Mate2 Ec. Diferenciales
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2.- Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solución. Se inyecta al tanque agua que cuya concentración de sal es de 1 lb/gal, a razón de 3 gal/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razón de 2 gal/min. a) Encuentre la cantidad de sal y la concentración de sal en el tanque para cualquier tiempo SOLUCION a) El volumen total del tanque es Vt = 500 gal; sin embargo, antes de iniciar el proceso de mezclado, el tanque no está totalmente lleno, el volumen inicial de líquido en el tanque es V0 = 200 gal y hay disueltos x0 = 100 lb de sal. C 1 =1 lb/min Q 1 =3 gal/min Q 2 =2 gal/min El líquido que se inyecta al tanque tiene una concentración C1 = 1 lb/gal, y se inyecta a razón de Q1 = 3 gal /min. La mezcla V t =500 gal V 0 =200 gal X 0 =100 lb
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2.- Un tanque con capacidad de 500 galones contiene inicialmente 200 galones de agua con 100 lb de sal en solucin. Se inyecta al tanque agua que cuya concentracin de sal es de 1 lb/gal, a razn de 3 gal/min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razn de 2 gal/min. a) Encuentre la cantidad de sal y la concentracin de sal en el tanque para cualquier tiempo
SOLUCIONa) El volumen total del tanque es Vt = 500 gal; sin embargo, antes de iniciar el proceso de mezclado, el tanque no est totalmente lleno, el volumen inicial de lquido en el tanque es V0 = 200 gal y hay disueltos x0 = 100 lb de sal. Vt=500 galV0=200 galX0=100 lb
C1=1 lb/minQ1=3 gal/min
Q2=2 gal/min
El lquido que se inyecta al tanque tiene una concentracin C1 = 1 lb/gal, y se inyecta a razn de Q1 = 3 gal /min. La mezcla debidamente agitada y homogeneizada sale del tanque a razn de Q2 = 2 gal /min.La ecuacin diferencial asociada a los problemas de mezcla es:
Sustituyendo los datos en la ecuacin :
La ecuacin es una ecuacin diferencial lineal, de la forma x(t) + F(t)x =G(t). Para resolverla debe determinarse un factor integrante :
= = (200 + t)2
Multiplicando la ecuacin por el factor integrante (200 + t)2(200 + t )2 + 2(200+t) x =3(200+t)2Despejamos
multiplicando por (200+t)2 y reordenando los trminos de la ecuacin:(200+t)2dx + 2(200+t)xdt = 3(200+t)2dtPuesto que:(200+t)2dx + 2(200+t)xdt =d[(200+t)2x]Sustituyendo:d[(200+t)2x]= 3(200+t)2dt
Integrando:
(200+t)2x = (200+t)3 + kPara determinar el valor de la constante de integracin k, se utiliza la condicin inicial para el tiempo t = 0 min, la cantidad de sal en el tanque es x = 100 lb. Sustituyendo estos valores en la ecuacinK= -100(200)2Entonces x(t) es : X(t) = (200+t) - 100La ecuacin representa la ley de variacin de la cantidad de sal en el tanque en funcin del tiempo. Para determinar la ley de variacin de la concentracin de sal en el tanque en cualquier instante t, se debe recordar que la concentracin en cualquier instante t se obtiene como el cociente entre la cantidad de sal en cualquier instante t y el volumen en cualquier instante t
C(t)=Entonces es:
La ecuacin representa la ley de variacin de la concentracin de sal en el tanque en cualquier instante t .
