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Fundamentos categóricosTopologías de Grothendieck y teoría de descenso

Espacios Algebraicos

Topología Étale en la Categoría de EspaciosAlgebraicos

Diego Acosta Á[email protected]

SIGAnoviembre 12 de 2012

Diego Acosta Álvarez [email protected] Topología Étale en la Categoría de Espacios Algebraicos

1 Fundamentos categóricos

2 Topologías de Grothendieck y teoría de descenso

3 Espacios Algebraicos

Sea X una variedad algebraica compleja. Para todo esquemalocalmente noetheriano S , se define: HilbX(S ) = conjunto desubesquemas cerrados Z de X × S tales que el morfismo Z Ð→ S esplano y propio.

Grothendieck demostró que si X es una variedad proyectiva, entoncesX tiene un esquema de Hilbert. En general una variedad no tieneesquema de Hilbert. Para encontrar objetos que sirvan como“esquemas de Hilbert”, se debe hallar una categoría que contenga a lacategoría de esquemas como una subcategoría completa. Artin probóque la categoría de espacios algebraicos constituye una categoríaapropiada.

Sea X una variedad algebraica compleja. Para todo esquemalocalmente noetheriano S , se define: HilbX(S ) = conjunto desubesquemas cerrados Z de X × S tales que el morfismo Z Ð→ S esplano y propio.

Grothendieck demostró que si X es una variedad proyectiva, entoncesX tiene un esquema de Hilbert. En general una variedad no tieneesquema de Hilbert. Para encontrar objetos que sirvan como“esquemas de Hilbert”, se debe hallar una categoría que contenga a lacategoría de esquemas como una subcategoría completa. Artin probóque la categoría de espacios algebraicos constituye una categoríaapropiada.

Se sabe que el cociente de una variedad proyectiva bajo la acción deun grupo finito siempre existe. Deligne probó que el cociente de unespacio algebraico separado bajo la acción de un grupo finito siempreexiste en la categoría de espacios algebraicos.

También, en la categoría de espacios algebraicos, el cociente de unarelación de equivalencia étale separada siempre existe.

Se pueden extender propiedades de la categoría de esquemas a lacategoría de espacios algebraicos, lo cual será de utilidad en laconsideración de stacks de Artin.

Representabilidad

En lo que sigue, C es una categoría con productos directos yproductos fibrados.

Definición (Funtor representable)

Sean C una categoría. Un funtor F ∶ Cop Ð→ Sets se dicerepresentable, si existe V ∈ Ob(C) tal que hU(−) = HomC(−,U) esisomorfo a F.

Definición (Transformación natural representable)

Sean F,G ∶ Cop Ð→ Sets funtores. Una transformación naturala ∶ F Ð→ G es representable, si para cada U ∈ Ob(C) y para cadaξ ∈ G(U) = HomC(hU ,G) el funtor producto fibrado hU ×G F esrepresentable, es decir, existe V ∈ Ob(C) tal que hU ×G F ≅ hV .

Representabilidad

Estabilidad por composición

LemaSean F,G,H ∶ Cop Ð→ Sets funtores y sean a ∶ F Ð→ G y b ∶ G Ð→ Htransformaciones representables. Entonces b ○ a ∶ F Ð→ H esrepresentable.

��

hWξ//

��

a��

Vξ //

��

hVξ//

��

b��

U // hUξ

Estabilidad por composición

LemaSean F,G,H ∶ Cop Ð→ Sets funtores y sean a ∶ F Ð→ G y b ∶ G Ð→ Htransformaciones representables. Entonces b ○ a ∶ F Ð→ H esrepresentable.

��

hWξ//

��

a��

Vξ //

��

hVξ//

��

b��

U // hUξ

Estabilidad por cambio de base

LemaSean F,G,H ∶ Cop Ð→ Sets funtores y sean a ∶ F Ð→ G representabley b ∶ H Ð→ G arbitraria. Consideremos el diagrama cartesiano

H ×G F //

a′��

a��

H // G

Entonces la transformación a′ es representable, es decir, la propiedadde ser representable es estable bajo cambio de base arbitrario.

hU ×H (H ×G F) //

��

H ×G F //

a′��

a��

hU // H // GDiego Acosta Álvarez [email protected] Topología Étale en la Categoría de Espacios Algebraicos

Estabilidad por cambio de base

LemaSean F,G,H ∶ Cop Ð→ Sets funtores y sean a ∶ F Ð→ G representabley b ∶ H Ð→ G arbitraria. Consideremos el diagrama cartesiano

H ×G F //

a′��

a��

H // G

Entonces la transformación a′ es representable, es decir, la propiedadde ser representable es estable bajo cambio de base arbitrario.

hU ×H (H ×G F) //

��

H ×G F //

a′��

a��

hU // H // GDiego Acosta Álvarez [email protected] Topología Étale en la Categoría de Espacios Algebraicos

LemaSean Fi,Gi ∶ Cop Ð→ Sets funtores, para i = 1,2 y sean ai ∶ Fi Ð→ Gi

transformaciones representables. Entoncesa1 × a2 ∶ F1 × F2 Ð→ G1 ×G2 es una transformación representable.

Más precisamente a1 × a2 = (a1 ○ π′1) × (a2 ○ π′2)

F1 × F2

π′1��(a1○π′1)×π′2

π′2

G1 × F2

π′′1��

π′′2// F2

G1 (1)

G1 × F2π′′2 //

π′′1 ×(a2○π′′2 )&&

π′′1

$$G1 ×G2

��

π2// G2

G1 (2)

LemaSean Fi,Gi ∶ Cop Ð→ Sets funtores, para i = 1,2 y sean ai ∶ Fi Ð→ Gi

transformaciones representables. Entoncesa1 × a2 ∶ F1 × F2 Ð→ G1 ×G2 es una transformación representable.

Más precisamente a1 × a2 = (a1 ○ π′1) × (a2 ○ π′2)

F1 × F2

π′1��(a1○π′1)×π′2

π′2

G1 × F2

π′′1��

π′′2// F2

G1 (1)

G1 × F2π′′2 //

π′′1 ×(a2○π′′2 )&&

π′′1

$$G1 ×G2

��

π2// G2

G1 (2)

LemaSea C una categoría con productos y productos fibrados yF ∶ Cop Ð→ Sets un funtor. Los siguientes enunciados sonequivalentes:

1 El morfismo diagonal F Ð→ F × F es representable.2 Para cada X ∈ Ob(C), toda transformación ξ ∶ hX Ð→ F es

representable3 Para todo para de objetos X,Y ∈ Ob(C) y todo para de

transformaciones hX Ð→ F y hY Ð→ F, el funtor productofibrado hX ×F hY es representable.

Representabilidad y teoría de descenso

Se quiere dotar a transformaciones representables de funtores de C, depropiedades de morfismos de C y se dar condiciones para que tenganlas mismas propiedades de estabilidad que en C.

Definición (Descenso para transformaciones representables)

Sea C una categoría con productos fibrados, F,G ∶ Cop Ð→ Setsfuntores y a ∶ F Ð→ G una transformación representable. Sea P unapropiedad de morfismos en C. Se dice que la transformación a tiene lapropiedad P si para todo U ∈ Ob(C) y toda transformaciónξ ∶ hU Ð→ G, el morfismo Vξ Ð→ U de C tiene la propiedad P , dondeVξ ∈ Ob(C) es tal que hVξ ≅ hU ×G F, cuya existencia está dada por larepresentabilidad de a.

Se quiere dotar a transformaciones representables de funtores de C, depropiedades de morfismos de C y se dar condiciones para que tenganlas mismas propiedades de estabilidad que en C.

Definición (Descenso para transformaciones representables)

Sea C una categoría con productos fibrados, F,G ∶ Cop Ð→ Setsfuntores y a ∶ F Ð→ G una transformación representable. Sea P unapropiedad de morfismos en C. Se dice que la transformación a tiene lapropiedad P si para todo U ∈ Ob(C) y toda transformaciónξ ∶ hU Ð→ G, el morfismo Vξ Ð→ U de C tiene la propiedad P , dondeVξ ∈ Ob(C) es tal que hVξ ≅ hU ×G F, cuya existencia está dada por larepresentabilidad de a.

LemaSean X,Y ∈ Ob(C) y f ∶ X Ð→ Y un morfismo en C. Sea P unapropiedad de morfismos de C estable por cambio de base. Entonces latransformación inducida h f ∶ hX Ð→ hY tiene la propiedad P si ysólo si f tiene la propiedad P .

LemaSean F,G,H ∶ Cop Ð→ Sets funtores. Sea P una propiedad demorfismos de C estable por cambio de base, que además sea establepor composición. Sean a ∶ F Ð→ G y b ∶ G Ð→ H transformacionesrepresentables. Si a y b tienen la propiedad P , entoncesb ○ a ∶ F Ð→ H tiene la propiedad P .

LemaSean X,Y ∈ Ob(C) y f ∶ X Ð→ Y un morfismo en C. Sea P unapropiedad de morfismos de C estable por cambio de base. Entonces latransformación inducida h f ∶ hX Ð→ hY tiene la propiedad P si ysólo si f tiene la propiedad P .

LemaSean F,G,H ∶ Cop Ð→ Sets funtores. Sea P una propiedad demorfismos de C estable por cambio de base, que además sea establepor composición. Sean a ∶ F Ð→ G y b ∶ G Ð→ H transformacionesrepresentables. Si a y b tienen la propiedad P , entoncesb ○ a ∶ F Ð→ H tiene la propiedad P .

LemaSean F,G,H ∶ C Ð→ Sets funtores, P una propiedad de morfismos deC estable por cambio de base, a ∶ F Ð→ G una transformaciónrepresentable y b ∶ H Ð→ G una transformación arbitraria.Consideremos el diagrama cartesiano

H ×G F

a′��

b′ // F

a��

Si a tiene la propiedad P , entonces a′ tiene la propiedad P

LemaSean Fi,Gi ∶ Cop Ð→ Sets funtores, para i = 1,2 y ai ∶ Fi Ð→ Gi

transformaciones representables. Sea P una propiedad de morfismosde C estable por cambio de base, la cual es además estable porcomposición. Si a1 y a2 tienen la propiedad P , entoncesa1 × a2 ∶ F1 × F2 Ð→ G1 ×G2 tiene la propiedad P

LemaSea C una categoría con productos fibrados y sean F,G ∶ Cop Ð→ Setsfuntores. Si a ∶ F Ð→ G es una transformación natural represenable,entonces ∆F/G ∶ F Ð→ F ×G F es una transformación naturalrepresentable.

LemaSean Fi,Gi ∶ Cop Ð→ Sets funtores, para i = 1,2 y ai ∶ Fi Ð→ Gi

transformaciones representables. Sea P una propiedad de morfismosde C estable por cambio de base, la cual es además estable porcomposición. Si a1 y a2 tienen la propiedad P , entoncesa1 × a2 ∶ F1 × F2 Ð→ G1 ×G2 tiene la propiedad P

LemaSea C una categoría con productos fibrados y sean F,G ∶ Cop Ð→ Setsfuntores. Si a ∶ F Ð→ G es una transformación natural represenable,entonces ∆F/G ∶ F Ð→ F ×G F es una transformación naturalrepresentable.

Definición (Topología de Grothendieck)Una topología de Grothendieck τ sobre una categoría C consiste deuna categoría C = Cat τ y un conjunto Cov τ de familias {Ui

ϕÐ→ U}i∈Ide morfismos en Cat τ con rango fijo, llamadas cubrientes,satisfaciendo las siguientes propiedades:

1 Si ϕ es un isomorfismo en Cat τ, entonces {ϕ} ∈ Cov τ.

2 Si {UiϕÐ→ U}i∈I ∈ Cov τ y para cada i ∈ I se tiene

{Vi jϕÐ→ Ui} j∈J ∈ Cov τ, entonces la familia {Vi j

ϕÐ→ U}i j∈I×J

obtenida por composición está en Cov τ.

3 Si {UiϕÐ→ U}i∈I ∈ Cov τ y V Ð→ U es un morfismo arbitrario en

Cat τ, entonces Ui ×U V existe en Cat τ y {Ui ×U VϕÐ→ V}i∈I ∈ τ

Definición (Gavilla)Sean C una categoría con productos fibrados, τ una topología sobre Cy D una categoría con productos directos. Una pregavilla sobre τ convalores en D es un funtor F ∶ Cop Ð→ D.Con la notación anterior, una pregavilla es una gavilla sobre τ, si ysólo si para todo {Ui

ϕiÐ→ U}i∈I ∈ Cov τ el siguiente diagrama

F(U) π //∏i

F(Ui)π1 //

π2//∏

i, jF(Ui ×U U j)

es exacto, es decir, F(U) con el morfismo F(U) πÐ→∏i

F(Ui) es el

ecualizador del diagrama∏i

F(Ui)π1 //

π2//∏

i, jF(Ui ×U U j) .

Axioma (A0.)Sea C una categoría y τ una topología de Grothendieck sobre C. Sedice que τ satisface el axioma A0 si para todo X ∈ C, el funtorrepresentable hX = HomC(−,X) es una gavilla.

En lo que sigue, C es una categoría con productos fibrados yτ = (Cat τ,Cov τ) una topología de Grothendieck sobre C quesatisface el axioma A0.

LemaSean F,G ∶ Cop Ð→ Sets funtores y a ∶ F Ð→ G una transformaciónnatural representable. Si G es una gavilla sobre τ, entonces Ftambién lo es.

F(U) ϕ //

��

F(Ui)pr1 //

∏i aUi

��

∏i, j

F(Ui ×U U j)

∏i, j a(Ui×U U j)

��

G(U) ϕ′ //∏i

G(Ui)pr′1 //

pr′2//∏

i, jG(Ui ×U U j)

H π1//

��

a��

hU σ// G

si ∈ F(Ui), i ∈ I tales que F(pri)(si) = F(pr j)(s j) y σi = aUi(si).

LemaSean F,G ∶ Cop Ð→ Sets funtores y a ∶ F Ð→ G una transformaciónnatural representable. Si G es una gavilla sobre τ, entonces Ftambién lo es.

F(U) ϕ //

��

F(Ui)pr1 //

∏i aUi

��

∏i, j

F(Ui ×U U j)

∏i, j a(Ui×U U j)

��

G(U) ϕ′ //∏i

G(Ui)pr′1 //

pr′2//∏

i, jG(Ui ×U U j)

H π1//

��

a��

hU σ// G

si ∈ F(Ui), i ∈ I tales que F(pri)(si) = F(pr j)(s j) y σi = aUi(si).

Definición (Clase de objetos estable)

Una clase de objetos S ⊆ Ob(C) es estable (bajo τ), si para cada{Ui Ð→ U}i∈I ∈ Cov τ, U ∈ S si y sólo si Ui ∈ S , ∀i ∈ I.

Definición (Subcategoría cerrada)Una subcategoría D de C es cerrada si satisface las siguientescondiciones:

1 D contiene todos los isomorfismos de C.2 La pertenencia de un morfismo en D es estable por cambio de

base respecto a C, es decir, si f ∶ X Ð→ Y es un morfismo en D yU Ð→ Y es un morfismo de C, entonces el morfismoU ×Y X Ð→ U obtenido por cambio de base está en D.

Definición (Clase de objetos estable)

Una clase de objetos S ⊆ Ob(C) es estable (bajo τ), si para cada{Ui Ð→ U}i∈I ∈ Cov τ, U ∈ S si y sólo si Ui ∈ S , ∀i ∈ I.

Definición (Subcategoría cerrada)Una subcategoría D de C es cerrada si satisface las siguientescondiciones:

1 D contiene todos los isomorfismos de C.2 La pertenencia de un morfismo en D es estable por cambio de

base respecto a C, es decir, si f ∶ X Ð→ Y es un morfismo en D yU Ð→ Y es un morfismo de C, entonces el morfismoU ×Y X Ð→ U obtenido por cambio de base está en D.

Definición (clase estable de morfismos)Una clase D de morfismos en C es estable (bajo τ), si D es unasubcategoría cerrada de C y para cada f ∶ X Ð→ Y en C y{Yi Ð→ Y}i∈I ∈ Cov τ; si fi ∶ X ×Y Yi Ð→ Yi está en D ∀i ∈ I, entoncesf ∈ D.

Definición (Clase local en el dominio)Una clase estable D de morfismos de C es local en el dominio (bajoτ), si para cualquier morfismo f ∶ X Ð→ Y en C y cualquier familia{Xi

ϕiÐ→ X}i∈I ∈ Cov τ, f ∈ D si y sólo si f ○ ϕi ∈ D, ∀i ∈ I.

Definición (Descenso efectivo)Una clase estable D de morfismos de C satisface descenso efectivo si:dados {Ui Ð→ U} ∈ Cov τ y una gavilla F; si existe unatransformación natural F Ð→ hU tal que para cada i ∈ I existeWi ∈ Ob(C) tal que hUi ×hu F ≅ hWi y Wi Ð→ Ui está en D, entoncesexiste W ∈ Ob(C) tal que F ≅ hW .

Definición (Familia universal efectivamente epimórfica)Sea C una categoría con productos fibrados. Una familia{Ui Ð→ U}i∈I de morfismos de C es una familia universalefectivamente epimórfica, si para todo objeto W de C con unmorfismo W Ð→ U y todo objeto V de C, el siguiente diagrama esexacto en la categoría de conjuntos:

hV(W) //∏i

hV(W ×U Ui)////∏

i, jhV(W ×U (Ui ×U U j))

donde hV = HomC(−,V) es el funtor representable asociado a V.

Definición (Topología asociada a una subcategoría cerrada)Sea B una subcategoría cerrada de C. La B-topología sobre C,denotada τB y también llamada topología en C asociada a B, esaquella que tiene:Cat τB = CCov τB = todas las familias {Ui

ϕiÐ→ U}i∈I que son universalesefectivamente epimórficas y tales que ϕi ∈ B, ∀i ∈ I.

ProposiciónSea B una subcategoría cerrada de C. La B-topología sobre C es unatopología de Grothendieck y satisface el axioma A0.

Definición (Topología asociada a una subcategoría cerrada)Sea B una subcategoría cerrada de C. La B-topología sobre C,denotada τB y también llamada topología en C asociada a B, esaquella que tiene:Cat τB = CCov τB = todas las familias {Ui

ϕiÐ→ U}i∈I que son universalesefectivamente epimórficas y tales que ϕi ∈ B, ∀i ∈ I.

ProposiciónSea B una subcategoría cerrada de C. La B-topología sobre C es unatopología de Grothendieck y satisface el axioma A0.

S 1 ∶ Sea {XiϕiÐ→ Y}i∈I una familia de morfismos de C para la

cual existe la unión disjunta X =∐i∈I

Xi, y sea ϕ ∶ X Ð→ Y el

morfismo inducido∐i∈I

Xi Ð→ Y , el cual existe por la propiedad

universal del coproducto. Entonces ϕ ∈ B si y sólo si para cadai ∈ I, ϕi ∈ B.S 2 ∶ Un morfismo f ∈ B es un epimorfismo universal efectivo si ysólo si es un epimorfismo.S 3 ∶ Sea

h ��

Yg��

un diagrama conmutativo en C con h ∈ B.S 3(a) ∶ Si { f} ∈ Cov τB, entonces g ∈ B.S 3(b) ∶ Si g ∈ B, entonces f ∈ B.

h ��

Yg��

h ��

Yg��

Un morfismo de esquemas f ∶ X Ð→ Y es Z-abierto si X =∐Xi yf ∣Xi ∶ Xi Ð→ Y es una inmersión abierta. La clase de morfismosZ-abiertos es una subcategoría cerrada de la categoría deesquemas satisfaciendo los axiomas s1, s2 y s3(b), pero nos3(a). La topología asociada se llama topología de Zariski deesquemas.

La clase de morfismos de esquemas que son fielmente planos ylocalmente de presentación finita es una subcategoría cerrada dela categoría de esquemas que satisface los axiomas s1 y s2. Latopología asociada se llama topología plana de esquemas.

Los morfismos étale forman una subcategoría cerrada de lacategoría de esquemas satisfaciendo los axiomas s1, s2, s3(a) ys3(b). La topología asociada se llama topología étale.

Definición (Espacio Algebraico)Sea S un esquema. Un espacio algebraico sobre S es un funtorA ∶ (Sch /S )op Ð→ Sets que satisfaces las siguientes condiciones:

1 A es una gavilla en la topología étale.2 La diagonal ∆A ∶ AÐ→ A × A es representable.3 Existe un esquema X ∈ Ob(Sch /S ) y una transformación

hU Ð→ A étale y sobreyectivo.

Un morfismo de espacios algebraicos es una transformación naturalde funtores.

LemaSean S un esquema y F,G espacios algebraicos sobre S . EntoncesF ×G es un espacio algebraico sobre S y es un producto en lacategoría de espacios algebraicos.

LemaSean S un esquema, H una gavilla cuya diagonal es representable.Sean F,G espacios algebraicos sobre S con F Ð→ H y G Ð→ Hmorfismos de gavillas. Entonces F ×H G es un espacio algebraico.

CorolarioLa categoría de espacios algebraicos tiene productos fibrados.

Proposición

Sea A un espacios algebraico, con hUπÐ→ A cubriente representable

étale. Entonces el siguiente diagrama es exacto:

hU ×A hU

pr1 //

pr2// hU

π // A

En particular π ∶ hU Ð→ A es epimorfismo en la categoría de gavillas.

(hV ×hX hV)pr′1 //

pr′2//

��

ν // hX

��

ϕX(α)��

hU ×A hUpr1 //pr2// hU

��

π // A

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Proposición

Sea A un espacios algebraico, con hUπÐ→ A cubriente representable

étale. Entonces el siguiente diagrama es exacto:

hU ×A hU

pr1 //

pr2// hU

π // A

En particular π ∶ hU Ð→ A es epimorfismo en la categoría de gavillas.

(hV ×hX hV)pr′1 //

pr′2//

��

ν // hX

��

ϕX(α)��

hU ×A hUpr1 //pr2// hU

��

π // A

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ProposiciónSean A,B espacios algebraicos y hU Ð→ A, hV Ð→ B respectivoscubrientes representables étale. Sean g y h transformaciones tales queen el siguiente diagrama:

hU ×A hU

g��

pr1 //pr2// hU

h��

π // A

f��

hV ×B hV

pr′1 //

pr′2// hV

π′// B

se tienen las igualdades h ○ pr1 = pr′1 ○ g y h ○ pr2 = pr′2 ○ g. Entoncesexiste un único morfismo f ∶ AÐ→ B tal que f ○ π = π′ ○ h.Recíprocamente, para todo morfismo de espacios algebraicosf ∶ AÐ→ B existen cubrientes representables étale hU Ð→ A,hV Ð→ B, g ∶ hU ×A hU Ð→ hV ×B hV y h ∶ hU Ð→ hV tales que f esinducido por estos en la forma anterior.

Definición (Cubriente étale)Se dice que f ∶ AÐ→ B es étale, si existen cubrientes hU Ð→ A,hV Ð→ B y h ∶ hU Ð→ hV como en la proposición anterior, con hétale. Se dice que f es sobreyectivo, si f es un epimorfismo en lacategoría de funtores. En el caso que f sea étale y sobreyectivo, sedice que es un morfismo cubriente.

ProposiciónSi existen hU ,hV ,h con h étale que induce a f , entonces paracuaquier elección hU′ ,hV′ ,h′ que induzca f se tiene que h′ es étale.

ProposiciónLos morfismos étale son una subcategoría cerrada de la categoría deespacios algebraicos.

Definición (Topología étale)La topología étale en la categoría de espacios algebraicos es latopología asociada a la subcategoría cerrada determinada por laclase de morfismos étale de espacios algebraicos.

ProposiciónSea a ∶ F Ð→ G una transformación representable de funtores. Si Ges un espacio algebraico, entonces F es un espacio algebraico.

Proposición (Extensión de clase estable de objetos)

Sea P una propiedad estable de esquemas en la topología étale.Entonces P se extiende a una propiedad estable P ′ de espaciosalgebraicos, definiendo: Un espacio algebraico A con cubrienterepresentable étale hU Ð→ A tiene la propiedad P ′ si y sólo si Utiene la propiedad P .

Proposición (Extensión de clase estable de morfismos)Sea D una clase estable de morfismos de esquemas, local en eldominio. Entonces D se extiende a una clase estable y local en eldominio D′, definiendo: Un morfismo de espacios algebraicosf ∶ AÐ→ B está en D si y sólo si existe un cubriente representableétale hV Ð→ B y un cubriente representable étale hU Ð→ hV ×B A, talque la transformación representable hU Ð→ hV está en D.

Proposición (Extensión de descenso efectivo)Sea D una clase estable de morfismos de esquemas satisfaciendodescenso efectivo. Entonces D se extiende a una clase D′ demorfismos de espacios algebraicos, definiendo: Un morfismof ∶ AÐ→ B de espacios algebraicos está en D′ si y sólo si paracualquier esquema X con morfismo hX Ð→ B, A ×B hX esrepresentable y A ×B hX Ð→ hX está en D

Proposición (Extensión de clase estable de morfismos)Sea D una clase estable de morfismos de esquemas, local en eldominio. Entonces D se extiende a una clase estable y local en eldominio D′, definiendo: Un morfismo de espacios algebraicosf ∶ AÐ→ B está en D si y sólo si existe un cubriente representableétale hV Ð→ B y un cubriente representable étale hU Ð→ hV ×B A, talque la transformación representable hU Ð→ hV está en D.

Proposición (Extensión de descenso efectivo)Sea D una clase estable de morfismos de esquemas satisfaciendodescenso efectivo. Entonces D se extiende a una clase D′ demorfismos de espacios algebraicos, definiendo: Un morfismof ∶ AÐ→ B de espacios algebraicos está en D′ si y sólo si paracualquier esquema X con morfismo hX Ð→ B, A ×B hX esrepresentable y A ×B hX Ð→ hX está en D

En el caso que las propiedades sean estables, pero no locales en eldominio, la construcción anterior no aplica y debe hacerse laextensión según la clase que desea extenderse. Por ejemplo, se tiene:

Definición (Morfismo casi-compacto)Sean S un esquema y f ∶ AÐ→ B un morfismo de espaciosalgebraicos sobre S . Se dice que f es casi-compacto si para todoespacio algebraico casi-compacto C y morfismos C Ð→ B, elproducto fibrado C ×B A es casi-compacto.

ProposiciónLa definición coincide con la existente para morfismos representablesde espacios algebraicos. Además, la clase de morfismoscasi-compactos de espacios algebraicos es estable en la topologíaétale.

En el caso que las propiedades sean estables, pero no locales en eldominio, la construcción anterior no aplica y debe hacerse laextensión según la clase que desea extenderse. Por ejemplo, se tiene:

Definición (Morfismo casi-compacto)Sean S un esquema y f ∶ AÐ→ B un morfismo de espaciosalgebraicos sobre S . Se dice que f es casi-compacto si para todoespacio algebraico casi-compacto C y morfismos C Ð→ B, elproducto fibrado C ×B A es casi-compacto.

ProposiciónLa definición coincide con la existente para morfismos representablesde espacios algebraicos. Además, la clase de morfismoscasi-compactos de espacios algebraicos es estable en la topologíaétale.

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