciones lineales III

BLO

QU

E


SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A»Construyeeinterpretamodelos

aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

• Reconoceodescribe,mediantelenguajeoraloescrito,situacionesquepuedenmodelarsemediantesistemasdeecuacioneslineales 3x3.

• Asocialospuntosdeintersecciónconlassolucionesdeunsistema 3x3.

• Reconocegráficamentecuándounsistema3x3tieneuna,ningunaoinfinitassoluciones.

• Resuelvepormediodedeterminantes,sistemasdeecuaciones3x3.

• Resuelveporsustituciónalgunossistemas3x3.

• Reconoceenunagráficalasolucióndeunsistemadeecuaciones3x3.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunsistemadeecuaciones3x3.

• Efectúalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconsistemaslineales3x3dondesepresentandistintasunidadesdemedición.

• Obtienelasolucióndesistemasdeecuacioneslineales3x3.

• Aplicaelmétodonuméricopordeterminantespararesolversistemas3x3.

• Utilizaelmétododesustituciónpararesolverunsistema 3x3.

• Representaysolucionasituacionesdiversasutilizandosistemas3x3.

• Expresaideasyconceptosdesistemasdeecuacionescontresincógnitasempleandorepresentacionesenlenguajecomún,simbólicoográfico.

• Ejecutainstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuyealalcancedelasolucióndeunaecuaciónde3x3.

• Aprecialasimplicidaddelosmétodosnuméricospararesolversistemas3x3.

• Valoralautilidaddelossistemas3x3pararepresentarysolucionardiversassituaciones.

• Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuenta,enlasactividadesquelesonasignadas.

• Asumeunaactitudpropositivaquefavorecelasolucióndeproblemasendistintosámbitos.

• Promueveeldiálogocomomecanismoparalasolucióndeconflictos.

270

B8 �B8 �

Enestebloqueabordaremoselsistemadetresecuaciones linealescontresincógnitas,tambiénllamadosistema3x3,conloscualesmodelaremosdiversassituaciones,aplicandopara la solucióndel sistemaelmétodoalgebraicodesustituciónyelmétodonuméricopordeterminantes.

Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto.

1.¿Cuáleslaexpresiónalgebraicaquerepresentaquelasumadetresnúmerosenterosconsecutivoses72?

a) ( )( )x x+1 x+2 =72

b) x y z 72+ + =

c) ( ) ( )x+ x+1 + x+2 =72

d) xyz 72=

2.Elvalordexenlaecuación ( )34x 7 2x 5

7− = − es:

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

3.Alsumardosnúmeros,obtenemosunresultadocuatrovecesmayorqueelnúmeromenor.Además,cuandoalnúmeromenorlesumamos15yalmayorlerestamos13setienenresultadosiguales.¿Quénúmerosson?

a) 14 y 42 b) 24 y 41 c) 20 y 35 d) 15 y 53

4. Unaparejahacesulistadeloquenecesitaycalculagastarentrelosdos$850.Ellaeliminaunartículocuyocostoeralanovenapartedesupedidoyél,asuvez,eliminaotroequivalenteaunoctavodelimportedesulista.Asíellospodrángastar$100menos.Elimporteoriginaldecadaunoera:

a)Ella:$400Él:$450

b)Ella:$450Él:$400

c)Ella: $500Él:$350

d)Ella:$350Él:$500

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

B8 �

271

B8 �ResuelveecuacioneslinealesIII

5.Unatinadebañosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafría.Silatinasedesaguaen60min,¿enquétiemposellenalatinaconlasdosllavesyeldesagüeabierto?

a) 10 min b) 12 min c) 13 min d) 15 min

6.¿Cómorepresentaríasunsistemadetresecuacioneslinealescontresincógnitas?

7.¿Quéentiendesporresolverunsistemadeecuacioneslineales3 x 3?_______________

____________________________________________________________________

Modelandoconsistemasdeecuaciones.

Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrar elsistema de ecuaciones quemodela la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.

1. En la siguiente figura se tenía un entero en cada cuadrado, cada número de lasegunda, tercera y cuarta fila era igual a la sumade los números colocados enlos dos cuadradosqueestán inmediatamente arribade él. Los números fueronborradosconeltiempo.¿QuénúmeroestaríaenelcuadradomarcadoconlaletraA?

a) 2 b) 3 c) 5 d)7

Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.

Correspondeenestebloqueabordarlossistemasdeecuacionessimultáneascontresincógnitas,loscualestambiénsonllamadossistemasdedimensiones

Actividad introductoria

SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

272

B8 �B8 �3 x 3.Engeneral,unaecuaciónlinealcontresincógnitasesunaigualdaddelaformaax+by+cz=dyelsistema 3 x 3 esrepresentadoportresdeestasigualdades.

Siexistenlostresvaloresx,y,zquesatisfacensimultáneamentelasecuacionesdelsistemadado,elsistematienesolución:es la terna (x,y,z)denúmerosreales;enestecasosedicequeelsistemaescompatible.Deotromodo,elsistemapuedetenerunainfinidaddesoluciones,yelsistemaescompatibleindeterminado;sielsistemanotienesoluciónsedicequeesincompatible.

Setieneunsistemadeecuacionessimultáneascontresincógnitas,si consideramos tres ecuaciones de primer grado con tresincógnitascomosigue:

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d3a3x + b3y + c3z = d3

dondex,yyzsonlasincógnitasy 1 2 3 1 2 3 1 2 3a ,a ,a ,b ,b ,b ,c , ,c ∈c

Hay múltiples situaciones que conducen a plantear ecuaciones con tresincógnitas.

Ejemplo

Enciertaheladería,porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletas,cobran$34 un día.Al siguientedía, por cuatro copas delmismohelado y cuatro galletas,cobran$44; yaltercerdíason$26porunahorchataycuatrogalletas.¿Tienesmotivosparapensarqueenalgunodelostresdíassepresentóunacuentaincorrecta?

Solución

Planteamiento:

Preciodelacopadehelado:x

Preciodelahorchata:y

Preciodelagalleta:z

Porunacopadehelado,doshorchatasycuatrogalletassecobró$34:

x + 2y + 4z = 34

Porcuatrocopasdeheladoycuatrogalletassecobró$44:

4x + 4z = 44

Porunahorchataycuatrogalletassecobró$26:

y+4z = 26

B8 �

273


Sistemadeecuacionesquemodelalasituación:

x y zx z

y z

+ + =+ =+ =

2 4 3411

4 26

Observaquelosvaloresdedosdelasvariablesx,y,ózdeterminanelvalordelatercera.

Encuentraelsistemadeecuacionesquemodelacadaunadelassituacionessiguientes.

1.Se tienen tres recipientes concierta cantidaddeagua.Si se vierte1/3 deaguadelprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenel terceroy,porúltimo,extraemos1/10 del aguadel tercer recipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,yseobtienennuevelitrosencadarecipiente,¿quécantidaddeaguateníacadaunodeellos?

2.Tresamigosfueronaladulcería.Miguelgastó $27 ycompróuncarameloydospaletas.Luisgastó$41 ycompróuncarameloydoschocolates.Hugopagó$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.¿Cuáleselpreciodecadagolosina?

3.Ungrupodeveintepersonasentrehombres,mujeresyniñosse reúneparacelebrarel cumpleañosdeunodeellos.Elnúmerodehombresymujeresasistente resultaserel tripledelnúmerodeniños.Además, sihubieraasistido lamamádeCarlitos,elnúmerodemujeressería igualal de los hombres. ¿Cuántos hombres,mujeres y niños asistieron a lareunión?

4.Enunacompetenciadeportivaparticipancincuentaatletasdistribuidosentrescategorías:infantiles,juvenilesyveteranos.Eldobledelnúmerodeatletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnúmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquíntuplodelnúmerodeveteranos.Determinaelnúmerodeatletasquehayencadacategoría.

5.LaSra.Juliacompróparasudespensa5kgdeazúcar,3kgdearrozy4 kgdefrijol;parasumamácompró4kgdeazúcar,5kgdearrozy 3kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazúcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagópor separadocada cuenta conun importede$151, $141 y $149 respectivamente,¿cuántocuestacadaartículo?

Actividad

274

B8 �B8 �Ecuaciones simultáneas de tres por tres, con y sin solución

Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas lineales con tresincógnitas,podránaplicarse losmétodosalgebraicosvistosenel sistema2 x 2: sumay resta,sustitución, igualaciónodeterminantes;sinembargo,enestebloqueenfocaremosnuestroestudioalmétodoalgebraicodesustituciónyalmétodonuméricopordeterminantes.Nuevamente,paraelsistema3 x 3,paracualquiermétodoqueseaplique,lasolucióndelsistemaeslamisma.

Método algebraico de sustitución

Paraaplicarestemétodosesiguenlossiguientespasos:

1. Seeligeunadelasecuacionesdelsistema,enlacualsedespejaunadelasincógnitas.

2. Sesustituyeeldespejeobtenidoenlasotrasdosecuacionesdelsistema,quedandodosecuacionescondos incógnitas,esdecir,unsistema2 x 2 queyasabemosresolver.

3. Los valores encontrados para dos de las incógnitas se sustituyen en eldespejeobtenidoenelprimerpaso,encontrandoasíelvalordelaterceraincógnita.

4. Lasolucióndelsistemasonlosvaloresobtenidosdelastres incógnitas,esdecir,laterna(x,y,z),comprobandoconellosqueseverificanlastresigualdades.

Ejemplo

Enseguida,seresuelveunsistemadeecuaciones3 x 3 porelmétododesustitución,siguiendolospasosarribadescritos.

( )( )( )

2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3

+ − = − + = − + − = −

1.Seeligedespejaryenlaecuación(1)donde:

y = 1 – 2x + z

O bien, y = –2x + z + 1

2.Sustituyendoeldespejeanteriorenlaecuación(2)seobtiene:

x – 5(–2x + z + 1) + 2z = –3

Sesimplifica, x + 10x – 5z – 5 + 2z = –3

Sialefectuarelpaso2yresolverlaecuaciónenunasolavariableseobtiene0x = c, 0y = c, o 0z=cconc≠ 0,elsistemanotienesoluciónysiresulta0x = 0, 0y = 0 o 0z = 0elsistematieneunainfinidaddesoluciones

B8 �

275


11x – 3z = –3 + 5

11x – 3z = 2 (4)

Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuación(3)seobtiene:

4x + 3(–2x + z + 1) – 5z = –5sesimplifica: 4x – 6x + 3z + 3 – 5z = –5

– 2x – 2z = –5 – 3– 2x – 2z = –8x + z = 4 (5)

Delasecuaciónes(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:

( )( )

11x 3z 2 4x z 4 5− =

+ =

Ahoraseresuelveestesistema,aplicandoelmétodomásadecuado.

Atendiendoalassugerenciasdelbloqueanterior,seeligeresolverporelmétododesustitución:

• Seeligedespejarxenlaecuación(5),donde:

x = 4 – z

• Alsustituirestedespejeenlaecuación(4),seobtiene:

11(4 – z ) – 3z = 2

Alresolverlaecuacióntenemos:44 – 11z – 3z = 2 – 14z = 2 – 44

z=−−

=4214

3

• Alsustituirz=3 eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,setiene:

x = 4 – (3) = 1

• Lasolucióndelsistemaobtenido2 x 2sonlosvaloresz = 3 y x = 1

3. Alsustituirestosvalores x = 1 y z = 3eneldespejeobtenidoenelprimerpaso,seencuentraasíelvalordelavariabley.

y = –2x + z + 1y = –2(1) + (3) + 1

y = –2 + 3 + 1y = 2

276

B8 �B8 �4. Así,lasolucióndelsistemaformadoporlasecuaciones (1), (2) y (3)eslaterna

(1, 2 ,3):

Comprobación:( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3

+ − = − + = − + − = −

Dondeobservamosqueseverificanlasigualdades.

Método numérico por determinantes

Abordaremosahoraelmétodopordeterminantes,observaconatencióncómoseformanyresuelvenlosdeterminantes.

Dadounsistemadeecuaciones3 x 3:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

+ + =+ + =+ + =

Paraencontrarlasolucióndelsistemasedesarrollancuatrodeterminantes,formadosdelasiguientemanera:

El primer determinante lo denotaremos con la letraD y se forma con loscoeficientes de las incógnitas: horizontalmente (las filas) contienen a loscoeficientes de cada ecuación en el orden de x, y, z y verticalmente (lascolumnas)correspondenaloscoeficientesdeunamismavariable.

1 1 1

2 2 2

3 3 3

a b cD a b c

a b c=

Eldeterminante3 x 3 asíobtenidoseresuelvecomosemuestraenelsiguienteesquema: se aumentan las dos primeras filas, y se multiplican los trescoeficientesquesetienenendiagonal(anotandolosresultadosdelproductoenladerechaeizquierda).Alasumadelosproductosobtenidadeladerechaselerestalasumadelosproductosobtenidosalaizquierda.

Cuandoenunsistema3 x3, unadelasecuacionesnotieneunavariable,elcoeficienteconsideradoparaellaalmomentoderesolvereldeterminanteescero.

B8 �

277


SiD= 0, xD ≠0, yD ≠0 y zD ≠0 elsistemanotienesolución.SiD= 0, xD =0, yD =0y

zD = 0 elsistematieneunainfinidaddesoluciones.

Paradesarrollarcadaunodelosdeterminantes,seaumentaronlasdosprimerasfilas.

Los tresdeterminantes restantes sedenotanpor , ,x y zD D D y se formanal

cambiarlacolumnadelavariabledeldeterminantequesebuscaporlacolumnaformadapor lossegundosmiembrosdelasecuaciones,esdecir,sisebusca

xD secambialacolumnadeloscoeficientesdexporlossegundosmiembros

delasecuaciones,yasísucesivamentepara yy zD D .Unavezformadocadadeterminante,seresuelvetalcomoseprocedióeneldeterminanteD.

SiD≠0,lasolucióndelsistemaesúnicayseencuentraalefectuarlassiguientesdivisiones:

xDx

D=

yD

yD

=

zDz

D=

Ejemplos

Resolvamoselmismosistema3 x 3 delejemploanterior,ahoraconelmétodopordeterminantesyobservemosquelasolucióneslamisma.

278

B8 �B8 �( )( )( )

2x y z 1 1x 5y 2z 3 24x 3y 5z 5 3

+ − = − + = − + − = −


Efectuamoslasdivisionescorrespondientes,ylisto:

xD 28x 1

D 28= = = yD 56

y 2D 28

= = = zD 84y 3

D 28= = =

Lasolucióndelsistemaformadoporlasecuaciones(1), (2) y (3)enesteejemploeslaterna(1, 2 ,3).

Comprobación:( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 1 2 3 1 11 5 2 2 3 3 24 1 3 2 5 3 5 3

+ − = − + = − + − = −

B8 �

279


Observemosqueseverificanlasigualdades.

Veamosqueelsistemaquesemuestraacontinuaciónesincompatible,esdecir,notienesolución.

Apliquemosprimeroelmétododesustitución.

( )( )

( )

3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2

5x y z 5 3

− + = − − + = − + =

Tenemos:1.Elegimosdespejarzenlaecuación(3)donde:

z = 5 – 5x + y

Obien, z = –5x + y + 5

2.Alsustituireldespejeanteriorenlaecuación(1)seobtiene:

3x – 4y + 2(–5x + y + 5) = 1

Sesimplifica,3x – 4y – 10x + 2y + 10 = 1– 7x – 2y = 1 –10

– 7x – 2y = –9 (4)

Alsustituirelmismodespeje,ahoraenlaecuación(2),seobtiene:

– 2x –3y + (–5x + y + 5) = 2

Sesimplifica:– 2x –3y –5x + y + 5 = 2 – 7x – 2y = 2 – 5– 7x – 2y = –3 (5)

Delasecuaciónes(4) y (5)setieneelsistema2 x 2siguiente:

− − =−− − =−

7 2 9 47 2 3 5

x yx y

( )( )

Almultiplicarpor(–1)laecuación(5)ysumarestasecuaciones,setiene:− + =−+ =

+ =

7 2 97 2 3

0 0 6

x yx y

x y

Locualindicaqueelsistemanotienesolución.

280

B8 �B8 �Apliquemosahoraelmétodopordeterminantes.

( )( )

( )

3x 4y 2z 1 12x 3y z 2 2

5x y z 5 3

− + = − − + = − + =

Tenemos:

PuestoqueD =0,Dx≠0,Dy≠0yDz≠0,elsistemano tiene solución.

B8 �

281


Actividad

I. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas3 x 3 por elmétodoalgebraicodesustituciónyel métodonuméricopordeterminantes.

1. x y z 23x 2y z 42x y 2z 2

+ + = − − =− + + =

2. 3x 4y 2z 1

2x 3y z 25x y z 5

+ + = − − + = − + =

3. 2x 5y 3z 0

x y z 02x y 0

− + = − + − = − =

4. 4x y z 4x y 4z 1

2x y 7z 3

− + = − + = + − =

5. 4x y 5z 257x 5y z 173x y z 21

− + = − + − = − + = −

6. 2x 5y 16

x 3y 2z 2x z 4

+ = + − = − + =

7. x 3y z 52x y 5z 7

x 10y 8z 9

+ − = − − + = + − =

8. x 2y 3z 2x 8y 27z 0

x y z 1

− + − = − − + − = − − =

II.Dadoqueyamodelastecadaunadelassituacionessiguientesporsucorrespondientesistema de ecuaciones, encuentra la solución al utilizar alguno de los métodosabordados,compruébalaydalarespuestacorrectaalasituacióndada.

1. En cierta heladería, por una copadehelado, dos horchatas y cuatrogalletas,cobran$34 undía.Otrodía,porcuatrocopasdelmismoheladoycuatrogalletas,cobran$44,yuntercerdíason$26porunahorchataycuatrogalletas.¿Tienesmotivos para pensar que en alguno de los tres días se presentó una cuentaincorrecta?

282

B8 �B8 �2.Setienentresrecipientesconciertacantidaddeagua.Sisevierte1/3 deaguadelprimeroenelsegundoyluego 1/4 deaguadelsegundoenelterceroy,porúltimo,extraemos1/10deaguadeltercerrecipienteparaverterlaenelprimerrecipiente,obteniendonuevelitrosencadarecipiente,¿quécantidaddeaguateníacadaunodeellos?

3. Tresamigosfueronaladulcería.Miguelgastó$27ycompróuncarameloydospaletas.Luisgastó$41ycompróuncarameloydoschocolates.Hugopagó$34poruncaramelo,unapaletayunchocolate.¿Cuáleselpreciodecadagolosina?

Resuelveentucuadernodenotascadaunadelassituacionesplanteadas,ydeterminaencadaunadeellas:sistemadeecuacionesymétododesolución.Elijelaopciónquemuestraelresultadocorrectodecadauna.

1.Ungrupode20personasentrehombres,mujeresyniñossereúneparacelebrarelcumpleañosdeunodeellos.Elnúmerodehombresymujeresasistentesresultasereltripledelnúmerodeniños.Además,sihubieraasistidolamamádeCarlitos,elnúmerodemujeresseríaigualaldeloshombres.¿Cuántoshombres,mujeresyniñosasistieronalareunión?

a)Hombres:5Mujeres:7Niños:8

b)Hombres:7Mujeres:5Niños:8

c)Hombres:8Mujeres:7Niños:5

d)Hombres:5Mujeres:6Niños:9

2. En una competencia deportiva participan cincuenta atletas distribuidos en trescategorías: infantiles, juveniles y veteranos. El doble del número de atletasinfantiles,porunaparte,excedeenunaunidadalnúmerodejuvenilesy,porotra,coincideconelquíntuplodelnúmerodeveteranos.Determinaelnúmerodeatletasquehayencadacategoría.

a)Infantiles:15Juveniles:29Veteranos:6

b)Infantiles:6Juveniles:15Veteranos: 29

c)Infantiles:29Juveniles:15Veteranos: 6

d)Infantiles:15Juveniles: 6Veteranos:29

3.LaSra.Juliacompróparasudespensa5kgdeazúcar,3kgdearrozy4kgdefrijol;parasumamácompró4kgdeazúcar,5kgdearrozy3 kgdefrijol;yparasusuegra2kgdeazúcar,5 kgdearrozy5kgdefrijol.Sipagóporseparadocadacuentaconunimportede$151, $141 y $149,respectivamente,¿cuántocuestaelkilogramodecadaartículo?

Autoevaluación

B8 �

283


a)Azúcar:12Arroz:16Frijol:9

b)Azúcar:9Arroz:16Frijol:12

c)Azúcar:12Arroz:9Frijol: 16

d)Azúcar: 9Arroz:12Frijol:16

Apartirdelasituaciónplanteadarealizaloquesepide.

1.Enunafrutería,por2kgdemanzana,2kgdeperayunmelón,cobraronauncliente$119.Otrapersonacompró4kgdemanzana, 1kgdeperaydosmelones,porloscuales lecobraron$154; unatercerapersonapagó$93por2kgdemanzanay 3 melones.¿Cuántocuestacadafruta?

a) Encuentraelsistemaquemodelalasituación.

b) Resuelve el sistema por dosmétodos:método algebraico de sustitución ymétodonuméricopordeterminantes.

c) Especificaturespuesta.

Escala de rango

Nombredelalumno:

Escala de valoración:0Nulo1 Deficiente2Aceptable 3Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendiólasituaciónplanteada

Encontróelsistemacorrectamente

Resolvióelsistemaporlosdosmétodos

Indicólarespuestaespecíficamente

TOTAL:Cal

Total=

×1012

=

Observaciones:Nombredequienrevisó:

Evaluación Formativa

BLO

QU

E


SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

»

• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticasincompletas:-Extraccióndefactorcomún-Despejedelavariablecuadrática

• Identificaecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.

• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticasincompletas.

• Comprendelosmétodospararesolverecuacionescuadráticascompletas.

• Describeelprocedimientodecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.

• Identificaraícesrealesycomplejasyescribeecuacionesapartirdeéstas.

• Ubicaeinterpretasituacionesconecuacionescuadráticascompletas.

Resuelve ecuaciones cuadráticas I

BLO

QU

E


SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A»Construyeeinterpretamodelos

aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

• Aplicatransformacionesalgebraicasparadespejarlavariableenunaecuacióncuadráticapura.

• Extraefactorcomúnparafactorizarunaecuacióncuadráticamixta.

• Aplicalapropiedaddelproductoceroparahallarlasraícesdeunaecuacióncuadráticamixta.

• Resuelveecuacionescuadráticascompletasmediantelatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectos.

• Reconocequeunaecuacióncuadráticapuedetenerraícesreales,oraícescomplejas,enparesconjugados,yescribelasecuacionescuadráticasapartirdesusraíces.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentorno,uotrosámbitos,quepuedenrepresentarseysolucionarsemedianteunaecuaciónounafuncióncuadrática.

• Efectúalascorrespondientesconversionesdeunidades,ensituacionesmodeladasconecuacionescuadráticasdondesepresentandistintasunidadesdemedición.

• Obtienelasolucióndeecuacionescuadráticas.

• Aplicatécnicasalgebraicasdedespejeoextraccióndeunfactorcomún.

• Resuelveecuacionesincompletasdesegundogradoenunavariable.

• Utilizalatécnicadecompletaryfactorizartrinomioscuadradosperfectospararesolverecuacionescompletasdesegundogradoenunavariable.

• Representaysolucionasituacionesconecuacionescuadráticas.

• Aprecialautilidaddeutilizarmétodosespecíficospararesolverecuacionescuadráticasincompletas.

• Valoralaimportanciadecontarconunmétodoalgebraicopararesolvertodotipodeecuacióncuadráticaenunavariable.

• Valoralaaplicabilidaddelasecuacionescuadráticaspararepresentaryresolverdiversassituaciones.

286

B9 �B9 �Corresponde ahora estudiar las ecuaciones cuadráticas, completas oincompletas,apartirdemodelarsituacionesdediversoscontextos,diferentesmétodosalgebraicosdesolución.

Efectúaentucuaderno lossiguientesejerciciosysubraya laopciónquemuestraelresultadocorrecto:

1.Ricardoaceptóunempleocomovendedordeunproducto.Susueldoseráde10dólaresporcadaunidadvendidax,másunacomisióndiariade35dólares.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaelsueldoydecincodíasdetrabajo?

a) ( )y 5 x 35= +

b) ( )y 5x 5 35= +

c) ( )y 5 35x 10= +

d) ( )y 5 10x 35= +

2.¿Cuáleslasolucióndelsiguientesistemadeecuacioneslineales?

x y 153x 2y 20

+ =− =

a) x 5, y 10= = b) x 7, y 8= = c) x 10, y 5= = d) x 8, y 7= =

3.Ellargodeunrectánguloeseldobledesuanchoqueesx.¿Cuáldelassiguientesexpresionesrepresentaeláreadelrectángulo,enunidadescuadradas?

a) 3x b)4x c)6x d)2x2

4. Unatinadebañosellenaenmediahoraconlallavedelaguacalienteyen15minconlallavedeaguafría.Latinasedesaguaen60 min.¿Cuáleslaexpresiónqueindicaeltiempodellenadoconambasllavesyeldesagüeabierto?

a) 1 1 1x 1

30 15 60 + + =

b) 1 1 1x 1

30 15 60 + − =

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

B9 �

287

B9 �ResuelveecuacionescuadráticasI

c)x x x

130 15 60

+ + =

d)1 1 1

x30 15 60

+ + =

5.Enlaexpresión ( )( )x 4 x 1 0− + = ,¿quévaloresdexsatisfacenlaigualdad?

a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =

6.¿Cómocompletaslaexpresión 2x 6x+ paraqueseatrinomiocuadradoperfecto?

7.Enlaexpresión ( )2x 5 9− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?

a) x 4, x 1= = − b) x 4, x 1= − = c) x 2, x 1= = d) x 3, x 0= =

8. Enlaecuación ( )2x 2 0− = ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?

a) x 1= b) x 2= c) x 4= d) x 0=

9.Enlaecuación 2x 361= ,¿quévalordexsatisfacelaigualdad?

a) x 3= b) x 2= − c) x 3= − d) x 2=

10. ¿Quénúmerodebeirdentrodelradical ?

a)Eldoblede15b)Elcuadradode15c)Lapotenciade15d)Lamitadde15

Modelandoconecuacionescuadráticas.

Organizadosenequiposdetresintegrantesymonitoreadosporsuprofesor,realicenlos cálculos necesarios, registrándolos en su cuaderno de notas, para encontrarla ecuación cuadrática que modele la situación planteada, así como su respuestacorrespondiente.

1.Hallardosnúmerosparesconsecutivoscuyoproductosea168.

a) 12 y 14 b) 24 y 7 c) 6 y 28 d) 4 y 4

Actividad introductoria

288

B9 �B9 �2. Calculardosnúmeroscuyasumasea39ycuyoproductosea380.

a) 10 y 29 b) 15 y 24 c) 25 y 14 d)19 y 20

Alfinalizarelíjaseunodelosequiposparaexponersusresultadosfrentealgrupo.

Siunaecuacióntienesólounaincógnitayelmayorexponentedeéstaesdos,entoncessetieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita,tambiénllamadaecuacióncuadrática.Al resolverunaecuacióndeestetipo,puedenencontrarsedossoluciones,unasolución,obien,laecuaciónpuedenotenersolución,enlosreales.

Unaecuacióndesegundogradoconunaincógnitatienelaforma:

ax2 + bx + c = 0

donde:a,bycsonnúmerosreales,cona≠0.ax2eseltérminocuadrático.bxeseltérminolineal.c eseltérminoindependiente.

Paralaecuaciónanterior,sibycsondistintosdecero,laecuaciónsellamacompleta;perosibocsonigualesacerosetieneunaecuaciónincompleta.

Laecuacióncuadráticaesdegranimportanciaysepresentafrecuentementenosóloenmatemáticas,sinotambiénenfísica,química,biología,etc.,yaquemodelamuchosfenómenosrelacionadosconestasciencias.Porejemplo,enfísicaelmodeloquedescribeelmovimientodecaídalibrees:

h=4.9t2

Pararepresentarlaenergíapotencialelástica,elmodeloes:

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

B9 �

289


EP= 21kx

2

Elmodeloquepermitecalculareláreadeuncírculoes.

A=πr2

Ejemplo

El siguiente caso presenta una situación quepuedemodelarsepormediodeunaecuacióndesegundogradoconunaincógnita.

Paraencontrarelmodeloquepermitecalcularlalongituddeuntensorquesujetaaunatorre,siéstemidedosunidadesmásquelaalturadelatorre,ydesdelabasedelatorrehastadondesesujetaeltensormideunaunidadmásquelaalturadelatorre.

Solución:

Enlafiguraseobservauntriángulorectángulo,cuyahipotenusarepresentaeltensoryloscatetos(baseyalturadelatorre).

Donde:

Alturadelatorre:x

Longituddelabasehastadondesesujetaeltensor: x + 1

Longituddeltensor: x + 2

AltenerencuentaelteoremadePitágoras,secumple:

(x + 2)2 = (x + 1)2 + x2

Así,x2 + 4x + 4 = x2 + 2x + 1 + x2

Luego,laecuaciónquemodelaestasituaciónes:

x2 – 2x – 3 = 0

Unavezencontradalaecuaciónseprocederáaresolverlaaplicandoalgúnmétododesoluciónalgebraicoqueestudiaremosacontinuación,ográficoqueabordaremosenelsiguientebloque.

290

B9 �B9 �

Diseñaunaecuaciónquemodelecadaunadelassituacionesplanteadas.Alfinalizarcomparatusmodelosconlosdetuscompañeros.

1. Encuentraelnúmerodistintodeceroqueesigualaldobledesucuadrado.

2. Sialdobledelcuadradodeunnúmeroselerestaeltripledelmismoelresultadoescero.Hallaelnúmero,siésteesdistintodecero.

3.Enunrectángulo,labasemideeltriplequelaaltura.Sisedisminuyeen1centímetrocadalado,eláreainicialdisminuyeen15centímetros.Calculalasdimensionesyeláreadelrectánguloinicial.

4. Halla3 números impares consecutivos, tales que si al cuadradodelmayor se lerestanloscuadradosdelosotros2,seobtienecomoresultado7.

5.Laedaddeunpadreeselcuadradodeladesuhijo.Dentrode24añoslaedaddelpadreseráeldobledeladelhijo¿cuántosañostieneahoracadauno?

Métodos de solución

Hemos mencionado en el bloque VI que resolver una ecuación significaencontrarelvalorrealdelavariablequecumplelaigualdad.Ahorabien,parauna ecuación cuadrática se pueden encontrar sólo dos valores reales quesatisfacentalecuación,mismosquesonlassolucionesoraícesdelaecuación.Si existen efectivamente dos soluciones, éstas se designan por x1 y x2. Sisólohayunasolución,porx1.Sinoseencuentraunvalorrealquecumplalaigualdad,seconcluyequelaecuaciónnotienesoluciónenlosnúmerosreales,portanto,lassolucionesseencuentranenlosnúmeroscomplejosysellamanraícescomplejasoimaginarias.

Pero,¿cómoseencuentranlassolucionesdeunaecuacióncuadrática?Hayalgunosmétodosdesolución,losqueabordaremosenestebloqueseránlosmétodosalgebraicosdespejeparaecuacionesincompletasyfactorización. Veamos.

Métodos algebraicos

Despeje para ecuaciones incompletas

Abordemos la solución para ecuaciones incompletas, es decir, la ecuacióncuadrática:

Actividad

B9 �

291


ax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbocsonigualesacero,dedondesedesprendendoscasos.

Caso 1

Sib=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminolineal,esdecir,laecuacióntienelaforma:

ax2 + c = 0

Pararesolverestaecuaciónbastarádespejarxcomosigue:

2

2

2

ax c 0

ax cc

xa

cx

a

+ =

= −

= −

= ± −

Ejemplos

I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2 + c = 0yhagamoslacomprobacióndelasmismas.

1. 2x 4 0− =

Solución:

x

x

x

x

2

2

1

2

4 0

4

4

4 2

4 2

− =

=

=±

= =

=− =−

de donde

x

Comprobación:

Para 1x 2= Para 2x 2= −

( )22 4 0

4 4 00 0

− =

− ==

( )22 4 0

4 4 00 0

− − =

− ==

Se verifica la igualdad; luego 1x 2= y

2x 2= − , son las raíces de la ecuación2x 4 0− =

2. 24x 25 0− =

292

B9 �B9 �Solución:

4 25 0254

254

254

52

254

52

2

2

1

2

x

x

x

x

− =

=

=±

= =

=− =−

dedonde

x

Comprobación:

Para 1

5x

2= Para 2

5x

2= −

254 25 0

2

254 25 0

425 25 00 0

− = − = − ==

25

4 25 02

254 25 0

425 25 00 0

− − = − = − ==

Severificalaigualdad;luego 1

5x

2= y 2

5x

2= − ,

sonlasraícesdelaecuación 24x 25 0− =

Caso 2

Sic=0,setieneunaecuacióndesegundogradoconunaincógnitaenlaquefaltaeltérminoindependiente,esdecir,laecuacióntienelaforma:

ax2 + bx = 0

Pararesolverestaecuaciónseaplica la factorizaciónportérminocomúndedondesedesprendenlasdossolucionescomosigue:

( )

2

1

2

ax bx 0

x 0x ax b 0 b

ax b 0 xa

+ =

=+ = →

+ = → = −

Ejemplos

I.Resolvamosecuacionescuadráticasincompletas,ahoradelaformaax2 + bx = 0yhagamostambiénlacomprobación.

1. 2x 4x 0− =

Solución:

x x

x x

x x

2

1

2

4 0

4 0

0

4 0 4

− =

−( )=

=

− = → =

de dondex

Comprobación:Para 1x 0= Para 2x 4=

( ) ( )20 4 0 0

0 0 00 0

− =

− ==

( ) ( )24 4 4 0

16 16 00 0

− =

− ==

Severificalaigualdad;luego 1x 0= y

2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− = .

B9 �

293


2. 26x 7x 0− =

Solución:

6 7 0

6 7 0

0

6 7 076

2

1

2

x x

x x

x x

− =

−( )=

=

− = → =

de dondex

Comprobación:

Para 1x 0=

( ) ( )26 0 7 0 0

0 0 00 0

− =

− ==

Para 2

7x

6=

27 76 7 0

6 6

49 496 0

36 3649 4936 360 0

− = − =

−

=

Severificalaigualdad;luego 1x 0= y 2

7x

6= ,

sonlasraícesdelaecuación26x 7x 0− =

Factorización

Paraencontrarlassolucionesoraícesdeunaecuacióncuadráticacompleta,esdecir,laecuacióndelaformaax2 + bx + c = 0 a ≠ 0,dondeloscoeficientesbycsondistintosdecero,podráaplicarseelmétodoalgebraicoporfactorización;nuevamentesepresentandoscasos:

Caso 1

Este caso se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual esposiblefactorizar.Pararesolverestaecuación,sefactorizacorrectamentelaexpresiónax2 + bx + c,ylosfactoresresultantesseigualanacerodedonde,despejando la incógnita en cada igualdad se obtendrán las raíces de laecuación.

Ejemplos

I.Resolvamosecuacionescuadráticascompletasaplicandofactorizaciónyefectuemoslacomprobación.

1. x2 – 5x –14 = 0

Sefactorizalaecuación:(x + 2) (x – 7) = 0

Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:x + 2 = 0 y x – 7 = 0

Aldespejarxenestasigualdadesseencuentranlosvaloresx = –2 y x = 7

Así,lassolucionesoraícesdelaecuaciónx2 – 5x –14=0son:x1-2 yx2=7

294

B9 �B9 �Comprobación:Parax1 = 7

( ) ( )27 5 7 14 0

49 35 14 049 49 00 0

− − =

− − =− ==

Parax2 = –2

( ) ( )22 5 2 14 0

4 10 14 014 14 00 0

− − − − =

+ − =− ==

Severificalaigualdad;luego 1x 0= y

2x 4= ,sonlasraícesdelaecuación 2x 4x 0− =

2. 6x2 + 11x –10 = 0

Sefactorizalaecuación:(3x – 2) (2x + 5) = 0

Aligualarlosdosfactoresacero,setiene:3x – 2 = 0 y 2x + 5 = 0

Despejandoxenestasigualdadesseencuentranlosvalores y2 5x x

3 2= = −

Así,lassolucionesoraícesdelaecuación6x2 + 11x –10 = 0son: y1 2

2 5x x

3 2= = −

Comprobación:

Para 1

2x

3= Para 2

5x

2= −

22 26 11 10 0

3 3

4 226 10 0

9 38 8

03 30 0

+ − = + − =

− =

=

25 5

6 11 10 02 2

25 556 10 0

4 275 75

02 2

0 0

− + − − = − − =

− =

=

Caso 2

Éste se presenta cuando se tiene una ecuación cuadrática, la cual noes posible factorizar inmediatamente. Para resolver esta ecuación de la

formaax2 + bx + c = 0sebuscaexpresarlacomo 2 b cx x

a a+ = − yapartirde

éstaseprocedecomosigue:

B9 �

295


Apartirdelaforma:

Se completa a trinomio cuadradoperfecto (T.C.P) el miembroizquierdodelaecuación,atendiendoque el término que completa aT.C.Psesumedeambosladosdelaecuación.

Se factoriza el T.C.P. a binomiocuadradoalcuadrado.

Se extrae raíz cuadrada en ambosladosdelaigualdad.

Seefectúanlosprocesosalgebraicosnecesariosparadespejarx.

Las soluciones o raíces de laecuaciónson:

xba

xca

xba

xba

ca

ba

xba

2

22 2

2 2

2

+ =−

+ + =− +

+

=− +

+

=± − +

+ =± − +

+

2 2

2 2

2

4

2 4

2 4

ca

ba

xba

ca

ba

xba

ca

ba

xb22

44

24

2

24

2

42

2

2

2

2

ab c

a

xba

b ca

xba

b ca

xb b c

a

=±−

+ =±−

=− ±−

=− ± −

xb b c

ax

b b ca1

2

2

242

42

=− + −

=− − −y

Ejemplos

I.Encontremoslassolucionesdelassiguientesecuacionescuadráticascompletandoatrinomiocuadradoperfectoyefectuandolacomprobaciónrespectiva.

1. x2 – 6x – 7 = 0

Seexpresalaecuaciónenlaformaindicada:

x2 – 6x = 7

Se completa a trinomio cuadradoperfecto el primermiembrode esta ecuación,recordandoque:

• Seprocedeadividirentre2elcoeficientedeltérminolineal.

Paraesteejemplo:6

32−

= −

• Elresultadoasíobtenidoseelevaalcuadrado.

(–3)2 = 9

296

B9 �B9 �Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:

x2 – 6x + 9 = 7 + 9

Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectocomobinomioalcuadrado:

(x – 3)2 = 16

Seextraeraízcuadradaenambosladosdelaigualdad.

x – 3 = 16±

Sedespejax: x – 3 = 4±

x = 4 3± +

Donde: x = 4 + 3 y x = – 4 + 3

Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1 2x 7 y x 1= = −

Comprobación:

Parax1 = 7 Parax2 = –1

( ) ( )27 6 7 7 0

49 42 7 049 49 00 0

− − =

− − =− ==

( ) ( )21 6 1 7 0

1 6 7 07 7 00 0

− − − − =

+ − =− ==

2. 5x2 – 7x – 9 = 0


2 7 9x x

5 5− =

Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:


Paraesteejemplo:

( )

77 75

2 2 5 10= =

Paracompletaratrinomiocuadradoperfecto,atiendequeelcoeficientedeltérminocuadráticosealaunidad(1),siendonecesarioenocasiones,dividirlaecuaciónporelcoeficientededichotérminocuadrático.

B9 �

297



27 4910 100 =

Estevalorcompletalaexpresióndelprimermiembroenuntrinomiocuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:

2 7 49 9 49x x

5 100 5 100− + = +


27 229x

10 100 − =


7 229x

10 100− = ±

Sedespejax:7 229

x10 10

− = ±

7 229 7 229x

10 10 10±

= ± =

Dedonde: 7 229

x10

+= y

7 229x

10−

=

Así,lassolucionesoraícesdelsistemason: 1

7 229x 2.21

10+

= = y x2

7 22910

0 81=−

=− .

.

Comprobación:

Para 1

7 229x

10+

=

298

B9 �B9 �2

7 229 7 2295 7 9 0

10 10

49 14 229 229 49 7 2295 9 0

100 10 10

49 7 229 229 49 7 2299 0

20 10 20 10 10139 139

010 10

0 0

+ +− − =

+ +

− − − =

+ + − − − =

− =

=

3. 5x2 - 4x + 1 = 0


2 4 1x x

5 5− = −

Se completa a trinomio cuadrado perfecto el primer miembro de esta ecuación,recordandoque:


Paraesteejemplo:

44 25

2 10 5

−= − = −


22 45 25

− =

Este valor completa la expresión del primer miembro en un trinomio cuadradoperfectoyporlapropiedadaditivadelaigualdad,debemossumarloaamboslados,comosigue:

2 4 4 1 4x x

5 25 5 25− + = − +


22 1x

5 25 − = −


B9 �

299


2 1x

5 25− = ± −

Sedespejax:

2 1x

5 25= ± −

Dedonde,

( )

( )

2 1x 1

5 25

2 11

5 25

2 1i

5 5

= ± −

= ± −

= ±

Luego,1

2

2 ix

5 52 i

x5 5

= + = −

Así,lassolucionesoraícesdelsistemasoncomplejas(imaginarias):

xi

y xi

1 2

25 5

25 5

= + = −

Otrosmétodosdesolucióndeunaecuacióncuadráticasonelgráficoyporfórmulageneral,motivosdeestudiodelsiguientebloque.

I.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+c=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x 9 0+ =

2. 23x 12 0+ =

3. 22x 10 0− − =

4. 27x 11 0+ =

5. 25x 15 0− =

Unaraízimaginariaocompleja,esunnúmerocuyocuadradoesnegativo;serepresentacomobi,dondebesunnúmerorealeieslaunidadimaginariaconlapropiedadsiguiente:

i2=–1,dedondei=1−

Lassolucionescomplejasseexpresancomo

a bi±

Actividad

300

B9 �B9 �6. 281x 16 0− − =

7. 2x 18 0− + =

8. 28x 20 0+ =

9. 21x 4 0

2− =

II.Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticasincompletasdelaformaax2+bx=0ycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x 3x 0+ =

2. 23x 9x 0− =

3. 2x 4x 0− − =

4. 214x 17x 0− =

5. 25x 20x 0− − =

6. 212x 48x 0− =

7. 23x 18x 0− − =

8. 21 1x x 0

2 3+ =

9. 21 4x x 0

2 3− =

III.Aplicandofactorizaciónresuelvelassiguientesecuacionescuadráticascompletasycompruebaquelasraícesencontradassoncorrectas.

1. 2x x 2 0− − =

2. 2x 3x 4 0− − =

3. 2x 10x 25 0+ + =

4. 22x 5x 3 0+ − =

5. 2x 10x 24 0− + =

6. 22x 3x 5 0− − =

7. 23x 12x 12 0− + =

8. 2x 5x 6 0+ − =

9. 2x 2x 15 0− − =

10. 23x 5x 2 0− + =

11. 263x 29x 4 0− − + =

12. 265x 29x 4 0− − + =

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