MATE uni

Matemt

Solucionario

2011 -IIExamen de admisin

Matemtica

1

TEMA P

PREGUNTA N. 1Indique la alternativa correcta despus de determi-nar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:I. Existen 8 nmeros de 3 cifras tales que al ser

divididos entre 37 dan un residuo igual a la cuarta parte del cociente.

II. Sean a,b N; si (a+x)(b x)=ab, entonces se tiene que x=0.

III. Si D=dc+r con 0 r < c y c >1, entonces el conjunto

{x Z / D+x=(d+x)c+r} es unitario.

A) VVV B) VVF C) FFV D) FVF E) FFF

Resolucin

Tema: Lgica proposicional

Anlisis y procedimientoI. (F)

abc

k 4k

37 abc=37(4k)+k

abc=149k1; 2; 3; 4; 5; 6

6 valores

II. (F)

(a+x)(b x)=ab; a; b N

ab ax bx x ab + =2

(b a)x=x2

x(x (b a))=0

x=0 x=b a

x no necesariamente es 0.

III. (V)

D=dc+r con 0 r < c y c > 1

{x Z/ D+x=(d+x)c+r}

D+x=dc+xc+r}

D+x=dc+r+ xc}

D

x=x c x(c 1)=0

Como c > 1, entonces x=0

Entonces el conjunto

{x Z/ D+x=(d+x)c+r}={0} es unitario.

RespuestaFFV

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 2Qu cantidad de desinfectante (en litros) al 80% se debe mezclar con 80 litros del mismo desinfectante al 50% para obtener un desinfectante al 60%?Indique adems el porcentaje de desinfectante al 50% en la solucin final.

A) 40 y 33,33% B) 40 y 66,67% C) 60 y 33,33% D) 60 y 66,67% E) 66,67 y 60%

2unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO

Resolucin

Tema: Regla de mezcla

Anlisis y procedimientoDel enunciado, tenemos que

n

n+80

80% 50%

60%

80

pierde20%

gana10%

Volumen del desinfectante al 80%

Se sabe que

(ganancia aparente)=(prdida aparente)

10% 80=20%n

n=40

Por lo tanto, el volumen de desinfectante al 80%

es 40 litros.

Adems, debemos calcular el tanto por ciento de

desinfectante al 50% en la solucin final. Para

ello, debemos realizar lo siguiente.

x%volumendel desinfectanteal 50%volumendel desinfectanteal 0

=

6 %%%

100

Reemplazando los valores, tenemos

x

n% %=

+

8080 100

x% %=

+

8040 80 100

x%=66,67%

Por lo tanto, el tanto por ciento del desinfectante

al 50% en la solucin final es 66,67%.

Respuesta40 y 66,67%

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 3Un empresario firma una letra por S/.48 000 a ser pagada en 8 meses al 7% de descuento anual. Luego de transcurridos 3 meses decide cancelar la letra, pues debe viajar para radicar en Australia. Calcule la diferencia entre la cantidad que recibi y cancel el empresario en nuevos soles, sabiendo que el acreedor cede un bono del 0,2% sobre el valor nominal, si se cancela.

A) 740 B) 742 C) 744 D) 746 E) 748

Resolucin

Tema: Regla de descuentoPara el clculo del valor actual (Va) en el descuento comercial, debemos tener en cuenta lo siguiente.

Va Vn

t

Dc

Dc=Vn r% t

Va=Vn Dc

3unI 2011 -IISolucionario de Matemtica

Anlisis y procedimientoRealizamos un diagrama de tiempo.

Va1 Va2 Vn=S/.48 000

cantidad que recibi

3 meses 5 meses

D1

D2

cantidad que deba cancelar sin bono

Va1=48 000 48 000

712

8 45 760%

= S/.

Va2=48 000 48 000

712

5 46 600%

= S/.

Bono=0,2%(48000)=S/.96

La cantidad que se cancel con el bono es

S/.46 600 S/.96=S/.46 504

Finalmente, la diferencia entre la cantidad que recibi y cancel el empresario es

S/.4 S/.4 S/.744lo quecancel

lo querecibi

6 504 5 760 =

Respuesta744

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 4Sean A=1a14, B=1101a y C=1a24a5.

Determine la suma en cifras de C en base decimal, si C=AB.

A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

Resolucin

Tema: Numeracin Recordemosqueenunnumerallascifrasson

menores que la base. Paraexpresarunnmerodeunabasedistinta

de 10 a base 10 se emplea la descomposicin polinmica.

Ejemplo

2357=272+371+5=124

2357=124

Anlisis y procedimientoSe tienen los numerales

A=1a14; B=1101a; C=1a24a5

Se observa que

1 < a < 4

a=2 a=3

A=1a14 B=1101a C=1a24a5

a=2 1214=25 11012=13 122425=947

a=3 1314=29 11013=37 132435=1073

Como

C = A B

947=2513

1073=2937

C=1073

Entonces la suma de cifras de C es 11.

Respuesta11

AlternAtivA C


PREGUNTA N. 5El nmero N=3b 5a (con a 1) tiene tres divisores ms que M=2a 53. Determine la suma de las inversas de los divisores de M.

A) 1,564 B) 1,852 C) 2,184 D) 1,248 E) 1,384

Resolucin

Tema: Estudio de los divisores

Anlisis y procedimiento

N=3b5a

CD(N)=(b+1)(a+1)

M=2a53

CD(M)=(a+1)4

Dato

CD(N) CD(M)=3

(a+1)(b+1) (a+1)4=3

a b+( ) ( ) =1 3 33 1

; como a 1

a=2; b=4

Luego

M=2253

SID( )M =

+ +( ) + + +( )=

1 2 4 1 5 25 125

2 52 1842 3,

Respuesta2,184

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 6Determine la cantidad de fracciones propias e irreductibles que estn comprendidas entre 9/33 y 45/47 tales que la suma de sus trminos sea 90.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Resolucin

Tema: FraccionesSabemos que

ND

fraccin propia N < D

ND

fraccin irreductible N y D son PESI

SiN y D son PESI N y N+D son PESI


Sea ND

fraccin propia e irreductible, adems,

N+D=90

Por condicin del problema

933

4547

<


Respuesta6

AlternAtivA D

PREGUNTA N. 7Sea 2 ab+6 ab+12 ab+20 ab+...+72 ab un nmero natural, cuya cantidad de divisores es impar. Cuntos valores puede tomar ab?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Resolucin

Tema: PotenciacinRecuerde que

12+23+34+...+

+n(n+1)=n n n+( ) +( )1 2

3

La cantidad de divisores de un nmero na-tural es impar si y solo si dicho nmero es un cuadrado perfecto.

Siunnmeronaturalespotenciaperfecta de grado 2, entonces todos los exponentes de los factores primos en su descomposicin

cannica son 2 .

Anlisis y procedimientoSea

A=2ab+6ab+12ab+20ab+...+

+72ab

donde A N CD (A) es impar.

Entonces

A=ab[12+23+34+45+...+89]=K2

K ab2

8 9 103

=

K2=2435ab ab35

3522

ab=15 ab=60

Entonces existen dos valores para ab.

Respuesta2

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 8El mnimo comn mltiplo de dos nmeros distin-tos es al mximo comn divisor de ellos como 35 es a 1. Si el nmero mayor es 3017, determine la suma de las cifras del nmero menor.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 5 E) 16

Resolucin

Tema: MCD - MCM

Anlisis y procedimientoSean A y B los nmeros donde A > B.

Adems, MCD(A; B)=d.

Por propiedad se sabe que

A=d pB=d q p y q son PESI

Luego

MCM(A; B)=d p q

Ahora segn la condicin del problema se

tiene que

MCM( ; )MCD( ; )

A BA B

= 351


Reemplazando tenemos

d p qd = 35

1 (simplificando)

p q=75 ( p > q pues A > B)

Luego

(p=7 q=5) ( p=35 q=1)

Adems, se sabe que el mayor de los nmeros es 3017 (A=3017 p 35).

Entonces

A=d 7=3017 d=431

B=d 5=2155

431

Por lo tanto, la suma de cifras del menor nmero (B) es 13.

Respuesta13

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 9Sean los conjuntos

A x x x M= { }RB x x x M= + { }REntonces los valores de M tales que A B son:

A) M {0}

B) M

12

12

;

C) M [1; 1]

D) M [0;

E) M ;

Resolucin

Tema: Inecuaciones con valor absolutoSabemos que

Sib 0: |a| b a [ b; b].

Sib < 0: |a| b a no toma ningn valor

en R.

Anlisis y procedimientoDados

A x x x M= { }R B x x x M= + { }RTenemos que

M 0: x=0 A B

A B

M < 0: A= B=

A B=

Luego

A B M 0

M [0;

RespuestaM [0;

AlternAtivA D

PREGUNTA N. 10Dadas las siguientes proposiciones:I. Si existe n N tal que n2 < 0, entonces

existe n N tal que n 3=0.II. Si para todo x R se tiene x2 0, entonces

existe x 1; 1 tal que ex < 0.III. Si existe n N tal que n2 < 0, entonces

existe x R tal que ex < 0.Indique la secuencia correcta despus de deter-minar si es verdadera (V) o falsa (F).

A) VVV B) VFV C) FVV D) VVF E) FFF


Resolucin

Tema: Lgica proposicionalLa tabla de verdad del operador condicional es la siguiente.

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V


I. Si existe

tal que

n

n

0 b 1


Me ee e

=

+ ( ) + + +1

3 101

303 3log log log log

+

+ ( ) + 1

10 31

13log log loge e

La suma de logaritmos en la misma base es logaritmo del producto.

Me e e ee

= + + + 130

130

130

11

3 3log log log log

M ee e e e= + + + log log log log30 30 303 10 3 1

M ee= + log30 30 3 1 Ln

M = + =1 3 1 3Ln Ln

RespuestaLn(3)

AlternAtivA D

PREGUNTA N. 17

Considere la matriz Ak

kk k

=

1 41 41

Determine el conjunto de valores de k para que A sea invertible.

A) k R\{0} B) k R C) k R\{4}

D) k = 4 E) k=0

Resolucin

Tema: Matrices - determinantes1. Para que una matriz cuadrada A sea inver-

tible, |A| 0.

2. Aplicamos operaciones con filas.

Anlisis y procedimientoPiden el conjunto de valores para que la matriz

Ak

kk k

=

1 41 41

sea invertible.

Entonces |A| 0.

Aplicando propiedades

Ak

kk k

F F

F F=

1 4

1 41

2 1

3 2

A

kk k

k=

1 44

0 40 40

|A|=(k 4)2 0 k 4

k R {4}

Respuestak R\{4}

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 18

Al resolver el sistema z i

y

=

=

3 2

12x donde z=x+iy

es un nmero complejo; la suma de las ordenadas

de los puntos solucin es:

A) 9 B) 8 C) 7

D) 6 E) 5

12

unI 2011 -II Academia CSAR VALLEJO

Resolucin

Tema: Sistema de ecuaciones en CPara dar respuesta a este problema, debemos recordar el mdulo de un complejo y relacionarlo con la ecuacin de una circunferencia, finalmente resolveremos una ecuacin cuadrtica.

Anlisis y procedimientoDado el sistema

z i

y x

=

3 2 (I)

=1 (II)2

La ecuacin (I) representa una circunferencia con centro en (0; 3) y radio r=2.Como z=x+yi (x; y), la ecuacin equivalente a I es x2+(y 3)2=22 (III)De (II) obtenemos x2=y 1, reemplazamos en (III) y obtenemos y 1+(y 3)2=4.

y2 5y+4=0 (y 1)(y 4)=0

y1=1 y2=4, reemplazando II

Luego

CS ( ; ), ; , ;= ( ) ( ){ }0 1 3 4 3 4Piden 1+4+4=9

Respuesta9

AlternAtivA A

PREGUNTA N. 19Sea

S={(x,y)/a1x+b1y C1, a2x+b2y C2, x 0,

y 0}

La regin admisible de un problema de progra-macin lineal.Indique la secuencia correcta despus de determi-nar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).

I. Si se modifica S, obtenindose

S1={(x, y)/a1x+b1y C1, a2x+b2y C2,

a3x+b3y C3, x 0, y 0}, la solucin no

cambia, en un problema de maximizacin.

II. Si f(x,y) es la funcin objetivo, y (x0, y0) es la

solucin en S1 entonces, en un problema de

minimizacin se tendr f(x0, y0) f(x1, y1).

III. En general S1, la nueva regin admisible,

puede o no variar en relacin a S.

A) FFV B) FVV C) FFF D) VVF E) VFV

Resolucin

Tema: Programacin linealCondicin de mnimo en un problema de programacin lineal f(x0; y0) es el mnimo (x; y) S

f(x0; y0) f(x; y) (x; y) S

Anlisis y procedimientoI. Al aumentar una condicin ms (a3x+b3y C3) se obtendr un subconjunto

S1 de S; por lo tanto, los vrtices (puntos extremos) pueden ser otros y cambiar la solucin.

Veamos un contraejemplo.

SS

Y

X

(0; 3)(2; 2)

(3; 0)

mxf(x; y)=x+y

La solucin es (2; 2)

S1S1

Y

X

(0; 2)

(2; 0)

mxf(x; y)=x+y

A

B

13

unI 2011 -IISolucionario de Matemtica

La solucin es cualquier punto de la recta AB.

Por lo tanto, la proposicin I es falsa.

II. Como S1 S y f(x0; y0) f(x; y) (x; y) S

porque estamos minimizando, entonces un

caso particular es (x; y)=(x1; y1) S1 S.

f fx y x y0 0 1 1; ;( ) ( ) Por lo tanto, la proposicin II es verdadera.

III. S1 en relacin a S s puede variar como el

ejemplo de la proposicin I.

Por lo tanto, la proposicin III es verdadera.

RespuestaFVV

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 20Sea una sucesin de rectngulos R1, R2, ..., Rk,

donde el k-simo rectngulo tiene lado 1 1

3k ky

+;

entonces, la suma de las reas de todos los rectngulos es igual a:

A) 1 B) 1118

C) 76

D) 13

E) 16

Resolucin

Tema: SeriesPara resolver este problema haremos uso de algunas propiedades de sumatorias, en particular de la propiedad telescpica.

f f f fk k

k

n

n( ) +( )=

( ) +( )( ) = 11

1 1

Finalmente, aplicaremos lmites cuando n tiende al infinito y obtendremos el resultado requerido.

Anlisis y procedimientoSea {Rk} la sucesin de rectngulos, tal que el

k-simo rectngulo tiene de lados 1 1

3k ky

+.

Luego, Ak kk

=

+( )13

representa el rea de este

k-simo rectngulo.

Luego, debemos calcular Akk=

1

, as

Ak kkk k= =

=+( )

1 1

13

=

+

=

131 1

31 k kk

=

++

+

++

+

+

=

131 1

111

12

12

131 k k k k k kk

=

+

+ + + +

==

13

1 11

11

1211 k k k kkk

+

+

+

=

12

131 k kk

=

+

+ + + +

+ ==

13

1 11

11

1211

l mn k

n

k

n

k k k k

+

+

+

=

12

131 k kk

n

Usamos la propiedad telescpica y obtenemos

An nk nk

=

++

+

+ +

=

13 111

12

12

0 0

1lm

+

+

13

13

0

n

Akk

= + + =

=

13 112

13

11181

Akk

=

=

111812

u

Respuesta1118

AlternAtivA B

14


PREGUNTA N. 21En un cono circular recto la generatriz mide 12 cm y una cuerda de la circunferencia de la base mide 16 cm. Si la distancia del centro de dicha circunferencia a la cuerda es 4 cm, entonces el volumen del cono (en cm3) es:

A) 6403

B) 6413

C) 6423

D) 6433

E) 6443

Resolucin

Tema: Cono de revolucin

Anlisis y procedimientoSe pide el volumen del cono V.

A

M48

8

BB

V

54O

r

12 12h

SesabequeV =r h2

3 (I)

AltrazarOM AB MB MA = = 8

OMB: OB = 4 5

En el VOB: h22 24 5 12+ ( ) =

h=8

Reemplazando en (I)

V =( ) pi 4 5 8

3

2

V =

6403

pi

Respuesta6403

AlternAtivA A

PREGUNTA N. 22Considere dos esferas tangentes exteriormente, cuyos radios miden 1 cm y 3 cm respectivamente. Calcule el volumen (en cm3) del cono circular recto circunscrito a las dos esferas.

A) 80 B) 81 C) 82 D) 83 E) 84

Resolucin

Tema: Esfera

R

h

Vcono =piR h2

3

15


Anlisis y procedimientoNos piden Vcono.

A

r

12

30

30

M

NO1

O2

2

3

3

1

V

R

T

H

33

Datos: Las esferas tangentes exteriores estn inscritas en el cono de revolucin.

Adems, r=1 y R=3

Se observa que

O1O2H: Not. de 30 y 60

m HO1O2=30

Como O H VM1 // , entonces

m TVA=30

En VTA: TA = 3 3

Vcono =

( ) pi 3 3 93

2

Vcono=81

Respuesta81

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 23En una pirmide regular de base cuadrangular, el punto medio de la altura dista de una cara lateral y de una arista lateral 6 u y 8 u respectivamente. Calcule la altura (en u) de la pirmide.

A) 6 2

B) 12 2

C) 18 2

D) 24 2

E) 34 2

Resolucin

Tema: Slidos geomtricos (pirmide) Entodotringulorectngulo

ah

b

1 1 12 2 2h a b

= +

Anlisis y procedimientoPiden OP.

OP=2h

2m

mm FF

66hh

88

BBGG

hh

OO 2m2m M

C

DA

E

P

222m2m

16


Como O: Centro del cuadrado ABCD

= ( )OA OM2

Setraza

GE // AO y GF // OM

Por teora de la base media

AO=2(EG)

OM=2(GF)

Porrelacionesmtricas

EGP:1

8

1 1

22 2 2= + ( )h m

FGP: 1

6

1 12 2 2= +h m

Luego

164

1 1

22 2= +h m

(I)

136

1 12 2= +h m

(II)

Operandolasexpresiones(I)y(II)

h = 12 2

=OP 24 2

Respuesta

24 2

AlternAtivA D

PREGUNTA N. 24En la figura, C1 es un cilindro circular recto de radio R y altura h. Si en C1 se inscribe un prisma regular cuadrangular y luego en este prisma se inscribe un cilindro circular recto C2 y as se repite el proceso obteniendo los cilindros C3, C4, C5, ...

Si el cilindro C21 es tal que su rea total es 3 veces su rea lateral, entonces el rea lateral de C1 es:

C2

C1

...

A) piR2

402( )

B) piR2

302( )

C) piR2

202( )

D) piR2

152( )

E) piR2

102( )

Resolucin

Tema: Cilindrorea de la superficie del cilindro

h

rea total

AST=2R2+2Rh

17


rea de la superficie lateral

ASL=2Rh


Nos piden ASL de C1.

C2

C1h

...

R

Dato: En el cilindro 21 se tiene

AT(C21)=3ASL(C21)

Sea R21 el radio de la base del cilindro 21.

Entonces en el dato tenemos

2(R21)2+2(R21)h=3(2(R21)h)

R21=2h

hR

= 212

(I)

Luego

ASL(C1)=2Rh (II)

Reemplazando (I) en (II) tenemos

ASL(C1)=R(R21) (III)

Hallando R21 en funcin de R tenemos lo si-guiente.

Analizamos las bases.

C1C2

C3

R1=R

2R

R2R2

R4=2R

2

R3=R/2R3=R/2

R2=R2=22RR

22

Del grfico se observa que

C1 R1=R

C2 R2=R 2

2

C3 R3=R2

C4 R4=R 24

C5 R5=R4

Por induccin se tiene que

C R

R R21 21 101024 2

= =

RR

21 102= (IV)

Reemplazando (IV) en (III) se tiene que

ASL C R

R1 210( )

=

pi

( ) = ( )ASL CR

1

2

202

pi

18


RespuestapiR2

202( )

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 25En la figura ABCDEF.... es un polgono regular cuyo lado mide 2 cm. Calcule PF (en cm).

A

B

C D

E

F

P

A) 4 3 B) 2 13 C) 3 6

D) 6 2 E) 4 6

Resolucin

Tema: Polgonos regularesRecuerde que

A

B

CD

E

F

G

ABCDEFG...: polgono regular

m m mAB BC CD = = = ...

Anlisis y procedimientoPiden PF.

Delgrficom m mBC CD DE = = =

BCE

+ =2

90 a=60

A

B

C D

E

F

P

2 3

2 3

/2

22

22

22

226060

30

3030

m CEF=90 y del PEF

PF( ) = + ( )2 2 22 4 3 PF = 2 13

Respuesta2 13

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 26Dos circunferencias C1 y C2 de centro O y O, respectivamente, son tangentes exteriormente en T. Desde O se traza una tangente a C2 en P y desde O se traza una tangente a C1 en Q (OP no se interseca con OQ). Si se tiene que PQ se interseca con OO en T, entonces la relacin de los radios de dichas circunferencias es:

A) 13

B) 12

C) 1

D) 2 E) 3

19


Resolucin

Tema: CircunferenciaCircunferencias tangentes exteriores

P

Q

r RT

Se cumple que

m mQT TP =

Anlisis y procedimientoPiden

rR

P

Q

r

r R

R

O'OT

Debido a la propiedad m mQT TP = , tenemos

mPQO=mQPO=q

En P, a+q=90

mQOP=90

Luego, OPOQ es un rectngulo

r=R

rR

= 1

Respuesta1

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 27En un rectngulo ABCD, M y N son puntos medios de los lados BC y CD, respectivamente, tales que AM = 2 2 cm y BN = 17 cm . Si P es el punto de interseccin de los segmentos AM y BN, entonces el valor de PM+PN en cm es:

A) 2 2 17

5+

B) 2 2 2 17

5+

C) 3 2 17

5+

D) 2 2 3 17

5+

E) 3 2 3 17

5+

Resolucin

Tema: Semejanza de tringulos


2a

a

2a

2b

2b

b

M

Q

C

D

NNPP

B

4m4m

m

3x3x2x2x

bbRA

a

Nos piden

PM+PN

Datos

AM BN= =2 2 17;

20


Se observa que T BPM y T RPA son semejantes, entonces

PM=m; AP=4m

Pero

AM = 2 2

m m m+ = =4 2 2

2 25

Tambin T BPA y T NPQ son semejantes, entonces

BP=2x; PN=3xPero

BN = 17

2 3 17

175

x x x+ = =

Luego

PN = 3 17

5

PM PN+ =+2 2 3 175

Respuesta2 2 3 17

5+

AlternAtivA D

PREGUNTA N. 28En una circunferencia de 10 cm de radio, dos cuerdas se cortan de manera que el producto de los segmentos que cada una determina sobre s es 1296 cm4. Determine a qu distancia (en cm) del centro se halla el punto de interseccin.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Resolucin

Tema: Relaciones mtricas en la circunferencia

Recordemos el teorema de las cuerdas en la circunferencia.

ab=cd

a

c

d

b

Anlisis y procedimientoDato

abcd=1296 y R=10

d

a

R

R

Ox

bc

(R x)

Nos piden x.

Por teorema de las cuerdas tenemos

(R+x)(R x)=ac (I)

Tambin ac=bd

En el dato

(ac)(bd)=1296

(ac)2=1296

Luego

ac=36 y R=10

En (I) tenemos

(10+x)(10 x)=36

Resolviendo x=8.

21


Respuesta8

AlternAtivA D

PREGUNTA N. 29Los dimetros AB y CD de una circunferencia son

perpendiculares. Si E BD, AE interseca a CD en el punto F y FD=1 cm, entonces la longitud de la circunferencia circunscrita al tringulo FED (en cm) es:

A) 2 B) 2 2 C) 2 3 D) 3 2 E) 3 3

Resolucin

Tema: Circunferencia y figuras circunscritasSe sabe que la longitud de una circunferencia de radio R es igual a 2R.

Anlisis y procedimientoNos piden la longitud de la circunferencia circunscrita al FED=2R.

Datos:

A B

C

D

E

F

1R

RR

O 45

9090

45

Sea R la longitud del radio de la circunferencia circunscrita y DF=1 cm.

Por teorema del inscrito:

m AED=45

mDF = 90

En el DOF: notable 45, R = 22

Luego la longitud de la circunferencia es igual a

22

2pi

2

Respuesta 2

AlternAtivA A

PREGUNTA N. 30El volumen y el rea lateral de un prisma recto de base triangular son 50 m3 y 200 m2, respectiva-mente. Calcule el radio (en m) de la circunferencia inscrita en la base del prisma.

A) 0,25 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 3

Resolucin

Tema: Prisma rectoSe sabe que

A =pr

A

B Ca

bcrr

donde

pa b c

=

+ +

2

22


Anlisis y procedimientoDatos:

V=50 m2

ASL=200 m2

AA

B Crr

Se pide r

Del primer dato

(pr)h=50 m2 (I)

Del segundo dato

2ph=200 m2 (II)

Del (I)(II)

r=0,5

Respuesta0,5

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 31En un tringulo ABC en el espacio, la altura relati-va a AC es 5 3 cm. Sus vrtices A y C estn en un plano horizontal P y el vrtice B es exterior a P de modo que el diedro B-AC-B (B es la proyeccin de B sobre P) mide 37. Si AB=10 cm, entonces la longitud de AB (en cm) es:

A) 10

B) 10,6

C) 127

D) 5 6

E) 6 5

Resolucin

Tema: Geometra del espacio (ngulo diedro)Cuando se pide calcular la medida de un ngulo diedro, recuerde que podemos utilizar el teorema de las tres rectas perpendiculares, y en el caso de que dicha medida sea dato, tambin podemos usar el teorema.

Anlisis y procedimientoPiden AB.

AB=x

B

x

AA

CC

MM

B'B'3737

1010

3355

33

AltrazarBM AC por teorema de las tres perpendiculares:

BM AC

Deldato:

mBMB=37

BBM: notable de 37 y 53

MB BB= =5 3 3 3'

Del ABB:

x2 2 23 3 10= ( ) +

x = 127

23


Respuesta

127

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 32Las diagonales de un trapecio dividen a este en cuatro tringulos. Si las reas de los tringulos adyacentes a las bases son A1 y A2, entonces el rea total del trapecio en funcin de A1 y A2 es:

A) A A A A1 2 1 2+ +

B) 2 1 2A A

C) A1A2

D) A A1 22

+( ) E) A A A A1 2 1 2+

Resolucin

Tema: rea de regiones cuadrangulares

Recuerde que si BC // AD

A D

B C

BBAA

A=B

BBCC

DD

AA

Se cumple que AC= BD

Anlisis y procedimientoNos piden A ABCD.

M O M

A1A1

A2A2

A D

B C

Delgrfico

A ABO=A COD=M

Entonces

A ABCD=A1+A2+2M (I)

Luego

A1A2=MM

M A A= 1 2 (II)

Reemplazamos(II)en(I)

A ABCD=A A A A1 2 1 22+ +

A ABCD= A A1 22

+( )

Respuesta

A A1 22

+( )

AlternAtivA D

24


PREGUNTA N. 33En la figura, O es el centro del crculo trigonom-

trico. Si OA=1 u y tan , = 33

calcule el rea de

la regin sombreada (en u2).

OO A

. A) 79

B) 56

C) 67

D) 78

E) 89

Resolucin

Tema: rea del sector circularDe

rr

SS

S=r2

Adems

3a

a2a

30


30303030

30302r2r

11

rr

Y

X

C2

C1

Del dato

tan = 3

3

q=30

Si r es el radio de C 2, segn el grfico se tiene

3r=1

r = 13

Por lo tanto

A somb.=AC1 AC2

= ( ) pi pi1 13

22

=

89pi

Respuesta89

AlternAtivA e

25


PREGUNTA N. 34En la circunferencia trigonomtrica de la figura

mostrada, el arco pi pi2; , calcule el rea de

la regin sombreada. AM =

OA

X

Y

M

A) 12

12

coscos

B) 21

coscos

C) 12

21

coscos

D) 12

21

+

coscos

E) 12

12

+

coscos

Resolucin

Tema: Circunferencia trigonomtrica

Anlisis y procedimientoSe pide rea ABC

Del grfico

BHO CPO

=

cos1

1 hh

1

1 =cos

h

=

h1

1 cos

Y

XPP

4545

4545

hh

hh

1 h1 h A

B

C

M

OH

cos

1

A ABC=A AOB+A OCA

A ABC=1 12

12

11

+

( )cos

= +

12 11

1 cos

=

1221

coscos

Respuesta12

21

coscos

AlternAtivA C

PREGUNTA N. 35

Si tan tan ,47

37

xa

xb = =y entonces al

simplificar

E a b xx

= ( ) 1 72 2 tan( ) tan ; se obtiene:

A) a b B) a2 b2 C) a+b

D) ab E) a/b

26


Resolucin

Tema: Identidades trigonomtricas de arcos compuestos

Se sabe que

tantan tan

tan tanx y

x yx y

+( ) = +1

tantan tan

tan tanx y

x yx y

( ) = +1

Anlisis y procedimientoPiden simplificar la expresin E.

E a b x

x= ( ) ( ) 1 72 2 tan tan

Dato:

tan47x

a = y tan 37x

b =

Entonces

E a b

x x x x= ( ) + 1 47

37

47

37

2 2 tan tan

E a b

a bab

a bab

= ( ) +

+ 1 1 12 2

E a b

a b

a b= ( ) ( )

( )1 12 2

2 2

2 2

Finalmente

E=a2 b2

Respuesta

a2 b2

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 36

Si x pipi

;54

, determine el rango de la funcin

f x x x( ) = +1 2 sen cos

A) 022

;

B) 0; 1

C) 0 2;

D) 0 3;

E) 0 2 1; +

Resolucin

Tema: Funciones trigonomtricas


Piden el Ran(f ).

f x x xx( ) = + <

27


Del grfico

0 < sen2x < 1

0 > sen2x > 1

1 > 1 sen2x > 0

1 > 1 2 sen x > 0

1 > f(x) > 0

Ran(f )=0; 1

Respuesta0; 1

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 37Para 0 < x < 1, resuelva la ecuacin

arccot arctanxx

=

11

A) +1 5

2

B) +1 4

2

C) +1 3

2

D) +1 2

2

E) +2 2

2

Resolucin

Tema: Funciones trigonomtricas inversas

arccot( ) arctan ;xx

x= >1 0

ax bx c xb b ac

a2

20

42

+ + = =

Anlisis y procedimientoDe la condicin

arccot arctan ;x

xx=

< 0.

tan = +3 2 3

tan2 21 12 3 =

sec2 1 21 12 3 =

sec2 22 12 3 =

Respuesta22 12 3

AlternAtivA B

PREGUNTA N. 39Si A, B y C son los ngulos de un tringulo, 1,2;

2,3 y 3 son las longitudes de sus lados opuestos

a dichos ngulos respectivamente y sen A=L,

calcule el valor de la expresin siguiente:

DA B A C B C

A B C=

+( ) + +( ) + +( )+ +

sen sen sencos cos cos53 42 35

A) L4

B) L6

C) L8

D) L10

E) L12

Resolucin

Tema: Resolucin de tringulos oblicungulosTeorema de senos:

aA

bB

cCsen sen sen

= =

Teorema de proyecciones

a=bcos C+ccos B

b=acos C+ccos A

c=acos B+bcos A

A

B

C

a

b

c

Anlisis y procedimientoSe pide calcular

D

A B A C B CA

C B A

=

+ + + + +

+

sen( ) sen( ) sen( )cos

180 180 180

53 42

ccos cosB C+ 35

DC B AA B C

=

+ +

+ +

sen sen sencos cos cos53 42 35

(a)

A

B

C

1,2

2,3

3

29


Por el teorema de senos tenemos

1 2 2 3 3,sen

,sen senA B C

= =

+ +

+ +=

1 2 2 3 3 1 2, ,sen sen sen

,senA B C A

+ +

=

6 5 1 2,sen sen sen

,A B C L

+ + =sen sen senA B CL65

12 (I)

Por el teorema de proyeccin tenemos

1,2=3cos B+2,3cos C

3=1,2cos B+2,3cos A

2,3=3cos A+1,2cos C

Sumando las tres relaciones

6,5=5,3cos A+4,2cos B+3,5cosC

65=53cos A+42cos B+35cosC (II)

Al reemplazar (I) y (II) en (a) se tiene que

D

L=12

RespuestaL12

AlternAtivA e

PREGUNTA N. 40Cul es la ecuacin de la circunferencia cuyo

centro est sobre la recta y+x=0. Adems, pasa

por los puntos (3; 4) y 3 2 7;( )? A) x2+y2=5

B) x2+y2=9

C) x2+y2=15

D) x2+y2=16

E) x2+y2=25

ResolucinTema: Ecuacin de la circunferencia

(h; k)

r

(x h)2+(y k)2=r 2

Anlisis y procedimientoEcuacin de la circunferencia:

C : (x h)2+(y k)2=r 2

Por dato

I. (h; k) L: y+x=0 k= h

Por lo tanto

C : (x h)2+(y+h)2=r 2

II. (3; 4) 3 2 7;( ) C entonces (3 h)2+(4+h)2=r 2

3 2 72 2 2

( ) + +( ) =h h r

Igualando, tenemos que h=0, entonces k=0

Luego

C : x2+y2=r 2

Como (3; 4) C

32+42=r 2 r 2=25

C : x2+y2=25

Respuestax2+y2=25

AlternAtivA e

MATE uni

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