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170
MANUAL OPERACIONES FINANCIERAS Mgtr. CESAR WILBERT RONCAL DIAZ CIENCIAS EMPRESARIALES-ESCUELA CONTABILIDAD
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INTRODUCCINEste pequeo Manual de Matemtica Financiera, constituye un material instrumental, que proporciona a los estudiante y tcnicos relacionado con las ciencias eco nmicas una herramienta sencilla, bsica y fundamental para la toma de decisiones en la moderna actividad de los negocios.
En el desarrollo del manual, encontramos dos aspectos bien diferenciados : el primero se ocupa de la parte estructural de la Matemtica financiera , aquellos conocimientos que son prcticamente inmutables en el tiempo y el segundo que se ocupa de los aspectos coyunturales que evolucionan permanentemente y que hace que sea esta una materia dinmica. El complemento entre la teora y la prctica, aspecto al que se le asigna particular importancia, acostumbra al estudiante a razonar con fundamentos cientficos y lo prepara para hacer una correcta comprensin de los problemas reales en su futura actuacin profesional.
Este manual contiene las nociones bsicas tanto tericas como prcticas representado a travs de laboratorios con casos clsicos de dicha materia, contiene:1. : INTERS SIMPLE.1. Concepto.
2. Simbologa.
3. Frmulas.
4. Aplicacin de las frmulas.
5. Inters simple con variacin de tasas.
6. Variacin en el capital
7. Problemas Diversos
8. Laboratorio N1
2. CONVERSIN DE TASAS Y TASAS EQUIVALENTES.1. De tasa nominal a tasa nominal.
2. De tasa nominal a tasa efectiva.
3. De tasa efectiva a tasa efectiva.
4. De tasa efectiva a tasa nominal.
5. Tasas equivalentes.
6. problemas Diversos
7. Laboratorio N2
3. INTERS COMPUESTO.
3.1. Concepto.
3.2. Simbologa.
3.3. Frmulas.
3.4. Aplicacin de frmulas.
3.5. inters compuesto con variacin de tasas.
3.6. Valor actual y valor futuro a inters compuesto.
3.6.1. Valor actual.
3.6.2. Valor futuro.
3.6.3. Casos Prcticos.
3.7. Problemas diversos.
3.8. Laboratorio N3
4. RENTAS O ANUALIDADES.
1. Concepto.
2. Clasificacin.
3. Diagrama de las rentas o anualidades
4. Circuito matemtico financiero.
1. Factor simple de capitalizacin (FSC)
2. Factor de actualizacin de la serie.(FAS)
3. Factor simple de actualizacin (FSA)
4. Factor de capitalizacin de la serie (FCS)
5. Factor de Recupero del Capital (FRC)
6. factor de deposito al Fondo de Amortizacin (FDFA)
5. Problemas diversos
6. Laboratorio N45. AMORTIZACIONES1. Concepto.
2. Clasificacin.
1. mtodo de Francs o de cuotas constantes.
2. Mtodo Alemn o de cuotas decrecientes.
3. Mtodo de cuotas crecientes.
4. Mtodo Americano.
3. Amortizacin con periodos de gracia.
1. Cuando se paga inters.
2. Cuando no se paga inters.
4. Problemas diversos
5. Laboratorio N 5.b) DEPRECIACIONES1. Concepto.
2. Clasificacin.
1. mtodo Lineal
2. Mtodo de la Suma de los Aos Dgitos.
3. Mtodo del Fondo de Amortizacin.
4. Mtodo del Porcentaje fijo.
3. Problemas diversos
4. Laboratorio N 6.c) DESCUENTO BANCARIO Y EL CREDITO COMERCIAL1. Generalidades
2. Elementos
3. Clculo de la Tasa de Descuentod) EVALUACION DE BONOS Y ACCIONES1. Generalidades
2. Elementos
3. Determinacin del precio de Mercado de Bonos y Acciones
4. Laboratorio N 8.e) DETERMINACION DEL COSTO DE OPORTUNIDAD Y DEL COSTO PROMEDIO PONDERADO DE CAPITAL1. Generalidades
2. Elementosf) TECNICAS DE EVALUACION DE PROYECTOS1. Valor Actual Neto (VAN)
2. Tasa Interna de Retorno (TIR)
3. Beneficio Costo (B/C)4. Perodo de Recupero (PR)
UNIDAD I
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOEL INTERES.INTRODUCCIN:
El inters es la diferencia que existe entre un monto o capital final y el importe original que lo produjo.
LAPSO DE TIEMPO
El precio a pagar por disponer de un capital, denominado inters, depende de los siguientes factores:
Del beneficio econmico social a obtener con la utilizacin de dicho capital.
Del tiempo de la operacin, a mayor tiempo mayor inters aunque la tasa de inters permanezca inamovible.
De la seguridad sobre el buen fin de la inversin y del respaldo de la persona que solicita el crdito. Se supone que a mayor riesgo debe corresponder una mayor tasa de inters y viceversa.
De la situacin del mercado de dinero. Una mayor demanda sobre la oferta presionar a un incremento de la tasa de inters.
De otras variables de carcter econmico, poltico, social, etc.
En consecuencia el inters est en funcin del : Capital, Tasa de Inters, Tiempo, Riesgo y otras variables econmicas, polticas y sociales.
El capital puede estar dado en moneda nacional o extranjera. La tasa de inters se suele expresar en tanto por ciento (%) y trabajarse en las frmulas financieras en tanto por uno. El tiempo est referido al plazo total de la operacin. El riesgo que era inducido en el costo del dinero : Tasa de Inters.
EN CONCLUSIN: Empresarialmente el dinero es una mercanca ms que gana utilidad. La utilidad que genera el dinero se llama inters que puede ser : Inters simple, Inters compuesto.INTERS SIMPLE.
1.1. Concepto.Cuando nicamente el capital gana inters por todo el tiempo que dura la transaccin, al inters vencido al final del plazo se le conoce como inters simple. La capitalizacin, que es la adicin del inters ganado al capital original, se produce nicamente al trmino de la operacin.
1.2. Simbologa.I
=Inters.
(P) c=Capital principal, stock inicial, valor presente (actualizacin).
(S) M =Monto, stock final, valor futuro.
n
=Nmero de periodos tiempo (das, mes, trimestre, etc)
i
=Tasa inters simple por unidad de tiempo, expresado en
tanto por uno.
Ao Bancario:De acuerdo a lo normado por el Banco Central de Reserva del Per (BCRP) el ao bancario es un periodo de 360 das. En general los siguientes trminos harn referencia a los siguientes periodos de tiempo:
UnidadNmero (ao)Das
Da
Quincena
Mes
Bimestre
Trimestre
Cuatrimestre
Semestre
Ao360
24
12
6
4
3
2
11
15
30
60
90
120
180
360
1.3. Frmulas. INTERS:I=C i n CAPITAL:
C= I
i n
TASA:
i= I
c n
TIEMPO:n= I
C i MONTO:
M= C(1 + i n)
CAPITAL:C= M
(1 + i n)
TASA:i= M - C
c n
TIEMPO:n= M - C
c i
1.4. Aplicacin de las frmulas.
1. Cual es el inters simple producido por un capital de 10,000 prestados al 30%, 50% o 100% de inters anual, durante 10 aos.
2. En el mismo ejemplo: Cul es el inters cuando el tiempo es: medio ao, 5 aos, 10 aos, 15 aos, considerando un 100% de inters anual?
3. Cul es el capital que al cabo de 1 ao 3 meses produjo un inters de S/.1000 a una tasa del 10% anual.
C=.?
I=1000
i=10% anual
n=1 ao 3 meses.
C= I
i n
C= 1000
0.10 x 450
360
4. En que tiempo un capital de 1000 produjo un inters de 100 al 10% anual.n=.?
c=1000
I=100
i=10% anual
n= I
c i
n= 100
1000 x 0.10
5. Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de S/. 20,000 el 22 de junio, si el pagar fue firmado el 30 de enero, al 8% de inters anual simple.
M=.?
c=20,000
n=(22 junio 30 enero) = 133 dasi=8 ina
M=c (1 + i n)
M=20,000 (1 + 0.08 / 360 x 133)
M=S/. 20,591.11
6. Que capital colocado al 60% de inters anual (simple) durante 4 aos, produjo un monto de S/. 50,000.
c=.?
i=60 ina
n=4 aos
M=20,000c=M / (1 + in)
c= 500,000
(1 + 0.60 x 4)
c=147,058.827. A que tasa de inters 20,000 se convierte en 2,200 a inters simple en 9 meses.i=.?
c=20,000
M=21,200
n=9 meses
i= M - C
c n
i= 2,200 - 2000
20,000 X 9
i=8% anual.8. Se firm un pagar de 6000 al 9% de inters anual (simple) a los cuantos das los intereses sern de 359 (DSB)c=9% annual
I=359
n=.?
n= I
i c
n= 359
=239 das
0.09 x 6000
1.5. Inters simple con variacin de tasas.Ac el capital permanece constante pero la tasa cambia peridicamente.
1. Calcule el inters simple de una inversin de S/ 5000 calculado a 2 meses. Si el primer fue del 12% anual y el segundo mes del 10% anual.I= .?
C = 5000
i1 = 12% anual
i2 = 10% aual
It= ?
It= ?
i1 = 12%
i1 = 10%
c = 5000
I1
1 mes
I2
2 mes
IT = P (i1 n1 + i2 n2 )
IT = 5000 (0.12/360 x 30 + 0.10/360 x 30)
IT = 91.67
2. El 8 de abril cuando la tasa mensual era del 3% una empresa invirti un capital de S/. 2000 el cual *** el 4 de agosto del mismo ao. Calcule el inters simple si durante dichos perodos las tasas mensuales cambiaron al 2.5% el 6 de mayo y al 2% el 16 de junio respectivamente
i = 3%
i = 2.5%
i = 2%
8/4
6/5
16/7
4/8
28 D
71D
19D
VARIACIN DE TASAS:A partir deIDas
8 abril
6 de mayo
16 de julio
4 de agosto30%
2.5%
2.0%28
71
19
118
IT = P (i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 )
IT = 2000 (0.03/30 x 28 + 0.025/30 x 71 + 0.02/30 x 19)
IT = S/. 199.67
1.6. Variacin en el capital Cuando el saldo de una cuenta corriente, de ahorro, etc, cambia constantemente debido a los movimientos que se generan en torno a ella (cargos y abonos), el clculo del inters simple se efecta usando numerales. El cual es el producto de cada nuevo saldo de una cuenta y el nmero de das de permanencia de ese saldo sin mantenimiento. Ejemplo:
1. Una persona abre una libreta de ahorros el 1 de junio con S/. 1100 y efecta a partir e esa fecha durante todo el mes de junio las operaciones detalladas en el cuadro siguiente Qu inters habr acumulado al 1 de julio, si la tasa mensual de inters simple fue del 4%?
DepsitosS/.RetirosS/
1 junio
6 junio
10 junio
23 junio
26 junio
28 junio1100
200
100
60
480
1004 junio
18 junio
27 junio150
300
630
Solucin:
P1=1100
n1=3
P2=950
n2=2
P3=1150
n3=4
P4=1250
n4=8
P5=950
n5=5
P6=1010
n6=3
P7=1490
n7=1
P8=860
n8=1
P9=960
n9=3
I = 0.040/30 [(1100x3) + (950x2) + (1150 x 4) + (1250 x 8)+950x5) +(1010x3) + (1490x1) + 860 x 1) + 960 x 3)]
I=0.04/30 x (32,810)
I=43.75
A travs de numerales y en forma detallada sera:
DaD/RImporteMovimientoSaldo acreedorDasNumerales acreedores
DebeHaber
01/06
04/06
06/06
10/06
18/06
23/06
26/06
27/06
28/06D
R
D
D
R
D
D
R
D1100.00
150.00
200.00
100.00
300.00
60.00
480.00
630.00
100.000.00
150.00
0.00
0.00
300.00
10.00
00.00
630.00
00.001100.00
0.00
200.00
100.00
0.00
60.00
480.00
0.00
100.001100.00
950.00
1150.00
1250.00
950.00
1010.00
1490.00
860.00
960.003
2
4
8
5
3
1
1
33300
1900
4600
10000
4750
3030
1490
860
2880
01/07337260
MULTIPLICADOR FIJO 0.04/30 x32810 = 43.75
01/07I43.750.0043.751003.75
D = Depsito
R = Retiro
I = Inters
Explicacin del cuadro: Registramos los depsitos o inters de ahorros abonados o cargando respectivamente en la columna mantenimiento y establecemos los saldos acreedores de acuerdo a las fechas en que se hayan estos movimientos.
Registramos los das de permanencia de la cuenta con el ltimo movimiento.
Calculamos los numerales multiplicando los saldos acreedores por los das y obtenemos la sumatoria de las operaciones acumuladas durante el mes.
Hallamos el inters del mes multiplicando la tasa diaria por los numerales acreedores.
Cuando la institucin financiera abona los intereses del mes en la libreta de ahorros como el desarrollo en el presente ejemplo se est produciendo el proceso de capitalizacin.
1.7.Problemas diversos6. Calcular el monto e inters simple de un capital de S/. 214,600 colocado al 16.5% anual durante 3 aos 4 meses.M=.?
Is =.?
M = c (1 + i n)
C=214,600
M = 14,600 (1 + 0.165/360 x 1200) =i=16.5 anual
M = 332,630
n=3 aos 4 meses (120 das)
I=M c
I=332,630 214,600 = 118,030
7. Determinar a cuanto asciende el inters simple pagado a la empresa REDY por el prstamo de un capital de S/. 2800,000 colocado al 51% durante 6 meses.
I=.?
I = c (1 + i n)
C=2800,000
I = 2800,000 x 0.51/12 x 6
i=51%anual
I = 714,000n=6 meses
8. Encontrar el monto de un capital de 234,500 impuestos al 14.3% anual durante 2 aos, 5 meses, 20 das.M=.?
M = c (1 + i n)
C=234,500
M = 234,500 (1 + 0.143/360 x 890)
i=14.3%anual
M = 317,402.30n=2 aos 5 meses 20 das (390 das)
9. El seor Marco Aguirre obtiene un prstamo el 6 de enero consistente en 23800 y devuelve el 23 de julio del mismo ao la cantidad de 30,800 incluido los intereses Qu porcentaje pag?
n=6 de enero 23 de julio (198 das)c=23800
M=30800
i=.?
i=M c
= 30800 23800 = 0.1485% diario.
c n
23800 x 198
10. El monto de S/. 85720 prestado al 15% es devuelto el 15 de octubre, pagando 3500 de inters simple, determinar la fecha que se hizo el prstamo.M=85720
i=15% anual
n=.?
I=3500
n=M C
C x i
n=85700 (85700 3500)
(85700 3500) x 0.15
n=3 meses 12 das.
11. Ud. dispone de un dinero ascendente a S/. 67,500 desde el 2 de enero de 1999 hasta el 11 de mayo del mismo ao. Como inversionista que le conviene ms?
a. Depositar en moneda nacional al 19% de inters anual?
b. Depositar en moneda extranjera al 8% de inters anual?
c. Comprar dlares americanos, cuya cotizacin a fecha inicial es de 310 x $ y fecha final de 3.35x $
d. Comprar y vender acciones de telefnica a S/. 4.50 c/u (2 de enero) y S/. 5.10 (11 de mayo).
SOLUCION:
Cantidad de Das = 129
a)
c=67500
M = c (1 + i n)
n=129 dasM = 67500 (1 + 0.19/360 x 129)
i=19% anualM = 72,095.63
M
Ganancia = 72095.63 67800
=4595.63
b)
I = 21774 (0.08 /360 x 129 x 3.35 =
c)Cotizacin fecha inicial = 3.10 x $
Entonces 67500 / 3.10 = 21774.194
Cotizacin fecha final = 3.35 x $
21774.194 x 3.35 = 72943.55Ganancia = 72,943.55-67500
= 5443.55
d) Acciones compra = 4.50 c/u
Entonces 67500/4.50 = 15,000
Vende acciones a = 5.10 c/u
15000 x 5.10 = 76,500 Ganancia = 76,500 67800 = 9000
12. El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 1500 efectue l liquidacin de dicha cuenta al 30 de junio del mismo ao, aplicando una tasa anual simple del 24%.M=.?
M = C (1 + i n)
C=1500
M = 1500 (1+ 0.24/360 x 5)
i=24% anual
M = 1505n=5 das
13. Un artefacto electrodomstico tiene un precio de contado de S/. 2000 pues puede adquirirse al crdito con una cuota inicial de S/. 1000 y una letra de 1100 a 60 das Cul es la tasa de inters simple mensual cargada en este financiamiento?i=.?
c=1000
i= M CM=1100
c n
n=60 das = 2 mesesi=1100 - 1000
1000 x 2
i=5% mensual
14. En que tiempo un capital de S/. 1000 se habr convertido en un monto de S/. 1100 a una tasa mensual del 5% simple?n=.?
c=1000
n= M CM=1100
c i
i=5% mensual
n=1100 - 1000
1000 x 0.05
n=2 meses
15. Actualmente tengo una deuda de S/. 4000 la cual vencer dentro de 3 meses y acuerdo con mi acreedor cancelarla hoy, actualizando el monto con las siguientes tasas mensuales de inters simple: 2% para el primer mes y 2.5% para los dos ltimos meses. Halle el importe a cancelar.
P=.?S=4000
c= M
i1=2%
1 + i n
i2=2.5%
n1=1 mes
n2=2 mes
c=
M
1 + (i1n1 + i2n2 )
c=4000
1 + (0.02 x 1 + 0.025 x 2)
c=3738.3216. En el proceso de adquisicin de un torno. La empresa Crayon S.A.C. recibe de sus proveedores las siguientes propuestas:
Cuotas mensuales
ProveedorCuota inicial12
A
B6500
75003600
25003000
2500
Cul es la mejor oferta evaluando cada una a valor presente y asumiendo que el costo del dinero es del 2% simple mensual?
SOLUCION
PROVEEDOR Ai = 0.02i = 0.02
0
1
2 meses6500
3000
3000
PROVEEDOR B
i = 0.02i = 0.02
0
1
2 meses
7500
2500
2500
A=6500 + 3000 + 3000 = 12,325.79
(1+0.02x1)(1+0.02x2)
B=7500 + 2500 + 2500 = 12,354.83
(1+0.02x1)(1+0.02x2)
1.7. Laboratorio N1 1. Calcular el inters simple producido por S/ 14,800, al 30% anual, durante 2 aos y 9 meses.
2. el 15 de abril se prest un capital de 48,000 , a la tasa de inters simple del 60% anual Cul ser el monto que se percibir el 31 de diciembre del mismo ao?
3. Un capital de S/. 24,000 fue prestado del 10 de marzo al 15 de noviembre y produjo un inters simple de S/. 7,000 A que tasa estuvo prestado?
4. El monto a inters simple de un capital prestado al 30 de mayo, a la tasa del 72% anual, es S/. 25,600 el 17 de octubre. Hallar:
a. el capital inicial.
b. El inters ganado.
5. A qu tasa mensual de inters simple ha estado prestado un capital de S/. 48,000 que en 15 meses se convirti en S/. 67,800.
6. Un capital de S/. 15,000 prestado a la tasa de inters simple del 72% anual, se convirti en S/. 37,500 Cuntos meses estuvo prestado?
7. Un microempresario cobr el 15 de abril en una financiera un capital de S/. 30,000 a la tasa de inters simple del 39% anual Cundo retirar el 26 de diciembre del mismo ao?
8. Hallar los intereses de S/. 38,000 al 29% anual entre el 5 de abril y el 14 de junio.
9. Qu capital al 36% anual durante 3 aos produjo un inters de S/. 34,506?
10. Cul es la tasa anual de inters simple que ha aplicado para que un capital de S/. 8,000 colocado en dos aos y seis meses haya ganado S/. 6,000?
11. Un capital de S/ 5,000 se ha convertido en S/. 5,750 a la tasa de inters simple anual del 21% Hallar el tiempo de operacin.
12. Una cooperativa de crdito otorga un prstamo de S/. 20,000 para ser devueltos en 18 meses a la tasa de inters simple del 32% Determinar la cantidad a ser devuelta.
13. Hallar los intereses que cobrar un acreedor por prestar S/. 3,250 al 24% semestral durante 9 meses.
14. Una persona coloca durante 8 meses en un banco Asociado las 2/5 de su capital al 22% anual y el resto al 24% anual durante el mismo tiempo. Si en la primera imposicin desea cobrar S/. 7,672 de intereses. Cunto gan de intereses en total?
15. Un capital de S/. 250,000 se presta en las siguientes condiciones: el 20% al 21% anual durante 18 meses, el 25% del total al 23% anual durante 15 meses, y el resto al 26% anual durante 5 meses y 18 das Cunto cobrar de intereses en total?
16. Una persona deposita S/. 350,000 en tres bancos en la siguiente forma: en el primer banco deposita el 20% del capital durante 7 meses, en el segundo el 45% del capital durante 8 meses y en el tercero el capital restante durante 8 meses y 10 das. Hallar el total de intereses a cobrar, teniendo en cuenta que los bancos pagana el 46%, 54% y 55% anual de inters simple respectivamente.
17. Cual es el monto que genera un capital de 3,000 colocado a inters compuesto durante:
a. del 7 de abril al 14 de junio, a una tasa de inters mensual de 5%
b. Seis meses a la tasa de inters diaria del 0.1%
c. Dos aos, cuatro meses a la tasa de inters trimestral del 12%
d. 116 das a la tasa de inters nominal anual de 48% capitalizable trimestralmente.
18. Cual es el monto que genera un capital de 5000 colocado a inters simple durante:
a. Tres semestres a la tasa de inters mensual al 2%.
b. Tres meses a la tasa de inters diaria al 0.2%
c. Siete trimestres a la tasa de inters semestral al 4%
d. 119 das a la tasa de inters anual al 8%
e. Cinco meses a la tasa de inters nominal anual al 48%
19. Un capital de 3000 ha sido prestado a la tasa de inters del 45% anual durante 2 aos. Se desea saber el monto que ha generado este capital.
20. Hallar la suma de dinero que se debe colocarse en el banco al 26% anual durante dos aos para producir un capital final de 10000.
21. si un capital de 4969 colocado a inters simple en una empresa financiera produjo un monto de 38000 despus de dos aos, a qu tasa de inters anual estuvo colocado.
22. Halle el capital generado al cabo de 2 aos y 3 meses por 1000 a una tasa de inters del 23% anual.
23. Cuanto tiempo necesitar una suma de 800 para duplicarse con la tasa de inters del 25% anual.
24. Un inversionista desea duplicar su inversin de 10000 en 2 aos a que tasa de inters deber tratar de invertir?
25. Que proporcin de intereses sobre el capital se ha ganado sabiendo que la tasa del 25% anual en 5 aos ha permitido incrementar dicho capital hasta 25000?
26. Determine el valor actual de un prstamo de 25000 con vencimiento dentro de 9 meses, suponiendo un rendimiento mensual del 6%.
El da de hoy.
Dentro de 3 meses.
Dentro de 7 meses.
Dentro de 1 ao.
27. El seor robles debe 450 con vencimiento de 4 meses y 600 con vencimiento de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago unico inmediato, cual ser el importe de dicho pago suponiendo un rendimiento del 5% mensual?
28. En el problema anterior cul debi ser el pago despus de 5 meses para saldar ambas deudas?
29. Que oferta es ms conveniente para el comprador de una casa: 4000 de inicial y 6000 despus de 6 meses o 6000 de inicial y 4000 despus de un ao? Supngase un inters mensual del 6% y comprese en la fecha de la compra, el valor de cada oferta.
30. Una persona debe 2000 para pagar en un ao con inters al 6% mensual. Conviene en pagar 500 al final de 6 meses. Qu cantidad tendr que pagar al final del ao para liquidar el resto de la deuda suponiendo en rendimiento mensual del 6%.
31. Una persona adquiere un terreno de 5000 mediante un pago al contado de 500. conviene en pagar el 6% de inters sobre el resto. Si paga 000 tres meses despus de la compra 1500 seis meses ms tarde Cul ser el importe del pago que tendr que hacer un ao despus para liquidar completamente la deuda?
32. Una persona debe 500 con vencimiento en 3 meses e intereses al 5% mensual, y 1500 con vencimiento en 9 meses al 4% mensual Cul ser el importe del pago nico que tendr que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un rendimiento mensual del 6%
33. Una persona debe 2000 con vencimiento en dos meses, 1000 con vencimiento en 5 meses y 1800 con vencimiento en 9 meses. Desea liquidar sus deudas mediante dos pagos iguales con vencimiento en 6 y 12 meses respectivamente. Determinar el importe de cada pago suponiendo un rendimiento del 6% mensual.
34. cual es el monto que genera un capital de 4000 colocado a:
a. Durante tres aos, tasa de inters nominal anual de 48%
b. Durante 116 das, tasa nominal anual 36%.
c. Durante 5 semestres, tasa de inters mensual 5%
35. Cual es el capital que al cabo de cinco meses form un monto de S/. 8900 si estuvo colocado a la tasa nominal anual del 26%.
36. A que tasa anual semestralmente un capital de 3000 gan 2000 durante 17 das.
37. En que tiempo un capital de 2000 se triplic a la tasa nominal anual del 36%.
38. Cual es el monto que forma un capital de 3000 colocado a la tasa nominal anual del 48% durante 7 meses.
39. Un cliente pregunta a su banquero en que suma se convertirn S/. 16000 colocados durante 9 aos al 11% de inters anual.
CONVERSIN DE TASAS Y TASAS EQUIVALENTES.OBSERVACIN:
El inters puede ser anual, semestral, trimestral o mensual, etc. Estas operaciones conducen a diversas interpretaciones de la tasa de inters.
a. Tasa de inters proporcional.
b. Tas de inters nominal
c. Tasa de inters efectiva.
d. Tasa de inters equivalente.
e. Tasa de inters real.
Recordemos que la tasa de inters es el inters ganado por una cantidad monetaria al cabo de una unidad de tiempo.a. Tasa de inters proporcional.Corresponde a distintas unidades de tiempo sobre cuyas magnitudes estn en relacin directamente proporcional. Por ejemplo para la tasa de inters anual de 45% la tasa proporcional trimestral es 0.45/4 = 0.1125 (11.25%) y recprocamente para la tasa de inters trimestral de 11.25% la tasa proporcional anual es de 11.25 x 4 = 45%.
b. Tasa de inters nominalEs aquella que se usa en el inters simple y no incluye periodos de capitalizacin y para encontrarla como se dijo anteriormente se puede multiplicar o dividir, ejemplo:
Se tiene una tasa nominal anual capitalizable mensualmente del 120% encontrar:
Tasa nominal mensual = 120/12 = 10%
Tasa nominal semestral = 120/2 = 60%
Tasa nominal trimestral = 120/4 = 30%
Tasa nominal bimestral = 120/6 = 20%
Ojo: Para encontrar una efectiva partiendo de una tasa nominal esta ltima debe de incluir su periodo de capitalizacin.c. Tasa de inters efectiva.Es aquella que realmente acta sobre el capital, en una operacin financiera y es l que se usa en el inters compuesto y esta no se puede dividir ni multiplicar si no se puede indicar o potenciar, ejemplo:
*Se tiene una tasa nominal anual capitalizable mensualmente del 30% encontrar:
Efectiva mensual= (1 + 0.30/12)1/1 - 1 = 2.5%
Efectiva semestral = (1 + 0.30/12)6/1 - 1 = 15.97%
Efectiva trimestral = (1 + 0.30/12)3/1 - 1 = 7.69%
Efectiva bimestral = (1 + 0.30/12)2/1 - 1 = 5.10%
Ahora haremos un alto antes de entrar a hablar sobre el inters compuesto ya que es muy importante en primer lugar conocer las conversiones de las tasas utilizadas dentro de estas operaciones las cuales son:
1.8. De tasa nominal a tasa nominal.Que puede ser de:
1. De ms a menos: Cuando nos dan una tasa nominal y nos piden encontrar una menor al periodo dado.
2. De menos a ms: Cuando nos dan una tasa nominal y nos piden encontrar una mayor al periodo dado.
Ac se halla multiplicando o dividiendo las tasas segn el caso.
1.9. De tasa nominal a tasa efectiva.Que puede ser de:
1. Mas a menos: Cuando hay una tasa nominal y se pide encontrar una efectiva menor al periodo de la nominal.
2. Menos a ms: Se tiene una tasa nominal menor a la tasa efectiva que nos piden.
Ac es muy importante conocer el periodo de capitalizacin de la tasa nominal para encontrar la efectiva.
iE =(1+J/m)n/m - 1 x 100
iE = Tasa efectiva.
J = Tasa Nominal.
m = Perodo de capitalizacin.
n = perodo de conversin de la operacin financiera.
1.10. De tasa efectiva a tasa efectiva.Que puede ser:
1. De ms a menos: Es decir se tiene una tasa efectiva y nos piden encontrar otra efectiva o un periodo menor a la dada.
2. De menos a ms: Se tiene una tasa efectiva y se pide encontrar otra mayor partiendo de la primera.
Ac es muy importante saber que esto no se encuentra dividiendo ni multiplicando porque son tasas efectivas que si se puede hallar radicando potenciando segn sea el caso.
iE =(1+i)n/m - 1 x 100
iE = Tasa efectiva
n = perodo de conversin de la operacin financiera
1.11. De tasa efectiva a tasa nominal.Que puede ser:
3. De ms a menos: Se tiene una tasa efectiva con un periodo mayor a la nominal deseada.
4. De menos a ms: La tasa efectiva dada corresponde a un periodo menor a la nominal solicitada.
Ac se debe de tener en cuenta el periodo de capitalizacin de la tasa nominal de lo contrario se tomar como periodo de capitalizacin el periodo que solicitan. Esto solamente se tiene en cuenta para cuestiones acadmicas puesto que en la prctica no se llega a dar
PROBLEMAS DIVERSOS.1. Se tiene una tasa nominal del 50% encontrar.
-Tasa nominal mensual.0.50=4.17%
12
- Tasa nominal quincenal.0.50=2.08
24
5. Tasa bimestral0.50=8.33 6
6. Tasa semestral0.50=25% 2
7. Tasa de 300 das.0.50=41.67%
360
2. Se tiene una tasa nominal mensual del 4.17% encontrar :
8. Tasa bimestral.
0.0417 x 2 = 8.33%
9. Tasa trimestral.
0.0417 x 3 = 12.5%
10. Tasa semestral.
0.0417 x 6 = 25%
11. Tasa anual.
0.0417 x 12 = 50%
3. Se tiene una tasa nominal anual del 50% capitalizable trimestral.
12. Tasa efectiva mensual.
iE = (1+0.50/4)1/3 - 1 x 100 = 4.004%
13. Tasa efectiva diaria.
iE = (1+0.50/4)1/90 - 1 x 100 = 0.1310%
14. Tasa efectiva quincenal.
iE = (1+0.50/4)1/6 - 1 x 100 = 1.98%
15. Tasa efectiva semestral.
iE = (1+0.50/4)2/1 - 1 x 100 = 26.5625%
16. Tasa efectiva anual.
iE = (1+0.50/4)4/1 - 1 x 100 = 60.18%
4. Se tiene una tasa efectiva del 60.18% encontrar:
17. Tasa efectiva mensual.
iE = (1+0.6018)1/12 - 1 x 100 = 4.004%
18. Tasa efectiva diaria.
iE = (1+0.6018)1/360 - 1 x 100 = 0.1310%
19. Tasa efectiva quincenal.
iE = (1+0.6018)1/24 - 1 x 100 = 1.98%
20. Tasa efectiva semestral.
iE = (1+0.6018)1/2 - 1 x 100 = 26.56%
21. Tasa efectiva anual.
iE = (1+0.50/4)4/1 - 1 x 100 = 60.18%
Ac es muy importante saber que en el periodo de capitalizacin tanto la tasa nominal como la tasa efectiva son iguales, antes del periodo de capitalizacin la tasa nominal es mayor que la tasa efectiva y despus del periodo de capitalizacin la tasa efectiva es mayor que la tasa nominal. Para un mayor entendimiento se presenta el siguiente ejemplo.
TASAS NOMINALES Y EFECTIVAS
Se tiene una tasa nominal anual del 40% con capitalizacin trimestral encuentre tanto la tasa efectiva como la nominal para diferentes periodos luego compare y explique a qu conclusin se llega?
PeriodosTasa nominalTasa efectiva
Tasa diaria
Tasa quincenal
Tasa mensual
Tasa de 45 das
Tasa bimestral0.40/360 x 100 = 0.111%
0.40/24 x 100 = 1.67%
0.40/12 x 100 = 3.33%
0.40/360 x 45 x 100 = 5%
0.40/6 x 100 = 6.67%(1 + 0.40/4)1/90 1 x 100 = 0.105956
(1 + 0.40/4)1/6 1 x 100 = 1.60%
(1 + 0.40/4)1/3 1 x 100 = 3.228%
(1 + 0.40/4)45/90 1 x 100 = 4.88%
(1 + 0.40/4)2/3 1 x 100 = 6.56%
Tasa trimestral0.40/4 x 100 = 10%(1 + 0.40/4)1/1 1 x 100 = 10%
Tasa cuatrimestral
Tasa de 5 meses
Tasa semestral
Tasa de 9 meses
Tasa anual0.40/3 x 100 = 13.33%
0.40/12 x 5 x 100 = 16.67%
0.40/2 x 100 = 20%
0.40/12 x 9 x 100 = 30%
0.40/12 x 12 x 100 = 40%(1 + 0.40/4)4/3 1 x 100 = 13.55%
(1 + 0.40/4)5/3 1 x 100 = 17.22%
(1 + 0.40/4)6/3 1 x 100 = 21%
(1 + 0.40/4)9/3 1 x 100 = 33.10%
(1 + 0.40/4)4/1 1 x 100 = 46.41%
1.12. Tasas equivalentes.Son aquellas que enunciadas a diferentes tasas de inters nominal o efectivos y a diferentes periodos de capitalizacin, producen la misma tasa efectiva. Ejemplo:
22. Si la tasa trimestral es de 11.25% la tasa anual equivalente es de 53.1793% la misma que se obtiene de la siguiente manera:
i = (1+0.1125)4/1 - 1 x = 53.1793%
Con ambas tasas se alcanza el mismo resultado a travs de todo el plazo de transaccin, as para un capital de S/. 1000 en 6 aos, tasa de inters trimestral = 11.25% y con capitalizacin trimestral encuentran el monto.M=C [(1 + i)n ]
23. M1 = 1000 (1 + 0.1125)24/1 = 12.918.15
24. M2 = 1000 (1 + 0.531793)6/1 = 12.918.15
3.6.Problemas diversos1. Sea una tasa nominal anual de 25.5% con capitalizacin mensual. Hallar:
25. La tasa nominal (proporcional) a 2, 3, 4, 5 y 6 meses.
26. La tasa efectiva a: 2, 3, 4, 5 y 6 meses
2. El 28 de febrero de 1989 la Superintendencia de Banca y Seguros del Per (en una economa regulada y en existencia de hiper inflacin) fija los factores de calculo de intereses y cuota efectiva total de crdito.
Operaciones de crdito en generalFactor para
Tasa vencida
30 das
360 das
Hasta 360 das
0.2500
13.55191523
Hasta 719 das
0.2600
15.01203539
De 720 a ms das
0.2750017.45534708
a)Verifique los factores.
Cul es el factor para 1, 60, 400 das
i = 25% (para 30 das) hasta 360 das.i= (1 + 0.25)360/30 -1 x 0 = 13.55191523
i= (1 + 0.25)12/1 -1 x 0 = 13.55191523
i = 26% (para 30 das) hasta 719 das.
i= (1 + 0.26)360/30 - 1 = 15.01203539
i = 27.5% (para 30 das) de 720das a ms.
i= (1 + 0.275)360/30 -1 = 17.45534708Factor para un da:i= (1 + 0.25)1/30 -1 = 0.007465849Factor para 60 das:i= (1 + 0.25)60/30 -1 = 0.5625Factor para 400 das:
i= (1 + 0.26)400/30 = 20.79083814
3. La SBS del Per publica las tasas de inters promedio ponderado del sistema financiero para el mes de noviembre de 1997 (en una economa de libre mercado) con una inflacin anual promedio.
PeriodosActivasPasivas
TAMNTAMEXTIPMNTIPMEX
Para el da 1 de Noviembre30.7015.6110.025.30
Para el da 30 de noviembre30.1515.669.985.24
Promedio anual30.4515.629.9035.28
Promedio del periodo noviembre2.241.220.790.43
Nota:
27. TAMN = Tasa activa en moneda nacional
28. TAMEX = Tasa activa en moneda extranjera.
29. TIPMN = Tasa de inters pasiva en moneda nacional
30. TIPMEX = Tasa de inters pasiva en moneda extranjera
a) Con las tasas del promedio anual determine cul es el promedio mensual.
b) Con la tasa del promedio del mes de noviembre, proyecte las tasas para un ao.
a) PROMEDIO MENSUAL:ACTIVAS:TAMNi = (1+0.3045)30/360 - 1 x 100 = 2.24%TAMEXi = (1+0.1566)30/360 - 1 x 100 = 1.22%
PASIVAS:
TIPMNi = (1.09903)30/360 - 1 x 100 = 0.79%
TIPMEXi = (1+0.0528)30/360 - 1 x 100 = 0.43%
b) PROYECCIN DE TASAS PARA UN AO:ACTIVAS:TAMNi = (1.0224)360/30 - 1 x 100 = 230.45%TAMEXi = (1.0122)12/1 - 1 x 100 = 15.66%PASIVAS:
TIPMNi = (1+ 0.0079)12/1 - 1 x 100 = 9.903
TIPMEXi = (10.043)12/1 - 1 x 100 = 5.28
4. Encontrar el monto compuesto:
a) Al final de un mes de un capital es de S/. 100 al:
31. 3% ina, capitalizable mensualmente.
32. 2.96 ina, capitalizable diariamente.
b) Para ambos casos encuentre la tasa efectiva mensual.
c) Si sabe que el monto es de 103 al final de un mes de un capital de S/. 100 Cual es la ina con capitalizacin trimestral?a)M = .?
C = 100
M = C[(1+i)n]
n = 1 mes
*i = 3% ina KM
M = 100 (1 + 0.03/12)1/1
M = 100.25
*i = 2.96 ina KD
M = 100 (1 + 0.0.296/360)30/1
M = 100.25
1. ina = 3% KM
iE = (1 + 0.03/12)12/1 - 1 x 100 = 3.042%
ina = 2.96 KD
iE = (1 + 0.0296/360)360/1 - 1 x 100 = 3.042%
2. M= 103
C= 100
n= 1 mesina = .?KT
i=103 - 1
100
i=3% mensual entonces la ina ser
i=(1.03) - 1 x 100 x 4 = 37.0908
5. El Banco Central de Reserva del Per (BCRP) determina un inters efectivo anual de 987.22 % para operaciones activas de 720 a ms das Cul ser la tasa nominal equivalente, para hallar la misma tasa efectiva capitalizando:
a) Mensualmente.
b) Diariamente.
c) Trimestralmente.
d) Anualmente.
En otros trminos: usted debe S/. 1000 y le ofrecen esas 4 formas de pago cul elegira Por qu?
TEA = 987.22%
g) Hallar tasa nominal capitalizable mensualmente.i = (1 + 9.8722)1/12 - 1 x 100 x 12 = 263.999%
o
(1 + i) - 1 x 100 = 987.22
(1 + i) - 1 = 987.22
100
(1 + i) = 987.22 + 1
i=12 10.8722 1 x 100 x 12
i=263.999%
h) Tasa nominal capitalizable diariamente.i = (1 + 9.8722)1/360 - 1 x 100 x 360 = 239.4134%
i) Tasa nominal capitalizable trimestralmente.i = (1 + 9.8722)1/4 - 1 x 100 x 4 = 326.3392%
j) Tasa nominal capitalizable anualmente.i = (1 + 9.8722)1/1 - 1 x 100 x 1 = 987.22%
C=1000
a) ina = 263.999% KM
I=1000 (1 + 263.999/12)12/1 - 1 = S/ 9872.12
b) ina = 239.4134% KD
I=1000 (1 + 2.394134/360)360/1 - 1 = S/ 9872
c) ina = 326.3392% KT
I=1000 (1 + 3.263392/4)4/1 - 1 = S/ 9872
d) ina = 987.22% KA
I=1000 (1 + 9.8722/1)1/1 - 1 = S/ 9872
1.13. LABORATORIO # 21. Tasa nominal semestral80* TND=
* TNQ=
* TNM=
* TNB=
* TNT=
* TNC=* TNS=
* TN210 DAS=
* TNA=
2. Tasa nominal diaria del 5%l.* TND=
* TNQ=
* TNM=
* TNB=
* TNT=
* TNC=* TNS=
* TN210 DAS=
* TNA=
3. Tasa nominal anual del 80% capitalizable diariamente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
4. Tasa nominal anual del 80% capitalizable quincenalmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
5. Tasa nominal anual del 80% capitalizable mensualmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE210 DAS=
* TEA=
6. Tasa nominal anual del 80% capitalizable diariamente* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
7. Tasa nominal anual del 80% capitalizable trimestralmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
11. Tasa nominal anual del 80% capitalizable cuatrimestralmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
12 . Tasa nominal anual del 80% capitalizable semestralmente.
* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
12. Tasa nominal anual del 80% capitalizable anualmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
13. Tasa nominal semestral del 40% capitalizable diariamente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
14. Tasa nominal semestral del 40% capitalizable bimestralmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE210 DAS=
* TEA=
16. Tasa nominal semestral del 40% capitalizable mensualmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
17. Tasa nominal semestral del 40% capitalizable trimestralmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE210 DAS=
* TEA=
18. Tasa nominal semestral del 40% capitalizable quincenalmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
19. Tasa nominal semestral del 40% capitalizable semanalmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
20. Tasa nominal semestral del 40% capitalizable trimestralmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE210 DAS=
* TEA=
21. Tasa trimestral del 20% capitalizable trimestralmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
22. Tasa trimestral del 20% capitalizable mensualmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE210 DAS=
* TEA=
22. Tasa trimestral del 20% capitalizable semanalmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
23. Tasa mensual del 10% capitalizable quincenalmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE210 DAS=
* TEA=
24. Tasa mensual del 10% capitalizable diariamente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
25. Tasa mensual del 10% capitalizable mensualmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
26. Tasa mensual del 10% capitalizable semanalmente.* TED=
* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE210 DAS=
* TEA=
27. Tasa nominal del 85% capitalizable trimestralmente grafique:
TASAS NOMINALES
TASAS EFECTIVAS* TNM
* TEN
* TNB
* TEB
* TNT
* TET
* TNC
* TEC* TNS
* TES
A que conclusiones puede llegar.
28. Tasa nominal cuatrimestral del 30% capitalizable semanalmente.
grafique:
TASAS NOMINALES
TASAS EFECTIVAS* TNM
* TEN
* TNB
* TEB
* TNT
* TET
* TNC
* TEC* TNS
* TESA que conclusiones puede llegar.
29. Tasa nominal cuatrimestral del 30% capitalizable quincenalmente.
grafique:
TASAS NOMINALES
TASAS EFECTIVAS* TNM
* TEN
* TNB
* TEB
* TNT
* TET
* TNC
* TEC* TNS
* TES
A que conclusiones puede llegar.
30. Tasa nominal cuatrimestral del 30% capitalizable diariamente.
grafique:
TASAS NOMINALES
TASAS EFECTIVAS* TNM
* TEN
* TNB
* TEB
* TNT
* TET
* TNC
* TEC* TNS
* TESA que conclusiones puede llegar.
32. Tasa efectiva anual del 90%* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE 210 DAS
* TEA=
33. Tasa efectiva diaria del 2%.* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE 210 DAS
* TEA=
34. Tasa efectiva quincenal del 5%.* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE 210 DAS
* TEA=
35. Tasa efectiva mensual del 8%.* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE 210 DAS
* TEA=
36. Tasa efectiva semestral del 16%.* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE 210 DAS
* TEA=
37. Tasa efectiva trimestral del 20%.* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE 210 DAS
* TEA=
38. Tasa efectiva cuatrimestral del 25%.* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=* TE 210 DAS
* TEA=
39. Tasa efectiva semestral del 30%.* TED=* TEQ=
* TEM=
* TEB=
* TET=
* TEC=* TES=
* TE 210 DAS
* TEA=
40 La tasa nominal anual es de 95% halle las tasas de inters efectivo anual
capitalizando.
a. diariamente
b. quincenalmente
c. mensualmente
d. bimestralmente
e. trimestralmente
f. cuatrimestralmente
g. semestralmente
h. anualmente
INTERS COMPUESTO3.1. Concepto.El inters compuesto es el proceso mediante el cual el inters generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital el mismo que genera un nuevo inters en la siguiente unidad de tiempo y as sucesivamente durante el plazo pactado.
El inters compuesto es una sucesin de operaciones a inters simple en la que despus de la primera, su monto constituye el capital inicial de la siguiente. Ejemplo simple:
CAPITAL
INTERES (10%)MONTO
10000
1000
11000
11000
1100
12100
12100
1210
13310
13310
1331
14641
14641
1464.10
16105.10
3.2. Simbologa.Para el clculo del inters compuesto es necesario tener en consideracin:
j=Tasa nominal
i=Tasa efectiva (j/m)
m=# de capitalizacin en el ao, el cual se halla relacionado al ao bancario y la frecuencia de capitalizacin de la tasa de inters.
n=Horizonte del tiempo de la operacin.
c=capital, valor actual, valor presente, actualizacin.
M=Monto, valor futuro, capitalizacin.
3.3. Frmulas.33. INTERS:
I=C [(1 + i)n - 1]
34. CAPITALC= I
(1 + i)n - 1
35. MONTOM=C [(1 + i)n]
36. CAPITAL CON MONTOC= M
(1 + i)n 37. TASA SIN MONTOi= n I + 1 1 i = (I + 1)1/n -1
C
P
38. TASA CON MONTOi= n M 1
o i = (M/C)1/n -1
C
39. TIEMPOn=Log M Log C
Log (1 + i)
3.4. Aplicacin de frmulas.1. Se tiene un capital de 10,000 a una tasa del 5% anual efectiva al cabo de 5 aos cuanto de intereses ha devengado.
C=10,000
i=10% A
n=5 aosI=:?
I=C [(1 + i)n - 1]I=10,000[(1 + 0.05)5/1 - 1]
I=2762.82
2. Calculo del capital en el mismo ejercicio sera.C= M
(1 + i)n
C=10,000 + 2762.82
(1 + 0.05)5C=S/. 10,000
C= I
(1 + i)n - 1
C= 2762.82
(1 + 0.05)53. Calculando la tasa en el mismo ejercicio: i= n M 1
o i = (M/C)1/n -1
C
i= 5 10,000 + 2762.82 1o i = (10,000+2762.82/10,000)1/5 -1
10,000
i=0.05 x 100 = 5% anual
I =0.05 x 100 = 5% anual4. Calculando el nmero de periodos:
n=Log M Log C
Log (1 + i)
n=Log 12762.82 Log 10,000
Log (1 + 0.05)
n=5 aos
5. Un banco paga por depsito que recibe del pblico una tasa nominal mensual del 3% con capitalizacin trimestral Qu monto se habr acumulado con un capital inicial de S/. 3000 colocado durante 6 meses?
i=3% TNMKT
M=.?C=3,000
n=6 mesesM =C (1 + i)n - 1
M =3,000[(1 + 0.03)2/1 - 1]
M = 3564.30
6. Considrese un capital inicial de S/. 1,000 depositado en un banco donde gana una tasa efectiva anual de 10% Qu monto tendr que pagarse si el depsito se cancela al finalizar el primer semestre?C=1,000
i=10% TEA
M=.?
n=6 meses
M =C [(1 + i)n ]
M =1,000 (1 + 0.10)6/12
M =S/. 1048.81
7. Una persona solicita a un banco un prstamo de S/. 2000 el mismo que se abona en su cuenta corriente el 26 de mayo Qu monto deber pagar el 24 de julio, fecha que cancela el prstamo, si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 5%?
C=2,000
n=26 Mayo 24 julio (59 das)
i=5% EM
M=.?
M =C [(1 + i)n ]
M =2,000 (1 + 0.05)59/30
M =2201.42
8. Calcular el monto a pagar dentro de 4 meses por un prstamo bancario de 8000 a una tasa nominal anual del 36% capitalizable mensualmente.
M=.?
n=4 meses
c=8000i=36% TNAKM
M =C [(1 + i)n ]M =8,000 (1 + 0.36)4/1
M =S/. 9004.07
3.5. Inters compuesto con variacin de tasas.40. Calcule el monto de un capital de S/ 1000 colocado durante tres meses. La tasa efectiva mensual pactada es del 3%, 4% y 5% para el primer, segundo y tercer mes.
M=.?c=1000
i1=3%
i2=4%
i3=5%
M =C (1 + i)nM =1,000 [(1 + 0.03)(1 + 0.04) (1 + 0.05)]
M =1124.76
41. Una empresa solicit al banco un prstamo de S/. 8000 cancelado dentro de 6 meses a una tasa nominal anual del 36% con capitalizacin trimestral. La tasa es variable de acuerdo a las condiciones del mercado. En la fecha de vencimiento del contrato de crdito se conocen las siguientes variaciones de tasas anuales: 36% durante los 2 primeros meses y 48% para el resto del perodo, ambos capitalizados trimestralmente Qu monto deber pagar al vencimiento?M=.?c=8000i1=0.09 = 0.36/4 efect. Trimest.i2=0.12 = 0.48/4
n1=2 meses
n2=4 meses
M =8000 [(1 + 0.09)2/3 (1 + 0.12)4/3]
M=S/. 9794.82
3.6. Valor actual y valor futuro a inters compuesto.3.6.1. Valor actual.Actualizar, valor presente, valor en el momento cero, capital, es decir que encontrar el valor actual o actualizar es quitarle los intereses (a una tasa pactada o convenida) a un valor futuro, que por el transcurso del tiempo tiene. La frmula es:C = M
(1 + i)n
1. Hallar el valor actual de 5000 pagaderos en 5 aos
a) A la tasa efectiva anual de 6%
b) A la tasa del 6& de inters nominal anual, capitalizable trimestralmente.
c) A la tasa del 6% de inters nominal anual, capitalizable diariamente.
C=VP = VP = A = ?
VF = M = 5000
N = 5 aos
a)i EH = 6%
c= 5000
=3735.29
(1+0.06)5/1b) INAKT = 6%
c= 5000
=3712.35
1+0.06 20/1
4c) INAKD = 6%
c= 5000
=3704.18
(1+0.06/360) 1800/13.6.2. Valor futuro.Capitalizar, acumular intereses, monto. El valor futuro se encuentra *** un valor actual a un tiempo futuro a una tasa de inters dada.
M =C [(1 + i)n ]
EJERCICIOS1. Calcular el valor futuro de S/. 5000 al 50% de inters nominal anual, durante 10 aos capitalizando.
a) Anualmente.
b) Trimestralmente.
M = ?
C = 5000
a) IANKA = 50%
M=5000 (1 + 0.50/1)10/1
M=288,325.1953
b)IANKT = 50%
M=5000 (1 + 0.50/4)40/1
M=555,995.02De manera sencilla y para una mayor comprensin observe lo siguiente
LA CAPITALIZACIN
LA ACTUALIZACIN
M= C(1 + i)n
C = M
(1 + i)nObserve esto:
Observe esto:
M = 10000,000 (1 + 0.06)C = 20121,965
(1 + 0.06)
M = 100000,000 (2.0121965)
M = 20121,965
C = 10000,000
3.7. Problemas diversos.
1. El 6 de Abril la empresa PERT descont en el Banco de Crdito un pagar cuyo valor nominal fue de S/. 8000 y su vencimiento el 5 de junio, calcule el importe abonado por el banco a Pert. Considerando una tasa nominal del 36% anual con capitalizacin mensual.M = 800060 D
C/4
5/6
C = .?
C = .?
M=8000
i=36% TNAKM
n=60 das
C= M
(1 + i)n
C= 8000
(1 + 0.36/12)60/30
C=S/. 7540.77
2. A qu tasa efectiva mensual un capital de S/. 1000 se habr convertido en un monto de S/. 1100 si dicho capital original fue colocado a 3 meses.i=.?
i= 3 1100 - 1
c=1000
1000M=1100
n=3 mesesi=3.23 efectivo mensual
3. En qu tiempo se duplicar un capital a una tasa efectiva del 3% mensual?
n=.?
c=1
M=2
i=3% EM
n=Log M Log C
Log (1 + i)
n=Log 2 Log 1
Log (1 + 0.03)
n=23.44977225
n = 23 meses 13 das.
4. Calcule el inters compuesto ganado en un trimestre por una inversin de S/. 3000 colocado a una tasa nominal del 18% anual con capitalizacin bimestral.
I=.?
C=3000
i=18% TNAKB
n=3 meses
I=C [(1 + i)n - 1]
I=3000 [(1 + 0.18/6)3/2 - 1]
I= 136
5. Para ganar un inters compuesto de S/. 500 en un plazo de 18 das Cunto debe colocarse en una institucin de crdito que paga una tasa efectiva anual del 20%?I= 500
n= 18 das
c= .?
i= 20% EA
C= I
(1 + i)n - 1
C= 500
(1 + 0.20)18/360 - 1
C=54,598.53
6. Calcule la tasa efectiva mensual cargada en la empresa de un artefacto cuyo precio de contado es de S/. 1000, pero financiado sin cuota inicial y con una letra a 45 das su importe es de S/. 1250
i=.?
i= 1.5 1250 +1 - 1
c=1000
1000
M=1250
n=45 das
i=16.04%
i= 250 + 1 1/(45/30)=16.04%
1000
7. El cargo por intereses de un sobregiro bancario de S/. 25000 ha sido de S/. 865 si el banco cobra una tasa efectiva mensual del 4% Cunto tiempo estuvo sobregirada la cuenta?n=.?
c=25,000
i
4% TEM
n=Log M Log C
Log (1 + i)
n=Log (25000 + 865) Log 25,000
Log (1 + 0.04
n = 26 das.
8. Suponga que abre una cuenta de ahorros con S/. 3000 en una entidad financiera que ofrece una tasa de inters de 10.50% de inters nominal anual, capitalizable mensualmente. Cunto recibir al cabo de 5 meses?
C=3,000i=10.50% TNAKM
M=.?n=5 meses
M =C [(1 + i)n ]
M =3,000 [(1 + 0.1050/12)5/1
M =3133.58
9. Calcular el monto o inters compuesto en 8 aos de un capital de 6000 a la tasa nominal anual de 10% capitalizable semestralmente.
C=6,000
n=8 aos
i=10% TNAKSM=.?
M =C [(1 + i)n ]M =6,000 [(1 + 0.10/2)16/1
M =13,097.25
3.8. LABORATORIO N32. M firma un documento comprometindose a pagar a N 3000 en 6 aos con intereses del 5% convertible trimestralmente 4 aos despus N vende el documento a P. Cuanto pag P por el documento si la tasa de inters era del 4% convertible semestralmente.
3. Una deuda de 500 pagaderos en 2 aos y otra de 750 pagaderos en 6 aos se van a liquidar mediante un pago nico dentro de 4 aos. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento del 4% convertible trimestralmente.
4. Una deuda de 250 vencida hace 2 aos y otra de 750 pagaderos en 3 aos se van a liquidar a la fecha mediante un pago nico. Hallar el importe del pago suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente.
5. M debe 1000 pagaderos dentro de 3 aos. Si hace el da de hoy un pago de 400, cual ser el importe del pago que tendr que hacer en 2 aos para liquidar su deuda suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente.
6. El da de hoy un comerciante comprar artculos por valor de 1500. Paga 500 al trmino de 4 meses. Suponiendo un rendimiento del 6 % convertible mensualmente, Cul ser el importe del pago final que tendr que hacer el trmino de 6 meses?
7. M firmo un documento comprometindose a pagar 1500 con intereses acumulados por 2 aos al 5% convertible trimestralmente, vencido el da de hoy.
Paga 500 nicamente y acuerda pagar el resto en 1 ao. Hallar el importe del pao requerido.
8. Sustituir 2 deudas de 400 y 800 con vencimiento en 3 y 5 meses, por dos pagos con vencimientos en 2 y 4 aos, suponiendo un rendimiento del 5% convertible semestralmente.
9. La compaa de maderas El Tablazo firma un contrato de venta de un terreno de aqu a 3 aos por S/. 860,000 suponiendo que el precio del dinero sea el 16% anual. Cul es el valor actual del contrato?
10 Cul es el valor actual de un pagare de S/. 70,000 pagaderos dentro de un ao 6 meses, si la tasa es del 15% capitalizable semestralmente?
10. Una persona debe S/. 10,000 pagaderas dentro de dos aos y S/. 20,000 a cinco aos de plazo. Pacta con su acreedor efectuar un pago nico dentro de 3 aos a la tasa del 18% capitalizable semestralmente. Calcular el valor nico del pago.
11. Calcular el monto a pagar dentro de 5 meses por un prstamo bancario de S/. 50 000 que devenga una tasa nominal anual del 36% con capitalizacin mensual.
12. Calcular el importe capitalizado de un depsito a plazo de S/. 20 000 colocado durante 6 meses a una tasa nominal anual del 36% capitalizable diariamente.
13. Qu monto debe dejarse en letras de vencimiento dentro de 38 das, si despus de descontarlas se requiere disponer de un importe neto de S/. 20 000,sabiendo que el banco cobra una tasa efectiva mensual del 3,5%
14. Asumiendo que la poblacin actual es de 22 millones de habitantes y su tasa promedio de crecimiento neto anual es del 2,01% Cuntos habitantes seremos dentro de ao y medio?
15. El 1 de abril el precio de una materia prima fue de S/. 20 000 por tm. 45 das despus se increment a S/. 22 000 Cul ser el precio a pagar por el nuevo stock que lo renovaremos dentro de 180 das contados a partir del 1 de abril, si nuestro proveedor manifiesta que los precios se incrementarn peridicamente (cada 45 das) en el mismo porcentaje original?
16. En el ltimo semestre la gasolina ha venido incrementndose en 2% cada 18 das en promedio. De mantenerse esta tendencia, Cunto costara un galn de gasolina dentro de un ao, si el precio es hoy S/. 3,50?
17. Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/. 1 000 percibiendo una tasa nominal mensual del 4% con capitalizacin diaria.
18. El 2 de mayo retira S/. 400, el 15 de mayo retira S/. 200 y el 3 de junio deposita S/. 100 Qu monto acumul desde la fecha de su depsito inicial hasta el 24 de junio, fecha en que cancel la cuenta? 19. Se ha suscrito un contrato de crdito por S/. 80 000 para cancelarlo dentro de 120 das, a la tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva mensual ha sufrido las siguientes variaciones: 5% durante 46 das, 4,5% durante 10 das y 4% durante 64 das. Cul es el monto a cancelar al vencimiento del crdito? 20. El 6 de junio la empresa Agroexport S.A. compr en el Banco Platino un Certificado de Depsito a Plazo (CDP) a 90 das por un importe de S/. 20 000, ganando una tasa nominal actual del 24% con capitalizacin diaria, si el 1 de julio la tasa baj al 18% anual, Cul fue el monto que recibi Agroexport al vencimiento del plazo del CDP?
21. Una deuda de S/. 1 000 con opcin a renovarse automticamente cada 30 das, debe cancelarse el 20 de setiembre. Qu monto debe pagarse el 19 de diciembre si el contrato de crdito establece que por la primera renovacin se carga una tasa efectiva mensual del 5%, por la segunda una tasa efectiva mensual del 6% y por la tercera una tasa efectiva mensual del 7%?.22. Aplicando una tasa efectiva del 4% mensual calcule el valor presente de un importe de S/. 2 000 que genera una tasa de inters nominal anual del 24% capitalizable mensualmente, durante un trimestre.
23. Hace 4 semanas se coloc un capital al 3% efectivo mensual, lo que permiti acumular un monto de S/. 2 000 Cul fue el importe del capital original?
24. Cunto debo invertir hoy para acumular S/. 20 000 dentro de 120 das en una institucin de crdito que paga una tasa nominal anual del 24% con capitalizacin diaria?
25. Cunto podr disponer hoy, si me han descontado un paquete de 4 letras cuyos importes son S/. 2 000, 6 500, 8 000 y 7 500 las cuales vencen dentro de 15, 30, 45 y 60 das respectivamente? La tasa efectiva quincenal que cobra la entidad financiera es del 1%
26. Cul sera el precio de contado de un artculo ofertado al crdito con una cuota inicial de S/. 2 000 y 4 cuotas de S/. 500 cada una pagadera cada fin de mes? Se requiere ganar una tasa efectiva mensual del 3%.
27. En el proceso de adquisicin de una mquina se tienen las siguientes alternativas:
a) Inicial de S/. 2 000 y 2 cuotas mensuales de S/ 2 000.
b) Inicial de S/. 1 520 y 3 cuotas mensuales del mismo importe de la cuota inicial.28. Cul es la mejor oferta considerando un costo de oportunidad del 3%?.29. La empresa Indutrust en la adquisicin de un grupo electrgeno est evaluando las siguientes propuestas:
c) $ 8 000 al contado.
d) Al crdito con una inicial de $ 2 000 y 6 cuotas de $ 1 200 c/u con vencimiento cada 30 das.
Considerando que Indutrust tiene una tasa de rentabilidad en dlares del 6% mensual, qu opcin le conviene? por qu?.
30. Si se ha descontado una letra con valor nominal de S/. 3 000, la cual vence dentro de 38 das y la tasa efectiva mensual que cobra el banco es 2%, cul es el importe neto que me deben abonar?.
31. Una letra con valor nominal de S/. 50 000 ha sido descontada en un banco faltando 45 das para su vencimiento, a una tasa efectiva bimestral Cul ser el monto a pagar en esa fecha?.32. Haciendo uso de una lnea de descuento, el Banco Interamericano descont a una empresa 2 letras cuyos valores nominales fueron de S/. 10 000 y S/. 20 000 siendo sus vencimientos dentro de 25 y 35 das respectivamente. Cul es el valor presente de ambas letras considerando una tasa efectiva trimestral del 9%?.33. El 8 de agosto el Banco Continental descont exportaciones Tradicionales S.A. (Extasa), un pagar con valor nominal de $ 9 000 y con vencimiento el 7 de setiembre. Si la tasa efectiva anual durante ese perodo fue del 15%, qu importe abon el Banco Continental en la cuenta corriente de Extasa el 8 de agosto?.
34. El 24 de setiembre se efectu un depsito en un banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 4% la cual vari el 16 de octubre al 4,2% y al 4,5% el 11 de noviembre. El da de hoy, 25 de noviembre, el saldo de la cuenta es de S/. 6 500. Qu importe se deposit originalmente? Cul fue la tasa acumulada?.35. Calcular el valor presente de un importe de S/. 15 000 que se recibir dentro de 30 das, si la vigencia de la tasa efectiva mensual ser 8 das al 2% y 22 das al 1,5%.
36. Los flujos de caja y las inflaciones mensuales proyectados por la empresa Agroexport S.A. se muestran en el cuadro adjunto. Calcule el valor presente de dichos flujos.
37. Despus de 3 meses de haber colocado un capital de S/. 3 000 se obtuvo un monto de S/. 3 500 A qu tasa de inters efectivo mensual se coloc el capital?.38. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en S/. 2 000 y vendido al cabo de 90 das en S/. 2 315,25.
39. A qu tas efectiva mensual una inversin de S/. 10 000 se convirti en un monto de S/. 11 151,23 si fue colocada durante 67 das?
40. A qu tasa efectiva mensual una inversin de S/. 10 000 se convirti en un monto de S/. 11 151,23 si fue colocada durante 67 das?.
41. Calcule la tasa de rentabilidad efectiva anual de un capital de S/. 5 000 que en el lapso de 88 das produjo un inters efectivo de S/. 500..
42. La poblacin de una ciudad se triplica cada 25 aos Qu tasa de crecimiento promedio anual tiene?
43. Una persona deposita S/. 2 000 en el Banco Norsur percibiendo una tasa efectiva mensual del 4%. En la misma fecha deposita S/. 5 000 en el banco Surnor percibiendo una tasa nominal anual del 48% con capitalizacin trimestral. Calcule la tasa efectiva mensual promedio que gan por ambos depsitos durante 8 meses.
44. La empresa Jacobs tiene en un banco una deuda de S/. 10 000 que vence dentro de 48 das por la cual paga una tasa efectiva mensual del 3% .
Adems tiene otra deuda de S/. 15 000 por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4% la cual vence dentro de 63 das, Jacobs propone pagar ambas deudas con el descuento de un pagar con valor nominal de S/. 27 033 el mismo que vencer dentro de 90 das. Qu tasa efectiva mensual est cargando el banco a Jacobs? 45. Despus de colocar un capital de S/. 1 000 a una tasa de inters efectiva del 4% mensual se ha obtenido un monto de S/. 1 500. A qu tiempo se coloc el capital? 46. En cuntos das podr: a) triplicar y b) cuadriplicar un capital a la tasa efectiva anual del 50%?.
47. En cuntos meses acumular S/. 5 341,18 si he colocado un capital de S/. 5 000 en un banco que paga una tasa efectiva trimestral del 2%?
48. Cunto tiempo ser necesario para que un depsito de S/. 1 000 efectuado hoy y un depsito de S/. 1 500 que efectuar dentro de 4 meses en un banco, ganando una tasa efectiva mensual del 4% se conviertan en S/ 4 000?
49. Cunto tiempo deben transcurrir para que los intereses generados por un capital sean igual al mismo capital colocado a una tasa del 5% de inters efectivo mensual?
50. Cunto tiempo debe transcurrir para que la relacin entre un capital de S/.
8 000 colocado a una tasa del 4% efectivo mensual y su monto, sea de 4/10? 51. En cunto tiempo (contado desde el momento 0) un monto de S/. 6 000 sustituir tres deudas de 30,60 y 90 das respectivamente a una tasa efectiva mensual del 3%. 52. Qu tiempo debe transcurrir para que un capital de S/. 5 000 colocado a una tasa efectiva mensual del 6& iguale al monto producido por otro capital de S/.
8 000 colocado a una tasa efectiva mensual del 4%?.
53. Calcule el inters que, ha producido un capital de S/. 7 000, a una tasa efectiva mensual del 1% por el perodo comprendido entre el 3 de abril y 6 de junio del mismo ao.
Cunto de inters se pagar por un prstamo de S/. 6 000 que devenga una tasa efectiva trimestral del 2%? El crdito se ha utilizado durante 67 das.
54. Calcular el inters bimestral que habr ganado un depsito de ahorros de S/.
5 000 colocado a una tasa nominal anual del 24% con capitalizacin trimestral. 55. Si deseo ganar un inters de S/. 1 000 al trmino de 2 meses, qu capital debo colocar en un banco que paga una tasa efectiva mensual del 1,5%? 56. Una inversin efectuada en la Bolsa de Valores produjo un inters de S/. 1 300 durante 77 das; en ese lapso de tiempo la tasa acumulada fue del 5,4%. Cul fue el importe original de la inversin?
La rentabilidad de un paquete accionario adquirido en Bolsa hace 23 das fue de S/. 500. La tasa de inters efectiva acumulada en 30 das por las acciones de esa empresa fue de 3,9%. Cul fue el precio de adquisicin del paquete accionario?
57. Qu tasa de inters anual, tendra que recibir Carlos Segura para que su depsito inicial de S/. 16,500 se convierta en S/. 186,483.9644 al cabo de 10 aos?
58. Cuando muri el Sr. Fortn sus albaceas descubrieron que 20 aos antes haba hecho un depsito de S/. 4,000 en dos bancos distintos. Uno de ellos pag, durante esos 20 aos intereses a razn de 9% anual capitalizable trimestralmente, en tanto que el otro pago el 9% capitalizable semestralmente.
Comprese el inters efectiva ganado por cada uno de los depsitos de S/. 4,000.
59. Cul es la tasa efectiva ganada por un capital depositado en un banco de ahorro cuando la tasa nominal es de 16% capitalizable trimestralmente?
60. Qu tasa nominal, capitalizable mensualmente, es equivalente a una tasa efectiva del 18% anual?
61. Per tena en 1950 una poblacin de 8860.000 habitantes. En 1975 esta cifra haba crecido hasta 15643,612.00 Cul fue la tasa anual aproximada de crecimiento durante este cuarto de siglo?
62. J. Henrquez ofreci comprar un pagar de S/. 1,500 que no devengaba inters y venca a los seis meses, en un precio tal que le produjeran el 2.5%.
63. En la tumba de Tut-Ankh-Amen se descubrieron tesoros cuyo valor se estimulo en $15000,00 y que haban estado enterrados durante 3,500 aos. Si es suma de dinero se hubiese podido mantener invertida al 1% capitalizable semestralmente, durante ese largo periodo de tiempo. Cul hubiera sido su valor acumulado?
64. A que tipo aproximado de inters anual se triplicara un capital en 5 aos?
UNIDAD II
VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
RENTAS O ANUALIDADES.3.9. Concepto.Son una sucesin de pagos peridicos (anual, semestral, trimestral, etc) que por lo general son constantes y que pueden ser cubiertos al comienzo o final de cada periodo. Cada pago o depsito est sujeto a un inters compuesto por el tiempo que permanece colocado o por el tiempo que se le descuenta.
42. Se llaman rentas temporales porque tienen duracin limitao de n perodos, siendo ste el nmero de pagos.
43. Son rentas perpetuas cuando su duracin es ilimitada.
44. Son rentas inmediatas cuado comienzan a pagarse al principio de cada operacin, ya sean adelantadas o vencidas.
45. Son rentas diferidas porque en un primer momento no se efecta ningn pago y luego de este periodo de gracia recin se efectan los pagos, ya sean adelantadas o vencidas.
3.10. Clasificacin.a)Anualidades o flujos inciertosLlamados tambin eventuales o contingentes, son aquellos en que la serie de pagos est en funcin de algn acontecimiento externo. Por ejemplo, un contrato entre una persona y una compaa de seguros de vida por el cual se obliga a pagar una suma fija de dinero al asegurado mientras ste contina con vida. Como puede apreciarse el importe de pago es conocido pero la duracin es incierta.
La aplicacin de este tipo de flujos corresponde ms bien al campo de la matemtica del seguro o actuarial, que no tocaremos.
b)Anualidades o flujos ciertos.Son aquellas en que la duracin de la serie de pagos se estipula previamente en trminos concretos. Dicha duracin puede ser de duracin precisa o de duracin limitada, originando dos grupos.
i. Temporales y
ii. Perpetuos.
A su vez, cada uno de estos grupos se subdividen en 4 clases, atendiendo al momento en que el pago tiene lugar en cada periodo, esto es:
a. Vencidos. Pagos a fin del periodo (mes, trimestre, ...)
b. Anticipados. Pagos al inicio del periodo.
c. Diferidos anticipados. Pagos al inicio del periodo con periodos de gracia.
d. Diferidos vencidos. Pagos al final del periodo con periodo de gracia
3.11. Diagrama de las anualidadesTEMPORALESVencidos
R R R R R
0 1
2 3 4 n
Anticipados
R R R R R
0
n
Diferidos
R R R RVencidos 0 m
Diferidos
R R R R
Anticipados 0
m
PERPETUOS:
El diagrama es e mismo, con la diferencia que el horizonte (el final) es infinito.
Debe tenerse presente que todas las frmulas matemticas financieras, se basan en flujos vencidos.
100 / (1.08) =85.7339
Los 100 del perodo 3, actualizados:
100 / (1.08) =79.3832
Los 100 del perodo 4, actualizados:
100 / (1.08)4 =73.5030
En consecuencia la sumatoria de los R en su valor actual, ser el capital prestado de:
Del periodo 1: 92.5926
Del periodo 2: 85.7339
Del periodo 3: 79.3832
Del periodo 4: 73.5030
331.2127
El capital es el dinero que recibi Matas como prstamo.
Para encontrar en forma directa el capital de una serie uniforme:
C=Rx (1 + i)n-1
(1 + i)nxiEn el problema dado:
C=100x (1 + 0.08)4-1
(1 + 0.08)4 x 0.08C=331.2127
Como se aprecia el resultado es el mismo.
Al factor (1 + i)n-1 se le conoce como
(1 + i)n x i3.11.1. Factor de actualizacin de la serie.Clculo de la Renta ( R) en una anualidad:
Se presentan dos casos:
a. Se conoce el monto final (M), el inters (i), y el tiempo (n) , pero se desconoce el flujo peridico de pagos (R).
A Matas la entidad financiera le dijo que al final del cuarto mes debe cancelar 450.6112, por el prstamo recibido de 331.2127, a una tasa del 8% de inters mensual. Matas evidentemente desea saber cunto debe depositar al final de los meses 1, 2, 3 y 4 para obtener dicho monto.
X
X
X
X
450.6112
Como se observa, se conoce M, i, n; pero se desconoce R vea que en la siguiente frmula ya conocida se conoce R, pero se desconoce M:
M=Rx (1 + i)n-1
1
En consecuencia se dar vuelta a dicha frmula, para que R se convierta en incgnita:
R=Mx 1
(1 + i)n-1Reemplazando:
R=450.6112x 0.08
(1 + 0.08)n-1
R=100
Al factor:
1
se le conoce :
(1 + i)n-13.11.2. Factor de Depsito al Fondo de Amortizacin (FDFA).Porque se depositara una cantidad de dinero, generando un Fondo, para Amortizar un monto en el momento n
b. Se conoce el capital prestado, el inters y el tiempo pero se desconoce el flujo peridico de pagos.
A Matas la entidad financiera le otorg un prstamo de 331.2127, a una tasa del 8% de inters mensual. Matas evidentemente desea saber cunto debe depositar al final de los meses 1, 2, 3 y 4 para cancelar dicho prstamo.
0
x
x
x
x
331.2127 Prstamo obtenido en el momento 0
De lo que se trata es de determinar los flujos peridicos, de tal manera que al final del 4to periodo se cancele el capital prestado y los intereses.
Recuerde que para encontrar el capital de una serie uniforme se usa la frmula:
C=Rx (1 + i)n-1
(1 + i)nxien este caso, la incgnita es R, conociendo C, por tanto hay que darle vuelta a la frmula:
R=Cx (1 + i)n x i
(1 + i)n - 1En el problema dado:
R=331.2127x (1 + 0.08)4 x 0.08
(1 + 0.08)4 - 1R = 100
Al factor (1 + i)n x I se le conoce como:
(1 + i)n - 1Factor de Recuperacin de capital (FRC)
3.12. Problemas diversos1. Hallar el monto de un capital de S/. 1600,000 luego de 1 ao y medio en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente.
0
12 3 4 5 6TRIMESTRES
Datos:
Solucin
S = .?
S = P x FSC6 0.085
P = 1,600,000
S = 1,600,000 (1.085)6n = 6 TrimestresS = 2, 610,348
i = 0.34 = 0.085
4
2. Cual es el capital que colocado al 34% anual capitalizable trimestralmente luego de 18 meses nos da un monto de S/. 2,610.348
0
12 3 4 5 6 TRIMESTRES
Datos
SolucionP = .?
P = S x FSA
S = 2,610.318
P = 2,610,348 x 1(1.085)6n = 6 Trimestres
i = 0.34 = 0.085
P = 1,600,000
4
3. Se obtiene un prstamo de S/. 1,600,000 a devolverse en un ao y medio en cuotas trimestrales a la tasa del 34% anual capitalizable trimestralmente. Hallar el valor de las letras de devolucin del prstamo.
0
12 3 4 5 6 TRIMESTRES
Datos
Solucion
R = .?
R = P x FRC6 0.085
S = 1,600.000
P = 1,600,000 x 0.085 (1.085)6(1.085)6 - 1
n = 6 Trimestres
i = 0.34 = 0.085
R = 351,371.33 4
4. A cuanto equivale hoy sucesivos depsitos trimestrales de S/. 351,371 durante 1 ao y medio en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente.
0
12 3 4 5 6 TRIMESTRES
Datos
P = .?
R = 351,371.33n = 6 Trimestres
i = 0.34 = 0.085
4
5. En cuanto se convierten sucesivos depsitos trimestrales de S/. 351,371.33 durante 1 ao y medio en un banco que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente.
R R R R R
0
12 3 4 5 6 TRIMESTRES
Datos
SolucionS = .?
S = R x FCS6 0.085
R = 351,371.33
S = 351,371.33 x (1.085)6 0.085
n = 6 Trimestres
i = 0.34 = 0.085
S = 2,610.348 4
6. Una maquinaria debe costar dentro de 1 ao y medio S/. 2,610.348 que paga el 34% anual capitalizable trimestralmente para poder comprar la maquinaria.X
XX X X
XX
=
== = =
==R
RR R R
RR0
12 3 4 5 6 TRIMESTRES
Datos
Solucion
R = .?
R = S x FDFA6 0.085
S = 2,610.348
P = 2,610,348 x 0.085 (1.085)6 - 1
n = 6 Trimestres
i = 0.34 = 0.085
R = 351,371.33 4
4.6. LABORATORIO N 41. Cul es el monto final a obtener el da que se jubile si se deposita mensualmente en una AFP cada fin de mes S/. 80.00, durante 470 meses a la tasa de inters mensual mnima al 1%.
2. Una persona debe 24 letras mensuales de S/. 250.00, la tasa de inters pactada es del 24% anual. Si no ha pagado las ltimas seis letras. Cunto deber pagar en el sptimo mes?
3. Un padre de familia deposita el da de hoy rentas trimestrales del S/. 480.00 durante 5 aos, la tasa inters anual es del 26% Cul ser el monto final a obtener?
4. Cul es el monto que se espera recibir despus de aportar 450 meses en una AFP cuotas de S/. 280 soles, considerando una tasa de inters mensual de 0.06%.
5. Una persona debe 7 letras mensuales de 800 y desea cancelar su deuda el da de hoy, Si la tasa de inters mensual es de 2% cuanto se tendr que cobrar.
6. El dueo de una propiedad cobra por el alquiler de ella S/. 6,000 por mes adelantado. Hallar la prdida que le significa en dos aos, si el arrendamiento le paga por mes vencido, (tasa nominal 84% capitalizable mensualmente.
7. Cunto se deber depositar mensualmente para que al cabo de seis meses se pueda formar un monto de $ 2,000 si la tasa de inters anual es 7%.
8. Suponiendo que solo se dispone de $ 100 mensuales en cuanto tiempo se lograr formar dicho monto.
9. Qu suma debe depositar una persona en un banco de ahorro cada ao si dentro de 5 aos desea hacer un viaje a Inglaterra, para que el que necesitara $ 2,500, el banco abona el 9% de inters anual capitalizado anualmente.
10. Con el objeto de ampliar su negocio un comerciante contrae una deuda a 3 aos por S/. 1800,00 con el 32% de inters capitalizable trimestralmente. Para cancelar la deuda, ahorra cierta cantidad cada comienzo de trimestre, en una cuenta de ahorros que paga el 29% capitalizable trimestralmente. Hallar el desembolso trimestral que tiene el comerciante.
11. Cual es el valor de un artefacto por el cual se paga una cuota inicial de $ 100 y 7 letras mensuales igual a la cuota inicial, la tasa de inters es 2% mensual.
12. Cuanto se deber ofrecer el da de hoy para cancelar 15 letras de $ 250 si la tasa de inters mensual es del 2%
13. Cul es el prstamo por el cual se paga rentas mensuales de $ 200 durante 2 aos y medio y la tasa de inters anual es de 26%.
14. Se hace un prstamo que ser pagado en 36 cuotas mensuales de $ 200 cada una con una tasa de inters mensual del 2%.
a. Hallar el valor del prstamo.
b. Si no se pagan las 8 primeras letras cuanto se deber cancelar en el noveno mes.
c. Si faltan 10 letras para cancelar, cuanto se deber ofrecer el da de hoy.
d. Si no se cancelan las 11 primeras letras y en el 12vo mes se quiere cancelar el integro de la deuda cuanto se deber ofrecer.
15. Una persona que viaje fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 aos, con la condicin que se pague S/. 9,000 por trimestre vencido que sern consignados en una cuenta de ahorros que paga 21% anual. Hallar el monto en los aos y el valor actual del contrato de alquiler.
16. Una compaa vende refrigeradoras con una cuota inicial de S/. 2500 y 14 mensualidades de S/. 700 si se carga el 30% de inters con capitalizacin mensual, hallar el valor de contado.
17. La iglesia de la Ascensin est pagando un rgano que adquiri recientemente por medio de pagos de S/. 640 al comienzo de cada trimestre. Transcurrido un ao cuando an le quedan por hacer 8 pagos, la iglesia recibe algunos donativos que le permiten liquidar de una vez la deuda pendiente. Cunto tendr que liquidar en la fecha indicada, si el inters se calcula sobre la base del 60% efectivo anual?.
18. Una persona debe 7 letras de 200 incluyendo la de este mes. Negocia pagar el integro de la deuda en 3 cuotas mensuales con el 2% de inters. Hallar el valor de las cuotas.
Hallando el monto adecuado a la fecha S = 1486.86
Hallando el valor de las cuotas.
19. Un artculo cuesta 179.00 se quiere implantar un sistema de crdito con 3 meses de gracia y 6 letras mensuales con el 2%. Plantee como vendera el producto.
Hallando el monto a tres meses M = 189,96
Hallando el valor de cada cuota.
20. Un artculo cuesta 182 y se desea disear un sistema de crdito con una cuota inicial y 7 letras similares a las cuotas inicial con el 2% de inters. Plantee el sistema de crdito.
21. Halle el valor de las 12 cuotas mensuales por un prstamo de $ 1,000 con el 5% de inters mensual.
22. Un club de tenis compra terrenos adicionales que le cuestan S/. 3800,000 paga S/. 800,000 al contado y se compromete a pagar el resto, con el inters al 28% anual capitalizable mensualmente. En 6 pagos mensuales iguales. Cul es el importe del pago mensual?
23. Un comerciante vende lavadoras a S/. 269,000 al contado. Promueve su venta a plazos a 12 meses sin cuota inicial, con un recargo del 48% anual capitalizable mensualmente. Hallar la cuota peridica.
24. Cul es la tasa de inters que se paga por un artculo que cuesta 149 con 5 cuotas mensuales de 35.854?
25. Una mquina de coser se vende en S/. 4,200. Si la venta es al contado se descuenta el 18%. A plazos, se puede comprar con una cuota inicial de S/. 1,200 y el saldo en 12 cuotas mensuales. Hallar el valor de las cuotas y la tasa efectiva de inters anual cargado.
26. El Sr. X extranjero que radica en el pas, posee un fundo Agroindustrial en Satipo, Junn y habiendo decidido retornar a su pas desea venderlo en 4 partes anuales iguales a la valorizacin que proporcionen las utilidades netas del fundo, calculadas en funcin de las plantaciones, en diversas etapas de su crecimiento, todo destinadas a la exportacin.
El seor X ha calculado.
El seor X ha calculado.
El seor X ha calculado.
El seor X ha calculado que las utilidades empezaran a ser efectivas a partir del quinto ao sobre el ao presente, designando 0 al ao presente. El programa de utilidades netas ha sido previsto para 15 aos as como sus correspondientes tasas de inters, segn el cuadro que se describe a continuacin.
Aos
Utilidades netas
tasa
Del 0 al 5
-----
10%
Del 5 al 8
10000
10%
Del 8 al 9
12000
11%
Del 9 al 1514000
12%
Cunto pedir por cada cuota de pago el Sr. X?
27. Un gerente halla que si compra una nueva computadora personal que cuesta 2500 podr prescindir de los servicios de un empleado cuyo sueldo asciende a 790 por ao.
28. Cuntos aos tendr que prestar servicio la computadora suponiendo un rendimiento del 10% anual para que el gerente decida que le conviene la compra.
29. Cual de estas dos maneras de acumular 100000 es la ms rpida. Depositar 8200 en un banco que paga el 44% anual, cuanto capitalizable trimestralmente, o depositar en ese mismo banco 990 al comienzo de cada trimestre.
30. Una persona tiene que pagar una anualidad 56000 trimestrales durante 8 aos. Si no efecta los 4 primeros pagos, cuanto debe pagar al vencer la quinta cuota, para poner al da su deuda si la tasa de operacin es 36% anual con capitalizacin trimestral.
31. Cual es el valor al contado de un equipo comprado con el siguiente plan: 44000 de cuota inicial, 4600 mensuales durante 15 meses y un ultimo pago de 7400 si se carga el 35% anual con capitalizacin mensual.
32. Para mantener en buen estado cierto puente es necesario repararlo cada 6 aos con un costo de 2600,000. El municipio desea establecer una reserva mensual para reparaciones futuras del puente. Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 56% de inters efectivo anual halle el valor de los depsitos mensuales antes y despus de que el banco elevara la tasa de inters.
33. Una persona necesita reunir 900,000 en 9 meses y con este fin hace depsitos iguales cada fin de mes en un banco que abona el 6% de inters efectivo mensual. Transcurridos 4 meses, el banco eleva la tasa al 8%. Hallar el valor de los depsitos mensuales antes y despus de que el banco elevara la tasa de inters.
34. Al cumplir un joven 12 aos, su padre deposita 90000 en un banco que abona el 32% anual capitalizable mensualmente, para que al cumplir el hijo 18 aos, reciba una renta anual suficiente para costear sus estudios universitarios, durante 5 aos. Hallar el costo anual de los estudios.
Una ley de incentivos para la agricultura permite un agricultor adquirir equipos por un valor de 80000 para pagarlos dentro de 2 aos, con 8 cuotas trimestrales. Si la ley fija el 6% de inters anual para estos prestamos, halle el valor de las cuotas trimestrales.
35. Efecte las seis transformaciones financieras equivalentes, considerando un capital inicial de S/. 5000, una TNA del 36% anual con capitalizacin mensual y 5 rentas uniformes vencidas de 90 das cada una.
36. Utilizando una TEM del 3% y 24 cuotas mensuales calcule los valores de los 6 factores financieros.
37. Utilizando una TEM del 3% y 8 cuotas trimestrales vencidas calcule los valores de los 6 factores financieros.
38. Se necesita un financiamiento bancario de S/. 4 000 bajo la modalidad de descuento. Por qu monto debe aceptarse un pagar para descontarlo a 45 das a una TEM del 4% Rp. S = 4 242,38?
39. Por qu monto debe extenderse una letra a 90 das para obtener un efectivo de S/. 2 000 despus de descontarla a una TNA del 12% con capitalizacin diaria Rp. S = 2 060,90?40. Una persona deposita en una cuenta de ahorros al final de cada trimestre un importe constante de S/. 2 000 Qu monto acumular trimestralmente?
41. Qu monto puede constituirse durante 3 aos depositando S/. 1 000 cada fin de mes y percibiendo una TNA del 24% con capitalizacin mensual?
42. Cul ser el importe capitalizado al final del sexto mes, efectuando depsitos de S/. 1000 cada 30 das en una institucin bancaria que paga una TNA del 36% con capitalizacin trimestral?
43. Qu monto se habr acumulado en una cuenta de ahorros si a fin de mes y durante 8 meses consecutivos se deposit S/. 800 en un banco que paga una TEA del 12%?
44. Un crdito mutual fue pactado a ser cancelado en 20 cuotas uniformes de S/. 250 cada una, cada fin de trimestre pagando una TNA del 36%.
45. El cliente habiendo cumplido puntualmente sus pagos, al vencimiento de la duodcima cuota decide cancelarla conjuntamente con las cuotas insolutas. Cul es el importe total a cancelar en esa fecha?
46. Calcule el precio de contado equivalente de una maquinaria vendida con una cuota inicial de S/. 2 000 y 12 cuotas mensuales de S/. 300, utilizando una TET del 9%.}
49. Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 20 rentas uniformes
vencidas de S/. 2 000 cada una, a una TEM del 4%. La primera renta se pagar dentro de tres meses y las siguientes en perodos de 3 meses cada uno..
50. La empresa Alfa alquila un local comercial durante 5 aos por un importe anual de $ 12 000 pagadero $ 3 000 por trimestre vencido. Alfa recibe como alternativa del arrendatario la propuesta de efectuar un nico pago de $ 17 000 al inicio del contrato. Considerando que Alfa puede invertir el importe de los alquileres que percibir a una TEM del 5% le conviene la alternativa propuesta?AMORTIZACIONES
3.13. Concepto.Es el proceso financiero mediante el cual una deuda u obligacin y los intereses que generan, se extinguen progresivamente por medio de pagos peridicos o servicios parciales, que pueden iniciarse conjuntamente con la percepcin del stock de efectivo recibido (flujos anticipados), al vencimiento de cada periodo de pago (flujos diferidos). De cada pago, cuota o servicio, una parte se aplica a cubrir el inters generado por la deuda y el resto a disminuir el saldo insoluto. Se infiere que si el pago parcial efectuado es tan pequeo que no puede cubrir ni siquiera el inters generado por el saldo insoluto, entonces la diferencia no cubierta es capitalizada.
5.2.TIPOS DE AMORTIZACIN.1. PLAN DE CUOTAS CONSTANTES (ALEMAN)
El R, que es constante (anualidad o renta)
El R contiene:
La amortizacin de la deuda y
El inters que se paga
El R representa el plan de cuotas constantes.
PeriodoSaldo deudaInteresesAmortizacinPagos (amort. Int.)
1
2
3
4
5
610000
8857.63
7543.91
6033.13
4295.73
2297.721500
1328.65
1131.59
904.97
644.36
344.661142.37
1313.73
1510.78
1737.40
1998.01
2297.712642.37
2642.37
2642.37
2642.37
2642.37
2642.37
Como se aprecia los intereses decrecen (porque se paga sobre el saldo), la amortizacin crece y los pagos son constantes.
Interrogantes:
1. Por que la sumatoria de las R es diferente al M.
2. Como hallara el plan de cuotas constantes (R) si tuviera como informacin el inters efectivo anual, por ejemplo 435.025% efectivo anual.
3. Si el banco estima que solamente hasta el 40% del ingreso mensual del solicitante debe destinarlo a pagar deudas, cuanto debe ser su ingreso mensual?
2. PLAN DE CUOTAS DECRECIENTES (FRANCS).
Plan de amortizaciones constantes.
Las cuotas de amortizacin se dividen en partes iguales.
Los intereses se pagan sobre el saldo = al rebatir.
PeriodoSaldo deudaInteresesAmortizacinPagos (amort. Int.)
1
2
3
4
5
610000
8333.33
6666.66
4999.99
3333.32
1666.651500
1249.9995
999999
749.9989
499.998
249.99751666.67
1666.67
1666.67
1666.67
1666.67
1666.673166.67
2916.6695
2666.669
2416.6685
2166.668
1916.6675
10000
Observe qu
