Mate 1

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA DE LA FUERZA ARMADA NUCLEO ARAGUA EXTENSIN CAGUA

Prof. Edgar J. Salazar P. [email protected]

1

Revisado por los profesores: WILMAN GOYO y FELGRY MARTINEZ

Matematica_Unefacagua [email protected]

Videos en: http://www.dailymotion.com/COOPIND

CAGUA; 2012




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UNIDAD 1: LMITES Y CONTINUIDAD.

OBJETIVO DE APRENDIZAJE Aplicar conocimientos fundamentales sobre lmites, para el estudio de funciones continuas y discontinuas.

OBJETIVO GENERAL Aplicar los conceptos tericos y prcticos de la derivada y la integral para la resolucin de problemas asociados con la carrera.

CONTENIDOS 1.1 Las Funciones. Sistemas de coordenadas en el plano. Algunas funciones elementales, funcin potencia, exponencial y logartmica. Operaciones algebraicas con funciones. Aplicacin en economa de las funciones.

1.2 Introduccin al tema de lmites. Lmite por definicin. Propiedades y Teoremas sobre Lmites. Evaluacin de lmites (por sustitucin). Lmites laterales.

1.3 Lmites determinados para funciones: Polinmicas, Racionales, Radicales, Exponenciales y Logartmicas. Lmites determinados: infinitos y en el infinito.

1.4 Lmites indeterminados: 0/0, , , 1...

1.5 Definicin de continuidad y discontinuidad de funciones en un punto o en un conjunto. Tipos de discontinuidad. Teoremas de continuidad. Grficas de funciones continuas y discontinuas.

1.6 Clculo de asntotas de una curva: horizontales, verticales y oblicuas.

SINOPSIS DE CONTENIDO El programa Matemticas es de suma importancia para el proceso de aprendizaje; el mismo va a contribuir a ir escalando en el proceso de formacin de los estudiantes y lograr as una educacin adecuada a sus intereses y necesidades. Est concebido como un proceso dinmico que no es un fin en s mismo, sino un eslabn que les permitir alcanzar nuevas metas, en el marco integral del desarrollo de la experiencia educativa novedosa que elevar sus niveles de compromiso personal y profesional ante la sociedad donde se desenvuelve. Asimismo, este programa tiene como norte el afianzamiento, desarrollo de conocimientos y habilidades en el rea de clculo infinitesimal, tambin llamado Clculo Diferencial e Integral los cuales sern reforzados en la bsqueda de la excelencia acadmica.

El programa de Matemtica consta de cuatro unidades. stas son:

UNIDAD 1: Funciones, lmites y continuidad. UNIDAD 2: La derivada de una funcin real. UNIDAD 3: Aplicaciones de la derivada. UNIDAD 4: Funcin primitiva e integral definida.

BIBLIOGRAFA Budnicks, Frank. (2007). Matemticas Aplicadas para administracin, economa y ciencias

sociales. Cuarta edicin. Mxico: McGraw-Hill-Interamericana. Gallo, C. (1996). Matemticas para estudiantes de administracin y economa. Tomo I, II y III.

Caracas: Ediciones de la biblioteca U.C.V. Harshbarger., Reynolds. Matemticas aplicadas a la administracin, economa y ciencias sociales.

(2005) Sptima edicin. Mxico: McGraw-Hill-Interamericana. Leithold Louis (2004). Clculo para ciencias administrativas, biolgicas y sociales. Mxico:

Oxford. Soler Fajardo, F., Nuez, Reinaldo., Aranda Silva, Moses. (2006). Fundamentos de Clculo con

aplicaciones a ciencias econmicas y administrativas. Bogot: Ecoe Ediciones.




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Introduccin.

Un nmero es un concepto abstracto que representa una cantidad y que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesin entre las cosas. El smbolo de un nmero recibe el nombre de numeral o cifra. Los nmeros se usan en la vida diaria como etiquetas (nmeros de telfono, numeracin de carreteras), como indicadores de orden (nmeros de serie), como cdigos (ISBN, ASSS), etctera.

A lo largo de la historia, cada cultura ha utilizado diferentes smbolos para representar un nmero y ha usado distintas reglas para escribirlos y trabajar con ellos. Antes de que surgieran los nmeros el hombre se las ingeni para contar, utilizando para ello objetos como piedras, nudos en cuerdas, o simplemente los dedos. Ms adelante comenzaron a aparecer los smbolos grficos como seales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos especficos sobre la arena. Pero fue en Mesopotamia alrededor del ao 4.000 a. C., donde aparecen los primeros vestigios de los nmeros que consistieron en grabados de seales en formas de cuas sobre pequeos tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado, de aqu el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeracin fue adoptado ms tarde, aunque con smbolos grficos diferentes, por los griegos y romanos. Los griegos emplearon simplemente las letras de su alfabeto, mientras que los romanos adems de las letras utilizaron algunos smbolos.

En cada actividad humana sea tcnica, cientfica o simplemente prctica los nmeros han jugado un papel muy importante, aun en las tareas ms simples. Veamos la siguiente clasificacin.

Los Nmeros Naturales (N) son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las ms elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Nacen como una respuesta a la necesidad de nuestros antepasados de contar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, por ejemplo los animales de un rebao, y de asignar un smbolo a una determinada cantidad de objetos.

As pues el primer conjunto numrico que se considera es el de los Nmeros Naturales, formado por: N = {1, 2, 3, 4, } (Los puntos suspensivos solo tres indican que el conjunto es infinito). Son nmeros positivos y sin parte decimal. El conjunto de todos ellos se designa por N. Adems de cardinales (para contar), los nmeros naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1 (primero), 2 (segundo), , 16 (decimosexto), etc.

Hay que sealar que no existe acuerdo sobre si el 0 es o no un nmero natural, (nosotros consideraremos que s lo es. En particular, si a representa cualquier nmero natural y lo restamos de s mismo, obtenemos a a = 0. Lo cual podemos considerar como definicin del cero). Ms adelante veremos que el cero no es ni positivo ni negativo.

En este conjunto la adicin y la multiplicacin son operaciones internas, es decir, dados dos nmeros naturales, a y b, su suma a + b, es otro nmero natural y su producto a.b tambin lo es. La operacin multiplicacin tambin se puede representar con el smbolo x, es decir, a.b = axb. Incluso, es habitual no colocar ningn smbolo, representando el producto de a y b simplemente por ab.




4

La sustraccin y la divisin, sin embargo, no son operaciones internas (cerradas) en los naturales, pues tanto la diferencia como el cociente de dos nmeros naturales pueden no ser un nmero natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo o cuando el divisor no est contenido un nmero exacto de veces en el dividendo uno no es mltiplo del otro). Esta es precisamente una de las razones por la que este conjunto numrico resulta insuficiente a la hora de resolver ciertos problemas. Por ejemplo, ntese que en el conjunto de los nmeros naturales se puede realizar la operacin 11 4 ya que 11 4 = 7 y 7 es un nmero natural, Sin embargo, no se puede realizar la operacin 4 10 = 6, pues 6 no es un nmero natural. En el conjunto de los nmeros naturales se puede realizar la operacin 12 3 ya que 12 3 = 4 y 4 es un nmero natural. Sin embargo, la operacin 6 4 no se puede realizar en N, ya que 6 4 = 3/2 y este no es un nmero natural. Tampoco la ecuacin x + 3 = 1 se puede resolver en N, ya que al despejar x resulta x = 2, que no es un nmero natural.

La ampliacin del conjunto de los nmeros naturales al de los nmeros enteros hace que la sustraccin sea una operacin interna en el nuevo conjunto, de manera que tienen solucin en l algunas operaciones que en N no se pueden resolver, tal como vimos en el prrafo anterior. As, por ejemplo, la ecuacin 7 + x = 3 tiene como solucin x = 3 7 = 4 que no es un nmero natural, pero s es un nmero del nuevo conjunto. El Conjunto de los Nmeros Enteros (Z) surge al aadir al conjunto de los naturales todos sus opuestos ms el cero. Es claro que N Z y que Z = {, 4, 3, 2, 1, 0 1, 2, 3, }. Cuando deseamos hablar de los enteros positivos junto con los enteros negativos y 0, les llamamos simplemente enteros.

La adicin y la multiplicacin de dos enteros es de nuevo un entero, de donde la suma y el producto son operaciones internas en Z, pero no lo es la divisin. Por eso se crea el Conjunto de los Nmeros Racionales (Q), en el que se puede dividir cualquier nmero por otro (salvo por el cero).

A las fracciones, tales como , 5/7, 1/8, 101/27, que pueden ser positivas o negativas y que pueden escribirse como cocientes m/n, donde m y n son enteros y n no es igual a cero, se les llama nmeros racionales. As, todo entero p es un racional. (Por qu?). Por lo tanto, es claro que Z Q. Desde luego, no es cierto que todo nmero racional sea un entero.

Observemos que la adicin y la multiplicacin de dos nmeros racionales es un nmero racional. Si a/b y m/n son dos nmeros racionales (siendo a, b, m, y n enteros y b y n distintos de 0), entonces su suma y su producto estn dados por las siguientes frmulas, que el estudiante conoce desde la escuela primaria:

Podemos, como veremos ms adelante, representar geomtricamente sobre una lnea recta los enteros y los nmeros racionales. Primero elegimos una unidad de longitud, los enteros son mltiplos de esta unidad y los nmeros racionales son parte fraccionaria de esta unidad.

2 1 0 1 2 3

Sobre la recta hemos marcado unos pocos nmeros racionales. Observe que los enteros negativos y los nmeros racionales negativos aparecen a la izquierda del cero.

311

bnam

n

m

ba

;bn

bmann

m

ba

=

+=+

21




5

Consideremos ahora el caso especial de la multiplicacin en el que todos los factores son iguales. En general, el producto de n factores, cada uno de ellos iguales a a, se escribe an, en este caso se dice que hemos elevado el nmero a a la ensima potencia, operacin que recibe el nombre de potenciacin. Esta operacin se escribe en la forma an = b, y representa la solucin al siguiente problema: Dados el nmero a y el nmero natural n, hallar el nmero b que es la ensima potencia de a. Consideremos ahora el problema inverso, es decir, dados el nmero b y el natural n hallar el nmero a cuya ensima potencia es igual a b. La resolucin a este problema requiere una operacin que es inversa de la potenciacin, llamada radicacin. La solucin se escribe en la forma , la cual establece que a es una raz ensima de b.

Hemos llegado a una importante etapa en el desarrollo del sistema numrico. Las operaciones de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y potenciacin, cuando se aplican a nmeros racionales producen resultados nicos que tambin son nmeros racional, es decir, no requieren ampliacin del sistema de nmeros. Sin embargo, esto no es cierto para la radicacin, por ejemplo, la raz cuadrada de 4 no tiene un resultado nico pues puede ser +2 2. En este caso, los resultados, aunque no son nicos, son todava racionales. Sin embargo, consideremos la raz cuadrada positiva de 2. No es difcil demostrar que este nmero no puede ser expresado en la forma m/n, de modo que llene el requisito de la definicin de nmero racional. Se trata de un conjunto de nmeros que pueden representarse por infinitos decimales no peridicos, tales como a los cuales llamamos Nmeros Irracionales (I).

Finalmente tenemos el Conjunto de los Nmeros Reales (R) que es la unin de el conjunto de los nmeros racionales con el conjunto de los nmeros irracionales: R = Q I. Geomtricamente, los nmeros reales se representan como la coleccin de todos los puntos sobre la mencionada lnea recta, no solamente aquellos que son una parte racional de la unidad de longitud o un mltiplo de sta. Notamos que la adicin y la multiplicacin de dos nmeros reales tambin es un nmero real. Si a es un nmero distinto de cero, entonces hay un nmero b tal que ab = ba = 1 y escribimos: b = 1/a b = a1, decimos que b es el inverso de a. Insistimos en que la expresin 1/0 01 no est definida. En otras palabras, no podemos dividir por cero y no atribuimos ningn significado a 1/0 01 . Sin embargo, si a es un nmero real, entonces el producto de a.0 est definido y es 0. Por otra parte, si b es cualquier nmero distinto de 0, entonces 0/b tambin est definido y es igual a 0. Se puede escribir tambin de la forma 0 (1/b). Por otra parte, si a es un nmero racional distinto de 0, entonces 1/a es tambin un nmero racional. En efecto, si podemos escribir a = m/n, con m y n enteros, ambos distintos de 0, entonces: 1/a = n/m es tambin un nmero racional.

Investigaremos ahora sobre la ltima ampliacin de nuestro sistema de nmeros. Hemos visto que la radicacin no sera posible en algunos casos si nos limitamos al sistema de nmeros racionales. Fue esto lo que nos hizo aadir los nmeros irracionales a nuestro sistema numrico. Podemos observar tambin que en los ejemplos anteriores se ha utilizado nicamente la raz cuadrada de nmeros positivos. Para que la radicacin comprenda todos los casos, debemos considerar tambin la extraccin de races de nmeros negativos. Por ejemplo, tratemos de hallar la raz cuadrada de 4, es decir, queremos hallar un nmero a tal que a2 = 4. Resulta evidente que el nmero a no puede pertenecer al conjunto de los Nmeros Reales. (Por qu?). Para hacer posible esta operacin es necesario introducir una nueva clase de nmeros (Cules y qu forma tienen?).

...,41412 = ...,141593=pi

n ba




6

Debido a todo lo anterior podemos decir que para hacer posible en todos los casos las seis operaciones algebraicas: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin, fue necesario ampliar nuestro sistema de nmeros hasta la inclusin de los Nmeros Complejos (C). Hagamos una ltima consideracin muy significativa respecto al nmero complejo a + bi. Si a = 0 pero b 0, a + bi toma la forma bi, lo cual significa que los nmeros imaginarios puros son un caso especial de los nmeros complejos. Si b = 0 pero a 0, a + bi toma la forma a, y por lo tanto representa un nmero real. Segn este punto de vista un nmero real es simplemente un caso particular de un nmero complejo, por lo que se dice que el conjunto de los nmeros reales es un subconjunto del conjunto de los nmeros complejos. A pesar de ello y a menos que se indique lo contrario el desarrollo del presente curso se har en el campo de los Nmeros Reales.

Es natural que el estudiante se haga ahora la siguiente pregunta: Ser necesario introducir algn nuevo tipo de nmeros diferente al de los nmeros complejos al efectuar las seis operaciones algebraicas con dichos nmeros?. En otras palabras: Ser el cuerpo de los nmeros complejos cerrado respecto de las seis operaciones algebraicas?

La Recta Real y el Plano Cartesiano.

El sistema de los Nmeros Reales puede describirse completamente a travs de un conjunto de axiomas. De estos axiomas podemos obtener las propiedades, de las cuales resultan las conocidas operaciones algebraicas de adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin y radicacin. Tambin los conceptos algebraicos de solucin de ecuaciones, factorizacin, etc. Qu otras operaciones conoces?

Como el clculo elemental comprende nmeros reales, invitamos al alumno a revisar las propiedades fundamentales de ese campo.

La Recta Numrica o Recta Real. Es posible representar geomtricamente a los nmeros reales por puntos en una recta horizontal que llamaremos eje, haciendo corresponder a cada nmero real un nico punto sobre el eje y recprocamente, a cada punto sobre el eje le hacemos corresponder un nmero real, lo que establece una correspondencia uno a uno entre el eje y los nmeros reales. De esta forma los puntos del eje se identifican con los nmeros reales que representan.

El alumno puede consultar los siguientes enlaces para refrescar y profundizar sobre el tema: http://www.unizar.es/aragon_tres/u4.htm http://barreto10.tripod.com/plano/p_definicion.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod1/Intro.html

El Plano Cartesiano: As como podemos representar a los nmeros reales como puntos de una recta, podemos tambin asociar puntos del plano a los pares ordenados de nmeros reales. Un par ordenado (a,b) de nmeros reales tienes a a como el primer elemento y a b como el segundo. El modelo para su representacin se llama Sistema Coordenado Rectangular o Plano Cartesiano. Se construye mediante dos rectas perpendiculares.




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El Plano Real (Plano Cartesiano): Dados un plano pi y dos rectas de l, L y L secantes, vamos a determinar una relacin entre los puntos del plano y los puntos de las rectas dadas.

Por un punto P cualquiera del plano trazamos rectas paralelas a las dadas cuyos puntos de corte son a y b. Inversamente si por los puntos a y b de las rectas trazamos paralelas a L y a L respectivamente, stas se cortan en el punto P.

Si recordamos que el producto cartesiano de dos conjuntos, AxB es el conjunto formado por todos los pares de elementos que se pueden formar cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B, llegamos a la conclusin de que el par de puntos (a,b) pertenece al producto cartesiano LxL. Si ahora consideramos que L y L son rectas reales cuyos orgenes coinciden y sustituimos los puntos por sus coordenadas respectivas, el par (a,b) de nmeros reales pertenece al producto cartesiano RxR = R2

Los nmeros reales a y b se llaman coordenadas del punto P y se anotan P(a,b). El nmero a se llama la coordenada de L o abscisa de P y b se llama la coordenada de L u ordenada de P.

Como a cada punto del plano pi le corresponde un par de nmeros (coordenadas) hemos definido la funcin f : pi R x R. Inversamente como a cada par de nmeros del producto cartesiano RxR le corresponde un punto del plano pi hemos definido la funcin g: R x R pi, ambas inyectivas.

Esto establece una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos los puntos en el plano pi y el conjunto de todas las parejas ordenadas de nmeros reales. A veces es conveniente hablar del punto (a,b) refirindonos al punto cuya abscisa es a y cuya ordenada es b. El smbolo P(a,b) denotar al punto P de coordenadas (a, b).

Las rectas L y L definen un sistema de coordenadas cartesianas en el plano pi cuyo origen O es la interseccin de ambas y los ejes de coordenadas las rectas L y L. La recta horizontal se llama tradicionalmente eje X y la vertical eje Y. Esas rectas dividen al plano en cuatro cuadrantes.

Cuando las rectas coordenadas L y L son perpendiculares en el plano, el sistema cartesiano (El trmino cartesiano se usa en honor al matemtico y filsofo francs Ren Descartes, 1596-1650, quien fue uno de los primeros en usar estos sistemas coordenados) se llama rectangular u ortogonal y mientras no se diga lo contrario siempre nos referiremos a l.

Se elige la misma unidad de longitud en cada recta a menos que se especifique lo contrario.

Existen varios tipos de sistemas de coordenadas en el plano. Puedes nombrar cules son esos sistemas?

Invitamos al estudiante a consultar el siguiente enlace para refrescar y profundizar sobre el tema:

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas#Sistema_de_coordenadas_cil.C3.ADndricas

L pi b P

L 0 a




8

La necesidad de orientarse

condujo a los seres humanos,

desde la antigedad ms lejana,

a confeccionar mapas o cartas

geogrficas y a relacionar los

puntos de una superficie

mediante nmeros.

Para fijar una figura en el

espacio o en un plano hace

falta relacionarla con un

sistema de referencia. En el

actual sistema geogrfico,

cualquier lugar del mundo

queda determinado con

precisin si se conocen su

latitud (a) y su longitud (b), es

decir, si se tiene su distancia a

al norte o al sur del ecuador, y

su distancia b al este o el oeste

del meridiano de Greenwich.

No basta con tener uno slo de estos datos, ya que hay lugares que tienen la mismas latitud

a. Todos los puntos del globo terrestre que estn situados en el mismo paralelo, a una

distancia a del ecuador tienen la misma longitud. Lo mismo sucede con slo la longitud. En

matemticas, el sistema de referencia se forma sobre un plano con dos rectas

perpendiculares que se intersecan en un punto, que se denota con la letra O.

Seguramente el estudiante estar familiarizado con la representacin en el plano de puntos de la forma (+3, +5), (2, -6), (-4, -5)

etc. Pero no solo se pueden encontrar como coordenadas de un punto nmeros enteros, sino que tambin pueden ser nmeros

fraccionarios o reales. As se puede pedir ubicar los puntos (+ , -2), (0,632, 1,56), por ejemplo.

Supngase que se fija una de las dos coordenadas, por ejemplo, que se fija la abscisa en el valor +3; pueden considerarse todas

las parejas de puntos que tienen como abscisa el valor fijo +3, y como ordenada cualquier nmero de la recta real. Qu ocurre si

se intenta representar este conjunto de puntos? Las ordenadas de las diferentes parejas de puntos pueden distar tan poco unas

de otras que no se aprecia un espacio en blanco en su representacin. En consecuencia se forma una recta que tiene abscisa +3.

Como esta recta satisface la condicin de que, en cada uno de sus puntos, su abscisa vale siempre 3, con independencia del valor

de la ordenada, la expresin que representa a esta recta es x = 3, es decir, la primera coordenada (la que est en el eje de las X)

siempre es 3.

Si W es un conjunto de parejas ordenadas, entonces podemos hablar del punto P(x, y) en un plano coordenado correspondiente a la pareja ordenada (x, y) en W. La grfica de W es el conjunto de todos los puntos que corresponden a las parejas ordenadas en W. La frase dibujar la grfica de W significa esbozar en un plano coordenado los rasgos geomtricos importantes de la grfica de W.

Ejemplo: En un plano real el conjunto { }52 = x/RxA es subconjunto del eje X y el conjunto { }41 = y/RyB es subconjunto del eje Y. Representar grficamente el conjunto AxB.

Razonamos as: Como es un producto cartesiano tenemos que dibujar todos los puntos cuya primera componente pertenezca al conjunto A y la segunda componente al conjunto B. Si por los puntos 2 y 5 del eje de las X trazamos paralelas al eje Y, y por los puntos 1 y 4 del eje de la Y trazamos paralelas al eje de las X, se nos forma un paralelogramo cuyos puntos, incluyendo los lados, pertenecen al producto cartesiano AxB.

Invitamos al estudiante a consultar el siguiente enlace.

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

PRCTICA EVALUADA




9

X

B

Solucin: 4

1

2 5 A

Ejercicios:

a) En un plano real el conjunto { }51




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El conjunto de los Nmeros Reales.

El conjunto de los nmeros reales se obtiene, como ya dijimos, agregando al conjunto de los nmeros racionales (QQQQ), el conjunto de los nmeros irracionales (IIII). As, RRRR = QQQQ U IIII. Los nmeros reales se pueden representar geomtricamente mediante puntos sobre una recta. Tambin los puntos del plano se pueden representar por ternas ordenadas de nmeros (uplas). Se establece as una correspondencia biunvoca entre el conjunto de puntos de la recta o del plano y el conjunto de los nmeros reales.

Dos nmeros reales se pueden combinar para obtener otro nmero real (Ley de Composicin Interna) La operacin de adicin y la operacin de multiplicacin quedan sujetas a las siguientes reglas o propiedades:

De la adicin

i. a + b = b + a Propiedad conmutativa de la adicin ii. a + (b + c) = (a + b) + c Propiedad asociativa de la adicin

iii. a + 0 = a Propiedad del elemento neutro de la adicin iv. a + ( a ) = 0 P1ropiedad del elemento inverso de la adicin

De la multiplicacin

i. ab = ba Propiedad conmutativa de la multiplicacin ii. a(bc) = (ab)c Propiedad asociativa de la multiplicacin

iii. a . 1 = 1 . a Propiedad del elemento neutro de la multiplicacin

iv. ; a 0 Propiedad del elemento inverso de la multiplicacin

De la adicin y la multiplicacin

i. a ( b + c) = ab + ac Prop. distributiva de la adicin respecto de la multiplicacin

La operacin de sustraccin se define en trminos de la adicin. As, a + ( b), donde b es el inverso aditivo de b, se puede escribir de manera ms familiar a b. De manera anloga, la

operacin de divisin se define en trminos de la multiplicacin. Recuerde que el inverso multiplicativo de un nmero real b distinto de cero es 1/b, que tambin se escribe b1. Entonces

se escribe a/b y se dice que a se divide entre b.

11 =

aa

ba

1




11

Usando las propiedades antes enumeradas, se pueden deducir las dems propiedades algebraicas de los nmeros reales, algunas de las cuales se presentan a continuacin:

Propiedades de los inversos aditivos Propiedades relativas al cero i. (a) = a i. a . 0 = 0

ii. (a)b = (ab) = a(b) ii. Si ab = 0 entonces a = 0, b = 0, o ambos son 0 iii. (a)( b) = ab iv. (1)a = a

Propiedades de los cocientes

)0,( ; . == dbbcadsidc

bai )0,( ; . = cb

ba

cbcaii

( )0 ; . ==

bba

ba

baiii ),d ; (b

bdac

dc

baiv. 0=

), c, d ; (bbcad

c

dba

dc

ba

v. 0== ),d ; (bbd

bcaddc

ba

vi. 0+=+

),d ; (bbd

bcaddc

ba

vii. 0=

Ejercicios de Autoevaluacin

Cul es el inverso multiplicativo de cero? Se cumple la asociatividad y conmutatividad para la sustraccin y la divisin? Muestre el contraejemplo.

1.- Enuncia la propiedad de los nmeros reales que justifica cada enunciado

a. 4 + (x 2) = 4 + ( 2 + x) b. (3v + 2) w = 3v + (2 w) c. ( a + 2b) + c = a + (2b + c) d. ( )( ) ( )[ ]tst 4 34 3s =

e. 4(xy2) = (4x) y2 f. ( ) tsts =+ g. x(y 2 ) = xy 2x h. ( ) vuvu =

22

2.- Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falso.

a) Si ab = 1, entonces a = 1 o b = 1 b) Si ab = 0 y a 0, entonces b = 0 c) a b = b a d) a b = b a e) (a b) c = a (b c)




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POTENCIACIN Es una operacin matemtica entre dos trminos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como a elevado a n o a elevado a la y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos nmeros especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Su definicin vara segn el conjunto numrico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un nmero natural, equivale a multiplicar un nmero por s mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

aaaa n = n-veces

Cuando el exponente es un nmero entero negativo, equivale a la fraccin inversa de

la base pero con exponente positivo. n

n

aa

1=

Cuando el exponente es una fraccin irreducible n/m, equivale a una raz: m nmn

aa =

La definicin de potenciacin puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Propiedades

Potencia de exponente 0: Todo nmero, letra o expresin elevada al exponente 0 da como

resultado la unidad (1), puesto que: 01 aaa

a nnn

n

===

Potencia de exponente 1: Todo nmero elevado al exponente 1 es igual a la base: aa =1

Potencia de exponente negativo: Un nmero elevado a un exponente negativo, es igual al

inverso de la misma expresin pero con exponente positivo: nn

nn

aa

aaa

10 0

===

Propiedad distributiva: La potenciacin es distributiva con respecto a la multiplicacin y a la

divisin: ( ) nnn baba = y n

nn

ba

ba

=

Leyes de los exponentes

i. nmnm aaa += ii. nmn

m

aa

a

= iii. ( ) mnnm aa =

iv. ( ) nnn baab = v. ( )0 ; =

bba

ba

n

nn




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Propiedades que no cumple la potenciacin No es distributiva con respecto a la adicin y sustraccin, es decir, no se puede distribuir cuando

dentro del parntesis es suma o resta: ( ) mmm baba ++ y ( ) mmm baba No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen

el mismo valor o son equivalentes. En general: ab ba

Tampoco cumple la propiedad asociativa: ( ) ( ) ( ) bccbcbbb aaaaa cc === El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados

distintos valores segn las propiedades especficas que se quieran mantener. Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del lmite 0

0 lim x

x + y como x0 = 1 para x 0, dicho valor

podra ser igual a 1. Sin embargo tambin puede considerarse dicha expresin como el valor del lmite x

x 0lim

0+ y como 0x = 0 para x 0, dicho valor podra ser igual a 0. Esto ilustra que la

forma 00 puede corresponder a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigedad. En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido.

Simplificacin de expresiones exponenciales Los siguientes ejemplos siguientes ilustran el uso de las leyes de los exponentes

a) ( )( )53 32 xx b) 45

32

x

x c) ( ) 3 2 x d) ( )3312 vu e)

35

432nm

nm

Soluciones:

a) ( )( ) 85353 6632 xxxx == + Propiedad i b) xx

x

x

32

32

32 45

4

5

==

Propiedad ii

c) ( ) ( )( ) 63 23 2 xxx == Propiedad iii d) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3

9933 33 13331 8822

u

vvuvuvu === Propiedad iv

e) ( ) 1 34531 3543

22

=

nm

nm

nm Propiedad ii

( ) 1 22 = nm Propiedad i

n

m

nm 2 21 2

2 ==




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POLINOMIOS Un polinomio en la variable x es una expresin de la forma

012

23

31

1 ... axaxaxaxaxan

n

n

n ++++++

donde n es un entero no negativo y no aaa ,,... , 1 son nmeros reales, con 0na .

Los trminos que tienen la misma variable con los mismos exponentes son trminos semejantes, estos se pueden agrupar sumando o restando sus coeficientes numricos; por ejemplo,

( ) xxxx 107373 =+=+ se suman los trminos semejantes

2222

25

3213

21

mmmm =

= se restan los trminos semejantes

El procedimiento queda justificado al usar la propiedad distributiva del sistema de nmeros reales ab + ac = a (b + c)

Ejemplo ( ) ( )2324575 2323 ++++ xxxxx

2324575 2323 +++= xxxxx Se eliminan los parntesis 2453725 2232 +++= xxxxx Se agrupan los trminos semejantes

2543 22 ++= xxx Se reducen los trminos semejantes

Para determinar el producto de dos polinomios, de nuevo se utiliza la propiedad distributiva de los nmeros reales, multiplicando cada trmino de uno de los polinomios por cada trmino del otro, despus se simplifica la expresin resultante agrupando y reduciendo (simplificando) los trminos semejantes. En general una expresin algebraica queda simplificada si no aparecen dos trminos semejantes.

Ejemplo ( )( )12 32 22 + ttt Propiedad distributiva

( )( ) ( ) ( )12 312 12 2 2222 += ttttt ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )132312 12 2 2 22222 +++++= ttttttt

36224 2324 ++= ttttt Se multiplican los trminos 3424 234 ++= tttt Se reducen los trminos semejantes

Tambin se puede determinar el producto ordenando los polinomios uno debajo del otro y multiplicando. En el caso de polinomios de ms de una variable se procede de manera similar.




15

Los productos de este tipo aparecen con frecuencia, por ello hay que memorizar estas frmulas

Productos notables

i. ( ) 222 2 bababa ++=+ Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 33 2 2232 yyxxyx ++=+

22 9124 yxyx ++=

ii. ( ) 222 2 bababa += Ejemplo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222 22 4 2424 yyxxyx +=

22 41616 yxyx +=

iii. ( )( ) 22 bababa =+ Ejemplo ( )( ) ( ) ( ) 2222 4222 yxyxyxyx ==+

Orden de las operaciones

En general se eliminan los parntesis y se agrupan los trminos semejantes. Si aparece ms de un smbolo de agrupacin, hay que eliminar primeros los smbolos ms internos. Observe, por ltimo, que se deben efectuar las operaciones de multiplicacin y divisin antes que las de adicin y sustraccin. Ejemplo.

Realizar las operaciones indicadas ( )[ ]{ }412 2 23 + tttt

[ ]{ }412 2 23 ++= tttt Se eliminan parntesis [ ]{ }41 2 23 ++= ttt Se reducen trminos semejantes dentro del corchete

{ }41 2 23 ++= ttt Se elimina el corchete { }3 2 23 ++= ttt Se reducen trminos semejantes dentro de las llaves

32 23 = ttt Se eliminan las llaves.

Factorizacin Es el proceso de expresar un polinomio como el producto de dos o ms polinomios, por ejemplo, al aplicar la propiedad distributiva, se puede escribir ( )13 3 2 = xxxx y se dice que x y 3x 1 son factores de xx 23

Un polinomio es primo sobre el conjunto de coeficientes enteros si no se puede expresar como el producto de dos o ms polinomios de grado positivo con coeficiente entero. Recuerde que un entero mayor que 1 es primo si sus nicos factores enteros positivos son el mismo y 1. Un polinomio est factorizado por completo sobre el conjunto de los enteros si est expresado como un producto de polinomios primos con coeficientes enteros.

Por ejemplo, 222 ++ xx es un polinomio primo con respecto del conjunto de enteros, mientras que 92 x no es un polinomio primo, pues ( ) ( )3 392 += xxx




16

Factores comunes

El primer paso en la factorizacin de un polinomio es ver si contiene factores comunes. En este caso se extrae el factor comn de mximo grado; por ejemplo, el mximo factor comn de

aaxxa 642 2 ++ es 2a, pues

32222642 2 ++=++ axaaxaaaxxa ( )32 2 ++= xaxa

Frmulas de factorizacin

ii. Diferencia de dos cuadrados ( )( )bababa += 22 iii. Trinomio cuadrado perfecto ( )222 2 bababa +=++ y ( )222 2 bababa =+ iv. Suma de dos cubos ( )( )2233 babababa ++=+ v. Diferencia de dos cubos ( )( )2233 babababa ++=

Factorizacin por prueba y error

Los factores del polinomio de segundo grado rqxpx ++2 , donde p, q y r son enteros, tiene la forma ( )( )dcxbax + , donde ac = p, ad + bc = q y bd = r. Puesto que solo se tiene un nmero limitado de opciones, se utiliza un mtodo de prueba y error para factorizar los polinomios que tienen esta forma. Por ejemplo, para factorizar 322 xx , primero se observa que los nicos trminos posibles de primer grado son (x )(x ) puesto que el coeficiente de 2x es 1. A continuacin note que el producto de los trminos constantes es ( 3). Esto nos proporciona los siguientes posibles factores

(x 1)(x + 3) y (x + 1)(x 3)

Al observar de nuevo el polinomio 322 xx , se ve que el coeficiente de x es 2. Al revisar cul conjunto de factores proporciona 2 como coeficiente de x, se tiene que

Coeficiente de los trminos internos (1)(1) + (1)( 3) = 2 Coeficiente de los trminos externos

Luego, se concluye que la factorizacin correcta es ( )( )31322 += xxxx


Factorizar: a) 23 24 xx b) ( ) ( )22222 2423 baba +++

c) 126 2 xx d) 6104 2 + xx




17

Expresiones racionales Son cocientes de polinomios. Algunos ejemplos de expresiones racionales son:

3216

+

x

x y

yxxyyx

423 32

Como no se permite la divisin entre cero es claro que en el primer ejemplo x 3/2 y en el segundo y 4x.

Puesto que se trata de cocientes en donde las variables representan nmeros reales, las propiedades de los nmeros reales se aplican tambin a las expresiones racionales. Por esta razn, las operaciones con fracciones racionales se realizan de la misma forma que las operaciones con fracciones aritmticas.

Una expresin racional est simplificada o reducida a su mnima expresin si el numerador y el denominador no tienen factores distintos de 1 y 1. Si una expresin racional no tiene factores comunes, se utilizan las propiedades del sistema de nmeros reales para escribir

;1 ba

ba

c

c

ba

bcac

=== 0, ,, cbcba

Este proceso se llama cancelar factores comunes. Como otro ejemplo, la expresin racional ( )( )( )( ) 3 ,2 ;32

32

+x

xx

xx se simplifica cancelando los factores comunes (x 3) y se escribe

( ) ( )( ) ( ) 2

23 23 2

+=

+

x

x

xx

xx

El siguiente es un ejemplo de cancelacin incorrecta xx 413

4 3+=

+. En lugar de eso

escribimos

Las cuatro operaciones bsicas con expresiones racionales se realizan igual que en el caso de las fracciones aritmticas (ver pg. 11)


Simplificar: a) 522

2

32

644

423

babb

ababba ++

+ b)

22

22 2yx

yxyxx

yyx

++

341

34

33

34 3 xxx

+=+=+




18

1.- Enuncia la propiedad de los nmeros reales que justifica cada enunciado

a) ( ) ( )xzyzyx 22 +=+ b) ( ) ( )yxzzyx ++=++ 22 c) ( ) ( )uwvwvu 33 +=+ d) ( ) uwuvwvu +=+ 22 e) ( ) ( ) ( )[ ]yxyxyyx 4324232 +++=+++ f) ( )[ ] ( )dcadca ++=+ g) ( ) 032 0 =+ ba h) ( )( )

25

2 ,052 2 ===+ xxentoncesxxSi

i) ( ) ( )( ) ( ) 121

3 123 1

+

+=

+

+

x

x

xx

xx

j) ( )babaa

abba

bba

+=

+

k) ( )cbbbc

cba

+

++=+

+

2cbcab

2.- Indique si los siguientes enunciados son verdaderos o falso.

a) Todos los enteros son naturales b) Algunos naturales no son enteros c) Todo entero es un nmero entero no negativo d) Todo entero es un nmero racional e) Si a es un nmero natural, entonces a es un entero f) Todo nmero racional es un nmero real g) Todo nmero natural es un nmero irracional h) Todo nmero reas es un nmero irracional i) ( ) ( ) cbacba =

PRCTICA EVALUADA




19

3.- Evale las siguientes expresiones

a) 43 b) ( )52 c) 3

32

d)

2

43

e) 34 f) 3

54

g)

3

532

h)

32

43

32

i) 53 22 j) ( ) ( )32 33 k) ( ) ( )32 33 yy l) ( ) ( )23 22 xx

4.- Realice las operaciones indicadas y simplifique

a) ( ) ( )6432 ++ xx b) ( ) ( )452527 22 +++ xxxx c) ( ) ( )73125 22 + yyyy d) ( ) ( )28,02,12,12,67,134,2 2323 +++ xxxxxx e) ( ) ( )1 43 2 + mmmm f) ( ) ( )abba 2 42 3 g) ( ) ( )23 32 + xx h) ( )( )yxyx 2 32 + i) ( ) ( )srsr 34 23 + j) ( ) ( )yxyx 1,23,0 2,12,0 + k) ( ) ( )yxyx 23 2 2 + l) ( ) 2 32 yx + m) ( ) ( )vuvu + 2 2 n) ( )( )12 42 22 ++ ttt o) ( )[ ]{ } 12 3 2 xxxx p) ( )[ ]{ } 12 xxxx q) ( ) ( ) ( ) ( ) 14 24 4 332 2 +++ xxxx r) ( ) ( )( )[ ]{ } 32132 3 2 ++ xxxxxx

5.- Determine si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas. Si es cierta, explique por qu. Si es falsa, d un ejemplo para mostrar por qu es falsa.

a) Si m y n son nmeros naturales y a y b son nmeros reales, entonces ( ) nmn abb +=ma b) ( )( )( )( ) ( )bababababab ++++= a 2244881616 c) El grado del producto de un polinomio de grado m y un polinomio de grado n es mn d) Suponga que p y q son polinomios de grado n. Entonces p + q es un polinomio de grado n e) Suponga que p es un polinomios de grado m y q es un polinomio de grado n, donde

m > n Cul es el grado de p q?




20

6.- Problemas de aplicacin.

1.- Ganancias: Un fabricante de raquetas de tenis determina que el costo total de produccin de x raquetas por da est dado por 400400010 2 ++ xx, dlares. Cada raqueta se vende a un precio p dlares, donde p = 0,0004x + 10. Encuentre una expresin para la ganancia diaria del fabricante. Sugerencia: El ingreso total est dado por el nmero total de raquetas vendidas, multiplicado por el precio de cada raqueta. La ganancia est dada por el ingreso menos el costo.

2.- Gastos en salud: El gasto en salud por persona (en dlares) por parte del sector privado incluye los pagos realizados por individuos, corporaciones y sus compaas de seguro, y es aproximadamente 509 5,18 5,2 2 ++ tt ( )60 t donde t se mide en aos y t = 0 corresponde al inicio de 1994. El gasto gubernamental correspondiente (en dlares) que comprende los gastos mdicos federales, estatales y locales, es: 429 1,129 1,1 2 ++ tt ( )60 t donde t tiene el significado anterior. D una expresin para la diferencia entre los gastos privados y gubernamentales por persona en cualquier instante t. Cul era la diferencia entre estos gastos al principio de 1998 y de 2000?

7.- Extraiga el mximo factor comn

a) mm 26 2 b) baab 22 69 c) mnmnnm 201510 22 + d) ( ) ( )12 512 3 ++ xxx e) ( ) ( ) ( ) 2 222 3 dcadcba ++

8.- Factorice el polinomio. Si el polinomio es primo, indquelo.

a) 6112 2 mm b) 22 6yxyx c) 132 xx d) 224a b e) 222 wvu f) 42 +z g) 22 6 yxyx ++ h) 432 + xx i) yxyyx 121012 2 j) 1235 2 + rr k) 329 xyyx l) 24 16yx m) ( ) ( )22 22 baba + n) 18 3 +m o) 33 278 sr p) 262 8uvu q) 362 23 +++ xxx r) bybxayax 263 +++ s) 44 vu t) 3223 9494 yyxxyx + u) 623 34 + xxx




21

9.- Simplifique la expresin.

a) 32

728

x

x b)

93124

+

+

x

x c) 2

2

636

x

xx

d) 232

2

2

++

+

xx

xx e)

624

2

2

xx

x f) 22

33

yxyxyx+

+

10.- Realice las operaciones indicadas y simplifique.

a) 23

38

326

x

x b) 5

4

2

2

1615

83

x

x

x

x c)

6105

23 yx

yxx +

+

d) 6

933

62 +

+ mm e)

24126

4226 2

+

+

+

r

r

r

rr f)

8286

632

2

2

2

2

+

kkkk

kkkk

g) 12

332

2

++ xx

h) 2

26

322

++

xxxx i)

3323

1222

22 ++

mmmm

m

j) 132

1 2 +

+ x

x

x

x k)

22

2

2

++

xx

xx l)

bxbyy

ayaxx

+

m) 23

34

265 222 ++

+++ xxxxx

x n)

x

x11

11

+ m)

xy

yx11

11

+

11.- Escriba el nmero sin utilizar exponentes.

a) ( ) 3 2 b) 2 7 c) 2

41

d) 1 2 32 +

e) ( ) 2 02,0 f) 2

41

g) 01996 h) ( )02ab ; ab 0

i) 9453

2222

j) 2543

2222

k) 1

2

34

333




22

Ecuaciones. Una ecuacin es una afirmacin que establece que dos cantidades o expresiones algebraicas son iguales. Las dos cantidades en cualquier lado del signo de igualdad se llaman miembros de la ecuacin. 3x 2 = 7 es una ecuacin con 3x 2 como su miembro izquierdo y 7 como su miembro derecho. Se dice que una ecuacin como la anterior es una ecuacin en una variable. La x en este caso, se llama variable porque su valor determina si la ecuacin es cierta. Por ejemplo, 3x 2 = 7 es cierta slo si x = 3. La accin de encontrar el o los valores de la(s) variable(s) que hace verdadera la afirmacin se conoce como resolucin de la ecuacin. La variable de una ecuacin en ocasiones recibe el nombre de incgnita. Algunas ecuaciones que involucran variables son verdaderas slo para ciertos valores de las variables, en tanto que otras son ciertas para todos los valores. Estas ltimas se conocen como identidades.

La ecuacin 2(x 1) = 2x 2 es un ejemplo de una identidad. Las ecuaciones que son verdaderas para ciertos valores de las variables se llaman ecuaciones condicionales o simplemente ecuaciones. Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto solucin. Por ejemplo, 4x 12 = 16 ; 4x = 28 ; x = 7, son equivalentes porque todas tienen la misma solucin, especficamente, 7. A menudo podemos resolver una ecuacin lineal complicada al encontrar una ecuacin equivalente cuya solucin se encuentre con facilidad. Si una ecuacin contiene una variable y si la variable aparece elevada a la potencia uno, la ecuacin recibe el nombre de ecuacin lineal en una variable. El alumno debe revisar la teora sobre las propiedades de las igualdades y el procedimiento para reducir una ecuacin a una ecuacin simple equivalente.


a) Valor futuro de una inversin: El valor futuro de una inversin con inters simple est dado por S = P + Prt, donde P es el valor principal invertido, r es la tasa de inters anual (como un decimal) y t es el tiempo en aos. Con qu tasa de inters simple r se deben invertir P = 1.500 Bs., de modo que el valor futuro sea 2.940 Bs., despus de 8 aos?

b) Tambin se pueden usar los pasos para resolver ecuaciones lineales en una variable para resolver ecuaciones lineales en ms de una variable, por ejemplo: Despeje y en

c) Ganancia: Supongamos que la relacin entre la ganancia P de una empresa y el nmero x de artculos vendidos se puede escribir mediante la ecuacin: 200145 .Px = Cuntas unidades se deben producir y vender para que la empresa tenga una ganancia de $ 150? Despeje P en la ecuacin en trminos de x. Encuentre la ganancia cuando se venden 240 unidades.

Qu es Punto de Equilibrio? Respuesta: Una empresa tiene su punto de equilibrio en un producto cuando su ingreso total sea igual a su costo total. Qu implica esta definicin?

1234 =+ yx




23

d) Woodwright Industries fabrica puertas interiores de panel elevado con una hoja de madera hecha de una mezcla de astillas de madera dura. Tiene su punto de equilibrio cuando el ingreso total equivale a los costos totales. Suponga que x representa el nmero de estas puertas que Woodwright vende y el ingreso total se calcula como 98x y los costos totales con 58x + 12.000. Supongamos que el ingreso total de Woodwright Industries por la venta de x puertas interiores con panel elevado est dado por: R = 98x, y su costo total est dado por: C = 58x + 12.000. Encuentre el nmero de puertas que Woodwright debe vender para alcanzar su punto de equilibrio.

Propiedades de la igualdad de nmeros reales. Sean a, b y c nmeros reales

1. Si a = b, entonces a + c = b + c y a c = b c Prop. de la adicin y sustraccin

2. Si a = b y c 0, entonces ca = cb y c

bc

a= Prop. de la multiplicacin y la divisin

As, al sumar o restar el mismo nmero a ambos lados de una ecuacin se obtiene una ecuacin equivalente. Adems, al multiplicar o dividir ambos lados de una ecuacin por un nmero distinto de cero se obtiene una ecuacin equivalente.

Ejemplo:

9238 += xx xxxx 292238 += Se resta 2x a ambos lados

936 =x 39336 +=+x Se suma 3 a ambos lados

126 =x

( ) ( )12616

61

=x Se multiplican ambos lados por 61

2=x De modo que la solucin requerida es 2

Nota: En el ltimo paso se pudo dividir ambos lados por el mismo nmero (6)


Resolver las ecuaciones lineales: a) ( ) 42123 =+ ppp b) 14

13

12=

+ kx




24

Las soluciones de ciertas ecuaciones no lineales se determinan resolviendo una ecuacin lineal relacionada con la anterior, como muestra el siguiente ejemplo.

Resolver ( ) ( ) 31

1 21 32

=

+

+ x

x

x Si multiplicando ambos miembros de la ecuacin dada

por ( )1 6 +x , el mnimo comn denominador, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 311 6

1 21 6

1 321 6 +=

++

++ x

x

xx

xx

Obtenemos: ( )1 234 += xx Al simplificar la ecuacin lineal resulta ( )1 234 += xx

2 234 += xx x xxx 222234 += Se resta 2x a ambos miembros

254 = x 42454 = x Se resta 4 a ambos miembros

25 = x

52

=x Se multiplican ambos miembros por 51

Podemos verificar que 2/5 es realmente una solucin de la ecuacin dada, sustituyendo este valor en el lado izquierdo de la ecuacin inicial.

=

+

+

57

2

52

57

3

2

152

2

52

152

3

2

31

71

2110

== que es igual al lado derecho

Si multiplicamos ambos miembros de una ecuacin en x por una expresin que contiene a la variable x, entonces la solucin de la ecuacin resultante podra no ser la misma que la de la ecuacin original, tal solucin se llama una solucin extraa. Por ejemplo, es claro que la solucin de la ecuacin 3x = 0 es 0. Pero al multiplicar ambos lados de esta ecuacin por la expresin (x 2) se obtiene la ecuacin 3x (x 2) = 0 cuyas soluciones son 0 y 2. La solucin 2 no es una solucin de la ecuacin original. As, siempre que debamos multiplicar ambos miembros de una ecuacin por una expresin que implique a la variable, es recomendable verificar que cada solucin de la ecuacin modificada sea realmente una solucin de la ecuacin dada.




25


Resolver:

a) xxx

x

x

x

+=

+

+21

111

b) 352 =+x c) 442 = kk

Una ecuacin o desigualdad que contiene dos variables expresa una relacin entre esas dos variables. Por ejemplo, la desigualdad R 35x expresa una relacin entre las dos variables x y R, y la ecuacin y = 4x 3 expresa una relacin entre las dos variables x y y. Adems de definir una relacin mediante una ecuacin, una desigualdad o la regla de correspondencia, tambin podemos definirla como cualquier conjunto de pares ordenados de nmeros reales (a, b). Por ejemplo, las soluciones para y = 4x 3 son pares de nmeros (uno para x y otro para y). Escribimos los pares (x, y) de modo que el primer nmero es el valor de x y el segundo es el valor de y, y estos pares ordenados definen la relacin entre x y y. Es posible definir algunas relaciones por medio de una tabla. Por ejemplo, el conjunto de pares ordenados { (1, 3), (1, 6), (2, 6), (3, 9), (3, 12), (4, 12)} expresa una relacin entre el conjunto de las primeras componentes, { 1, 2, 3, 4} y el conjunto de las segundas componentes {3, 6, 9, 12}. El conjunto de las primeras componentes se llama dominio de la relacin y el conjunto de las segundas componentes recibe el nombre de recorrido (rango) de la relacin.

Una ecuacin frecuentemente expresa cmo se obtiene la segunda componente (la salida) a partir de la primera componentes (la entrada). Por ejemplo, la ecuacin y = 4x 3 expresa como resulta la salida y de la entrada x. Esta ecuacin expresa una relacin especial entre x y y, porque cada valor de x que se sustituye en la ecuacin slo da como resultado un valor de y. Si cada valor de x que se reemplaza en una ecuacin da como resultado un valor de y, decimos que la ecuacin expresa a y como una funcin de x. Cuando se define una funcin, la variable que representa los nmeros del dominio (entrada) se conoce como variable independiente de la funcin y la variable que representa los nmeros del recorrido (salida) recibe el nombre de variable dependiente, porque sus valores depende de los que tome la variable independiente. La ecuacin y = 4x 3 define a y como una funcin de x porque slo un valor de y resultar de cada valor de x que se sustituye en la ecuacin.

Es posible ilustrar geomtricamente las relaciones y funciones que hemos estado analizando al trazar sus grficas en un sistema de coordenadas rectangulares. La grfica de una ecuacin que define una funcin (o relacin) es la imagen que resulta cuando trazamos los puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen la ecuacin. Para dibujar la grfica, trazamos suficientes puntos para sugerir la forma de la grfica y trazamos una curva suave sobre los puntos. Esto se conoce como mtodo de trazado por puntos para dibujar una grfica.




26

Ejercicios resueltos

1.- Resolver 12

343

24

12 xxx =

Solucin: ( ) xxx 3481 6 = Se han multiplicado ambos miembros por 12 xxx 34866 = Por Prop. Distributiva xx 3426 = Se han reduciendo trminos semejantes 46 =+ x Se ha sumado 3x + 6 a ambos lados de la ecuacin 10=x

2.- Resolver 83

12=

+kk

Solucin: ( )12 38 += kk Se han multiplicado ambos miembros por ( )12 8 +k 36k8 +=k 32 =k

23

=k

Al sustituir este valor de k en la ecuacin original, se tiene 83

1323

123

2

23

=

+=

+

Que es igual al lado derecho. Es decir, 23

=k es la solucin de la ecuacin dada-


Despeje de una variable dada: La ecuacin A = P + Prt proporciona la relacin entre el valor A de una inversin de P dlares despus de t aos, cuando la inversin gana un inters simple con una tasa de r por ciento por ao. Despeje P, t y r en la ecuacin.

Ejercicios:

a) Trace la grfica de la funcin 24xy =

b) Resuelva para z: 632

=

z c) Resuelva para x: 3

3213

=

+ xx




27

Funcin Real de variable real.

Funcin, en matemticas, es el trmino usado para indicar la relacin o correspondencia entre dos o ms cantidades. El trmino fue usado por primera vez en 1637 por el matemtico francs Ren Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemtico alemn Gottfried Leibniz utiliz el trmino para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Su uso ms generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemtico alemn, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribi: "Una variable es un smbolo que representa un nmero dentro de un conjunto, de ello, dos variables x y y estn asociadas de tal forma que al asignar un valor a x entonces, por alguna regla o correspondencia, se obtiene automticamente un valor para y, se dice que y es una funcin (unvoca) de x.

Definicin. Dados dos conjuntos no vacos A y B llamaremos funcin o aplicacin de A en B a toda relacin que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y nada ms que uno. Simblicamente, a las funciones se les designa con letras minsculas (f, g, h, i, ...) y se les denota por: f: A B que se lee: Funcin del conjunto A en el conjunto B mediante f o bien f es una funcin de A en B. Para que una relacin de un conjunto A en otro B sea funcin, debe cumplir dos condiciones, a saber: Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen. La imagen de cada elemento x A debe ser nica. Es decir, ningn elemento del dominio puede tener ms de una imagen.

As pues las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra, por ejemplo: El rea A de un crculo depende de radio r del mismo. La regla que relaciona r con A se expresa mediante la ecuacin A = r2. Con cada nmero positivo r existe asociado un valor de A, por lo que A es funcin de r. El costo C de enviar por correo una carta depende de su peso p. Aun cuando no existe una frmula sencilla que relaciones p con C, la oficina de correos posee una regla para determinar C cuando se conoce p.

Otro tipo de notacin usada en ciencias e ingeniera es la siguiente: y = f(x) Significa: y es la imagen de x mediante f . Note que es lo mismo referirnos a y o a f(x). Cuando hablamos de f estamos haciendo alusin a la funcin (ley), mas no a f(x), pues recuerde que f(x) es el elemento del conjunto de llegada que constituye la imagen de x. f representa las operaciones que han de efectuarse sobre un elemento cualquiera, x, del conjunto de partida para obtener su imagen, y, en el conjunto de llegada. En este caso se dice que la funcin est descrita por una frmula matemtica. As, si la expresin de la funcin y = f(x) es: y = f(x) = x2. Se establece que todos los elementos del conjunto de partida deben elevarse al cuadrado para obtener las imgenes correspondientes en el conjunto de llegada. La ley de correspondencia es fundamental al dar una funcin, pero la funcin no est completamente definida, sino hasta que se da su dominio. Recuerde que el dominio es el conjunto de elementos a los que la funcin asigna valores. En el caso de la funcin elevar al cuadrado, la ley puede expresarse a travs de la frmula: y = f(x) = x2. Cuando no se especifica ningn dominio, el acuerdo general es que el dominio es el mayor conjunto de nmeros reales que, al reemplazar a la variable independiente, produzca valores reales de la variable dependiente.




28

Dada la funcin f : A B, si al elemento a del conjunto A le corresponde el elemento b del conjunto B, anotamos f (a) = b, y decimos que b es la imagen de a segn la funcin f. Inversamente, a es la contraimagen de b respecto de la funcin f. Cuntas contraimgenes le correspondern a un elemento cualquiera del conjunto B?

En una funcin al conjunto de partida, en nuestro ejemplo el A, se le llama dominio de la funcin, (constituye el conjunto de valores admisibles de x (elementos de A que se asocian a elementos de B) y se denota por Dom f. (si se denomina f a la funcin). Ser el dominio igual al conjunto de partida siempre? Justifique su respuesta.

Al conjunto de llegada, en nuestro ejemplo el B, se le llama codominio de la funcin y se denota por Codom f. Al conjunto de valores resultantes de y, se le llama contradominio o recorrido de la funcin y se denota por Ran f. (Constituyen el conjunto de elementos de B que se asocian a elementos de A). A la letra que representa indistintamente a cualquiera de los elementos del dominio se le llama variable. (El trmino contradominio seala con precisin la correspondencia con el dominio. Se le llama tambin mbito, que equivale a la denominacin en ingls de range, la cual suele traducirse errneamente como rango)

Nota: La relacin inversa 1f de una funcin f puede no ser una funcin.

f A B

El dibujo representa una funcin de A en B

f Es el operador determinado por la frmula, regla o ley que nos permite relacionar los elementos del conjunto A con los elementos del conjunto B.

A Es el dominio de la funcin que es igual al conjunto de partida. (Conjunto de preimgenes)

B Es el codominio de la funcin o conjunto de llegada.

C Es el contradominio o recorrido de la variable. (Conjunto formado por todas las imgenes del dominio).

Una funcin es una relacin que cumple con las siguientes condiciones:

Todos los elementos del conjunto de partida tienen imgenes en el conjunto de llegada. Cada elemento del conjunto de partida tiene una sola imagen en el conjunto de llegada.

Dominio Codominio C

Contradominio




29

CLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIN. En la funcin que tiene por expresin algebraica 12 += xy podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha funcin est definida en todo R o bien que su dominio de definicin es todo R. Simblicamente decimos que la funcin est definida de los reales en los reales f : RR a travs de la regla, propiedad o ley y = 2x + 1 Sin embargo la funcin y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor 0=x no puede ser del dominio de la funcin.

El dominio de definicin de una funcin f se designa por Dom f Es el conjunto de valores de x para los cuales existe la funcin

Es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x)

Funcin real de una variable real. Las funciones de la forma f : XR donde X es un subconjunto de R, se llaman funciones reales. Si en la funcin f : XR llamamos x a cualquiera de los nmeros del conjunto X entonces x es la variable independiente y X es el dominio de la funcin. Como el conjunto X est formado por nmeros reales, decimos que la funcin es de variable real y como las imgenes tambin son nmeros reales decimos que la funcin es real. Por eso a las funciones de la forma f : XR las llamamos funciones reales de variable real.

Cuando la funcin est dada por medio de una frmula hay que tener en cuenta que el resultado de dividir un nmero por cero no es un nmero real. Tampoco es un nmero real el resultado que dan las races de ndice par de nmeros negativos ni los logaritmos de argumento negativo o cero.

Funciones Polinmicas: Son aquellas cuya expresin algebraica es un polinomio, tienen como dominio de definicin todo el conjunto de los nmeros reales R, puesto que a partir de una expresin polinmica, y sustituyendo el valor de x por el nmero real que hayamos elegido podemos calcular, sin ningn problema, el nmero real imagen y. Por ejemplo:

f (x)= 3x5 8x + 1; D(f) = g(x)= 2x + 3; D(g) = h(x)= ; D(h) =

Funciones Racionales: Si la funcin es racional, esto es que su expresin es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las races del polinomio denominador, es decir, sus ceros. As pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuacin Q(x) = 0 y obtendremos dichas races x1, x2,..., xn, y as tendremos que Domf = R {x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio de definicin de la funcin todos los nmeros reales salvo x1, x2,..., xn.

Como el denominador no puede valer cero, para determinar los ceros, procedemos as:

1ro. Igualamos el denominador a cero y resolvemos la ecuacin que resulta.

2do. El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales, menos el nmero o los nmeros que nos resulten de resolver la ecuacin anterior.




30

+ +

Por ejemplo: a) ( )

92

2

+=

x

xxf Resolvemos la ecuacin x2 9 = 0; y obtenemos x1 = 3 y x2 = 3

Por lo tanto Domf = R {+3, 3}

b) ( )1

22 +

=

xxg Resolvemos la ecuacin x2 +1 = 0; y nos encontramos que no tiene solucin.

Como no hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto Domf = R.

Funciones Irracionales: Son las que vienen expresadas a travs de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene ndice impar, entonces el dominio ser todo el conjunto R porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raz de ndice impar de la expresin que haya en el radicando. Pero si el radical tiene ndice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existir la raz y por tanto no tendrn imagen. Veamos el mtodo para conseguir el dominio en este caso a travs de unos ejemplos:

a) ( ) 1+= xxf Resolvemos la inecuacin 101 + xx

x + 1 es una expresin positiva si x pertenece al intervalo [1, + ). Domf = [1, +)

b) ( ) 4 2 25= xxg Resolvemos la inecuacin x2 25 0; y obtenemos (x + 5) (x 5) 0 R nos queda dividido en tres zonas y probamos en cul de ellas se da que el signo del radicando sea positivo.

5 5 Por lo tanto D(g) = (,5] U [+5, +)

c) ( )4 2 82

1

=

xxxh Resolviendo 0822 > xx ; obtenemos (x + 2)(x 4) >0;

Observa que ahora la inecuacin se plante con desigualdad estricta, esto es porque el radicando est en un denominador y por lo tanto no puede valer 0. R nos queda dividido en tres zonas y estudiando el signo del radicando obtenemos el dominio: D(h) = (,2) U (+4, +)

Como la parte subradical de races de ndice par no puede ser negativa, para determinar los nmeros positivos procedemos as:

1ro. Con la parte subradical formamos una inecuacin mayor o igual a cero y resolvemos.

2do. El dominio de la funcin es el intervalo que nos resulta en la resolucin de la inecuacin anterior.




31

Clculo del dominio cuando la variable est como argumento de un logaritmo (Funcin logartmica): Los logaritmos no estn definidos para nmeros negativos ni para el cero, por tanto toda funcin contenida dentro de un logaritmo es necesariamente mayor estricto de cero.

Por ejemplo: Log(x2 9) x2 9 > 0 despejando obtendremos x > 3 y x < 3.

La unin de ambas soluciones representa el dominio de la funcin: (,3) U (3, +).

Obtencin del dominio de definicin a partir de la grfica:

Cuando una funcin se nos presenta a travs de su grfica, simplemente con proyectar sobre el eje de abscisas dicha grfica conseguimos el dominio de definicin. Esto es porque cualquier valor de x del dominio tiene su correspondiente imagen y por ello le corresponde un punto de la grfica; y ste punto es el que al proyectar la misma sobre el eje OX nos incluye ese valor dentro del dominio.

En el ejemplo vemos coloreado de azul el dominio (un poco ms abajo del eje para que sea bien visible la escala del eje de abscisas). En este caso tenemos que ( ) ( ]7 ,22 , =Domf

De una manera vulgar, podramos decir que si aplastamos la grfica sobre el eje OX y sta estuviese manchada de tinta, quedara manchado sobre el eje justo el dominio de definicin de la funcin f.

Ejemplos: Las siguientes funciones estn definidas en el campo de los nmeros reales. Determine el dominio de cada una de ellas:

a) b)

Solucin a) Razonamos as: Como la variable est en el denominador y como el denominador no puede valer cero (0), igualamos a cero el denominador, resolvemos la ecuacin que nos resulte y el dominio es todo el conjunto de los nmeros reales menos la o las soluciones de la ecuacin.

As: Respuesta a) Dom = { }1

Solucin b) Razonamos as: Como el valor de las races de ndice par de nmeros negativos no pertenece al conjunto de los nmeros reales (pertenece a los nmeros complejos), para que la funcin est definida es necesario que la parte subradical sea cero o positiva, por lo tanto con la parte subradical formamos una inecuacin igual o mayor que cero. El intervalo respuesta es el dominio. Por lo tanto:

Respuesta b) Domg = [ )+, 4 42882082 = xxx

223

=

x)x(f 82 = x)x(g

12222022 ==== xxx




32

Ejemplo: Hallar el dominio de la siguiente funcin ( ) ( )21 aLnag =

Solucin: Recordemos que para que un logaritmo exista, su argumento debe ser positivo.

01 2 > a Sumando a2 a ambos miembros

2

222

101a

aaa

>

+>+

12 < tt ) ( 3 2 1 0 1 2 3

Dom(v) = ( , 2) (2, +)




33

Ejemplo: Hallar el dominio de la siguiente funcin ( )xxx

xg23

123 +

=

Solucin: El denominador no debe ser cero, por lo tanto, se hallan los ceros del denominador y dichos valores no pertenecen al dominio. Para hallar las races, primero se extrae x como factor comn.

( ) 023023

2

23

=+

=+

xxx

xxx

Igualando a cero ambos factores, se obtienen los valores de las races.

x = 0

0232 =+ xx Resolvemos completando cuadrados

21

23

41

23

041

23

0249

493

2

2

2

==

=

=++

xx

x

xx

12

23

21

23

21

21

23

21

23

==

+=+=

==

xy x

y x x

xyx

Entonces el conjunto de ceros es { } 2100 ,,C = , luego el dominio de la funcin g es:

( ) { } 210 ,,Dom g =




34

( ) [ ] 2222 ,Dom f =

Ejemplo: Hallar el dominio de la siguiente funcin ( ) ( )29 xLnxf =

Solucin: En este ejercicio se deben cumplir dos condiciones; que el radicando sea positivo o cero ( ( ) 09 2 xLn ) y que el argumento del logaritmo sea positivo ( ( ) 09 2 > x ) ( ) 09 2 xLn 09 2 > x

Recordemos que el logaritmo de 1, en cualquier base, es siempre 0, luego reemplazando en la primera propiedad resulta:

( ) 19 2 lnxLn 09 2 > x

19 2 x 09 2 > x

82 x 92




35


1. Calcula el dominio de las funciones que se dan a continuacin:

1) ( )62

2

+=

x

xxf 2) ( )

822

2

=

xx

xxf 3) xxy 62 =

4) 82

22

2

+

=

x

xxy 5) ( )6

12

2

=

xx

xxg 6) 3= xy

7) ( )155

1

=

xxf 8) ( ) 7+= xxf 9) ( )

1632

2

=

x

xxf

10) 12 += xy 11) ( ) 322 ++= xxxf l2) ( ) xxxf 62 =

13) y = 3x 14) y = x

1 15) y =

15x

16) 7= xy 17) 9

32

=

x

xy 18) 82

122

+=

xx

xy

19) xx

y

= 21

20) 44

32 =

x)x(f 21) y = 92 x

22) y = x+

214

23) y = 361

2x

24) y = 3+xx

25) ( )

21

+

=

x

xxg

26) ( )21

+

=

x

xxh 27) 3 2 3+= x)x(f

28) ( ) ( )652 ++= xxlogxf 29) ( ) xlnxj 31=

30) ( ) ( )2 xloglnxh =

31) ( ) ( )42 = xlnxi 32) ( ) ( )7= xarcsenxm

33) ( ) ( )xln arccosxn =

34) ( )senx

xf

=

11

Ver: http://usuarios.multimania.es/arquillos/dominios.htm




36

N A M

B

R S

2.- Determina si las relaciones mostradas a continuacin son funciones. Escriba las relaciones mediante pares ordenados.

R S

P Q

La grfica de una funcin es una curva en el plano xy. Pero surge la cuestin: Cules curvas en el plano xy son grfica de funciones? La siguiente prueba responde lo anterior.

Prueba de la lnea vertical: Una curva en el plano xy es la grfica de una funcin de x si y slo si ninguna lineal vertical interseca a la curva ms de una vez.

Si cada lnea vertical x = a interseca una curva solo una vez, en (a, b), se define exactamente un valor funcionalmente medible f(a) = b. Pero si una lnea x = a se interseca con la curva dos veces, en (a, b) y (c, d), entonces la curva no puede representar una funcin pues una funcin no puede asignar dos valores diferentes a a. Por ejemplo, la parbola x = y2 2 de la figura no es la grfica de una funcin de x porque existen lneas verticales que intersecan dos veces esa parbola. Sin embargo, la parbola en realidad contiene la grfica de dos funciones de x. Observe que x = y 2 2 significa y 2 = x + 2, por lo que Por esto, las mitades superior e inferior de la parbola son la grfica de las funciones

2+= xy ; 2+= xy

1.

2.

3.

.a

.b

.c

.

1.

2.

3.

.3

.4

.0

.9

a.

b.

c.

.2

a.

b.

c.

d.

.-1

.8

.3

.11

2+= xy




37

1 2

2

1

x

y f (x) = x+1

y1

x1

lgebra de Funciones.

Funcin Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva: Dada la funcin f : XY; X R. Si a cada valor de su recorrido le corresponde exactamente un elemento en su dominio, la funcin ser inyectiva. Adems, si el recorrido de f es todo el conjunto Y, la funcin es sobreyectiva.

Funcin Inyectiva. Una funcin es inyectiva, si y slo si, elementos distintos en el dominio, tienen imgenes diferentes en el codominio, es decir, ninguna imagen se repite. Se escribe formalmente de la siguiente forma: f es inyectiva ( ) ( )212121 xfx f xxxx : ,

( ) ( ) 2121 xxxfxf ==

Desde el punto de vista grfico, esto nos indica que si trazamos una recta segmentada paralela al eje de las x por cualquier elemento del conjunto de imgenes, sta debe cortar a la grfica en un solo punto.

Ejemplo: Determinar si es inyectiva o no la siguiente funcin real: ( ) 1+= xxf

Solucin: Analticamente: Partimos de que ( ) ( )21 xfxf = y si logramos establecer que 21 xx = habremos demostrado que es inyectiva.

Hallamos las imgenes de ambos elementos: ( ) 111 += xxf y ( ) 122 += xxf e igualamos las imgenes: 11 21 +=+ xx , simplificando ambos miembros tenemos: 1121 += xx luego 21 xx = Con lo que queda demostrado que la funcin s es inyectiva.

Grficamente: En la grfica observamos que al trazar cualquier lnea, punteada en este caso, paralela al eje x corta a la grfica en un solo punto.

Respuesta: La funcin real ( ) 1+= xxf es inyectiva.

Funcin Sobreyectiva. Una funcin es sobreyectiva si y slo si el rango es igual al codominio, es decir, Sea ( )x f y B f:A = f es sobreyectiva ( ) yxf:Ax,By =

De manera grfica podemos afirmar que una funcin es sobreyectiva si su grfica es siempre cortada por una recta paralela al eje x trazada por cualquier punto.

Ejemplo: Sea ( ) 3xx f :f = f es sobreyectiva? Solucin: Veremos analticamente si es sobreyectiva calculando el rango, para lo cual despejamos x y tenemos 3 yx = , como el ndice de la raz es impar, la parte subradical puede tomar cualquier valor real, luego el rango es igual al conjunto de llegada o codominio.

1



Prof. Edgar J. Salazar P. coopind@

Mate 1

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