MateFinancie_F02
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1
Semestre 3
Fascculo
2
Matemticas
Financieras
-
Matemticas
financieras Semestre 3
Matemticas financieras
-
Matemticas financieras
Semestre 3
Tabla de contenido Pgina
Introduccin 1
Conceptos previos 1
Mapa conceptual fascculo 2 1
Logros 2
Inters Simple e Inters Compuesto 2
Inters simple 7
Monto 7
Capital 9
Tasa de inters 10
Tiempo 11
Inters compuesto 12
Valor futuro 13
Valor presente 15
Tasa de inters (Inters compuesto) 16
Tiempo 18
Actividad de trabajo colaborativo 19
Resumen 20
Bibliografa recomendada 20
Nexo 21
Seguimiento al autoaprendizaje 23
Crditos: 3
Tipo de asignatura: Terico Prctica
-
Matemticas
financieras Semestre 3
Matemticas financieras
Copyright2008 FUNDACIN UNIVERSITARIA SAN MARTN
Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,
Educacin a Travs de Escenarios Mltiples
Bogot, D.C.
Prohibida la reproduccin total o parcial sin autorizacin
por escrito del Presidente de la Fundacin.
La redaccin de este fascculo estuvo a cargo de
CARLOS FERNANDO COMETA HORTA
Tutor Programa Administracin de Empresas
Sede Bogot, D.C.
Revisin de estilo y forma;
ELIZABETH RUIZ HERRERA
Directora Nacional de Material Educativo.
DIEGO ORTZ MONCADA
Tutor Facultad de Universidad Abierta y a Distancia
Diseo grfico y diagramacin a cargo de
SANTIAGO BECERRA SENZ
ORLANDO DAZ CRDENAS
Impreso en: GRFICAS SAN MARTN
Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825
Bogot, D.C., octubre de 2009.
Conformato:Espaol(alfab.internacional)
Conformato:Espaol(alfab.internacional)
Conformato:Espaol(alfab.internacional)
-
1
Fascculo No. 2
Semestre 3
Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Inters
Simple
Generalidades
Inters
Compuesto
Operaciones financieras complejas
Con base en
y operaciones dey operaciones de
Que apoyan el Es posible resolver
Introduccin
La conceptualizacin y desarrollo de los problemas contenidos en este
fascculo, le brindan al estudiante unos escenarios claros de aplicacin de
variables financieras en las organizaciones y le proporcionan una visin
cercana de su quehacer profesional en el rea financiera.
El uso correcto de los esquemas de trabajo propuestos, le permitir al
estudiante desempearse con acierto en el estudio de presupuestos y
fomentar el desarrollo de una estructura mental adecuada para el
abordaje de sencillas situaciones de inversin, financiacin y operacin.
De igual manera, se analizar el manejo de crditos particulares y banca-
rios, as como la prctica de inversiones privadas y sus implicaciones, ya
que son temas apasionantes que se abordarn con profundidad, a partir
de una clara didctica .
Conceptos previos
Para una mejor comprensin de las transacciones propuestas en el
fascculo, el estudiante debe consultar las tasas de captacin y de
colocacin del mercado financiero.
Mapa conceptual fascculo 2
-
2
Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
Al finalizar el estudio del presente fascculo, el estudiante estar en capa-
cidad de:
Interpretar y proponer soluciones especficas a problemas organizacio-
nales referentes a operaciones financieras de Inters Simple y Comp-
uesto.
Explicar y construir ecuaciones, tablas y diagramas para la argumen-
tacin de situaciones financieras y expresar con suficiencia sus alcances.
Proponer la solucin de problemas reales por medio de la incorporacin
de problemas financieros concretos con cifras y tasas del mercado.
Inters Simple e Inters Compuesto Generalidades
En el fascculo 1 se hizo referencia a la Capitalizacin de Intereses, como
la diferencia entre el Inters Simple y el Inters Compuesto y se definieron
los smbolos a utilizar para estas dos clases de inters.
Antes de analizar cada una de las variables que intervienen en estas
operaciones, realizaremos algunas observaciones importantes para un
adecuado estudio del tema y un paralelo por medio de ejemplos, con el fin
de demostrar los efectos de la capitalizacin de intereses y evidenciar sus
alcances e implicaciones.
Ejemplo 1
Se realiza una inversin de $1.000.000 a una tasa de inters del 3%
mensual, durante 4 meses. Se requiere calcular los intereses generados y
la suma final acumulada (Monto o Valor Futuro), tanto a Inters Simple
como a Inters Compuesto.
Para la mejor comprensin de este ejemplo, se construir progresivamente
una tabla donde se realizarn las observaciones del caso:
LogrosLogrosLogros
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3
Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
CitI
PinI
De acuerdo con la simbologa indicada al final del fascculo 1.
C i t I P i n I
1 1.000.000 0,03 1 30.000 1 1.000.000 0,03 1 30.000
Inters Simple Inters Compuesto
MesCapital
Tasa de
intersTiempo Inters
Mes
Valor
presente
Tasa de
intersTiempo Inters
C i t I P i n I
1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000
2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900 0,031.000.000 0,03
Inters Simple Inters Compuesto
MesCapital
Tasa de
intersTiempo Inters
Mes
Valor
presente
Tasa de
intersTiempo Inters
Tabla 2.1 Primer perodo de intereses.
La operacin consignada en la Tabla 2.1 fue realizada con base en la
frmula 1.2 (fascculo 1).
Para Inters Simple:
Para Inters Compuesto:
En esta tabla (2.1) se observa que al calcular los intereses del primer
perodo no se presenta ninguna diferencia. Esto es as, por cuanto no se
ha iniciado la capitalizacin de ese inters, hallado en el inters com-
puesto.
Ahora se calcular el inters (I) para el segundo perodo:
Tabla 2.2 Segundo perodo de intereses.
En la Tabla 2.2 se observa:
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4
Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
C i t I P i n I
1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000
2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900
3 1 30.000 3 1.060.900 1 31.827
4 1 30.000 4 1.092.727 1 32.781,81
1.000.000 0,03 0,03
Valor
presente
Tasa de
intersTiempo Inters
Inters Simple Inters Compuesto
MesCapital Tiempo Inters
Tasa de
inters Mes
Respecto del Capital:
En el Inters simple, el capital (C) permanece constante en $1.000.000,
es decir, no se modifica;
En el Inters Compuesto, el capital o Valor Presente (P) se ha incremen-
tado al capitalizarse los primeros $30.000 de intereses generados el
primer perodo y su valor es $1.030.000.
Respecto de los intereses:
En el Inters Simple, el inters (I) del segundo perodo permanece cons-
tante en $30.000;
En el Inters Compuesto, el Inters (I) del segundo perodo se ha incre-
mentado debido al mayor valor del capital y para el segundo perodo es
de $30.900.
Al continuar con este procedimiento durante los meses restantes, se
obtiene el comportamiento reflejado en la siguiente tabla (2.3):
Tabla 2.3 Clculo paralelo de intereses.
Ahora se calcula la Suma Final Acumulada (Monto o Valor Futuro). Para
ello, se toma el capital inicial y se adicionan los intereses:
Inters Simple: M = $1.000.000 + 120.000 = $1.120.000
Inters Compuesto: F = $1.000.000 + 125.508,81 = $1. 125.508,81
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
ICM IPF
En este punto se puede confirmar que el Monto (M) o Valor Futuro (F) se
expresa, de acuerdo con la frmula 1.3 (fascculo 1), as:
Inters Simple Inters Compuesto
Respuesta: En el inters Simple el total de intereses (I) fue de $120.000 y
el Monto (M) fue de $1.120.000. En el Inters Compuesto el total de
intereses (I) fue de $125.508,81 y el Valor Futuro (F) fue de $1.125.508,81
Albert Einstein en una de sus frases, afirm: El Inters Compues-
to es la fuerza ms poderosa de la galaxia. Esta afirmacin se
sustenta en la capacidad que tiene el dinero para reproducirse en
forma geomtrica, al aumentarse peridicamente el capital inicial,
por efectos de la capitalizacin de intereses. Con este fenmeno
se pretende que el dinero conserve su poder adquisitivo. Por esto,
el Inters Simple se utiliza slo excepcionalmente, ya que, al no
capitalizar los intereses, estos pierden poder adquisitivo con el
tiempo.
Ejemplo 2
Calcular los intereses y la Suma Final Acumulada de un capital de
$100.000 invertidos a una tasa de inters del 5% mensual durante 24
meses. Representar esta transaccin por medio de una grfica y
considerar el caso de Inters Simple e Inters Compuesto.
Para establecer el comportamiento de los intereses en cada una de las dos
alternativas, se realizar un paralelo que visualmente permita verificar las
diferencias. Se aproximan las cifras a la unidad:
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6
Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
0
50.000
100.000
150.000
200.000
250.000
300.000
350.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Mon
to (P
esos
)
Tiempo (Meses)
Mes Capital
Inters
por
perodo
Acumulado
por perodoMes Capital
Inters
por
perodo
Acumulado
por perodo
1 100.000 5.000 105.000 1 100.000 5.000 105.000
2 100.000 5.000 110.000 2 105.000 5.250 110.250
3 100.000 5.000 115.000 3 110.250 5.513 115.763
4 100.000 5.000 120.000 4 115.763 5.788 121.551
5 100.000 5.000 125.000 5 121.551 6.078 127.628
6 100.000 5.000 130.000 6 127.628 6.381 134.010
7 100.000 5.000 135.000 7 134.010 6.700 140.710
8 100.000 5.000 140.000 8 140.710 7.036 147.746
9 100.000 5.000 145.000 9 147.746 7.387 155.133
10 100.000 5.000 150.000 10 155.133 7.757 162.889
11 100.000 5.000 155.000 11 162.889 8.144 171.034
12 100.000 5.000 160.000 12 171.034 8.552 179.586
13 100.000 5.000 165.000 13 179.586 8.979 188.565
14 100.000 5.000 170.000 14 188.565 9.428 197.993
15 100.000 5.000 175.000 15 197.993 9.900 207.893
16 100.000 5.000 180.000 16 207.893 10.395 218.287
17 100.000 5.000 185.000 17 218.287 10.914 229.202
18 100.000 5.000 190.000 18 229.202 11.460 240.662
19 100.000 5.000 195.000 19 240.662 12.033 252.695
20 100.000 5.000 200.000 20 252.695 12.635 265.330
21 100.000 5.000 205.000 21 265.330 13.266 278.596
22 100.000 5.000 210.000 22 278.596 13.930 292.526
23 100.000 5.000 215.000 23 292.526 14.626 307.152
24 100.000 5.000 220.000 24 307.152 15.358 322.510
Inters Simple Inters Compuesto
Tabla 2.4 Clculo paralelo de Intereses y Suma Final Acumulada.
En la Tabla 2.4 se observa cmo la operacin bajo el esquema de Inters
Simple presenta un comportamiento lineal, mientras que el crecimiento
bajo el esquema de Inters Compuesto se comporta de manera geo-
mtrica. Esto se confirma con la siguiente grfica (figura 2.1) que ilustra el
fenmeno:
Figura 2.1 Tendencias de Inters Simple y Compuesto.
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
)1( itCM (Frmula 2.1)
Ahora se establece el Inters (I) a partir de los resultados de la Tabla 2.4,
restando el capital inicial de la Suma Final Acumulada (Monto o Valor
Futuro), despejando I en la frmula 2.1 (pgina 10), as:
Inters Simple: I = $220.000 - 100.000 = $120.000
Inters Compuesto: I = $322.510 - 100.000 = $222.510
Respuesta: A Inters Simple los intereses (I) fueron de $120.000 y el
Monto (M) fue de $220.000 y a Inters Compuesto los intereses (I) fueron
de $222.510 y el Valor Futuro (F) fue de $322.510.
2.1
Proponga 2 casos de transacciones comerciales donde sea posible
aplicar el esquema de Inters Simple y de Inters Compuesto. Realice
las tablas y grficas de comparacin entre las dos alternativas y
socialcelas con el tutor.
Inters Simple
Como se plante anteriormente, el inters simple parte de la condicin de
que los intereses generados por un capital no producen nuevos intereses.
El Capital (C) permanece invariable con el tiempo, por lo tanto los intereses
(I) se calculan siempre de la misma forma y teniendo como base los
mismos valores.
Monto
Ahora se va a establecer la frmula abreviada de Monto (M), de acuerdo
con la combinacin de las frmulas 1.2 y 1.3 (fascculo 1), de esta manera:
Se plantea que el Monto es: M = C + I
y que el inters, es: I = Cit
Esto quiere decir que el Monto, es: M = C + Cit
y factorizando esta expresin se obtiene la frmula de Monto a Inters
Simple:
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
Como puede observarse, es posible determinar el Monto (M) de varias
formas: una de estas es hallar los intereses (I) en cada perodo para
sumarlos al Capital (C); otra forma es utilizar la frmula abreviada para
establecer el Monto (M) partiendo de un Capital (C), una tasa de inters (i)
y un tiempo (t).
Para ilustrar el manejo de esta frmula se resolvern los ejemplos 1 y 2 de
este fascculo de manera abreviada:
Recuerde el ejemplo 1. Se realiza una inversin de $1.000.000 a una tasa
de inters del 3% mensual, durante 4 meses. Se debe calcular el Monto
(M) a Inters Simple, as:
M = C (1+it)
M = 1.000.000 (1 + 0,03 * 4)
M = 1.000.000 (1,12)
M = 1.120.000
Respuesta: El Monto (M) a Inters Simple es de $1.120.000
* * *
Ahora, se resuelve el ejemplo 2. Calcular los intereses y la Suma Final
Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de inters del
5% mensual durante 24 meses. Para este efecto, slo se calcular el
Monto (M) a Inters Simple, as:
M = C (1+it)
M = 100.000 (1 + 0,05 * 24)
M = 1.000.000 (2,2)
M = 220.000
Respuesta: el Monto (M) a Inters Simple es de $220.000
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
Ejemplo 3
Se ha firmado un pagar por $12.000.000, para ser cancelado dentro de 9
meses y se ha pactado una tasa de inters del 6,5% trimestral simple.
Determinar cul es su valor al vencimiento.
En primer lugar, se ha de precisar que: como la tasa de inters (i) est
expresada en forma trimestral, entonces el tiempo habr de manejarse
como 3 trimestres, con la frmula, as:
M = C (1+it)
M = 12.000.000 (1 + 0,065 * 3)
M = 12.000.000 (1,195)
M = 14.340.000
Respuesta: el Monto (M) a Inters Simple es de $14.340.000 Capital (C)
Es frecuente que en las transacciones financieras se desee conocer el
valor del capital que requiera ser invertido, para obtener al cabo de un
tiempo cierto Monto, con el que se ha de cancelar una deuda o realizar
una inversin en el futuro.
En estos casos, se despejar el Capital (C) de la frmula de Monto a
Inters Simple, as:
)1( it
MC
tambin se puede expresar:
1)1( itMC
Es importante aclarar, que estas NO son nuevas frmulas. Simplemente
constituyen el despeje de la variable C, en la frmula 2.1.
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
Las tasas de inters se consideran anuales, a
menos que expresa-mente
se indique otra unidad de
tiempo.
Ejemplo 4
Debo cancelar el saldo de un crdito bancario por valor de $8.000.000
dentro de seis meses. Tengo la oportunidad de invertir en un fondo de
inversin a una tasa de inters del 5,5% bimensual simple, (superior a la
que cobra el banco). Qu cantidad se debe invertir para obtener los
$8.000.000?
Se utiliza la frmula de Capital
)1( it
MC
y se reemplaza:
)3*055,01(
000.000.8
C =
165,1
000.000.8 = 6.866.952
79
Obsrvese que el tiempo fue expresado en bimestres (3 bimestres que
equivalen a 6 meses), debido a que la tasa de inters es bimensual.
Respuesta: se debe realizar una inversin de $6.866.95279 para obtener
$8.000.000, dentro de 6 meses a una tasa del 5,5% bimensual simple.
Tasa de Inters (i)
Entendida como el porcentaje del capital que se paga por su uso, la tasa
de inters de una transaccin debe expresarse en una unidad de tiempo,
por ejemplo, 2,2% mensual, 26% anual 7,5% trimestral, entre otras.
Adems, al momento de efectuar las operaciones correspondientes, la tasa
de inters y el tiempo deben estar en la misma unidad. Esto es: si la tasa
de inters es anual, el tiempo debe estar expresado en aos; si la tasa de
inters es semestral, el tiempo debe estar expresado en semestres, etc.
En algunas ocasiones, se invierte un capital (C) y se pacta un Monto (M) a
cancelar durante un determinado tiempo (t), por lo que es necesario
establecer qu tasa de inters (i) se aplic en esa operacin. Tambin es
posible que deba calcular a qu tasa de inters (i) se debe invertir un
capital (C) para obtener un Monto (M) en cierto tiempo (t).
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
En este caso, se despejar la variable Tasa de Inters (i) en la frmula 2.1
de Monto a Inters Simple, as:
t
CMi
1
Ejemplo 5
Qu tasa de inters mensual simple le cobraron, si por tomar $4.800.000
en prstamo, tuvo que cancelar un total de $6.000.000 en 4 meses?
Se utiliza la frmula de Tasa de inters
t
CMi
1 y se reemplaza:
t
CMi
1 =
4
1)000.800.4/000.000.6( = 0625,0
Respuesta: La tasa de inters que recaud en la transaccin fue del 6,25%
mensual simple (la tasa de inters (i) es mensual, porque el tiempo (t) ha
sido operado en meses).
Tiempo (t)
Es el lapso que transcurre entre el principio y el fin de una transaccin. Si
se requiere conocer el tiempo en el que un Capital (C) debe estar invertido
para obtener determinado Monto (M), entonces se debe despejar el
Tiempo (t) de la frmula 2.1, as:
i
CMt
1
Ejemplo 6
Se depositan $20.000.000 en un fondo que reconoce una tasa de inters
del 2,5% trimestral simple, Cunto tiempo tiene que transcurrir para poder
retirar un total de $21.500.000?
Se utiliza la frmula de Tiempo
i
CMt
1 y se reemplaza:
-
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
i
CMt
1 =
025,0
1)000.000.20/000.000.21( = 3
Respuesta: es necesario invertir el dinero durante 3 trimestres, es decir,
durante 9 meses.
Ntese que la respuesta inicialmente se redact en la misma unidad en
que se oper la tasa de inters, es decir, trimestralmente.
Lo usual es presentar los resultados del tiempo en trminos de aos,
meses y das, en lo posible, ya que es ms natural su expresin. Para ello
se deben realizar las conversiones pertinentes entre las diferentes
unidades de tiempo.
Resumen de frmulas derivadas de la frmula 2.1
)1( itCM (Frmula 2.1)
Despeje de Capital: )1( it
MC
Despeje de Tasa de inters:
t
CMi
1
Despeje de Tiempo:
i
CMt
1
2.2
Consulte y explique al menos dos usos diferentes de las frmulas de:
Capital (C), Tasa de Inters (i) y Tiempo (t) a Inters Simple.
Inters Compuesto
La mayora de las operaciones econmicas, comerciales y financieras se
desarrollan bajo esquemas matemticos de Inters Compuesto. Ejemplos
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13
Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
En matemticas financieras,
gradientes son anualidades o series de pagos peridicos,
en los cuales cada pago es
igual al anterior ms una can-
tidad; esta cantidad puede
ser constante o proporcional
al pago inmediatamente ante-
rior. El monto en que vara
cada pago determina la clase
de gradiente. (Tomado de
http://www.eumed.net/libros/
2006b/cag3/2e.htm).
VPN: Valor Presente Neto.
TIR: Tasa Interna de Retorno. Ambos son indicadores de
evaluacin financiera de pro-
yectos.
de esto son: el caso de los salarios, las cuotas de vivienda, los precios de
bienes y servicios, arrendamientos, gastos de educacin, y cuentas de
ahorros, entre otros, que cada ao se incrementan con base en su valor
acumulado.
En adelante, en esta asignatura se utilizar el Inters Compuesto como
base para el abordaje de todos los problemas que se irn planteando y
resolviendo. La aceptacin universal de estos esquemas, ha hecho que los
programas por computador e incluso las hojas de clculo que ejecutan
funciones financieras, lo hagan bajo conceptos de acumulacin de
intereses.
Las operaciones tradicionales de anualidades, gradientes, amortizaciones
y pagos parciales; as como las operaciones complejas de evaluacin
financiera de proyectos de inversin, como VPN y TIR, responden a los
principios del Inters Compuesto.
Es por esta razn que se ha decidido independizar los smbolos con el
Inters Simple, para marcar una diferencia entre los dos esquemas de
trabajo y, adecuar el estudio del Inters Compuesto a las tendencias de
nomenclatura para el desarrollo de software con aplicacin y aceptacin
internacional.
Valor Futuro (F)
Tambin conocido como Monto a Inters Compuesto, consiste en la
acumulacin sistemtica del Inters Simple durante n perodos.
La frmula de Monto a Inters Simple es la base para la construccin de la
frmula de Valor Futuro, que permite ahorrar tiempo y recursos en el
fatigoso clculo de sumas parciales por cada perodo.
La construccin del modelo de Inters Compuesto, tal como se desarroll
en las Tablas 2.3 y 2.4, indica que en cada perodo el clculo del Monto
http://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/2e.htmhttp://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/2e.htm
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14
Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
Compuesto parte del inmediatamente anterior. Los clculos se realizan de
la siguiente forma:
Para el primer perodo: M = C(1+i)
Para el segundo perodo: M = C(1+i) (1+i) = C(1+i)2
Para el tercer perodo: M = C(1+i) (1+i)(1+i) = C(1+i)3
De esta manera, al generalizar a n perodos de tiempo, se encuentra la
frmula de Valor Futuro a Inters Compuesto:
niPF )1( (Frmula 2.2)
Para ilustrar el manejo de esta frmula se resolvern los ejemplos 1 y 2 de
este fascculo, a Inters Compuesto, de manera abreviada:
El ejemplo 1 planteaba: Se realiza una inversin de $1.000.000 a una tasa
de inters del 3% mensual, durante 4 meses. Se debe calcular el Valor
Futuro (F) a Inters Compuesto, as:
F = P (1+i)n
F = 1.000.000 (1+0,03)4
F = 1.000.000 (1,12550881)
F = 1.125.50881
Respuesta: el Valor Futuro (F) a Inters Compuesto es de $1.125.50881
* * *
En el ejemplo 2, se peda Calcular los intereses y la Suma Final
Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de inters del
5% mensual durante 24 meses. Para este efecto, slo se calcular el Valor
Futuro (F) a Inters Compuesto, as:
F = P (1+i)n
F = 100.000 (1+0,05)24
-
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
F = 100.000 (3,22510)
F = 322.510
Respuesta: el Valor Futuro (F) a Inters Compuesto, es de $322.510. Ejemplo 7
Hoy consigno, $3.000.000 en una cuenta bancaria que paga intereses a la
tasa del 1,2% trimestral vencido. Cunto dinero tendr acumulado en la
cuenta dentro de quince meses?
La tasa de inters tiene capitalizacin trimestral, por esta razn el tiempo
se expresar en trimestres.
Los datos en este problema son:
P = $3.000.000; i = 0,012 trimestral; n = 5 trimestres
Aplicando la frmula de Valor Futuro, se tiene:
F = P (1+i)n
F = 3.000.000 (1+0,012)5
F = 3.000.000 (1,061457384)
F = 3.184.37215
Respuesta: el Valor Futuro (F) a Inters Compuesto es de $3.184.37215 Valor Presente (P)
Tambin conocido como Valor Actual, es aquella cantidad que a Inters
Compuesto tendr un valor equivalente con una o varias sumas de dinero
ubicadas en el futuro, dada una tasa de inters y un tiempo pactado. Es el
equivalente a un valor futuro, en una fecha anterior.
Para determinar la cuanta de un Valor Presente (P), conociendo el Valor
Futuro (F), la tasa de inters (i) y el Tiempo (t), se despeja la frmula 2.2,
as:
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Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
ni
FP
)1(
tambin se puede expresar:
niFP )1(
Ejemplo 8
Se firm un Pagar con un banco por valor de $18.000.000 que vence
dentro de seis meses. Si se quiere saldar la deuda el da de hoy, qu valor
se debe cancelar, teniendo en cuenta que la tasa de inters pactada fue
del 2,3% mensual.
Los datos en este problema son:
F = $18.000.000; i = 0,023 mensual; n = 6 meses
Aplicando la frmula de Valor Presente, se tiene:
P = F (1+i)-n
P = 18.000.000 (1+0,023)-6
P = 18.000.000 (0,872461352)
P = 15.704.30433
Respuesta: el Valor Presente (P) a Inters Compuesto es de $15.704.30433 Tasa de Inters (i) (Inters compuesto)
Para el Inters Compuesto, la variable Tasa de Inters cobra una impor-
tancia y una complejidad significativa, teniendo en cuenta que las conver-
siones de tasas en sus diferentes perodos no se realizan directamente (2%
mensual no es equivalente a 24% anual o a 12% semestral), sino que
requieren de frmulas matemticas para operarlas.
Esta situacin ha provocado en el mercado financiero, la distincin de
tasas denominadas: efectivas, nominales y peridicas; a pesar de que la
regla es utilizar tasas vencidas, tambin se encuentran escenarios donde
se requiere la aplicacin de tasas anticipadas en sus diferentes deno-
minaciones.
-
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Matemticas
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Fascculo No. 2
Semestre 3
Estas y otras tasas y sus equivalencias, sern tratadas con detalle en el
fascculo 3, en el apartado Tasas de Inters donde se explicarn y apli-
carn a problemas cotidianos con el fin de analizar las tareas financieras
en las organizaciones.
En este fascculo, se analizarn los alcances de las tasas de inters en
operaciones financieras en las que entran en juego un Valor Presente (P) y
un Valor Futuro (F) , por lo que entre ellos dos, media un tiempo (n).
Al despejar esta variable en la frmula 2.2, la Tasa de Inters se explica as:
1 n PFi .
No obstante, en pro de facilitar este tipo de clculo se sugiere el manejo de
la siguiente frmula:
1
/1
n
P
Fi
Ejemplo 9
Hace 12 meses se depositaron $10.000.000 en una cuenta de ahorros. El
da de hoy, se han acumulado $11.268.25030
en la cuenta Qu tasa de
inters se aplic durante el tiempo transcurrido?
Los datos en este problema son:
P = $10.000.000; F = $11.268.25030; n = 12 meses
Aplicando la frmula de Tasa de Inters, se tiene:
1
/1
n
P
Fi 1
000.000.10
30,250.268.1112/1
01,0
Respuesta: la tasa de Inters que se aplic fue del 1% mensual.
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Semestre 3
Obsrvese que el resultado de la tasa de inters se ha expresado
mensual. Esto se debe a que el tiempo de transaccin es dado en forma
mensual dentro de la ecuacin. Si se expresara el tiempo en aos, la
respuesta sera en otro sentido, veamos:
Los datos en este problema se plantean as:
P = $10.000.000; F = $11.268.25030; n = 1 ao.
Aplicando la frmula de Tasa de Inters, se tiene:
1
/1
n
P
Fi 1
000.000.10
30,250.268.111/1
1268253,0
Respuesta: la Tasa de Inters que se aplic fue del 12,68253% anual.
Ahora bien, la respuesta se expresa en forma anual, ya que el tiempo
oper en aos en la ecuacin.
De estos resultados se puede concluir que una tasa del 1% mensual, es
equivalente a una tasa del 12.68253% anual (y no del 12% anual como
podra pensarse). Esta situacin ser objeto de anlisis profundo en el
fascculo 3.
Tiempo (n)
Si se conoce el Valor Futuro (F), el Valor Presente (P) y la Tasa de Inters
(i), es posible hallar el Tiempo (t) de la transaccin, al despejar la variable
en la frmula 2.2, aplicando logaritmos de la siguiente manera:
iLog
PFLogn
1
Ejemplo 10
En qu tiempo una inversin de $20.000.000 se convierte en
$24.686.04622
, considerando una tasa de inters del 4,3% bimensual?
Los datos en este problema son:
P = $20.000.000; F = $24.686.04622; i = 4,3% bimensual
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Aplicando la frmula de Tiempo, se tiene:
iLog
PFLogn
1
043,01
000.000.2022,046.686.24
Log
Log
5n Respuesta: El tiempo que se requiere es de 5 bimestres, es decir, 10
meses.
Ntese que la tasa de inters estaba expresada en bimestres, por lo que la
respuesta fue presentada inicialmente en la misma unidad.
Resumen de frmulas derivadas de la frmula 2.2
niPF )1( (Frmula 2.2)
Despeje del Valor Presente:
niFP )1(
Despeje de Tasa de inters: 1
/1
n
P
Fi
Despeje de Tiempo:
iLog
PFLogn
1
En grupos de tres estudiantes, realicen una investigacin de campo y determinen:
qu tasas de inters de captacin (en cuentas de ahorro, corrientes y CDTs) y de
colocacin se manejan actualmente en al menos 5 entidades financieras (su valor
y presentacin en unidades de tiempo). Socialicen los resultados con el tutor para
su retroalimentacin.
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Matemticas
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Fascculo No. 2
Semestre 3
La correcta combinacin de las variables de una transaccin financiera
donde aparecen: un Capital (C) o Valor Presente (P), una Tasa de Inters
(i) y un Tiempo (t) (n), arrojan como resultado el Inters (I). Este inters
puede ser considerado desde dos alternativas: Simple o Compuesto.
En el Inters Simple, el capital permanece constante durante el tiempo de
la transaccin y los Intereses se liquidan por la misma cantidad. En el
Inters Compuesto, los intereses generados en cada perodo se convierten
en capital y producen nuevos intereses.
Al finalizar, el cmputo total de los intereses se suma al capital y confor-
man una nueva variable: el Monto (M) o Valor Futuro (F). Las transacciones
financieras, por regla general, se calculan bajo esquemas de Inters
Compuesto, cuya frmula es: niPF )1(
AYRES, Frank. Matemticas financieras. Primera edicin. Mxico D.F.: Mc
Graw Hill, 2001.
BACA CURREA, Guillermo. Matemtica financiera. Tercera edicin. Bogot
D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto gua).
CANOVAS, Roberto. Matemticas financieras: fundamentos y aplicaciones.
Primera edicin. Mxico: Trillas, 2004
CISSELL, Robert. Matemticas financieras. Segunda edicin. Mxico D.F.:
CECSA, 1999. (Texto gua).
DIAZ, Alfredo. Matemticas financieras. Segunda edicin. Mxico D.F.: Mc
Graw Hill, 1997.
GARCA, Jaime. Matemticas Financieras con ecuaciones de diferencia
-
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Matemticas financieras
Matemticas
financieras
Fascculo No. 2
Semestre 3
finita. Cuarta Edicin. Bogot D.C.: Pearson Educacin de Colombia Ltda,
2000. (Texto gua).
PORTUS, Lincoyn. Matemticas Financieras. Cuarta edicin. Bogot D.C.:
Mc Graw Hill, 1997.
SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemticas financieras. Segunda edicin.
Bogot D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.
En el Fascculo 3, se analizarn con profundidad los alcances de las tasas
de inters y sus equivalencias, para lograr una percepcin correcta de los
efectos del costo del dinero en el tiempo. Adems, se introducen en este
estudio, operaciones ms complejas de valores equivalentes en el tiempo.
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Fascculo No. 2
Semestre 3
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Matemticas
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Fascculo No. 2
Semestre 3
Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje
Matemticas Financieras - Fascculo No. 2
Nombre_______________________________________________________
Apellidos ________________________________ Fecha: _________________
Ciudad___________________________________Semestre: _______________
Resuelva las siguientes preguntas de seleccin mltiple con nica respuesta, con
el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje:
1. El clculo del salario mnimo en cada ao responde al esquema planteado en
operaciones de:
A. Inters simple: porque la base de clculo de cada ao es la misma.
B. Inters simple: porque el incremento en pesos es constante para cada
uno de los aos siguientes.
C. Inters compuesto: porque el clculo se realiza sobre el ltimo valor
acumulado.
D. Inters compuesto: porque la tasa de inters de incremento es anual.
2. Al invertir una suma de $100.000.000, a una tasa de inters del 2% mensual,
durante un ao, se obtienen los siguientes resultados, a Inters Simple e
Inters Compuesto, respectivamente:
A. Simple = $124.000.000 Compuesto =
$122.640.00024
B. Simple = $126.400.020 Compuesto =
$124.640.00024
C. Simple = $126.400.020 Compuesto =
$126.824.17946
D. Simple = $124.000.000 Compuesto =
$126.824.17946
Resuelva las preguntas 3 y 4, con base en el siguiente planteamiento:
En el ao 2000 un total de 1.500 estudiantes en la ciudad posean un
computador en su casa. En el ao 2006 este nmero aumenta a 2.800. Se
requiere calcular cuntos estudiantes tendrn computador en el ao 2010 si se
mantiene la tasa de crecimiento.
3. Las frmulas que se utilizan para resolver el problema planteado son:
A. niPF )1( y
ni
FP
)1(
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Fascculo No. 2
Semestre 3
B. 1
/1
n
P
Fi y niPF )1(
C. niPF )1( y
iLog
PFLogn
1
D. 1
/1
n
P
Fi y
niFP )1(
4. La respuesta al problema es:
a. 6.422 estudiantes
b. 2.850 estudiantes
c. 4.245 estudiantes
d. 28.000 estudiantes
5. De las siguientes tasas de inters, Cul es la que mayor rentabilidad
reporta al cabo de un ao?
a. 3% mensual
b. 6% bimensual
c. 9% trimestral
d. 18% semestral