Mat021-Guia Funciones Desarrollo

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Funciones/Mat-021 Página 1Eleazar Madariaga - UTFSM

Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemática

Matemática I (Mat-021)

Problemas Resueltos de Funciones

[email protected] _____________________________________________________________________________

Dificultad:

: Simple

: Intermedio

: Desafiante

: Nivel Certamen UTFSM

__________________________________

Problema nº 1:

Sea

la función definida por

. Determinar si

es

biyectiva, si no lo es, redefinirla para que lo sea.

Solución:

Para que la función sea biyectiva, debe ser inyectiva y epiyectiva.

Veamos si es inyectiva (o uno a uno)

Sea

Luego es uno a uno.

Veamos si es epiyectiva (o sobre)




Luego no es imagen de ningún entero ya que seria imagen de

no es biyectiva, por que no es sobre.

Para que sea biyectiva debe definirse sobre su rango y con eso

aseguramos que es sobre.

Rang

definida por es epiyectiva y

como era uno a uno, ahora podemos decir que es biyectiva.

Problema nº 2:

Sea ,

a) Determine el dominio de .

b) Determine el recorrido de .

c) ¿Es biyectiva? En caso negativo haga las restricciones necesarias paraque lo sea y defina .

Solución:

a) Dom ( )

b) Rec ( )




c) Sean en el Dom ( ) tales que , entonces

.

Aplicando (que es una función inyectiva), sigue que . Así, es

inyectiva.

Como Rec ( ) Cod ( ), sigue que no es epiyectiva.

Para obtener una función biyectiva a partir de la función , debemos

redefinir el dominio y el codominio de . Así, si ponemos , definida por

, resulta que es una

función biyectiva. Su inversa queda definida por:

,

Problema nº 3:

Determine el recorrido de la función , definida por

Solución:

Como

Sabemos que se cumple (propiedad del valor absoluto)

Entonces, obtenemos la siguiente inecuación

Que tiene como puntos críticos: y

Lo que necesitamos ahora es encontrar los intervalos que cumplan con la

inecuación y para ello construimos una tabla




- + + - - +

+ - +

Observando la tabla nos damos cuenta que la solución para este caso es Por lo tanto el recorrido es

Problema nº 4:

Hallar el dominio de cada una de las funciones siguientes:

a) b)

c)

Solución:

Observación: Es recomendable que el estudiante antes de resolver esta

clase de problemas analice detalladamente cada una de las funciones

involucradas (por separado) tanto su dominio como su recorrido.

a) Se debe tener que

Luego b) La función esta definida para

De donde




Luego c) Debe satisfacerse simultáneamente que

-

-

-

Lo que al intentar intersectar las soluciones, nos da como resultado el

conjunto vacio.

Problema nº 5:

Sea

a) Determine el dominio de

y demuestre que

es inyectiva.

b) Determine el recorrido de .

c) ¿Es invertible?, si es así, encuentre su inversa.

Solución:

a) La respuesta de cualquier novato en la materia seria que, como en la

primera rama

indetermina la función y en la segunda no hay

problema, entonces, su dominio es , pero como en estaobra se pretende que no cometa dichos errores, se recomienda que no solo

se fije en el valor que toma la función en cada rama si no que también

considere el dominio de la rama, es decir, lo dicho en un principio no es del

todo falso, lo que sucede es que , por lo tanto no se considera

esa indeterminación y así no hay problema para ningún . Para el caso de la inyectividad, primero se demostrara que cada rama esinyectiva y luego que toda la función lo es.




i) Sea

ii) Sea

Como y lo anterior nos queda iii) Sea

y

y

De modo que

Con los puntos i), ii) y ii) hemos demostrado la inyectividad de la función

completa.

b) El punto iii de a) nos dice que el recorrido de la función en la primera

rama es

y en la segunda rama

, es decir se demostró:




pero hay que hacer el proceso contrario para

finalizar la demostración, es decir: Primera rama:

Sea

Es decir, basta con tomar

Y vemos que

Segunda rama:

Sea

Es decir, basta con tomar

Y vemos que

Con lo anterior concluimos:

c) Si, ya que es inyectiva.

La función inversa esta dada por




Problema nº 6:

Sea

Demuestre si es inyectiva y si es así, encuentre su inversa.

Solución:

Notemos que en la primera rama, como

, entonces

Por lo que podemos redefinir la función como

Ahora, demostremos si hay o no inyectividad:

i) Sean

Esto ultimo se justifica, ya que, entonces los dos son del

mismo signo (imposible que se cumpla

)

ii) Sean

iii) Ahora tenemos que demostrar que si

Lo que a la vez equivale a demostrar que




Sea (primera rama)

Sea (segunda rama)

Vemos entonces que:

Luego, se puede concluir que la función es inyectiva, de modo que tiene

inversa.

Ahora debemos encontrarla:

Como

:




Esta inecuación tiene un solo punto crítico:

Elaboramos una tabla + + - +

- +

Entonces, la inversa es:

Problema nº 7:

Considere la función , definida por

Determine su función inversa, asumiendo que es inyectiva.

Solución:

Para obtener la función inversa, usamos que:




Así

Problema nº 8:

Si se detuviera de repente la contaminación del Lago Rapel, se ha estimado

que el nivel de contaminantes decrecería de acuerdo con la formula En la que se mide en años e es el nivel de contaminantes cuando se

detuvo la contaminación. ¿Cuántos años tomaría eliminar el 50% de los

contaminantes?

Solución:

Buscamos un tal que

Como , obtenemos la siguiente ecuación para

Aplicando logaritmo natural (

) obtenemos




Problema nº 9:

Determine todos los valores de tal que la función es una función

par en

, donde

Solución:

Se pide que Entonces

Por lo tanto, la función es par

Problema nº 10:

Se sabe que la población mundial en el año esta dada por una ecuación dela forma (Donde y son constantes que habría que determinar)

Además, se sabe que cada años la población mundial crece en un .

¿Cuántos años toma para duplicarse?

Solución:

Primero determinemos la constante , la cual corresponde a

Ya que en 20 años la población crece un 24%, se tiene

Que es lo mismo que (considerando la constante )




O sea

Sea el número de años que le toma a la población duplicarse, entonces

De donde

Aplicando logaritmos naturales a ambos lados

Problema nº 11:

Sea tal que a) Determine y muestre que no es sobreyectiva (epiyectiva).

b) Resuelva

Solución:

a) Debemos notar que la función se puede reescribir como

Luego




y

Como

se deduce que

no es sobreyectiva.

b)

Lo anterior nos dice que

Que es igual a resolver

Problema nº 12:

Demuestre que si , entonces la función real

Es invertible ( es invertible si y solo si existe si y solo si es

inyectiva).

Solución:

Para que

sea inyectiva es necesario que si




Pero como , entonces necesariamente:

Problema nº 13:

Sea

y

Es inyectiva?

Solución:

i) Sean

tales que

. Debemos demostrar que si




Como

De vemos que , por lo tanto , ello implica que

ii) Sean tales que . Debemos demostrar que si

iii) Sean tales que . Debemos demostrar que si

Por una parte, tenemos que:




Y por otra parte

Claramente, la intersección de los recorridos de las ramas es vacio. Así,

demostramos que si

Finalmente, tomando (i), (ii) y (iii), podemos concluir que es inyectiva.

Problema nº 14:

Demuestre que la función

, definida para todo , es creciente en los intervalos , y es

decreciente en los intervalos y .Solución:

Hay que tomar

en cada uno de los intervalos y probar que en

y en se tiene , mientras que en y en se tiene . Para ello, calculamos




Y vemos que el signo de

es el mismo que el de

CASO I:

En este caso, y por lo tanto

, por lo que y por lo tanto . O sea, la función es

creciente en el intervalo .CASO II:

En este caso, y por lo tanto , por lo que y por lo tanto . O sea, la función es

decreciente en el intervalo .CASO III:


, por lo que

y por lo tanto

. O sea, la función es

decreciente en el intervalo .CASO IV:


, por lo que y por lo tanto . O sea, la función es

creciente en el intervalo .




Problema nº 15:

a) Sea y dos funciones, tales que es

creciente en

y g es creciente en

.

Demuestre que es creciente en .b) Sea

Demuestre usando (a) que es creciente en el intervalo .Solución:

a) Debemos demostrar que, dados , tales que , se

tiene , o sea, que .Sean , , , y sean , .Como es creciente en y , tenemos , o sea,

.

Como , , y es creciente en , tenemos , o sea, que es lo que se quería

demostrar.

b) Haciendo la analogía con la parte (a), basta probar que la función

es creciente en y que es creciente en todo

R.

Hay que tomar y probar que . Para

ello calculamos:




Vemos que el signo de depende de , que en el

intervalo es negativo, ya que siempre , de modo que se

cumple que , por lo tanto la función es creciente en

.

Ahora, veamos el comportamiento de , cuando tomamos

Vemos que el signo de

depende de

, el

cual debemos manipularlo un poco, si

, es:

El primer facto es positivo y el segundo factor es un trinomio cuadrático en

que es siempre positivo ( y coeficiente principal ).

Por lo tanto,

, así

que indica que

creciente en todo R.

Finalmente, se cumplen las hipótesis de la parte (a), por lo que es

creciente en .

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