Universidad Tecnica Federico Santa Marıa Abril 2010

Guia Ejercicios Certamen N◦1Ayudante Felipe Araya A

1. Usando integral doble, calcule el area interior a las curvas r = 3 cos(θ), y r = 1 + cos(θ).Solucion A = (π

2+ 2

√3

2+√

38

) + 9(π4− π

6−√

38

)

2. Un solido esta limitado por el cono z2 ≥ x2 + y2,z > 0 y por la parte de la esferax2 + y2 + z2 ≤ 2. La densidad del solido es proporcional a la distancia al origen. Encontrarla forma explıcita de la densidad si la masa es igual a 1.

Solucion K(cteproporcionalidad) = 1

2π(1−√

22

)

3. Calcule el centro de masa del solido acotado por los cilindros parabolicos z = 4 − y2,z = y2 + 2 y los planos x = −2 y x = 2.

Solucion (x, y, z) = (0, 0, 3)

4. Calcular ∫ ∫ ∫Rz2dV

Donde R es la parte comun de las esferas x2 + y2 + z2 ≤ a2 y x2 + y2 + z2 ≤ 2az

Solucion= 59πa5

480

5. Obtener la coordenada y del centroide de la region solida con densidad constante, quees interior al cilindro x2 + y2 = 2y y que esta limitado superiormente por el paraboloidez = x2 + y2 e inferiormente por el plano z = 0

Solucion y = 43

6. CalculeI =

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

√x2 + y2 + z2 · e−(x2+y2+z2)dxdydz

Solucion= 2π

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7. Considere la region descrita por los limites de integracion de la integral I.

I =∫ 1

0

∫ x2

x|x2 − y2|dydx

• Exprese I en las variables u-v, donde u = x+ y,v = x · y

• Calcule el valor del momento de inercia I0 (Momento de inercia polar) de la regionrespecto al origen. Suponer la densidad igual a uno.

Solucion= 1532

8. Hallar el volumen del solido S, acotado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el hiperboloidex2 + y2 = z2 + 1

Solucion= 4√

3π

9. Calcular ∫ ∫ ∫R

√x2 + y2 + z2dV

Donde R es el interior de la esfera x2 + y2 + z2 = x

Solucion= π10

10. Hallar el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide elıptico z = 2x2 + y2 + 1,el plano x+ y = 1 y los planos coordenados.

Solucion= 34[unidades de volumen]

11. Una lamina ocupa la region encerrada dentro de x2 + y2 = 2y y fuera de x2 + y2 = 1.Encuentre el centro de masa de la lamina si la densidad esta dada por ρ(x, y) = 1√

x2+y2.

Solucion (x, y) = (0, 3√

32(3√

3−π))

12. Determine el momento de inercia en torno al eje z de un cono recto de radio basal a yaltura b, cuya densidad es proporcional a la distancia al eje z.(Aclaracion: La punta del conose encuentra en el origen).

Solucion= Kπa5b15

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