Mat ii álxebra e

PRÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS

(CON ACTIVIDADES DE NIVELACIÓN)

José Ricardo López Saavedra

IES As Mariñas

Matemáticas II — Álxebra

2011

–201

2

USO DE CALCULADORAS E SOFTWARE MATEMÁTICO

Usaranse as calculadoras da marca Texas Instruments seguintes: TI-89, TI-89 Titanium, Voyage200 e TI-nspire CAS polos seguintes motivos:

— Son calculadoras con un sistema alxébrico computacional ou sistema de álxebra computacio-nal SAC (CAS, do inglés computer algebra system) e facilitan o cálculo simbólico.

— Teñen un prezo asequible.

— Pesan e consumen pouco, polo que poden transportarse facilmente, e usarse en calquera en-torno.

— Son útiles para o ensino universitario, dado que polas súas características poden usarse no es-tudo de carreiras técnicas: enxeñerías, arquitectura, matemáticas, … como do ámbito dasciencias sociais: económicas, empresariais, …; tamén se poden utilizar para o estudo de FP.

— Dispoñen de emulador gratuíto, e pode tamén descargarse gratuitamente o sistema operativo(ROM) das calculadoras da páxina web oficial de TI, polo que, de dispoñer de ordenador po-de traballarse con estas calculadoras baixo un emulador.

— Son programabeis, polo que poden adaptarse ás necesidades particulares de cada alumno.

— Existen miles de programas gratuítos para estas máquinas, que van dende xogos ata aplica-cións específicas para enxeñería.

— Existen programas comerciais para estas máquinas, que aumentan a súa potencialidade.

Datos do software para ordenador e para calculadoras utilizado

http://education.ti.com/educationportal/sites/US/nonProductMulti/apps_latest.html

— Dende esta páxina —páxina oficial de Texas Instruments— poden descargarse gratuitamente os sistemas operativos para esascalculadora, programas, aplicacións flash, manuais de usuario das calculadoras, do software, …

http://www.ticalc.org/

— Dende esta páxina poden descargarse miles de programas e utilidades para as calculadoras citadas: emuladores, utilidades pa-ra windows, programas de aplicación, xogos, …

http://education.ti.com/educationportal/sites/ESPANA/homePage/index.html

— A páxina oficial de Texas Instruments en España.

http://www.ti89.com/

— É a páxina oficial dos programas para calculadoras TI «Calculo Made Easy» ou a súa versión en español «Calculo Manera Fa-cil», e «Algebra Made Easy» e outros.

http://math.exeter.edu/rparris/

— Dende esta páxina pode descargarse todos os programas da serie “Peanut”: Wingeom, Winplot, Winstats, Winarc, Winfeed ,Windisc, Winmat , Wincalc, Winwordy, Winlab, …

http://padowan.dk/graph/ http://www.grapheeasy.com/

— Páxina oficial do programa Graph. — Páxina oficial do programa Graphe Easy.

http://www.graphmatica.com/ http://www.dessci.com/en/

— Páxina oficial do programa Graphmatica. — Páxina oficial do programa MathType.

http://www.cabri.com/es/ http://www.geometryexpressions.com/index.php

— Páxina oficial dos programas Cabri II Plus e Cabri 3D. — Páxina oficial do programa Geometry Expresións

http://www.dynamicgeometry.com/ http://www.cinderella.de/tiki-index.php

— Páxina oficial do programa Geometer Sketchpad. .— Páxina oficial do programa Cinderella.

http://www.geogebra.org/cms/ http://www.rene-grothmann.de/car.html

— Páxina oficial do programa Geogebra. — Páxina oficial do programa Regla y Compás.

http://www.microsoft.com/es/es/default.aspx http://www.corel.es

— Páxina oficial dos programas Windows, Word, Excel, Vis-sio, PowerPoint, …

— Páxina oficial dos programas CorelDraw, Corel Photo-Paint,…

Recoñecemento de marcas rexistradas: as marcas aquí citadas, comerciais ou non, son marcasdos seus propietarios respectivos, e aquí son citadas co único fin de divulgación docente.

Prácticas para resolver problemas3

Prácticas

TÁBOA DE CONTIDOS

Matrices ............................................................................................................................................................ 51. Concepto de matriz .................................................................................................................................... 5

1.1. Algúns tipos de matrices, atendendo á forma ..................................................................................... 61.1.1. Matriz fila e matriz columna .............................................................................................................................61.1.2. Matriz cadrada. Elementos ..............................................................................................................................71.1.3. Matriz transposta..............................................................................................................................................71.1.4. Matriz simétrica e antisimétrica........................................................................................................................8

1.2. Algúns tipos de matrices, atendendo aos elementos .......................................................................... 91.2.1. Matriz nula........................................................................................................................................................91.2.2. Matriz diagonal.................................................................................................................................................91.2.3. Matriz unidade ou matriz identidade ..............................................................................................................101.2.4. Matriz triangular .............................................................................................................................................101.2.5. Matriz de permutación ...................................................................................................................................10

2. Uso de calculadoras e software matemático ........................................................................................... 10

3. Submatrices ............................................................................................................................................. 12

4. Operacións con matrices ......................................................................................................................... 144.1. Suma e resta de matrices.................................................................................................................. 14

4.1.1. Propiedades da suma de matrices ................................................................................................................144.2. Produto dun número por unha matriz—produto externo ................................................................... 15

4.2.1. Propiedades do produto externo....................................................................................................................164.2.2. Espazo vectorial Mm,n,+, ...........................................................................................................................16

4.3. Produto dunha matriz fila por unha matriz columna.......................................................................... 174.4. Multiplicación de matrices ................................................................................................................. 18

4.4.1. Propiedades do produto de matrices .............................................................................................................214.4.1. Matriz inversa.................................................................................................................................................234.4.2. Para non despistarse .....................................................................................................................................24

4.5. Outros tipos de matrices.................................................................................................................... 244.6. Resumo das propiedades das operacións para matrices cadradas.................................................. 25

4.6.1. Propiedades das operacións internas............................................................................................................254.6.2. Propiedades da operación externa ................................................................................................................25

5. Complementos teóricos para o estudo de matrices................................................................................. 305.1. Espazos vectoriais............................................................................................................................. 305.2. n-uplas de números reais .................................................................................................................. 305.3. Combinación lineal de vectores......................................................................................................... 315.4. Dependencia e independencia lineal................................................................................................. 31

5.4.1. Número de n-uplas LI ....................................................................................................................................325.4.2. Propiedade fundamental ................................................................................................................................325.4.3. Dependencia lineal de .............................................................................................................................32

6. Rango dunha matriz ................................................................................................................................. 346.1. Vectores fila nunha matriz ................................................................................................................. 346.2. Rango ou característica dunha matriz............................................................................................... 346.3. Vectores columna nunha matriz ........................................................................................................ 346.4. Cálculo do rango polo método de Gauss ou de transformacións elementais ................................... 35

6.4.1.Transformacións elementais...........................................................................................................................356.4.2. Método de Gauss para o cálculo do rango dunha matriz ..............................................................................35

7. Matriz inversa........................................................................................................................................... 397.1. Matriz inversa a partir da definición................................................................................................... 397.2. Método de Gauss para calcular a inversa dunha matriz ................................................................... 39

8. Funcións de TI para o cálculo matricial. Operacións con filas ................................................................. 52

9. Programando utilidades con TI ................................................................................................................ 539.1. Función gaussfm ............................................................................................................................... 539.2. Programa gaussm ............................................................................................................................. 54

Determinantes ................................................................................................................................................ 561. Determinantes: definición e propiedades................................................................................................. 56

1.1. Determinantes de orde 2 e 3. Regra de Sarrus................................................................................. 561.2. Propiedades dos determinantes........................................................................................................ 59

2. Menor complementario e adxunto............................................................................................................ 663. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña........................................................... 67

4. Método para calcular determinantes de calquera orde............................................................................ 71

4Prácticas para resolver problemas

Prácticas

5. Programando utilidades con TI ................................................................................................................ 785.1. Programa gaussmd ........................................................................................................................... 78

6. Métodos rápidos para determinantes grandes......................................................................................... 796.1. Método abreviado de Araiztegui........................................................................................................ 806.2. Método Pivotal ou de Chio ................................................................................................................ 816.3. Desarrollo simultáneo por unha fila e unha columna ou dobre desarrollo ........................................ 81

7. O rango dunha matriz a partir dos seus menores.................................................................................... 84

8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes ......................................................................... 888.1. Regra práctica para calcular a inversa dunha matriz ........................................................................ 88

Sistemas de ecuacións ................................................................................................................................. 99

1. Ecuacións e sistemas de ecuacións ........................................................................................................ 991.1. Lembrando algúns conceptos xa vistos ............................................................................................ 991.2. Sistemas de ecuacións.................................................................................................................... 1001.3. Equivalencia de ecuacións e sistemas............................................................................................ 1001.4. Resolución dunha ecuación ............................................................................................................ 1011.5. Afirmacións xerais acerca da equivalencia de ecuacións ............................................................... 1021.6. Afirmacións acerca do corolario ...................................................................................................... 1031.7. Ecuacións lineais ou de primeiro grao............................................................................................. 1031.8. Sistemas de ecuacións lineais ........................................................................................................ 1041.9. Transformacións válidas nun sistema de ecuacións lineais............................................................ 104

2. Sistemas de ecuacións con solución e sen solución ............................................................................. 1052.1. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con dúas incógnitas..................................... 1052.2. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con tres incógnitas....................................... 1062.3. Sistemas graduados........................................................................................................................ 1082.4. Como transformar un sistema noutro graduado.............................................................................. 1082.5. Matrices asociadas a sistemas........................................................................................................ 110

3. Método de Gauss................................................................................................................................... 111

4. Programando utilidades con TI .............................................................................................................. 1214.1. Programa gaussk ............................................................................................................................ 122

5. Resolución de sistemas mediante determinantes.................................................................................. 1235.1. Criterio para saber se un sistema é compatible .............................................................................. 1234.2 Regra de Cramer.............................................................................................................................. 1265.2. Aplicación da regra de Cramer a sistemas de calquera tipo ........................................................... 127

6. Sistemas homoxéneos........................................................................................................................... 131

7. Discusión de sistemas de ecuacións ..................................................................................................... 1327.1. Discusión usando o método de Gauss............................................................................................ 1327.2. Discusión mediante determinantes ................................................................................................. 137

8. Forma matricial dun sistema de ecuacións............................................................................................ 143

Prácticas xerais............................................................................................................................................ 1551. Exemplos de repaso para preparar o exame......................................................................................... 155

Problemas de exames ................................................................................................................................. 172

1. De Selectividade — Matemáticas II ....................................................................................................... 172

Cuestións, exercicios e problemas............................................................................................................ 189

Matrices5

Prácticas

MATRICES

1. Consideremos as notas obtidas por 35alumnos en 7 asignaturas. Estes resultados po-den rexistrarse nunha táboa de 35 filas e 7 co-lumnas, como se ve á dereita.

Nesta táboa cada fila corresponde a un alumno,e nela rexístranse as notas das súas sete asigna-turas; cada columna determina unha asignaturae, polo tanto, contén as notas dos 35 alumnosnesa asignatura.

A posición de cada cela da táboa está determina-da por un par de números, un que indica a fila eoutro que indica a columna.

Asignaturas

1 2 3 4 5 6 7

Alu

mn

os

1

2 52a

3

…

35

Táboa ,A i j

O conxunto de todas as celas ou posicións da táboa denótase por ,A i j , onde os elementos i e

j son dous índices, dos cales i recorre os números correspondentes ás filas (dende o 1 ao 35) e j

recorre os correspondentes ás columnas (dende o 1 ao 7).

A táboa numérica ,A i j tamén acostuma a indicarse por ija , onde ija é un elemento xenérico,

situado na fila i e a columna j . Na imaxe superior vese o elemento 25a , que se corresponde coa

segunda fila (alumno nº 2) e coa 5 columna (asignatura nº 5).

1. CONCEPTO DE MATRIZ

Chámase matriz de dimensións m e n —usualmente m n — sobre ou sobre a un

rectángulo de m filas e n columnas formado por elementos de ou :

mnmm

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

A

21

33231

22221

11211

• O símbolo ija designa a matriz completa. Tamén se representa por ijA .

• Cando queremos remarcar a dimensión escribimos ,ij m n

a , ,m nA ou ,m nA , separando

con coma os subíndices que indican a dimensión.

• Teoricamente os elementos levan dous subíndices, onde o primeiro indica a fila onde

se atopa o elemento e o segundo indica a columna: ija , elemento situado na fila i e na

columna j. Ás veces tamén se representa por ija , sendo i

j ija a .

2. Un exemplo de matriz é

1 5 3 7

2 1 1 11

4 3 4 3

; algúns elementos son 11 1a , 12 5a , 22 1a ,

23 1a , 31 4a , 34 3a .

3. Tamén son matrices

1 7 2 4

3 0.5 0 1

1 2 4 5

21 4 0 3

7

5

3

4

0

3 1 4

5 10 6

4 1 5

.

61. Concepto de matriz

Prácticas

Dúas matrices son iguais cando teñen a mesma dimensión e, ademais, coinciden termo atermo:

,

.

ij m n

ij ij

ij m n

A aA B a b

B b

4. As matrices3

1 8

b cA

a

e7 4

2

dB

e g

son iguais si 3d , 7b , 4c , 2a ,

1e e 8g . Noutro caso son distintas.

Dúas matrices son opostas cando teñen a mesma dimensión e, ademais, os termos son

opostos. Dada unha matriz ,m nA , a súa oposta indícase por ,m nA .

, ,, .m n ij m n ijm n m nA a A a

5. Obtén a matriz oposta da matriz

1 2 5 0 1

4 2 2 1 5

3 3 5 5 1

A

.

Solución:

1 2 5 0 1

4 2 2 1 5

3 3 5 5 1

A

1 2 5 0 1

4 2 2 1 5

3 3 5 5 1

A

.

1.1. Algúns tipos de matrices, atendendo á forma

Describimos algúns tipos de matrices que aparecen con frecuencia, debido á súa utilidade. Máisadiante veremos outros tipos.

1.1.1. Matriz fila e matriz columna

Matriz fila é que ten unha única fila: 1,nA

11 12 1nA a a a

6. Escribe un exemplo de matriz fila.

Solución:

21 4 0 3

7

.

Matriz columna é a que só ten unha columna: ,1mA

11

21

1n

a

aA

a

7. Escribe un exemplo de matriz columna.

Solución:

5

3

4

0

.

Matrices7

Prácticas

1.1.2. Matriz cadrada. Elementos

Matriz cadrada e que ten o mesmo número de filas que de columna: ,n nA . No caso contra-

rio chámase matriz rectangular.

11 12 1

21 22 2

31 32 3

1 2

n

n

n

n n nn

a a a

a a a

A a a a

a a a

• O conxunto de tódolos elementos da forma iia dunha matriz cadrada chámase diago-

nal principal.

12 1

21 2

31 32 3

1 2

11

22

n

n

n

n n nn

a a

a a

A a a a

a

a

a

aa

• O conxunto formado por tódolos elementos ija con 1i j n dunha matriz cadra-

da chámase diagonal secundaria.

11 1 1

21 2

3

2

1

1 3

1

1

1

n

n

n

nn

n

nn

n

n

a a

a a

A a a

a a

a

a

a

• Chámase traza dunha matriz á suma dos elementos da diagonal principal:

11 221

n

nn iii

Tr A a a a a

8. Escribe un exemplo de matriz cadrada, e remarca nela a diagonal principal e a diagonal se-cundaria.

Solución:

Matriz cadrada:

3 1 4

5 10 6

4 1 5

;

Diagonal principal:

3

1

1 4

5

1

0 6

4 5

; diagonal secundaria:

4

1

3 1

5

1

0 6

4 5

.

1.1.3. Matriz transposta

Chámaselle transposta dunha matriz ,ij m n

A a a outra matriz ,

tji n m

A a que se obtén

ao cambiar en A as filas polas columnas e as columnas polas filas.

81. Concepto de matriz

Prácticas

9. Dada a matriz

7 1 4 2

0 5 1 3

6 2 0 5

A

, obtén a súa matriz transposta.

Solución:

7 1 4 2

0 5 1 3

6 2 0 5

A

7 0 6

1 5 2

4 1 0

2 3 5

tA

.

10.Escribe as matrices transpostas de:

3 1

2 5

7 6

A

2 5 7

4 1 0B

1 3 5 1

0 2 4 1

6 1 0 3

C

7 4 1

2 1 0

0 1 7

6 3 2

D

1 7 4

7 1 0

4 0 3

E

5 4 6 1F

Solución:

3 1

2 5

7 6

A

3 2 7

1 5 6tA

;

2 5 7

4 1 0B

2 4

5 1

7 0

tB

;

1 3 5 1

0 2 4 1

6 1 0 3

C

1 0 6

3 2 1

5 4 0

1 1 3

tC

;

7 4 1

2 1 0

0 1 7

6 3 2

D

7 2 0 6

4 1 1 3

1 0 7 2

tD

;

1 7 4

7 1 0

4 0 3

E

1 7 4

7 1 0

4 0 3

tE

;

5 4 6 1F

5

4

6

1

tF

;

1.1.4. Matriz simétrica e antisimétrica

• Unha matriz cadrada A chámase simétrica, se tA A , ou o que é o mesmo:

ij jia a . Para que unha matriz sexa simétrica, necesariamente ten que ser cadrada.

• Unha matriz cadrada A dise que é antisimétrica se tA A , ou o que é o mesmo:

ij jia a . As matrices antisimétricas tamén reciben o nome de hemisimétricas.

Para que unha matriz sexa antisimétrica os elementos da diagonal principal deben ser,forzosamente, todos ceros.

Matrices9

Prácticas

11.Comproba se a matriz

1 6 5

6 0 4

5 4 6

B

é simétrica.

Solución:

1 6 5

6 0 4

5 4 6

B

é simétrica porque tB B .

12.Pon un exemplo dunha matriz antisimétrica.

Solución:

0 3 6

3 0 4

6 4 0

.

1.2. Algúns tipos de matrices, atendendo aos elementos

1.2.1. Matriz nula

Chámase matriz nula a aquela na que tódolos elementos son 0.

• A matriz nula represéntase por 0 e chámase tamén matriz cero.

13.A matriz

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

é unha matriz nula de orde 3. A matriz0 0 0 0

00 0 0 0

é unha

matriz nula de dimensión 2 4 .

14.Escribe unha matriz nula de orde 2 3 .

Solución:

0 0 0

0 0 0A

.

1.2.2. Matriz diagonal

Matriz diagonal é unha matriz cadrada na que tódolos elementos non pertencentes á diago-nal principal son nulos.

• Matriz escalar é unha matriz diagonal con tódolos elementos da diagonal principaliguais.

15.As matrices4 0

0 5A

e

2 0 0

0 1 0

0 0 5

B

son matrices diagonais.

16.As matrices2 0

0 2A

e

3 0 0

0 3 0

0 0 3

B

son matrices escalares.

102. Uso de calculadoras e software matemático

Prácticas

1.2.3. Matriz unidade ou matriz identidade

Matriz unidade ou matriz identidade é unha matriz escalar cos elementos da diagonal prin-cipal iguais a 1.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

nI

17.As matrices 2

1 0

0 1I

e 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

son matrices unidade de orde 2 e 3, respectiva-

mente.

1.2.4. Matriz triangular

Matriz triangular é unha matriz cadrada na que tódolos termos por enriba ou por debaixoda diagonal principal son nulos.

• Se os elementos situados por debaixo da diagonal principal son cero, entón dise que étriangular superior.

• Cando son nulos os elementos situados por riba da diagonal principal, entón dise queé triangular inferior.

• Matriz estritamente triangular é a matriz triangular que ten nulos tamén os elementosda diagonal principal. Pode ser estritamente triangular superior ou estritamente tri-angular inferior.

18.As matrices adxuntas sontriangulares.

1 2 3 4

0 3 4 5

0 0 1 3

0 0 0 5

Triangular superior

1 0 0 0

2 2 0 0

3 4 5 0

3 1 2 6

Triangular inferior

0 1 2

0 0 3

0 0 0

Estritamente triangu-lar superior

1.2.5. Matriz de permutación

Unha matriz cadrada dise que é unha matriz de permutación cando ten en cada fila e en ca-da columna un único elemento igual á unidade, sendo os restantes elementos nulos.

19.Escribe unha matriz de permutación de orde 3.

Solución:

1 0 0

0 0 1

0 1 0

.

2. USO DE CALCULADORAS E SOFTWARE MATEMÁTICO

Imos utilizar en diversos puntos deste tema as calculadoras da marca Texas Instruments, modelosTI Voyage 200, TI89, TI-89 Titanium e TI-nspire CAS. O uso das máquinas que aquí se describenon pretende ser un manual de usuario das mesmas, senón que ten como finalidade facer familiar oseu uso no bacharelato, usalas como elemento de investigación, para corrixir fallos, …

As calculadoras TI Voyage 200, TI-89 e TI-89 Titanium usan os mesmos datos, e poden intercam-biar datos e cálculos entre elas co software de matemáticas para ordenador chamado Derive (ver-sión 6); Derive funciona con calquera versión de Windows e necesita moi poucos recursos.

Matrices11

Prácticas

TI-nspire CAS preséntase en formato de calculadora e tamén como un programa de matemáticaspara ordenador, polo que se pode intercambiar datos, cálculos e programas entre a versión calcula-dora e software para Windows. TI-nspire CAS é unha actualización do Derive; necesita máis re-cursos informáticos.

Para escribir unha matriz existen plantillas nas calculadoras que o facilitan. Resulta moi cómodoescribir as matrices como se ve nas copias de pantalla adxuntas, para o exemplo 9.

Usando TI-89, TI-89 Titanium, Voyage 200 Usando TI-nspire CAS

Escríbense entre corchetes , separando os

elementos de cada fila con , e as filas sepá-

ranse con ; .

As copias de pantalla das calculadoras Voyage 200, TI-89 Titanium son iguais, salvo que a da Vo-yage 200 é máis grande. Normalmente usaranse a da Voyage 200 e a da TI-nspire CAS. Como po-la copia de pantalla se identifica claramente que calculadora de que calculadora estamos falando,no que segue non indicaremos a cal delas nos referimos, agás que sexa especificamente necesario.

Un erro que se comete con bastante frecuencia ao usar calculadoras consiste en premer o sig-

no da resta cando se debe usar o signo - de negativo.

Estas calculadoras permiten o cálculo directo datrasposta. Hai que buscar no menú de cálculo aopción de traspoñer T ; non é elevado a T .

A función ,m nrandMat permite xerar aleato-

riamente unha matriz de dimensións nm , convalores entre 9 e 9.

123. Submatrices

Prácticas

A función nidentity xera a matriz identidade

de orden n , e a función , , ,a b cdiag xera a

matriz diagonal con diagonal , , ,a b c .

A función A B,augment engade ás columnas de A as de B e A B;augment engade ás

filas de A as de B (se as dimensións o permiten); con TI-nspire CAS hai dúas funcións para facereste cometido.

É conveniente fixarse no uso de , para separar

os elementos dunha fila e de ; para separar fi-

las. Se non se usa adecuadamente produce erro.

Outras funcións de TI-nspire CAS son 1 2exp , , , º , ºr v v n F n CconstructMat e ,n nMtrace que de-

volve a traza dunha matriz cadrada.

3. SUBMATRICES

Sexa unha matriz

11 12 1

21 22 2

, 31 32 3

1 2

n

n

m n n

m m mn

a a a

a a a

A a a a

a a a

.

Matrices13

Prácticas

Sexan 1i , 2i , …, pi índices de filas (non necesariamente consecutivos) e 1j , 2j , …, qj

índices de columnas (non necesariamente consecutivos).

• A matriz ,p qB obtida tomando esas p filas e esas q columnas de A é unha subma-

triz de ,m nA .

• Caixa ou bloque de ,m nA é toda submatriz de A , ,p qB , obtida tomando p filas con-

secutivas e q columnas consecutivas da matriz ,m nA .

As calculadoras TI que usamos teñen a función subMat , que permite extraer unha caixa ou blo-

que dunha matriz. O formato é: inicio inicio remate remate, fil ,col ,fil ,colmsubMat onde as expre-

sións entre corchetes son opcionais.

20.Dada a matriz da dereita:

20.1.Obtén a submatriz de índices 1i , 3i e 5i e 2j e 4j

20.2.Obtén a caixa ou bloque de índices 3i , 4i , 5i e 3j , 4j , 5j

Solución:

5,5

1 2 3 0 1

4 5 0 1 2

3 2 4 5 1

2 3 5 9 8

7 5 6 1 2

A

20.1.

1

3

5

2 4

1 2 3 0 1

4 5 0 1 2

3 2 4 5 1

2 3 5 9 8

7 5 6 1 2

i

i

i

j j

2 0

2 5

5 1

. 20.2. 3

4

5

3 54

1 2 3 0 1

4 5 0 1 2

3 2 4 5 1

2 3 5 9 8

7 5 6 1 2

i

i

i

j jj

4 5 1

5 9 8

6 1 2

.

Así obtemos a submatriz (caixa) do exemplo20.2. Os índices 3,3,5,5 refírense a fila de ini-cio, a columna de inicio, a fila final e columnafinal, respectivamente.

Tamén se pode extraer unha fila dunha matriz,ou referirse a ela ou a un elemento, como se venas copias de pantalla adxuntas.

144. Operacións con matrices

Prácticas

4. OPERACIÓNS CON MATRICES

4.1. Suma e resta de matrices

• Para que dúas matrices se poidan sumar ou restar, cómpre que teñan a mesma dimen-sión.

• Para sumar faise termo a termo:

, , ,m n m n m n

ij ij ij ij ij

A B C

a b a b c

• Para restar faise termo a termo:

, , ,ij ij ij ijm n m n m n

a b a b

21.Suma as matrices

1 5 1 4

2 1 16 0

3 4 5 5

e

2 0 1 4

2 3 5 6

1 1 1 0

Solución:

1 5 1 4 2 0 1 4

2 1 16 0 2 3 5 6

3 4 5 5 1 1 1 0

1 2 5 0 1 1 4 4

2 2 1 3 16 5 0 6

3 1 4 1 5 1 5 0

3 5 2 8

4 2 21 6

4 5 6 5

.

Coas calculadoras TI que usamos poden facerseestas operacións con matrices, como se ve nascopias de pantalla adxuntas.

22.As matrices2 1 7 4

3 2 5 6

e

4 7 3

1 5 2

non poden sumarse por non ser da mesma dimen-

sión.

4.1.1. Propiedades da suma de matrices

Sexan ,m nA , ,m nB e ,m nC tres matrices de orde m n , e sexa ,0m n a matriz nula de orde m n . Ve-

rifícase:

• A B é unha matriz de ordem n

• A B C A B C

• 0 0A A A

• 0A A

• A B B A

,

.

Lei de composición interna

,Propiedade asociativa

Elemento neutro: matriz nula 0 0 é un grupo

abelianoElemento simétrico: matriz oposta

Propiedade conmutativa

m n

m n

M

A

Matrices15

Prácticas

4.2. Produto dun número por unha matriz—produto externo

Para multiplicar un número por unha matriz, multiplícase polo número cada termo da ma-triz:

Sexa p .

, ,,m n m n mn

ij ij ij ij

A p A C

a p a p a c

• Ao multiplicar un número por unha matriz obtense unha matriz.

23.Multiplica por 2 a matriz

1 5 1 4

2 1 16 0

3 4 5 5

.

Solución:

1 5 1 4

2 2 1 16 0

3 4 5 5

2 1 2 5 2 1 2 4

2 2 2 1 2 16 2 0

2 3 2 4 2 5 2 5

2 10 2 8

4 2 32 0

6 8 10 10

.

Coas calculadoras TI que usamos tamén se podemultiplicar unha matriz por un número, como seve na copia de pantalla adxuntas.

24.Obtén 3 2A B utilizando as matrices

2 1 3 5

0 1 2 1

3 0 2 1

A

e

0 0 0 3

2 2 5 1

3 2 1 1

B

.

Solución:

3 2A B

6 3 9 15 0 0 0 6

0 3 6 3 4 4 10 2

9 0 6 3 6 4 2 2

6 3 9 21

4 1 16 1

15 4 8 5

.

Coas calculadoras TI que usamos tamén se po-den facer operacións combinadas, como se venas copias de pantalla adxuntas.


Prácticas

25.Dadas as matrices1 0 2

4 1 3A

,

1 0 1

4 1 3B

,

7 1 1

8 10 0C

e

3 1 5

6 2 4D

, calcula 2 3 2E A B C D .

Solución:

2 0 4 3 0 3 7 1 1 6 2 10

8 2 6 12 3 9 8 10 0 12 4 8E

18 1 18

16 15 23

.

Usamos TI-nspire CAS en versión PC para facer este exercicio, para ver nunha única pantalla ou-tra maneira de facer estas operacións.

Poden facerse igualmente coas calculadoras TI, salvo que, como non caben todas as expresiónsnunha pantalla haberá que desprazarse por ela. Usamos as dúas maneiras básicas de almacenarunha variable para almacenar as anteriores matrices.

4.2.1. Propiedades do produto externo

Sexan ,m nA , ,m nB e ,m nC tres matrices de orde m n , e ,p q . Verifícase:

• p A B p A p B

• p q A p A q A

• p q A p q A

• 1 A A

Distributiva respecto da suma de matrices.

Distributiva respecto da suma de escalares .

Asociativa respecto do producto de escalares .

Existencia de elemento neutro: a unidade 1 .

4.2.2. Espazo vectorial Mm,n,+,

Polo tanto, o conxunto das matrices ,m nM coa suma antes definida e co produto externo antes de-

finido ten estrutura de espazo vectorial:, , ,

, ,

espazo vectorialm n m n m n

m n m n

M M M

M M

.

Matrices17

Prácticas

4.3. Produto dunha matriz fila por unha matriz columna

O produto dun vector fila por un vector columna, ambos da mesma dimensión, é un núme-ro que se obtén multiplicándoos termo a termo e sumando os resultados:

1

2

1 2 3 3 1 1 2 2 3 3n n n

n

b

b

a a a a b a b a b a b a b

b

Esta definición é válida para o produto dun vector fila por un vector columna, peronon ao contrario.

26.Efectúa o produto F C :

5 1 4 2F ,

1

3

2

0

C

.

Solución:

5 1 1 3 4 2 2 0F C 5 3 8 0 6 .

En TI-89 Titanium e Voyage 200 só hai unhamaneira básica de almacenar nunha variableunha matriz; en TI-nspire CAS hai dúas.

27.O número de estudantes en certa academia é: 100 en 1º, 90 en 2º e 80 en 3º. Ao rematar o cur-so pasan a 3º: o 20% dos que había en 3º (repiten), o 70% dos de 2º, e o 5% dos de 1º que tiveronun aproveitamento extraordinario. Cantos alumnos haberá en 3º?

Solución:

Observa que o número de alumnos que haberá en 3º o curso próximo se pode obter como produtodun vector fila por un vector columna:

1

5

00

(0.05 0.70 0.20) 9

0% 70% 2

0

0%

80

0.05 100 0.70 90 0.20 80 84

5% de100 70% de 90 20% de 80

Haberá 84 alumnos en 3º.

É conveniente decatarse de que este exercicio podería resolverse sen necesidade de usar matrices,pero, evidentemente, suporía maior trabal1o e complicación.


Prácticas

4.4. Multiplicación de matrices

• Para que dúas matrices A e B se poidan multiplicar, A B , é necesario que o núme-ro de columnas da primeira coincida co número de filas da segunda.

• O produto A B C é outra matriz os elementos da cal se obteñen multiplicando ca-da vector fila da prime ira por cada vector columna da segunda, do seguinte xeito:

,

,

,

ij m n

ij m pij n p

A aA B C c

B b

sendo ijc o produto da fila i de A pola columna j de B:

1

2

1 2 1 1 2 21

j

nj

ij i i in i j i j in nj ik kjk

nj

b

bc a a a a b a b a b a b

b

• A matriz C resultante ten tantas filas como A (m), e tantas columnas como B (p):

,m pC .

28.Multiplica as matrices

1 62 3 4

7 27 2 4

0 5

.

Solución:

1 62 3 4

7 27 2 4

0 5

2 3 3 2

2 1 3 7 4 0 2 6 3 2 4 5 23 2.

7 1 2 7

2

4 0 7 6 2 2 4 5 1 26

2

2

29.Multiplica A B sendo

1 2 3

4 1 2

1 2 5

A

e

2 3

1 1

2 5

B

.

Solución:

1 2 3 2 3 1 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3 5

4 1 2 1 1 4 2 1 1 2 2 4 3 1 1 2 5

1 2 5 2 5 1 2 2 1 5 2 1 3 2 1 5 5

A B

6 20

13 1

10 30

.

Coas calculadoras TI que usamos tamén se po-den facer multiplicacións de matrices, como seve nas copias de pantalla adxuntas.

Matrices19

Prácticas

30.Multiplica A B sendo

2 1 0

3 2 0

1 0 1

A

e

1 1 1 0

2 1 1 0

2 3 1 2

B

.

Solución:

2 1 0 1 1 1 0

3 2 0 2 1 1 0

1 0 1 2 3 1 2

A B

2 1 1 2 0 2 2 1 1 1 0 3 2 1 1 1 0 1 2 0 1 0 0 2

3 1 2 2 0 2 3 1 2 1 0 3 3 1 2 1 0 1 3 0 2 0 0 2

1 1 0 2 1 2 1 1 0 1 1 3 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 2

4 3 3 0

7 5 5 0

3 4 2 2

.

É necesario indicar a multiplicación desas ma-trices premendo o símbolo de multiplicación.Se non se preme prodúcese un fallo.

31.Consideremos os datos seguintes:A : Consumos anuais de tres familias , , de pan, carne e aceite.

B : Prezos do pan, carne e aceite nos anos 01, 02, 03 e 04.

3,3

310 330 160

545 500 260

150 120 145

Pan Carn Acei

A

3,4

1.50 1.60 1.70 1.80

12.50 13.00 13.50 14.00

4.50 4.60 4.70 5.00

01 02 03 04

Pan

Carn

Acei

B

Obtén o gasto anual de cada familia.

Solución:

A matriz A B danos o gasto anual de cada familia no total dos catro produtos,

5310.00 5522.00 5734.00 5978.00

8237.50 8568.00 889

01 02 03

8.50 9281.00

2377.50 2467.00 2556.50 2675.00

04

A B

32.Efectúa todos os posibles produtos entre as seguintes matrices:

1 2 3

2 5 1A

,

7 0

1 1

0 1

3 4

B

,

2 7 1 5

6 3 0 0

2 5 1 0

C

,

1 1 1

0 5 2

2 3 3

D

.

Solución:

2,3A , 4,2B , 3,4C , 3,3D Existen os seguintes posibles produtos: 2,3 3,4A C , 2,3 3,3A D , 4,2 2,3B A ,

3,4 4,2C B , 3,3 3,4D C , 3,3 3,3D D .


Prácticas

2,3 3,4

8 2 4 5

24 4 1 10A C

, 2,3 3,3

7 18 4

0 30 5A D

, 4,2 2,3

7 14 21

3 3 2

2 5 1

5 26 13

B A

,

3,4 4,2

22 28

39 3

9 4

C B

, 3,3 3,4

6 1 2 5

26 5 2 0

28 38 1 10

D C

,3,3

23,3 3,3

3 3 4

4 31 4

4 4 17

D D D

.

33.Dadas as matrices

1

3

2

0

A

e 5 1 4 2B obtén, se é posible, A B .

Solución:

1

3

2

0

A

5 1 4 2B A B é unha matriz 4 4 ; entón:

1 5 1 4 2

3 15 3 12 65 1 4 2

2 10 2 8 4

0 0 0 0 0

A B

.

34.Nunha academia déronse os seguintes resultados:

— 1º curso: 25% repiten, 60% pasan a 2º, 5% pasan a 3º (o resto abandona).

— 2º curso: 30% repiten, 70% pasan a 3º.

— 3º curso: 20% repiten.

Utiliza o produto de matrices para obter o número de alumnos que haberá o próximo ano en cadanivel (agás os novos).

Solución:

Estánen

Pasana

1º 2º 3º

1º 0.25 0 0

2º 0.60 0.30 0

3º 0.05 0.70 0.20

Calculamos os alumnos que haberá o próximo curso en cada nivel:

0.25 0 0 100

0.60 0.30 0 90

0.05 0.70 0.20 8

Nº deMatriz

alumnosde cambio

por

0

nivel

Nº de alumnos po

25 0 0 25

60 27 0

r

niv

87

5 63 16 84

(Sen novas incorpora

el o curso pró

c

xi

i ns)

mo

ó

Matrices21

Prácticas

4.4.1. Propiedades do produto de matrices

• O produto de matrices é unha operación interna no conxunto das matrices de orde n con coe-ficientes reais.

• O produto de matrices non é unha operación interna no conxunto das matrices de orde m ncon coeficientes reais.

Sexan A , B e C tres matrices coas dimensións adecuadas para permitir as operacións que se in-

dican. Verifícase:

• A B C A B C (propiedade asociativa).

• O produto de matrices é distributivo respecto da suma de matrices, é dicir:

A B C A B AC .

• En xeral, o produto de matrices non é conmutativo: A B B A .

• Se nA é unha matriz cadrada de orde n, entón n nA I I A A , sendo nI a matriz identida-

de de orde n.

35.Comproba a propiedade asociativa para:

1 3

2 1

0 4

A

,1 5 0 3

1 0 4 6B

,

1

6

2

7

C

.

Solución:

11 3

1 5 0 3 62 1

1 0 4 6 20 4

7

A B C

12 5 12 21

61 10 4 12

24 0 16 24

7

203

151

204

.

11 3

1 5 0 3 62 1

1 0 4 6 20 4

7

A B C

1 350

2 151

0 4

203

151

204

, que coinciden.

36.Comproba con algúns exemplos que o produto de matrices non é conmutativo.

Solución:

• Se A é de orde 3 2 e B é de orde 2 4 , pode efectuarse A B , pero non B A .

• Se

1 3

2 1

0 4

A

e4 5 2

0 3 4B

, poden efectuarse A B e B A , pero A B é de dimen-

sión 3 3 e B A é de dimensión 2 2 .

• Se2 1

4 5A

e1 7

3 0B

,5 14

19 28A B

,

30 36

6 3B A

A B B A .


Prácticas

37.Comproba as propiedades distributivas para as seguintes matrices:

1 4

0 5

1 6

A

,1 5 6 7

3 0 9 2B

,

4 1 6 0

0 1 5 5C

,

1

2

5

3

D

.

Solución:

1. A B A C

1 4 1 41 5 6 7 4 1 6 0

0 5 0 53 0 9 2 0 1 5 5

1 6 1 6

11 5 42 1 4 3 26 20

15 0 45 10 0 5 25 25

17 5 60 5 4 5 36 30

15 2 68 19

15 5 70 15

21 0 96 25

.

A B C

1 41 5 6 7 4 1 6 0

0 53 0 9 2 0 1 5 5

1 6

1 43 6 12 7

0 53 1 14 3

1 6

15 2 68 19

15 5 70 15

21 0 96 25

A B C A B A C .

2. B D C D

1 1

1 5 6 7 2 4 1 6 0 2

3 0 9 2 5 0 1 5 5 5

3 3

0 24

48 12

24

60

.

B C D

1

1 5 6 7 4 1 6 0 2

3 0 9 2 0 1 5 5 5

3

1

3 6 12 7 2

3 1 14 3 5

3

24

60

B C D B D C D .

38.Dadas as matrices2

3A

e 2 3B :

38.1.Son iguais as matrices A e B ?

38.2.Calcula, se é posible, as matrices AB , BA , A B , tA B .

Solución:

38.1.Non, xa que A ten dimensións 2 1 e B ten dimensión 1 2 . Para que dúas matrices sexaniguais, deben ter as mesmas dimensións e coincidir termo a termo.

38.2. 2 4 6

2 33 6 9

AB

;

2

2 3 133

B A

.

A B non se pode facer, xa que non teñen a mesma dimensión.

2 3 2 3 0 0tA B .

Matrices23

Prácticas

39.Efectúa o produto 1 1 0

3 25 2 1

.

Solución:

1 1 0

3 25 2 1

1 1 03 2

5 2 1

07 7

1

7 .

40.Calcula 3 2tAA I , sendo3 1

5 2A

.

Solución:

3 2tAA I 3 1 3 5 1 0

3 25 2 1 2 0 1

10 17 1 03 2

17 29 0 1

30 51 2 0

51 87 0 2

28 51

51 85

.

41.Calcula a matriz B que verifica a igualdade3 1 5 4 0 6

1 0 3 0 2 2B

.

Solución:

3 1 5 4 0 6

1 0 3 0 2 2B

4 0 6 3 1 5

0 2 2 1 0 3B

1 1 1

1 2 1

.

42.Calcula a matriz B que verifica a igualdade1 4 5 4

2 33 2 0 1

B

.

Solución:

1 4 5 42 3

3 2 0 1B

1 4 5 412

3 2 0 13B

2 8 5 41

6 4 0 13

3 41

6 33

41

3

2 1

.

4.4.1. Matriz inversa

Dada unha matriz cadrada nA de orden n , non sempre existe outra matriz nB tal que

nA B B A I .

• Se existe a tal matriz B , entón dise que é a inversa de A e denótase por 1A .

• Dúas matrices cadradas de orde n son inversas se o seu produto é a matriz unidadede orde n .

• Unha matriz cadrada que posúe inversa dise que é invertible ou regular; no caso con-trario recibe o nome de singular.

43.Comproba se as matrices

1 1 1

1 0 3

2 5 3

A

e 1

15 8 3

9 5 2

5 3 1

A

son inversas.

Solución:

As matrices son inversas xa que 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A A A A

.


Prácticas

44.Comproba que a matriz inversa de A é 1A :

1 2 1

0 1 0

2 0 3

A

, 1

3 6 1

0 1 0

2 4 1

A

.

Solución:

1

1 2 1 3 6 1

0 1 0 0 1 0

2 0 3 2 4 1

A A

3 6 1 1 2 1

0 1 0 0 1 0

2 4 1 2 0 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

.

As calculadoras TI que usamos permiten obterdirectamente a matriz inversa (cando existe). Só

hai que elevar a matriz a 1 : ^-1 .

4.4.2. Para non despistarse

Supoñendo que teñen as dimensións adecuadas para facer as operacións, entón:

• 0A B non implica necesariamente que 0A ou 0B .

• A B A C non implica necesariamente que B C .

• 2

A B non é necesariamente igual a 2 22A AB B .

• 2

A B non é necesariamente igual a 2 22A AB B .

• A B A B non é necesariamente igual a 2 2A B .

4.5. Outros tipos de matrices

• A matriz conxugada dunha matriz dada ,m nA represéntase por ,m nA , é aquela que ten

por elementos os conxugados dos elementos da matriz ,m nA ; é dicir se ija a bi é

un elemento de ,m nA , entón ija a bi é o correspondente elemento de ,m nA .

Se un elemento é real, o seu conxugado é el mesmo.

• Chámase matriz asociada dunha matriz dada ,m nA , e represéntase por ,m nA , a matriz

conxugada da transposta: ,t

m nA A .

• Unha matriz A é nilpotente de orde p se verifica que 0pA , sendo p o menor va-

lor que o verifica.

• Unha matriz A é unipotente se I A é nilpotente.

• Unha matriz A é periódica de período k se kA A .

• Unha matriz A é involutiva se 2A I .

Matrices25

Prácticas

4.6. Resumo das propiedades das operacións para matrices cadradas

No conxunto, ,n nM das matrices cadradas dunha certa orde, n , hai dúas operacións internas (a

suma e o produto de dúas matrices cadradas de orde n é outra matriz cadrada da mesma orde) eunha operación externa (o produto dun número real por unha matriz cadrada é unha matriz cadra-da da mesma orde).

Estas operacións teñen as seguintes propiedades:

4.6.1. Propiedades das operacións internas

Sexan A , B , C , I matrices cadradas da mesma orde.

OPERACIÓN INTERNA

Son operacións inter-nas porque se operanentre si elementos do

conxunto ,n nM (ma-

trices) e o resultado ta-mén é un elemento de

,n nM .

SUMA PRODUTO

Asociativa A B C A B C A B C A B C

Conmutativa A B B A Non

Elemento neutro 0; 0 0A A A ;I A I I A A

Elemento simétrico oposto de A é Aalgunhas matrices teñen in-

versa, 1A

Distributivas A B C A B A C , B C A B A C A

Grazas a estas propiedades poderemos resolver ecuacións do tipo A X B C , sendo A, B e Cmatrices de orde n n coñecidas e X a matriz incógnita. A matriz A debe ter inversa:

A X B C AX C B 1 1A AX A C B 1X A C B

4.6.2. Propiedades da operación externa

Sexan A , B matrices e a , b números reais.

Asociativa a b A a b A

Distributivas a b A a A b A

a A B a A a B

Unidade 1 A A

45.Calcula x , y , z , t para que se cumpra:3 4 26 21

7 11 69 59

x y

z t

.

Solución:

Efectuamos o produto do primeiro membro:

3 4 3 4 3 4 26 21

7 11 7 11 7 11 69 59

x y x z y t

z t x z y t

.

Esta igualdade dá lugar a un sistema de catro ecuacións con catro incógnitas. Ou, mellor, a doussistemas de ecuacións con dúas incógnitas:

3 4 26

7 11 69

x z

x z

2

5

x

z

,

3 4 21

7 11 59

y t

y t

1

6

y

t

.

Solución: 2x , 1y , 5z e 6t .


Prácticas

As calculadoras TI que usamos tamén podenaxudar neste tipo de exercicios, como se ve nascopias de pantalla adxuntas.

46.Resolve o seguinte sistema de ecuacións:3

2 3

X Y A

X Y B

, sendo

20 5

2 15A

,

23 17

4 15B

e as incógnitas X e Y matrices de orde 2 2 .

Solución:

Resulta favorable aplicar o método de redución. Para iso, sumamos membro a membro as dúasigualdades:

3X A B 3 12

36 0

X

1 4

2 0X

.

Substituímos na primeira ecuación:

1 43

2 0Y A

1 4 20 5 1 43

2 0 2 15 2 0Y A

21 9

0 15

21 91

0 153Y

7 3

0 5

.

Solución:1 4

2 0X

,

7 3

0 5Y

.

47.Para as matrices:1 0

2 7A

,1 5

4 1B

,

4 0

1 1C

comproba:

47.1. A B C A B A C .

47.2. A B C A C B C .

47.3. A B C A B C .

Solución:

47.1. A B C 1 0 1 5 4 0

2 7 4 1 1 1

1 0 3 5

2 7 5 0

3 5

41 10

.

A B A C 1 0 1 5 1 0 4 0

2 7 4 1 2 7 1 1

1 5 4 0

26 3 15 7

3 5

41 10

.

47.2. A B C 1 0 1 5 4 0

2 7 4 1 1 1

0 5 4 0

6 6 1 1

5 5

30 6

.

A C B C 1 0 4 0 1 5 4 0

2 7 1 1 4 1 1 1

4 0 1 5

11 7 15 1

5 5

30 6

.

Matrices27

Prácticas

47.3. A B C 1 0 1 5 4 0

2 7 4 1 1 1

1 0 1 5

2 7 15 1

1 5

107 3

.

A B C 1 0 1 5 4 0

2 7 4 1 1 1

1 5 4 0

26 3 1 1

1 5

107 3

.

48.Sexan3 0

5 1A

e

0 6

1 3B

. Atopa X que cumpra: 3 2 5X A B .

Solución:

3 2 5X A B 3 2 5X A B 3 0 0 6

2 55 1 1 3

6 0 0 30

10 2 5 15

6 30

15 17

6 301

15 173X

2 10

1753

.

Solución:2 10

1753

X

.

49.Calcula x , y , z , t para que se cumpra:2 1 5 1

0 1 0 2

x y

z t

.

Solución:

2 1

0 1

x y

z t

2 2x z y t

z t

5 1

0 2

2 5

0

x z

z

52

0

x

z

;2 1

2

y t

t

3

2

2

y

t

.

Solución:5 3

2 2

0 2

x y

z t

.

50.Atopa dúas matrices, A e B , de dimensión 2 2 , que cumpran:

1 42

2 0A B

e

1 2

1 0A B

.

Solución:

1 42

2 0

1 2

1 0

A B

A B

sumando ambas ecuacións:0 6

33 0

A

0 2

1 0A

;

1 2

1 0B A

0 2 1 2

1 0 1 0

1 0

0 0

.

Solución:0 2

1 0A

,1 0

0 0B

.


Prácticas

51.Atopa dúas matrices X e Y que verifiquen:

1 52 3

4 2X Y

e

1 0

3 6X Y

.

Solución:

1 52 3

4 2

1 0

3 6

X Y

X Y

1 52 3

4 2

2 02 2

6 12

X Y

X Y

sumando as dúas ecuacións, resulta:

3 5

2 10Y

3 5

2 10Y

1 0

3 6X Y

1 0 3 5

3 6 2 10

4 5

5 16

.

Solución:4 5

5 16X

,3 5

2 10Y

.

52.Descubre cómo debe ser unha matriz X que cumpra a seguinte condición:

1 1 1 1

0 1 0 1X X

.

Solución:

Sexax y

Xz t

1 1

0 1

1 1

0 1

x y x x y

z t z z t

x y x z y t

z t z t

x x y x z y t

z z t z t

x x z

x y y t

z t t

0z

x t

, ,

0

x yX x y

x

.

53.Efectúa as seguintes operacións coas matrices dadas:

1 2

0 3A

,4 7

3 0B

,1 1

3 2C

:

53.1. A B A C .

53.2. A B C .

53.3. A B C .

Solución:

53.1. A B A C 1 2 4 7 1 2 1 1

0 3 3 0 0 3 3 2

2 7 7 3

9 0 9 6

9 10

18 6

.

53.2. A B C 1 2 4 7 1 1

0 3 3 0 3 2

5 5 1 1

3 3 3 2

10 15

6 9

.

53.3. A B C 1 2 4 7 1 1

0 3 3 0 3 2

2 7 1 1

9 0 3 2

23 12

9 9

.

Matrices29

Prácticas

54.Dadas as matrices

3 8 4 8

1 5 3 4

1 7 1 5

3 7 6 7

A

e

53 152 76 28

25 71 35 13

2 6 3 1

46 131 65 24

B

, comproba se

se verifica que A B B A .

Solución:

3 8 4 8 53 152 76 28 1 0 0 0

1 5 3 4 25 71 35 13 0 1 0 0

1 7 1 5 2 6 3 1 0 0 1 0

3 7 6 7 46 131 65 24 0 0 0 1

A B

.

53 152 76 28 3 8 4 8 1 0 0 0

25 71 35 13 1 5 3 4 0 1 0 0

2 6 3 1 1 7 1 5 0 0 1 0

46 131 65 24 3 7 6 7 0 0 0 1

B A

.

A e B son dúas matrices inversas: 1A B .

55.Dada a matriz

9 2 1

10 6 7

8 7 9

M

, indica se algunha das seguintes matrices é a súa inversa.

9 7 8

9 2 5

9 6 6

A

9 4 9

7 4 4

9 7 1

B

4 9 6

2 6 9

9 4 1

C

5 11 8

34 73 53

22 47 34

D

Solución:

9 2 1 9 7 8 90 61 56 1 0 0

10 6 7 9 2 5 81 40 8 0 1 0

8 7 9 9 6 6 54 16 25 0 0 1

M A

non poden ser inversas.

9 2 1 9 4 9 86 35 88 1 0 0

10 6 7 7 4 4 69 65 107 0 1 0

8 7 9 9 7 1 40 67 91 0 0 1

M B


9 2 1 4 9 6 49 89 73 1 0 0

10 6 7 2 6 9 115 98 121 0 1 0

8 7 9 9 4 1 127 78 120 0 0 1

M C


9 2 1 5 11 8 1 0 0

10 6 7 34 73 53 0 1 0

8 7 9 22 47 34 0 0 1

M D

poden ser inversas; comprobamos o ou-

tro produto:

5 11 8 9 2 1 1 0 0

34 73 53 10 6 7 0 1 0

22 47 34 8 7 9 0 0 1

D M

1D M .

56.Dada a matriz1 2

0 1A

comproba que 2

0A I .

Solución:

2

A I

21 2 1 0

0 1 0 1

20 2

0 0

0 2 0 2

0 0 0 0

0 0

00 0

.

305. Complementos teóricos para o estudo de matrices

Prácticas

5. COMPLEMENTOS TEÓRICOS PARA O ESTUDO DE MATRICES

Imos estudar o “rango dunha matriz”. Para iso necesitamos os seguintes complementos teóricos.

5.1. Espazos vectoriais

A idea de vector como frecha dá lugar á de espazo vectorial: conxunto de todos os vectores entreos cales se definen untas operacións que cumpren certas propiedades. Pero hai outros entes mate-máticos coas mesmas operacións e propiedades. Por iso, a definición de espazo vectorial é moitomáis ampla e aberta que unha colección de “frechas”.

Temos un conxunto, V , entre os elementos do cal (aos que lles chamaremos vectores) hai defini-das dúas operacións:

SUMA DE DOUS ELEMENTOS DE V : se ,u v V

, daquela u v V

PRODUTO POR UN NÚMERO REAL: se a e u V

, daquela a u V

Dise que , ,V é un espazo vectorial sobre se as operacións cumpren as propiedades:

O ESPAZO VECTORIAL .m nM

O conxunto .m nM das matrices

de dimensión m n é un espa-

zo vectorial, como se viu na pá-xina 16.

SUMA DE VECTORES

ASOCIATIVA u v w u v w

CONMUTATIVA u v v u

VECTOR NULOÉ un vector chamado 0

tal que se v V

cumpre:

0v v

VECTOR OPOSTO Todo vector v

ten un oposto, v

: 0v v

PRODUTO DUN NÚMERO POR UN VECTOR

ASOCIATIVA a b v a b v

DISTRIBUTIVA I a b v a v b v

DISTRIBUTIVA II a u v a u a v

PRODUTO POR 1 Se v V

cúmprese que 1 v v

5.2. n-uplas de números reais

Unha colección de n números reais dados nunha certa orde chámase unha n–upla. O con-

xunto de todas as n–uplas de números reais forman un espazo vectorial, e desígnase n .Imos prestarlles atención porque tanto as filas coma as columnas das matrices son n-uplasde números reais. Unha n–upla de dous elementos chámase “par”, unha de tres chámase“terna” e de catro, “cuaterna”.

• 2 é o conxunto de todos os pares de números reais.

Por exemplo: 3,7 .

• 3 é o conxunto de todas as ternas.

Por exemplo: 7, 1, 2 , 0,0,0 .

• 4 é o conxunto de cuaternas.

Por exemplo: 4, 1,0,6 , 23, , 7, 45 .

Matrices31

Prácticas

57.Considera 7, 4, 2u

, 5,0,6v

, 4,6, 3w

, 8a , 5b elementos de 3 e . Compro-

ba se verifican as propiedades para ser espazo vectorial.

Solución:

— Asociativa: u v w u v w

.

u v w

7, 4, 2 5,0,6 4,6, 3 12,4,4 4,6, 3 16,10,1 .

u v w

7,4, 2 5,0,6 4,6, 3 7,4, 2 9,6,3 16,10,1 .

— Conmutativa: u v v u

.

u v

7,4, 2 5,0,6 12,4,4 5,0,6 7,4, 2 v u

.

— Vector nulo: 0v v

.

0v 5,0,6 0,0,0 5,0,6 v

.

— Vector oposto: 0v v

.

v v

5,0,6 5,0, 6 0,0,0 0

.

— Asociativa: a b v a b v

.

a b v 8 5 5,0,6 40 5,0,6 200,0, 240 .

a b v

8 5 5,0,6 8 25,0, 30 200,0, 240 .

— Distributiva I: a b v a v b v

.

a b v 8 5 5,0,6 3 5,0,6 15,0,18 .

a v b v

8 5,0,6 5 5,0,6 40,0, 48 25,0, 30 15,0,18 .

— Distributiva II: a u v a u a v

.

a u v

8 7,4, 2 5,0,6 8 12,4,4 96,32,32 .

a u a v

8 7, 4, 2 8 5,0,6 56,32, 16 40,0,48 96,32,32 .

— Produto por 1: 1 v v

1 v 1 5,0,6 5,0,6 v

.

5.3. Combinación lineal de vectores

Dados 1 2 3, , , , nv v v v V

e 1 2 3, , , na a a a , o vector formado do seguinte xeito:

1 1 2 2 3 3 n na v a v a v a v

chámase combinación lineal dos vectores 1 2 3, , , , nv v v v

.

58.Fagamos unha combinación lineal de varias cuaternas:

3 2,5,8,4 2 1,7,3, 1 4 0,5, 1, 2 6,15,24,12 2,14,6, 2 0, 20,4,8

4,9,34,18 a cuaterna 4,9,34,18 é combinación lineal de 2,5,8, 4 , 1,7,3, 1 e

0,5, 1, 2 .

5.4. Dependencia e independencia lineal

• Un conxunto 1 2 3, , , , nv v v v

de elementos de V dise que son linealmente dependen-

tes (LD) se algún deles se pode pór como combinación lineal dos demais.

• Un conxunto 1 2 3, , , , nu u u u

de elementos de V dise que son linealmente indepen-

dentes (LI) se ningún deles se pode pór como combinación lineal dos demais.

325. Complementos teóricos para o estudo de matrices

Prácticas

5.4.1. Número de n-uplas LI

O máximo número posible de n -uplas LI é n. É dicir:

— Dous pares poden ser LI, pero tres pares son, con seguridade, LD.

— Tres ternas poden ser LI, pero catro ternas son, con seguridade, LD.

— Etcétera.

59.As catro cuaternas 4,9,34,18 , 2,5,8, 4 , 1,7,3, 1 , 0,5, 1, 2 son linealmente de-

pendentes, xa que, segundo vimos no exemplo 58, a primeira delas é combinación das demais.

• A cuaterna 0,0,0,0 é combinación lineal de calquera conxunto de cuaternas, pois

obtense sumando o resultado de multiplicar cada unha delas por 0.

• As cuaternas 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1 son linealmente indepen-

dentes, pois ningunha delas se pode pór como combinación lineal das demais.

5.4.2. Propiedade fundamental

A condición necesaria e suficiente para que os vectores 1 2 3, , , , nu u u u

sexan linealmente

independentes, é que a igualdade

1 1 2 2 3 3 0n nx u x u x u x u

só sexa certa cando todos os números son ceros:

1 2 3 0nx x x x

• É dicir, se os vectores son LD, existen números 1x , 2x , 3x , …. nx non todos nulos

para os cales se cumpre a igualdade 1 1 2 2 3 3 0n nx u x u x u x u

, mentres que se

os vectores son LI, a única combinación lineal deles que dá como resultado o vector

0

é 1 2 30 0 0 0 nu u u u

.

5.4.3. Dependencia lineal de

• Un único vector v

distinto de 0 0

é LI pois 0a v

só é certo se 0a .

• O vector 0

é LD, pois por exemplo, 3 0 0

é dicir, pódese obter 0

multiplicando 0

por unnumero distinto de 0.

60.Averigua se as cuaternas 2,3,0,5 , 0,0, 1, 2 , 4,0,1,0 , 12,0,2,2 son LI ou LD.

Solución:

Para dilucidalo aplicamos a propiedade fundamental:

2,3,0,5 0,0, 1,2 4,0,1,0 12,0,2,2 0,0,0,0x y z w

Operando no primeiro membro obtense a seguinte igualdade:

2 4 12 ,3 , 2 ,5 2 2 0,0,0,0x z w x y z w x y w

2 4 12 0

3 0

2 0

5 2 2 0

x z w

x

y z w

x y w

A súa solución é:

0

3

x

y

z

w

Para 1 obtense 0x , 1y , 3z , 1w .

Isto significa que:

0 2,3,0,5 1 0,0, 1, 2 3 4,0,1,0 1 12,0, 2,2 0,0,0,0

Polo tanto, os catro vectores (cuaternas) son linealmente dependentes (LD), pois existe unha com-binación lineal deles con coeficientes non todos nulos que dá lugar ao vector cero.

Matrices33

Prácticas

61.Averigua se as ternas 1,6,4 , 2,0, 1 , 5,6,3 son LI ou LD.

Solución:

Aplicamos a propiedade fundamental:

1,6,4 2,0, 1 5,6,3 0,0,0x y z

Esta igualdade dá lugar ao seguinte sistema de ecuacións:

2 5 0

6 6 0

4 3 0

x y z

x z

x y z

2 5 0

0

4 3 0

x y z

x z

x y z

Este sistema só ten a solución 0x , 0y , 0z .

Polo tanto, os vectores son linealmente independentes, pois a única combinación lineal deles quedá lugar ao vector cero é a que se obtén con coeficientes todos nulos.

62.Averigua se 3,0,1,0 , 2, 1,5,0 , 0,0,1,1 , 4, 2,0, 5 son LI ou LD.

Solución:


3,0,1,0 2, 1,5,0 0,0,1,1 4, 2,0, 5 0,0,0,0x y z t

3 2 4 , 2 , 5 , 5 0,0,0,0x y t y t x y z z t

3 2 4 0

2 0

5 0

5 0

x y t

y t

x y z

z t

0

0

0

0

x

y

z

t

Este sistema ten como solución única 0x , 0y , 0z , 0t e, polo tanto, os vectores son li-

nealmente independentes.

63.Averigua se 3,0,1,0 , 2, 1,5,0 , 0,0,1,1 , 0,0,0,1 son LI ou LD.

Solución:


3,0,1,0 2, 1,5,0 0,0,1,1 0,0,0,1 0,0,0,0x y z t

3 2 , , 5 , 0,0,0,0x y y x y z z t

3 2 0

0

5 0

0

x y

y

x y z

z t

0

0

0

0

x

y

z

t

Este sistema ten como solución única 0x , 0y , 0z , 0t e, polo tanto, os vectores son li-

nealmente independentes.

64.Averigua se 2, 4,7 , 1,0,2 , 0,1,2 son LI ou LD.

Solución:


2, 4,7 1,0, 2 0,1,2 0,0,0x y z 2 , 4 ,7 2 2 0,0,0x y x z x y z

2 0

4 0

7 2 2 0

x y

x z

x y z

0

0

0

y

z

z

Este sistema ten como solución única 0x , 0y , 0z e, polo tanto, os vectores son lineal-

mente independentes.

346. Rango dunha matriz

Prácticas

65.Averigua se 1,0,0 , 1,1,0 , 0,0,0 son LD. Explica por qué se nun conxunto de vectores

está o vector cero, daquela son LD.

Solución:


1,0,0 1,1,0 0,0,0 0,0,0x y z

Se facemos 0x , 0y , entón z pode tomar calquera valor, polo tanto os vectores son lineal-

mente dependentes.

Se nun conxunto de vectores 1 2 3, , , , nu u u u

está o vector cero, podemos conseguir unha

combinación lineal deles:

1 1 2 2 3 3 1 1 0 0,0,0, ,0n n nx u x u x u x u x

na que 1 2 3 1 0nx x x x e 0nx . Como non todos os coeficientes son nulos, os

vectores son linealmente dependentes.

6. RANGO DUNHA MATRIZ

Entre as filas das matrices (e tamén entre as súas columnas) poden existir relacións de dependencialineal, o seu coñecemento será de grande importancia para o estudio dos sistemas de ecuacións.

6.1. Vectores fila nunha matriz

As filas dunha matriz poden ser consideradas vectores. É posible que sexan linealmente indepen-dentes (LI) e é posible que unhas dependan linealmente doutras (LD).

66.Estuda a dependencia lineal das seguintes matrices:

2 3 1 4

1 0 4 5A

As dúas filas son LI.

5 1

6 3

1 17

11 2

B

As dúas primeiras filas son LI. As outras dúas dependen linealmente dasprimeiras:

3ª 5 1ª 4 2ª , 4ª 1ª 2ª

2 3 5

1 2 1

1 5 6

C

As dúas primeiras filas son LI. A terceira depende linealmente delas:

3ª 1ª 2ª

6.2. Rango ou característica dunha matriz

Chamamos rango ou característica dunha matriz ao número de filas que son linealmenteindependentes.

67.Indica os rangos das matrices estudadas no exemplo 66.

Solución:

2ran A , 2ran B , 2ran C .

6.3. Vectores columna nunha matriz

Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas vectores. E poderíase definir o rangodunha matriz como o número de columnas LI, pero hai que solventar a dúbida de se esta definicióncontradí, nalgún caso a anterior.

É dicir: é posible que nunha matriz o número de filas LI sexa distinto do número de columnas LI?O seguinte teorema asegura que isto non é posible.

Teorema 1. Nunha matriz, o número de filas LI coincide co número de columnas LI. Se-gundo isto, o rango dunha matriz é o número de filas ou de columnas LI.

• O rango dunha matriz m n é, como moito, o menor dos números m ou n.

Matrices35

Prácticas

6.4. Cálculo do rango polo método de Gauss ou de transformacións elementais

6.4.1.Transformacións elementais

Cando operamos sobre unha matriz, cos seus elementos, filas ou columnas pode suceder que cam-bie o rango (número de filas ou columnas linealmente independentes) ou que o rango non se mo-difique.

Chámanse transformacións elementais sobre unha matriz calquera A as modificacións

que non alteran o rango ou característica da mesma, e que só cambian a forma. Son trans-formacións elementais:

• Cambiar filas entre si.

• Cambiar columnas entre si.

• Multiplicar tódolos elementos dunha fila por unha constante 0 .

• Multiplicar tódolos elementos dunha columna por unha constante 0 .

• Sumar a tódolos elementos dunha fila os doutra multiplicados pola mesma constante

0 .

• Sumar a tódolos elementos dunha columna os doutra multiplicados pola mesma cons-

tante 0 .

6.4.2. Método de Gauss para o cálculo do rango dunha matriz

Aplicando as transformacións elementais anteriores podemos chegar a unha matriz escalonada queindica o número de filas ou columnas independentes.

Polo tanto, para calcular o rango dunha matriz, podemos proceder a “facer ceros” usandoas transformacións elementais anteriores. O rango da matriz escalonada final é, obviamen-

te, o número de filas distintas de 0 0 0 .

• Este método coñécese como método de Gauss para o cálculo do rango.

O seguinte esquema (os asteriscos son números calquera) amosa como se pode pasar dunha matriza outra escalonada onde o número de filas indica o rango da matriz, cunha matriz 4 5 .

0

0 0

0 0 0

Rango 4 (4 filas)

0

0 0

0 0 0 0 0

0

0 0

Rango 3

0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0

Rango 2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Rango 1


Prácticas

68.Calcula o rango da matriz

3 7 4 1

2 11 6 17

5 1 24 37

A

.

Solución:

3 7 4 1

2 11 6 17

5 1 24 37

1ª

2ª 17 1ª

3ª 37 1ª

3 7 4 1

53 130 62 0

106 260 124 0

1ª

2ª

3ª 2 2ª

3 7 4 1

53 130 62 0

0 0 0 0

2ran A .

Para non ter que escribir a matriz resultante encada caso debe empregarse a opción ans , querecolle o último resultado obtido.


1 4 1

1 3 2

2 2 0

A

.

Solución:

1 4 1

1 3 2

2 2 0

A

1ª

2ª 1ª

3ª 2 1ª

1 4 1

0 7 1

0 6 2

1ª

2ª

3ª 2 2ª

1 4 1

0 7 1

0 20 0

3ran A .

Matrices37

Prácticas


0 1 9 7 8

9 2 5 9 6

6 9 3 9 4

1 0 7 8 8

A

.

Solución:

0 1 9 7 8

9 2 5 9 6

6 9 3 9 4

1 0 7 8 8

A

4ª

2ª

3ª

1ª

1 0 7 8 8

9 2 5 9 6

6 9 3 9 4

0 1 9 7 8

1ª

2ª 9 1ª

3ª 6 1ª

4ª

1 0 7 8 8

0 2 68 81 78

0 9 45 39 52

0 1 9 7 8

1ª

4ª

3ª

2ª

1 0 7 8 8

0 1 9 7 8

0 9 45 39 52

0 2 68 81 78

1ª

2ª

3ª 9 2ª

4ª 2 2ª

1 0 7 8 8

0 1 9 7 8

0 0 36 102 20

0 0 86 67 94

1ª

2ª

3ª 2

4ª

1 0 7 8 8

0 1 9 7 8

0 0 18 51 10

0 0 86 67 94

1ª

2ª

3ª

9 4ª 43 3ª

1 0 7 8 8

0 1 9 7 8

0 0 18 51 10

0 0 0 2796 416

4ran A .


1 0 2 1 1

0 2 1 1 2

1 1 3 2 0

0 8 7 9 4

A

.

Solución:

1 0 2 1 1

0 2 1 1 2

1 1 3 2 0

0 8 7 9 4

A

1ª

2ª

3ª 1ª

4ª

1 0 2 1 1

0 2 1 1 2

0 1 5 3 1

0 8 7 9 4

1ª

2ª

2 3ª 2ª

4ª 4 2ª

1 0 2 1 1

0 2 1 1 2

0 0 11 5 4

0 0 11 5 4

1ª

2ª

3ª

4ª 3ª

1 0 2 1 1

0 2 1 1 2

0 0 11 5 4

0 0 0 0 0

3ran A .


1 3 1

2 1 5

1 10 8

A

.

Solución:

1 3 1

2 1 5

1 10 8

A

1ª

2ª 2 1ª

3ª 1ª

1 3 1

0 7 7

0 7 7

1ª

2ª

3ª 2ª

1 3 1

0 7 7

0 0 0

2ran A .


Prácticas


1 2 0 3

1 3 1 4

2 1 5 1

A

.

Solución:

1 2 0 3

1 3 1 4

2 1 5 1

A

1ª

2ª 1ª

3ª 2 1ª

1 2 0 3

0 1 1 1

0 5 5 5

1ª

2ª

3ª 5 2ª

1 2 0 3

0 1 1 1

0 0 0 0

2ran A .

A función mref permite “escalonar” unha

matriz, dunha maneira similar a como se fixonos exemplos anteriores polo método de Gauss.

74.Estuda o rango da matriz M segundo os valores de a .

Existe algún valor de a para o que sexa 1ran M ?

Solución:

1 2

1 1

0 1

a

M a

a

• Transformamos a matriz M para facer todos os ceros posibles nela:

1 2

1 1

0 1

a

a

a

1ª

2ª 1ª

3ª 1ªa

2

1 2

0 1 0

0 2 1

a

a a

1ª

2ª

3ª 2 2ªa 2

1 2

0 1 0

0 0 1

a

a

;

Facemos 21 0a 1a , 1a .

• Se 1a ,

1 2 1

0 1 0

0 0 0

M

2ran M .

• Se 1a ,

1 2 1

0 1 0

0 0 0

M

2ran M .

se 1a ou 1a , 2ran M .

• Se 2 1 0a , é dicir, se 1a e 1a , 3ran M .

• O rango de M non pode ser igual a 1 para ningún valor de a , porque as dúas primeiras filasson linealmente independentes para calquera a .

Matrices39

Prácticas

7. MATRIZ INVERSA

Algunhas matrices cadradas teñen inversa, é dicir, dada unha matriz cadrada A existe unha matriz

cadrada da mesma orde 1A tal que 1 1nA A A A I . No que segue imos ver algúns métodos

para o cálculo da matriz inversa.

7.1. Matriz inversa a partir da definición

75.Obtén a matriz inversa de7 3

2 1A

.

Solución:

Sexa7 3

2 1A

; buscamos a matrizx y

z t

que verifique:7 3 1 0

2 1 0 1

x y

z t

7 3 7 3 1 0

2 2 0 1

x z y t

x z y t

7 3 1

2 0

7 3 0

2 1

x z

x z

y t

y t

1

2

3

7

x

z

y

t

1 1 3

2 7A

.

76.Obtén a matriz inversa de3 2

8 5A

.

Solución:

Sexa3 2

8 5A

;

3 2 1 0

8 5 0 1

x y

z t

3 2 3 2 1 0

8 5 8 5 0 1

x z y t

x z y t

3 2 1

8 5 0

3 2 0

8 5 1

x z

x z

y t

y t

5

8

2

3

x

z

y

t

1 5 2

8 3A

.

7.2. Método de Gauss para calcular a inversa dunha matriz

Para calcular a inversa, 1A , dunha matriz A , farémoslle á matriz unidade, I , os mesmos cam-bios aos que hai que someter a matriz A para obter a matriz unidade.

Para calcular a inversa, 1A , dunha matriz A , farémoslle á matriz unidade nI as mesmas

transformacións que hai que facerlle á matriz A para obter a matriz unidade.

Sometida a certastransformacións

nA I , 1Sometida as mesmastransformacións

nI A , 1Transformaciónsn nA I I A

• Na práctica, colócase a matriz A , e a súa dereita, a matriz nI . Realízanse as transfor-

macións necesarias para que A se transforme en nI . Como consecuencia, a matriz

que se obtén á dereita de nI é 1A . Todas as transformacións que se realicen serán

idénticas ás que se utilizan para calcular o rango dunha matriz polo método de Gauss.

• Utilizarase en cada paso como pivote os elementos da diagonal principal da matriz

A : 11a , 22a , …, nna para facer ceros na columna na que se atopan, tanto nas filas

superiores como inferiores, ata transformar matriz A nunha matriz diagonal.

• Despois dividiranse os elementos da fila i por iia A (sen ampliar) para obter a ma-

triz nI . A parte ampliada é a matriz inversa.

Se no proceso aparece unha fila de ceros na parte esquerda —correspondente á matrizA — é que a matriz non ten inversa.

407. Matriz inversa

Prácticas

77.Calcula a inversa da matriz

1 3 5

6 2 1

1 4 7

M

.

Solución:

Dado que a matriz é de orde 3, ampliamos pola dereita a matriz engadíndolle 3I ; para evitar con-

fusións ás veces trazase unha vertical que distinga a matriz da súa ampliación, pero a tódolos efec-tos é unha matriz ordinaria e a vertical só se considera como elemento tipográfico. Remarcamos oelemento que se usa de pivote para facer ceros nos demais elementos da súa columna.

1 3 5

6 2 1

1 4 7

M

3 5 1 0 0

6 2 1 0 1 0

1 4 7 0 0 1

1

1ª

2ª 6 1ª

3ª 1ª

1 3 5 1 0 0

0 16 31 6 1 0

0 1 2 1 0 1

1ª

3ª

2ª

1 3 5 1 0 0

0 2 1 0 1

0 16 31 6 1

1

0

1ª 3 2ª

2ª

3ª 16 2ª

1 0 1 4 0 3

0 1 2 1 0 1

22 1 160 10

1ª 3ª

2ª 2 3ª

3ª

1 0 0 18 1 13

0 1 0 43 2 31

0 0 1 22 1 16

1ª 1

2ª 1

3ª 1

1 0 0 18 1 13

0 1 0 43 2 31

0 0 1 22 1 16

1

18 1 13

43 2 31

22 1 16

M

.

Se no paso no que permutamos dúas filas para facer os cálculos máis sinxelos non nos deca-

taramos ou non desexaramos facer a permutación o resultado sería, evidentemente, o mesmo. Ve-xámolo:

1 3 5

6 2 1

1 4 7

M

3 5 1 0 0

6 2 1 0 1 0

1 4 7 0 0 1

1

1ª

2ª 6 1ª

3ª 1ª

1 3 5 1 0 0

0 31 6 1 0

0 1 2 1 0 1

16

16 1ª 3 2ª

2ª

16 3ª 2ª

16 0 13 2 3 0

0 16 31 6 1 0

22 1 1610 0

1ª 13 3ª

2ª 31 3ª

3ª

16 0 0 288 16 208

0 16 0 688 32 496

0 0 1 22 1 16

1ª 16

2ª 16

3ª 1

1 0 0 18 1 13

0 1 0 43 2 31

0 0 1 22 1 16

1

18 1 13

43 2 31

22 1 16

M

.

78.Calcula a matriz inversa de

4 5 0

1 6 1

5 6 0

M

.

Solución:

4 5 0

1 6 1

5 6 0

M

4 5 0 1 0 0

1 6 1 0 1 0

5 6 0 0 0 1

2ª

1ª

3ª

1 6 1 0 1 0

4 5 0 1 0 0

5 6 0 0 0 1

1ª

2ª 4 1ª

3ª 5 1ª

1 6 1 0 1 0

0 19 4 1 4 0

0 24 5 0 5 1

19 1ª 6 2ª

2ª

19 3ª 24 2ª

19 0 5 6 5 0

0 19 4 1 4 0

0 0 1 24 1 19

1ª 5 3ª

2ª 4 3ª

3ª

19 0 0 114 0 95

0 19 0 95 0 76

0 0 1 24 1 19

1ª 19

2ª 19

3ª 1

1 0 0 6 0 5

0 1 0 5 0 4

0 0 1 24 1 19

1

6 0 5

5 0 4

24 1 19

M

.

Matrices41

Prácticas


0 4 4

9 6 2

2 3 3

M

.

Solución:

0 4 4

9 6 2

2 3 3

M

0 4 4 1 0 0

9 6 2 0 1 0

2 3 3 0 0 1

3ª

2ª

1ª

2 3 3 0 0 1

9 6 2 0 1 0

0 4 4 1 0 0

1ª

2 2ª 9 1ª

3ª

2 3 3 0 0 1

0 15 23 0 2 9

0 4 4 1 0 0

5 1ª 2ª

2ª

15 3ª 4 2ª

10 0 8 0 2 4

0 15 23 0 2 9

0 0 32 15 8 36

4 1ª 3ª

32 2ª 23 3ª

3ª

40 0 0 15 0 20

0 480 0 345 120 540

0 0 32 15 8 36

1ª 40

2ª 480

3ª 32

3 18 2

23 9132 4 8

15 9132 4 8

1 0 0 0

0 1 0

0 0 1

1

3 108 2

23 9132 4 8

15 9132 4 8

M

.


5 3 3

7 3 3

8 5 6

M

.

Solución:

5 3 3

7 3 3

8 5 6

M

5 3 3 1 0 0

7 3 3 0 1 0

8 5 6 0 0 1

1ª

5 2ª 7 1ª

5 3ª 8 1ª

5 3 3 1 0 0

0 6 36 7 5 0

0 1 6 8 0 5

2 1ª 2ª

2ª

6 3ª 2ª

10 0 30 5 5 0

0 6 36 7 5 0

0 0 0 55 5 30

a matriz non ten inversa, e 2ran M .

Non hai que facer necesariamente a iteración no orden 11a , 22a , …, nna podendo facela en

calquera outro orden, con tal de que a matriz de partida se diagonalice.

81.Calcula, comezando a iterar por 33a , a inversa da matriz

6 4 4

5 3 5

7 5 3

M

.

Solución:

6 4 4

5 3 5

7 5 3

M

6 4 4 1 0 0

5 3 5 0 1 0

7 5 3 0 0 1

3 1ª 4 3ª

3 2ª 5 3ª

3ª

10 8 0 3 0 4

20 16 0 0 3 5

7 5 3 0 0 1

2 1ª 2ª

2ª

16 3ª 5 2ª

0 0 0 6 3 3

20 16 0 0 3 5

12 0 48 0 15 9

a matriz non ten inversa, e 2ran M .

427. Matriz inversa

Prácticas

82.Calcula, comezando a iterar por 33a , a inversa da matriz

7 2 2

2 8 7

3 1 1

A

.

Solución:

7 2 2

2 8 7

3 1 1

A

7 2 2 1 0 0

2 8 7 0 1 0

0 0 13 1 1

1ª 2 3ª

2ª 7 3ª

3ª

1 0 0 1 0 2

23 1 0 0 1 7

3 1 1 0 0 1

1ª

2ª

3ª 2ª

1 0 0 1 0 2

23 1 0 0 1 7

26 0 1 0 1 8

1ª

2ª 23 1ª

3ª 26 1ª

1 0 0 1 0 2

0 1 0 23 1 53

0 0 1 26 1 60

1ª 1

2ª 1

3ª 1

1 0 0 1 0 2

0 1 0 23 1 53

0 0 1 26 1 60

1

1 0 2

23 1 53

26 1 60

A

.

83.Calcula a matriz inversa de1 0

2 4B

.

Solución:

0 1

1 12 2

1 0 1 0

2 4 0 1

1ª

2ª 2 1ª

1 0 1 0

0 4 2 1

1ª 1

2ª 4

1 01 01 10 1

2 4

11 0

1 12 4

B

.

En vez de facer a iteración completa como fixemos nos casos anteriores, pode facerse endúas veces, facendo ceros por debaixo da diagonal principal na primeira e despois nos queestán por riba da diagonal principal na segunda (ou ao revés).

• O procedemento en dúas voltas é moito menos eficiente co descrito antes, leva máistempo e, frecuentemente, hai que traballar con números máis grandes, sobre todo conmatrices algo “grandes”.

• Preferentemente utilizaremos a iteración completa.

84.Calcula a matriz inversa de

5 3 2

3 2 1

7 2 8

A

.

Solución:

Facémolo de dúas maneiras: pivotando completamente e en dúas voltas:

I.

5 3 2

3 2 1

7 2 8

A

5 3 2 1 0 0

3 2 1 0 1 0

7 2 8 0 0 1

1ª

5 2ª 3 1ª

5 3ª 7 1ª

5 3 2 1 0 0

0 1 1 3 5 0

0 31 26 7 0 5

1ª 3 2ª

2ª

3ª 31 2ª

5 0 5 10 15 0

0 1 1 3 5 0

0 0 5 100 155 5

1ª 3ª

5 2ª 3ª

3ª

5 0 0 90 140 5

0 5 0 85 130 5

0 0 5 100 155 5

1ª 5

2ª 5

3ª 5

1 0 0 18 28 1

0 1 0 17 26 1

0 0 1 20 31 1

1

18 28 1

17 26 1

20 31 1

A

.

Matrices43

Prácticas

II.

5 3 2

3 2 1

7 2 8

M

5 3 2 1 0 0

3 2 1 0 1 0

7 2 8 0 0 1

1ª

5 2ª 3 1ª

5 3ª 7 1ª

5 3 2 1 0 0

0 1 1 3 5 0

0 31 26 7 0 5

1ª

2ª

3ª 31 2ª

5 3 2 1 0 0

0 1 1 3 5 0

0 0 5 100 155 5

5 1ª 2 3ª

5 2ª 3ª

3ª

25 15 0 195 310 10

0 5 0 85 130 5

0 0 5 100 155 5

1ª 3 2ª

2ª

3ª

25 0 0 450 700 25

0 5 0 85 130 5

0 0 5 100 155 5

1ª 25

2ª 5

3ª 5

1 0 0 18 28 1

0 1 0 17 26 1

0 0 1 20 31 1

1

18 28 1

17 26 1

20 31 1

A

.

A función mrref permite “escalonar total-

mente” unha matriz, de xeito similar a como sefai polo método de Gauss para obter a inversa.

É conveniente comparar o uso e funcionamento das funcións ref e rref . Sendo a a

matriz de partida tecleouse: augment θa,identity 3 e despois rref ans .

85.Calcula a inversa de

1 2 1

3 0 4

0 4 1

A

.

Solución:

Facémolo de dúas maneiras: pivotando completamente e en dúas voltas:

I.

1 2 1

3 0 4

0 4 1

1 2 1 1 0 0

3 0 4 0 1 0

0 4 1 0 0 1

1ª

2ª 3 1ª

3ª

1 2 1 1 0 0

0 6 1 3 1 0

0 4 1 0 0 1

3 1ª 2ª

2ª

3 3ª 2 2ª

3 0 4 0 1 0

0 6 1 3 1 0

0 0 1 6 2 3

1ª 4 3ª

2ª 3ª

3ª

3 0 0 24 9 12

0 6 0 9 3 3

0 0 1 6 2 3

1ª 3

2ª 6

3ª

3 1 12 2 2

1 0 0 8 3 4

0 1 0

0 0 1 6 2 3

1

8 3 4

3 1 12 2 2

6 2 3

A

.

Sábese que a función rref permite o escalonamento total e que co seu uso pode obterse a inver-

sa escalonando a matriz ampliada. Imos ver agora como se pode facer paso a paso usando as calcu-ladoras TI que citamos neste tema.

Para facer os cálculos paso a paso úsanse as funcións mrowAdd e mRow .

447. Matriz inversa

Prácticas

Identicamente se pode facer usando TI-89 Titanium ou TI Voyage 200.

Matrices45

Prácticas

II.

1 2 1

3 0 4

0 4 1

1 2 1 1 0 0

3 0 4 0 1 0

0 4 1 0 0 1

1ª

2ª 3 1ª

3ª

1 2 1 1 0 0

0 6 1 3 1 0

0 4 1 0 0 1

1ª

2ª

3 3ª 2 2ª

1 2 1 1 0 0

0 6 1 3 1 0

0 0 1 6 2 3

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

1 2 0 5 2 3

0 6 0 9 3 3

0 0 1 6 2 3

3 1ª 2ª

2ª

3ª

3 0 0 24 9 12

0 6 0 9 3 3

0 0 1 6 2 3

1ª 3

2ª 6

3ª 1

3 1 12 2 2

1 0 0 8 3 4

0 1 0

0 0 1 6 2 3

1

8 3 4

3 1 12 2 2

6 2 3

A

.

86.Dada a matriz adxun-ta, obtén a súa matriz in-versa.

Solución:

Facémolo de dúas manei-ras: pivotando completa-mente e en dúas voltas:

3 6 7 6

7 1 3 4

9 2 9 7

2 1 5 0

I.

3 6 7 6

7 1 3 4

9 2 9 7

2 1 5 0

M

3 6 7 6 1 0 0 0

7 1 3 4 0 1 0 0

9 2 9 7 0 0 1 0

2 1 5 0 0 0 0 1

1ª

3 2ª 7 1ª

3ª 3 1ª

3 4ª 2 1ª

3 6 7 6 1 0 0 0

0 39 40 54 7 3 0 0

0 16 12 25 3 0 1 0

0 15 29 12 2 0 0 3

13 1ª 2 2ª

2ª

39 3ª 16 2ª

13 4ª 5 2ª

39 0 11 30 1 6 0 0

0 39 40 54 7 3 0 0

0 0 172 111 5 48 39 0

0 0 177 114 9 15 0 39

172 1ª 11 3ª

43 2ª 10 3ª

3ª

172 4ª 177 3ª

6708 0 0 3939 117 1560 429 0

0 1677 0 3432 351 351 390 0

0 0 172 111 5 48 39 0

0 0 0 39 663 1176 6903 6708

1ª 101 4ª

2ª 88 4ª

13 3ª 37 4ª

4ª

6708 0 0 0 67080 1120236 697632 677508

0 1677 0 0 58695 974337 607074 590304

0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196

0 0 0 39 663 1176 6903 6708

1ª 6708

2ª 1677

3ª 2236

3ª 39

1 0 0 0 10 167 104 101

0 1 0 0 35 581 362 352

0 0 1 0 11 183 114 111

0 0 0 1 17 284 177 172

1

10 167 104 101

35 581 362 352

11 183 114 111

17 284 177 172

M

.

467. Matriz inversa

Prácticas

II.

3 6 7 6

7 1 3 4

9 2 9 7

2 1 5 0

M

3 6 7 6 1 0 0 0

7 1 3 4 0 1 0 0

9 2 9 7 0 0 1 0

2 1 5 0 0 0 0 1

1ª

3 2ª 7 1ª

3ª 3 1ª

3 4ª 2 1ª

3 6 7 6 1 0 0 0

0 39 40 54 7 3 0 0

0 16 12 25 3 0 1 0

0 15 29 12 2 0 0 3

1ª

2ª

39 3ª 16 2ª

13 4ª 5 2ª

3 6 7 6 1 0 0 0

0 39 40 54 7 3 0 0

0 0 172 111 5 48 39 0

0 0 177 114 9 15 0 39

1ª

2ª

3ª

172 4ª 177 3ª

3 6 7 6 1 0 0 0

0 39 40 54 7 3 0 0

0 0 172 111 5 48 39 0

0 0 0 39 663 11076 6903 6708

13 1ª 2 4ª

13 2ª 18 4ª

13 3ª 37 4ª

4ª

39 78 91 0 1339 22152 13806 13416

0 507 520 0 12025 199407 124254 120744

0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196

0 0 0 39 663 11076 6903 6708

172 1ª 7 3ª

43 2ª 10 3ª

3ª

4ª

6708 13416 0 0 402480 6674460 4158960 4044924

0 21801 0 0 763035 12666381 7891962 7673952

0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196

0 0 0 39 663 11076 6903 6708

13 1ª 8 2ª

2ª

3ª

4ª

87204 0 0 0 872040 14563068 9069216 8807604

0 21801 0 0 763035 12666381 7891962 7673952

0 0 2236 0 24596 409188 254904 248196

0 0 0 39 663 11076 6903 6708

1ª 87204

2ª 21801

3ª 2236

4ª 39

1 0 0 0 10 167 104 101

0 1 0 0 35 581 362 352

0 0 1 0 11 183 114 111

0 0 0 1 17 284 177 172

1

10 167 104 101

35 581 362 352

11 183 114 111

17 284 177 172

M

.

87.Calcula a matriz 2 3 2M P P I , sendo I a matriz identidade de orde 2 e1 3

2 1P

.

Solución:

2 1 3 1 3

2 1 2 1P

7 0

0 7

;1 3

3 32 1

P

3 9

6 3

;1 0 2 0

2 20 1 0 2

I

2 3 2M P P I 7 0 3 9 2 0

0 7 6 3 0 2

8 9

6 2

.

Matrices47

Prácticas

88.Proba que a matriz2 1

4 2B

non ten inversa.

Solución:

Se 1 x yB

z t

é a inversa de B , 1B B I . Neste caso:

2 1 1 0

4 2 0 1

x y

z t

2 1

4 2 0

x z

x z

,

2 0

4 2 1

y t

y t

.

Obtivemos dous sistemas de ecuacións que non teñen solución. Polo tanto, a matriz B non ten in-versa.

89.Determina a matriz X que verifica:0 0

0 0AXA B

, sendo as matrices

3 1

2 1A

e

5 2

1 3B

.

Solución:

Calculamos a matriz inversa de A , 1A , que debe cumprir 1A A I :

I.3 1 1 0

2 1 0 1

a b

c d

3 3 1 0

2 2 0 1

a c b d

a c b d

3 1

2 0

a c

a c

1

2

a

c

,

3 0

2 1

b d

b d

1

3

b

d

1 1 1

2 3A

.

II.3 1 1 0

2 1 0 1

1ª 2ª

2ª

1 0 1 1

2 1 0 1

1ª

2ª 2 1ª

1 0 1 1

0 1 2 3

1ª

2ª 1

1 0 1 1

0 1 2 3

1 1 1

2 3A

.

Despexamos X , pasando B ao segundo membro e multiplicando pola dereita e pola esquerda por1A :

0 0

0 0AXA B

AXA B 1 1 1 1A AXAA A BA 1 1IXI A BA 1 1X A BA

Polo tanto:1 1 5 2 1 1

2 3 1 3 2 3X

6 1 1 1

13 5 2 3

4 3

3 2

.

Comprobamos que a matriz4 3

3 2X

cumpre que

0 0

0 0AXA B

.

90.Calcula as matrices A e B que verifican:3 2 1

3 1 3A B

,

6 0 22 2

2 2 2A B

.

Solución:

Primeiro multiplicamos por 12

os dous membros da segunda ecuación e sumamos despois as dúas

ecuacións:

3 0 1

1 1 1A B

; 2A B A B A

0 2 2

4 2 4

0 1 1

2 1 2A

.

Despexamos B na primeira ecuación:3 2 1 0 1 1

3 1 3 2 1 2B

3 1 0

1 0 1

.

Solución:0 1 1

2 1 2A

,3 1 0

1 0 1B

.

487. Matriz inversa

Prácticas

91.Dada a matriz1 1

1 1A

, calcula nA .

Solución:

Calculamos 2A , 3A , 4A , …: 2A A A 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2

2 2

;

3 2A A A 2 2 1 1

2 2 1 1

4 4

4 4

;

4 3A A A 4 4 1 1

4 4 1 1

8 8

8 8

.

Observamos que1 1

2

1 1

2 2

2 2A

,2 2

3

2 2

2 2

2 2A

,3 3

4

3 3

2 2

2 2A

.

Supoñemos que seguen a mesma regra para o expoñente n , é dicir:1 1

1 1

2 2

2 2

n nn

n nA

.

Se comprobamos que esta expresión de nA é válida para 1nA , daquela será válida para calquera n(método de indución completa). Comprabamos que o é:

11n nA A A 1 1

1 1

1 12 2

1 12 2

n n

n n

1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

n n n n

n n n n

2 2

2 2

n n

n n

1 1 12 2 2 2 2n n n n .

92.Calcula x , y , z tales que:1 1 5 0

0 5

y x

x z y z

.

Solución:

Transformamos esa igualdade nun sistema de ecuacións multiplicando as matrices do primeiromembro e igualando termo a termo:

2

2 2

5 01

0 5

y x yz

x yz x z

2

2 2

1 5

0

5

y

x yz

x z

2 2 2 2

2 ou ben

2 0 2 0

5 5

y

x z x z

x z x z

1z .

Obtéñense 4 solucións: 1 1 12, 2, 1x y z , 2 2 22, 2, 1x y z , 3 3 32, 2, 1x y z ,

4 4 42, 2, 1x y z .

Solución: 1 1 12, 2, 1x y z , 2 2 22, 2, 1x y z , 3 3 32, 2, 1x y z , 4 2x , 4 2y ,

4 1z .

93.Dise que unha matriz é invertible cando ten matriz inversa. Demostra que se A e B son in-

vertibles, se verifica que 1 1 1A B B A

.

Solución:

Se 1 1B A é a inversa de A B , o produto de ambas debe ser igual á matriz unidade I :

1 1A B B A 1 1A B B A pola propiedade asociativa do produto:

1 1A B B A 1A I A , xa que 1B B I ;

1 1A B B A 1A I A 1A A , xa que A I A ;

1 1 1A B B A A A I , porque 1A A I ;

Polo tanto, é certo que 1 1 1A B B A

.

Matrices49

Prácticas

94.Se A é unha matriz de orde n tal que 2A A e 2B A I , sendo I a matriz identidade de

orde n , calcula 2B .Solución:

2 2 22 2 4 2 2B B B A I A I A AI I A I .

Tendo en conta que 2A A , 2I I , 2 2 2AI I A A 2 44 2 2B A A A I 2B I .

95.Dada a matriz1 2

0 1A

, obtén todas as matrices B que conmutan con A , é dicir, que

A B B A .

Solución:

Sexaa b

Bc d

1 2 1 2

0 1 0 1

a b a b

c d c d

2 2 2

2

a c b d a a b

c d c c d

2 0

2 2

2 0

a c a c

b d a b a d

d c d c

Hai infinitas matrices que conmutan con A .

As infinitas matrices que conmutan con A son da forma:

0

a bB

a

, ,a b .

96.Determina os valores de m para os cales0

0 2

mX

verifique 2 50

2X X I .

Solución:

2 5

2X X I

0 0 0 1 05

0 2 0 2 0 2 0 12

m m m

2 51 000

20 10 4

0 5

mm

22 5 20

2

0 0

m m

0 0

0 0

22 5 2 0m m 2

12

m

m

.

Solución: hai dúas solucións: 2m e 12

m .

97.Determina a e b de maneira que a matriz2 1

Aa b

verifique que 2A A .

Solución:

2 2 1 2 1A

a b a b

2

4 2

2

a b

a ab a b

;

2A A 2

4 2 2 1

2

a b

a ab a b a b

.

Da anterior igualdade tense o sistema:

2

4 2 2

2 1 1

2 4 2 2

2 1 1

a a

b b

a ab a

a b b

.

Solución: 2a , 1b .

507. Matriz inversa

Prácticas

98.Dada a matriz1 2

2 1A

, calcula unha matriz B tal que0 3

3 0A B

.

Solución:

0 3

3 0A B

1 1 0 3

3 0A A B A

1 0 3

3 0B A

; calculamos 1A .

1 2 1 0

2 1 0 1

1ª

2ª 2 1ª

1 2 1 0

0 3 2 1

1ª 3 2ª 2

2ª

3 0 1 2

0 3 2 1

1ª 3

2ª 3

1 21 0 3 3

0 1 2 13 3

1

1 23 3

2 13 3

A

; 1 0 3

3 0B A

1 20 33 3

2 1 3 03 3

B

2 1

1 2

.

99.Calcula X tal que 2X B A B , sendo:

1 0 1

1 1 0

0 0 2

A

,

1 0 1

1 1 1

0 0 1

B

.

Solución:

2X B A B 2X A B B ;

1 0 1 1 0 1

1 1 0 1 1 1

0 0 2 0 0 1

A B

1 0 0

2 1 0

0 0 2

;

2

1 0 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1

0 0 1 0 0 1

B

1 0 2

2 1 1

0 0 1

2X A B B

1 0 0 1 0 2

2 1 0 2 1 1

0 0 2 0 0 1

2 0 2

4 2 1

0 0 3

.

100. Resolve1 1 1 3

3 2 1 2

x x

y y

.

Solución:

1 1 1 3

3 2 1 2

x x

y y

3 2

3 2 3 2

x y x

x y y

3 2

3 2 3 2

x y x

x y y

3

3 2

x y

x y

.

Sumando 4 5x 54

y 3x y 74

.

Solución: 74

x , 54

y .

101. Estuda a dependencia lineal do seguinte conxunto de vectores segundo os valores do pará-

metro t : 1 1, 1,0, 2u

, 2 2,0,1, 2u

, 3 3,1,1,u t

Solución:

Debemos estudar o rango da matriz

1 1 0 2

2 0 1 2

3 1 1

M

t

1ª

2ª 2 1ª

3ª 3 1ª

1 1 0 2

0 2 1 6

0 4 1 6t

1ª

2ª

3ª 2 2ª

1 1 0 2

0 2 1 6

0 0 1 6t

3ran M para calquera valor de t . Os tres vectores son linealmente independentes, calque-

ra que sexa o valor de t .

Matrices51

Prácticas

102. A táboa adxunta amosa a cantidade de vitaminas A , B e C que po-súe cada un dos produtos P , Q , R , S por unidade de peso.

102.1.Quérese elaborar unha dieta na que entren todos os produtos e de manei-ra que conteña 20 unidades de vitamina A , 25 de vitamina B e 6 de vitaminaC . É posible facelo? De cantas maneiras?

102.2.Se a cantidade de produto Q é de 2 unidades, ¿cales serán as cantidades

dos outros produtos nesa dieta?

1 2 0

1 0 2

2 1 0

1 1 1

A B C

P

Q

R

S

102.3.Obtén, en función da cantidade Q que entre na dieta, as cantidades dos outros produtos.

Entre que valores tería que estar a cantidade de produto Q ?

Solución:

102.1. Sexan x y z t ás cantidades de cada

un dos produtos P , Q , R e S que interve-

ñen na dieta. Para que a dieta teña as cantida-des de vitaminas requiridas, debe cumprirse aigualdade adxunta. Multiplicando e igualandoas matrices tense o sistema:

1 2 0

1 0 220 25 6

2 1 0

1 1 1

A B C

PP Q R S A B

Q

S

y zR

x t

C

2 20

2 25

2 6

x y z t

x z t

y t

1 1 2 1 20

2 0 1 1 25

0 2 0 1 6

1ª

2ª 2 1ª

3ª

1 1 2 1 20

0 2 3 1 15

0 2 0 1 6

2 1ª 2ª

2ª

3ª 2ª

2 0 1 1 25

0 2 3 1 15

0 0 3 0 9

5ª 4ª1 t

2 0 1 25

0 2 3 15

0 0 3 9

1ª

2ª 1

3ª 3

2 0 1 25

0 2 3 15

0 0 1 3

1ª 3ª

2ª 3 3ª

3ª

2 0 0 22

0 2 0 6

0 0 1 3

1ª 2

2ª 2

3ª

2

2

1 0 0 11

0 1 0 3

0 0 1 3

112

x , 32

y , 3z

e t . Faise un cambio de unidades, para unha mellor presentación e tomando 2

11x , 3y , 3z , 2t .

Solucións: 11 , 3 , 3, 2x y z t .

Mediante o método de Gauss compróbase que o sistema é compatible indeterminado. Por iso,poden elaborarse infinitas dietas dos produtos P , Q , R e S coas vitaminas esixidas.

102.2. Facendo na solución 11 , 3 , 3, 2x y z t 2y 1 10x , 3z ,

2t . A dieta estará formada por 10 unidades de P , 2 de Q , 3 de R e 2 de S .

102.3. Resolvemos o sistema en función de y (cantidade de produto Q que intervén na dieta).

Para iso en 1 faise y .

2 0 1 1 25

0 2 3 1 15

0 0 3 0 9

5ª 2ªy

2 1 1 25

0 3 1 15 2

0 3 0 9

3 1ª 2ª

2ª

3ª 2ª

6 0 2 60 2

0 3 1 15 2

0 0 1 6 2

1ª 2 3ª

2ª 3ª

3ª

6 0 0 48 6

0 3 0 9

0 0 1 6 2

1ª 6

2ª 3

3ª

1 0 0 8

0 1 0 3

0 0 1 6 2

.

Solucións: 8 , , 3, 6 2x y z t .

Estas solucións 8+ , ,3,6 2 indican que as cantidades de P , Q , R e S que forman

cada unha das posibles dietas. Para que estas cantidades non sexan negativas, debe variarentre 0 e 3. É dicir: 0 3 .

528. Funcións de TI para o cálculo matricial. Operacións con filas

Prácticas

8. FUNCIÓNS DE TI PARA O CÁLCULO MATRICIAL. OPERACIÓNS CON FILAS

As calculadoras TI-89 Titanium, Voyage 200 e TI-nspire CAS teñen funcións que facilitan o cál-culo matricial. Poden usarse simultaneamente, como se viu en exemplos anteriores.

A función 1 2, ,m i irowSwap permite intercam-

biar dúas filas dunha matriz. Úsase co métodode Gauss para facelo paso a paso.

A función 1 2, ,m i irowAdd devolve unha copia

da matriz substituíndo a fila 2i pola súa suma

coa fila de índice 1i .

A función 1, ,k m imRrow devolve unha copia

da matriz substituíndo cada elemento da fila 1i

polo equivalente multiplicado por k .

A función 1 2, , ,k m i imRrowAdd devolve unha

copia da matriz substituíndo a fila 2i pola súa su-

ma coa 1i multiplicada por k .

Matrices53

Prácticas

9. PROGRAMANDO UTILIDADES CON TI

As anteriores tarefas poden facerse máis comodamente facendo unhas pequenas aplicacións paraas calculadoras TI, programas, funcións, librerías, ... segundo se desexe. No que segue fanse dúasaplicacións pequenas, unha función e un programa, para acelerar o método de Gauss para unha filae para toda unha matriz, segundo se desexe. En TI-nspire CAS serán almacenaranse nunha biblio-teca pública para poder acceder a ela dende calquera aplicación e en TI-89 Titanium ou Voyage200 almacenaranse nunha carpeta para acceder a elas dende calquera sitio.

Non se pretende facer un curso de programación, senón sinalar algunhas posibilidades de facilitaro traballo, que cada quen pode adaptar ás súas necesidades e ás condicións do traballo que ten.

9.1. Función gaussfm

Esta función recibirá unha matriz, as coordenadas do elemento pivote e o índice da fila na que se

desexa facer o cero. , , ,m i j f gaussfm : m é a matriz que se traballa, , ,i j i j re-

presentan as coordenadas do elemento pivote e f é o índice da fila na que se desexa facer cero o

elemento ,f j . Para facilitar a visión do código úsase a versión PC de TI-nspire CAS.

A aplicación desta función, xa feita sobre a calculadora, é a que se ve nas copias de pantalla se-guintes.

Co elemento 1,2 8m faise cero na segunda

fila (elemento 2,2m ).

Co elemento 1,1 7m faise cero na segunda

fila (elemento 2.1m ).

En TI-89 Titanium ou Voyage 200, que na actualidade teñen maior capacidade de programaciónque as versión TI-nspire CAS, pode facerse o seguinte, onde se ve o código da función e a súaaplicación nuns exemplos:

549. Programando utilidades con TI

Prácticas

Con esta función só nos preocupamos de producir un cero 0 . Tamén podía producirse empre-

gando a función TI , , , , ,c mRow d m f i f mRowAdd , que tamén produciría ese cero.

9.2. Programa gaussm

Usando reiteradamente a anterior función pode facerse ceros nunha columna, pero tamén podemosse pode facer un programa que faga ceros en toda unha columna, e que nos devolva os pasos utili-zados, paso a paso, e o faga igual que facemos calculando manualmente. Úsase tamén a versiónPC de TI-nspire CAS para facilitar a lectura:

Define LibPub gaussm(θm,θi,θj)= Prgm©gaussm(θm,θi,θj) Local m,k,θc,θd,θf,θdim,θs,ma m:=θm rowDim(θm)→θdim For θf,1,θdim Ma:=mIf θf≠θi Then k:=gcd(m[θi,θj],m[θf,θj]) θc:=((m[θf,θj])/(k)) θd:=((m[θi,θj])/(k)) If sign(m[θi,θj])=sign(m[θf,θj]) Then If sign(m[θi,θj])=1 Then m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf) Else m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf) EndIfElse If sign(m[θi,θj])=1 Then m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf) Else

m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf) EndIf

EndIf If sign(θd)=1 Then If sign(θc)=1 Then Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"-",θc,"×F",θi,"=",m Else

Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"+",abs(θc),"×F",θi,"=",m EndIfElse If sign(θc)=1 Then Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"+",θc,"×F",θi,"=",m Else

Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"-",abs(θc),"×F",θi,"=",m EndIfEndIfEndIfEndForEndPrgm

Sexa a matriz

1 6 3

8 3 1

4 9 1

A esa matriz aplícaselle o pro-

grama , ,m i j gaussm (que

neste momento está almacenadoen util ), para facer ceros a partir

de distintos elementos ,i j .

Probamos outros valores ,i j para familiarizarnos co uso dese programa.

Matrices55

Prácticas

Analogamente se fai coas calculadoras TI-89 Titanium e Voyage 200; nestas versións pode facersea saída de pantalla paso a paso. Non se poñen copias de pantalla para non recargar o documento.

Como se ve, cuns pequenos algoritmos poden facerse programas ou funcións que permiten acele-rar o traballo, … e adaptar as calculadoras para optimizar o seu uso segundo ás necesidades de ca-da persoa.

Nas PAU en Galicia preséntanse dificultades para o uso de calculadoras programabeis, poloque o uso destas calculadoras debe facerse para apoiar o cálculo manual que se describe, paracomprobar os cálculos feitos, para explorar opcións, … e non para substituír ese cálculo ma-nual. Tamén como entrenamento para o seu uso nas facultades, escolas técnicas, FP, …

561. Determinantes: definición e propiedades

Prácticas

DETERMINANTES

1. DETERMINANTES: DEFINICIÓN E PROPIEDADES

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

j n

j n

i i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

Aa a a a

a a a a

Sexa unha matriz cadrada A de orde n n .

Os elementos da matriz ija A están identificados polos su-

bíndices, onde o primeiro representa a fila na que se atopa eo segundo a columna.

A matriz represéntase habitualmente entre parénteses ou cor-chetes, como se ve na matriz adxunta.

Dada unha matriz cadrada de orde n n , chámase determinante de A , e represéntase por

det A ou máis frecuentemente por A , ao número que se obtén como resultado de sumar

todos os posibles produtos de n elementos, un de cada fila e un de cada columna, antepo-ñéndolle o signo « » ou « » diante de cada produto segundo que as inversións nas per-mutacións dos subíndices das filas e das columnas sexan da mesma ou de distinta clase; édicir:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

1 21

j n

j n

i i ij in

n n nj nn

k

n

a a a a

a a a a

A a a aa a a a

a a a a

1 21k

na a a , onde , , …, recorren tódalas !n permutacións dos números

1 , 2 , …, n ; o signo « » ou « » diante de cada termo do determinante (é dicir, diante

de cada produto) determínase polo número k de inversións (“desordes”) de cada permuta-ción.

• Por exemplo, o termo 13 21 34 42a a a a do determinante de cuarto orde ten o signo “me-

nos”, xa que a disposición 3,1,4,2 dos segundos subíndices de letras ten tres inver-

sións, que sinalamos con arcos, mentres que a dos primeiros subíndices non ten nin-gunha.

Esta definición é bastante “complexa”, polo que na práctica diaria para o cálculo dos determinantesse utilizan “procedementos abreviados” segundo sexan os determinantes.

Temos que lembrar fundamentalmente que:

O determinante dunha matriz n n é o resultado de sumar todos os posibles produtos de nelementos, un de cada fila e un de cada columna, co seu signo ou co signo cambiado se-gundo un certo criterio.

1.1. Determinantes de orde 2 e 3. Regra de Sarrus

O determinante dunha matriz cadrada de orde dúas é un número que se obtén do seguintexeito:

11 12

21 22

a aA

a a

; 11 22 12 21detA A a a a a 11

22

12

21a a

a a

O determinante de A desígnase, indistintamente, das seguintes formas:

det A , det A , 11 12

21 22

deta a

a a

, A , 11 12

21 22

a a

a a.

Determinantes57

Prácticas

103. Calcula o valor do determinante7 1

2 4

.

Solución:

7 1

2 4

7 4 2 1 28 2 30 .

104. Calcula o valor do determinante4 11

6 0.

Solución:

4 11

6 0 4 0 6 11 0 66 66 .

O determinante dunha matriz 3 3 obtense do seguinte xeito:

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32

31 32 33

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

.

• En cada produto hai un factor de cada fila e un de cada columna. Para comprobalo,observamos que en cada produto hai tres elementos. Os primeiros subíndices (filas)son, sempre,123 . Os segundos subíndices son tamén 123 , pero ordenados de diversasformas.

• Están tódolos posibles produtos cun factor de cada fila e un de cada columna, pois ossubíndices das columnas son todas as permutacións de 1, 2, 3. Hai 3! 6 .

• A metade dos sumandos ten signo e a outra metade signo . Estes seis sumandoslémbranse facilmente coa seguinte regra mnemotécnica, chamada regra de Sarrus:

105. Calcula o valor do determinante

3 2 5

1 7 3

4 1 0

.

Solución:

3 2 5

1 7 3

4 1 0

Aplicamos a regra de Sarrus:

Co signo : 5 24 0 19 Co signo : 140 9 0 149

Polo tanto, o determinante vale: 19 149 168 .


Prácticas


7 4 3

0 11 1

0 0 5

.

Solución:

Nas matrices triangulares, o único sumando non nulo no desenvolvemento do seu determinante é oda diagonal principal. Polo tanto:

7 4 3

0 11 1

0 0 5

7 11 5 385 .

As calculadoras TI que empregamos contan coa

función det que permite calcular directamen-

te o determinante dunha matriz cadrada.


5 1 4

0 3 6

9 6 8

.

Solución:

5 1 4

0 3 6

9 6 8

5 3 8 1 6 9 4 0 6 4 3 9 1 0 8 5 6 6 114 .


9 0 3

1 1 0

0 2 1

.

Solución:

9 0 3

1 1 0

0 2 1

9 1 1 0 0 0 3 1 2 3 1 0 0 1 1 9 0 2 3.


0 4 1

1 2 1

3 0 1

.

Solución:

0 4 1

1 2 1

3 0 1

0 2 1 4 1 3 1 1 0 1 2 3 4 1 1 0 1 12 6 4 14 .

Determinantes59

Prácticas


10 47 59

0 10 91

0 0 10

.

Solución:

10 47 59

0 10 91

0 0 10

1000 .

1.2. Propiedades dos determinantes

As seguintes propiedades, que exemplificamos/xustificamos con determinantes de orde 2 e orde 3,son válidas para calquera orde.

1. O determinante dunha matriz é igual có da súa transposta: tA A .

111. 7 4 7 5

7 11 5 4 975 11 4 11

.

2. Se un determinante ten unha liña (fila ou columna) de ceros, daquela o seu determi-nante é cero.

• É cero porque en cada un dos sumandos hai un factor cero.

112.0 0

0 6 0 7 07 6

.

3. Se permutamos dúas liñas (filas ou columnas) dunha matriz, o seu determinante cam-bia de signo.

• O sumando con signo máis pasa a ter signo menos, e viceversa.

113.5 3

35 6 292 7

3 5

6 35 297 2

.

3 1 7

2 4 8 3 4 9 2 6 7 1 8 5 7 4 5 3 8 6 1 2 9 Son os mesmos

5 6 9 sumandos pero

teñen os signos7 1 3

cambiados8 4 2 7 4 5 3 8 6 1 2 9 3 4 9 7 2 6 1 8 5

9 6 5

4. Se unha matriz ten dúas liñas (filas ou columnas) iguais, o seu determinante é cero.

• O sumando con signo máis coincide co sumando con signo menos.

114.4 11

44 44 04 11

.

4 5 2

8 6 9

8 6 9

4 6 9 8 6 2 8 5 9 8 6 2 8 5 9 4 6 9 .


Prácticas

5. Se multiplicamos cada elemento dunha liña (fila ou columna) por un número, o deter-minante desa matriz queda multiplicado por ese número.

• Cada un dos sumandos queda multiplicado polo devandito número.

115.5 4 5 9 4 9

53 11 3 11

.

3 1 7

2 4 8

5 6 9

k

k

k

3 4 9 2 6 7 5 1 8 5 4 7 2 1 9 3 6 8k k k k k k

3 4 9 2 6 7 5 1 8 5 4 7 2 1 9 3 6 8k

3 1 7

2 4 8

5 6 9

k .

6. Se unha matriz ten dúas liñas (filas ou columnas) proporcionais, o seu determinante écero.

116.60 6 10 6 6 6 6

10 10 0 070 7 10 7 7 7 7

.

• Abonda con aplicar a propiedade 5. Ao extraer do determinante o factor de proporcio-nalidade quédannos dúas liñas iguais que, pola propiedade 4, fan que o determinantese anule.

7. Se unha liña (fila ou columna) dunha matriz é suma de dúas, o seu determinante podedescompoñerse en suma dos determinantes de dúas matrices, do seguinte xeito:

' '

' '

a a b a b a b

c c d c d c d

11 12 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 22 23 21 22 23 21 22 23

31 32 32 33 31 32 33 31 32 33

' '

' '

' '

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

•'

'

a a b

c c d

' 'a a d c c b ' 'ad cb a d c b

'

'

a b a b

c d c d .

8. Se a unha columna (ou a unha fila) dunha matriz se lle suma outra columna (ou outrafila) multiplicada por un número, o determinante da nova matriz é igual ao da primei-ra.

• a b k a

c d k c

a b a k a

c d c k c

0

a b

c d

a b

c d.

Pola propiedade 7.

Pola propiedade 6, xa que as columnas da matriza k a

c k c

son proporcionais.

117.2 5 3 11 5 16 2 2 5 3

4 8 1 11 8 16 4 4 8 1

6 9 7 11 9 16 6 6 9 7

.

Determinantes61

Prácticas

9. Se unha matriz ten unha liña que é combinación lineal das demais paralelas, daquelao seu determinante é cero. E reciprocamente: se un determinante é cero, ten unha fila(e unha columna) combinación lineal das demais.

• Pódese descompoñer en suma de varios determinantes, cada un dos cales é cero porter dúas liñas proporcionais.

10. O determinante do produto de dúas matrices é igual ao produto dos seus determinan-

tes: A B A B .

118.2 5

7 20A

,1 7

2 4B

,

8 34

33 129A B

;

5A ; 18B , 90A B A B .

10’. Se 1 10A A

A . En efecto: 1 1 1A A I A A 1 1

AA

.

119. Sen desenvolver, proba que

7 4 74

1 6 16 0

9 3 93

.

Solución:

7 4 74

1 6 16

9 3 93

7 4 70 4

1 6 10 6

9 3 90 3

7 4 7 10 4

1 6 1 10 6 0

9 3 9 10 3

.

E cero pola propiedade 9. Columnas 1ª 10 2ª 3ª .

120. Xustifica, sen desenvolver, que

3 1 7

0 0 0 0

1 11 4

.

Solución:

3 1 7

0 0 0 0

1 11 4

Ten unha fila de ceros. Propiedade 2.


4 1 7

2 9 1 0

8 2 14

.

Solución:

4 1 7

2 9 1 0

8 2 14

A 3ª fila é combinación lineal da 1ª: 3ª 1ª 2 . Propiedade 6.


7 4 1

2 9 7 0

27 94 71

.

Solución:

7 4 1

2 9 7 0

27 94 71

A 3ª fila é combinación lineal da 1ª e 2ª: 3ª 2ª 10 1ª . Propiedade 9.


Prácticas


45 11 10

4 1 1 0

5 1 0

.

Solución:

45 11 10

4 1 1 0

5 1 0

A 1ª fila é combinación lineal das outras dúas: 1ª 2ª 10 3ª . Propiedade 9.

124. Xustifica porque é cero o seguinte determinante

1 4 1 6

2 5 11 4

1 4 1 6

3 12 4 2

.

Solución:

A propiedade 4 dos determinantes di que se unha matriz cadrada ten dúas liñas paralelas iguais, oseu determinante é cero. Neste caso, son iguais as filas 1ª e 3ª, polo tanto, o determinante é cero.

125. Resolve a ecuación2

2 1 20

x x

x x

.

Solución:

2

2 1 20

x x

x x

2 2 1 2 0x x x x 3 2 22 2 0x x x x 3 0x x

2 1 0x x 0

1

x

x

.

Solución: 1x , 0x , 1x .

As calculadoras TI que empregamos axudan naresolución directa deste tipo de exercicios, comose ve nas copias de pantalla adxuntas.

126. Tendo en conta que 5 0 3 1

1 1 1

x y z

calcula sen desenvolver

3 3 3

5 0 3

1 1 1

x y z

.

Solución:

3 3 3

5 0 3

1 1 1

x y z

3 5 0 3

1 1 1

x y z

3 1 3 .

Determinantes63

Prácticas


1 1 1

x y z

calcula sen desenvolver

5 5 5

31 05

1 1 1

x y z

.

Solución:

5 5 5

31 05

1 1 1

x y z

1

5 5 0 35

1 1 1

x y z

1 1 1 .


1 1 1

x y z

calcula sen desenvolver 2 5 2 2 3

1 1 1

x y z

x z

x y z

.

Solución:

2 5 2 2 3

1 1 1

x y z

x z

x y z

5 0 3 1

1 1 1

x y z

.

129. Xustifica o valor do seguinte determinante

4 3 1 27

1 1 4 90

2 4 1 36

0 6 2 54

.

Solución:

4 3 1 27

1 1 4 90

2 4 1 36

0 6 2 54

A columna 4ª é proporcional á 2ª: 2ª 9 4ª (propiedade 6).


4 7 0 2

1 3 0 6

3 0 0 1

2 1 0 3

.

Solución:

A propiedade 2 dinos que un determinante é nulo se ten unha liña de ceros. Neste caso, todos oselementos da 3ª columna son cero.

131. Xustifica o valor do seguinte determinante

1 0 1 0

2 4 0 30

612 704 410 103

6 7 4 1

.

Solución:

1 0 1 0

2 4 0 30

612 704 410 103

6 7 4 1

.

A 3ª fila é combinación lineal das outras: 1ª 10 2ª 4ª 100 3ª (propiedade 9).


Prácticas


3 2 7 8 3278

7 4 5 6 7456

6 1 3 9 6139

1 5 0 4 1504

0 0 0 1 1

.

Solución:

3 2 7 8 3278

7 4 5 6 7456

6 1 3 9 6139

1 5 0 4 1504

0 0 0 1 1

3 2 7 8 3 1000 2 100 7 10 8

7 4 5 6 7 1000 4 100 5 10 6

06 1 3 9 6 1000 1 100 3 10 9

1 5 0 4 1 1000 5 100 0 10 4

0 0 0 1 0 1000 0 100 0 10 1

.

Aplicamos a propiedade 9 dos determinantes, que di que, se unha matriz ten unha liña que é com-binación lineal das demais paralelas, daquela o seu determinante é cero. Neste caso, a 5ª columna écombinación lineal das catro primeiras:Por columnas 1ª 1000 2ª 100 3º 10 4ª 5ª .

133. Xustifica se o valor do determinante

4 0 0 0

0 0 8 0

0 0 0 1

0 3 0 0

é 96 ou 96 .

Solución:

4 0 0 096

0 0 8 0ou

0 0 0 196

0 3 0 0

; 4 8 1 3 96 ;

este é o único produto posible distinto de cero. Polo tanto, o determinante valerá 96 ou 96 , se-gundo o signo que lle corresponda a dito produto.

134. Xustifica se o valor do seguinte determinante

1 0 0 0

4 1 0 0

7 1 1 0

3 1 4 1

é 1 ou 1 .

Solución:

1 0 0 01

4 1 0 0ou

7 1 1 01

3 1 4 1

; 1 1 1 1 1 ;

este é o único produto posible distinto de cero. Polo tanto, o determinante valerá 1 ou 1 , segundoo signo que lle corresponda a dito produto.

135. Calcula o valor de a que anula o determinante

3 4 5

1 1 1

1 1 a

.

Solución:

3 4 5

1 1 1

1 1 a

3 4 5 5 4 3a a 7 7a ; 7 7 0 1a a .

Solución: 1a .

Determinantes65

Prácticas

136. Resolve a ecuación1 1

121 1

x x

x x

.

Solución:

1 112

1 1

x x

x x

2 21 1 12x x 2 21 2 1 2 12x x x x 4 12x 3x .

Solución: 3x .

As calculadoras TI que empregamos axudan naresolución directa deste tipo de exercicios, comose ve nas copias de pantalla adxuntas.

137. Se 5m n

p q , xustifica cal é o valor do determinante

2

2

p m

q n.

Solución:

2

2

p m

q n

4

2p m

q n

2

2p q

m n

3

2 2 5 10m n

p q .

2 O determinante dunha matriz coincide co da súa transposta.

3 Se cambiamos a orde de dúas filas ou dúas columnas, o determinante cambia de signo.

4 Se multiplicamos unha fila ou unha columna por un número, o determinante queda multipli-

cado por ese número.

138. Se 5m n


3 3m n p q

n q

.

Solución:

3 3m n p q

n q

1 m p

n q

2

5m n

p q .

1 Se a unha fila lle sumamos outra multiplicada por un número, o determinante non varía.

2 O determinante dunha matriz coincide co da súa transposta.

139. Se 5m n


3

3

n m

q p

.

Solución:

3

3

n m

q p

4

3n m

q p

3

3 3 5 15m n

p q .

3 Se cambiamos a orde de dúas filas ou dúas columnas, o determinante cambia de signo.

4 Se multiplicamos unha fila ou unha columna por un número, o determinante queda multipli-

cado por ese número.

662. Menor complementario e adxunto

Prácticas

2. MENOR COMPLEMENTARIO E ADXUNTO

Se nunha matriz seleccionamos r filas e r columnas, os elementos nos que se cruzan for-man unha submatriz cadrada de orde r .

• O determinante desa submatriz chámase menor de orde r da matriz inicial.

140. Na matriz

7 9

2 4 6 3 6

5 2 3

3 09 8

5

2

021 1

Seleccionamos un

. O seu valor é:

menor

de orde tres

5 2 3

3 0 2 23

1 1 0

.

• Se nunha matriz cadrada n n salientamos un elemento, ija ao suprimir a súa fila e a

súa columna obtense unha submatriz 1 1n n .

O seu determinante é un menor de orde 1n que se chama menor complementario

do elemento ija e que se designa por ij .

• Chámaselle adxunto de ija ao número 1ij

i j

ijA

, é dicir, ao menor comple-

mentario co seu signo ou co signo cambiado, segundo que i j sexa par ou impar.

141. Dada a matriz

3 7 3 11

4 2 0 7

4 6 2 2

0 4 6 5

M

calcula:

141.1.Un menor de orde 2.

141.2.O menor complementario do elemento 32a .

141.3.O adxunto do elemento 32a .

Solución:

141.1.

3 3

4 2 0 7

4 6 2 2

0 6

7 11

4 5

Seleccionamos as filas 1ª e 4ª e as columnas 2ª e cuarta.

O menor de orde 2 seleccionado é, pois,7 11

94 5

.

141.2.

3 7

2

3 11

4

0 7

4 6 2 2

0 4 6 5

3 3 11

4 0 7

0 6 5

. O menor complementario do elemento 32 6a é:

32

3 3 11

4 0 7 198

0 6 5

.

141.3. O seu adxunto é: 3 2

32 321A

5

1 198 198 .

Determinantes67

Prácticas

142. Calcula dous menores de orde dous e outros dous menores de orde tres da matriz

2 3 1 5

4 6 2 7

5 1 2 6

4 1 1 5

0 0 3 4

M

.

Solución:

1 52 3

02 74 6

5 1 2 61 1

31 1

2 3

4 6

4

0

50 3

0 43

,

2 3 13 5

4 6 2 68.4 6 2 7

5 1 2

1 2 64 1 1 5

1 1 5 21.0 3

0 3 4

6

0 4

2

21

1

5

143. Calcula o menor complementario e o adxunto dos elementos 12a ,

33a , 43a da matriz anexa.

Solución:

0 2 4 6

2 1 3 5

1 1 2 3

4 6 5 7

A

143.1.

0 2 4 6

2 1 3 5

1 1 2 3

4 6 5 7

12

2 3 5

1 2 3 2

4 5 7

; 1 2

12 121A

3

1 2 2 .

143.2.

0 2 4 6

2 1 3 5

1 1 2 3

4 6 5 7

33

0 2 6

2 1 5 108

4 6 7

; 3 3

33 331A

6

1 108 108 .

143.3.

0 2 4 6

2 1 3 5

1 1 2 3

4 6 5 7

43

0 2 6

2 1 5 16

1 1 3

; 4 3

43 431A

7

1 16 16 .

As calculadoras TI que empregamos non permi-ten directamente obter os menores complemen-tarios e adxuntos dun elemento.

3. DESENVOLVEMENTO DUN DETERMINANTE POLOS ELEMENTOS DUNHA LIÑA

Imos estudar dúas novas propiedades dos determinantes. A primeira resultará moi útil para calcu-lar determinantes de orde maior que 3.

683. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña

Prácticas

11. Se os elementos dunha fila ou columna dunha matriz cadrada se multiplican polosseus respectivos adxuntos e se suman os resultados, obtense o determinante da matrizinicial. Dise entón que o determinante está desenvolvido polos elementos desa liña.

• Por exemplo, o desenvolvemento dun determinante de orde 3 polos elementos da se-gunda fila é:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

, 21 21 22 22 23 23A a A a A a A .

A 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 21 12 33 11 32 23a a a a a a a a a a a a a a a a a a

21 32 13 12 33 22 11 33 31 13 23 31 12 11 32a a a a a a a a a a a a a a a

12 13 11 13 11 12

21 22 23

32 33 31 33 31 32

1 1a a a a a a

a a aa a a a a a

21 21 22 22 23 23a A a A a A .

144. Calcula o determinante da matriz

3 1 17

4 13 2

1 6 3

A

.

144.1.Desenvolvéndoo pola 3ª columna.

144.2.Desenvolvéndoo pola 2ª fila.

Solución:

144.1. 3ª columna: 4 13 3 1 3 1

17 2 31 6 1 6 4 13

A

17 37 2 19 3 35 772 .

144.2. 2ª fila: 1 17 3 17 3 1

4 13 26 3 1 3 1 6

A

4 99 13 26 2 19 772 .

145. Calcula o determinante

3 5 1 8

2 0 7 3

4 1 6 2

2 1 3 9

.

Solución:

Ímolo calcular desenvolvéndoo polos elementos dunha liña. Escollemos a segunda fila, pois, ao terun cero, aforramos calcular o adxunto correspondente (cero por algo é cero).

3 5 1 8

2 0 7 3

4 1 6 2

2 1 3 9

5 1 8 3 5 8 3 5 1

2 1 6 2 0 7 4 1 2 3 4 1 6

1 3 9 2 1 9 2 1 3

2 287 7 151 3 11 450 .

Determinantes69

Prácticas


15 4 8 6

0 9 11 11

2 1 33 8

0 0 6 0

A .

Solución:

Se o desenvolvemos polos elementos da cuarta fila, o proceso será moi cómodo porque todos osseus elementos, agás un, son ceros:

15 4 8 6

0 9 11 11

2 1 33 8

0 0 6 0

A

15 4 6

6 0 9 11

2 1 8

6 895 5370 .

12. Se os elementos dunha fila (ou columna) se multiplican polos respectivos adxuntosdoutra paralela, o resultado da suma é cero.

• Por exemplo: 21 31 22 32 23 33 0a A a A a A .

31 32 33A A A 12 13 11 13 11 12

22 23 21 23 21 22

a a a a a a

a a a a a a

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a

A última igualdade débese a que o que hai arriba é o desenvolvemento do determi-nante de abaixo segundo os elementos da terceira fila.

Se , , son, respectivamente, 21a , 22a , 23a , o determinante ten dúas filas iguais

e, polo tanto, é cero.

147. Calcula o seguinte determinante aplicando a regra de Sarrus e desenvolvéndoo por cadaunha das súas filas e cada unha das súas columnas, comprobando que se obtén o mesmo resultadonos sete casos:

3 7 1

5 2 6

9 8 4

.

Solución:

147.1. Aplicando a regra de Sarrus:

3 7 1

5 2 6

9 8 4

3 2 4 7 6 9 5 8 1 1 2 9 7 5 4 3 6 8 456 .

147.2. Desarrollando pola 1ª fila:

3 7 1

5 2 6

9 8 4

2 6 5 6 5 2

3 7 18 4 9 4 9 8

3 40 7 74 1 58

120 518 58 456 .


3 7 1

5 2 6

9 8 4

7 1 3 1 3 7

5 2 68 4 9 4 9 8

5 36 2 21 6 39

180 42 234 456 .

703. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña

Prácticas


3 7 1

5 2 6

9 8 4

7 1 3 1 3 7

9 8 42 6 5 6 5 2

9 44 8 13 4 41

396 104 164 456 .

147.5. Desarrollando pola 1ª columna:

3 7 1

5 2 6

9 8 4

2 6 7 1 7 1

3 5 98 4 8 4 2 6

3 40 5 36 9 44

120 180 396 456 .


3 7 1

5 2 6

9 8 4

5 6 3 1 3 1

7 2 89 4 9 4 5 6

7 74 2 21 8 13

518 42 104 456 .


3 7 1

5 2 6

9 8 4

5 2 3 7 3 7

1 6 49 8 9 8 5 2

1 58 6 39 4 41

58 234 164 456 .

148. Dada a matriz

3 7 1

5 2 6

9 8 4

:

148.1.Calcula a suma dos produtos de cada elemento da 1ª fila polo correspondente adxunto da 3ªfila.

148.2.Calcula a suma dos produtos de cada elemento da 3ª columna polo adxunto dos correspon-dentes elementos da 2ª columna.

148.3.Xustifica por qué os dous resultados anteriores son cero.

Solución:

148.1. 11 31 12 32 13 33a A a A a A 7 1 3 1 3 7

3 7 1 12 6 5 6 5 2

3 44 7 13 1 41

132 91 41 0 .

148.2. 13 12 23 22 33 32a A a A a A 5 6 3 1 3 1

1 1 6 4 19 4 9 4 5 6

1 74 6 21 4 13 74 126 52 0 .

148.3. Pola propiedade 12.


7 0 3 4

4 0 4 7

3 7 6 9

1 0 1 9

.

Solución:

7 0 3 4

4 0 4 7

3 6 97

1 0 1 9

7 3 4

7 1 4 4 7

1 1 9

7 290 2030 .

Determinantes71

Prácticas


3 1 1 3

1 4 1 4

0 3 2 5

2 0 0 2

.

Solución:

I.

3 1 1 3

1 4 1 4

0 3 2 5

02 20

1 1 3 3 1 1

2 1 4 1 4 2 1 4 1

3 2 5 0 3 2

2 28 2 28 0 .

II. Tamén se podería ter observado que a 4ª columna é igual á suma das outras tres, e polo tanto,o determinante é 0.


0 0 3 4

1 1 1 0

2 0 3 5

0 2 0 1

.

Solución:

1

2

0 0 3 4

1 1 0

0 3 5

0 2 0 1

0 3 4 0 3 4

1 1 0 3 5 2 1 1 0

2 0 1 2 0 1

1 6 2 11 28 .


3 1 4 0

5 6 2 0

0 1 3 0

8 6 7 1

.

Solución:

3 1 4 0

5 6 2 0

0 1 3 0

18 6 7

3 1 4

1 5 6 2 83

0 1 3

.

4. MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINANTES DE CALQUERA ORDE

Como vimos antes, para calcular un determinante de orde grande resulta moi vantaxoso que teñaalgunha fila con varios ceros, cantos máis, mellor.

Se non os ten debemos “producir ceros”. A idea para fabricar ceros é moi similar á que se utilizano método de Gauss para calcular o rango dunha matriz ou para buscar a matriz inversa.

Aquí, nos determinantes, aplicaremos a propiedade 8: «Se a unha liña lle sumamos o produto du-nha paralela por un número, o seu determinante non varía».

Hai que ter en conta tamén a propiedade 5: «Se multiplicamos cada elemento dunha liña (filaou columna) por un número, o determinante desa matriz queda multiplicado por ese núme-ro», xa que nos casos anteriores, cando usabamos o método de Gauss, frecuentemente multi-plicábamos unha liña por un número e lle sumábamos outra liña multiplicada por outro nú-mero; para o cálculo de determinantes debe facerse tendo en conta a propiedade 5.

724. Método para calcular determinantes de calquera orde

Prácticas

153. Calcula o determinante facendo ceros nalgunha liña

7 4 1 9

2 0 6 3

5 1 6 11

1 7 2 8

.

Solución:

Imos desenvolver o determinante polos elementos da segunda columna porque xa hai un cero e, oque é máis importante, hai un 1 que facilita “facer máis ceros”:

1

7 4 1 9

2 0 6 3

5 6 11

1 7 2 8

1ª 4 3ª

2ª

3ª

4ª 7 3ª

13 0 23 35

2 0 6 3

5 6 11

36 0

1

40 69

13 23 35

1 1 2 6 3 1628

36 40 69

.

É conveniente lembrar o uso da tecla ans para non ter que teclear as matrices intermedias.


3 5 2 2

4 7 8 27

1 5 3 12

5 1 0 6

.

Solución:

De dúas maneiras:

I.

3 5 2 2

4 7 8 27

1 5 3 12

5 61 0

1ª 5 2ª

2ª

3ª

4ª 6 2ª

C 28 5 2 32

31 7 8 15

24 5 3 18

0 0 01

28 2 32

1 31 8 15 0

24 3 18

.

II.

3 5 2 2

4 7 8 27

1 5 3 12

5 1 0 6

0 (en columnas: 4ª 1ª 2ª 2 3ª ).

Determinantes73

Prácticas


1 6 5 8

2 7 7 3

2 4 3 3

4 3 1 4

.

Solución:

I.

6 5 8

2 7 7 3

2 4 3 3

4 3 1 4

1

1ª

2ª 2 1ª

3ª 2 1ª

4ª 4 1ª

6 5 8

0 19 3 13

0 8 13 13

0 27 1 6

1

9 3

1 1

19 3 13

1 1 8 13 13

27 19 36

1 1801 1801 .

II.

6 5 8

2 7 7 3

2 4 3 3

4 3 1 4

1

1ª

2ª 6 1ª

3ª 5 1ª

4 8 1ª

C0 0 0

2 19 3 13

2 8 13 13

4 2

1

7 19 36

1 1

19 3 13

1 1 8 13 13

27 19 36

1 1801 1801 .


3 3 4 4

2 9 2 6

6 1 7 2

8 5 8 5

.

Solución:

I.

3 3 4 4

2 9 2 6

6 1 7 2

8 5 8 5

1ª 3 3ª

2ª 9 3ª

3ª

4ª 5 3ª

21 0 17 10

56 0 65 24

6 7 2

38 0 43

1

15

3 2

21 17 10

1 1 56 65 24

38 43 15

1 1 593 593 .

II.

3 3 4 4

2 9 2 6

6 1 7 2

8 5 8 5

1ª 6 2ª

2ª

3ª 7 2ª

4 2 2ª

C21 3 17 10

56 9 65 24

0 0 0

8 5 5

1

3 43 1

3 2

21 17 10

1 1 56 65 24

38 43 15

1 1 593 593 .


4 2 7 1

2 5 3 6

2 0 4 3

6 2 8 0

.

Solución:

4 2 7 1

2 5 3 6

2 0 4 3

6 8 02

1ª 3 2ª

2ª

3ª 4 2ª

4ª

C 2 2 1 1

17 5 23 6

2 0 4 3

20 0 0

2 1 1

2 17 23 6

2 4 3

2 145 290 .

As fórmulas que usamos para as calculadoras TI, en todas as súas versións, permiten o traballo confilas pero non con columnas. Podemos facer paso a paso o anterior exemplo co uso das TI? Usan-do a transposta dunha matriz pode facerse, e tense o seguinte:

É conveniente lembrar o uso da tecla ans para non ter que teclear as matrices intermedias.


Prácticas

Analogamente se pode facer con TI-89 Titanium ou Voyage 200.


9 9 4 2

4 8 3 3

4 7 6 3

7 6 2 9

.

Solución:

Este determinante non ten ningún 1, pero podemos facelo facilmente restándolle á primeira fila asegunda, ou restándolle á segunda fila a terceira, ou sumándolle á segunda fila a primeira fila, ourestándolle á segunda columna a terceira columna, ou sumándolle á primeira columna a cuarta co-lumna, ….

Determinantes75

Prácticas

9 9 4 2

4 8 3 3

4 7 6 3

7 6 2 9

1ª 2ª

2ª

3ª

4ª

5 7 5

4 8 3 3

4 7 6 3

7 6 2

1

9

1ª

2ª 8 1ª

3ª 7 1ª

4ª 6 1ª

5 1 7 5

36 0 59 43

31 0 43 32

37 0 40 39

1 2

36 59 43

1 1 31 43 32

37 40 39

1 2276 2276 .

E analogamente usando TI-89 Titanium ou Voyage 200. Hai que lembrar que para coller a solu-ción anterior sempre se usa a tecla ANS , e non se reescribe a matriz.


Prácticas

159. Calcula o determinante facendo ceros nalgunha liña

1 3 5 2 0

4 1 2 1 1

3 5 0 1 2

1 1 3 1 0

4 0 5 1 3

.

Solución:

1 3 5 2 0

4 1 2 1

3 5 0 1 2

1 1 3 1 0

4

1

0 5 1 3

1ª

2ª

3ª 2ª 2

4ª

5ª 2ª 3

1 3 5 2 0

4 1 2 1

11 7 4 3 0

1 1 3 1 0

16 3 1

1

1 2 0

2 5

1 3 5 2

11 7 4 31 1

1 1 3 1

16 3 11 2

1 3 5 2

11 7 4 3

1 1 3

16

1

3 11 2

1ª 4ª

2ª 3 3ª

3ª

4ª 2 3ª

17 6 6 0

14 10 13 0

1 1 3

18

1

5 17 0

3 4

17 6 6

1 1 14 10 13

18 5 17

17 6 6

1 14 10 13

18 5 17

1ª 3 2ª

2ª

3ª 2ª

C

6 0

1 16 10 3

5 1

1

3 2

1ª

2ª 6 1ª

3ª

C

0 0

1 16 86

23 1

1

3

3 2

1 1 86 3

1 1 123 12

86 3

110123 12

.

Este paso dáse para conseguir un 1 que sirva de base para “facer ceros”. Ás veces nos de-

terminantes 3 3 tamén pode convir “facer ceros”.


1 2 0 3 4

0 0 1 1 3

1 0 1 2 1

3 1 0 0 1

2 3 1 0 2

.

Solución:

1 2 0 3 4

0 0 1 1 3

1 0 1 2 1

3 1 0 0 1

2 3 1 0 2

1ª

2ª

3ª 2ª

4ª

5ª 2ª

1 2 0 3 4

0 0 1 3

1 0 0 1 4

3 1 0 0

1

1

2 3 0 1 5

2 3

1 2 3 4

1 0 1 41 1

3 1 0 1

2 3 1 5

1 2 3 4

1 0 41

3 1 0 1

2 3 5

1

1

1ª 3 2ª

2ª

3ª

4ª 2ª

2 2 0 8

1 0 41

3 1 0 1

1

1 3 0 9

2 3

2 2 8

1 1 1 3 1 1

1 3 9

2 2 8

3 1 1 16

1 3 9

.

Determinantes77

Prácticas


0 0 1 2

3 0 1 0

2 1 0 3

0 4 2 1

.

Solución:

0 0 1 2

3 0 1 0

2 0 3

0

1

4 2 1

1ª

2ª

3ª

4ª 4 3ª

0 0 1 2

3 0 1 0

2 0 3

8

1

0 2 13

0 1 2

1 1 3 1 0

8 2 13

1ª

2ª

3ª 2 2ª

C

0 1 0

1 1 3 1 2

8 2 9

3 2

1 1 18 9

3 2

8 9

27 16 9 .


8 2 9 5

4 4 0 3

6 6 6 9

8 5 5 9

.

Solución:

É un determinante que non ten ningún 1, pero pode producirse facilmente sumándolle á terceiracolumna a primeira columna, ou sumándolle á primeira columna a cuarta columna, ou restándolleá segunda columna a cuarta columna, ou sumándolle á terceira fila a cuarta fila, ou sumándolle ácuarta fila a segunda fila, …

8 2 9 5

4 4 0 3

6 6 6 9

8 5 5 9

1ª

2ª

3ª 4ª

4ª

8 2 9 5

4 4 0 3

14 1 0

5 5

1

8 9

1ª 14 3ª

2ª 3ª

3ª

4ª

C134 11 9 5

4 4 0 3

0 0 0

78

1

0 5 9

3 3

134 11 5

1 1 4 4 3

78 0 9

1 1 9354 9354 .


Prácticas


0 3 2 2

5 0 2 6

3 4 4 5

6 4 2 7

.

Solución:

Este determinante non ten ningún 1, pero podemos producilo sumándolle á segunda columna a ter-ceira ou a cuarta, ou restándolle á segunda columna a primeira columna, ou sumándolle á terceiracolumna a primeira columna, ou restándolle á segunda fila a terceira fila, ou sumándolle á cuartafila a segunda fila, ou restándolle á cuarta fila a segunda fila. …

0 3 2 2

5 0 2 6

3 4 4 5

6 4 2 7

1ª

2ª 3ª

3ª

4ª

C0 1 2 2

5 2 2 6

3 0 4 5

6 6 2 7

1ª

2ª 2 1ª

3ª

4ª 6 1ª

0 2 2

5 0 6 10

3 0 4 5

6 14 5

1

0

1 2

5 6 10

1 1 3 4 5

6 14 5

5 6 10

1 1 3 4 5 640

6 14 5

.


O método de facer ceros 0 a partir dun 1 ou un 1 é moi similar ao método de Gauss para facer

ceros nunha columna. Xa está feito un programa , ,m i j gaussm , que non é exactamente apli-

cable para facer ceros en determinantes, porque hai que ter en conta a propiedade 5.

5.1. Programa gaussmd

Adáptase o programa , ,m i j gaussm para que só traballe cando o pivote é un 1 ou un 1 ; ta-

mén debe modificarse a saída. Ponse o programa para TI-nspire CAS, e analogamente se fai paraTI-89 Titanium e Voyage 200, que na actualidade teñen máis capacidade de programación.

Define LibPub gaussmd(θm,θi,θj)= Prgm©gaussmd(θm,θi,θj) Local m,k,θc,θd,θf,θdim,θs,ma m:=θm rowDim(θm)→θdim If abs(θm[θi,θj])=1 Then For θf,1,θdim ma:=m If θf≠θi Then θc:=m[θf,θj] θd:=m[θi,θj] If sign(m[θi,θj])=sign(m[θf,θj]) Then If sign(m[θi,θj])=1 Then m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf) Else m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf) EndIfElse If sign(m[θi,θj])=1 Then m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf)

Else m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf) EndIf

EndIf If sign(θd)=1 Then If sign(θc)=1 Then Disp ma,"→F",θf,"-",θc,"×F",θi,"=",m Else

Disp ma,"→F",θf,"+",abs(θc),"×F",θi,"=",m EndIfElse If sign(θc)=1 Then Disp ma,"→F",θf,"+",θc,"×F",θi,"=",m Else

Disp ma,"→F",θf,"-",abs(θc),"×F",θi,"=",m EndIfEndIfEndIfEndForEndIfEndPrgm

Determinantes79

Prácticas

6. MÉTODOS RÁPIDOS PARA DETERMINANTES GRANDES

No que segue imos describir uns métodos moi eficientes para o cálculo de determinantes “gran-des”, ou como mínimo de orde maior ou igual a tres. As actuais calculadoras e programas mate-máticos para ordenador permite obviar este punto, pero en moitas escolas técnicas esíxese coñe-celo.

806. Métodos rápidos para determinantes grandes

Prácticas

6.1. Método abreviado de Araiztegui

Utilízase con determinantes de orde maior ou igual a tres. Pode aplicarse sempre que oelemento pivotal 0ija , e utilízase fundamentalmente polos elementos das esquinas, 11a ,

1na , 1na e nna por seren máis fáciles de construír os determinantes parciais. Redúcese un

grao en cada paso.

• Dunha maneira xeral, para 11a :

11 13 11 111 12

21 23 21 221 2212 13 1

1 1 11 12 11 13 11 121 22 23 2

31 32 31 33 31 3231 32 33 311

11 12 11 13 11 11 2 3

1 2 1 3 1

11

1

n

nn

nn

nnn

nn n n nn

n n n n n nn

a a a aa a

a a a aa aa a a

a a a a a aa a a a

a a a a a aa a a aa

a a a a a aa a a a

a a a a a a

a

• Considerando 0ija , a expresión

1 1

2

11

1n

a

convértese en

2

1i j

n

ija

, e mantense o

mesmo formato.

164. Calcula co método de Araiztegui o determinante

6 1 3 2

8 1 5 6

2 2 4 2

0 9 6 4

.

Solución:

I. Usando como pivote 11 6a :

8 1 5 6

6 1 3 2

2 2 4 2

0 9 6 4

1 1

4 2

1 3 2

8 1 8 5 8 6

1 1 3 2

2 2 2 4 2 2

6 6 6

6 6 6

6

6 1 3 2

0 9

6

0 4

6

0 6

14 6 201

10 18 1636

54 36 24

31248

86836

.

II. Este mesmo determinante desarrollado por 23 5a , resulta:

8 1 6

6 1 3 2

2 2

6

5

4 2

0 9 4

2 3

4 2

8 1 6

3 6 3 1 3 2

1 8 1 6

4 2 4 2 4 2

5 5 5

5 5 5

5

5

8 1 6

6 0 6 9 6

5 5

4

6 8 81

22 14 3425

48 39 56

21700

86825

.

Determinantes81

Prácticas

6.2. Método Pivotal ou de Chio

Este método é válido para desarrollar calquera determinante de orde maior ou igual a tres,e a orde redúcese un grao en cada paso. O desarrollo ten que facerse por algún valor nonnulo (chamado pivote de Chio) e é especialmente rápido cando o pivote é un 1.

• Para un determinante de orde 4n , o valor sería:

11 12 14

2 3 23 11 13 21 23 12 13 22 23 14 13 24

23 31 33 21 23 32 33 22 23 34 33 242

2331 32

13

21 22 23 2

3423 41 43 21 23 42 43 22 23 44 43 24

41 42 4

3

3 4

4

3

4

1n

a a aa a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a aaa a a

a a a a a a a a a a

a

a a a a

a

aa a

a a a

165. Calcula co método de Chio o determinante

6 1 3 2

8 1 5 6

2 2 4 2

0 9 6 4

.

Solución:


3

8 1 6

6 1 2

2 2

6

5

9

4 2

0 4

2 3

2

6 8 1 1 2 61

2

3 3 3

4 4 4

6

5 5 5

5 5 58 2 1 2 6

5 5 55

0 8 9 1 4 66 6

6 8 81

22 14 3425

48 39 56

868 .

II. O mesmo exemplo desarrollado por 22 1a :

1

8 5 6

6

2

3 2

2 4

6

1

9

2

0 4

2 2

6 8 3 5 2 6

1 2 8 4 5 2 6

0 8 6 5 4 6

1 1 1

2 2 2

9 9 9

14 8 8

18 14 10

72 39 58

868 .

6.3. Desarrollo simultáneo por unha fila e unha columna ou dobre desarrollo

Este método só se utiliza con determinantes de orde maior ou igual a catro, e é especial-mente interesante se existe algún cero no determinante, xa que facendo o desarrollo polocero redúcese nun único paso o orden do determinante en 2 puntos.

• Para un determinante de orde 4:

11 12 13 14

121 22 23 24 '

131 32 33 341

41 42 43 44

1n

i j

ij ij it kj tktk

a a a a

a a a aa A a a A

a a a a

a a a a

826. Métodos rápidos para determinantes grandes

Prácticas

166. Calcula mediante o desarrollo simultáneo por fila e columna o determinante

6 1 3 2

8 1 5 6

2 2 4 2

0 9 6 4

.

Solución:


3

8 1 5 6

6 1 2

2 2

69

4 2

0 4

3

2 3 '23 23 2 3

11

1 t k tktk

a A a a A

3 2

6 1 2

5 1 2 2 2

0 9 4

11 12

1 111 23 12 23

crúzansecrúzanse crúzansenono 6 no 1

Menor complementario do Menor complementario do6 no adxunto de 5 1 no adxunt

3

o de 5

2 1 1 1 28 3 1 3

2 2 2 21 1 1

9 4 0 46 3

a a

a a a a

13

113 23

2

Menor compleme

1

ntario do2 no adxunto de

3

5

2 21

0 9

a

a a

2 1 2 2 2 3

8 41 2 6 2

1 4 6 46 1

1 1 19 4 0 4 0 9

3 1 3 2 3 31 2 6 2 6 1

1 1 12 2 2 2 2

8 6 1 6 6 62

5 184 1 8 3 26 1 3 8 6 3 18 8 4 14 1 4 24

6 4 54 8 6 6 1 6 16 6 6 10

920 624 24 324 448 96 1296 288 96 360 868 .

II. Este mesmo determinante desarrollado por 41a :

1 3 2

1 5 6

2 4

6

8

2

9 6 4

2

0

4 1

1 2 3

0 1 1 5 6

2 4 2

4 1 5 6 1 6 1 5

1 9 6 6 6 44 2 2 2 2 4

6

3 2 1 2 1 3 3 2 1 2 1 3

4 2 29 8 6 8 4 8 9 2 6 2

2 2 4 6 14 2

5 6 1 5

0 1836 360 336 1008 288 64 144 96 64 868 .

Determinantes83

Prácticas

167. Calcula mediante o dobre desarrollo o determinante

0 1 4 9 3

5 0 7 9 3

6 6 1 2 1

6 1 4 4 3

3 4 3 1 3

.

Solución:

0 1 4 9 3

5

6

0 7 9 3

6 1 2 1

1 4 4 3

4 3

6

3 1 3

1 1

0 7 9 3

6 1 2 10 1

1 4 4 3

4 3 1 3

1 1

1 2 1

1 1 5 4 4 3

3 1 3

6 2 1

4 5 1 4 3

4 1 3

6 2 1

9 5 1 4 3

4 1 3

6 1 1

9 5 1 4 3

4 3 3

6 1 2

3 5 1 4 4

4 3 1

7 9 3

1 6 4 4 3

3 1 3

0 9 3

4 6 1 4 3

4 1 3

0 7 3

9 6 1 4 3

4 3 3

0 7 9

3 6 1 4 4

4 3 1

7 9 3

1 6 1 2 1

3 1 3

0 9 3

4 6 6 2 1

4 1 3

0 7 3

9 6 6 1 1

4 3 3

0 7 9

3 6 6 1 2

4 3 1

7 9 3

1 3 1 2 1

4 4 3

0 9 3

4 3 6 2 1

1 4 3

0 7 3

9 3 6 1 1

1 4 3

+ 0 7 9

3 3 6 1 2

1 4 4

0 325 900 5760 1335 360 2160 3564 216 660 2880 8856 3816

75 1260 1566 639 27418.


1 2 3 4

4 5 1 2

3 0 1 2

2 6 5 4

.

Solución:

2

5

3 0 1

1 3 4

4 1 2

2

2 6 5 4

3 2

1 3 4

0 1 4 1 2

2 5 4

3 2 1 21 3 2

5 4

4 21 2

2 4

4 12 2

2 5

3 43 5

5 4 +

1 41 5

2 4

1 32 5

2 5

3 43 6

1 2

1 41 6

4 2

1 32 6

4 1

0 36 24 72 120 20 10 36 84 132 110 .

847. O rango dunha matriz a partir dos seus menores

Prácticas


0 8 7 2 3

9 8 3 3 7

3 7 3 9 8

1 1 6 2 2

2 3 5 5 9

.

Solución:

8 3 3 7

7 3

0 8 7 2 3

9

3

1

9 8

1 6 2 2

2 3 5 5 9

1 1

8 3 3 7

7 3 9 80 1

1 6 2 2

3 5 5 9

1 1

3 9 8

1 8 9 6 2 2

5 5 9

7 9 8

7 9 1 2 2

3 5 9

+

7 3 8

2 9 1 6 2

3 5 9

7 3 9

3 9 1 6 2

3 5 5

3 3 7

8 3 6 2 2

5 5 9

8 3 7

7 3 1 2 2

3 5 9

8 3 7

2 3 1 6 2

3 5 9

8 3 3

3 3 1 6 2

3 5 5

3 3 7

8 1 3 9 8

5 5 9

8 3 7

7 1 7 9 8

3 5 9

8 3 7

2 1 7 3 8

3 5 9

8 3 3

3 1 7 3 9

3 5 5

3 3 7

8 2 3 9 8

6 2 2

8 3 7

7 2 7 9 8

1 2 2

8 3 7

2 2 7 3 8

1 6 2

8 3 3

3 2 7 3 9

1 6 2

15264 1323 3510 702 768 1008

1512 1116 384 1869 78 558 3264 462 324 1692 13350 .

7. O RANGO DUNHA MATRIZ A PARTIR DOS SEUS MENORES

O rango dunha matriz é o número de filas (ou de columnas) linealmente independentes. Esta defi-nición permite pescudar rangos mediante o método de Gauss.

Agora pretendemos utilizar os determinantes para o cálculo de rangos. Para iso, lembremos a pro-piedade 9.

A condición necesaria e suficiente para que o determinante dunha matriz cadrada sexa ceroé que as súas filas (ou columnas) sexan linealmente dependentes, é dicir, que algunha delasse poida pór como combinación lineal das outras. É dicir:

0 as filas de son linealmente dependentes

0 as filas de son linealmente independentes

A A

A A

Esta propiedade proporciónanos unha nova definición de rango dunha matriz:

Rango dunha matriz é a máxima orde dos seus menores non nulos.

170. Calcula o rango da matriz

1 5 3 0 6

3 0 1 6 2

2 5 2 1 0

1 10 5 15 10

A

.

Solución:

O determinante da submatriz1 5

15 03 0

.

Por ser distinto de 0, podemos asegurar que as súas dúas filas son LI. Polo tanto, tamén son LI as

primeiras filas de A , co que o rango de A é, polo menos, 2: 2ran A .

Engadimos filas e columnas e calculamos os correspondentes determinantes, para ver o rango:

Determinantes85

Prácticas

1 5 3

3 0 1 0

2 5 2

;

1 5 0

3 0 6 105 0

2 5 1

3ran A as filas 1ª, 2ª e 3ª son LI, e o mesmo

as columnas 1ª, 2ª e 4ª tamén son LI.

Orlamos ese menor 0 engadíndolle filas e columnas e calculamos os correspondentes determi-nantes para ver o rango.

1 5 0 6

3 0 6 20

2 5 1 0

1 10 15 10

.

Non podemos construír outro menor de orde 4 distinto, que inclúas as columnas e filas LI obtidas

antes, polo que 3ran A , xa que os menores de orde superior son todos nulos.

171. Calcula o rango da seguinte matriz

1 3 0 1 2

0 5 1 2 3

3 1 2 1 0

3 11 4 5 6

A

.

Solución:

Empezamos por salientar un menor de orde dúas non nulo (isto pódese facer a ollo). Procuramosque sexa o máis sinxelo posible, pois vai formar parte de moitos determinantes de orde superiorque teremos que calcular máis adiante.

1 3 0 1 2

0 5 1 2 3

3 1 2 1 0

3 11 4 5 6

1 0O feito de que 0 asegúranos que as dúas

0 1

primeiras filas de son LI.A

Vexamos se a terceira fila depende linealmente delas. Para iso engadimos os dous novos elemen-tos, 3 e 2 , e calculamos todos os menores de orde 3 nos que interveñen esas dúas columnas,por se algún deles é distinto de cero:

1 3 0

0 5 1 0

3 1 2

,

1 0 1

0 1 2 0

3 2 1

,

1 0 2

0 1 3 0

3 2 0

Ao ser cero todos eles, dedúcese que a terceira fila é combinación lineal das dúas primeiras.

(Se algún destes tres menores fose non nulo, a terceira fila sería LI das dúas primeiras. Ampliandoas tres columnas cos elementos correspondentes da cuarta fila, obteriamos tres columnas de catroelementos. Engadindo outra columna, probariamos se algún dos menores de orde 4 era non nulo).

Agora faremos coa cuarta fila o mesmo que fixemos coa terceira.

867. O rango dunha matriz a partir dos seus menores

Prácticas

1 3 0

0 5 1 0

3 11 4

,

1 0 1

0 1 2 0

3 4 5

,

1 0 2

0 1 3 0

3 4 6

Os tres menores de orde 3 que así se obteñen son cero. Polo tanto, a cuarta fila é, tamén, combina-ción lineal das dúas primeiras.

O rango da matriz é dous (máxima orde dun menor non nulo ou, o que é o mesmo, máximo núme-ro de filas LI).


1 2 3 0 1 4

3 1 0 1 1 2

4 1 3 1 0 6

7 0 3 2 1 8

A

.

Solución:

Tomamos un menor de orde 2 distinto de cero:1 2

7 03 1

as dúas primeiras filas son li-

nealmente independentes. Obsérvese que a terceira fila é suma das dúas primeiras, e que a cuarta

fila é a suma da segunda e da terceira, polo que 2ran A .


2 1 0 1

5 1 3 7

7 2 3 8

1 0 2 2

A

.

Solución:


3 05 1

as dúas primeiras filas son lineal-

mente independentes. A terceira fila é suma das dúas primeiras, polo que miramos se a cuarta filadepende linealmente das dúas primeiras:

2 1 0

5 1 3 9 0

1 0 2

a cuarta fila é linealmente independente da primeira e da segunda. Polo

tanto, 3ran A .


4 2 1 5 3

2 3 2 6 5

6 5 3 12 8

12 10 6 23 16

A

.

Solución:


8 02 3


mente independentes. Miramos se a terceira fila depende linealmente das dúas primeiras:

4 2 1

2 3 2 0

6 5 3

,

4 2 5

2 3 6 8 0

6 5 12

as 3 primeiras filas son linealmente independentes. Miramos

se a cuarta fila depende linealmente das anteriores:

4 2 1 5

2 3 2 60

6 5 3 12

12 10 6 23

,

4 2 5 3

2 3 6 50

6 5 12 8

12 10 23 16

3ran A .

Determinantes87

Prácticas


1 0 0 1 1

1 1 2 1 0

0 0 0 0 1

1 1 0 0 0

A

.

Solución:


1 01 0


mente independentes.

Miramos se a terceira fila depende linealmente das dúas primeiras:

Como

0 1 10 1

2 1 0 2 02 1

0 0 1

as 3 primeiras filas son linealmente independentes.

Miramos se a cuarta fila depende linealmente das anteriores.

Como

0 0 1 10 1 1

1 2 1 02 1 0 2 0

0 0 0 10 0 1

0 0 01

4ran A .


1 2 3 1 1

4 5 6 2 1

1 0 0 3 4

A

.

Solución:

4 5

1 0

1 2 3 1 1

6 2 1

0 3 4

A

; tomamos un menor de orde 2:4 5

5 01 0

2ran A e as dúas

primeiras columnas son linealmente independentes.

Miramos se a terceira columna e linealmente independente das dúas primeiras:

1 2 3

4 5 6 3 0

1 0 0

.


2 3 1

5 4 2

1 2 2

A

.

Solución:

2 3 1

5 4 2 10 0

1 2 2

A 3ran A .

888. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes

Prácticas

8. CÁLCULO DA INVERSA DUNHA MATRIZ USANDO DETERMINANTES

Para que unha matriz cadrada, A , sexa regular, é dicir, teña inversa, 1A , é necesario e su-ficiente que o seu determinante sexa non nulo.

• Para un caso de orde 3, 1A adopta a seguinte expresión:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

11 21 31

112 22 32

13 23 33

1A A A

A A A AA

A A A

• É fácil comprobar, multiplicándoas, que estas dúas matrices son inversas. Por exem-

plo, o elemento 11p do produto obtense multiplicando a primeira fila de A pola pri-

meira columna de 1A :

11 11 11 12 12 13 13

1 11p a A a A a A A

A A

• Outro elemento do produto:

21 21 11 22 12 23 13

1 10 0p a A a A a A

A A

(Elementos dunha fila multiplicados por adxuntos doutra é 0)

• En xeral, vemos que 1iip , 0,ijp i j . É dicir, ijp é a matriz unidade.

8.1. Regra práctica para calcular a inversa dunha matriz

Para calcular a inversa dunha matriz suxerimos que se realicen os seguintes pasos:

11 2 3 4 1

tij ij ij

ji

ij ij ij j AA Ai ji

Aa A A A A

A A

0 Calculamos A e só se é non nulo seguimos adiante.

1 Formamos unha nova matriz cos menores complementarios de cada elemento.

2 Cambiamos o signo alternativamente para obter os adxuntos.

3 Traspoñemos a matriz: t

ji ijA A

4 Dividimos cada elemento por A . Se non son divisibles, é máis cómodo sacar factor

común1

A.

178. Calcula a matriz inversa de3 1

5 2A

.

Solución:

1A ;3 1

5 2

1

ij

2 5

1 3

2

ijA

2 5

1 3

3

t

ijA

2 1

5 3

4

A

1 2 1

5 3A

.

Comprobación:3 1 2 1 1 0

5 2 5 3 0 1

.

Determinantes89

Prácticas

A expresión da inversa dunha matriz 2 2 é especialmente sinxela:

11 12

21 22

a aA

a a

22 121

21 11

1 a aA

a aA

179. Calcula a matriz inversa de

1 0 1

0 2 3

1 1 1

.

Solución:

Calculamos o determinante: 7A .

1 0 1

0 2 3

1 1 1

1

ij

2 3 0 3 0 2

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0

2 3 0 3 0 2

5 3 2

1 2 1

2 3 2

2

ijA

5 3 2

1 2 1

2 3 2

3

t

ijA

5 1 2

3 2 3

2 1 2

4

A 1

5 1 21

3 2 37

2 1 2

A

.

Como xa se viu, as calculadoras TI que empre-gamos permite o cálculo directo da matriz inver-sa (cando é inversible) .


1 2A

.

Solución:

Calculamos o determinante:2 1

3 01 2

A

existe 1A .

1

1 2 3 42 1 2 1 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2t

ij ij ijA AA

1 2 11

1 23A

.


Prácticas

181. Calcula a inversa de

1 1 1

1 0 3

2 5 3

A

.

Solución:

Calculamos o determinante:

1 1 1

1 0 3 1 0

2 5 3

A

existe 1A .

1

0 3 1 3 1 0

5 3 2 3 2 51 1 1

1 1 1 1 1 11 0 3

5 3 2 3 2 52 5 3

1 1 1 1 1 1

0 3 1 3 1 0

ij

15 9 5

8 5 3

3 2 1

2

ijA Adj A

15 9 5

8 5 3

3 2 1

3

t

ijA

15 8 3

9 5 2

5 3 1

1

4

A 1

15 8 31

9 5 2

5 3 1

AA

15 8 3

9 5 2

5 3 1

1

15 8 3

9 5 2

5 3 1

A

.

182. Calcula a inversa da matriz

2 1 0

0 1 3

2 1 1

A

.

Solución:

2 1 0

0 1 3

2 1 1

A

2 0A existe 1A

1

ij

1 3 0 3 0 1

1 1 2 1 2 1

1 0 2 0 2 1

1 1 2 1 2 1

1 0 2 0 2 1

1 3 0 3 0 1

2 6 2

1 2 0

3 6 2

2

ijA

2 6 2

1 2 0

3 6 2

3

t

ijA

2 1 3

6 2 6

2 0 2

4

A

1

2 1 31

6 2 62

2 0 2

A

1

3112 2

3 1 3

1 0 1

A

.

Determinantes91

Prácticas

183. Sendo

0 1 3

1 1 0

2 0 0

A

,

2 1

1 0

3 4

B

,

1 1

0 1

1 2

C

, resolve a ecuación AX B C .

Solución:

Despexamos a matriz X : AX B C AX C B 1X A C B . Calculamos C B

1 2

1 1

2 6

, e 6 0A existe 1A . Calculamos a matriz inversa 1A :

1

ij

1 0 1 0 1 1

0 0 2 0 2 0

1 3 0 3 0 1

0 0 2 0 2 0

1 3 0 3 0 1

1 0 1 0 1 1

0 0 2

0 6 2

3 3 1

2

ijA

0 0 2

0 6 2

3 3 1

3

t

ijA

3

t

ijA

0 0 3

0 6 3

2 2 1

4

A 1

10 02

10 12

1 1 13 3 6

A

.

Calculamos 1X A C B efectuando o produto:

10 02 1 2 1 3

10 1 1 1 2 42

2 6 1 21 1 13 3 6

.

Solución:

1 3

2 4

1 2

X

.

184. Calcula a inversa de

1 2 3 2

0 1 2 0

0 2 3 1

3 2 0 1

A

.

Solución:

Calculamos o determinante:

1 2 3 2

0 1 2 0

0 2 3 1

3 2 0 1

A

0

A

1 2 3 2

0 1 2 0

0 2 3 1

3 2 0 1

A

1ª

2ª

3ª

4ª 3 1ª

2 3 2

0 1 2 0

0 2 3 1

4 9 7

1

0

1 1

1 2 0

1 1 2 3 1

4 9 7

8 0 existe 1A .

Calculamos o valor dos sucesivos adxuntos:


Prácticas

11

1 2 0

2 3 1 5

2 0 1

, 12

0 2 0

0 3 1 6

3 0 1

, 13

0 1 0

0 2 1 3

3 2 1

, 14

0 1 2

0 2 3 3

3 2 0

;

21

2 3 2

2 3 1 6

2 0 1

, 22

1 3 2

0 3 1 12

3 0 1

, 23

1 2 2

0 2 1 10

3 2 1

,

24

1 2 3

0 2 3 6

3 2 0

; 31

2 3 2

1 2 0 9

2 0 1

, 32

1 3 2

0 2 0 14

3 0 1

, 33

1 2 2

0 1 0 7

3 2 1

,

34

1 2 3

0 1 2 1

3 2 0

; 41

2 3 2

1 2 0 1

2 3 1

, 42

1 3 2

0 2 0 2

0 3 1

, 43

1 2 2

0 1 0 1

0 2 1

,

44

1 2 3

0 1 2 1

0 2 3

;

1 2 3 2

0 1 2 0

0 2 3 1

3 2 0 1

A

1

ij

5 6 3 3

6 12 10 6

9 14 7 1

1 2 1 1

ij

2

ijA

5 6 3 3

6 12 10 6

9 14 7 1

1 2 1 1

ijA

3

t

ijA

5 6 9 1

6 12 14 2

3 10 7 1

3 6 1 1

jiA

4

A 1

5 6 9 1

6 12 14 21

3 10 7 18

3 6 1 1

A

1

5 6 9 1

6 12 14 21

3 10 7 18

3 6 1 1

A

.

185. Calcula a matriz inversa de

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

A

.

Solución:

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

A

0

1 1 0 0

0 1 1 01 0

0 0 1 1

0 0 0 1

AA existe 1A .

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

A

1

ij

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

ij

2

ijA

1 0 0 0

1 1 0 0

1 1 1 0

1 1 1 1

ijA

3

t

ijA

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

jiA

4

A 1

1 1 1 1

0 1 1 11

0 0 1 11

0 0 0 1

A

.

Determinantes93

Prácticas

186. Dada a matriz

1 1 1

1 1 0

1 0

A

m

.

186.1.Determina para que valores do parámetro m existe 1A .

186.2.Para 1m , resolve 1det 0A xI .

Solución:

186.1. Para que unha matriz cadrada sexa regular, é necesario e suficiente que o seu determinantenon sexa nulo. Calculamos o determinante de A :

1 1 1

1 1 0 1 0

1 0

A m

m

. Como 0A para calquera valor de m , podemos afirmar

que 1A existe sempre.

186.2. Para 1m ,

1 1 1

1 1 0

1 0 1

A

, calculamos 1A ; 1A ;

1 1 1

1 1 0

1 0 1

A

1

ij

1 0 1 0 1 1

0 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0

1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1

1 1 1

1 0 1

1 1 0

2

ijA

1 1 1

1 0 1

1 1 0

3

t

ijA

1 1 1

1 0 1

1 1 0

4

A 1

1 1 1

1 0 1

1 1 0

A

;

1

1 1 1 1 0 0

1 0 1 0 1 0

1 1 0 0 0 1

A xI x

1 1 1

1 1

1 1

x

x

x

; 1

1 1 1

1 1

1 1

x

A xI x

x

3 2 1x x x 21 1x x ;

1 20 1 1 0A xI x x 1x .

Solución: 1x .

187. Calcula a matriz inversa para aqueles valores de a que o permitan1

1

a

a

.

Solución:

1

1

a

a

211 0,

1

aA a a

a

existe 1A , que calculamos:

1

ij

1

1

a

a

2

ijA

1

1

a

a

3

t

ijA

1

1

a

a

4

A 1

2

11

11

aA

aa

2 21

2 2

1

1 1

1

1 1

a

a aA

a

a a

.


Prácticas

188. Calcula a matriz A sabendo que se verifica a seguinte igualdade:

1 2 3 2 0 0

0 2 3 0 2 0

0 0 3 0 0 2

A

.

Solución:

A ecuación é do tipo 2AM I , sendo

1 2 3

0 2 3

0 0 3

M

.

Despéxase A multiplicando por 1M pola dereita: 1 12AMM IM 12A IM . Calculemos

agora 1M .

1 1

2 32 3

0 2 3 1 1 6 00 3

0 0 3

1

M

existe 1M :

1 2 3

0 2 3

0 0 3

M

1

ij

2 3 0 3 0 2

0 3 0 3 0 0

2 3 1 3 1 2

0 3 0 3 0 0

2 3 1 3 1 2

2 3 0 3 0 2

ij

6 0 0

6 3 0

0 3 2

2

ijM

6 0 0

6 3 0

0 3 2

3

t

ijM

6 6 0

0 3 3

0 0 2

4

M 1

6 6 01

0 3 36

0 0 2

M

1 1 0

1 102 2

10 03

1

1 1 02 0 0

1 12 0 2 0 02 2

0 0 2 10 03

A IM

2 2 0

0 1 1

20 03

.

Solución:

2 2 0

0 1 1

20 03

A

.

189. Dada2 3

1 2A

calcula unha matriz X tal que1 1

2 3AXA

.

Solución:

Calculamos 1A ;2 3

1 01 2

A ten inversa:

2 3

1 2A

1

ij

2 1

3 2

2

ijA

2 1

3 2

3

t

ijA

2 3

1 2

4

A 1 2 3

1 2A

;

1 1

2 3AXA

1 1 1 11 1

2 3A A X A A A A

2 3 1 1 2 3

1 2 2 3 1 2X

4 7 2 3

3 5 1 2

1 2

1 1

.

Determinantes95

Prácticas

190. Determina se a seguinte ecuación ten solución, e calcúlaa se é posible

2 1 0 1 1 2

0 1 2 3 0 1

3 0 1 1 2 3

X

.

Solución:

2 1 0 1 1 2

0 1 2 3 0 1

3 0 1 1 2 3

X

; Sexa

2 1 0

0 1 2

3 0 1

A

;

2 1 0

0 1 2 4 0

3 0 1

A

existe 1A

a ecuación ten solución. Calculamos 1A :

2 1 0

0 1 2

3 0 1

A

1

ij

1 2 0 2 0 1

0 1 3 1 3 0

1 0 2 0 2 1

0 1 3 1 3 0

1 0 2 0 2 1

1 2 0 2 0 1

1 6 3

1 2 3

2 4 2

2

ijA

1 6 3

1 2 3

2 4 2

3

t

ijA

1 1 2

6 2 4

3 3 2

4

A 1

1 1 21

6 2 44

3 3 2

A

1 1 14 4 2

3 1 12 2

3 3 14 4 2

1 1 14 4 2 1 1 2

3 1 1 3 0 12 2

1 2 33 3 14 4 2

X

3 504 4

1 112 2

3114 4

X

.

191. Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro

2 1

3 4

3 1 2

a

A a

.

Solución:

2 1

3 4

3 1 2

a

A a

;3 4

10 01 2

;

2 1

3 4

3 1 2

a

A a

212 12 9 2 8a a a 3 7 8a a ;

0A 2 7 8 0a a 7 49 32

2a

1.

8.

a

a

Polo tanto, e como 2ran A :

• 1a 0A 2ran A .

• 8a 0A 2ran A .

• 1a e 8a 0A 3ran A .


Prácticas

192. Proba se desenvolver que

1 3 2

4 7 1

8 2 5

A é múltiplo de 3.

Solución:

I.

1 3 2

4 7 1

8 2 5

A

1ª

2ª

3ª 2ª

1 3 2

4 7 1

12 9 6

11 3 2

3 4 7 1

4 3 2

é múltiplo de 3.

II.

1 3 2

4 7 1

8 2 5

A

1ª

2ª

3ª 2ª 1ª

C 1 3 6

4 7 12

8 2 15

11 3 2

3 4 7 4

8 2 5

é múltiplo de 3.

1 Se unha columna ou unha fila se multiplica por un número o determinante queda multiplica-

do por ese número.

193. Para que valores de x se anula o determinante

1 0 0

0 1 00

0 0 1

1 0 0

x

x

x

x

?

Solución:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

x

x

x

x

1 0 1 0 0

0 1 1 1 0

0 0 0 1

x

x x x

x x

3 1x x 4 1 0x 4 1x 1

1

x

x

.

Solución: 1x , 1x .

194. Para que valores de x se anula o determinante

1 0 1

1 1 00

0 1 1

1 0 1

x

x

x

x

?

Solución:

1 0 1

1 1 0

0 1 1

1 0 1

x

x

x

x

1ª 2ª 3ª 4ª

2ª

3ª

4ª

C2 1 0 1

2 1 0

2 1 1

2 0 1

x

x x

x x

x x

1 1 0 1

1 1 02

1 1 1

1 0 1

xx

x

x

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

4ª 1ª

1 1 0 1

0 1 1 12

0 0 0

0 1 1 1

xx

x

x

1 1 1

2 1 0 0

1 1 1

x

x

x

x

1 1

21 1

xx x

x

22 1 1x x x 22 2 1 1x x x x 22 2x x x x

2 2 2 0x x x

0

2

2

x

x

x

.

Solución: 0x , 2x , 2x .

Determinantes97

Prácticas

195. Considera a matriz

1 0

0 1 3

1 1

x

A

x

.

195.1.Calcula os valores de x para os que A ten inversa.

195.2.Calcula, se é posible, 1A para 2x .

Solución:

195.1. Existe 1A só cando 0A ;

1 0

0 1 3

1 1

x

A x

x

; 0, 0A x x existe 1A 0x .

195.2. Para 2x ,

2 1 0

0 1 3

2 1 1

A

,

2 1 0

0 1 3 2 0

2 1 1

A .

Calculamos a matriz inversa 1A :

2 1 0

0 1 3

2 1 1

A

1

ij

1 3 0 3 0 1

1 1 2 1 2 1

1 0 2 0 2 1

1 1 2 1 2 1

1 0 2 0 2 1

1 3 0 3 0 1

2 6 2

1 2 0

3 6 2

2

ijA

2 6 2

1 2 0

3 6 2

3

t

ijA

2 1 3

6 2 6

2 0 2

4

A 1

2 1 31

6 2 62

2 0 2

A

1

3112 2

3 1 3

1 0 1

A

.

196. Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz

1 1

1 1

1 1

t

A t

t

.

Solución:

1 1

1 1

1 1

t

A t

t

3 1 1t t t t 3 2t t ; 0A 3 2 0t t

3 22 0 1 2t t t t t .

20 1 2 0A t t t 2

1 0 1.

1 1 82 0

2

t t

t t t

• Se 1t queda

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

, e como 0A e1 1

2 01 1

2ran A .

• Se 1t 0A 3ran A .


Prácticas

197. Sabendo que

1 1 1

5a b c

x y z

, calcula o valor de

1 1 1

a b c

x y z .

Solución:

1 1 1

a b c

x y z 1 1 1

a b c

x y z

1 1 1

5a b c

x y z

, xa que cando se cambia a orde de dúas filas consecuti-

vas o determinante cambia de signo.

198. Sabendo que

1 1 1

5a b c

x y z


1 1 1

2 2 2

2 2 2

x y z

a x b y c z

x y z

.

Solución:

1 1 1

2 2 2

2 2 2

x y z

a x b y c z

x y z

1ª

2ª 3ª

3ª

1 1 1

2 2 2

x y z

a b c

x y z

1 1 1

2

x y z

a b c

x y z

1 1 1

2 2

x y z

a b c a b c

x y z x y z

2 5 2 0 10 , sacando factor común na terceira fila, e des-

compoñendo o determinante en suma de dous determinantes, o segundo deles nulo por ter dúas fi-las proporcionais.

199. Demostra, sen desenvolver, que:

2 3 2

2 3 2

2 3 2

1

1

1

a a bc a a

b b ac b b

c c ab c c

.

Solución:

No segundo membro multiplicando e dividindo a primeira fila por a , a segunda por b e a terceirapor c tense:

2

2

2

bc a a

ac b b

ab c c

2 3

2 3

2 3

1bca a a

acb b babc

abc c c

2 3

2 3

2 3

1

1

1

a aabc

b babc

c c

2 3

2 3

2 3

1

1

1

a a

b b

c c

.

200. Proba que2 2 2

1 1 1

a b c

a b c

b a c a c b .

Solución:

Este determinante chámase de Vandermonde.

Facendo as restas de columnas 2 1c c e 3 1c c e extraendo o factor b a da 2ª columna e

c a da 3ª columna, tense:

2 2 2

1 1 1

a b c

a b c

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

C

2 2 2 2 2

1 0 0

a b a c a

a b a c a

2

1 0 0

a b a c a

a b a b a c a c a

2

0 0

1 1

1

b a c a a

a b a c a

1 1

1b a c ab a c a

b a c a c a b a b a c a c b .

Sistemas de ecuacións99

Prácticas

SISTEMAS DE ECUACIÓNS

1. ECUACIÓNS E SISTEMAS DE ECUACIÓNS

1.1. Lembrando algúns conceptos xa vistos

Ecuación. Este termo empregado só está matematicamente pouco definido. O sentido de-pende esencialmente do contexto ou do cualificativo que a acompaña (ecuación diferen-cial, ecuación dunha recta, etc.).

• Cando a ecuación é unha igualdade ( ) da forma f x g x , —por exemplo

2 25 3 6 3 2x x x x ; 3 7 4x x , …— trátase de determinar os argumentos

(valores de x ) que fan que as dúas expresións dadas, f x e g x , tomen os mes-

mos valores.Os argumentos que determinan estas funcións chámanse incógnitas, e os valores dasincógnitas que fan que esas dúas funcións tomen os mesmos valores, chámanse solu-cións ou raíces da ecuación.

201. Para a ecuación 2 25 3 6 3 2x x x x a incógnita é a x e as solucións son 2

e 2 .

• O conxunto de solucións dunha ecuación depende do dominio M chamado campo devalores tolerables (CVT) ou admisibles para as incógnitas.

202. Por exemplo, a ecuación 1x ten como campo de valores tolerables (CVT) o con-

xunto de tódolos números reais, pero a ecuación 1x ten como CVT o conxunto dosnúmeros reais non negativos.

Unha ecuación pode non ter solucións en M e, nese caso, dise que é irresoluble no domi-nio M . Se unha ecuación é resoluble pode ter unha solución ou varias, e incluso un núme-ro infinito delas.

• As ecuacións irresolubles chámanse incompatibles.

• As ecuacións resolubles chámanse compatibles, e poden ser compatibles determina-das, cando teñen un número finito de solucións ou compatibles indeterminadas, can-do teñen infinitas solucións.

Solución única compatible determinadaCon solución Compatible

Ecuacións Infinitas solucións compatible indeterminada

Sen solución Incompatible

• As solucións dunha ecuación dependen —ou poden depender— do dominio no que setraballa.

203. Por exemplo, a ecuación 4 4 0x é irresoluble no dominio dos números racio-

nais , pero ten dúas solucións no dominio dos números reais : 1 2x e 2 2x ;

ademais esta ecuación ten catro solucións: 1 2x , 2 2x , 3 2x i e 4 2x i no

dominio dos números complexos .

• Se unha ecuación ten como solucións tódolos números do dominio M , entón recibeo nome de identidade nese dominio.

204. Por exemplo a ecuación 2 21 2 1x x x é unha identidade en .

1001. Ecuacións e sistemas de ecuacións

Prácticas

Nota. Cando falemos en xeral dunha ecuación usaremos a expresión f x g x , onde f x e

g x poden representar, segundo o caso, constantes 23 2 85x x , expresións polinómi-

cas 2 25 3 6 3 2x x x x , trigonométricas 2 cos 0.5 senx x , expresións radi-

cais 23 9 6x , logarítmicas 3log 2x , etcétera.

1.2. Sistemas de ecuacións

Un conxunto de ecuacións para as que hai que achar os valores das incógnitas que satisfa-gan simultaneamente tódalas mencionadas ecuacións, chámase sistema de ecuacións.

• O conxunto dos valores das incógnitas que satisface simultaneamente tódalas ecua-cións do sistema, recibe o nome de solución do sistema.

1.3. Equivalencia de ecuacións e sistemas

• Dúas ecuacións (ou dous sistemas de ecuacións) chámanse equivalentes se teñen asmesmas solucións, ou ámbalas dúas carecen de solucións, consideradas as dúas nomesmo dominio.

• Da definición de equivalencia de ecuacións dedúcese que en vez de resolver a ecua-ción dada pode resolverse unha ecuación equivalente a ela.

• A relación de equivalencia cumpre a propiedade transitiva, é dicir, se a ecuación

f x g x é equivalente á ecuación x x , e a ecuación x x o é

respecto a m x n x , entón a ecuación f x g x é equivalente á ecuación

m x n x

Usualmente, a noción de equivalencia de ecuacións non se emprega dun xeito global,e restrínxese a equivalencia nun conxunto.

205. Estuda a equivalencia das ecuacións 1 0x x e 1 2 0x x x .

Solución:

As ecuacións 1 0x x e 1 2 0x x x non son equivalentes, dado que o número 2 é raíz

da segunda ecuación pero non da primeira.

206. Estuda a equivalencia das ecuacións 1x e 1x .

Solución:

A ecuación 1x é equivalente a 1x , posto que o número 1 é a raíz das dúas ecuacións. Comoteñen distintos CVT, diremos que estas dúas ecuacións son equivalentes no conxunto dos númerosreais non negativos.

A substitución dunha ecuación por outra equivalente á primeira, ou a substitución por unconxunto de ecuacións (desigualdades, sistemas) equivalente á mesma chámase paso equi-valente.

• Dadas dúas ecuacións 1 1f x g x e 2 2f x g x , se toda raíz da primeira

ecuación é tamén raíz da segunda ecuación, a segunda ecuación chámase corolario daprimeira ecuación, e escríbese así:

1 1 2 2f x g x f x g x

207. Por exemplo, a ecuación 2 41 1x x é un corolario de 2 41 1x x ; en

efecto: 2 41 1x x 2 41 1x x .


Prácticas

• Se unha ecuación se substitúe polo seu corolario, o conxunto de solucións da segundaecuación terá tódalas raíces da ecuación inicial e ademais pode conter algúns númerosmáis chamados raíces estrañas ou ficticias da ecuación de partida.

208. Por exemplo, de 2 41 1x x 2 41 1x x , ao resolver a segunda ecua-

ción atopamos as solucións 1 1x , 2 0x e 3 1x ; sen embargo o cero non é solución

da primeira ecuación.

A raíz estraña 2 0x apareceu como consecuencia de que o CVT da segunda ecuación é

máis grande cao da primeira.

Se ao resolver unha ecuación pasamos ao seu corolario, ao remate do proceso teremos quefacer unha análise das raíces (verificalas) e elixir aquelas que son solucións da ecuacióninicial.

• Durante o paso dunha ecuación ao corolario non sempre se estende o CVT.

209. Por exemplo, o paso da ecuación 1 0x x a 1 2 0x x x non produce

unha extensión do CVT, e a segunda ecuación é un corolario da primeira.

1.4. Resolución dunha ecuación

Polo xeral, a resolución dunha ecuación consiste en substituír sucesivamente unha ecua-ción por outra máis simple ou cambiala por unha colección de ecuacións (ou tamén por de-sigualdades, sistemas, …).

• Despois de facer unhas certas transformacións nun ou nos dous membros da ecua-ción, obtemos outra ecuación, pola que substituímos a ecuación inicial.

As mesmas transformacións habituais nunha ecuación poden dar lugar a unha ecuacióntanto equivalente, como non equivalente á dada.

210. Pon un exemplo de que as mesmas transformacións feitas en varias ecuacións pode condu-cir nuns casos a ecuacións equivalentes e noutras a non equivalentes.

Solución:

A ecuación5 5

7 2 11 42 2

x xx x

, despois de reducir os termos semellantes do seu

primeiro membro, queda substituída pola ecuación 7 2 11 4x x , que non é equivalente ádada.En efecto, o número 2 é a única raíz da ecuación 7 2 11 4x x e non é solución da ecua-ción de partida.

A ecuación5 5

5 2 262 2

x xx x

, despois de reducir os termos semellantes do pri-

meiro membro, quedas substituída pola ecuación 5 2 26x x , que é equivalente á de par-tida.Na realidade, 7 é a única raíz tanto da ecuación 5 2 26x x , como da ecuación inicial.

A ecuación2 1

21

x

x

, despois de simplificar o primeiro membro da ecuación eliminando o

factor común x 1, que da substituída por 1 5x , que é equivalente á inicial.En efecto, a raíz 4 é a única raíz tanto da ecuación inicial como da 1 5x .


Prácticas

211. Pon un exemplo de que as mesmas transformacións feitas en varias ecuacións pode condu-cir nuns casos a ecuacións equivalentes e noutras a non equivalentes.

Solución:

A ecuación 1 6 2x x , despois de elevar ao cadrado os dous membros da igualdade, subs-

titúese pola ecuación 2 2

1 6 2x x , que non é equivalente á primeira.

En efecto, o número 76

é a única raíz da ecuación inicial, e ademais é solución da ecuación

2 2

1 6 2x x , pero a raíz 5x desta segunda ecuación non é solución da ecuación ini-

cial.

A ecuación 1 2x x despois de elevar ao cadrado os dous membros da igualdade,

substitúese pola ecuación 1 2x x , que é equivalente á de partida. En efecto, 12

x é a

única raíz, tanto da ecuación 1 2x x , como da inicial.

1.5. Afirmacións xerais acerca da equivalencia de ecuacións

Teorema 2. As ecuacións f x g x e 0f x g x son equivalentes.

212. Por exemplo, 2 6x x é equivalente a 2 6 0x x .

Teorema 3. As ecuacións f x g x e f x g x son equivalentes para to-

do número .

213. Por exemplo, 2 6x x é equivalente a 2 26 6 6 6 0x x x .

Teorema 4. As ecuacións f x g x e f x g x son equivalentes, para todo

0 .

214. Por exemplo, 2 6x x e 2 25 5 6 5 5 30x x x x son equivalentes.

Teorema 5. As ecuacións f x g x e f x g xa a , con 0, 1a a , son equivalentes.

215. Por exemplo, 2 6x x e2 62 2x x son equivalentes.

Teorema 6. Se as funcións f x e g x son non negativas nun certo conxunto A, entón,

sobre ese conxunto A as ecuacións f x g x e n nf x g x , n , son equiva-

lentes.

216. Por exemplo, 2 6x x e 3 32 6 , 6x x x .

Teorema 7. Se as funcións f x e g x son positivas nun certo conxunto A, entón, sobre

ese conxunto A as ecuacións f x g x e log loga af x g x , con 0a ,

1a , son equivalentes. En particular, se 0b , as ecuacións h xa b e logah x b

son equivalentes.

217. Por exemplo, 2 6x x e 2log log 6 , 6x x x son equivalentes.

Teorema 8. Supoñamos que a función x está definida e non se anula en ningún dos

puntos do conxunto A , pertencente ao CVT da ecuación f x g x . Entón, sobre o

conxunto A as ecuacións f x g x e f x x g x x son equivalentes.

O conxunto A pode coincidir co CVT da ecuación f x g x .


Prácticas

Deste afirmación sácanse as regras habituais:

Se nunha ecuación se pasa un termo dun membro da igualdade ao outro cambiándolle de sig-no, a ecuación resultante é equivalente á dada. Esta regra coñécese como transposición determos.

Se os dous membros dunha ecuación teñen dous termos iguais, e co mesmo signo, poden su-primirse sen que varíen as solucións. Esta regra coñécese como simplificación de termosiguais.

Hai que ter especial coidado ao multiplicar os dous membros dunha ecuación por unha expre-sión alxébrica, xa que con facilidade pasamos a outra ecuación que ademais de ter as solu-cións da primeira, tamén ten por solucións as raíces da expresión pola que multiplicamos.

Hai que ter especial coidado ao dividir os dous membros dunha ecuación por unha expresiónalxébrica, xa que con facilidade pasamos a outra ecuación que pode non ser equivalente á da-da.

1.6. Afirmacións acerca do corolario

• A ecuación 2 2n nf x g x , n é un corolario da ecuación f x g x .

• A ecuación f x g x é un corolario da ecuación log loga af x g x , con

0, 1a a .

• A ecuación f x g x x é un corolario da ecuación

f x

g xx

• A ecuación f x g x é un corolario da ecuación f x h x g x h x

• A colección de ecuacións

0

0

f x

g x

é un corolario da ecuación 0f x g x .

1.7. Ecuacións lineais ou de primeiro grao

• Unha ecuación lineal ou de primeiro grao é unha ecuación do tipo ax b , 0a ,

,a b , ou calquera outra ecuación equivalente a esta.

Trátase dun polinomio de primeiro grao igualado a cero. A letra x é a incógnita quehai que achar.

• A solución da ecuación de primeiro grao éb

xa

, e polo tanto, a ecuación ten sempre

solución e é única.

218. Exemplos: Son ecuacións lineais

• 2 3 0x , 5 4 20x y ,

• 3 2 6 6x y z ,

• 5 3 5 0x y z t ,

xa que son polinómicas de grao 1. É dicir, as in-cógnitas non están elevadas a ningunha poten-cia, nin multiplicadas entre si, nin baixo radi-cais, nin no denominador, …

Non son ecuación lineais:

• 2 3 5x y z ,

• 3 2 0xy z ,

• 2 sen 1x y z .


Prácticas

1.8. Sistemas de ecuacións lineais

• Varias ecuacións dadas conxuntamente co fin de determinar a solución ou as solu-cións comúns a todas elas forman un sistema de ecuacións.

219. Por exemplo,

12

1223

yx

yx

é un sistema de dúas ecuacións con dúas

incógnitas e ten por solución 2, 3.x y

Dous sistemas de ecuacións son equivalentes se teñen as mesmas solucións.

• Dous sistemas poden ser equivalentes sen que o sexan as ecuacións que os forman.

• Debe remarcarse que a solución do sistema é solución de cada ecuación.

O concepto de campo de valores tolerable (CVT) é idéntico ao visto anteriormente.

220. Comproba se os sistemas de ecuacións:

2 5 16

3 3

x y

x y

e

5 13

1

x y

x y

son equivalentes.

Solución:

Son equivalentes xa que ambos teñen a única so-lución 3x , 2y .

1.9. Transformacións válidas nun sistema de ecuacións lineais

Chámanse transformacións válidas as que manteñen as solucións do sistema.

• Consideraremos válida toda transformación que pase dun sistema a outro equivalente.

Son transformacións válidas:

Multiplicar ou dividir os dous membros dunha das ecuacións por un número distinto de cero.

3 5 3

2 5

x y z

x y z

2ª 3

3 5 3

3 6 3 15

x y z

x y z

Engadir unha ecuación que sexa combinación lineal das demais ou, pola contra, suprimirunha ecuación que sexa combinación lineal das outras.

3 5 3

2 5

x y z

x y z

1ª 3 2ª

3 5 3

2 5

11 4 12

x y z

x y z

y z

Substituír unha ecuación polo resultado de sumarlle outra multiplicada por un número.

3 5 3

2 5

x y z

x y z

1ª 3 2ª

11 4 12

2 5

y z

x y z


Prácticas

2. SISTEMAS DE ECUACIÓNS CON SOLUCIÓN E SEN SOLUCIÓN

Un sistema de ecuacións pode ter solución (ser compatible) ou non ter solución (ser incom-patible).

• Os sistemas compatibles poden ter unha única solución (determinados) ou infinitassolucións (indeterminados).

Solución única compatible determinadoCon solución Compatible

Sistema de ecuacións Infinitas solucións compatible indeterminado

Sen solución Incompatible

2.1. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con dúas incógnitas

221. Representa graficamente as ecuacións dos seguintes sistemas:

2 3 9

3 5 4

x y

x y

,

2 3 9

3 5 4

5 2 13

x y

x y

x y

Solución: Estes dous sistemas de ecuacións teñen por so-lución 3x , 1y . Son, polo tanto, compati-

bles determinados.

Isto significa que as tres rectas pasan polo punto

3,1 .

O segundo sistema é practicamente igual có pri-meiro, pois as dúas primeiras ecuacións son asmesmas e a terceira obtense sumando, membro amembro, as anteriores.

Esta terceira ecuación non engade nada novo,pois o que di sabíase xa polas outras dúas; se sa-bemos que “ 2 3x y é igual a 9” e tamén que

“ 3 5x y é igual a 4”, daquela, sen necesidade

de que se nos diga, sabemos que “ 5 2x y é

igual a 13”.

222. Representa graficamente as ecuacións dos seguintes sistemas:

2 3 9

4 6 12

x y

x y

,

2 3 9

3 5 4

5 2 6

x y

x y

x y

Solución:

Estes dous sistemas carecen de solución. Se in-tentamos resolvelos, chegaremos a expresiónsdisparatadas.

2 3 9

4 6 12

x y

x y

Neste sistema, se “ 2 3x y é igual a 9”, daquela

4 6x y tería que ser 18. Como se nos di que

“ 4 6x y é igual a 12”, as dúas afirmacións son

contraditorias.

As ecuacións son incompatibles e o sistema nonten solución.

1062. Sistemas de ecuacións con solución e sen solución

Prácticas

Vexamos este outro sistema:

2 3 9

3 5 4

5 2 6

x y

x y

x y

Se “ 2 3x y é igual a 9” e “ 3 5x y é igual a 4”,

daquela, sumando, 5 2x y debería ser igual a

13. Pero, como se nos di que “ 5 2x y é igual a

6 ”, esta terceira afirmación é contraditoria coque din conxuntamente as dúas primeiras.

As tres ecuacións son incompatibles. Por iso nonhai ningún punto que pertenza ás tres rectas.

2.2. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con tres incógnitas

223. Representa grafica-mente o sistema de ecuacións

2 11

3 20

4 2 5 8

x y z

x y

x y z

Solución: 1x , 7y ,

2z .

Os tres planos córtanse nunpunto; as coordenadas dese

punto son 1,7, 2 .


2 11

3 20

4 2 5 8

7 4 1

x y z

x y

x y z

x z

Solución: 1x , 7y ,

2z .

A cuarta ecuación é suma dasoutras tres.

O plano correspondente pasapolo punto común.


2 11

3 20

4 2 5 8

7 4 3

x y z

x y

x y z

x z

Sen solución.

A cuarta ecuación contradí asuma das outras tres.

O plano non pasa polo puntode corte dos outros tres.


2 3 7 7

3 10 1

3 3 6

x y z

x y z

x z

Solución: Todos os puntos darecta onde se cortan os planosson solución do sistema.

A terceira ecuación, ao ser su-ma das outras dúas, non ache-ga información ao sistema.


2 3 7 7

3 10 1

3 3 0

x y z

x y z

x z

Sen solución. A terceira ecua-ción contradí o que se obténsumando as outras dúas.


Prácticas

228. Resolve e interpreta xeometricamente o sistema

2 1

3 2 4

3

x y

x y

x y

.

Solución:

2 1

3 2 4

3

x y

x y

x y

1 2

3

y x

y x

1 2 3x x 2x 5y .

Vexamos se cumpre a segunda ecuación: 3 2 2 5 4 .

Solución: 2x , 5y ; son tres rectas que se cortan no punto 2,5 .


6

1

2 7

x y z

y z

x y

.

Solución:

A terceira ecuación obtense sumando as dúas primeiras, polo que podemos prescindir dela:

6

1

x y z

y z

6

1

x y z

y z

6 1x z z 5 2x z .

Solución: 5 2x , 1y , z . Son tres planos que se cortan nunha recta.


6

0

0

x y z

x y z

x z

.

Solución:

As dúas primeiras ecuacións son contraditorias. O sistema é incompatible. Os dous primeiros pla-nos son paralelos e o terceiro córtaos.


6

1

1

x y z

y z

z

.

Solución:

6

1

1

x y z

y z

z

:

1

1 2

6 6 2 1 3

z

y z

x y z

Solución: 3x , 2y , 1z son tres planos que se cortan no punto 3,2,1 .

232. Dado o sistema2 3

4

x y

x y

.

232.1.Obtén a solución232.2.Engade unha terceira ecuación de xeito que siga a ser compatible.232.3.Engade unha terceira ecuación de xeito que sexa incompatible.232.4.Interpreta xeometricamente o que fixeches en cada caso.

Solución:

232.1.2 3

4

x y

x y

:

3 2

4

x y

x y

3 2 4y y

1

3y

1 114

3 3x

Solución:11

3x ,

1

3y

232.2. Por exemplo: 2 7x y (suma das dúas ecuacións do sistema).

232.3. Por exemplo: 2 9x y .


Prácticas

232.4. En 232.1: Son dúas rectas que se cortan no punto11 1

,3 3

.

232.2: A nova recta pasa tamén polo punto11 1

,3 3

.

232.3: A nova recta non pasa polo punto11 1

,3 3

. As tres rectas non teñen ningún punto

en común. Só se cortan dúas a dúas.

2.3. Sistemas graduados

Un sistema graduado é un sistema do tipo

1 1 1 1

2 2 2

3 3

a x b y c z d

b y c z d

c z d

233. Os seguintes sistemas son graduados:2 3 14

5 10

x y

y

,

3 2 7

5 6

3 12

x y z

y z

z

,

2 5

8

3 11

2 6

x y t

y z

z t

t

.

234. Indica se é graduado o sistema

2 5

8

3 11

x y t

y z

x t

.

Solución:

O sistema tamén e graduado. Ao ter máis incógnitas que ecuacións, pasamos a incógnita “sobran-te” ao segundo membro, co que as demais se calculan en función lelas:

2 5

8

3 11

x y t

y z

x t

2 5

8

11 3

x y t

y z

x t

11 3

11 3 2 5 2 5 7 11 3 3 2

3 2 8 8 3 2 11 2

x

y

x t

t y t y t y t

t z z t z t

.

2.4. Como transformar un sistema noutro graduado

235. Transforma en graduado e resolve3 4

3 7 7

x y

x y

.

Solución:

3 4

3 7 7

x y

x y

1ª

2ª 3 1ª

3 4

2 5

x y

y

.

Solución:

74 32

52

x y

y

É conveniente fixarse que os coeficientes que son 1 axudan enormemente a facer transforma-cións fáciles.

Nota. Converter un sistema calquera nun sistema graduado como aquí se fai é “pouco eficiente”,polo que este procedemento —xa visto antes— exponse, fundamentalmente para lembrar oxa feito. Máis adiante se verá o método de Gauss —ou mellor o de Gauss Jordan— usando amatriz asociada ao sistema.


Prácticas

236. Transforma en graduado e resolve

5 3 7

2 11

4 3 4 3

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

5 3 7

2 11

4 3 4 3

x y z

x y z

x y z

1ª

2ª 2 1ª

3ª 4 1ª

5 3 7

11 7 3

17 8 25

x y z

y z

y z

1ª

17 2ª

11 3ª

5 3 7

187 119 51

187 88 275

x y z

y z

y z

1ª

2ª

3ª 2ª

5 3 7

187 119 51

31 224

x y z

y z

z

1ª

2ª 17

3ª 1

5 3 7

11 7 3

31 224

x y z

y z

z

.

Solución: 134 151 224, e31 31 31

x y z .

A transformación fíxose para igualar os coeficientes do y , e así, poder eliminala sen recorrer

ás fraccións.

237.Transforma en graduado e resolve

3 4

2

2 6

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

3 4

2

2 6

x y z

x y z

x y z

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

3 4

2 2 6

3 4 10

x y z

y z

y z

1ª

2ª 2

3ª

3 4

3

3 4 10

x y z

y z

y z

1ª

2ª

3ª 3 2ª

3 4

3

1

x y z

y z

z

1

3 2

4 3 1

z

y z

x y z

.

Solución: 1x , 2y , 1z .


3 2 3 19

2 3 4 16

2 9

3 2 7

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

.

Solución:

3 2 3 19

2 3 4 16

2 9

3 2 7

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

1ª 3ª 4

2ª 4ª

3ª 2 4ª

4ª

2 7 9 40

2 9

5 5 23

3 2 7

y z t

y t

y z t

x y z t

1ª 2 2ª

2ª

3ª 2ª

4ª

7 5 22

2 9

5 3 14

3 2 7

z t

y t

z t

x y z t

3 1ª

2ª

5 3ª

4ª

21 15 66

2 9

25 15 70

3 2 7

z t

y t

z t

x y z t

1ª 3ª

2ª

3ª 5

4ª

4 4

2 9

5 3 14

3 2 7

z

y t

z t

x y z t

.

Solución: 1ª 1z , 3ª 3t , 2ª 3y , 4ª 5x .


Prácticas


3 0

3 2 5 7 32

2 3 18

3 2 26

x y z

x y z w

x y z w

x y z w

.

Solución:

3 0

3 2 5 7 32

2 3 18

3 2 26

x y z

x y z w

x y z w

x y z w

1ª

2ª 3 1ª

3ª 1ª

4ª 1ª

3 0

14 7 32

3 4 3 18

2 2 2 26

x y z

y z w

y z w

y z w

1ª

2ª

3ª 3 2ª

4ª 2 2ª

3 0

14 7 32

38 18 114

30 16 90

x y z

y z w

z w

z w

1ª

2ª

3ª 2

4ª 2 2ª

3 0

14 7 32

19 9 57

34 0

x y z

y z w

z w

w

0

57 93

19

32 14 7 10

3 1

w

wz

y z w

x y z

.

Solución: 1x , 10y , 3z , 0w .


6

4

3 8

x y z

x y z

x y z

.

6

4

3 8

x y z

x y z

x y z

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª 3

6

2 2 10

2 2 10

x y z

y z

y z

1ª

2ª 2

6

5

x y z

y z

6

5

x y z

y z

5

6 6 5 1

y z

x z y z z

.

Solucións: 1x , 5y , z .

2.5. Matrices asociadas a sistemas

Cada sistema de ecuación ten asociado unha matriz, a dos coeficientes e termos indepen-dentes:

11 1 12 2 1 1

12 1 22 2 2 2

31 1 32 2 3 3

1 1 2 2

n n

n n

n n

m m mn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

31 32 3 3

1 2

n

n

n

m m mn n

a a a b

a a a b

a a a b

a a a b

11 12 1 1

21 22 2 2

31 32 3 3

1 2

n

n

n

m m mn n

a a a b

a a a b

a a a b

a a a b

Onde a alínea vertical que aparece na segunda matriz utilízase só para evitar confusiónscos termos independentes, e só ten importancia simbólica.

241. Obtén a matriz asociada ao sistema do exemplo 236:

5 3 7

2 11

4 3 4 3

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

5 3 7

2 11

4 3 4 3

x y z

x y z

x y z

1 5 3 7

2 1 1 11

4 3 4 3

1 5 3 7

2 1 1 11

4 3 4 3

.

Utilizando matrices o anterior procedemento para transformar un sistema en graduado faisemoito máis fácil.


Prácticas

242. Utilizando matrices, resolve o sistema do exemplo 236:

5 3 7

2 11

4 3 4 3

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

5 3 7

2 11

4 3 4 3

x y z

x y z

x y z

1 5 3 7

2 1 1 11

4 3 4 3

1ª

2ª 2 1ª

3ª 4 1ª

1 5 3 7

0 11 7 3

0 17 8 25

1ª

17 2ª

11 3ª

1 5 3 7

0 187 119 51

0 187 88 275

1ª

2ª

3ª 2ª

1 5 3 7

0 187 119 51

0 0 31 224

1ª

2ª 17

3ª 1

1 5 3 7

0 11 7 3

0 0 31 224

5 3 7

11 7 3

31 224

x y z

y z

z

.

Solución: 134 151 224, e31 31 31

x y z .

3. MÉTODO DE GAUSS

O método de Gauss é unha xeneralización do procedemento anterior e consiste en transfor-mar un sistema de ecuacións lineais noutro graduado. Para iso, “facemos ceros” sometendoas ecuacións a dúas transformacións elementais:

• Multiplicar unha ecuación por un número distinto de cero.

• Sumar a unha ecuación outra multiplicada por un número.

Cando utilizamos o método de Gauss, ao rematar o proceso ou nalgún paso intermedio, podemoschegar a:

Unha fila de ceros. Corresponde a unha ecuación trivial e podemos prescindir dela:

0 0 0 0 0 0 0 0x y t

Dúas filas iguais ou proporcionais. Corresponden a ecuacións equivalentes e podemos pres-cindir inmediatamente dunha delas:

0 1 5 2 6

0 3 15 6 18

0 1 5 2 6

Unha fila de ceros, agás o último número —que corresponde ao termo independente— dis-tinto de cero:

0 0 0 0 0 0 0x y t

( é un número distinto de cero)

Evidentemente, trátase dunha ecuación imposible. En tal caso o sistema é incompatible.

Para cada caso temos:

0un número distinto de cero

0 0un número calquera

0 0 0

Hai tantas ecuacións válidas coma incógnitas. Sistema compatible determinado.

1123. Método de Gauss

Prácticas

0

0 0

0 un número distinto de cero

0 0 un número calquera

Hai menos ecuacións válidas que incógnitas. As incógnitas que están de máis pásanse aosegundo membro, co cal o valor das demais darase en función delas. O sistema é compati-ble indeterminado. A súa solución xeral virá dada con tantos parámetros coma incógnitaspasásemos ao segundo membro.

un número distinto de cero

0 0 0 0 un número calquera

A ecuación sinalada () non se pode cumprir nunca. O sistema é incompatible.

243. Resolve o sistema

2 5 3 4

2 3

5 7 11

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

Resolvémolo facendo unha iteración parcial.

2 5 3 4

2 3

5 7 11

x y z

x y z

x y z

2 5 3 4

1 2 1 3

5 1 7 11

2ª

1ª

3ª

1 2 1 3

2 5 3 4

5 1 7 11

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

1 2 1 3

0 1 1 2

0 11 2 4

1ª

2ª

3ª 11 2ª

1 2 1 3

0 1 1 2

0 0 13 26

2 3

2

13 26

x y z

y z

z

1ª 2 3 5

2ª 2 2 0

3ª 2

x x

y y

z

.


Este procedemento pode ampliarse e facer unha iteración total, que podemos facer de dúas formas.Para facilitar a interpretación, neste exemplo non faremos as simplificacións posibles.

I.

2 5 3 4

1 2 1 3

5 1 7 11

2ª

1ª

3ª

1 2 1 3

2 5 3 4

5 1 7 11

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

1 2 1 3

0 1 1 2

0 11 2 4

1ª 2 2ª

2ª

3ª 11 2ª

1 0 1 7

0 1 1 2

0 0 13 26

13 1ª 3ª

13 2ª 3ª

3ª

13 0 0 65

0 13 0 0

0 0 13 26

65

513

x ,0

013

y

,

262

13z

, sendo este o método máis eficiente.

II.

2 5 3 4

1 2 1 3

5 1 7 11

2ª

1ª

3ª

1 2 1 3

2 5 3 4

5 1 7 11

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

1 2 1 3

0 1 1 2

0 11 2 4

1ª

2ª

3ª 11 2ª

1 2 1 3

0 1 1 2

0 0 13 26

13 1ª 3ª

13 2ª 3ª

3ª

13 26 0 65

0 13 0 0

0 0 13 26

1ª 2 2ª

2ª

3ª

13 0 0 65

0 13 0 0

0 0 13 26

65

513

x ,0

013

y

,26

213

z

, similar ao anterior, aínda que menos eficiente.


Prácticas

244. Resolve polo método de Gauss o seguinte sistema

3 7 10

5 8

4 10 11

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

3 7 10

5 8

4 10 11

x y z

x y z

x y z

1 3 7 10

5 1 1 8

1 4 10 11

1ª

2ª 5 1ª

3ª 1ª

1 3 7 10

0 14 34 42

0 7 17 21

1ª

2ª 2

3ª

1 3 7 10

0 7 17 21

0 7 17 21

1ª

2ª

3ª 2ª

1 3 7 10

0 7 17 21

0 0 0 0

1 3 7 10

0 7 17 21

A terceira ecuación é

igual á segunda e podemos prescindir dela. O sistema así xa está graduado e pasamos a terceira co-lumna (a correspondente a z ) ao termo independente. O sistema é compatible indeterminado.

7 17 212ª y z 21 17

7

zy

173

7z

71ª 3 10x y z 17

10 3 3 77

x z z

2

17

z

A solución é:2

17

x ,17

37

y , z ; se en lugar de tomar z tomamos z , a

solución poríase así: 1 2x , 3 17y , 7z .

245. Resolve polo método de Gauss o seguinte sistema

3 2 7

2 15 3

8 21 11

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

3 2 7

2 15 3

8 21 11

x y z

x y z

x y z

1 3 2 7

2 1 15 3

1 8 21 11

1ª

2ª 2 1ª

3ª 1ª

1 3 2 7

0 5 19 11

0 5 19 4

1ª

2ª

3ª 2ª

1 3 2 7

0 5 19 11

0 0 0 7

.

A 0 0 0 7 representa a ecuación 0 0 0 7x y z , que é imposible. O sistema é incom-

patible.

246. Resolve polo método de Gauss

2

3 2 4

2 2 2

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

Facémolo de dúas maneiras, con iteración total e parcial:

I.

2

3 2 4

2 2 2

x y z

x y z

x y z

1 1 1 2

3 2 1 4

2 1 2 2

1ª

2ª 3 1ª

3ª 2 1ª

1 1 1 2

0 5 4 2

0 3 4 6

5 1ª 2ª

2ª

5 3ª 3 2ª

5 0 1 8

0 5 4 2

0 0 8 24

8 1ª 3ª

2 2ª 3ª

3ª 8

40 0 0 40

0 10 0 20

0 0 1 3

40 140

20 210

3 31

x

y

z

.


Prácticas

II.

2

3 2 4

2 2 2

x y z

x y z

x y z

1 1 1 2

3 2 1 4

2 1 2 2

1ª

2ª 3 1ª

3ª 2 1ª

1 1 1 2

0 5 4 2

0 3 4 6

1ª

2ª 1

3ª 5 2ª 3

1 1 1 2

0 5 4 2

0 0 8 24

2

5 4 2

8 24

x y z

y z

z

3

2 42

5

2 1

z

zy

x y z

.


As calculadoras TI que se empregan neste temapermiten a fácil solución de sistemas polo méto-

do de Gauss, usando a función ref .

O resultado obtense máis facilmente aínda coas

calculadoras TI usando a función rref , como

se ve nas copias de pantalla adxuntas.

Tamén pode resolverse un sistema de ecuaciónssen utilizar os métodos matriciais, como se fixo

anteriormente, coa función solve .

É matricialmente paso a paso? Lembrando que antes se fixo o programa , ,m i j gaussm , po-

demos utilizalo aquí, como se ve na copia de pantalla da versión de TI-nspire CAS para PC.


Prácticas

247. Resolve polo método de Gauss o sistema

2 5 16

3 2 2

4

x y

x y z

x z

.

Solución:

I.

2 5 16

3 2 2

4

x y

x y z

x z

2 5 0 16

1 3 2 2

1 0 1 4

3ª

2ª

1ª

1 0 1 4

1 3 2 2

2 5 0 16

1ª

2ª 1ª

3ª 2 1ª

1 0 1 4

0 3 3 6

0 5 2 8

1ª

2ª 3

3ª

1 0 1 4

0 1 1 2

0 5 2 8

1ª

2ª

3ª 5 2ª

1 0 1 4

0 1 1 2

0 0 3 18

1ª

2ª

3ª 3

1 0 1 4

0 1 1 2

0 0 1 6

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 2

0 1 0 4

0 0 1 6

2

4

6

x

y

z

.


Prácticas

II.

2 5 16

3 2 2

4

x y

x y z

x z

2 5 0 16

1 3 2 2

1 0 1 4

1ª

2ª 2 3ª

3ª

2 5 0 16

3 3 0 6

1 0 1 4

1º

2ª 3

3ª

2 5 0 16

1 1 0 2

1 0 1 4

1ª 5 2ª

2ª

3ª

3 0 0 6

1 1 0 2

1 0 1 4

3 6

2

4

x

x y

x z

2

2 4

4 6

x

y x

z x

.

Solución: 2, 4, 6x y z .


3 4 2 1

2 3 2

5 5

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

I.

3 4 2 1

2 3 2

5 5

x y z

x y z

x y z

3 4 2 1

2 3 1 2

5 1 1 5

1ª

3 2ª 2 1ª

3 3ª 5 1ª

3 4 2 1

0 17 7 8

0 17 7 10

17 1ª 4 2ª

2ª

3ª 2ª

51 0 6 15

0 17 7 8

0 0 0 18

o sistema é incompatible.

II.

3 4 2 1

2 3 2

5 5

x y z

x y z

x y z

3 4 2 1

2 3 1 2

5 1 1 5

1ª 2 3ª

2ª 3ª

3ª

7 2 0 9

7 2 0 3

5 1 1 5

1ª 2ª

2ª

2 3ª 2ª

0 0 0 6

7 2 0 3

17 0 2 13

o sistema é incompatible.

III.

3 4 2 1

2 3 2

5 5

x y z

x y z

x y z

3 4 2 1

2 3 1 2

5 1 1 5

1ª 2 3ª

2ª 3ª

3ª

7 2 0 9

7 2 0 3

5 1 1 5

As dúas primeiras ecuacións son contraditorias. O sistema é incompatible.


2 2

3 3

5 7

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

2 2

3 3

5 7

x y z

x y z

x y z

1 1 2 2

1 3 1 3

1 1 5 7

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

1 1 2 2

0 2 3 5

0 2 3 5

2 2

2 3 5

x y z

y z

2 2

2 5 3

x y z

y z

2 2

5 3 5 3

2 2 2

x y z

zy z

5 3 9 7

2 22 2 2

z zx z

.

Solución:9

72

x ,5

32

y , 2z .


Prácticas


2 9

2 11

5 24

5 2 2 0

x y w

x y z

x y z w

x y z w

.

Solución:

Facémolo de dúas maneiras, con iteración total e parcial:

I.

2 9

2 11

5 24

5 2 2 0

x y w

x y z

x y z w

x y z w

2 1 0 1 9

1 2 1 0 11

5 1 1 1 24

5 2 1 2 0

2ª

1ª

3ª

4ª

1 2 1 0 11

2 1 0 1 9

5 1 1 1 24

5 2 1 2 0

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

4ª 5 1ª

1 2 1 0 11

0 3 2 1 13

0 9 4 1 31

0 8 6 2 55

3 1ª 2 2ª

2ª

3ª 3 2ª

3 4ª 8 2ª

3 0 1 2 7

0 3 2 1 13

0 0 2 2 8

0 0 2 2 61

1ª

2ª

3ª 2

4ª

3 0 1 2 7

0 3 2 1 13

0 0 1 1 4

0 0 2 2 61

1ª 3ª

2ª 2 3ª

3ª

4ª 2 3ª

3 0 0 1 11

0 3 0 1 5

0 0 1 1 4

0 0 0 4 53

4 1ª 4ª

4 2ª 4ª

4 3ª 4ª

4ª

12 0 0 0 9

0 12 0 0 33

0 0 4 0 69

0 0 0 4 53

9 312 4

33 1112 4

694

534

x

y

z

w

II.

2 9

2 11

5 24

5 2 2 0

x y w

x y z

x y z w

x y z w

2 1 0 1 9

1 2 1 0 11

5 1 1 1 24

5 2 1 2 0

1ª

2ª

3ª 1ª

4ª 2 1ª

2 1 0 1 9

1 2 1 0 11

3 0 1 0 15

1 0 1 0 18

1ª

2ª

3ª 4ª

4ª

2 1 0 1 9

1 2 1 0 11

4 0 0 0 3

1 0 1 0 18

2 9

2 11

4 3

18

x y w

x y z

x

x z

539 24

11 11

2 4

3

4

69184

w x y

x zy

x

z x

.

Solución:3

4x ,

11

4y ,

69

4z ,

53

4w .

251. Resolve, se é posible, o sistema

2 3 0

3 0

4 0

x y z

x y

x y z

.

Solución:

I.

2 3 0

3 0

4 0

x y z

x y

x y z

2 3 1 0

3 1 0 0

4 1 1 0

1ª

2 2ª 3 1ª

3ª 2 1ª

2 3 1 0

0 7 3 0

0 7 3 0

7 1ª 3 2ª

2ª

3ª 2ª

14 0 2 0

0 7 3 0

0 0 0 0

7 0 1 0

0 7 3 0

4ª 3ª

z

7 0

0 7 3

7

7

x

y

z

7

x

y

z

.


Prácticas

II.

2 3 0

3 0

4 0

x y z

x y

x y z

2 3 1 0

3 1 0 0

4 1 1 0

1ª

2ª

3º 1ª

2 3 1 0

3 1 0 0

6 2 0 0

1ª

2ª

3ª 2 2ª

2 3 1 0

3 1 0 0

0 0 0 0

2 3 0

3 0

x y z

x y

3 2

3

y z x

y x

3y x , 2 3 7z x y x .

Solucións: , 3 , 7x y z .


1

3 2 1

5 3 3 1

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

I.

1

3 2 1

5 3 3 1

x y z

x y z

x y z

1 1 1 1

3 2 1 1

5 3 3 1

1ª

2ª 3 1ª

3ª 5 1ª

1 1 1 1

0 1 4 2

0 2 8 4

1ª 2ª

2ª

3ª 2 2ª

1 0 3 1

0 1 4 2

0 0 0 0

1 0 3 1

0 1 4 2

4ª 3ª

z

1 0 1 3

0 1 2 4

1 3

2 4

x

y

z

.

II.

1

3 2 1

5 3 3 1

x y z

x y z

x y z

1 1 1 1

3 2 1 1

5 3 3 1

1ª

2ª 3 1ª

3ª 5 1ª

1 1 1 1

0 1 4 2

0 2 8 4

1ª

2ª

3ª 2

1 1 1 1

0 1 4 2

0 1 4 2

1ª

2ª

3ª 2ª

1 1 1 1

0 1 4 2

0 0 0 0

1

4 2

x y z

y z

1

2 4

x y z

y z

2 4y z , 1 1 3x z y z .

Solución: 1 3 , 2 4 ,x y z .

253. Estuda, segundo os valores de a , e resolve cando sexa posible, o sistema de ecuacións

2 2

2 3 1

3 3

2 5

x y z

x y z

y z

x y z a

.

Solución:

Resolvemos o sistema formado polas tres primeiras ecuacións:

2 2

2 3 1

3 3

x y z

x y z

y z

1 1 2 2

2 1 3 1

0 3 1 3

A

1ª

2ª 2 1ª

3ª

1 1 2 2

0 3 7 3

0 3 1 3

3 1ª 2ª

2ª

3ª 2ª

3 0 1 3

0 3 7 3

0 0 6 6

6 1ª 3ª

6 2ª 7 3ª

3ª

18 0 0 24

0 18 0 24

0 0 6 6

43

43

1

x

y

z

.


Prácticas

Para que o sistema dado sexa compatible, esta solución tamén debe selo da cuarta ecuación. Subs-tituíndo estes valores na cuarta ecuación tense:

4 4

2 5 1 23 3

se 2 sistema compatible determinado.

se 2 sistema incompatible.

a

a


2 0

2 0

5 0

5 2 2 0

x y t

x y z

x y z t

x y z t

.

Solución:

I.

2 0

2 0

5 0

5 2 2 0

x y t

x y z

x y z t

x y z t

2 1 0 1 0

1 2 1 0 0

5 1 1 1 0

5 2 1 2 0

2ª

1ª

3ª

4ª

1 2 1 0 0

2 1 0 1 0

5 1 1 1 0

5 2 1 2 0

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

4ª 5 1ª

1 2 1 0 0

0 3 2 1 0

0 9 4 1 0

0 8 6 2 0

3 1ª 2 2ª

2ª

3ª 3 2ª

3 4ª 8 2ª

3 0 1 2 0

0 3 2 1 0

0 0 2 2 0

0 0 2 2 0

2 1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

4ª 3ª

6 0 0 2 0

0 3 0 1 0

0 0 2 2 0

0 0 0 4 0

1ª 2

2ª

3ª 2

4ª 4

3 0 0 1 0

0 3 0 1 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 0

1ª 4ª

2ª 4ª

3ª 4ª

4ª

3 0 0 0 0

0 3 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0

0

0

0

t

y

x

z

.

II.

2 0

2 0

5 0

5 2 2 0

x y t

x y z

x y z t

x y z t

2 1 0 1 0

1 2 1 0 0

5 1 1 1 0

5 2 1 2 0

1ª

2ª

3ª 1ª

4ª 2 1ª

2 1 0 1 0

1 2 1 0 0

3 0 1 0 0

1 0 1 0 0

1ª

2ª

3ª 4ª

4ª

2 1 0 1 0

1 2 1 0 0

4 0 0 0 0

1 0 1 0 0

2 0

2 0

4 0

0

x y t

x y z

x

x z

0

0

0

0

t

y

x

z

.

Solución: 0x , 0y , 0z , 0t .


2 3

2 3 4

2 5 4

x y

x y z

x y z

.

Solución:

2 3

2 3 4

2 5 4

x y

x y z

x y z

1 2 0 3

2 3 1 4

2 1 5 4

1ª

2ª 2 1ª

3ª 2 1ª

1 2 0 3

0 1 1 2

0 5 5 10

1ª

2ª

3ª 5 2ª

1 2 0 3

0 1 1 2

0 0 0 0

2 3

2

x y

y z

3 2

2

x y

z y

.

Solucións: 3 2x , y , 2z .


Prácticas


3 1

5 3 3

1

3 7 5 5

x y z

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

I.

3 1

5 3 3

1

3 7 5 5

x y z

x y z

x y z

x y z

1 3 1 1

1 5 3 3

1 1 1 1

3 7 5 5

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

4ª 3 1ª

1 3 1 1

0 8 4 4

0 4 2 2

0 16 8 8

1ª

2ª 4

3ª 2

4ª 8

1 3 1 1

0 2 1 1

0 2 1 1

0 2 1 1

2 1ª 3 2ª

2ª

3ª 2ª

4ª 2ª

2 0 1 1

0 2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

sistema compatible indeterminado

2 0 11

0 2 11

4ª 3ªz

2 0 1

0 2 1

1ª 2

2ª 2

11 02

10 1

2

1

2

1

2

x

y

z

1

1

2

x

y

z

.

II.

3 1

5 3 3

1

3 7 5 5

x y z

x y z

x y z

x y z

1 3 1 1

1 5 3 3

1 1 1 1

3 7 5 5

3ª

2ª

1ª

4ª

1 1 1 1

1 5 3 3

1 3 1 1

3 7 5 5

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

4ª 3 1ª

1 1 1 1

0 4 2 2

0 4 2 2

0 4 2 2

1ª

2ª 2

3ª 2

4ª 2

1 1 11

0 2 11

0 2 11

0 2 11

1ª

2ª

3ª 2ª

4º 2ª

1 1 1 1

0 2 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0

1

2 1

x y z

y z

1

2 1

x y z

y z

1

2

zy

,

11

2

zx z y

.

Solucións: 1 , 1 , 2x y z .

257. Estuda e resolve polo método de Gauss

1

1

2 3 2

y z

x y

x y z

.

Solución:

I.

1

1

2 3 2

y z

x y

x y z

0 1 1 1

1 1 0 1

1 2 3 2

2ª

1ª

3ª

1 1 0 1

0 1 1 1

1 2 3 2

1ª

2ª

3ª 1ª

1 1 0 1

0 1 1 1

0 3 3 3

1ª 2ª

2ª

3ª 3 2ª

1 0 1 0

0 1 1 1

0 0 0 0

1 0 1 0

0 1 1 1

4ª 3ª

z

1 0

0 1 1

1

x

y

z

.

Solución: , 1 ,x y z .


Prácticas

II.

1

1

2 3 2

y z

x y

x y z

0 1 1 1

1 1 0 1

1 2 3 2

2ª

1ª

3ª

1 1 0 1

0 1 1 1

1 2 3 2

1ª

2ª

3ª 1ª

1 1 0 1

0 1 1 1

0 3 3 3

1ª

2ª

3ª 3 2ª

1 1 0 1

0 1 1 1

0 0 0 0

sistema compatible indeterminado. Resolvémolo:

1

1

x y

y z

1

1

x y

z y

.

Solucións: 1 , , 1x y z .

258. Resolve mediante Gauss–Jordan o sistema

9 6 34

5 3 19

9 3 5 35

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

9 6 34

5 3 19

9 3 5 35

x y z

x y z

x y z

9 6 1 34

5 3 1 19

9 3 5 35

1ª

9 2ª 5 1ª

3ª 1ª

9 6 1 34

0 3 4 1

0 9 4 1

1ª 2 2ª

2ª

3ª 3 2ª

9 0 9 36

0 3 4 1

0 0 8 2

8 1ª 9 3ª

2 2ª 3ª

3ª

72 0 0 270

0 6 0 0

0 0 8 2

1ª 72

2ª 6

3ª 8

154

14

1 0 0

0 1 0 0

0 0 1

.

Solucións: 154

x , 0y , 14

z .

Coa función rref podemos resolver matri-

cialmente o sistema; paso a paso fixémolo co

noso programa , ,m i j gaussm .


Antes resolveuse un sistema de ecuacións paso a paso usando o programa , ,m i j gaussm que

foi deseñado para este tema.

Podería ser interesante redactar un novo programa que fixera automaticamente todo o proceso que

antes fixemos a pasos co programa , ,m i j gaussm .

Dado que xa se ten o programa , ,m i j gaussm bastará modificar lixeiramente o código para

obter o programa desexado. Chamémoslle a ese programa mgaussk , e só recibirá como entrada

unha matriz.


Prácticas

4.1. Programa gaussk

Este programa faise a partir dunha lixeira modificación do programa , ,m i j gaussm , indicán-

dolle, basicamente, que a iteración se faga automaticamente e tomando como pivotes os elementosque teñen iguais as dúas coordenadas.

Define LibPub gaussk(θm)=

Prgm

©gaussk(θm)

Local m,k,θc,θd,θf,θnf,θnc,θs,ma,θi

m:=θm

rowDim(θm)→θnf

colDim(θm)→θnc

θs=min(θnf,θnc)

For θi,1,θs

For θf,1,θnf

ma:=m

If θf≠θi Then

k:=gcd(m[θi,θi],m[θf,θi])

θc:=((m[θf,θi])/(k))

θd:=((m[θi,θi])/(k))

If sign(m[θi,θi])=sign(m[θf,θi]) Then

If sign(m[θi,θi])=1 Then

m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf)

Else

m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf)

EndIf

Else

If sign(m[θi,θi])=1 Then

m:=mRowAdd(−θc,mRow(θd,m,θf),θi,θf)

Else

m:=mRowAdd(θc,mRow(−θd,m,θf),θi,θf)

EndIf

EndIf

If sign(θd)=1 Then

If sign(θc)=1 Then

Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"-",θc,"×F",θi,"=",m

Else

Disp ma,"→",θd,"×F",θf,"+",abs(θc),"×F",θi,"=",m

EndIf

Else

If sign(θc)=1 Then

Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"+",θc,"×F",θi,"=",m

Else

Disp ma,"→",abs(θd),"×F",θf,"-",abs(θc),"×F",θi,"=",m

EndIf

EndIf

EndIf

EndFor

EndFor

EndPrgm


Prácticas

Este mesmo exemplo feito coa versión para PC de TI-nspire CAS produce o seguinte:

5. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

5.1. Criterio para saber se un sistema é compatible

Para saber se un sistema de ecuacións ten ou non solución, haberá que ver se os termos indepen-dentes se poden obter a partir dos coeficientes das incógnitas, e dicir, se son combinación linealdos coeficientes. Isto realízase comparando a matriz dos coeficientes coa matriz que se obtén en-gadíndolle a esta a columna dos termos independentes, chamada matriz ampliada.

É o que fai o seguinte teorema.

1245. Resolución de sistemas mediante determinantes

Prácticas

Teorema 9: de RouchéA condición necesaria e suficiente para que teña solución o sistema

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x c

a x a x a x a x c

a x a x a x a x c

é que o rango da matriz dos coeficientes, A, coincida co rango da matriz ampliada, 'A :

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn

a a a a

a a a aA

a a a a

,

11 12 13 1 1

12 22 23 2 2

1 2 3

'

n

n

m m m mn m

a a a a c

a a a a cA

a a a a c

• É dicir: O sistema ten solución 'ran A ran A .

259. Aplica o teorema de Rouché para estudar a compatibilidade do sistema

2 3 4

2 5

3 1

x y z

x y

y z

.

Solución:

2 3 4

2 5

3 1

x y z

x y

y z

2 3 1

1 2 0

0 3 1

A

,

2 3 1 4

' 1 2 0 5

0 3 1 1

A

.

2 0A . Polo tanto, 3ran A . Como 'A só ten tres filas, o seu rango non pode ser maior

que 3. Polo tanto, 'ran A ran A . O sistema é compatible.


2 0

1

4 3 4

x y z

x y

x y z

.

Solución:

2 0

1

4 3 4

x y z

x y

x y z

'

1 0

0 1

1

1 1

1

2

4 3 4

A

A

;

0A e1 2

1 01 1

2ran A , pois o menor recadrado en vermello é non nulo.

1 2 0

1 1 1 2 0

1 4 4

Polo tanto ' 3ran A . 'ran A ran A . O sistema é incompatible.

Frecuentemente trazase unha vertical que distinga as columnas dos coeficientes da colum-na de termos independentes, pero a tódolos efectos é unha matriz ordinaria e a vertical sóse considera como elemento tipográfico.

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

m m m mn

a a a a

a a a aA

a a a a

,

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

'

n

n

m m m mn m

a a a a c

a a a a cA

a a a a c


Prácticas


2 0

1

4 3 2

x y z

x y

x y z

.

Solución:

2 0

1

4 3 2

x y z

x y

x y z

'

1 0

0 1

1

1 1

1

2

4 3 2

A

A

.

0A e1 2

3 01 1

2ran A , pois o menor recadrado en vermello é non nulo.

1 2 0

1 1 1 0

1 4 2

Polo tanto ' 2ran A . ' 2ran A ran A o sistema é compatible.


7

2 3 4

2 0

x y

x y

x y

.

Solución:

7

2 3 4

2 0

x y

x y

x y

1 1 7

' 2 3 4

2 1 0

A

. Posto que 'A é unha matriz cadrada, calculamos o seu determi-

nante:

' 60 0A . Polo tanto ' 3ran A . Como a matriz A só ten dúas columnas, 2ran A :

2 ' 3ran A ran A o sistema é incompatible.

263. Indica o valor de a para o cal ten infinitas solucións o sistema

1 2 3

3 2

a x y z a

ax y a

ax y z a

.

Solución:

1 2 3

3 2

a x y z a

ax y a

ax y z a

1 2 1

1 0

3 1

a

A a

a

,

1 2 1 3

' 1 0

3 1 2

a a

A a a

a a

;

1 2 1

1 0 1

3 1

a

A a a

a

; 0A 1a .

• Se 1a ,

0 2 1 2

' 1 1 0 1

1 3 1 1

A

, e0 2

2 01 1

e

0 2 2

1 1 1 0

1 3 1

(a 3ª fila é a suma

das dúas primeiras) ' 2ran A ran A o sistema é compatible indeterminado.

• Se 1a ' 3ran A ran A o sistema é compatible determinado.

Polo tanto, o sistema ten infinitas solucións (compatible indeterminado) só para 1a .


Prácticas

4.2 Regra de Cramer

A regra de Cramer é un teorema cunha inmediata utilidade práctica. Serve para obter a solucióndun sistema de n ecuacións con n incógnitas. Imos enuncialo e ilustralo para 4n . A súa xene-ralización para un n calquera é inmediata.

Sexa un sistema de 4 ecuacións con 4 incógnitas:

11 12 13 14 1

21 22 23 24 2

31 32 33 34 4

41 42 43 44 4

a x a y a z a t c

a x a y a z a t c

a x a y a z a t c

a x a y a z a t c

con

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

0

a a a a

a a a aA

a a a a

a a a a

• Dado que 0A , 'ran A ran A o sistema é compatible.

Teorema 10: Regra de Cramer: A solución do sistema anterior é:

xAx

A ,

yAy

A , zA

zA

, tAt

A

Sendo xA a matriz que resulta de substituír na matriz A a columna dos coeficientes de x

pola columna dos termos independentes. Analogamente, yA , zA , tA obtéñense substituín-

do en A a columna dos coeficientes da incógnita correspondente pola dos termos indepen-dentes, é dicir:

•

1 12 13 14

2 22 23 24

3 32 33 34

4 42 43 44

x

c a a a

c a a aA

c a a a

c a a a

,

11 1 13 14

21 2 23 24

31 3 33 34

41 4 43 44

y

a c a a

a c a aA

a c a a

a c a a

,

11 12 1 14

21 22 2 24

31 32 3 34

41 42 4 44

z

a a c a

a a c aA

a a c a

a a c a

e

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

41 42 43 4

t

a a a c

a a a cA

a a a c

a a a c

.

264. Resolve este sistema aplicando a regra de Cramer:

2 3 4

6

6 2 5

x y z

x y

x y z

.

Solución:

O primeiro é comprobar que A non é cero.

2 3 1

1 1 0 15 0

1 6 2

A

Por ser 0, podemos aplicar a regra de Cramer

para resolver o sistema.

A

Calculamos os determinantes xA , yA , zA :

4 3 1

6 1 0 75

5 6 2xA

,

2 4 1

1 6 0 15

1 5 2yA ,

2 3 4

1 1 6 45

1 6 5zA

.

Por tanto, a solución é:

755

15

xAx

A ,

151

15

yAy

A ,

453

15

zAz

A

.



Prácticas

265. Resolve este sistema aplicando a regra de Cramer:4 2 0

7 8 8

x y

x y

.

Solución:

4 2 0'

7 8 8A

;

4 218 0

7 8A

Por ser 0, podemos aplicar a regra de Cramer

para resolver o sistema.

A

0 2

8 8 16 8

18 18 9x

;

4 0

7 8 32 16

18 18 9y

.

Solución:8

9x ,

16

9y .


4 3 18

2 5 9

2 2 3 2 8

6 3 2 11

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

.

Solución:

4 3 18

2 5 9

2 2 3 2 8

6 3 2 11

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

1 1 4 3

1 2 1 5

2 2 3 2

6 3 1 2

A

,

1 1 4 3

1 2 1 5

2 2 3 2

6 3 1 2

A

1ª

2ª 1ª

3ª 2 1ª

4ª 6 1ª

1 4 3

0 1 5 8

0 0 5 8

0 3 5 16

1

2

1 5 8

1 0 5 8

3 25 16

1ª

2ª

3ª 3 1ª

5 8

0 5 8

1

0 40 40

5 8

1 120 040 40

.

18 1 4 3

9 2 1 5

8 2 3 2

11 3 1 2

xA

; 240xA ;

1 18 4 3

1 9 1 5

2 8 3 2

6 11 1 2

yA

; 120yA ;

1 1 18 3

1 2 9 5

2 2 8 2

6 3 11 2

zA

; 480zA ;

1 1 4 18

1 2 1 9

2 2 3 8

6 3 1 11

tA

; 120tA

Polo tanto:240

2120

xAx

A

,

1201

120

yAy

A

,

4804

120

zAz

A

,

1201

120

tAt

A

.

Solución: 2x , 1y , 4z e 1t .

5.2. Aplicación da regra de Cramer a sistemas de calquera tipo

A regra de Cramer, en principio, só é válida para sistemas cadrados n n que cumpren que

0A (a estes sistemas chámaselles de Cramer). Nembargante, tamén se lle pode aplicar a cal-

quera sistema compatible, como veremos a continuación.


Prácticas

Temos un sistema de m ecuacións con n incógnitas, compatible. Supoñamos que se veri-

fica que 'ran A ran A r e que r m , r n .

• Isto significa que a matriz dos coeficientes ten un menor de orde r distinto de cero.Para simplificar a notación, suporemos que ese menor está na esquina superior es-querda da matriz A , é dicir, está formado pola intersección das r primeiras filas edas r primeiras columnas:

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 1 1

11 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1

Pasan ao segundo membro

r r r r n n

r r rr r rr r rn n r

r r r r r r r r r n n r

a x a x a x a x a x c



1 1 2 2 1 1m m mr r mr r mn n ma x a x a x a x a x c

Onde as ecuacións se suprimen por ser CL das r ecuacións anteriores.

O sistema de partida anterior é equivalente a este outro:

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 1 1

r r r r n n

r r rr r r rr r rn n

a x a x a x c a x a x

a x a x a x c a x a x

, con

11 1

1

0r

r rr

a a

a a

.

Este é un sistema de Cramer no que os termos independentes están dados en función das

incógnitas “sobrantes” ( 1rx , …, nx ). Polo tanto, a solución depende de n r parámetros.

• Se r m todas as ecuacións son útiles (non “sobra” ningunha).

• Se r n m , “sobran” varias ecuacións pero, ao suprimilas, queda un sistema deCramer de n ecuacións e n incógnitas, determinado.


2 3 5 27

2

2 4 2 24

x y z t

x z

x y t

.

Solución:

Para que sexa “de Cramer”, temos que pasar ao segundo membro unha das incógnitas. Probamoscoa t . O determinante da matriz dos coeficientes que quedan no primeiro membro debe ser nonnulo.

2 3 5 27

2

2 4 24 2

x y z t

x z

x y t

:

2 3 5 1 27

1 0 1 0 2

2 4 0 2 24

5ª 4ªt

2 3 5 27

1 0 1 2

2 4 0 24 2

2 3 5

1 0 1 22

2 4 0

A

.

Como 0A , podemos aplicar a regra de Cramer.

27 3 5

2 0 1 10 76

24 2 4 0xA

,

2 27 5

1 2 1 16 94

1 24 2 0yA

,


Prácticas

2 3 27

1 0 2 10 32

2 4 24 2zA

.

Solución:76 10

22x

,

94 16

22y

,

32 10

22z

, t .

268. Resolve empregando a regra de Cramer4

2

x y z t

x y z t

.

Solución:

4

2

x y z t

x y z t

1 1 1 1

1 1 1 1A

;

1 12 0

1 1

;

1 1 1 1 4'

1 1 1 1 2A

' 2ran A ran A nº de incógnitas ª 4ª,

5 3ªz t

1 1 4

1 1 2

4 1

2 1 63

2 2x

,

1 4

1 2 2 2 21

2 2y

.

Solución: 3x , 1y , z , t .

269. Estuda e resolve sistema

2 2

2 1

4 4 5 5

5 5 4 4

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

.

Solución:

2 2

2 1

4 4 5 5

5 5 4 4

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

1 1 1 2

2 1 1 1

1 4 4 5

1 5 5 4

A

;

1 1 1 2 2

2 1 1 1 1'

1 4 4 5 5

1 5 5 4 4

A

• Cálculo de ran A . Observamos as seguintes relacións entre columnas: 3ª 2ª ,

4ª 2ª 1ª . Polo tanto, A só ten dúas columnas LI. É dicir, 2ran A .

• Cálculo de 'ran A . A nova columna é proporcional á cuarta: 5ª 4ª . Polo tanto,

' 2ran A .

O sistema é compatible de rango 2. O seu sistema equivalente é:

2 2

2 1

x y z t

x y z t

,

1 1

2 1B

, 3B ;2 2 1

1 1x

z tB

z t

3 3t

3 31

3

tx t

,

1 2 2

2 1y

z tB

z t

3 3 3z t

3 3 31

3

z ty z t

.

Solución xeral: 1x , 1y , z , t .


Prácticas

270. Estuda e resolve, se é posible, o sistema

2 3 3

5 0

3 6

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

2 3 3

5 0

3 6

x y z

x y z

x y z

2 3 1

1 5 1

3 1 1

A

;

2 3 1

1 5 1 0

3 1 1

A

;2 3

7 01 5

2ran A ;

2 3 1 3

' 1 5 1 0

3 1 1 6

A

;

2 3 3

1 5 0 0

3 1 6

' 2ran A ran A nº de in-

cógnitas sistema compatible indeterminado. Para resolvelo prescindimos da terceira ecuación(as dúas primeiras filas son LI).

I.2 3 3

5 0

x y z

x y z

2 3 1 3

'1 5 1 0

B

;2 3

7 01 5

4ª 3ª

z

2 3 3

1 5

3

5 2 15

7 7x

,

2 3

1 3

7 7y

, z 2 15x , 3y ,

7z .Solucións: 2 15, 3, 7x y z .

II.2 3 3

5 0

x y z

x y z

2 3 1 3

'1 5 1 0

C

;2 1

1 01 1

4ª 2ªy

2 1 3 3

1 1 5

3 3 1

5 13 2

1x

, y ,

2 3 3

1 53 7

1z

.

Solucións: 3 2x , y , 3 7z .

III.2 3 3

5 0

x y z

x y z

2 3 3

5

x z y

x z y

; sumando resulta 3 2x y 3 7z y .

Solucións: 3 2x , y , 3 7z .

271. Resolve empregando a regra de Cramer8 14 2

3 5 11

x y

x y

.

Solución:

8 14 2

3 5 11

x y

x y

8 14

3 5A

,

8 1482 0

3 5A

;

8 14 2'

3 5 11A

;

2 'ran A ran A sistema compatible determinado:

2 14

11 5 1642

82 82x

,

8 2

3 11 821

82 82y

.

Solución: 2x , 1y .


Prácticas

6. SISTEMAS HOMOXÉNEOS

Estudamos agora un tipo especial de sistemas de ecuacións: aqueles que teñen como termos inde-pendentes cero.

Chámase homoxéneo o sistema de ecuacións nos que todos os termos independentes soncero.

Caracterízanse polas dúas propiedades seguintes:

• Un sistema homoxéneo ten, con seguridade, a solución 0x , 0y , 0z , … Por

iso se lle chama solución trivial.

• Para que un sistema homoxéneo teña outras solucións, é necesario e suficiente que:

número de incógnitasran A .

272. Resolve o seguinte sistema:

0

2 0

2 0

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

0

2 0

2 0

x y z

x y z

x y z

1 1 1

2 1 1 3 0

1 2 1

A

Polo tanto, 3ran A nº de incógnitas.

O sistema só ten a solución trivial: 0x , 0y , 0z .

273. Estuda, usando determinantes, e resolve cando sexa posible

2 0

4 3 2 0

7 7 4 0

2 2 0

x y z

x y z t

x y z t

x z t

.

Solución:

2 0

4 3 2 0

7 7 4 0

2 2 0

x y z

x y z t

x y z t

x z t

: é un sistema homoxéneo.

1 2 1 0

1 4 3 2

1 7 7 4

2 0 2 1

A

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

4º 2 1ª

2 1 0

0 6 4 2

0 5 6 4

0

1

4 0 1

6 4 2

1 5 6 4 0

4 0 1

;

1 2 1

1 4 3 16 0

1 7 7

3ran A sistema compatible indeterminado.

Para resolvelo prescindimos da cuarta ecuación e pasamos o t ao segundo membro. Logo resol-vemos por Cramer:

2 0

4 3 2

7 7 4

x y z

x y z t

x y z t

1 2 1 0 0

' 1 4 3 2 0

1 7 7 4 0

B

5ª 4ªt

1 2 1 0

1 4 3 2

1 7 7 4

0 2 1

2 4 3

4 7 7 6 3

16 16 8x

,

1 0 1

1 2 3

1 4 7 4

16 16 4y

,

1 2 0

1 4 2

1 7 4 14 7

16 16 8z

,

t .

Solución:3

8x ,

1

4y ,

7

8z , t 3x , y , 7z , 8t .

1327. Discusión de sistemas de ecuacións

Prácticas

274. Resolve este sistema:

0

2 0

2 4 0

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

0

2 0

2 4 0

x y z

x y z

x y z

1 1 1

1 1 2 0

2 4 1

A

. Seleccionamos o menor1 1

2 01 1

2ran A .

Podemos suprimir a terceira ecuación e pasar z ao segundo membro2

x y z

x y z

1 1 1 0

1 1 2 0

.

I.1 1 1 0

1 1 2 0

4ª 3ª

z

1 1

1 1 2

1

2 1 3

2 2x

,

1

1 2

2 2y

.

II.1 1 1 0

1 1 2 0

4ª 3ª

z

1 1

1 1 2

1ª

2ª 1ª

1 1

0 2

2 1ª 2ª

2ª

2 0 3

0 2

3

2x

,

2y

, z 3x , y , 2z .

Solución: 3x , y , 2z .

7. DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIÓNS

Cando nun sistema de ecuacións algún dos coeficientes é un parámetro, máis que un sis-tema de ecuacións é un conxunto deles.

• Un sistema dependente dun parámetro k pode ser

1

1

1

x y kz

kx k y z k

x y z k

• Para cada valor do parámetro k hai un sistema de ecuacións distinto.

• Deses infinitos sistemas, é posible que uns sexan compatibles e outros incompatibles.

Discutir o sistema dependente do parámetro é recoñecer os valores de k para os queo sistema é dun tipo ou doutro.

• Discutir un sistema de ecuacións dependente dun ou máis parámetros é identificar pa-ra que valores dos parámetros o sistema é compatible, distinguindo os casos nos que édeterminado ou indeterminado.

7.1. Discusión usando o método de Gauss

Sabemos que despois de aplicar o procedemento de Gauss podemos chegar a unha das seguintessituacións:

Tantas ecuacións válidas

0un número distinto de cero como incógnitas.

0 0un número calquera .

0 0 0Compatible determinado


Prácticas

0

0 0

0 un número distinto de cero

0 0 un número calquera

Menos ecuacións válidas que incógnitas. As incógnitas “sobrantes” pásanse ao segundomembro Compatible indeterminado.

un número distinto de cero

0 0 0 0 un número calquera

A ecuación non se pode

cumprin nunca.

.Sistema incompatible

275. Discute e resolve usando Gauss, cando se poida, o seguinte sistema

1

1

1

x y kz

kx k y z k

x y z k

Solución:

1

1

1

x y kz

kx k y z k

x y z k

1 1 1

1 1

1 1 1 1

k

k k k

k

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

k

2

1 1 1

0 1 1 0

0 0 1

k

k

k k

Se 1k , a última fila é 0 0 0 1 . O sistema é incompatible.

Se 1k ,1

kz

k

, 2y k k ,

3 2 2 1

1

k k kx

k

.

É dicir, para calquera 1k , o sistema é compatible determinado.

Solucións:3 2 2 1

1

k k kx

k

, 2y k k ,

1

kz

k

.

Non hai infinitas solucións, senón infinitos sistemas, un para cada valor de k , e cada un

deles ten solución única, agás o correspondente a 1k , que non ten solución.

• Para 2k , o sistema é

2 1

2 2

3

x y z

x y z

x y z

e a solución é 1x , 6y , 2z .

276. Discute, segundo os valores do parámetro , o sistema de ecuacións

1

2

0

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

1

2

0

x y z

x y z

x y z

1 1 1 1

2 1

1 1 0

1ª

2ª 2 1ª

3ª 1ª

1 1 1 1

0 3 2 2

0 2 1 1

3 1ª 2ª

2ª

3 3ª 2 2ª

3 0 1 1

0 3 2 2

0 0 1 5 1 2

;1 1

1 5 0 1 2 05 5

sistema incompatible.

Solución: para1

5 o sistema é incompatible, e para

1

5 o sistema resultante é compatible e

determinado.


Prácticas

277. Discute mediante Gauss o sistema

0

3 0

3 4 0

x y z

x y z

x ay z

.

Solución:

0

3 0

3 4 0

x y z

x y z

x ay z

1 1 1 0

1 3 1 0

3 4 0a

1ª

2ª 1ª

3ª 3 1ª

1 1 1 0

0 2 2 0

0 3 7 0a

1ª

2ª 2

3ª

1 1 1 0

0 1 1 0

0 3 7 0a

1ª

2ª

3ª 7 2ª

1 1 1 0

0 1 1 0

0 10 0 0a

• Se 10a sistema compatible indeterminado

• Se 10a sistema compatible determinado.


5 2 3 4

2 2 3

2 2 3

x y z

x y z

x y z

Solución:

I.

5 2 3 4

2 2 3

2 2 3

x y z

x y z

x y z

5 2 3 4

2 2 1 3

1 2 2 3

3ª

2ª

1ª

1 2 2 3

2 2 1 3

5 2 3 4

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

1 2 2 3

0 6 3 9

0 12 7 19

3 1ª 2ª

2ª

3ª 2 2ª

3 0 3 0

0 6 3 9

0 0 1 1

1ª 3

2ª 3

3ª 1

1 0 1 0

0 2 1 3

0 0 1 1

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 1

0 2 0 2

0 0 1 1

1ª

2ª 2

3ª

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

sistema compatible determinado:

1

1

1

x

y

z

.

II.

5 2 3 4

2 2 3

2 2 3

x y z

x y z

x y z

5 2 3 4

2 2 1 3

1 2 2 3

3ª

2ª

1ª

1 2 2 3

2 2 1 3

5 2 3 4

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

1 2 2 3

0 6 3 9

0 12 7 19

1ª

2ª 3

3ª 2 2ª

1 2 2 3

0 2 1 3

0 0 1 1

sistema compatible determinado.

Resolvémolo:

2 2 3

2 3

1

x y z

y z

z

1z ,3

12

zy

, 3 2 2 1x y z .



Prácticas

279. Discute mediante Gauss, e resolve cando sexa posible, o sistema

2 1

2 3

5 5 2

x y z

x y z

x y z m

.

Solución:

2 1

2 3

5 5 2

x y z

x y z

x y z m

2 1 1 1

1 2 1 3

5 5 2 m

2ª

1ª

3ª

1 2 1 3

2 1 1 1

5 5 2 m

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

1 2 1 3

0 5 3 5

0 5 3 15m

5 1ª 2 2ª

2ª

3ª 2ª

5 0 1 5

0 5 3 5

0 0 0 10m

; 10 0 10m m .

• Se 10m sistema compatible indeterminado. Resolvémolo:

5 0 1 5

0 5 3 5

4ª 3ª

z

5 0 5

0 5 5 3

5 5 3, ,

5 5x y z

1 , 1 3 , 5x y z .

Solucións: 1 , 1 3 , 5x y z

• Se 10m sistema incompatible.

280. Discute e resolve en función do parámetro

2

2 2 0

3 2

x my z

x y z

x z

.

Solución:

2

2 2 0

3 2

x my z

x y z

x z

1 1 2

2 1 2 0

1 0 3 2

m

3ª 1

2ª

1ª

1 0 3 2

2 1 2 0

1 1 2m

1ª

2ª 2 1ª

3ª 1ª

1 0 3 2

0 1 4 4

0 4 4m

1ª

2ª

3ª 2ª

1 0 3 2

0 1 4 4

0 1 0 0m

1ª

2ª 1

3ª

1 0 3 2

0 1 4 4

0 1 0 0m

;

1 0 1m m .

• Se 1m sistema compatible indeterminado. Resolvémolo:

3 2

4 4

x z

y z

2 3

4 4

x z

y z

; facendo z .

Solucións: 2 3 , 4 4 ,x y z .

• Se 1m sistema compatible determinado. Resolvémolo:

3 2

4 4

1 0

x z

y z

m y

2 3 1

41

4

0

x z

yz

y

.



Prácticas

281. Discute usando o método de Gauss o sistema

1

2 1

ax y z b

x ay b

x z b

.

Solución:

1

2 1

ax y z b

x ay b

x z b

1 1

2 0

1 0 1

a

A a

,

1 1 1

' 2 0 1

1 0 1

a b

A a b

b

;

2

1 1

2 0 2

1 0 1

a

A a a a

;1

02

aA

a

.

• Se 1a , resulta:

1 1 1 1

' 2 1 0 1

1 0 1

b

A b

b

;1 1

1 02 1

2ran A ;

1 1 1

2 1 1 3

1 0

b

b b

b

; 3 0 0b b .

— Se 1a e 0b 2 ' 3ran A ran A sistema incompatible.

— Se 1a e 0b ' 2ran A ran A número de incógnitas sistema compati-

ble indeterminado.

• Se 2a , queda

2 1 1 1

' 2 2 0 1

1 0 1

b

A b

b

;2 1

2 02 2

2ran A ;

2 1 1

2 2 1 3 1

1 0

b

b b

b

; 3 1 1b b .


— Se 2a e 1b ' 2ran A ran A número de incógnitas sistema compatible

indeterminado.

• Se 1a e 2a ' 3ran A ran A número de incógnitas o sistema é compati-

ble determinado, para calquera valor de b.


2 3

2 3 5

3 7

x y z

x y z

x y mz

.

Solución:

2 3

2 3 5

3 7

x y z

x y z

x y mz

1 1 2 3

1 2 3 5

1 3 7m

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

1 1 2 3

0 1 1 2

0 2 2 4m

1ª

2ª

3ª 2 2ª

1 1 2 3

0 1 1 2

0 0 4 0m

• Se 4m , a última fila pódese suprimir. O sistema é compatible indeterminado.

3 2

2

x y z

y z

3 2 1

2

x z z

y z

Solucións: 1 , 2 ,x y z .


Prácticas

• Se 4m , o sistema é compatible determinado:

2 3

2

4 0

x y z

y z

m z


283. Discute o sistema e interprétao xeometricamente1

2 1

x y

x y

.

Solución:

1

2 1

x y

x y

1 1

1 2 1

1ª0

2ª 1ª

2 2

1 1

0 1 2 1

• Se 1 resulta1 1 1

0 0 0

sistema compatible indeterminado. Son dúas rectas coinci-

dentes.

• Se 1 resulta1 1 1

0 0 2

sistema incompatible. Son dúas rectas paralelas.

• Se 1 sistema compatible determinado. Son dúas rectas secantes.

284. Discute e resolve en función do parámetro1

2 2

x my m

mx y m

.

Solución:

1

2 2

x my m

mx y m

1 1

1 2 2

m m

m m

1ª

2ª 1ªm 2 2

1 1

0 1 2

m m

m m m

Calculamos os valores que anula o coeficiente da y na segunda ecuación: 21 0m 1m .

• Se 1m , a segunda ecuación será 0 2y . O sistema é incompatible.

• Se 1m , a segunda ecuación 0 0y pódese suprimir. O sistema é compatible indetermi-

nado. Só nos queda a ecuación 0x y , que resolvemos considerando o y como parámetro.

As solucións son: ,x y .

• Se 1m , o sistema é compatible determinado. Para cada valor de m temos un sistema dis-tinto con solución única:

2

2

2 1

1

m mx

m

,

2

2

2

1

m my

m

.

7.2. Discusión mediante determinantes

Utilizando o teorema de Rouché sabemos que:

' nº incógnitas .

' nº incógnitas .

' nº incógnitas .

ran A ran A sistema compatible determinado

ran A ran A sistema compatible indeterminado

ran A ran A sistema indeterminado


Prácticas

285. Determina os valores de m para os que é incompatible o sistema

1

mx y z m

x y mz m

x y z

.

Solución:

1

mx y z m

x y mz m

x y z

1 1

1 1

1 1 1

m

A m

;

1 1

' 1 1

1 1 1 1

m m

A m m

;

2

1 1

1 1 2 1

1 1 1

m

A m m m

; 0A 2 4 4

12

m

.

• I.Se 1m , resulta:

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

,1 1

2 01 1

2ran A ;

1 1 1

1 1 1 4 0

1 1 1

' 3ran A e dado que 'ran A ran A entón o sistema é incompatible.

II. Se 1m , resulta:

1 1 1

' 1 1 1 1

1 1 1

1

1

A

, e as filas 1ª e 3ª son contraditorias, polo

que o sistema é incompatible.

• Se 1m o sistema é compatible determinado, xa que ' 3ran A ran A .

Polo tanto, o sistema só é incompatible para 1m .

286. Discute e resolve, segundo os valores de k , este sistema de ecuacións

7

11

4

x y

kx y

x y k

.

Solución:

Aquí cómprenos calcular 'A e igualalo a 0. Só neses casos o sistema será compatible:

1 1 7

' 1 11

1 4

A k

k

2 29 62k k 2 31k k .

• Se 2k ' 2ran A ran A . O sistema é compatible determinado:7

2 11

x y

x y

.


• Se 31k ' 2ran A ran A . O sistema é compatible determinado:7

31 11

x y

x y

.

Solución: 35

x , 385

y

• Se 2k e 31k , o sistema é incompatible, pois ' 3 2ran A ran A .


Prácticas

287. Discute mediante Gauss e resolve en función do parámetro

0

0

0

x z

x y az

x ay z

.

Solución:

0

0

0

x z

x y az

x ay z

1 0 1 0

1 1 0

1 1 0

a

a

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

1 0 1 0

0 1 1 0

0 2 0

a

a

1ª

2ª

3ª 2ªa

2

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 2 0

a

a a

.

Como a ecuación 2 2 0a a non ten solución, o sistema é sempre compatible determinado. Pa-ra cada valor de a temos un sistema distinto con solución única que é 0x , 0y , 0z .

288. Discute, segundo os valores do parámetro a , o seguinte sistema de ecuacións

1

1

1

ax y z

x ay z

x y az

.

Solución:

1

1

1

ax y z

x ay z

x y az

1 1

1 1

1 1

a

A a

a

3 3 2a a 2

1 2a a .

Factorizamos A con obxecto de apreciar para qué valores do parámetro se anula. Son os casos

que hai que estudar con especial atención.

• 1a :O sistema queda reducido a unha ecuación: 1x y z . É, polo tanto, indeterminado. A súa

solución obtense dándolle un valor paramétrico a dúas das incógnitas e poñendo a outra enfunción delas.Solución: x , y , 1z

• 2a , substituíndo a terceira columna pola de termos independentes tense que:

2 1 1

1 2 1 9 0

1 1 1

' 3 2ran A ran A O sistema é incompatible.

• 1a , 2a :Para cada valor de a (distinto de 1 e de 2 ) o sistema é compatible e determinado. Calcula-

mos xA , yA , zA :

2

1 1 1

1 1 1

1 1xA a a

a

; 2

1 1

1 1 1 1

1 1y

a

A a

a

; 2

1 1

1 1 1

1 1 1z

a

A a a

2

1x y zA A A a

2

2

1 1

21 2

ax

aa a

,

1

2y

a

,

1

2z

a

.

Solución:

2

2

1 1

21 2

ax

aa a

,

1

2y

a

,

1

2z

a

.


Prácticas

289. Discute mediante Rouché, resolve cando se poida, e compara co exemplo 275 o seguinte

sistema

1

1

1

x y kz

kx k y z k

x y z k

.

Solución:

1

1

1

x y kz

kx k y z k

x y z k

1 1 1

1 1

1 1 1 1

k

k k k

k

1 1

1 1 1

1 1 1

k

k k k ; 1 0 1k k .

• 1k 1 1

1 01 0

2ran A ;

1 1 1

1 0 1 1 0

1 1 2

' 3ran A sistema in-

compatible.

• 1k

1 1

1 1 1 0

1 1 1

k

k k k sistema compatible determinado:

3 2

1 1

1 1

1 1 1 2 1

1 1

k

k k

k k k kx

k k

,

32

1 1

1

1 1 1

1 1

k

k k

k k ky k k

k k

,

1 1 1

1

1 1 1

1 1

k k k

k kz

k k

.

Solucións:3 2 2 1

1

k k kx

k

, 2y k k ,

1

kz

k

.

290. Estuda e resolve o sistema

2

2 7 0

1

2 3 0

x y z

x y z

y z

x y

.

Solución:

2

2 7 0

1

2 3 0

x y z

x y z

y z

x y

1 1 1

1 2 7

0 1 1

2 3 0

A

;

1 1 1

1 2 7 5 0

0 1 1

3ran A ;

1 1 1 2

1 2 7 0'

0 1 1 1

2 3 0 0

A

e ' 0A ' 3ran A ran A número de incógnitas sistema

compatible determinado. Prescindimos da cuarta ecuación, e empregamos o método de Cramer pa-ra resolvelo:

2 1 1

0 2 7

1 1 1 153

5 5x

,

1 2 1

1 0 7

0 1 1 102

5 5y

,

1 1 2

1 2 0

0 1 1 51

5 5z

.



Prácticas


2 3

3 1

5 3 2 4

2 2

x y t

x y z t

x y z t a

x y z t

.

Solución:

2 3

3 1

5 3 2 4

2 2

x y t

x y z t

x y z t a

x y z t

2 3

3 1

2 2

5 3 2 4

x y t

x y z t

x y z t

x y z t a

1 1 0 2

3 1 1 1

2 1 1 1

5 3 2 4

A

;

1 1 0 2 3

3 1 1 1 1'

2 1 1 1 2

5 3 2 4

A

a

;

1 1 0 2

3 1 1 1

2 1 1 1

5 3 2 4

A

1ª

2ª 1ª

3ª

4ª 2 1ª

C0 0 0

3 4 1 7

2 1 1 3

5 8 2 14

1

4 1 7

1 1 3 0

8 2 14

;

1 1 0

3 1 1 3 0

2 1 1

3ran A a 4ª columna depende linealmente das tres primeiras.

1 1 0 3

3 1 1 1

2 1 1 2

5 3 2 a

1ª

2ª

3ª 2ª

4ª 2 2ª

1 1 0 3

3 1 1

1 2 0 1

1 1

1

0 2a

1 1 3

1 2 1

1 1 2a

3 1a ;

3 1 0a 1a .

• Se 1a , entón ' 3ran A ran A número de incógnitas o sistema é compatible

indeterminado. Para resolvelo podemos prescindir da 4ª ecuación e pasar o t ao segundomembro:

3 2

3 1

2 2

x y t

x y z t

x y z t

.

3 2 1 0

1 1 1

2 1 1 2 5 5 2

3 3 3

t

t

t t tx

,

1 3 2 0

3 1 1

2 2 1 4 1

3 3

t

t

t ty

4 1

3

t,

1 1 3 2

3 1 1

2 1 2 5 8

3 3

t

t

t tz

5 8

3

t .

Solución:5 2

3x

,

4 4

3y

,

5 8

3z

, t .

• Se 1a 3 ' 4ran A ran A sistema incompatible.


Prácticas

292. Estuda mediante determinantes a compatibilidade do sistema

2

2 3 3

2 2 0

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

2

2 3 3

2 2 0

x y z

x y z

x y z

1 1 1

2 1 3

1 2 2

A

;

1 1 1

2 1 3 0

1 2 2

A

;1 1

3 02 1

2ran A ;

1 1 1 2

' 2 1 3 3

1 2 2 0

A

;

1 1 2

2 1 3 3 0

1 2 0

' 3 2ran A ran A o sistema é in-

compatible.

293. Atopa o valor de a para que este sistema sexa compatible:

2 3 5

2 1

3

x y

x y

ax y

.

Solución:

2 3 5

2 1

3

x y

x y

ax y

2 3

1 2

1

A

a

;2 3

1 01 2

2ran A ,

2 3 5

' 1 2 1

1 3

A

a

; ' 6 7A a . Pa-

ra que sexa compatible ten que ser ' 2ran A ran A ten que ser ' 0A 6 7 0a

6

7a .

• Se6

7a , ' 2ran A ran A sistema compatible.

• Se6

7a , 2 3 'ran A ran A sistema incompatible.

294. Estuda e resolve o sistema

2 2

2 3 1

3 3

x y z

x y z

x z

Solución:

2 2

2 3 1

3 3

x y z

x y z

x z

1 1 2

2 1 3

3 0 1

A

;

1 1 2

2 1 3 0

3 0 1

A

;1 1

3 02 1

2ran A ;

1 1 2 2

' 2 1 3 1

3 0 1 3

A

;

1 1 2

2 1 1 0

3 0 3

' 2ran A ran A número de incógnitas siste-

ma compatible indeterminado. Para resolvelo prescindimos da terceira ecuación (as dúas primeirasfilas son LI):

I.2 2

2 3 1

x y z

x y z

1 1 2 2'

2 1 3 1B

;1 1

3 02 1

4ª 3ª

z

1 1 2 2

2 1 1 3

2 2 1

1 3 1 3

3 3x

,

1 2 2

2 1 3 3 7

3 3y

, z 1x , 1 7y ,

3z .Solucións: 1x , 1 7y , 3z .


Prácticas

II.2 2

2 3 1

x y z

x y z

1 1 2 2'

2 1 3 1C

;1 2

7 02 3

4ª 2ª

y

1 2 2

2 3 1

2 2

1 3 8

7 7x

, y ,

1 2

2 1 3 3

7 7z

.

Solucións:8 3 7

, ,7 7

x y z

.

III.2 2

2 3 1

x y z

x y z

2 2

2 1 3

x y z

x y z

. Sumando resulta 1

3

zx ,

71

3

zy .

Solucións: 1x , 1 7y , 3z .

8. FORMA MATRICIAL DUN SISTEMA DE ECUACIÓNS

Un sistema de ecuacións leva asociadas tres matrices: a matriz dos coeficientes, a das in-cógnitas e a dos termos independentes, e pode expresarse:

A X C

• A é unha matriz m n formada polos coeficientes das incógnitas.

• X é unha matriz columna 1n formada polas incógnitas.

• C é unha matriz columna 1m formada polos termos independentes.

• Se a matriz A é cadrada e ten inversa, poderemos despexar X do seguinte modo:

1 1A A X A C 1 1A A X A C 1X A C

En efecto:

A X C 1 1A A X A C 1 1A A X A C 1I X A C

1X A C .

295. Estuda en forma matricial o sistema

1

3 18

2 5 3 52

x y z

x z

x y z

.

Solución:

Matriz dos coefi

1 1 1 1

3 18 1 0 3

cien

2 5 3 52 2 5 3

tes

x y z

x z A

x y z

Incógnitas

x

X y

z

Ter

1

m

18

os independen

5

s

2

te

C

• A ecuación pode expresarse en forma matricial do seguinte modo:

1 1 1 1

1 0 3 18

2 5 3 52

x

y

z

, é dicir, A X C .

• 1

15 8 3

9 5 2

5 3 1

A

15 8 3 1 3

9 5 2 18 5

5 3 1 52 7

x

y

z

3

5

7

x

y

z

.

1448. Forma matricial dun sistema de ecuacións

Prácticas

296. Expresa en forma matricial e resolve

2 3 19

2 12

2 3 16

3 2 5

x y z t

y z

y z t

x y t

.

Solución:

2 3 19

2 12

2 3 16

3 2 5

x y z t

y z

y z t

x y t

1 2 3 1 19

0 1 2 0 12

0 2 3 1 16

3 2 0 1 5

x

y

z

t

A X C ;

2 3 1

0 1 2 0

0 2 3 1

1

3 2 0 1

A

1 2 0 2 3 1

1 2 3 1 3 1 1 2 0

2 0 1 2 3 1

5 3 0 5 0 existe a ma-

triz inversa 1A .

Calculamos a matriz inversa. Empezamos calculando os menores complementarios:

11

1 2 0

2 3 1 5

2 0 1

, 12

0 2 0

0 3 1 6

3 0 1

, 31

0 1 0

0 2 1 3

3 2 1

, 41

0 1 2

0 2 3 3

3 2 0

;

21

2 3 1

2 3 4 0

2 0 1

, 22

1 3 1

0 3 1 3

3 0 1

, 23

1 2 1

0 2 1 4

3 2 1

, 24

1 2 3

0 2 3 6

3 2 0

,

31

2 3 1

1 2 0 5

2 0 1

, 32

1 3 1

0 2 0 8

3 0 1

, 33

1 2 1

0 1 0 4

3 2 1

, 34

1 2 3

0 1 2 1

3 2 0

,

41

2 3 1

1 2 0 0

2 3 1

, 42

1 3 1

0 2 0 2

0 3 1

, 43

1 2 1

0 1 0 1

0 2 1

, 44

1 2 3

0 1 2 1

0 2 3

.

1 2 3 1

0 1 2 0

0 2 3 1

3 2 0 1

1

ij

5 6 3 3

0 3 4 6

5 8 4 1

0 2 1 1

ij

2

ijA

5 6 3 3

0 3 4 6

5 8 4 1

0 2 1 1

ijA

3

t

ijA

5 0 5 0

6 3 8 2

3 4 4 1

3 6 1 1

t

ij jiA A

4

A 1

5 0 5 0

6 3 8 21

3 4 4 15

3 6 1 1

A

; A X C

1x A C

5 0 5 0 19

6 3 8 2 121

3 4 4 1 165

3 6 1 1 5

35

196

5

68

5

108

5

.

Solución: 35x ,196

5y ,

68

5z ,

108

5t .


Prácticas

297. Expresa en forma matricial e resolve

3 3 3 4 17

2 3 7 27

3 2 2 6 2

7 3 8 2 36

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

.

Solución:

3 3 3 4 17

2 3 7 27

3 2 2 6 2

7 3 8 2 36

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

3 3 3 4 17

2 3 7 1 27

3 2 2 6 2

7 3 8 2 36

x

y

z

t

A X C ;

3 3 3 4 1 0 0 0

2 3 7 1 0 1 0 0

3 2 2 6 0 0 1 0

7 3 8 2 0 0 0 1

1ª

3 2ª 2 1ª

3ª 1ª

3 4ª 7 1ª

3 3 3 4 1 0 0 0

0 3 15 5 2 3 0 0

0 1 5 2 1 0 1 0

0 12 45 22 7 0 0 3

1ª

3ª

2ª

4ª

3 3 3 4 1 0 0 0

0 1 5 2 1 0 1 0

0 3 15 5 2 3 0 0

0 12 45 22 7 0 0 3

1ª 3 2ª

2ª

3ª 3 2ª

4ª 12 2ª

3 0 12 10 2 0 3 0

0 1 5 2 1 0 1 0

0 0 0 1 5 3 3 0

0 0 15 46 5 0 12 3

1ª

2ª

4ª

3ª

3 0 12 10 2 0 3 0

0 1 5 2 1 0 1 0

0 0 15 46 5 0 12 3

0 0 0 1 5 3 3 0

5 1ª 4 3ª

3 2ª 3ª

3ª

4ª

15 0 0 134 10 0 33 12

0 3 0 40 2 0 9 3

0 0 15 46 5 0 12 3

0 0 0 1 5 3 3 0

1ª 134 7ª

2ª 40 4ª

3ª 46 4ª

4ª

15 0 0 0 660 402 369 12

0 3 0 0 198 120 111 3

0 0 15 0 225 138 126 3

0 0 0 1 5 3 3 0

1ª 15

2ª 3

3ª 15

4ª 1

134 123 45 5 5

46 42 15 5 5

1 0 0 0 44

0 1 0 0 66 40 37 1

0 0 1 0 15

0 0 0 1 5 3 3 0

1

134 123 4445 5 5

66 40 37 1

46 42 1155 5 5

5 3 3 0

A

134 123 444 17 45 5 5

66 40 37 1 27 4

46 2 342 1155 5 5

36 25 3 3 0

X

.

Solución: 4x , 4y , 3z , 2t .

A resolución de sistemas mediante a forma matricial, se se fai á man ou só co uso de cal-culadoras sinxelas, é pouco eficiente; nembargante é especialmente interesante con orde-nadores e calculadoras que traballen o cálculo matricial.


Prácticas

298. Expresa en forma matricial e resolve utilizando a matriz inversa

2 2

3 0

2 2

x y

y z

x y z

.

Solución:

2 2

3 0

2 2

x y

y z

x y z

2 1 0 2

0 1 3 0

2 1 1 2

x

y

z

A X C 1X A C .

2 1 0

0 1 3

2 1 1

A

0

A 2 0A existe 1A

1

ij

1 3 0 3 0 1

1 1 2 1 2 1

1 0 2 0 2 1

1 1 2 1 2 1

1 0 2 0 2 1

1 3 0 3 0 1

2 6 2

1 2 0

3 6 2

2

ijA

2 6 2

1 2 0

3 6 2

3

t

ijA

2 1 3

6 2 6

2 0 2

4

A

1

2 1 31

6 2 62

2 0 2

A

3112 2

3 1 3

1 0 1

1X A C

311 2 12 2

3 1 3 0 0

1 0 1 2 0

.


As calculadoras TI resolven matricialmente un

sistema coa función simult , pasándolle a ma-

triz de coeficientes e de termos independentes.


3 2 6

1

3 2 0

x y

x y

x y

.

Solución:

A primeira e a terceira ecuación son contraditorias. O sistema é incompatible. Comprobémolo:

3 2 6

1

3 2 0

x y

x y

x y

3 2 6

1 1 1

3 2 0

1ª

3 2ª 1ª

3ª 1ª

3 2 6

0 1 3

0 0 6

3 2 6

3

0 0 6

x y

y

x y

A terceira ecuación non se po-de cumprir nunca. O sistemanon ten solución; representadúas rectas paralelas e outraque as corta.


Prácticas


0

2 5

2 3

2 4 8

x y z

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

0

2 5

2 3

2 4 8

x y z

x y z

x y z

x y z

1 1 1 0

2 1 1 5

1 2 1 3

2 4 1 8

1ª

2ª 2 1ª

3ª 1ª

4ª 2 1ª

1 1 1 0

0 1 3 5

0 3 0 3

0 2 3 8

1ª

2ª

3ª 3 2ª

4ª 2 2ª

1 1 1 0

0 1 3 5

0 0 9 18

0 0 9 18

1ª

2ª

3ª

4ª 3ª

1 1 1 0

0 1 3 5

0 0 9 18

0 0 0 0

0

3 5

9 18

x y z

y z

z

1 2 1

5 3 5 3 2 1

2

x y z

y z

z

.

Solución: 1, 1, 2x y z . O sistema representa catro planos que teñen un punto en común.

301. Resolve o sistema3 1

2 2 3

x y z

x y z

e fai a comprobación.

Solución:

Pasamos o z ao segundo membro para que o sistema teña tantas ecuacións como incógnitas e cha-mamos z .

3 1

2 2 3

x y z

x y z

3 1

2 3 2

x y z

x y z

2 1ª

2ª

2 6 2 2

2 3 2

x y

x y

.

Sumando ambas ecuacións, obtemos1

5y .

Substituímos z e y na primeira ecuación para obter x :

13 1

5x

31

5x

8

5 .

As solucións do sistema son8 1

, ,5 5

x y z . Para cada valor de obtemos unha solu-

ción.

Comprobación:

8 1 8 33 1

5 5 5 5

8 1 16 12 2 3

5 5 5 5

.

302. Resolve o sistema1

2 2 2

x y z t

x y z t

.

Solución:

Para resolver o sistema, cómpre pasar dúas incógnitas ao segundo membro:

1

2 2 2

x y z t

x y z t

;

1 11 0

2 1

1

2 2 2

x y z t

x y z t

.


Prácticas

Facemos z e t 1

2 2 2

x y

x y

.

Sumando, obtemos:

1 3 2x 1 1 3 2y 4 3 .

Solucións: 1 3 , 4 3 , ,x y z t .

Dando valores a e , obtemos as solucións do sistema. Por exemplo, se 1 e 0 , a solu-

ción é 2,4,1,0 .

Comprobación:

1 3 2 4 3 1

2 1 2 4 3 2 2

.


2 3 1

3 2 2 5

5 2 14 9

x z

x y z

x y z

.

Solución:

Como ningún dos coeficientes das incógnitas é igual a 1, tomamos a primeira ecuación como refe-rencia:

2 3 1

3 2 2 5

5 2 14 9

x z

x y z

x y z

2 0 3 1

3 2 2 5

5 2 14 9

1ª

2 2ª 3 1ª

2 3ª 5 1ª

2 0 3 1

0 4 13 13

0 4 13 13

1ª

2ª

3ª 2ª

2 0 3 1

0 4 13 13

0 0 0 0

2 3 1

4 13 13

x z

y z

.

O sistema é compatible indeterminado, ten infinitas solucións. Resolvemos pasando a terceira co-

lumna z ao segundo membro.

2 1 3

4 13 13

x z

y z

1 3

2 2

13 13

4 4

x z

y z

.

Solucións:1 3 13 13

, ,2 2 4 4

x y z . O sistema representa tres planos que teñen unha

recta en común.

304. Discute en función de e

1 3 1

3 1 2 1

2 2

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

1 3 1

3 1 2 1

2 2

x y z

x y z

x y z

1 3

3 1 2

2

A

;

1 3 1

' 3 1 2 1

2 2

A

;

1 3

3 1 2 2 2

2

A

2

02

A

.


Prácticas

• Se 2 , resulta:

3 3 2 1

' 3 3 2 1

2 2 2 2

A

;3 2

2 02 2

2ran A ;

3 2 1

3 2 1

2 2 2

2 2 ; 2 2 0 2 .

— Se 2 e 2 ' 2ran A ran A número de incógnitas sistema compati-

ble indeterminado.

— Se 2 e 2 2 ' 3ran A ran A sistema incompatible.

• Se 2 , queda:

1 3 2 1

' 3 1 2 1

2 2 2 2

A

;1 3

8 03 1

2ran A ;

1 3 1

3 1 1

2 2 2

4 2 ; 4 2 0 2 .

— S e 2 e 2 ' 2ran A ran A número de incógnitas sistema com-

patible indeterminado.

— Se 2 e 2 2 ' 3ran A ran A sistema incompatible.

• Se 2 e 2 ' 3ran A ran A número de incógnitas sistema compatible

determinado.

305. Calcula os valores de a e b para os que ten infinitas solucións, e resolve para eses valores

o sistema

1

1

ax y z

x ay z b

x y az

.

Solución:

1

1

ax y z

x ay z b

x y az

1 1

1 1

1 1

a

A a

a

,

1 1 1

' 1 1

1 1 1

a

A a b

a

; 21 2A a a a ;

10

2

aA

a

• Se 1a , resulta:

1 1 1 1

' 1 1 1

1 1 1 1

A b

.

— Se 1a e 1b ' 1ran A ran A sistema compatible indeterminado. Resolvé-

molo neste caso: 1x y z 1x y z .

Solucións: 1x , y , z .


• Se 2a , queda:

2 1 1 1

' 1 2 1

1 1 2 1

A b

,2 1

3 01 2

2ran A ;

2 1 1

1 2 3 2

1 1 1

b b

; 3 2 0 2b b .


Prácticas


— Se 2a e 2b ' 2ran A ran A número de incógnitas sistema compa-

tible indeterminado. Resolvémolo:

2 1

2 2

x y z

x y z

1 1

2 2 3

3 3

z

z zx z

,

2 1

3 11 21

3 3

z

zzy z

.

Solucións: x , y , z .

• Se 1a e 2a , ' 3ran A ran A número de incógnitas sistema compatible de-

terminado.

306. Considera a matriz0 1 0

1 0 1N

. Sendo X unha matriz columna, discute e, de ser o ca-

so, resolve a ecuación matricial: tN N X X , segundo os valores do parámetro real .

Solución:

0 10 1 0 1 0

1 01 0 1 0 2

0 1

tNN

.

A matriz X ten que ser de dimensión 2 1 :x

Xy

1 0

0 2

x x

y y

2

x x

y y

2

x x

y y

1 0

2 0

x

y

temos un sistema homoxéneo, con matriz do sistema:

1 0

0 2H

1 2H ;

10

2H

.

• Se 1 e 2 , entón o sistema só ten a solución trivial, 0x , 0y .

Solución:0

0X

.

• Se 1 , 1ran H . O sistema é compatible indeterminado, con solucións x t , 0y .

Solución:0

tX

.

• Se 2 , 1ran H . O sistema é compatible indeterminado, con solucións 0x , y s .

Solución:0

Xs

.

307. Dado o sistema:

2 2 1

3

x y z

x y z

307.1.Como ha de ser a ecuación que lle hai que engadir para que sexa in-compatible?

307.2.E para que sexa compatible indeterminado?

Solución:

307.1. Unha ecuación que faga o sistema incompatible debe ser da forma:

2 2a x y z b x y z k , con 3k a b

Por exemplo, con 1a e 1b : 3 7x z

307.2. O sistema será compatible indeterminado se a ecuación é da forma:

2 2 3a x y z b x y z a b

Por exemplo ( 1a , 1b ): 3 4x z .


Prácticas

308. Unha compañía ten tres camións (P, Q e R), nos que caben exactamente uncerto número de contedores de tres tipos (A, B e C), de acordo coa táboa adxunta.Se queren transportar 45 contedores do tipo A, 44 do tipo B e 58 do tipo C, cantasviaxes ten que facer cada camión se estes fan as viaxes completamente cheos?

A B C

P 5 3 4

Q 2 5 5

R 4 3 6

Solución:

Sexan x , y , z o número de viaxes que fan os camións P, Q e R respectivamente:

5 2 4 45

3 5 3 44

4 5 6 58

x y z

x y z

z y z

5 2 4 45

3 5 3 44

4 5 6 58

1ª

5 2ª 3 1ª

5 3ª 4 1ª

5 2 4 45

0 19 3 85

0 17 14 110

19 1ª 2 2ª

2ª

19 3º 17 2ª

95 0 70 685

0 19 3 85

0 0 215 645

1ª 5

2ª

3ª 215

19 0 14 137

0 19 3 85

0 0 1 3

1ª 14 3ª

2ª 3 3ª

3ª

19 0 0 95

0 19 0 76

0 0 1 3

5

4

3

x

y

z

.

Solución: o camión P debe facer 5 viaxes, o camión Q debe facer 4 viaxes e o camión R debe facer3 viaxes.

309. Se a altura de Carlos aumentase o triplo da diferenza entre as alturas de Antón e María,Carlos sería igual de alto ca María. As alturas dos tres suman 515 cm. Oito veces a altura de Antóné o mesmo ca nove veces a altura de María. Atopa as tres alturas.

Solución:

Sexan, respectivamente, x , y e z as alturas de Carlos, Antón e María.

3

515

8 9

x y z z

x y z

y x

3 4 0

515

9 8 0

x y z

x y z

x y

1 3 1 0

1 1 1 515

9 8 0 0

1ª

2ª 1ª

3ª 9 1ª

1 3 4 0

0 2 5 515

0 35 36 0

2 1ª 3 2ª

2ª

2 3ª 35 2ª

2 0 7 1545

0 2 5 515

0 0 103 18025

1ª

2ª

3ª 103

2 0 7 1545

0 2 5 515

0 0 1 175

1ª 7 3ª

2ª 5 3ª

3ª

2 0 0 320

0 2 0 360

0 0 1 175

1ª 2

2ª 2

3ª

1 0 0 160

0 1 0 180

0 0 1 175

160

180

175

x

y

z

.

Solución: Carlos mide 160 cm, Antón mide 180 cm e María mide 175 cm.

310. A idade dunha nai é, na actualidade, o triplo da do seu fillo. A suma das idades do pai, naie fillo é de 80 anos, e dentro de 5 anos a suma das idades da nai e do fillo será 5 anos máis ca dopai. Cantos anos teñen o pai, a nai e o fillo na actualidade?

Solución:

Sexan x , y e z as idades do pai, nai e fillo, respectivamente.

3

80

5 5 5 5

y z

x y z

y z x

3 0

80

0

y z

x y z

x y z

0 1 3 0

1 1 1 80

1 1 1 0

3ª

2ª

1ª

1 1 1 0

1 1 1 80

0 1 3 0

1ª

2ª 1ª

3ª

1 1 1 0

0 2 2 80

0 1 3 0

1ª

2ª 2

3ª

1 1 1 0

0 1 1 40

0 1 3 0

1ª 2ª

2ª

3ª 2ª

1 0 0 40

0 1 1 40

0 0 4 40

1ª 1

2ª

3ª 4

1 0 0 40

0 1 1 40

0 0 1 10

1ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 40

0 1 0 30

0 0 1 10

40

30

10

x

y

z

.

Solución: o pai ten 40 anos, a nai ten 30 anos e o fillo ten 10 anos.


Prácticas

311. Un grupo de 20 persoas, homes, mulleres e nenos, reúnese para ir de excursión. Contandohomes e mulleres xuntos, o seu número resulta o triplo do número de nenos. Ademais, se tivera idounha muller máis, o seu número igualaría ao de homes. Cantos homes, mulleres e nenos foron deexcursión?

Solución:

Sexan x , y e z o número de homes, mulleres e nenos, respectivamente.

20

3

1

x y z

x y z

y x

20

3 0

1

x y z

x y z

x y

1 1 1 20

1 1 3 0

1 1 0 1

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

1 1 1 20

0 0 4 20

0 2 1 19

1ª

3ª 1

2ª 4

1 1 1 20

0 2 1 19

0 0 1 5

2 1ª 2ª

2ª

3ª

2 0 1 21

0 2 119

0 0 1 5

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

2 0 0 16

0 2 0 14

0 0 1 5

1ª 2

2ª 2

3ª

1 0 0 8

0 1 0 7

0 0 1 5

8

7

5

x

y

z

.

Solución: á excursión van 8 homes, 7 mulleres e 5 nenos.

312. Xoán mercou 4 chaquetas e 6 abrigos e pagou 4698 €. Antón pagou 2820 € por 5 chaquetase 2 abrigos e Manuel 5124 € por 2 chaquetas e 8 abrigos. Canto custan cada chaqueta e cada abri-go?

Solución:

Sexan x e y os prezos das chaquetas e dos abrigos, respectivamente.

4 6 4698

5 2 2820

2 8 5124

x y

x y

x y

4 6 4698

5 2 2820

2 8 5124

;4 6

22 05 2

4 6 4698

5 2 2820

1ª 2

2ª

2 3 2349

5 2 2820

1ª

2 2ª 5 1ª

2 3 2349

0 11 6105

1ª

2ª 11

2 3 2349

0 1 555

1ª 3 2ª

2ª

2 0 684

0 1 555

1ª 2

2ª

1 0 342

0 1 555

342

555

x

y

; 2 342 8 555 5124 verifica a terceira ecuación.

Solución: o prezo das chaquetas é de 342 € e o dos abrigos é de 555€.

313. A suma das tres cifras dun número é 6, e se se intercambian a primeira e a segunda, o nú-mero aumenta en 90 unidades. Se se intercambian a segunda e a terceira, o número aumenta en 9unidades. Calcula ese número.

Solución:

Sexa o número 100 10N xyz x y z . Das condicións do problema tense:

6

100 10 100 10 90

100 10 100 10 9

x y z

y x z x y z

x z y x y z

6

1

1

x y z

x y

y z

1 1 1 6

1 1 0 1

0 1 1 1

1ª

2ª 1ª

3ª

1 1 1 6

0 2 1 7

0 1 1 1

2 1ª 2ª

2ª

2 3ª 2ª

2 0 1 5

0 2 1 7

0 0 3 9

1ª

2ª

3ª 3

2 0 1 5

0 2 1 7

0 0 1 3

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

2 0 0 2

0 2 0 4

0 0 1 3

1ª 2

2ª 2

3ª

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

1

2

3

x

y

z

.

Solución: o número buscado é o 123N xyz .


Prácticas

314. Obtén un número de tres cifras divisible por 11, de tal xeito que a suma das cifras sexa 10 e

a diferenza entre dito número é o que resulta invertendo a orde das súas cifras é 279 .

Solución:

Sexa o número n xyz , onde x representa as centeas, y as deceas e z as unidades.

por ser múltiplo de 11 0

10

100 10 100 10 279

x z y

x y z

x y z z y x

0

10

99 99 279

x y z

x y z

x z

1 1 1 0

1 1 1 10

99 0 99 279

1ª

2ª 1ª

3ª 99 1ª

1 1 1 0

0 2 0 10

0 99 198 279

1ª

2ª 2

3ª 9

1 1 1 0

0 1 0 5

0 11 22 31

1ª 2ª

2ª

3ª 11 2ª

1 0 1 5

0 1 0 5

0 0 22 24

1ª

2ª

3ª 2

1 0 1 5

0 1 0 5

0 0 1112

11 1ª 3ª

2ª

3ª

11 0 0 43

0 1 0 5

0 0 11 12

4311

5

1211

x

y

z

.

Estas solucións non son posibles, dado que x , y e z teñen que ser números naturais, por seren

díxitos dun número non existe ningún número de tres cifras que cumpra esas condicións.

Nota. Este enunciado foi proposto nunha proba de selectividade, e se a terceira condición fora «e adiferenza entre dito número é o que resulta invertendo a orde das súas cifras é 297 », substi-tuíndo este número no anterior sistema obteríase a solución 4x , 5y e 1z , co que se

tería o número 451n .

315. Dous irmáns charlando conclúen que entre os dous teñen 29 anos, e un dille ao outro:«Dentro de 8 anos a miña idade será o dobre da túa». Cantos anos ten cada un?

Solución:

Sexan x a idade do que fala e y a idades do outro irmán. Entón tense:

29

8 2 8

x y

x y

29

2 8

x y

x y

1 1 29

1 2 8

1ª

2ª 1ª

1 1 29

0 3 21

1ª

2ª 3

1 1 29

0 1 7

1ª 2ª

2ª

1 0 22

0 1 7

22

7

x

y

.

Solución: o irmán maior ten 22 anos e o menor 7 .

316. Un licor ten o 9% de alcohol e outro o 12%. En que proporción deben mesturarse para quea mezcla teña o 10% de alcohol?

Solución:

Buscamos a proporción que se necesita para 100 litros de mestura, xa que desta forma xa se da enporcentaxe. Sexan x o número de litros do primeiro licor e y o número de litros do segundo.

100

0.09 0.12 0.10 100

x y

x y

100

9 12 1000

x y

x y

1 1 100

9 12 1000

1ª

2ª 9 1ª

1 1 100

0 3 100

3 1ª 2ª

2ª

3 0 200

0 3 100

200

3x

100

3y .

Solución: a proporción debe formarse tomando 23

da primeira clase e 13

da segunda clase.


Prácticas

317. Unha empresa ten tres minas coas com-posicións que se ven na táboa adxunta.

Cantas toneladas de cada mina deben utilizarsepara obter 7 toneladas de níquel, 18 de cobre e16 de ferro?

Níquel (%) Cobre (%) Ferro (%)

Mina A 1 2 3

Mina B 2 5 7

Mina C 1 3 1

Solución:

Sexa x as toneladas que se extraen da mina A, y as que se sacan da B e z as tomadas da C.

27

100 100 100

2 5 318

100 100 100

3 716

100 100 100

x y z

x y z

x y z

2 700

2 5 3 1800

3 7 1600

x y z

x y z

x y z

1 2 1 700

2 5 3 1800

3 7 1 1600

1ª

2ª 2 1ª

3ª 3 1ª

1 2 1 700

0 1 1 400

0 1 2 500

1ª 2 2ª

2ª

3ª 2ª

1 0 1 100

0 1 1 400

0 0 3 900

1ª

2ª

3ª 3

1 0 1 100

0 1 1 400

0 0 1 300

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 200

0 1 0 100

0 0 1 300

200

100

300

x

y

z

.

Solución: debe extraer 200 Tm da mina A, 100 Tm da mina B e 300 Tm da mina C.

318. Sexan S e 'S dous sistemas de dúas ecuacións con dúas incógnitas que difiren só nos ter-mos independentes. Se S ten infinitas solucións, ¿pode 'S ter solución única?

Solución:

Sexan os sistemas:

:' ' '

ax by cS

a x b y c

' :' ' '

ax by dS

a x b y d

Como S ten infinitas solucións, os coeficientes das incógnitas e os termos independentes son pro-

porcionais:' ' '

a b ca b c .

Se en 'S se verifica' ' '

a b da b d , daquela 'S terá tamén infinitas solucións.

Pero se' ' '

a b da b d , o sistema 'S será incompatible. Polo tanto 'S non pode ter solución

única.

Prácticas xerais155

Prácticas

PRÁCTICAS XERAIS

1. EXEMPLOS DE REPASO PARA PREPARAR O EXAME

319. Calcula as matrices X e Y que verifiquen o sistema1 4

22 0

X Y

,1 1

1 0X Y

.

Solución:

1 42

2 0

1 1

1 0

X Y

X Y

sumando as ecuacións resulta2 3

33 0

X

2 1

3

1 0X

;

Despexamos Y na segunda ecuación:1 1

1 0Y X

2 1 1 131 01 0

1 2

3

0 0

.

320. Calcula, desarrollando por unha alínea, o valor do determinante

3 2 5 4

2 5 6 3

5 3 7 4

3 4 5 9

.

Solución:

3 2 5 4

2 5 6 3

5 3 7 4

3 4 5 9

1ª 2ª

2ª

3ª

4ª

1 3 1 1

2 5 6 3

5 3 7 4

3 4 5 9

1ª

2ª 3 1ª

3ª 1ª

4ª 1ª

C1 0 0 0

2 11 8 1

5 18 12 1

3 13 8 6

1 1

11 8 1

1 1 18 12 1

13 8 6

1 1 100 100 .

321. Sexan A e B as matrices indicadas á dereita. Atopa

as condicións que deben cumprir os coeficientes a , b , c paraque se verifique A B B A .

5 2 0

2 5 0

0 0 1

A

e

0

0

0 0 1

a b

B c c

Solución:

5 2 0 0

2 5 0 0

0 0 1 0 0 1

a b

A B c c

5 2 5 2 0

2 5 2 5 0

0 0 1

a c b c

a b b c

;

0 5 2 0

0 2 5 0

0 0 1 0 0 1

a b

B A c c

5 2 2 5 0

7 7 0

0 0 1

a b a b

c c

; A B B A

5 2 5 2 0 5 2 2 5 0

2 5 2 5 0 7 7 0

0 0 1 0 0 1

a c b c a b a b

a b b c c c

5 2 5 2

5 2 2 5

2 5 7

2 5 7

a c a b b c

b c a b a c

a b c

b c c

.

Solución: debe cumprirse a b c .

1561. Exemplos de repaso para preparar o exame

Prácticas

322. Unha matriz cadrada chámase ortogonal cando a súa inversa coincide coa súa transposta.Calcula x e y para que esta matriz A sexa ortogonal:

3 05

3 05

0 0 1

x

A y

.

Solución:

3 30 05 5

3 30 05 5

0 0 1 0 0 1

t

x y

A A y x

2

2

9 3 30

25 5

3 3 90

5 25

0 0 1

x yx

x yy

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2

2

9 41

25 5

3 30

5

9 41

25 5

x x

x yx y

y y

Hai dúas solucións:

4 4, .

5 5

4 4, .

5 5

x y

x y

323. Sexa A unha matriz cadrada de orde 3 tal que 0ija se i j ( A é unha matriz dia-

gonal). Proba que o produto de dúas matrices diagonais é unha matriz diagonal.

Solución:

Sexan

11

22

33

0 0

0 0

0 0

a

A a

a

e

11

22

33

0 0

0 0

0 0

b

B b

b

dúas matrices diagonais. O seu produto:

11 11

22 22

33 33

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

a b

A B a b

a b

11 11

22 22

33 33

0 0

0 0

0 0

a b

a b

a b

tamén é unha matriz diagonal.

324. Resolve a ecuación matricial:1 1 4 2 6 4

3 4 1 0 22 14X

.

Solución:

11 1 4 1

3 4 3 1

;

1 0 14 21 21 0 2

;1 1 4 2 6 4

3 4 1 0 22 14X

0 1 0 14 1 1 1 4 2 4 1 6 41 12 23 1 3 4 1 0 3 1 22 142 2

X

0 14 1 6 41 23 1 22 14 2

X

0 14 1 6 41 23 1 22 14

2

4 1 2 14

3 1 7 50

1 6

1 8

;

Solución:1 6

1 8X

.


Prácticas

325. Sexa unha matriz A .

325.1.Se A é unha matriz regular de orde n e existe unha matriz B tal que 0AB BA , proba

que 1 1 0BA A B .

325.2.Se3 2

4 3A

, calcula unha matriz 0B tal que 0AB BA .

Solución:

325.1. 0AB BA multiplicando por 1A pola esquerda da igualdade: 1 1 0A AB A BA

1 0B A BA , e multiplicando agora por 1A pola dereita desta última igualdade

1 1 1 0BA A BAA 1 1 0BA A B , como queríamos demostrar.

325.2. Sexaa b

Bc d

; entón:

3 2

4 3

a bA B

c d

3 2 3 2

4 3 4 3

a c b d

a c b d

;

3 2

4 3

a bB A

c d

3 4 2 3

3 4 2 3

a b a b

c d c d

3 2 3 2 3 4 2 3

4 3 4 3 3 4 2 3

a c b d a b a bAB BA

a c b d c d c d

6 4 2 2 2

4 4 4 2 6

a b c a d

a d b c d

0 0

0 0

6 4 2 0

2 2 0

4 4 0

4 2 6 0

a b c

a d

a d

b c d

3 2 0

0

0

2 3 0 3 2 0 3 2

a b c

a da d

a d

b c d a b c c a b

3 2

a bB

a b a

, con 0a e

0b ; por exemplo, para 1a e 1b resulta1 1

1 1B

.

326. Calcula unha matriz cadrada de orde 2, distinta de I e de I , cunha inversa que coincidacoa súa transposta.

Solución:

Sexaa b

Ac d

; se a súa inversa 1A coincide coa súa transposta tA , ten que darse que

tA A I . É dicir: t a b a cA A

c d b d

2 2

2 2

a b ac bd

ac bd c d

1 0

0 1

2 2

2 2

1

0

0

1

a b

ac bd

ac bd

c d

;

por exemplo, obtemos entre outras0 1

1 0

,0 1

1 0

,0 1

1 0

,0 1

1 0

.


Prácticas

327. Dise que unha matriz é antisimétrica cando a súa transposta é igual á súa oposta. Obtén aforma xeral dunha matriz de orde 2 que sexa antisimétrica.

Solución:

Sexaa b

Ac d

; entón t a cA

b d

ea b

Ac d

; para que tA A ten que ser

a c a b

b d c d

a a

c b

b c

d d

0

0

a

c b

d

Unha matriz antisimétrica de orde dous é da

forma0

0

bA

b

.

328. Dada a matriz

1 0

1 1 0

0 1

x

A

x

atopa os valores de x para os que a matriz non é invertible.

Atopa a matriz inversa 1A para 2x .

Solución:

Facemos o exercicio de dúas maneiras: usando determinantes e o método de Gauss.

328.1. Buscamos os valores de x para os que non é invertible a matriz .A

I.Unha matriz A é invertible cando det 0A . Para iso estudamos 2

1 0

1 1 0 1

0 1

x

A x

x

;

20 1 0 1A x x para 1x ou para 1x a matriz non ten inversa.

II.

1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1

x

x

1ª

2ª 1ª

3ª 1ªx

2

1 0 1 0 0

0 1 1 1 0

0 0 1 0 1

x

x

x x

2

2

1 1ª 3ª

1 2ª 3ª

3ª

x x

x x

2

2 2

2

1 0 0 1 0

0 1 0 1 1

0 0 1 0 1

x x

x x x

x x

ten que ser 2 1 0x 1x para

1x ou para 1x a matriz non ten inversa.

328.2. Obtemos a matriz inversa para 2x . Neste caso

1 0 2

1 1 0 3

2 0 1

A .

I.

1 0 2

1 1 0

2 0 1

1

ij

1 0 1 0 1 1

0 1 2 1 2 0

0 2 1 2 1 0

0 1 2 1 2 0

0 2 1 2 1 0

1 0 1 0 1 1

1 1 2

0 3 0

2 2 1

2

ijA

1 1 2

0 3 0

2 2 1

3

t

ijA

1 0 2

1 3 2

2 0 1

4

A

1 0 21

1 3 23

2 0 1

1 3 0 2 3

1 3 1 2 3

2 3 0 1 3

.


Prácticas

II.

1 0 2 1 0 0

1 1 0 0 1 0

2 0 1 0 0 1

1ª

2ª 1ª

3ª 2 1ª

1 0 2 1 0 0

0 1 2 1 1 0

0 0 3 2 0 1

3 1ª 2 3ª

3 2ª 2 3ª

3ª

3 0 0 1 0 2

0 3 0 1 3 2

0 0 3 2 0 1

1ª 3

2ª 3

3ª 3

1 0 0 1 3 0 2 3

0 1 0 1 3 1 2 3

0 0 1 2 3 0 1 3

.

A matriz inversa é 1

1 3 0 2 3

1 3 1 2 3

2 3 0 1 3

A

.

329. Calcula unha matriz X que conmuta coa matriz A , é dicir, A X X A , sendo

1 1

0 1A

, e calcula 2 12A A X .

Solución:

Sexaa b

Xc d

;

329.1.

1 1

0 1

1 1

0 1

a b a c b dA X

c d c d

a b a a bX A

c d c c d

; A X X A a c b d a a b

c d c c d

0

0

a c a c

b d a b d a

d c d c

0

a bX

a

, con ,a b .

329.2.1 1 1 0

0 1 0 1

1ª 2ª

2ª

1 0 1 1

0 1 0 1

1

1 1

1 1

0 1

1 1

A

1 1

0 1

2 12A A X

1 1 1 1 1 1

20 1 0 1 0 1 0

a b

a

1 2 2 2

0 1 0 2 0

a b

a

1 2 2 2 2

0 1 0 2

a b a

a

2 1 2 2 2

0 2 1

a b a

a

.

330. Tres traballadores, A, B e C, ao rematar un determinado mes, presentan na súa empresa aseguinte plantilla de produción, correspondente ás horas de traballo, dietas de mantemento e km dedesprazamento de cada un deles:

Horas de traballo Dietas Kilómetros

Traballador A 40 10 150

Traballador B 60 15 250

Traballador C 30 6 100

A empresa paga aos traballadores a mesma retribución: x euros por hora traballada, y euros por

cada dieta e z euros por km de desprazamento e que paga ese mes un total de 924 euros ao traba-llador A, 1390 euros ao traballador B e 646 euros ao traballador C, calcula x , y e z .

Solución:

Plantéxase o sistema de ecuacións:


Prácticas

40 10 150 924

60 15 250 1390

30 6 100 646

x y z

x y z

x y z

40 10 150 924

60 15 250 1390

30 6 100 646

1ª 2

2ª 5

3ª 2

20 5 75 462

12 3 50 278

15 3 50 323

2ª

1ª

3ª

12 3 50 278

20 5 75 462

15 3 50 323

1ª

3 2ª 5 1ª

4 3ª 5 1ª

12 3 50 278

0 0 25 4

0 3 50 98

1ª

3ª

2ª

12 3 50 278

0 3 50 98

0 0 25 4

1ª 2ª

2ª

3ª

12 0 0 180

0 3 50 98

0 0 25 4

1ª

2ª 2 3ª

3ª

12 0 0 180

0 3 0 90

0 0 25 4

180

1512

x ,90

303

y

,

4 4

25 25z

.

Solución: 15x €/h, 30y € por dieta e4

0.1625

z €/km de desprazamento.

331. Resolve o sistema de ecuacións

8 4 6 2

4 7 4 0

8 5 7 3

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

8 4 6 2

4 7 4 0

8 5 7 3

x y z

x y z

x y z

8 4 6 2

4 7 4 0

8 5 7 3

1ª 2

2ª

3ª

4 2 3 1

4 7 4 0

8 5 7 3

1ª

2ª 1ª

3ª 2 1ª

4 2 3 1

0 9 1 1

0 9 1 5

9 1ª 2 2ª

2ª

3ª 2ª

36 0 29 7

0 9 1 1

0 0 0 4

sistema incompatible: non ten solución.

332. Obtén, se existe, a inversa da matriz

3 3 1

8 4 9

6 5 1

A

, e comproba o resultado.

Solución:

3 3 1

8 4 9

6 5 1

A

3 3 1 1 0 0

8 4 9 0 1 0

6 5 1 0 0 1

1ª

3 2ª 8 1ª

3ª 2 1ª

3 3 1 1 0 0

0 12 35 8 3 0

0 1 3 2 0 1

1ª

3ª

2ª

3 3 1 1 0 0

0 1 3 2 0 1

0 12 35 8 3 0

1ª 3 2ª

2ª

3ª 12 2ª

3 0 8 5 0 3

0 1 3 2 0 1

0 0 1 16 3 12

1ª 8 3ª

2ª 3 3ª

3ª

3 0 0 123 24 93

0 1 0 46 9 35

0 0 1 16 3 12

1ª 3

2ª 1

3ª

1 0 0 41 8 31

0 1 0 46 9 35

0 0 1 16 3 12

1

41 8 31

46 9 35

16 3 12

A

.

1

3 3 1 41 8 31 1 0 0

8 4 9 46 9 35 0 1 0

6 5 1 16 3 12 0 0 1

A A

;

1

41 8 31 3 3 1 1 0 0

46 9 35 8 4 9 0 1 0

16 3 12 6 5 1 0 0 1

A A

.


Prácticas

333. Xoana e Mercedes teñen 20000 € cada unha para inverter. Cada unha delas fai a mesma

distribución do seu capital en tres partes, P , Q e R e lévanas a unha entidade financeira. Ao ca-

bo dun ano, a Xoana déronlle un 4% de intereses pola parte P , un 5% pola parte Q e un 4% pola

parte R e a Mercedes déronlle un 5% pola parte P , un 6% pola parte Q e un 4% pola parte R .

Xoana recibiu un total de 850 € de intereses, mentres que Mercedes recibiu 950 €. De cantos eurosconstaba cada parte P , Q e R ?

Solución:

Trátase de resolver o sistema:

20000

4 5 4850

100 100 100

5 6 4950

100 100 100

P Q R

P Q R

P Q R

20000

4 5 4 85000

5 6 4 95000

P Q R

P Q R

P Q R

1 1 1 20000

4 5 4 85000

5 6 4 95000

1ª

2ª 4 1ª

3ª 5 1ª

1 1 1 20000

0 1 0 5000

0 1 1 5000

1ª 2ª

2ª

3ª 2ª

1 0 1 15000

0 1 0 5000

0 0 1 10000

1ª 3ª

2ª

3ª

1 0 0 5000

0 1 0 5000

0 0 1 10000

5000P €,

5000Q € e 10000R €.

Solución: as partes son 5000P , 5000Q € e 10000R €.

334. Escribe en forma matricial o sistema

2

3 1

2 0

x y z t

y t

x y t

.

Solución:

2

3 1

2 0

x y z t

y t

x y t

1 1 1 1 2

0 3 0 1 1

2 1 0 1 0

x

y

z

t

.

335. Resolve mediante o método de Gauss o sistema de ecuacións

8 5 7 96

7 3 3 56

4 3 6 44

9 3 2 60

x y z t

x y z t

x y z t

x z t

.

Solución:

8 5 7 96

7 3 3 56

4 3 6 44

9 3 2 60

x y z t

x y z t

x y z t

x z t

8 1 5 7 96

7 1 3 3 56

1 4 3 6 44

9 0 3 2 60

3ª

2ª

1ª

4ª

1 4 3 6 44

7 1 3 3 56

8 1 5 7 96

9 0 3 2 60

1ª

2ª 7 1ª

3ª 8 1ª

4ª 9 1ª

1 4 3 6 44

0 27 18 39 252

0 31 29 55 448

0 36 24 52 336

1ª

2ª 3

3ª

4ª 4

1 4 3 6 44

0 9 6 13 84

0 31 29 55 448

0 9 6 13 84

9 1ª 4 2ª

2ª

9 3ª 31 2ª

4ª 2ª

9 0 3 2 60

0 9 6 13 84

0 0 75 92 1428

0 0 0 0 0

Sistema compatible indeterminado:


Prácticas

9 0 3 2 60

0 9 6 13 84

0 0 75 92 1428

0 0 0 0 0

9 0 3 2 60

0 9 6 13 84

0 0 75 92 1428

5ª 4ªt

9 0 3 2 60

0 9 6 84 13

0 0 75 1428 92

25 1ª 3ª

25 2ª 2 3ª

3ª

225 0 0 72 42

0 225 0 756 141

0 0 75 1428 92

14 24

75x

,

47 252

75y

,

92 1428

75z

, t .

Solución:14 24

75x

,

47 252

75y

,

92 1428

75z

, t .

336. Obtén a inversa da matriz

2 3 7

0 5 9

6 7 7

A

.

Solución:

2 3 7

0 5 9

6 7 7

A

2 3 7 1 0 0

0 5 9 0 1 0

6 7 7 0 0 1

1ª

2ª

3ª 3 1ª

2 3 7 1 0 0

0 5 9 0 1 0

0 16 28 3 0 1

5 1ª 3 2ª

2ª

5 3ª 16 2ª

10 0 8 5 3 0

0 5 9 0 1 0

0 0 4 15 16 5

1ª 2 3ª

4 2ª 9 3ª

3ª

10 0 0 35 35 10

0 20 0 135 140 45

0 0 4 15 16 5

1ª 10

2ª 20

3ª 4

154

7722

92744

54

1 0 0 1

0 1 0 7

0 0 1 4

1

7 7 12 2

27 974 4

15 544 4

A

.


6 24 6 696

12 48 10 1308

10 40 26 1832

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

6 24 6 696

12 48 10 1308

10 40 26 1832

x y z

x y z

x y z

6 24 6 696

12 48 10 1308

10 40 26 1832

1ª 6

2ª 2

3ª 2

1 4 1 116

6 24 5 654

5 20 13 916

1ª

2ª 6 1ª

3ª 5 1ª

1 4 1 116

0 0 1 42

0 0 8 336

1ª 2ª

2ª

3ª 8 2ª

1 4 0 74

0 0 1 42

0 0 0 0

Sistema compatible indeterminado.

1 4 0 74

0 0 1 42

0 0 0 0

1 4 0 74

0 0 1 42

1 0 74 4

0 1 42

74 4x , y , 42z .

Solución: 74 4x , y , 42z .


Prácticas


26 40 30 2054

27 32 24 1823

3 20 15 737

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

26 40 30 2054

27 32 24 1823

3 20 15 737

x y z

x y z

x y z

26 40 30 2054

27 32 24 1823

3 20 15 737

1ª 2

2ª

3ª

13 20 15 1027

27 32 24 1823

3 20 15 737

3ª

2ª

1ª

3 20 15 737

27 32 24 1823

13 20 15 1027

1ª

2ª 9 1ª

3 3ª 13 1ª

3 20 15 737

0 148 111 4810

0 200 150 6500

1ª

2ª 37

3ª 50

3 20 15 737

0 4 3 130

0 4 3 130

1ª 5 2ª

2ª

3ª 2ª

3 0 0 87

0 4 3 130

0 0 0 0

Sistema compatible indeterminado.

3 0 0 87

0 4 3 130

0 0 0 0

3 0 0 87

0 4 3 130

4ª 3ª

x

3 0 87

0 4 3 130

29x ,

3 130

4y

, z .

Solución: 29x ,130 3

4y

, z .

339. Unha familia dispón de 80 euros mensuais para realizar a compra nunha carnicería. O pri-meiro mes compran 10 kg de carne de polo, 6 kg de carne de porco e 3 kg de carne de vaca, so-brándolles 3.1 €. O seguinte mes adquiren 10 kg de carne de polo, 7 kg de carne de porco e 2 kgde carne de vaca, e sóbranlles 5.1 euros. O terceiro mes compran 11 kg de carne de polo, 6 kg decarne de porco e 2 kg de carne de vaca, pagando un total de 72 euros e 30 céntimos.Supoñendo que non variaron os prezos durante eses tres meses, indica cal é o prezo por quilo dacarne de polo, de porco e de vaca.

Solución:

Sexa x o prezo do quilo de carne de polo, y o prezo do quilo de carne de porco e z o prezo do

quilo de carne de vaca.

10 6 3 76.9

10 7 2 74.9

11 6 2 72.3

x y z

x y z

x y z

10 6 3 76.9

10 7 2 74.9

11 6 2 72.3

1ª

2ª 1ª

10 3ª 11 1ª

10 6 3 76.9

0 1 1 2

0 6 13 122.9

1ª 6 2ª

2ª

3ª 6 2ª

10 0 9 88.9

0 1 1 2

0 0 19 134.9

1ª 9 3ª

19 2ª 3ª

3ª

190 0 0 475

0 19 0 96.9

0 0 19 134.9

1ª 190

2ª 19

3ª 19

1 0 0 2.5

0 1 0 5.1

0 0 1 7.1

2.5

5.1

7.1

x

y

z

.

Solución: o quilo de polo vale 2.5 €, o de porco costa a 5.1 € e o de vaca a 7.1 €.


Prácticas

340. Dado o sistema

2 0

2

0

x y z

x y z m

mx y z

,

340.1.Discúteo e interprétao xeometricamente, segundo os valores do parámetro m .

340.2.Resólveo, se é posible, para os casos 0m e 2m .

Solución:

340.1.

2 0

2

0

x y z

x y z m

mx y z

2 1 1 0

' 1 2 1

1 1 0

A m

m

;

2 1 1

1 2 1 2

1 1

A m

m

.

2 0 2m m .

• Se 2m ' 3ran A ran A nº de incógnitas, e polo tanto, o sistema é compati-

ble determinado e, en consecuencia, trátase de tres planos que se cortan nun punto.

• Se 2m , entón:

2 1 1 0

' 1 2 1 2

2 1 1 0

A

;2 1

3 01 2

2ran A ;

2 1 0

1 2 2 0

2 1 0

' 2ran A nú-

mero de incógnitas sistema compatible indeterminado. A primeira ecuación e a últimason iguais, e trátase de dous planos coincidentes e outro plano que os corta nunha recta.

340.2. Resolvéndoo para 0m :

2 0

2 0

0

x y z

x y z

y z

2 1 1 0

' 1 2 1 0

0 1 1 0

A

2 1 1

1 2 1 2 0

0 1 1

é un sistema homoxéneo

compatible e determinado, polo que a súa solución é a trivial: 0,0,0 : 0x , 0y e

0z .

Resolvémolo para 2m :

2 0

2 2

2 0

x y z

x y z

x y z

2 1 1 0

' 1 2 1 2

2 1 1 0

A

;2 1

3 01 2

Eliminamos a terceira ecuación e

pasamos a z ao segundo membro, como parámetro: z .

2 0

2 2

x y z

x y z

4ª 3ª

z

2 1

1 2 2

1

2 2 2 2

3 3 3x

,

2

1 2 4 4

3 3 3y

, z .

Solución:2

3x

,

4

3y

, z .


Prácticas

341. Calcula mediante determinantes a inversa da matriz

9 3 9

4 2 0

7 8 8

A

.

Solución:

9 3 9

4 2 0 210 0

7 8 8

A

.

9 3 9

4 2 0

7 8 8

A

1

ij

2 0 4 0 4 2

8 8 7 8 7 8

3 9 9 9 9 3

8 8 7 8 7 8

3 9 9 9 9 3

2 0 4 0 4 2

16 32 18

48 9 51

18 36 6

2

ijA

16 32 18

48 9 51

18 36 6

3

t

ijA

16 48 18

32 9 36

18 51 6

4

A

1

16 48 181

32 9 36210

18 51 6

A

8 8 3105 35 35

16 3 6105 70 35

3 17 135 70 35

1

8 8 3105 35 35

16 3 6105 70 35

3 17 135 70 35

A

.

342. Calcula, utilizando o método de Gauss–Jordan, a inversa da matriz

2 10 8

3 15 12

28 49 43

A

.

Solución:

2 10 8

3 15 12

28 49 43

A

2 10 8 1 0 0

3 15 12 0 1 0

28 49 43 0 0 1

1ª

2 2ª 3 1ª

3ª 14 1ª

2 10 8 1 0 0

0 0 0 3 2 0

0 91 69 14 0 1

non

ten inversa.

343. Escribe en forma matricial o sistema

1

2 1

2

2 0

x y z

x z

x y z

y z

.

Solución:

1

2 1

2

2 0

x y z

x z

x y z

y z

1 1 1 1

2 0 1 1

1 1 1 2

0 2 1 0

x

y

z

.

344. Obtén tres números, sabendo que o primeiro menos o segundo é igual a un quinto do tercei-ro; se ao dobre do primeiro lle restamos seis quédanos a suma do segundo e o terceiro e, ademais,o triplo do segundo menos o dobre do terceiro é igual ao primeiro menos 8.

Solución:

Sexan x o primeiro número, y o segundo número e z o terceiro número. Das condicións do

enunciado tense o sistema:


Prácticas

5

2 6

3 2 8

zx y

x y z

y z x

5 5 0

2 6

3 2 8

x y z

x y z

x y z

5 5 1 0

2 1 1 6

1 3 2 8

3ª

2ª

1ª

1 3 2 8

2 1 1 6

5 5 1 0

1ª

2ª 2 1ª

3ª 5 1ª

1 3 2 8

0 5 5 10

0 10 11 40

1ª

2ª 5

3ª

1 3 2 8

0 1 1 2

0 10 11 40

1ª 3 2ª

2ª

3ª 10 2ª

1 0 1 2

0 1 1 2

0 0 1 20

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 22

0 1 0 18

0 0 1 20

1ª 1

2ª

3ª 1

1 0 0 22

0 1 0 18

0 0 1 20

22

18

20

x

y

z

.

Solución: os números buscados son 22x , 18y e 20z .

345. Determina a matriz X na seguinte ecuación matricial 2 1

2A X A B C , sendo as ma-

trices2 1

0 1A

,1 1 2

1 3 1B

e

1 3

1 1

6 2

C

.

Solución:

2 1

2A X A B C

12 1

2X A A B C

. Así tense

2 2 1 2 1 4 3

0 1 0 1 0 1A

4 3 1 0

0 1 0 1

1ª 3 2ª

2ª

4 0 1 3

0 1 0 1

1ª 4

2ª

311 04 4

0 1 0 1

12

1 3

4 4

0 1

A

.

1 31 1 2 12 8

1 11 3 1 10 2

6 2

B C

;

2 1 12 8 14 9

0 1 10 2 10 3A B C

;

9714 91 1 2

10 3 32 2 52

A B C

.

Polo tanto, 12 1

2X A A B C

1 3 97 2 02

4 4 3535 20 1 2

2 0

352

X

.

Solución:2 0

352

X

.


Prácticas

346. Determina a matriz X que satisface a ecuación 23X I A B A , sendo as matrices:

1 1 2

2 0 3

3 1 2

A

e

1 0 2

2 1 1

3 2 1

B

e I a matriz unidade de orde 3.

Solución:

23X I A B A 21

3X A B A I .

1 1 2 1 0 2 9 5 3

2 0 3 2 1 1 7 6 1

3 1 2 3 2 1 5 5 5

A B

; 2

1 1 2 1 1 2 9 1 5

2 0 3 2 0 3 7 5 10

3 1 2 3 1 2 5 5 13

A

;

2

9 5 3 9 1 5 0 4 8

7 6 1 7 5 10 0 1 9

5 5 5 5 5 13 0 0 8

A B A

;

2

0 4 8 1 0 0 1 4 8

0 1 9 0 1 0 0 0 9

0 0 8 0 0 1 0 0 9

A B A I

2

81 41 4 8 3 3 3

1 10 0 9 0 0 3

3 30 0 9 0 0 3

X A B A I

81 43 3 3

0 0 3

0 0 3

X

.

347. Resolve a ecuación matricial A B X I , sendo I a matriz identidade de orde 3, e as

matrices

1 0 1

2 1 0

1 2 3

A

e

1 2 0

1 0 1

1 3 2

B

.

Solución:

A B X I B X I A 1 1B B X B I A 1X B I A .

1 0 0 1 0 1 2 0 1

0 1 0 2 1 0 2 0 0

0 0 1 1 2 3 1 2 2

I A

.

1 2 0

1 0 1

1 3 2

B

1 2 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

1 3 2 0 0 1

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

1 2 0 1 0 0

0 2 1 1 1 0

0 5 2 1 0 1

1ª 2ª

2ª

2 3ª 5 2ª

1 0 1 0 1 0

0 2 1 1 1 0

0 0 1 3 5 2

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 3 4 2

0 2 0 2 4 2

0 0 1 3 5 2

1ª

2ª 2

3 1

1 0 0 3 4 2

0 1 0 1 2 1

0 0 1 3 5 2

1

3 4 2

1 2 1

3 5 2

B

.

1X B I A

3 4 2 2 0 1 12 4 1

1 2 1 2 0 0 5 2 1

3 5 2 1 2 2 14 4 1

12 4 1

5 2 1

14 4 1

X

.


Prácticas

348. Sexan M e N as matrices adxuntas.

348.1.Determina x e y para que MN NM .

348.2.Calcula 2000M e 2001M .

0 0 1

0 1 0

1 0 0

M

0 0 1

1 0

0 0

N x

y

Solución:

348.1. Calcúlanse os produtos:

0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 1 0 1

1 0 0 0 0 0

0

10

M N x

y

y

x

;

0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0 0

1

0 x

y

N M x

y

.

Para que conmuten MN NM ten que verificarse que0

1

x

y

.

348.2. 23

0 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0 0 0 1

M I

3M M ; 43M I , ….

Así tense que

3Se é par matriz identidade

Se é impar matriz dada

k

k

k M I

k M M

20003

2001

M I

M M

.

Solución: 20003M I , 2001M M .

349. Nunha determinada poboación represéntanse tres espectáculos que chamaremos 1E , 2E e

3E , respectivamente, cada un cun prezo distinto. Calcula o prezo de cada espectáculo sabendo que

se asistimos dúas veces a 1E , unha vez a 2E e unha vez a 3E custaríanos 34 €; se asistimos tres

veces ao primeiro espectáculo e unha ao segundo custaríanos 46.5 €, e no caso de asistir unha veza cada un dos espectáculos pagaríamos 21.5 €.

Solución:

Sexan x prezo do espectáculo 1E , y prezo do espectáculo 2E e z prezo do espectáculo

3E . Das condicións do enunciado tense:

2 34

3 46.5

21.5

x y z

x y

x y z

2 1 1 34

3 1 0 46.5

1 1 1 21.5

1 1 1 21.5

3 1 0 46.5

2 1 1 34

1ª

2ª 3 1ª

3ª 2 1ª

1 1 1 21.5

0 2 3 18

0 1 1 9

1ª

3ª 1

2ª 1

1 1 1 21.5

0 1 1 9

0 2 3 18

1ª 2ª

2ª

3ª 2 2ª

1 0 0 12.5

0 1 1 9

0 0 1 0

1ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 12.5

0 1 0 9

0 0 1 0

12.5

9

0

x

y

z

.

Solución: o espectáculo 1E custa 12.5 €, o 2E custa 9 € e o terceiro 3E custa 0 €: é gratis.

350. Obtén, en función de a , o valor do determinante2

3 2

4 3 2

a a a a

a a aD

a a

a

.

Solución:

A 4ª columna réstaselle a 3ª columna; á 3ª columna réstaselle a 2ª columna; á 2ª columna réstasellea 1ª columna e así tense:

3 4 3 2

0 0 0

2 2 2 0 02 6 12 8

3 2 3 1 2 0

4 3 2 4 1 1 2

a a a a a

a a a aD a a a a a a

a a a

a a

.


Prácticas

351. Calcula X tal que 3AX B , sendo

1 0 2

0 1 1

1 0 1

A

,

1 0 2

1 0 1

1 1 1

B

.

Solución:

3AX B 11

3X A B .

1 0 2

0 1 1 1 0

1 0 1

A existe 1A ;

1 0 2

0 1 1

1 0 1

A

1

ij

1 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 0

0 2 1 2 1 0

0 1 1 1 1 0

0 2 1 2 1 0

1 1 0 1 0 1

1 1 1

0 1 0

2 1 1

2

ijA

1 1 1

0 1 0

2 1 1

3

t

ijA

1 0 2

1 1 1

1 0 1

4

A 1

1 0 21

1 1 11

1 0 1

A

1

1 0 2

1 1 1

1 0 1

A

.

Polo tanto:

11

3X A B

1 0 2 1 0 21

1 1 1 1 0 13

1 0 1 1 1 1

1 2 01

1 1 03

0 1 1

1 2 03 3

1 1 03 3

1 103 3

X

.

352. Sexa a identidade matricial da dereita.

352.1.Cales son as dimensións dunha matriz solución da identidade anterior?

352.2.Calcula a solución.

1 22 1

3 43 1

5 6

X

352.3.É única a solución? Razoa a resposta.

Solución:

352.1. A matriz X debe ser de orde 3 2 , xa que ao multiplicala por unha matriz de orde 2 2da unha matriz de orde 3 2 .

352.2. Sexa2 1

3 1A

;2 1 1 0

3 1 0 1

1ª

2 2ª 3 1ª

2 1 1 0

0 1 3 2

1ª 2ª

2ª

2 0 2 2

0 1 3 2

1ª 2

2ª 1

1 0 1 1

0 1 3 2

1 1 1

3 2A

.

2

1 22 1 1 1 1 1

3 43 1 3 2 3 2

5 6I

X

1 2 5 31 1

3 4 9 53 2

5 6 13 7

X

.

Solución:

5 3

9 5

13 7

X

.

352.3. A solución é única, posto que a matriz inversa é única.


Prácticas

353. Dunha matriz cadrada de orde 3 sábese que o seu determinante vale 1 . Canto valerá o de-terminante da matriz 2A ?

Solución:

Sexa

a b c

A d e f

g h i

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

a b c

A d e f

g h i

;

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 8 8 1 8

2 2 2

a b c a b c

A d e f d e f A

g h i g h i

.

Solución: det 2 8A .

354. Razoa se é posible aplicar os métodos habituais de resolución de sistemas de ecuacións li-neais con incógnitas numéricas, no caso de que as incógnitas sexan matrices.

Aplícao, se é posible, ao sistema3

2 2

X Y A

X Y B

, sendo

2 1

1 3A

e

0 3

1 1B

.

Solución:

Na resolución de sistemas de ecuacións lineais as únicas operacións que se verifican son:

— Suma de ecuacións para eliminar termos.

— Produto de ecuacións por números para igualar coeficientes.

Estas mesmas operacións son as que se utilizan na resolución de sistemas de ecuacións nas que in-terveñen matrices. Os métodos para resolver ecuacións matriciais son os mesmos que para siste-mas de ecuacións lineais.

Para a resolución dese sistema utilizamos o método de redución:

3

2 2

X Y A

X Y B

Multiplicando por 2a primeira ecuación

6 2 2

2 2

X Y A

X Y B

Sumando asdúas ecuacións 7 2 2X A B

2 1 0 3 4 2 0 3 4 5

7 2 21 3 1 1 2 6 2 2 4 8

X

547 7

847 7

X

.

3

2 2

X Y A

X Y B

Multiplicando por 3a segunda ecuación

3

3 6 6

X Y A

X Y B

Sumando asdúas ecuacións 7 6Y A B

2 1 0 3 2 1 0 18 2 17

7 61 3 1 1 1 3 6 6 5 3

Y

1727 7

347 7

Y

.

Solución:

547 7

847 7

X

,

1727 7

347 7

Y

.

355. Sexa o sistema adxunto.

355.1.Usando o teorema de Rocuché–Frobenius di como é o sistema.

355.2.Resolve o sistema, para o posible caso de ser compatible deter-minado.

ax by cz a b c

bx cy az a b c

cx ay bz a b c

Solución:

355.1. A matriz de coeficientes M e a matriz ampliada 'M son:

a b c

M b c a

c a b

e '

a b c a b c

M b c a a b c

c a b a b c

e verifícase que 'ran M ran M , dado que a cuarta columna é a suma das tres primeiras.

Polo tanto, é un sistema compatible determinado.


Prácticas

355.2. Cando é compatible determinado unha solución sinxela é 1x , 1y e 1z .



6

4 1

5 2 5

x y

x y

x y

.

Solución:

6

4 1

5 2 5

x y

x y

x y

;

1 1

4 1

5 2

A

;1 1

5 04 1

2ran A ;

1 1 6

' 4 1 1

5 2 5

A

,

1 1 6

' 4 1 1 0

5 2 5

A

' 2ran A ran A nº de incógnitas o sistema é compatible de-

terminado. Para resolvelo podemos prescindir da terceira ecuación:6

4 1

x y

x y

.

Sumando: 5 5 1x x 5y .


357. Discute o seguinte sistema segundo os valores do parámetro a , e interpreta xeometrica-mente o sistema:

4 0

1 0

1 0

ax y z

x y z

x ay z

.

Solución:

4 0

1 0

1 0

ax y z

x y z

x ay z

4

1

1

ax y z

x y z

x ay z

1 1 4

1 1 1 1

1 1 1

a

a

2ª

1ª

3ª

1 1 1 1

1 1 4

1 1 1

a

a

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

1 1 1 1

1 0 0 5

0 1 0 2

a

a

.

• Se 1a queda:

1 1 1 1

0 0 0 5

0 2 0 2

sistema incompatible. Os dous primeiros planos son paralelos e o ter-

ceiro córtaos.

• Se 1a , queda:

1 1 1 1

2 0 0 5

0 0 0 2

sistema incompatible. O segundo e o terceiro plano son paralelos e o

primeiro córtaos.

• Se 1a e 1a sistema compatible determinado. Os tres planos córtanse nun punto.

1721. De Selectividade — Matemáticas II

Prácticas

PROBLEMAS DE EXAMES

Entre os exemplos anteriores hai bastantes exercicios e problemas que foron propostos en diversasprobas de acceso á universidade nas distintas comunidades autónomas. Agora engádense uns can-tos máis, reunidos por modalidades, para facilitar a aprendizaxe.

1. DE SELECTIVIDADE — MATEMÁTICAS II

358. Sexan as matrices2 1

3 2A

,

0 1 0

3 1 2B

e

1 2 0

1 1 4C

.

358.1.Ten A inversa? En caso afirmativo, calcúlaa.

358.2.Determina a matriz X que cumpre a seguinte igualdade: t tAX CB BB , sendo tB a ma-triz transposta de B .

Solución:

358.1.2 1

3 2A

2 14 3 7 0

3 2A

a matriz A ten inversa.

2 1

3 2A

1

ij

2 3

1 2

2

ijA

2 3

1 2

3

ij

tA

2 1

3 2

4

A

2 12 11 7 7

33 2 277 7

1

2 17 7

3 27 7

A

.

358.2. t tAX CB BB t t tAX BB CB B C B 1 tX A B C B :

0 1 0 1 2 0 1 1 0

3 1 2 1 1 4 4 2 2B C

;

0 3

1 1

0 2

tB

;

0 3

1 1 0 1 21 1

4 2 2 2 100 2

tB C B

;

1

62 1 41 27 7 7 7

3 2 10 262 17 7 7 7

tX A B C B

.

Solución:

647 7

2617 7

X

.

359. Sexa o sistema de ecuacións

2

3 7

2 2 5

x y z

x y z

x y z

.

359.1.Clasifica o sistema segundo os valores do parámetro .

359.2.Resolve o sistema cando sexa compatible indeterminado.

Solución:

359.1.

1 1 1

3 1

1 1 2

A

,

1 1 1 2

' 3 1 7

1 1 2 5

A

;

2

1 1 1

3 1 3 2

1 1 2

A

; 2 13 9 80 3 2 0

22A

.

Problemas de exames173

Prácticas

— Se 1 e 2 ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible

determinado.

— Se 1

1 1 1 2

' 1 3 1 7

1 1 1 5

A

;1 1

2 01 3

2ran A ;

1 1 2

1 3 7 1 0

1 2 5

' 3ran A .

2 ' 3ran A ran A sistema incompatible.

— Se 2

1 1 1 2

' 2 3 1 7

1 1 0 5

A

;1 1

2 01 3

2ran A ;

1 1 2

2 3 7 0

1 2 5

' 2ran A .

Como ' 2ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible indeterminado.

359.2. Como se pide resolver o sistema para o valor de que o faga compatible indeterminadofacemos a resolución para 2 .

Como1 1

2 01 3

e 2ran A , suprimimos a terceira ecuación e pasamos a incógnita z

ao termo independente:

2

3 7

x y z

x y z

1 1 1 2

2 3 1 7

4ª 3ª

z

1 1 2

2 3 7

.

2 1

7 31 2

1x

,

1 2

2 73

1y

, z .

Solución: 1 2x , 3y , z .

360. Responde se as seguintes afirmacións son verdadeiras ou falsas e xustifica a túa resposta:

360.1.Se A e B son dúas matrices cadradas calquera, cúmprese que 2 2 22A B A AB B .

360.2.Se A é unha matriz cadrada que cumpre 2 0A , entón ten que ser 0A .

360.3.Se A é unha matriz cadrada calquera cúmprese que 2A I A I A I .

Nota: 0 representa a matriz nula da mesma dimensión que A e I representa a matriz identida-

de, tamén da mesma dimensión que A .

Solución:

360.1. Falso.

2 2 2 2 22A B A B A B A AB BA B A AB B , dado que en xeral

AB BA por non ser conmutativo o produto de matrices.

360.2. Falso.

Por exemplo, se0 1 0 0

0 0 0 0A

2 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0A

.

360.3. Verdadeiro.

2 2 2 2A I A I A AI IA I A A A I A I .


Prácticas

361. Sexa o sistema de ecuacións adxunto.

361.1.Calcula o carácter do sistema en función do parámetro m .

361.2.Resólveo para 0m .

2

3

4

mx y m

S x y m

x y z

361.3.Substitúe a terceira ecuación de S por outra ecuación de maneira que o sistema resultantesexa compatible indeterminado para calquera valor de m .

Solución:

361.1.

2

3

4

mx y m

S x y m

x y z

2 0

3 1 0

1 1 1

m

A

;

2 0

' 3 1 0

1 1 1 4

m m

A m

.

2 0

3 1 0 6

1 1 1

m

A m

; 0 6 0 6A m m .

— Se 6m ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible determina-

do.

— Se 6m

6 2 0 6

' 3 1 0 6

1 1 1 4

A

;3 1

2 01 1

2ran A ;

6 2 6

3 1 6 36 0

1 1 4

' 3ran A .


361.2. Se 0m resulta o sistema

2 0

3 0

4

y

S x y

x y z

.

I.

2 0 0

3 0 0

4 4

y y

S x y x

x y z z

.


II.

2 0

3 0

4

y

S x y

x y z

0 2 0

3 1 0

1 1 1

A

;

0 2 0 0

' 3 1 0 0

1 1 1 4

A

;

0 2 0

3 1 0 6 0

1 1 1

A

.

0 2 0

0 1 0

4 1 1 00

6 6x

;

0 0 0

3 0 0

1 4 1 00

6 6y

,

0 2 0

3 1 0

1 1 4 244

6 6z

.


361.3. Se a ecuación que engadimos é dunha, dúas ou tres incógnitas, as solucións dependen dem , e o sistema pode ser compatible ou incompatible.

Se a ecuación que engadimos é de catro incógnitas ou máis, o sistema é compatible indeter-minado para 6m , pero é incompatible para o valor 6m .

Sexa ax by cz dt e , con 0c e 0d a ecuación engadida. Entón:


Prácticas

2 0 0

3 1 0 0

m

A

a b c d

,

2 0 0

' 3 1 0 0

m m

A m

a b c d e

; 2 0

3 1 0 6 0 6

m

c m m

a b c

.

— Para 6m , ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible indeter-

minado.

— Para 6m :

6 2 0 0 6

' 3 1 0 0 6A

a b c d e

;1 0

0cb c

2ran A ;

2 0 6

1 0 6 18 0c

b c e

' 3ran A .


Polo tanto, non se pode substituír a terceira ecuación de S por outra, de tal maneira que osistema resultante sexa compatible indeterminado para todo valor de m .

362. Dado o sistema de ecuacións adxunto, pídese

362.1.Discusión do mesmo en función do parámetro a .

362.2.Resolución do mesmo para o caso de que 0a .

2

2 3

x y z a

x y az a

x y z a

Solución:

362.1.

2

2 3

x y z a

x y az a

x y z a

1 2 1

1 1

2 3 1

A a

,

1 2 1

' 1 1

2 3 1

a

A a a

a

.

1 2 1

1 1

2 3 1

A a a ; 0 0 0A a a .

— Se 0a ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible determi-

nado.

— Se 0a

1 2 1 0

' 1 1 0 0

2 3 1 0

A

;1 2

1 01 1

' 2ran A ran A nº de incóg-

nitas sistema compatible indeterminado.

362.2. Resolvémolo para o caso de que 0a .

2

2 1

1

3 11

a

a a

a a ax a

a a

;

2

1 1

1

2 11

a

a a

a a ay a

a a

;

1 2

1 1

2 31

a

a

a az

a a

.

Solución: 1x a , 1y a , 1z .


Prácticas

363. Se a matriz

a b c

A d e f

g h i

ten o seu determinante igual a n , averigua, utilizando as pro-

piedades dos determinantes, o valor dos determinantes das matrices seguintes:

6 4 2

3 2

9 6 3

d e f

B g h i

a b c

e

d f e f e

C a c b c b

g i h i h

.

Solución:

a b c

A d e f n

g h i

363.1. 1 31ª 3

2ª 21ª 23ª 3

6 4 2 2 2 2

3 2 3 2 6 2 3 36

9 6 3 3 3 3F FC

CFF

d e f d e f d e f a b c

B g h i g h i g h i g h i

a b c a b c a b c d e f

31

36 36F F

a b c

d e f n

g h i

.

363.2. 1 23 2 1 3 F FC C C C

d f e f e d f e f d e f a b c

C a c b c b a c b c a b c d e f n

g i h i h g i h i g h i g h i

.

364. Dado o sistema de ecuacións adxunto, pídese

364.1.Discusión do mesmo en función do valor a .

364.2.Para o valor 1a obtéñase, se procede, a solución do sistema.

2

2 0

3 1 1

x ay z

x y az

x a y z a

Solución:

364.1.

2

2 0

3 1 1

x ay z

x y az

x a y z a

1 1

2 1

3 1 1

a

A a

a

;

1 1 2

' 2 1 0

3 1 1 1

a

A a

a a

.

2

1 1

2 1 2 2 1

3 1 1

a

A a a a a a

a

; 0

0 2 1 0 12

aA a a

a

.

— Se 0a e 12

a ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible

determinado.

— Se 0a

1 0 1 2

' 2 1 0 0

3 1 1 1

A

;1 0

1 02 1

2ran A .

1 0 3

2 1 0 3 0

3 1 1

' 3ran A .



Prácticas

— Se 12

a

1 1 2 1 2

' 2 1 1 2 0

3 3 2 1 1 2

A

;1 1 5

02 1 2 2

2ran A .

1 1 234

2 1 2 0 04

3 1 1 2

' 3ran A :


364.2. Se 1a

1 1 1 2

' 2 1 1 0

3 2 1 0

A

;

1 1 1

2 1 1 1 0

3 2 1

A

.

2 1 1

0 1 1

0 2 11 66

1 1x

,

1 2 1

2 0 1

3 0 1 1010

1 1y

,

4 4 2

2 1 0

3 2 0 22

1 1z .


365. Sexa A unha matriz 2 2 de columnas 1C e 2C e determinante 4. Sexa B outra matriz

2 2 de determinante 2. Se C é a matriz de columnas 1 2C C e 23C , calcúlese o determinante

da matriz 1B C .

Solución:

Sexan as matrices:

11 12 11 12 11 12

21 22 21 22 21 22

1 2 1 2 2

,, 4; 2;

3

a a b b c cA A B B C

a a b b c c

C C C C C

— 1 2 2 1 2 2 2 1 2,3 ,3 ,3 3 , 0 3 3 4 12C C C C C C C C C C A .

— 1 1 1

12C

C .

— 1 1 1 12

12 6B C B C .

366. Dadas as matrices

1 0 0

1 0 0

1 0 0

A

e

1 0 0

2 1 0

3 2 2

C

, obtéñanse as matrices X que satisfa-

cen 2XC A C A .

Solución:

2XC A C A 2XC C A A 2 1X C A A C .

2

1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0 1 0 0

A A

2 0A A

2 1

0

1( )X C A A C CC I .

Solución:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

X I

.


Prácticas

367. Dadas as matrices1

0 1

aA

e1

0 1

bB

, onde a e b son números reais, obtén os va-

lores de a e b que fan que estas dúas matrices conmute, é dicir, que fagan certa a igualdadeA B B A .

Solución:

1 1 1

0 1 0 1 0 1

a b a bA B

;

1 1 1

0 1 0 1 0 1

b a b aB A

.

1 1

0 1 0 1

a b b aA B B A

, e como ,a b se verifica que a b b a , entón

as matrices A e B conmutan sempre.

368. De tres números x , y , z , sábese o seguinte: o primeiro máis o segundo suman 0: que o

primeiro máis o terceiro suman 1; que a suma dos tres é 0 e, para rematar, que o primeiro multipli-

cado por un número k máis o dobre da suma do segundo e do terceiro da 1.

368.1.Que se pode dicir do valor de k ?

368.2.Canto valen os tres números?

Solución:

Dos datos do enunciado tense o sistema de ecuacións

0 0

1 1

0 0

2 1 2 2 1

x y x y

x z x z

x y z x y z

kx y z kx y z

.

368.1. Sumando as tres primeiras ecuacións tense: 3 2 2 1x y z , e comparando esta ecuación

coa terceira dedúcese, evidentemente, que 3k .

368.2. De dúas maneiras:

—

0

1

0

x y

x z

x y z

1 1 0 0

1 0 1 1

1 1 1 0

1ª

2ª 1ª

3ª 1ª

1 1 0 0

0 1 1 1

0 0 1 0

1ª 2ª

2ª

3ª

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 1 0

1ª 3ª

2ª 3ª

3ª

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 0

1

1

0

x

y

z

.

— Despexando y na primeira ecuación e z na segunda ecuación tense: y x e 1z x .

Substituíndo estes valores na terceira ecuación resulta: 1 0x x x 1x

1y , 0z .


369. Calcula os valores 1x , 2x , 3x , 4x , 1y , 2y , 3y , 4y que satisfacen as seguintes ecuacións:

2 3AX AY B

AX AY C

, onde 1 2

3 4

x xX

x x

, 1 2

3 4

y yY

y y

,2 5

1 3A

,

18 0

11 1B

,

17 30

10 18C

.

Solución:

Multiplicando a segunda ecuación por 2 e sumando tense:

2 3AX AY B

AX AY C

1ª

2ª 2

2 3

2 2 2

AX AY B

AX AY C

1ª 2ª 2AY B C 2AY C B

1 2Y A C B .


Prácticas

17 30 18 0 16 602 2

10 18 11 1 9 35C B

.

12 51 0

1 3A A

:2 5

1 3A

1

ij

3 1

5 2

2

ijA

3 1

5 2

3

ij

tA

3 5

1 2

4

A 1 3 51

1 21A

1 3 5

1 2A

.

1 3 5 16 60 3 52

1 2 9 35 2 10Y A C B

3 5

2 10Y

.

Despexando X na segunda ecuación:

AX AY C AX C AY 1X A C AY .

17 30 2 5 3 5

10 18 1 3 2 10C AY

17 30 16 60 33 90

10 18 9 35 19 53

.

1 3 5 33 90 4 5

1 2 19 53 5 16X A C AY

4 5

5 16X

.

Solución:4 5

5 16X

,3 5

2 10Y

.

370. O sistema de ecuacións lineais adxunto depende do parámetro re-al .

370.1.Discute para que valores de é incompatible, compatible deter-minado e compatible indeterminado.

370.2.Resólveo nos casos compatibles.

2

2 2 2

1x y z

x y z

x y z

Solución:

370.1.

2

2 2 2

1x y z

x y z

x y z

2

2 2

1

1

1

A

,

2

2 2 2

1 1

' 1

1

A

.

2

24 3 2 2 2 2

2 2

1

1 2 2 1 1

1

A

;

220 1 0A

0

1

.

— Se 0 e 1 ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible de-

terminado.

— Se 0 :

1 0 0 1

' 1 0 0 0

1 0 0 0

A

; 1ran A ;1 1

1 01 0

' 2ran A .


— Se 1 :

1 1 11

' 1 1 11

1 1 11

A

; 1 'ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible inde-

terminado.


Prácticas

370.2. Resolución para os casos compatibles:

— Para 0 e 1 , sistema compatible determinado:

2

2 2 2

22

1

01

x

,

2

22 2 4 3 2

2 2 22 2 2

1 1

1

1 1 1 1

1 1 1

ay

,

22 2 3 2

2 2 22 2 2

1 1

1

1 12 1

1 1 1

az

.

Solución: 0x ,1

y

,

1z

.

— Para 1 , sistema compatible indeterminado.

Como ' 1ran A ran A , eliminamos dúas ecuacións e facendo y e z e pa-

sándoos ao segundo membro, queda 1x .

Solución: 1x , y , z .

371. Determina o valor do parámetro para que o sistema de ecuaciónslineais adxunto sexa compatible e indeterminado.

Solución:

1

3 0

x y z

x y z

x y z

1

3 0

x y z

x y z

x y z

1 1 1

1 1 1

1 3 1

A

,

1 1 1

' 1 1 1 1

1 3 1 0

A

.

1 1 1

1 1 1 0

1 3 1

A

;1 1

2 01 1

2ran A . Miramos agora o rango da matriz ampliada:

1 1

1 1 1 2 4

1 3 0

; para que ' 2ran A ten que ser 2 4 0 2 .

Polo tanto, se 2 entón 2 'ran A ran A , e o sistema é compatible indeterminado.

Resolvemos este sistema para 2 , aínda que non o pide o enunciado:

2

1

3 0

x y z

x y z

x y z

,

1 1 1 2

' 1 1 1 1

1 3 1 0

A

2

1

x y z

x y z

,

1 1 1 2

1 1 1 1

4ª 3ª

z

1 1 2

1 1 1

.

2 1

1 1 2 3 3 2

2 2 2x

,

1 2

1 1 1 1

2 2 2y

.

Solución:3 2

2x

,

1

2y , z .

372. Da un exemplo dun sistema de 3 ecuacións lineais con 3 incógnitas que sexa incompatible.Interprétao xeometricamente.

Solución:

Para que o sistema sexa incompatible, o rango da matriz de coeficientes ten que ser distinto do ran-go da matriz ampliada.


Prácticas

1

2

3

x y z

x y z

z y z

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A

,

1 1 1 1

' 1 1 1 2

1 1 1 3

A

;1 1

1 01 2

1 ' 2ran A ran A

o sistema é incompatible.Neste caso, representan graficamente tres planos paralelos.

373. Obter todas as matrices ijA a , cadradas de orde tres, tales que 21 32 0a a e

tA A I , sen do I a matriz identidade de orde tres e tA a matriz transposta de A , da queademais se sabe que o seu determinante vale 10.

Solución:

Sexa

11 12 13

22 23

31 33

0

0

a a a

A a a

a a

; 4tA A I

11 12 13 11 31

22 23 12 22

31 33 13 23 33

0 4 0 0

0 0 0 4 0

0 0 0 4

a a a a a

a a a a

a a a a a

11 11

12

13 31 31 13

22 22

23

33 33

2 4 2

0

0

2 4 2

0

2 4 2

a a

a

a a a a

a a

a

a a

13

13

2 0

0 2 0

0 2

a

A

a

.

2 213 13 1310 8 2 10 1 1A a a a 1

2 0 1

0 2 0

1 0 2

A

e 2

2 0 1

0 2 0

1 0 2

A

.

Solución: 1

2 0 1

0 2 0

1 0 2

A

e 2

2 0 1

0 2 0

1 0 2

A

.

374. Sexa o sistema

2 3 1

3 2

2 2 6 3

x y z

x ky z

x k y z

.

374.1.Discute o sistema anterior segundo os valores do parámetro k .

374.2.Resólveo para 0k .

Solución:

374.1.

2 3 1

3 2

2 2 6 3

x y z

x ky z

x k y z

1 2 3

1 3

2 2 6

A k

k

,

1 2 3 1

' 1 3 2

2 2 6 3

A k

k

;

1 2 3

1 3 0,

2 2 6

A k k

k

;1 2

2 0 21

k kk .

— Se 2k 2 'ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible indetermi-

nado.

— Se 2k :

1 2 3 1

' 1 2 3 2

2 4 6 3

A

.


Prácticas

375. Discute e interpreta xeometricamente ou resolve cando sexa posible, segundo os diferentesvalores do parámetro m o sistema:

1

4 2 2 2

3 2 4

x y z

x y z m

x y mz

Solución:

1

4 2 2 2

3 2 4

x y z

x y z m

x y mz

1 1 1 1

' 4 2 2 2

3 2 4

A m

m

;

1 1 1

4 2 2 2 4

3 2

A m

m

;

0 2 4 0A m 2m .

• Se 2m ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible determinado.

Trátase de tres planos que se cortan nun punto.

2

1 1 1

2 2 2

4 2 2 6 41

4 2 4 2

m

m m mx m

m m

;

1 1 1

4 2 2

3 4

4 2

m

my

m

22 2 14

4 2

m m

m

2 7

2

m m

m

;

1 1 1

4 2 2

3 2 4 22 10 5 11

4 2 4 2 2

m

m mz

m m m

.

Solución: 1x m ,2 7

2

m my

m

,

5 11

2

mz

m

.

• 2m

1 1 1 1

' 4 2 2 4

3 2 2 4

A

:1 1

2 04 2

2ran A ;

1 1 1

4 2 4 2 0

3 2 4

' 3ran A sistema incompatible. Como 2ran A entón trátase de tres planos que

se cortan dous a dous.

376. Resolve o seguinte sistema de ecuacións cando sexa compatible determinado:

2

2 3 3

10 4 11

x y z

x y z

kx y z

.

Solución:

376.1.

2

2 3 3

10 4 11

x y z

x y z

kx y z

1 1 1

2 3 1

10 4

A

k

,

1 1 1 2

' 2 3 1 3

10 4 11

A

k

.

1 1 1

2 3 1 2 14

10 4

A k

k

; 0 2 14 0A k 7k .

— Se 7k , entón ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible determi-

nado.


Prácticas

— Se 7k :

1 1 1 2

' 2 3 1 3

7 10 4 11

A

;1 1

1 02 3

2ran A ;

1 1 2

2 3 3 0

7 10 11

' 2ran A .

2 'ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible indeterminado.

376.2. Resólvese o sistema para 7k , que é cando é compatible determinado.

2 1 1

3 3 2

11 10 4 00

2 14 2 14x

k k

;

1 2 1

2 3 1

11 4 7 1

2 14 2 14 2

k ky

k k

;

1 1 2

2 3 3

10 11 21 3 3

2 14 2 14 2

k kz

k k

.

Solución: 0x ,1

2y ,

3

2z .

377. Comproba que a matriz inversa de

1 1 2

0 2 1

1 1 1

A

é a matriz 1

1 3 51

1 1 14

2 2 2

A

.

Utiliza esa matriz para resolver o sistema

1

2

3

x

A y

z

.

Solución:

377.1. Unha matriz e a súa inversa cumpren que 1 1A A A A I .

1

1 1 2 1 3 5 4 0 0 1 0 01 1

0 2 1 1 1 1 0 4 0 0 1 04 4

1 1 1 2 2 2 0 0 4 0 0 1

A A I

.

1

1 3 5 1 1 2 4 0 0 1 0 01 1

1 1 1 0 2 1 0 4 0 0 1 04 4

2 2 2 1 1 1 0 0 4 0 0 1

A A I

.

Polo tanto as matrices citadas son inversas.

377.2. Resólvese matricialmente o sistema

1

2

3

x

A y

z

: 1

1

2

3

x

y A

z

1 3 5 1 21

1 1 1 2 14

2 2 2 3 0

x

y

z

2

1

0

x

y

z

.


Prácticas

378. Sexa a matriz

1 2 0

1 1

0 1 2

A k

378.1.Indica para que valores do parámetro k admite inversa a matriz A .

378.2.Calcula 1A en función de k .

Solución:

378.1. Unha matriz admite inversa cando o seu determinante é distinto de cero.

1 2 0

1 1 6

0 1 2

A k k ; 0 6 0 6A k k .

Se 6k tense que 0A existe a matriz inversa 1A .

378.2.

1 2 0

1 1

0 1 2

A k

1

ij

1 1 1 1

1 2 0 2 0 1

2 0 1 0 1 2

1 2 0 2 0 1

2 0 1 0 1 2

1 1 1 1

k k

k k

2 2 1

4 2 1

2 3

k

k k

2

ijA

2 2 1

4 2 1

2 3

k

k k

3

ij

tA

2 4 2

2 2

1 1 3

k k

k

4

A

2 4 21

2 26

1 1 3

k k

kk

.

1

2 4 21

2 26

1 1 3

k k

A kk

.

378.3.Para 0k o sistema é compatible indeterminado.

1 2 3 1

' 1 0 3 2

2 2 6 3

A

;1 2

2 01 0

eliminamos a terceira fila.

2 3 1

3 2

x y z

x z

1 2 3 1

1 0 3 2

4ª 3ªz

1 2 1 3

1 0 2 3

1ª

2ª 1ª

1 2 1 3

0 2 1

1ª 2ª

2ª

1 0 2 3

0 2 1

2 3

12

x

y

.

Solución: 2 3x ,1

2y , z .


Prácticas

379. Discute, segundo os valores do parámetro a , o sistema

1 2

1 0

x y z a

x a y z a

x y a z

.

Solución:

1 2

1 0

x y z a

x a y z a

x y a z

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A a

a

,

1 1 1

' 1 1 1 2

1 1 1 0

a

A a a

a

.

2

1 1 1

1 1 1

1 1 1

A a a

a

; 20 0 0A a a .

— Se 0a ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible determinado.

— Se 0a .

1 1 1 0

' 1 1 1 0

1 1 1 0

A

' 1ran A ran A nº de incógnitas o sistema é compatible inde-

terminado.

Como as tres filas son proporcionais 1ran A .

3 13 0

3 2 ' 2ran A .



380.1.Discúteo segundo os distintos valores de m .

380.2.Resólveo cando sexa compatible indeterminado.

1 3

1 3 2 1

2 2 4

m x y z

mx m y z m

x y m z

Solución:

380.1.

1 3

1 3 2 1

2 2 4

m x y z

mx m y z m

x y m z

1 1 1

1 3

1 2 2

m

A m m

m

,

1 1 1 3

' 1 3 2 1

1 2 2 4

m

A m m m

m

; 3 2

1 1 1

1 3 5 2 8

1 2 2

m

A m m m m m

m

.

3 20 5 2 8 0A m m m 4 2 1 0m m m 4m , 2m . 1m .

— Para 4m , 2m e 1m ' 3ran A ran A nº de incógnitas sistema

compatible determinado.


Prácticas

— Para 1m

2 1 1 3

' 1 2 3 3

1 2 3 4

A

;

2 15 0

1 2

2ran A .

2 1 3

1 2 3 5 0

1 2 4

' 3ran A .


— Para 2m

1 1 1 3

' 2 1 3 3

1 2 0 4

A

;

1 11 0

2 1 2ran A .

1 1 3

2 1 3 2 0

1 2 4


— Para 4m

3 1 1 3

' 4 3 3 7

1 2 2 4

A

.

3 15 0

4 3 2ran A .

3 1 3

4 3 7 0

1 2 4

' 2ran A .

2 'ran A ran A nº de incógnitas sistema compatible indeterminado.

380.2. Resólvese cando 4m , que é cando o sistema é compatible indeterminado.

3 3

4 3 3 7

2 2 4

x y z

x y z

x y z

; como3 1

5 04 3

suprimimos a terceira fila e pasamos a z a termo in-

dependente:3 3

4 3 3 7

x y z

x y z

3 1 1 3

4 3 3 7

4ª 3ªz

3 1 3

4 3 7 3

.

3 1

7 3 3 2

5 5x

,

3 3

4 7 3 9 5

5 5y

, z .

Solución:2

5x ,

9 5

5y

, z .


Prácticas


381.1.Resolve o sistema de ecuacións.

2 3 1

2 2

x y z

x y z

381.2.Busca dúas constantes e de maneira que ao engadir ao sistema adxunto unha terceira

ecuación 4x y z o sistema resultante sexa compatible indeterminado.

Solución:

381.1.2 3 1

2 2

x y z

x y z

1 2 3 1'

2 1 1 2A

,

1 23 0

2 1 4ª 3ª

z

1 2 1 3

2 1 2

.

1 3 2

2 1 3 5 3 5

3 3 3x

,

1 1 3

2 2 7 7

3 3 3y

, z .

Solución:3 5

3x

,

7

3y

, z

381.2.

2 3 1

2 2

5

x y z

x y z

x y z

1 2 3 1

' 2 1 1 2

5 1

A

.

Para que o sistema siga sendo compatible indeterminado debe cumprirse que

' 2ran A ran A , polo que os seguintes determinantes deben ser cero.

1 2 3

2 1 1 3 18 0 6

5 1

.

1 2 1

2 1 2 3 15 0 5

5 1

.

Solución: teñen que ser 6 e 5 .

382. Obtén a matriz X tal que 1A XA B , sendo3 1

2 1A

,

1 1

2 1B

.

Solución:1A XA B

1 1 1

I I

AA X AA ABA 1X ABA .

3 1

2 1A

; 13 1

1 02 1

A A

.3 1

2 1A

1

ij

1 2

1 3

2

ijA

1 2

1 3

3

ij

tA

1 1

2 3

4

A

1 1 1 11

2 3 2 31

1 1 1

2 3A

.

1X ABA 3 1 1 1 1 1 5 2 1 1 9 11

2 1 2 1 2 3 4 1 2 3 6 7X

.

Solución:9 11

6 7X

.

Cuestións, exercicios e problemas189

Prácticas

CUESTIÓNS, EXERCICIOS E PROBLEMAS

1. Dadas as matrices7 2

3 1A

e3 0

2 2B

, calcula:

1.1. 2 3A B 1.2.1

2A B 1.3. B A 1.4. A A B B

2. Dadas as matrices1 2 1

3 0 1A

e4 0 1

2 1 0B

comproba que:

2.1. t t tA B A B .

2.2. 4 4t tA A .


2 3A

e

1 2

0 1B

, comproba que t t tA B B A .


1 0A

.

5. Coas matrices1 2

1 0A

e

1 0

2 4B

e as súas inversas, 10 1

1 12 2

A

e

11 0

1 12 4

B

, comproba que:

5.1. 1 1 1A B A B

.

5.2. 1 1 1A B B A

.

6. Estuda a dependencia ou independencia lineal dos seguintes vectores: 1 1, 1,3,7u

,

2 2,5,0,4u

e di cál é o rango da matriz cuxas columnas son 1u

e 2u

.

7. Estuda a dependencia ou independencia lineal dos seguintes vectores: 1 1,0, 2,3,1v

,

2 2, 1,3,0,2v

3 4, 1, 1,6,4v

e di cal é o rango da matriz se as súas filas son 1v

, 2v

, 3v

.

8. Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI:

1 1 1 2

2 3 5 11

1 1 6 29

A

.

9. Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI:

2 1 3

4 2 1

6 3 2

A

.

10.Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI:

1 8 21 18

15 15 13 18

4 17 2 19

18 9 8 8

A

.


Prácticas

11.Estuda o rango da seguinte matriz, e di o número de columnas que son LI:

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

A

.


1 4 8

2 1 4

3 2 7

A

.


4 6 7

7 5 7

9 4 6

A

.


5 3 3

7 3 3

8 5 6

A

.


1 1 0

5 6 9

7 6 8

A

.


6 5 7

2 9 8

3 7 7

A

.

17.Cal é a matriz inversa da matriz unidade?


4 7 2 3

7 8 6 6

5 6 1 5

4 6 4 3

A

.

19.Calcula nB sendo1 0

0 3B

.


6 7 6 9

8 3 1 4

1 6 3 9

2 0 4 3

A

.

21.Dada a matriz

4 5 1

3 4 1

3 4 0

A

, calcula 2A , 3A , …, 128A .

22.Comproba que 2 2A A I , sendo I a matriz de unidade de orde 3 e coa seguinte matriz

5 4 2

2 1 1

4 4 1

A

. Utiliza esa igualdade para calcular 4A .

23.Dada a matriz

0 2 1

0 0 1

0 0 0

A

, proba que 3A é a matriz nula.

Demostra despois que 2I A A é a matriz inversa de I A .


Prácticas

24.Dada a matriz

3 0 8

3 1 6

2 0 5

A

, comproba que 2

0A I e expresa 2A como combina-

ción lineal de A e I.

25.Calcula nA sendo

1 17 7

1

0 1 0

0 0 1

A

.

26.Dada a matriz

5 0 2

0 0 1

3 1 0

A

.

26.1.Comproba que a inversa de A é 1

1 2 05 5

3 6 15 5

0 1 0

A

.

26.2.Calcula a matriz X que verifica XA B , sendo A a matriz anterior e 1 2 3B .

27.Estuda a dependencia lineal do seguinte conxunto de vectores segundo os valores do paráme-

tro t : 1 2, 2,0,0,v

, 2 1,5,3,3,v

, 3 1,1, ,1v t

, 4 2,6,4,4v

28.Estuda o rango da seguinte matriz segundo o valor do parámetro k :

1 1 1

1 1 2

2 1

M

k

.


2 1 4

2 1 3

1 2

M

k

.


1 3 2 1

2 6 4

4 12 8 4

M k

.


1 1 0 2

1 3 1 0

2 10 3

M

k

.

32.Calcula o valor de k para que o rango da matriz A sexa 2.

5 5 6

5 3 1

0 7

A

k

33.Calcula X e Y sabendo que2 0

5 34 15

X Y

e1 1

3 22 9

X Y

.

34.Dada a matriz2 1

2 3A

, calcula dous números reais m e n tales que 0A mA nI .

35.Determina, se é posible, un valor k para que a matriz 2

A kI sexa a matriz nula, sendo:

0 1 2

1 0 2

1 1 3

A

.


Prácticas

36.Unha compañía de mobles fabrica butacas, randeeiras e cadeiras, e cada unha delas de tresmodelos: E (económico), M (medio) e L (luxo). Cada mes produce 20 modelos E, 15 M e 10 L debutacas; 12 modelos E, 8 M e 5 L de randeeiras e 18 modelos E, 20 M e 12 L de cadeiras. Repre-senta esta información nunha matriz e calcula a produción dun ano.

37.Nun edificio hai tres tipos de vivendas: L3, L4 e L5. As vivendas L3 teñen 4 fiestras peque-nas e 3 grandes; as L4 teñen 5 fiestras pequenas e 4 grandes, e as L5, 6 pequenas e 5 grandes. Cadafiestra pequena ten 2 cristais e 4 bisagras, e as grandes, 4 cristais e 6 bisagras.

37.1.Escribe unha matriz que describa o número e tamaño de ventás de cada vivenda e outra queexprese o número de cristais e bisagras de cada tipo de fiestra.

37.2.Calcula a matriz que expresa o número de cristais e de bisagras de cada tipo de vivenda.

38.Un industrial fabrica dous tipos de lámpadas: transparentes (T) e opacas (O). De cada tipo

fanse catro modelos: 1M , 2M , 3M e 4M .

1

2

3

4

300 200

400 250

250 180

500 300

T O

M

M

M

M

Esta táboa amosa a produción semanal de lámpadas de cada tipo e modelo.

A porcentaxe de lámpadas defectuosas é o 2% no modelo 1M , o 5% no 2M , o 8% no 3M e o 10%

no 4M . Calcula a matriz que expresa o número de lámpadas transparentes e opacas, boas e defec-

tuosas, que se producen.

39.Calcula todas as matrices X da forma

1 0

0 1

0 0

a

b

c

tales que 2

1 0 1

0 1 0

0 0 1

X

.

40.Xustifica por qué non é certa a igualdade: 2 2A B A B A B cando A e B son dúas

matrices calquera.

41.Dada a matriz

0 3 4

1 4 5

1 3 4

A

proba que se verifica que 3 0A I e utiliza esta igualda-

de para obter 10A .

42. Sexa A unha matriz de dimensión 2 3 :

42.1.Existe unha matriz B tal que A B sexa unha matriz dunha soa fila?

42.2.E para B A ?

Pon un exemplo para cada caso, sendo:1 0 0

2 1 0A

.

43.Sexan A e B dúas matrices cadradas de igual tamaño. Se A e B son simétricas, ¿éo taméno seu produto A B ? Se a resposta é afirmativa, xustifícaa, e se é negativa, pon un contraexemplo.

44.Sexan ,ij m n

A a , ,ij n p

B b , ,ij q r

C c . Que condicións deben cumprir p , q e r para

que se poidan efectuar as seguintes operacións?

44.1. A C B .

44.2. A B C .

45.A traza dunha matriz cadrada A de orde 2 é 11 22tr A a a . Proba que se A e B son dúas

matrices cadradas de orde 2, daquela tr A B tr B A .

46.Sexa A unha matriz de dúas filas e dúas columnas o rango das cales é 2. Pode variar o seurango se lle engadimos unha fila ou unha columna?


Prácticas

47.Unha matriz de 3 filas e 3 columnas ten rango 3.

47.1.Como pode variar o rango se quitamos unha columna?

47.2.Se suprimimos unha fila e unha columna, ¿podemos asegurar que o rango da matriz resultan-te será 2?

48.Demostra que se unha matriz verifica 2 0A (0 é a matriz nula), daquela A non pode ter in-versa.

49.É posible engadir unha fila á matriz seguinte, de forma que a nova matriz teña rango 4?

1 2 0 3

0 1 1 2

2 7 3 0

A

.

Razoa a resposta.

50.Estuda o rango da matriz, segundo os valores de a :

1 2 1

2 4

2 1

M a

a

.

51.Estuda o rango da matriz, segundo os valores de a :

1 0

0 1 3

1 1

a

A

a

.

52.Sexan A e B dúas matrices cadradas da mesma orde. Da igualdade A B A C non se pode

deducir, en xeral, que B C .

52.1.Proba esta afirmación buscando dúas matrices B e C distintas tales que A B A C , sendo

1 1

1 1A

.

52.2.Que condición debe cumprir a matriz A para que de A B A C se poida deducir queB C ?

53.Dicimos que unha matriz cadrada é máxica de suma k cando a suma dos elementos de cada

fila, así como os de cada columna e os das dúas diagonais é, en todos os casos, igual a k . Canto

vale k se unha matriz máxica é antisimétrica? Calcula todas as matrices máxicas antisimétricas deorde 3.

54.Obtén todas as matrices máxicas simétricas de orde 3 para 0k .

55.Sabemos que unha matriz A é simétrica se tA A . Unha matriz chámase antisimétrica setA A . (Tanto as matrices simétricas coma as antisimétricas son, obviamente, cadradas). De-

mostra que nunha matriz antisimétrica todos os elementos da diagonal principal son ceros.

56.Obtén todas as matrices máxicas simétricas de orde 3 para 3k .

57.Das seguintes operacións con determinantes de orde 2 2 , sinala as que son correctas e, deser o caso, enuncia as propiedades que se utilizan:

57.1. 0a a

b b 57.2.

2 2 1 14

2 6 1 3 57.3.

2 2 1 12

2 6 1 3 57.4.

2 2 2 22

2 6 1 3

58.Se 5m n


p m

q n.

59.Se 5m n


1 nm

mp mq.

60.Se 5m n


5

5

m m

p p.


Prácticas

61.Substitúe os puntos suspensivos polos números axeitados para que se verifique a igualdade

3 7 2 7 7

5 3 3 3 3

.

62.Substitúe os puntos suspensivos polos números axeitados para que se verifique a igualdade

4 3 6 1

2 0 2 0 2 0

.

63.Calcula o valor do determinante

3 4 6

2 1 1

5 3 5

.

64.Resolve a ecuación sen cos

01 1

x x .


1 8 1

1 7 0

1 6 1

.


7 8 0

0 7 3

1 0 1

.


0 3 1

2 0 2

3 4 0

.


0 4 1

1 2 1

3 0 1

.


1 0 1

2 1 1

1 1 0

.

70.Calcula o valor de a que anula o determinante

1 1 1

0 6 3

1 2 0

a

a

a

.

71.Calcula o valor de a que anula o determinante2

2 1 1

0 2 2

2 3 a

.


5 5 7 7

4 3 4 0

2 3 3 9

0 2 5 9

.


8 2 8 5

4 6 0 4

4 2 9 9

6 7 2 7

.


Prácticas

74.Calcula o valor de a que anula o determinante

1 1 1

1 2

1 2

a

a

a

.


3 5 1

6 10 2

1 0 1

4 5 0

A

.


1 0 1 2

2 3 2 2

2 4 2 1

3 1 5 3

.


1 1 2 0

2 1 3 1

3 1 4 3

2 1 7 0

.


1 2 3 4

2 1 2 1

1 2 4 5

3 4 1 2

.


1 3 2 1

2 2 1 3

0 5 10 4

7 8 9 2

.

80.Xustifica, sen desenvolver, que o seguinte determinante é nulo

8 25 40

2 3 25

0 27 0

.

81.Xustifica, sen desenvolver, que o seguinte determinante é nulo

5 5 5

a b c

b c a c a b

.

82.Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro

2 1 0

1 1 2

3 1

A

a

.

83. Para que valores de a se anula este determinante?

1 1 1 2

1 2 3 8

1 1 1

1 1 1 2

Aa

. Calcula o rango da matriz A nos seguintes casos: 1a , 0a , 2a

84.Proba se desenvolver que

5 2 1

4 7 6

6 3 9

A é múltiplo de 5.


Prácticas

85.Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro

1 1 1 2

1 2 3 8

1 1 1

1 1 1 2

Aa

.

86.Para que valores de x se anula o determinante 0

a b c

a x c

a b x

.

87.Estuda o rango da matriz segundo o valor do parámetro1 1

1 2 1

aA

a a

.

88.Para que valores de x se anula o determinante

1 1 0

1 10

1 1 1

1 1 0

x

x x

x

x

.

89.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz

2 2

2 0

1

t

A t

t t

.


3 4 0

0 1 1

4 4 1

t

A t

t

.


1 1 1 0

2 1 1 0

6 3 9

A

t t t

.


0

2 1 1

2 1 0 3

t t

A t t

t t

.


3 3 2

2 0 1

1 3 2

2 0

t t

At

t t

.

94.Proba, sen desenvolvelo, que

1 2

3 4 0

5 6

x x x

x x x

x x x

.

95.Determina, segundo os valores de t , o rango da matriz 2

1 1 2

2 1

2 1 1 2

t

A t t

.

96.Calcula, en función de a , o valor do determinante2

3 2

4 3 2

a a a a

a a aA

a a

a

.


Prácticas

97.Calcula o valor deste determinante dando o resultado factorizado

3

3

3

3

x x x

x x x

x x x

x x x

.

98.Proba, sen desenvolvelo, que

1 2 3 4

1 2 3 40

5 6 7 8

a a a a

a a a a

.

99.Sabendo que

1 1 1

5a b c

x y z


1 1 1

7 7 7

2 2 2

a b c

yx z

.

100. Calcula, en función de a , o valor do determinante

1

1

1

1

a a a a

a a a aA

a a a a

a a a a

.

101. Considera a matriz 2 3

3 0 4

a b c

A a b c

a c

, onde a, b e c son non nulos.

101.1.Determina o número de columnas de A que son linealmente independentes.

101.2.Calcula o rango de A.

102. As matrices A e B teñen 3 filas e 12 columnas pero, no proceso de edición, algunhas des-tas borráronse.

1 1 1

3 1 0

7 5 2

A

2 1 3

3 0 1

5 4 0

B

.

102.1.Pode averiguarse algo sobre os posibles valores do seu rango?

102.2.Chamándolle C á matriz que ten como columnas as 24 que forman as dúas matrices A eB , ¿cal será o rango de C ?

103. Estuda o rango da seguinte matriz para os distintos valores de a , b e c :

5 5 5

M a b c

b c a c a b

104. Estuda o rango da matriz

cos sen 0

sen cos 0

0 0 1

A

.

105. Cal é o valor do determinante da matriz unidade de orde n ? E o dunha matriz triangular deorde n ? Xustifica as túas respostas.


1 1 0 0 1

1 0 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 0 1 1

1 1 1 1 1

.


Prácticas

107. Comproba que o determinante dunha matriz de orde 3 é igual ao da súa transposta.

108. Saberías dicir cal destes dous produtos pode formar parte do desenvolvemento dun deter-minante de orde 4?

108.1. 12 23 31 42a a a a .

108.2. 14 41 23 32a a a a .

109. Comproba que det det detA B A B , sendo A e B dúas matrices diagonais de orde 3.

110. Xustifica que

1 1det

detA

A .

111. Sexa A é unha matriz cadrada calquera de orde 4.

Pode coñecerse o valor de 21 11 22 12 23 13 24 14a A a A a A a A sen coñecer os elementos da matriz?

112. Dadas as matrices A e B de orde 4 4 con 3A e 2B , calcula 1A , tB A e

1 t

AB . Xustifica as túas respostas.

113. Sexa unha matriz cadrada A tal que 1A , e que o 2 8A . Cal é a orde da matriz

A ? Razoa a túa resposta.

114. Escribe dúas matrices A e B 2 2M tales que:

114.1. det det detA B A B .

114.2. det det detA B A B .

115. Sexa A unha matriz cadrada tal que 2A A . Demostra que det 0A ou det 1A .

116. Se A e B son dúas matrices cadradas da mesma orde, ¿verifícase que A B B A ?

Xustifica a túa resposta.

117. Demostra, sen desenvolver o determinante, que

2 2

32 2

1 1 1

a ab b

a a b b a b .

118. Se a matriza b c

Am n p

ten rango 2, indica que rango terá a matriz de orde seguinte

a b c

B m n p

m a n b p c

.

119. Se lles chamamos 1c , 2c , 3c aos vectores columna dunha matriz A , o determinante pode

designarse así: 1 2 3det det , ,A c c c . Se det 5A , ¿cal será o valor destes determinantes?

119.1. 1 2 2 3det 3 , ,c c c c .

119.2. 1 2 3det , , 2c c c .

119.3. 1 1 2 3det , ,c c c c .


Prácticas

120. Sexa unha matriz.

120.1.Define a qué se lle chama rango dunha matriz.

120.2.Indica, razoando a túa resposta, cáles das seguintes afirmacións son certas:

120.2.1. ran A ran A ( A é a matriz oposta de A).

120.2.2. tran A ran A ( tA é a matriz transposta de A).

120.2.3. ran A B ran A ran B .

120.2.4. 22ran A ran A .

120.2.5. 1ran A ran A se A ten inversa ( 1A é a matriz inversa de A).

121. Determina as matrices cadradas de orde 2 que teñan como elementos números enteiros, condeterminante igual a 1 , e tal que a súa inversa coincida coa súa transposta.

Fai tA A I e 1A .

122. Na seguinte demostración de que A B A B feita para determinantes de orde 2.

11 12 11 12

21 22 21 22

a a b bA B

a a b b

11 11 12 21 11 12 12 22

21 11 22 21 21 12 22 22

a b a b a b a b

a b a b a b a b

11 11 11 12 11 11 12 22 12 21 11 12 12 21 12 22

21 11 21 12 21 11 22 22 22 21 21 12 22 21 22 22

1 2 3 4

a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b a b a b

122.1.Comproba que os determinantes 1 e 4 son ambos cero.

122.2.En 2 e en 3 saca factor común aos elementos ijb . Chegarás a A B , como se quería

demostrar.

123. A sucesión 1 1a , 2 2a , 3 3a , 4 5a , 5 8a , … ten a peculiaridade de que cada ter-

mo, a partir do terceiro, se obtén sumando os dous anteriores: 2 1n n na a a , para 3n .

123.1.Demostra polo método de indución que:

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

0 1 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1

na

Comproba que 1 1a e que 2 2a . Comproba que 1 2n n na a a , desenvolvendo o determi-

nante pola 1ª columna.

123.2.Tendo en conta o anterior, di o valor do seguinte determinante:

1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 0 0

0 0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1 1 0

0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1


Prácticas

124. Busca, se existe, a solución do seguinte sistema e interprétao graficamente

3 2

1

5 4

2 2 1

x y

x y

x y

x y

.

125. Busca, se existe, a solución do seguinte sistema e interprétao graficamente

2 1

2 3

5 8

x y

x y

x y

.

126. Comproba que este sistema é incompatible e razoa cál é a posición relativa das tres rectasque representa:

2 5

3 1

2 4 0

x y

x y

x y

.


2 0

2 1

3 3 02

x y

x y

x y

.

128. Resolve o sistema recoñecéndoo previamente como graduado2 7

11 69

x y

y

.

129. Resolve o sistema recoñecéndoo previamente como graduado

1

9 2

3 3

y z

z

x y z

.


2

4

1

x y t

y z

y t z

.


2 3 0

3 0

2 1

x y z

x y

y

.


3 2 1

5 3 3 3

0

x y z

x y z

x y z

.

133. Transforma en graduado e resolve o sistema2 7

5 3 17

x y

x y

.


3 4 3

6 6 2 16

2 6

x y z

x y z

x y z

.

135. Razoa se este sistema ten solución e interprétao xeometricamente2 3

2 4 2 1

x y z

x y z

.

136. Resolve, se é posible, o sistema2 3

2 1

x y z

x y z

.

137. Razoa se este sistema ten solución e interprétao xeometricamente

3 6 3

2 2 4 23

x y z

x y z

.


Prácticas


2 9

10

2 5

x y z

x y z

x y z

.


2 1

2 4 2 3

2

x y z

x y z

x y z

.

140. Clasifica o sistema en compatible ou incompatible

3

3

0

x y z

x y z

z

.


1

0

1

2

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

.


2 11

3

13

10

x z

x y

y z

x y z

.

143. Clasifica o sistema en compatible ou incompatible

3

2 2

1

x y z

x y z

x y z

.


2 3 0

4 2 0

6 3 2 0

x y z

x y z

x y z

.

145. Transforma en graduado e resolve o sistema

1

2 2

3 3

y z

x y z

x y z

.


2

2 3 5 11

5 6 29

x y z

x y z

x y z

.


2 3 0

2 0

4 0

x y z

x y z

x y z

.


3 2

4 2 5

2 4 7 1

x y z

x y z

x y z

.


2 1

1

3 4 2 3

x y z

mx y z

x y z

.


3 14 0

2 2 3 0

3 3 5 6 0

x y z t

x y z t

x y z t

.


Prácticas

151. Discute mediante Gauss o sistema 2 1

2 0

x y z k

x y z

x y kz

.


3 2 1

5 3 3 2

1

x y az

x y z

x y z

.

153. Discute mediante determinantes o sistema

2

2 3 2 8

4

x y z

x y z

x y az b

.

154. Discute mediante Gauss, e resolve cando sexa posible, o sistema

2 4

22

2

x y

yx

x ky

.

155. Discute en función de a , e resolve para o caso 1a , o sistema

2

2 1

x ay z a

x y az a

ax y z a

.


3 1

5 3 3

1

3 7 5 5

x y z

x y z

x y z

x y z

.

157. Discute o sistema e interprétao xeometricamente

1

2 3 5 16

0

x y

x y z

x y z

.

158. Resolve para os valores de m que o fan compatible

2 2

2 3 1

3 3

2 5

x y z

x y z

x z

x y z m

.


0

3 2 5

2 3

x y z

x y az

x y z

.

160. Resolve, usando Gauss, para os valores de m que o fan compatible

2 3

2 1

4 3

x y

x y

x y m

.

161. Considera o sistema de ecuacións

2 2 4

2 2 1

1

x y z

x y z

x z

.

161.1.Existe unha solución na que y sexa igual a 0?

161.2.Resolve o sistema.161.3.Interprétao xeometricamente.

162. Para que valores de a e b será compatible o sistemax y z a

x y z b

? Será determinado?


Prácticas

163. Se o rango da matriz dun sistema de tres ecuacións con tres incógnitas é dous e o da matrizampliada tres, ¿que interpretacións xeométricas lle podemos dar a ese sistema? Pon un exemplodun sistema desas características e a súa interpretación xeométrica.

164. Calcula un número de tres cifras sabendo que estas suman 9; que, se ao número dado se lleresta o que resulta de inverter a orde adas súas cifras, a diferenza é 198, e que a cifra das decenas éa media aritmética das outras dúas.

165. Considérase o sistema de ecuacións lineais

2 3 1

3 2

2 2 6 3

x y z

x ay z

x y z

.

165.1.Atopa un valor de a para o cal o sistema sexa incompatible.165.2.Discute se existe algún valor do parámetro a para o cal o sistema sexa compatible determi-nado.165.3.Resolve o sistema para 0a .

166. Proba que, se nun sistema de ecuacións S lle sumamos a unha ecuación outra multiplicadapor un número, o sistema resultante, 'S , é equivalente ao primeiro.

167. Dous amigos invisten 20000 € cada un. O primeiro coloca unha cantidade A ao 4% de in-terese, unha cantidade B ao 5% e o resto ao 6%. O outro inviste a mesma cantidade A ao 5%, aB ao 6% e o resto ao 4%.Determina as cantidades A , B e C sabendo que o primeiro obtén uns intereses de 1050 € e o se-gundo de 950 €.

168. Unha tenda vendeu 600 exemplares dun videoxogo por un total de 6384 €. O prezo orixinalera de 12 €, pero tamén vendeu copias defectuosas con descontos do 30% e do 40%. Sabendo queo número de copias defectuosas vendidas foi a medade do de copias en bo estado, calcula a cántascopias se lle aplicou o 30% de desconto.

169. Un caixeiro automático contén 95 billetes de 10, 20 e 50 € e un total de 2000 €. Se o núme-ro de billetes de 10 € é o dobre có número de billetes de 20 €, descubre cántos billetes hai de cadatipo.

170. Disponse de tres caixas A, B e C con moedas de 1 euro. Sábese que en total hai 36 euros. Onúmero de moedas de A excede en 2 á suma das moedas das outras dúas caixas. Se se traslada 1moeda da caixa B á caixa A, esta terá o dobre de moedas ca B. Investiga cántas moedas había encada caixa.

171. Un especulador adquire 3 obxectos de arte por un prezo total de 2 millóns de euros. Ven-déndoos, espera obter deles unhas ganancias do 20%, do 50% e do 25%, respectivamente, co que oseu beneficio total sería de 600000 €. Pero consegue máis, pois coa venda obtén ganancias do80%, do 90% e do 85%, respectivamente, o que lle dá un beneficio total de 1.7 millóns de euros.Canto lle custou cada obxecto?

172. Unha empresa dispón de 27200 € para actividades de formación dos seus cen empregados.Despois de estudar as necesidades dos empregados, decidiuse organizar tres cursos: A, B e C. Asubvención por persoa para o curso A é de 400 €, para o curso B é de 160 €, e de 200 € para o C.Se a cantidade que se dedica ao curso A é cinco veces maior cá correspondente ao B, ¿cantos em-pregados seguen cada curso?

173. Se temos un sistema compatible indeterminado de 2 ecuacións lineais con 2 incógnitas,¿pódese conseguir un sistema incompatible engadindo unha terceira ecuación?

174. Se a un sistema de 2 ecuacións con 2 incógnitas incompatible lle agregamos outra ecua-ción, ¿poderiamos lograr que fose compatible indeterminado? E determinado? Xustifica as túasrespostas.

175. Un automóbil sobe as costas a 54 km/h, báixaas a 90 km/h e en terreo chan marcha a 80km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas e 30 minutos, e para volver de B a A, 2 horas e 45 minutos.Cal é a lonxitude de camiño chan entre A e B se sabemos que a distancia entre A e B é de 192 km?


Prácticas

176. Tres amigos acordan xogar tres partidas de dados de forma que, cando un perda, entregara-lle a cada un dos outros dous unha cantidade igual á que cada un posúa nese momento. Cada unperdeu unha partida, e ao final cada un tiña 24 €. Canto tiña cada xogador ao comezo?

177. Un fabricante produce 42 electrodomésticos. A fábrica abastece 3 tendas, que demandantoda a produción. Nunha certa semana, a primeira tenda solicitou tantas unidades coma a segundae terceira xuntas, mentres que a segunda pediu un 20% máis cá suma da metade do pedido polaprimeira máis a terceira parte do pedido pola terceira. Que cantidade solicitou cada unha?

178. É posible converter este sistema en compatible indeterminado cambiando un signo?

1

1

1

x y z

x y z

x y z

.

179. A idade dun pai é o dobre da suma das idades dos seus dous fillos, mentres que hai unsanos (exactamente a diferenza das idades actuais dos fillos) a idade do pai era o triplo cá suma dasidades naquel tempo dos seus fillos. Cando pasen tantos anos coma a suma das idades actuais dosfillos, entre os tres sumarán 150 anos. Que idade tiña o pai cando naceron os seus fillos?

180. Dadas as ecuacións:3 2 5

2 3 4

x y z

x y z

.

180.1.Engade unha ecuación para que o sistema sexa incompatible.180.2.Engade unha ecuación para que o sistema sexa compatible determinado.Xustifica en cada caso o procedemento seguido.

181. Sexan S e 'S dous sistemas equivalentes con solución única que teñen iguais os termos in-dependentes. Podemos asegurar que teñen iguais os coeficientes das incógnitas?

182. Define cándo dous sistemas de ecuacións lineais son equivalentes. Xustifica se son equiva-lentes ou non os seguintes sistemas:

2

4

x y z

x y z

e

2

1

1

x

y

z

.

183. Atopa razoadamente dous valores do parámetro a para os cales o seguinte sistema sexa in-compatible:

2 0

2 1

3 2

2 3

x y z

ax y z

x z

x az

.

184. Discute e resolve no caso de ser compatible indeterminado

1

2

1

x y z a

x y az a

x ay z

.

185. Discute e resolve no caso de ser compatible indeterminado

0

2 2

1

ax y z

x ay

x z

.

186. Resolve o sistema de ecuacións adxunto.

17

16

15

14

14

x y z t

x y z w

x y t w

x z t w

y z t w


Prácticas

187. Dinnos que x , y , z , t , w son números enteiros e

que k vale 36 ou 38.

Decide razoadamente cal dos dous é o seu valor e resolve osistema de ecuacións adxunto.

35

36

38

39

x y z t

x y z w

x y t w

x z t w

y z t w k

188. Unha brigada de 5 obreiros comprométese a podar as 222 árbores dunha plantación. Traba-llan de luns a sábado. Cada día, catro deles podan e o quinto aténdeos (repón ferramentas, dállesauga, recolle os troncos que caen, …). Cada obreiro poda o mesmo número de árbores cada día, édicir, se Alberte poda 8 árbores un día, podará 8 árbores cada día que interveña. Os resultados son:— Luns: 35 árbores podadas.— Martes: 36 árbores podadas.— Mércores: 36 árbores podadas.— Xoves: 38 árbores podadas.— Venres: 38 árbores podadas.— Sábado: 39 árbores podadas.Calcula cántas árbores diarias poda cada un dos cinco obreiros sabendo que ningún deles poda osseis días.

189. Escribe na forma habitual o sistema1 3 2 4

1 1 1 0

x

y

z

.

190. Escribe na forma habitual o sistema

1 1 4

3 1 0

2 1 1

x

y

.


3 1

1

2 3 5

x y z

x y z

x y z

.

192. Resolve empregando a regra de Cramer

1

1

1

x y z

x y z

x y z

.


3 2

2 0

3 2 1

x y

x y z

y z

.


2 2

2 3 1

3

x y z

x y z

x y z

.


3 0

0

1

x y z

x y z

y z

.


1

2

0

x y z t

x y t

z t

.

197. Calcula usando determinantes a inversa da matriz

1 2 1

0 1 0

2 0 3

A

.


Prácticas

198. Calcula a matriz inversa para aqueles valores de a que o permitan2 0

0

a

a

.

199. Resolve, empregando determinantes, o sistema

9 3 2 0

3 0

8 4 0

2 2 0

x y z

x y z

x y z

x y z

.


2 2

2 2

2 2

x y z

x y z

x y z

.

201. Determina se a seguinte ecuación ten solución e calcúlaa se é posible

1 1 2 2 1 0

3 0 1 0 1 2

1 2 3 3 0 1

X

.


5

6

7

2 11

x y

x z

y z

x y z

.

203. Resolve, empregando determinantes, o sistema

0

12 3 2 0

2 0

x y z

x y z

x y z

.

Solución:

204. Calcula a matriz inversa para aqueles valores de a que o permitan3

1

a

a

.

205. Determina se a seguinte ecuación ten solución e calcúlaa se é posible

1 0 4 1 0 0

0 1 4 0 1 0

1 3 1 0 0 1

X

.

206. Discute, segundo os valores do parámetro m , o sistema

4

2

mx y z

x y z m

x y mz

.

207. Discute, segundo os valores do parámetro m , o sistema:

1

2

1

x y z m

x y mz m

x my z

.

208. Discute, segundo os valores do parámetro m , o sistema:

2 3 0

0

2 3 4 2

x y z

x my z

x y z

.

209. Discute segundo os valores do parámetro m

4

3 5

4

x my z

x y z

mx y z

.


Prácticas


2

1 1

1

1

m x y z

x m y z m

x y mz z m

.


2 3

3 1

2 2

5

x z

x y z

y z

x y mz

.

212. Discute segundo os valores do parámetro o sistema

0

2 0

2 0

x y z

ax z

x y az

.


2 0

2 3 0

3 4 0

x y z

x y z

x y az

.


0

2 0

3 10 4 0

ax y z

x y z

x y z

.


3 3 0

4 2 0

3 4 6 0

x y z

x y az

x y z

.


1 3

2 4

2 2

m x y z

x y mz

x my z

.


2 4

6 3 0

1 2 3

x y x m

m y z

m x y

.

218. Indica, se existe, o valor de a para o cal ten infinitas solucións o sistema

3 2 3 2

2 5 4

2 2

x y z

x ay z

x y z

.

219. Indica, se existe, o valor de a para o cal ten infinitas solucións o sistema

1

2

1

x y z a

x y az a

x ay z

.

220. Discute e resolve segundo os valores de m o sistema2 2

1

mx y m

x my m

.

221. Resolve a ecuación AXB C sendo3 2

4 3A

,2 3

1 2B

,1 1

1 1C

.

222. Dadas as matrices2 0 1

0 1 5A

,

3 1

0 1

1 2

B

,1 2

3 4C

e9 3

8 17D

, calcu-

la a matriz X que verifica AB CX D .


Prácticas

223. Expresa en forma matricial e resolve utilizando a matriz inversa

3

2 2

2 3 1

x y z

x y z

x y z

.

224. Calcula X tal que 3AX B , sendo

1 0 2

0 1 1

1 0 1

A

,

1 0 2

1 0 1

1 1 1

B

.

225. Resolve a ecuación:

2 0 5 3 4

1 1 2 1 1

1 1 1 2 1

x

y

z

AX B C .

226. Discute e resolve, segundo os diferentes valores do parámetro a ,

7 20 1

8 23 1

1

ax y z

ax y z

x az

.

227. Discute e resolve, segundo os diferentes valores do parámetro a ,

1

2

2 0

x y z

ax

ay z

.

228. Discute o seguinte sistema de ecuacións segundo os valores do parámetro a e resólveo pa-

ra o caso 2a :

2 6 0

2 4 2

2 6 2

ax y z

x ay z

x ay z a

.

229. Obtén os valores de para os cales admite infinitas solucións o sistema

2 3

2 5

2 3 4

x y z

x y z

x y z

.

230. Busca os valores de para os cales admite infinitas solucións o sistema1

2 1

x y

x y

.

231. Discute en función de , e resolve para 1 e para 2 o sistema

2

2 2

2

x y z

x y z

y z

.

232. Calcula, en función de a, o rango da matriz

1 0 1

0 3

4 1

A a

a

e calcula, se existe, a matriz

inversa 1A nos casos 1a e 1a .

233. Considera a matriz

1 0 0

0 1 0

0

A

a b

.

233.1.Cando o determinante de A é o seno do ángulo representado por algún número real?

233.2.Calcula 1A cando exista.

233.3.Determina todos os pares ,a b para os que A coincide coa súa inversa.


Prácticas

234. Calcula os valores de t para os cales as matrices

1 0 4

0 4

1 3

A t

t

e

1 0

1 1 0

0 1

t

B

t

non

son regulares e calcula:

234.1. 1A se 1t .

234.2. 1B se 2t .


1 1 1A

e

1 3

0

0 2

B

onde é calquera número real:

235.1.Encontra os valores de para os que AB é regular.

235.2.Determina os valores de para os que BA é regular.

235.3.Dados a e b , números reais calquera, ¿pode ser o seguinte sistema compatible determinado

xa

A yb

z

?

236. No suposto que exista, calcula unha matriz X tal que AX B dadas as seguintes matrices

2 0 1

1 3 0

5 1 3

A

,

1 1

2 1

0 3

B

.

237. No suposto que exista, calcula unha matriz X tal queAX B dadas as matrices adxuntas.

1 1

2 1

0 3

A

,

2 0 1

1 3 0

5 1 3

B

238. O rango da matriz de coeficientes dun sistema homoxéneo de catro ecuacións e tres incóg-nitas é igual a 3. Que se pode dicir da súa solución? Razoa a túa resposta.

239. Nun sistema de igual número de ecuacións que de incógnitas, o determinante da matriz decoeficientes é igual a 0. Responde razoadamente ás seguintes preguntas:

239.1.Pode ser compatible?

239.2.Pode ter solución única?

239.3.Pode aplicarse a regra de Cramer?

240. Dado o sistema

:

3

x y z

S x z

x z

,

240.1.Demostra que é compatible determinado para calquera valor de e .

240.2.Resólveo para 1 .

241. Que condición debe cumprir unha matriz cadrada para ter inversa?

242. Sexan A e B inversas unha doutra. Se 4A , ¿canto vale B ?

243. O rango da matriz de coeficientes dun sistema de tres ecuacións con tres incógnitas é iguala 1. Que rango, como máximo, pode ter a matriz ampliada?

244. Existe algún valor de a para o cal a matriz2 2

1

a a

a

non teña inversa?


Prácticas

245. Dadas estas ecuacións:3 2 5

2 3 4

x y z

x y z

.

245.1.Engade unha ecuación para que o sistema sexa incompatible.

245.2.Engade unha ecuación para que o sistema sexa compatible determinado.

Xustifica en cada caso o procedemento seguido para engadir a ecuación.

246. Representa matricialmente os sistemas3 1

:11 4 0

x yS

x y

e

3 0' :

11 4 1

x yS

x y

.

Resólveos e indaga se existe algunha relación entre as solucións obtidas e a inversa da matriz

3 1

11 4

. Xustifica a relación obtida.

247. Demostra que non hai valores de m para os que o seguinte sistema non teña solución:

2 3

3 2 5

3 7

x y z

x y z

x my z

.

248. Se dous sistemas de catro ecuacións lineais con catro incógnitas, AX B e 'AX B teñenunha mesma matriz de coeficientes A, ¿pode ser incompatible un dos dous sistemas mentres que ooutro é compatible e determinado?

249. Pode ocorrer que un sistema de ecuacións lineal homoxéneo non teña solución? Pode oco-rrer que teña infinitas solucións? Razoa as respostas.

250. Determina unha matriz A para que o sistema homoxéneo 0AX sexa equivalente áecuación matricial:

1 2

2 1 0,0

1 2

x y z

.

251. Para qué valor de a é compatible determinado o sistema

2 1

3 1

2

x y

y z a

x z

y z

?

Pode ser compatible indeterminado?

252. Estuda e resolve cando sexa posible o sistema

1

1

2 2

0

ax z t

ay z t

ay z t

az t

.

253. Discute o sistema

1

2

x y z a

x y az a

x ay z b

.

254. Calcula os valores de a e b para os que ten infinitas solucións o sistema

4ax y z

x y z b

x ay z b

,

e resólveo para eles.


Prácticas

255. Dada a matriz 2 1 0

3 0 4

2 1 1ijA a

255.1.Calcula a matriz ijA formada polos adxuntos dos elementos de A .

255.2.Calcula ijA a e ijA e atopa unha relación entre eles.

256. En xeral, ¿que relación existe entre o determinante dunha matriz A , de orde 3 3 , e o de-terminante da matriz formada polos seus adxuntos? Para demostralo pode ser útil ter en conta que

A B A B e a expresión de 1A .

257. O rango da matriz dos coeficientes dun sistema de catro ecuacións con tres incógnitas é 3.Que rango pode ter a matriz ampliada? Con base niso, ¿cantas solucións terá o sistema?

258. Discute o sistema

3x y z a

x z b

x z c

.

Mat ii álxebra e

Education

Transcript of Mat ii álxebra e