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SECRETARA DE EDUCACIN PBLICA DIRECCIN GENERAL DE EDUCACIN TECNOLGICA INDUSTRIAL

MATEMTICAS I

Aritmtica, lgebra, Productos Notables, Factorizacin, Fracciones,

Ecuaciones, Logaritmos

A PARTIR DE LA METODOLOGA CONTEXTUAL Y APRENDIZAJE DE GRUPOS OPERATIVOS

Enero del 2003

2

INTRODUCCIN

Este material contiene los temas de Aritmtica y algunos de lgebra ya estudiados

por los alumnos en la secundaria, se pretende homogeneizar conocimientos y

reafirmarlos como base terico - prctica en los temas que se estudiaran

posteriormente.

Con esta retroalimentacin ser posible abatir el ndice de reprobacin lo cual es

una preocupacin primordial de la Direccin General de Educacin Tecnolgica

Industrial.

Tambin se pretende que los alumnos interacten apoyndose entre ellos y

utilizando este material, de manera autodidacta al principio y con la direccin del

profesor despus, para integrar el trabajo en un solo conjunto final; de manera que

se construya el conocimiento mediante la participacin activa y grupal, que

estimule el inters por medio de ejercicios que el alumno vea que estos le sern

tiles en su vida acadmica y a futuro se convertir en un facilitador, de tal forma

que les estimule y motive en la construccin de aprendizajes significativos.

La aplicacin de manera constante de esta metodologa pretende reforzar en el

alumno las siguientes habilidades:

1. Pensamiento critico

2. Trabajo en equipo

3. Relaciones interpersonales

4. Resolucin de problemas

5. Creatividad

Adems de otras, que por no mencionarse dejan de ser importantes y es en esta

parte donde el papel del docente tiene una funcin primordial, ya que con el

conocimiento de las caractersticas propias del grupo, puede incrementar el

reforzamiento de ellas.

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RECOMENDACIONES AL PROFESOR

Se recomienda al maestro que inicie con una actividad motivadora, para cambiar

la predisposicin de algunos alumnos a no usar la mayora de los sentidos en el

proceso enseanza aprendizaje.

Cuando sea necesario inyecte alegra al grupo utilizando dinmicas

motivacionales dependiendo del estado de nimo en que se encuentre el grupo y

horario en que se imparta la clase.

Algunos ejercicios necesitan materiales para su elaboracin, por lo que ser

necesario leer con anticipacin las listas de necesidades de material, para

construir los modelos de apoyo en el aprendizaje.

Es importante utilizar los instrumentos y el software de evaluacin proporcionados

por la Direccin General de Educacin Tecnolgica Industrial, ya que su

elaboracin esta basndose en la metodologa, tcnica y temtica de este texto.

Es necesario la cooperacin del profesor en el anlisis de este material con el fin

de realizar propuestas que lo enriquezcan especialmente en lo que se refiere a

aumentar el numero de ejercicios contextuales y as mejorar continuamente la

calidad de este material

RECOMENDACIONES AL ALUMNO

Este material est elaborado para que se trabaje en equipo los cuales se

recomienda sean de 3 a 5 integrantes con el fin de que se conserve el espritu de

trabajo, el equipo debe tener un responsable que transfiera las diversas

tareas a cada integrante con la finalidad de que exista interrelacin personal

y grupal, tratando de intercambiarlo a un tiempo determinado para promover

la responsabilidad y liderazgo en cada uno de ellos.

Se recomienda que se lea el enunciado del problema tantas veces sea necesario,

para que lo comprenda cada integrante del equipo y que mantengan una

4

disposicin positiva en todas las actividades a desarrollar en clase y en las tareas

asignadas durante el curso, lo cual facilitar un aprendizaje ms eficaz y dinmico

en grupos cooperativos con sus compaeros.

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FUNDAMENTACIN

En este material se utiliza la metodologa contextual y el aprendizaje cooperativo

de grupos para facilitar el aprendizaje de los estudiantes, permitindoles realizar

una reflexin individual primero y grupal despus, sobre el tema a estudiar.

La Direccin General de Educacin Tecnolgica Industrial ha buscado mtodos y

tcnicas de enseanza que eficiente el proceso Enseanza-Aprendizaje; as por

ejemplo se implement el proyecto piloto denominado Matemtica Aplicada a

contextos tecnolgicos, sin embargo debido a que ste modelo fue creado para un

grupo social determinado, se generaron nuevos problemas en el subsistema.

Ante esta situacin se propone a los docentes crear un modelo acorde a las

condiciones de nuestra idiosincrasia, incorporando el Aprendizaje contextual que

considera que el aprendizaje es un proceso complejo que va ms all de los

mtodos orientados a la ejercitacin y a la relacin estmulo - respuesta.

Esta metodologa dice que el aprendizaje ocurre, cuando el estudiante procesa la

informacin o el conocimiento, de tal manera que lo que aprende tiene sentido

dentro de su marco de referencia, siempre y cuando le sea til. Por lo cual se

recomienda estimular al educando, para que elija entornos de aprendizaje, tales

como, laboratorios, aulas o alguna actividad al aire libre, de manera tal, que vaya

adquiriendo experiencias sociales, culturales, fsicas y psicolgicas.

En estos medios los estudiantes aprenden a relacionar ideas abstractas y a

aplicarlas al mundo real, a travs de la resolucin de problemas.

Es importante la disposicin del docente, para cambiar la forma tradicional de

ensear, por una enseanza ms participativa en relacin con lo cotidiano, que

permita el desarrollo de habilidades, de expresin oral y escrita del estudiante; as

como de sus habilidades mentales y manuales.

Cmo podemos lograr ms con menos?, no se duda que en el transcurso del

tiempo hemos aprendido ms sobre tcnicas de enseanza y todas logran un

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objetivo, pero, por qu regresamos en matemticas a lo tradicional? (gis,

pizarrn, borrador, apuntes etc.); sin duda porque las matemticas las aprendimos

por medio del uso del pizarrn, sin reflexionar ni razonar, quiz porque nuestros

maestros no saban utilizar un retroproyector o un software y no usaban tcnicas y

metodologas innovadoras que permitieran construir nuestro propio conocimiento.

Se ha demostrado que el estudiante aprende ms cuando construye, explora,

descubre e inventa, que cuando acta como receptor nicamente o utiliza

mtodos memorsticos, por lo cual en ste trabajo se trata de guiar al estudiante a

que construya en su razonamiento, los pasos y metodologa propias para resolver

el problema mediante una reflexin del planteamiento del problema.

Las habilidades actuales requeridas por los estudiantes son: Personalidad,

Razonamiento, Lectura de comprensin, Escritura y Aritmtica. La Personalidad

es la habilidad de relacionarse con otros individuos dentro y fuera del aula, el

desarrollo de la autoestima y la responsabilidad individual. El razonamiento es la

habilidad de pensar y resolver un problema vindolo como un sistema y no como

un conjunto de problemas y tareas aisladas.

Para que los estudiantes desarrollen habilidades personales, se requiere que ellos

mismos les enseen a otros, que aprendan a ser lideres y a trabajar con diversa

gente de otras culturas; as sern ms creativos, tomarn decisiones, resolvern

problemas y aprendern a razonar. Cuando un estudiante logra transferir el

conocimiento del aula a la prctica profesional se logra la retencin del

conocimiento.

Adems de relacionar las distintas materias del plan de estudios, los docentes

pueden reforzar el proceso de Aprendizaje, involucrando a los estudiantes en

actividades manuales y experiencias concretas, como otro mtodo para reforzar

dicho proceso, con prcticas de laboratorio, experimentos, proyectos que

requieran de los estudiantes participacin activa, que les estimule el inters y la

motivacin por aprender.

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APRENDIZAJE COOPERATIVO DE GRUPOS.

Es el proceso que maximiza el aprendizaje cooperativo en pequeos grupos

mediante:

1. El compartir conceptos

2. El apoyo mutuo

3. La celebracin del xito en conjunto

Este mtodo tiene 5 caractersticas bsicas

1. Equipos de aprendizaje heterogneo cara a cara

2. Interdependencia positiva

3. Responsabilidad individual

4. Entrenamiento en habilidades interpersonales

5. Reflexin

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La siguiente tabla muestra la diferencia que hay entre los dos modelos del proceso

Enseanza-aprendizaje.

Modelo tradicional Nuevo modelo

Propsito Transmisin de informacin fctica Encontrar, desarrollar y aplicar el conocimiento

Organizacin Aula aislada del mundo y del trabajo, maestros y estudiantes trabajan solos.

Estudiantes vinculados con la comunidad, maestros y estudiantes trabajan en equipo.

Funcin del maestro

Transmisor de conocimientos Facilitador, coordinador, gua

Funcin del estudiante

Receptor de informacin fctica Compromiso activo para el aprendizaje

Contenido Materias acadmicas tradicionales, para inteligencias verbales y lgico matemticas.

Programas integrados, adaptados para mltiples inteligencias.

Mtodo Clase pregunta y respuesta, poca atencin a estilos de aprendizaje

Cuestionamiento, descubrimiento aprendizaje contextual y mtodos aplicados.

Evaluacin Prueba de informacin fctica Basada en el desempeo y la resolucin de problemas.

Para obtener un mayor grado de aprovechamiento se recomienda:

1. Que el estudiante aprenda a ensear y a aprender de sus compaeros.

2. Evitar distracciones de los estudiantes cuando trabajen en equipo.

3. Empezar formando equipos de 3 elementos, despus incrementar el

nmero poco a poco hasta un mximo de 5.

4. Integrar el aprendizaje cooperativo, invitando a los estudiantes a que lean

el material de manera individual y luego trabajen en equipo. El maestro

podr calificar uno de los trabajos en presencia del grupo, para que los

alumnos aprendan a calificar los dems.

5. Asignar a cada integrante de equipo una tarea especifica ( leer, anotar,

verificar etc. ), estimulando con esto la participacin activa del estudiante,

motivndolo a que haga las preguntas pertinentes o sugiera soluciones a

9

los problemas, elogindole sus buenas ideas u opiniones.

6. Indicar claramente, que espera como resultado del trabajo en grupo.

7. Observar el funcionamiento de los equipos mientras ellos trabajan,

estimulando la responsabilidad individual.

8. Mencionar los detalles que observ en el transcurso de la actividad, y

como pudieran mejorarlos, recompensando tambin el buen

comportamiento de los estudiantes.

Nota:

Este trabajo est en proceso de conformacin, por lo que se aceptan todo tipo de

sugerencias y modificaciones conforme se est aplicando en los distintos planteles

del subsistema.

Representa una actividad de motivacin

Representa una actividad de estudio

Representa Trabajo en equipo

Representa una actividad complementaria

Smbolos utilizados en el desarrollo de ste material

10

NDICE

1. - ARITMTICA ------------------------------------------------------------------ 11

1.1. - Sistemas numricos ---------------------------------------------- 12

1.1.1. - Nmeros naturales ----------------------------------------------- 13

1.1.2. - Nmeros enteros ------------------------------------------------ 15

1.1.3. - Nmeros racionales -------------------------------------------- 21

1.1.4. - Nmeros irracionales ------------------------------------------ 31

1.1.5. - Nmeros reales ------------------------------------------------- 34

1.2. - Razones y proporciones ---------------------------------------- 50

2. - LGEBRA --------------------------------------------------------------------- 56

2.1. - Lenguaje algebraico --------------------------------------------- 56

2.1.1. - Introduccin al lgebra ---------------------------------------- 56

2.1.2. - Notacin algebraica -------------------------------------------- 60

2.2. - Operaciones con polinomios --------------------------------- 72

2.2.1. - Adicin y sustraccin de polinomios ----------------------- 72

2.2.2. - Productos y cocientes de polinomios ---------------------- 78

2.2.3. - Productos notables --------------------------------------------- 84

2.2.4. - Factorizacin ----------------------------------------------------- 108

2.3. - Operaciones con fracciones racionales ------------------ 134

2.3.1. - Simplificacin de fracciones algebraicas ----------------- 135

2.3.2. - Adicin y sustraccin de fracciones algebraicas ------- 138

2.3.3. - Productos y cocientes de fracciones algebraicas ------ 141

2.4. - Ecuaciones --------------------------------------------------------- 149

2.4.1. - Ecuaciones lineales con una incgnita ------------------- 150

2.4.2. - Sistemas de dos o tres ecuaciones lineales

con dos y tres incgnitas ------------------------------------- 156

2.4.3. - Ecuaciones cuadrticas -------------------------------------- 174

2.5. - Logaritmos --------------------------------------------------------- 185

APNDICE

Tablas de logaritmos y antilogaritmos ------------------------------- 194

Bibliografa ----------------------------------------------------------------- xxx

11

1. ARITMTICA

En el desarrollo del saber de los pueblos antiguos, el aspecto matemtico

fue evolucionando hasta representar objetos por medio de smbolos, naciendo as

el primer conjunto de nmeros, llamados nmeros naturales. El concepto de

nmero natural sufre una serie de ampliaciones a travs del desarrollo de las

matemticas; una de stas es la de considerar al cero como un nmero, que

representara a todos los conjuntos nulos o carentes de elementos, otra

ampliacin es la que se refiere a los nmeros fraccionarios y a los nmeros

irracionales; esta nos lleva al concepto de nmero negativo, que transforma a todo

el sistema numrico.

De esta manera, definiremos la Aritmtica como la rama de las

matemticas que estudia los nmeros y las operaciones que con ellos se

pueden realizar.

Esta rama sobresale por su exactitud y precisin, es extensa y til en sus

aplicaciones, se estudian las propiedades esenciales de los nmeros, las

relaciones numricas entre s y las 4 operaciones fundamentales (suma, resta,

multiplicacin y divisin) con enteros y fracciones; as como el clculo de

potencias, races y logaritmos. Se basa en el uso de diez cifras o guarismos y de

numerosos signos.

El conocimiento de la Aritmtica ha tenido una gran influencia en el

desarrollo de las Ciencias Naturales, Econmicas, Administrativas y Tecnolgicas.

12

1.1. SISTEMAS NUMRICOS

1.1.1. Nmeros naturales:

A travs de la historia el ser humano ha tenido la necesidad de contar, y

diferentes ideas para poder hacerlo, probablemente en sus inicios lo hizo

utilizando los dedos de sus manos y despus con rayas en el suelo, piedras, varas

etc., motivando con ello tener que agrupar y formar los diferentes Sistemas

Numricos.

Pero, qu contaba?, contaba la cantidad de animales que tena que cazar,

la extensin de sus tierras, la cantidad de personas de las tribus enemigas, etc.

Como podrs darte cuenta y si reflexionas un poco, todos tenemos la

necesidad de contar, piensa un poco y pregntate cunta gente vive en tu casa?,

Cul es el salario de tu pap?, cuntas cuadras hay de tu casa a la escuela?,

observa que es importante el proceso de contar y que para ello existe un tipo de

nmeros que analizaremos a continuacin.

Cuntos estudiantes se encuentran en el saln? ______ cuntos hombres?

______ cuntas mujeres? ______ , cuntos aos tienes? _____.

Aproximadamente cuantos estudiantes conforman tu escuela? ______.

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Cuntos habitantes sern en tu ciudad? _______, y en tu estado?

_______, en tu pas? _________ ,en el mundo? __________________.

Cuntas hojas de cuaderno tamao profesional en total, hay en tu grupo?

____________, cuntas pginas? _______, aproximadamente cul ser el total

de pginas en toda la escuela? ______________.

Muchos nmeros, verdad?. Unos pequeos, unos grandes, otros mucho

ms grandes. Cmo supiste todo esto?, claro, a travs de los aos e incluso

desde tu infancia dentro de tu hogar.

Pero aterricemos esta idea, tratemos de sintetizar sus caractersticas

recordando como le hiciste para contestar las primeras cuatro preguntas.

1. El conjunto de nmeros que nos sirven para ________________ se llaman

naturales.

2. Todo nmero natural tiene un nmero antes que l, que se llama

_______________ y uno que le sigue llamado ________________.

3. El nico nmero que no tiene antecesor pero s un sucesor es el

___________.

4. Entonces este conjunto de nmeros inicia con el nmero ____________ y

termina con el nmero ____________. Seguro? ________.

Los nmeros naturales son los que sirven para contar, lo representamos

con la letra N, y consta de los siguientes elementos:

N = 1, 2, 3, 4, 5, ... ,

Contar un conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de

los nmeros naturales comenzando con el uno.

14

Cuando una cantidad continua ha sido real o imaginariamente seleccionada en

elementos artificiales iguales, el conjunto de esos elementos se comporta de una

manera similar a las cantidades discretas y puede por lo tanto ser objeto de

conteo.

A partir del concepto anterior podramos contestar lo siguiente:

1. Levanta un inventario de pupitres de tu saln. _________

2. Cuntas especialidades hay en tu plantel? _________

3. Realiza un conteo de focos o lmparas que hay en tu saln._________

4. Cuntos cuadernos tienes en este momento? _________

5. Cuntos salones tiene tu escuela? _________

6. Cuntos maestros diferentes te dan clase? _________

7. Cuntas materias cursas en este semestre? _________

8. Cuntos jugadores conforman un equipo de ftbol soccer?________

9. Cuntas naranjas son dos docenas? _________

10. A cuntos gramos equivale medio Kilogramo? _________

15

1.1.2. Nmeros enteros:

Los nmeros enteros son aquellos que se utilizan comnmente en la vida diaria.

Ejemplo:

Se encuentra un caracol en el fondo de un pozo que mide 6 m de profundidad;

para salir sube 3 m durante el da y en la noche desciende 1 m, Cunto tiempo

tardar en salir del pozo?.

Definicin: Los nmeros enteros es el conjunto formado por los enteros positivos

y negativos incluyendo al cero. Los podemos representar grficamente sobre la

recta numrica, donde el cero es el punto de partida, a la derecha son positivos y

a la izquierda negativos.

Operaciones con nmeros enteros:

Propiedades de los nmeros:

Los aspectos preliminares para la realizacin de las cuatro operaciones bsicas,

es el uso de la ley de los signos y el uso de los signos de agrupacin que auxilian

a la demostracin de las propiedades:

a) Asociativa: Sin importar de que manera se agrupen los sumandos, la suma o

total no se altera. ejemplo: 3 + 4 + 5 + 6 = ( 3 + 4) + ( 5 + 6 ) = 3 + (4 + 5 + 6 )

NEGATIVO

S - 5 - 4 - 2 - 1 - 3 0

1 1 2 3 4 5

POSITIVOS

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b) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma

ejemplo: 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 = 2 + 4 + 3

c) Distributiva: Esta ley relaciona el producto con la suma, y dice; un producto

puede ser igual a una suma y recprocamente, la suma igual a un producto,

puesto que la igualdad es simtrica.

ejemplo : 3 ( 4 + 5 ) = ( 3 ) ( 4 ) + ( 3 ) ( 5 )

3 ( 9 ) = 12 + 15

Signos de agrupacin:

( ) parntesis

[ ] corchetes

{ } Llaves

Barra o vinculo

Aplicaciones:

Contesta las siguientes preguntas.

a) Si tienes $20.00 y compras 4 artculos de $5.00 cada uno, despus de la

compra, Cunto dinero te sobr?

R. ________________________________

b) Qu temperatura crees que haya en el polo norte?

R. ________________________________

27 = 27

17

c) Tienes 24 refrescos y llegan a tu casa 30 amigos, si les das un refresco a cada

uno de ellos;

1.- Repartimos todos los refrescos? R. ______________________

2.- Te sobran o te faltan? R. ______________________

3.- Cmo representas ese nmero? R. ______________________

d) Cmo se llaman los nmeros que utilizaste para dar las respuestas

anteriores?

_________________________

Jerarqua de las operaciones:

Deben efectuarse en el siguiente orden, el cual es el utilizado por las calculadoras

cientficas:

a) Potencias y races

b) Despus cocientes y productos

c) Y al final sumas y restas

Observa los siguientes ejemplos de operaciones, eliminando signos de

agrupacin:

a) 4(5 - 7) = 20 - 28 = - 8

b) 6(4 -10) + (5 + 2) (8 - 1) = 6(-6) + 7(7) = -36 + 49 = 13

c) (3 - 5){ -4 + (2 - 7)(6 - 3) - (3 - 10)} =-2{-4 + (-5)(3) -(-7)} = -2{-4 -15 +7} = -2{-

12} = 24

18

a) ( 4 + 5 + 3 ) + 8 =

b) 60 ( 8 + 5 + 7 ) =

c) ( 43 15 ) 19 =

d) ( 9 4 ) + ( 3 + 2 + 5 ) =

e) 150 [ ( 5 1 ) - ( 4 3 ) ] =

f) 450 [ 6 + { 4 ( - 3 1 )}] =

g) 500 { 6 + [ ( 14 6 ) ( 7 2 ) + ( 4 1 ) ]} =

h) [ 8 + ( 4 2 ) ] + [ 9 ( 3 + 1 ) ] =

EJERCICIO 1

1. Verifica las siguientes adiciones y sustracciones:

2. Verifica los siguientes productos:

a) ( 20 14 ) ( 8 6 ) =

b) ( 50 x 6 x 42 x 18 ) 9 =

c) ( 11 4 ) 5 4 ( 6 + 2 ) + 4 ( 5 3 ) 2 ( 8 6 ) =

d) 6 [ 3 + ( 5 1 ) 2 ] =

3. Verifica los siguientes cocientes respetando la jerarqua de las operaciones:

a) 8 + 6 3 =

b) 6 2 + 8 4 =

c) (5 x 6 x 3 ) 15 =

d) ( 9 6 ) 3 + ( 15 3 ) ( 7 3 ) + ( 9 3 ) =

19

Problemas de aplicacin

EJERCICIO 2:

1. Vend una casa perdiendo $3189.00, preste $2006.00 y me quede con

$15184.00, cunto era el costo total de la casa?

2. Si vendo un caballo en $84,000.00, ganando $18,000.00, cunto me haba

costado el caballo?

3. Compr 14 trajes a $300.00, 22 sombreros a $20.00 y 8 bastones a $50.00.

Vendiendo los trajes por $5,600.00, cada sombrero a $10.00 y cada bastn a

$30.00, gano o pierdo? y cunto?.

4. Un padre de familia desea repartir equitativamente un terreno rectangular de

200 m x 25 m entre 8 familiares. Cul es el rea que le toca a cada uno?

5. Un operador de una mquina motoconformadora gana $25.00 por hora. Si

trabaja 40 horas a la semana, cul es su sueldo mensual?

6. Cul ser el costo de 12 piezas de acero que miden 42 m, si sabemos que

cada metro cuesta $ 6.00?

7. Un tcnico de la construccin tiene que cortar trozos iguales de 2 tablones de

madera que tienen las siguientes longitudes: 9 y 15 m Respectivamente, cul

ser la longitud mxima de cada trozo?

8. En una fbrica de perfumes se elaboran tres productos de diferentes volmenes: 120, 160 y 240 cm.3 respectivamente.

a)Qu volumen debe tener la caja en donde se van a empacar los perfumes

para que contengan un nmero exacto de cada uno de los productos?.

b)Cuntos productos de un mismo volumen cabran en esa caja?

9. Se tienen dos hojas de lmina de aluminio, una tiene un rea de 36 m2 y la otra

de 48 m2, se van a cortar en piezas de igual superficie sin desperdiciar

material, cul ser el rea mxima de las piezas?

20

10 m 10 m

40 m

9. La siguiente figura representa el diseo de una pieza mecnica que se

instalar en una fabrica, en la cual se muestran varios orificios que se

encuentran a la misma distancia entre s, Cual es la distancia entre estos

orificios?.

21

b

a

b

a

1.1.3. Nmeros racionales:

Arturo fue al mercado y realizo las siguientes compras: 2

1Kg de carne,

4

3Kg de

azcar, 2 Kg de arroz y 4

11 Kg de frijol. Cuntos Kg compro en total entre todos

los productos?

Los nmeros racionales son aquellos que se representan en forma de

fraccin:

Los nmeros enteros a y b reciben el nombre de trminos de la fraccin,

separados mediante una lnea horizontal, como se muestra:

Otras formas de representacin son:

a) Como una divisin: = k = a b (representacin decimal)

b) Como una razn: (comparacin de partes iguales a es a b)

b

a a y b son nmeros enteros

b 0, porque la divisin por cero no existe

7

2 numerador

denominador

Indica las partes que se toman de la unidad

Indica el nmero de partes en que se divide la unidad

22

5

6

4

3

Una fraccin puede ser:

a) Impropia: Si el numerador es mayor que el denominador.

ejemplo:

b) Propia: Si el numerador es menor que el denominador.

ejemplo:

c) Mixta: Si est formada por una parte entera y una fraccin propia.

ejemplo: 3

25

Fracciones equivalentes:

Son aquellas que se escriben en forma diferente, pero tienen el mismo valor.

ejemplos:

Las fracciones equivalentes son muchas y variadas, para hallarlas bastar con

multiplicar al numerador y denominador por un mismo nmero.

Ejemplos:

La comparacin de cada par de nmeros racionales, nos proporciona una razn

de orden, indicado con los smbolos:

> Mayor que

< Menor que

Las fracciones equivalentes con el signo = Igual

10

6

Es equivalente a 5

3

6

15

Es equivalente a 2

5

=

3

2

4

4

12

8 =

7

5

3

3

21

15

23

Para determinar si una fraccin es mayor o menor que otra se efectan los

siguientes pasos:

Ejemplo 1

Se escriben las fracciones separadas por un espacio es decir:

Multiplicar el numerador 3 de la primera fraccin por el denominador 3 de la

segunda fraccin: 3 x 3 = 9

Multiplicar el numerador 1de la segunda fraccin por el denominador 2 de la

primera fraccin: 1 x 2 = 2

Identificar el numerador que d el mayor producto, el cual ser la fraccin mayor,

en este caso el producto mayor es 9, por lo que la fraccin que tiene el numerador

3 es mayor, es decir:

que se lee tres medios es mayor que un tercio.

Ejemplo 2

Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor

5 x 4 = 20

8 x 3 = 24

El mayor producto es 24 y corresponde al denominador 8 por lo tanto

que se lee cinco tercios menor que ocho cuartos.

2

3

3

1

3

5

4

8

2

3 >

3

1

3

5 <

4

8

24

Ejemplo 3

Identifica cual de las siguientes fracciones es mayor

- 1 x 2 = - 2

- 3 x 2 = - 6

El mayor producto es - 2 y corresponde al denominador 1 por lo tanto

que se lee menos un medio es mayor que menos tres medios.

Nota: recuerda que en el caso de los nmeros negativos, el mayor es el que se

encuentra situado ms a la derecha en la recta numerica.

Si los valores de los productos cruzados coinsiden, las fracciones son iguales

Ejemplo:

El producto 3 x 4 = 12 y el producto 6 x 2 = 12 . Por lo tanto las fracciones son

iguales.

EJERCICIO 2.

1. Al repartir un pastel a nueve personas, habr que dividir el pastel en partes

iguales, a cada una de las partes se les llama:______________

- 2

1

2

3 -

2

3 =

4

6

- 2

1 >

2

3 -

25

2. Un padre de familia deja un terreno como herencia a sus tres hijos, el cual tiene

las siguientes dimensiones: 63 m de largo y 15 m de ancho cunto le

corresponde en fraccin de terreno a cada hijo, si se reparte

equitativamente?__________________

Obtener la cantidad de rea que le corresponde a cada hijo?

3. Escribe los smbolos de >; < =, entre cada pareja de nmeros racionales

segn corresponda:

En las fracciones comunes, al igual que en los nmeros enteros, se utilizan las

operaciones fundamentales de: suma, resta, multiplicacin, divisin, potenciacin

y radicacin.

7

4

5

2 1)

8

31

7

19 2)

2

1

4

2

3) 2

7

6

21 4)

10

6

8

3 5)

9

2

3

7 6)

3

1

9

3 7)

4

5

6

5 8)

4

3

7

3 9)

7

4

14

8 10)

26

4

2

4

1

4

3

Las siguientes actividades explican el significado de la suma y resta de

fracciones, de tal manera que podrs deducir la regla para sumar fracciones con

igual o diferente denominador.

Actividad No. 1 Suma y resta de fracciones con igual denominador

Material que se utiliza para un equipo de 5 estudiantes:

10 hojas blancas tamao carta.

Tijeras para papel.

Regla o escuadra.

Tcnica:

a) Se corta la hoja en 4 partes iguales.

b) Se suman + =

c) Se empalman las tiras representativas en una hoja blanca que nos represente

el entero y se comprueba el resultado.

Actividad No. 2 Resta de fracciones con el mismo denominador.

Material por equipo:

10 hojas blancas tamao carta.

Tijeras para papel.

Regla o escuadra.

Tcnica:

a) Se siguen los pasos semejantes que la actividad 1, slo que ahora en lugar de

empalmar tiras representativas de papel, se quitan.

4

2

4

1

4

1 - =

27

2

1

20

1

2

1

20

1

Actividad No. 3 Suma de fracciones con distinto denominador.

Material:

80 hojas tamao carta.

40 hojas con tiras de. a

40 hojas con los dibujos indicados de las fracciones desde a

Regla o escuadra

Lpiz o lapicero

Tijeras para papel

Tcnica:

a) Que cada estudiante divida su hoja en mitades, tercios, cuartos, etc..... hasta

vigsimos respectivamente.

b) Se procede a efectuar operaciones como por ejemplo:

c) Hallando el comn denominador los estudiantes, saben a quien deben acudir,

es decir en ste caso el estudiante que tenga dibujados los quinceavos, solicitar

las fracciones que se estn sumando a los estudiantes que corresponda y

procediendo a empalmar las fracciones en la hoja de los quinceavos, obteniendo

as el resultado que concuerde con el inciso b.

Resta de fracciones con distinto denominador.

Material: el mismo de la prctica anterior.

Tcnica:

a) Se procede a efectuar las operaciones

= 3

1

5

1 +

15

5 + 3

15

8 =

5

3

2

1 -

28

2

1

5

3

Para este caso, se empalma la fraccin en la parte derecha de los ,

leyndose el resultado en el entero que represente a los decimos.

Nota: Comprueba los tres resultados con el uso de tu calculadora.

Multiplicacin y divisin de fracciones:

a) Multiplicacin:

Regla : Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

El resultado se simplifica si es posible.

Ejemplos:

NOTA: En el producto de tres o ms fracciones se efecta el mismo

procedimiento.

b) Divisin:

Para efectuar la divisin de fracciones veremos dos mtodos a considerar los

cuales son:

Mtodo 1:

Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y se coloca el

resultado como numerador de la nueva fraccin, despus se multiplica el primer

denominador por el segundo numerador y se coloca el resultado como

denominador de la fraccin resultante, simplificndose de ser necesario,

(comnmente conocido como productos cruzados).

5

3

2

1 -

10

6 - 5

10

1 =

=

= 4

3

3

2 x

12

6

2

1 =

5

2

3

1 x

15

2

=

3 2

1 2 4

3

= x 2

7 x

4

11

= 8

77

= 8

5 9

29

Ejemplo:

Mtodo 2:

Se invierte la segunda fraccin de la divisin y sta se convierte en una

multiplicacin de fracciones por lo que habr que aplicar la regla ya conocida para

un producto de fracciones.

Ejemplo:

EJERCICIO 3:

1) Instrucciones: Resuelve los siguientes incisos utilizando las tcnicas ya

explicadas y las prcticas elaboradas:

a) Contesta:

1. Cmo est formada una fraccin comn?

2. Qu nos representa el numerador y denominador de una fraccin?

3. Qu es una fraccin impropia?

4. Cmo se obtiene una fraccin equivalente?

4

3

3

1

4

9

= 2

1

5

3

6

5

=

6

2

6

30

3

5

= 3

5

2

6 x

= = 5

INVERTIR

10

32

5

4

8

2

= 5

4

2

8 x

= = 5

16

INVERTIR

30

b) Resuelve:

c) Aplicando las reglas para productos y cocientes con fracciones resuelve lo

siguiente:

3

2

3

5 +

= 4

1

8

2 +

= 1) 2)

3

4

5

2 -

= 5

4

7

2 -

= 3) 4)

5

2

4

3 + =

2

7

5

1 +

= 5) 6)

9

4

7

3 + =

4

3

3

1 -

= 7) 8)

2

1

5

2 - =

7

3

9

2 -

= 9) 10)

9

5

12

3 x

= 2

12

5

2 = 1) 2)

8

5

4

3 x

= 7

4

9

6 = 3) 4)

5

3

3

2 x

= 3

2

4

12 x

= 5) 6)

3

4

2

7 x

= 7

2

8

3 = 7) 8)

2

7

4

3 =

3

2

6

5 = 9) 10)

31

1.1.4. Nmeros irracionales

Alguna vez has utilizado nmeros irracionales?

Se desea calcular la longitud de un lado de una pista de baile de forma cuadrada,

cuya rea es 16 u2

Si A = x2 , obteniendo raz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tenemos que:

El resultado obtenido es el nmero que multiplicado por si mismo nos da el valor

de 16 esto es ( 4 ) ( 4 ) ( -4 ) (-4 ), el valor negativo se desprecia , el valor del

lado del cuadrado es :

X = 4 u

Definimos los elementos:

x = lado del cuadrado

A = rea del cuadrado

La frmula del rea del cuadrado es:

A = ( x ) ( x ) = x2

A = 16 u2

x

x

A = X2 Por lo tanto

A Sustituyendo el valor del rea = X

16 = X

32

Qu crees que sucedera, si el rea del cuadrado fuera de 2 U2?

Qu nmero multiplicado por si mismo es igual a 2?

Si hacemos ( 1 ) ( 1 ) = 1 y ( 2 ) ( 2 ) = 4, entonces el nmero buscado deber estar entre 1 y 2.

Aproximndonos al nmero buscado, por ejemplo:

Este resultado es mayor que nuestro 2 por lo tanto, el nmero es menor de 1.5,

que es el equivalente en decimal a 2

3 ; de lo anterior podrs observar que no

es fcil expresar 2 como el cociente de dos nmeros.

Ahora recurre a tu calculadora y obtendrs:

Definicin de nmero irracional:

Nmero Irracional es aquel que no puede expresarse como el cociente de dos nmeros enteros. El conjunto de los nmeros irracionales se representa por la letra Q; como son:

2 , 17 , 5

3, entre otros, o constantes numricas como: , e, etc.

Cuando trabajamos con irracionales, stos se aproximan a un racional, dependiendo de la precisin deseada. Ejemplo:

= 3.14 (con dos decimales).

= 3.1416 (con cuatro decimales).

= 3.14159265 (con ocho decimales)

= 3.1415926535897932384626433832795 (con 31 decimales)

2 = 1.4142135......

A 2 = X =

Por lo tanto podemos decir que

este es un nmero irracional

= 2

3

4

9

2

3

33

Observa los siguientes nmeros y subraya los irracionales:

2 ; 16 ; 9

4 ;

5

3 ; = 3.14156 . . .

Investiga si en otras materias se usan nmeros irracionales.

Actividad No. 1

Comprobacin aproximada del valor del nmero irracional . Material:

Tapas circulares de diferentes tamaos

Cinta mtrica

Regla

Lpiz y borrador

Procedimiento:

Se miden el permetro y el dimetro de cada tapa anotando en una tabla los valores correspondientes. Se divide el valor del permetro entre el valor del dimetro y se anota en la tabla.

Tabla sugerida:

TAPA

PERMETRO

DIMETRO

PERMETRO

DIMETRO

1

2

3

34

Observa que todos los resultados obtenidos tienen un valor aproximado de 3.1.....,

no importando el tamao de la tapa, a este valor se le llamo .

1.1.5. Nmeros reales

USO COTIDIANO DE LOS REALES:

En una planta industrial los trabajadores tienen una jornada diaria de trabajo de 8

horas de lunes a sbado. Todo trabajo realizado despus de este tiempo se

contabiliza como tiempo extra y se lleva un registro por trabajador.

La empresa paga el salario mnimo durante el tiempo normal y por cada hora extra

paga el doble, de lunes a viernes. Paga el triple, por tiempo extra del sbado, y

si labora en domingo paga el cudruple por hora trabajada. El supervisor de

produccin recopil la siguiente informacin de un equipo de trabajo:

NOMBRE LUN. MAR. MIE. JUE. VIE. SAB. DOM.

A. MARTNEZ 8 9.5 12.4 11.3 8 12.5 3.1

J. CRUZ 8 8.5 9.3 9 8.5 9.4 2

R. NAVARRETE 10 9.6 12.5 8 11.5 8.3 3.5

HERNNDEZ 8 8 8 8.7 8 9 0.0

R. ALBOR 8.5 9.8 8.7 8 9.3 9.5 2.5

N. AGUILAR 9 9.5 8.2 8 8 10.5 3.5

HORAS DIARIAS TRABAJADAS

35

C. FERNNDEZ 8.5 8.5 9.5 10.3 10.5 9.7 2

EJERCICIO 4

1. Qu trabajador ha laborado el mayor nmero de horas de trabajo semanalmente?

R. ___________________________________________

2. Cul es el trabajador que labor el menor nmero de horas extras?

R. ___________________________________________

3. Cunto gan Martnez por su horario normal?

R. ___________________________________________

4. Cunto pag la empresa a la semana por este equipo de trabajo?

R. ___________________________________________

5. Cunto pag la empresa por las horas extras?

R. ___________________________________________

6. Por el horario normal cunto pag la empresa?

R. ___________________________________________

7. S estos empleados trabajaran bajo el mismo ritmo durante un mes Cul sera la nmina a pagar mensualmente?, Cunto al ao?

R. ___________________________________________

36

Nmeros reales:

El conjunto de nmeros reales est formado por el conjunto de nmeros

racionales e irracionales y pueden ser positivos o negativos, pueden ser

representados en una recta numrica continua observndose que a cada nmero

le corresponde uno y solo uno de los puntos de la recta, por ejemplo dado R = { -

7, , 3/5, 4 }

Se pueden realizar entre ellos las 4 operaciones bsicas, la potenciacin y la

radicacin.

Potenciacin:

Es el resultado que se obtiene al multiplicar la base por si misma cuantas veces lo

indique el exponente: an = ( a )( a )( a ) . . .

53 = (5)(5)(5) = 125

0 -7

4

5

3

POTENCIA

EXPONENTE

BASE

37

Base: Es el nmero que se multiplica por si mismo.

Exponente: Indica el nmero de veces que se toma como factor la base.

Potencia: Es el resultado de la operacin.

Para el clculo de potencias enteras de nmeros racionales es necesario conocer

las propiedades o leyes de los exponentes.

m>n nmn

m

aa

a

n

m

a

a m =n 10 aa

a

a nmn

m

m

38

Ejemplos: a) ( 3 x 8)2 = 32 x 82

b)

5. Si una cantidad est elevada a un exponente negativo, es igual a una fraccin,

donde el numerador es la unidad y el denominador es la misma cantidad con

exponente positivo, como se muestra enseguida: n

m

m

n

a

b

b

a

.

Ejemplos: 4-2 = ;4

12

3

3

35

5

1

1

5

1

6.-. Cualquier nmero elevado a la potencia cero es igual a la unidad

Ejemplo 1222

2 0555

5

; 12

25

5

; 2 10

Radicacin:

La radicacin es la operacin inversa a la potenciacin.

Un radical, tambin puede expresarse en forma de una potencia de exponente

fraccionario, siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del

exponente ser el exponente del radicando, y el denominador el ndice de la raz.

2

=

8

3

82

32

82 = 64

64 = 8

a a n m

=

n

m

Exponente fraccionario

Base Radicando

Exponente del Radicando

ndice

Radical

39

Ejemplo: 53

5 3 xx ; 37

3 7 55

Reglas de los signos de radicacin:

a) Si el ndice es impar y el radicando es positivo, la raz es nica y positiva

4643 ; 7 2128

b) Si el ndice es impar y el radicando es negativo, la raz es nica y negativa

4643 ; 25129

c) Si el ndice es par y el radicando es positivo, existen dos races de igual valor

absoluto, pero de diferente signo

24 525 aa ; 440966

d) S el ndice es par y el radicando es negativo, no hay solucin en el campo de

los nmeros reales, ya que su resultado es visto en el campo de los nmeros

imaginarios.

77 i

Simplificacin de radicales:

Simplificar un radical, significa escribirlo en su forma ms simple. Ejemplo:

Simplificar 12

Solucin:

Descomponer el 12 en sus factores primos:

No hay solucin en el campo de los nmeros

reales, porque no existe un nmero que al

multiplicarse por si mismo nos de un resultado

igual a 7.

12 6 3 1

2 2 3

40

Significa que 12 se puede escribir de la forma :

12 = 2 x 2 x 3 , esto es; 12 = 22 x 3

Cambiando la expresin de = =

Ejemplo:

Simplificar

Solucin: Se descompone en factores primos el nmero 432

Significa que 432 se puede escribir como: 432 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, por la ley

de los exponentes podemos escribir esta expresin como: 432 = 24 x 33, como el

ndice de la raz es 3, entonces, escribimos esta expresin en funcin del ndice de

la raz: 432 = 23 x 2 x 33, esto es, que:

3 333 )3)(2)(2(432 Efectuando las operaciones, se tiene:

333 33 262)3)(2()3)(2)(2(

Ejemplo:

432 3

432 216 108

54 27 9 3 1

2 2 2 2 3 3 3

22 x 3

3

12

22 3 x 12 =

12 = 2

41

Simplificar: 32

Expresamos la raz de la raz, en funcin de un solo radicando, es decir:

4 3232 = Descomponiendo el 32 en 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 24 2

Por lo tanto: 44 44 22)2(232

OPERACIONES CON RADICALES.

SUMA Y RESTA DE RADICALES.

Para sumar o restar dos o ms radicales, se suman o restan los radicales que

sean semejantes, es decir, aquellos que tengan el mismo radicando e ndice.

Ejemplo 1.

Realizar la suma de los siguientes radicales

343)251(32353

Ejemplo 2.

Realizar la suma de los siguientes radicales

bababbaa 75)52()41(524

Ejemplo 3.

Realizar la suma de los siguientes radicales

2005012812

Para resolver este tipo de ejercicios primero se debe simplificar cada uno de los

radicales que intervienen en la suma.

3*412 = 32

Se multiplican los ndices de los radicales.

42

2*64128 = 28

2*2550 = 25

2*100200 = 210

Quedando la expresin de la siguiente manera.

32 + 28 + 25 + 210 = 32 + (8+5+10) 2 = 32 + 23 2

Observa que los radicales que no son semejantes se dejan indicados en la

operacin.

Ejemplo 4.

Realizar la suma y la resta de los siguientes radicales.

333 8119224

Simplificando la expresin se obtiene:

3 33 )3(224 = 2 3 3

3 33 )3(4192 = 4 3 3

3 33 )3(381 = 3 3 3

quedando la expresin de la siguiente manera:

2 3 3 - 4 3 3 + 3 3 3 = (2-4+3) 3 3 = 3 3

Ejemplo No. 5.

Realiza la siguiente suma y resta de radicales.

3 6 - 5 23 + 4 24 + 2 3 128

= 3 6 - 5 3 2 + 4 )6)(4( + 2 3 )2)(64(

= 3 6 - 5 3 2 + 4(2) 6 + 2 (8) 3 2

= 3 6 - 5 3 2 + 8 6 + 16 3 2

= ( 3 + 8 ) 6 + ( - 5 + 16 ) 3 2

= 11 6 + 11 3 2

43

MULTIPLICACIN DE RADICALES.

En expresiones del mismo ndice se multiplican los coeficientes del radical y los

radicandos conservando el misma ndice del radical.

Ejemplo 1.

Realizar la siguiente multiplicacin de radicales.

( 4 5 )( 8 5 ) = ( 4)(8) )5)(5( = 32 25 = (32)(5) = 160

Ejemplo 2.

Realizar la siguiente multiplicacin de radicales.

(5 3 )( 6 2 ) = (5)(6) )2)(3( = 30 6

En las expresiones de diferente ndice o radicando: se aplica la siguiente ley de los

radicales. ( n xa )( m yb ) = )( nynm mxba

Ejemplo 3.

Realizar la siguiente multiplicacin de radicales.

( 1 2 )( 2 3 2 ) = ( 1)( 2) )3)(2(2 =2 6 2

Ejemplo 4.

Realizar la siguiente multiplicacin de radicales

( 2 3 42 )( 6 5 23 ) = ( 2)( 6) )5)(3( )2)(3()5)(4( )3)(2( = 12 )3)(2(15 620 = 12

15 6515 )3)(2)(2(

= ( 12)( 2) 15 65 )3)(2( = 24 15 )729)(32( = 24 15 23328

44

Explica con tus propias palabras el principio o ley para multiplicar radicales con

diferente ndice.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

DIVISION DE RADICALES.

En las expresiones del mismo ndice, se dividen los coeficientes de los radicales y

de los radicandos, conservando el mismo radical.

Ejemplo 1.

Realizar la siguiente divisin de radicales

227

14

3

6

73

146

Ejemplo 2.

Realizar la siguiente divisin de radicales

5

1

5

1

3*5

3

15

3

El resultado 5

1 se debe racionalizar, para ello, se multiplica el numerador y el

denominador por el radical del denominador.

Tomemos la expresin como ejemplo para racionalizar

( 5

5

25

5)

5

5)(

5

1

El objetivo de racionalizar es que ningn radical debe quedar en el

denominador

Ejemplo 3.

Racionalizar la expresin 7

3

( 7

21

49

21

)7)(7(

)7)(3()

7

7)(

7

3

45

Divisin de radicales con diferente ndice o radicando.

Se transforman los radicales hasta obtener ndices o radicandos comunes, se

dividen los coeficientes y los radicndoos, conservando el radical comn y se

simplifica la expresin.

Ejemplo 4.

5

3

2

6=

5/1

3/1

2

6=

15

3

15

5

2

6 151515

3

5

9728

7776

2

6

Observa que las expresiones que tienen el mismo ndice son, 15/3

15/5

2

6, ahora

transformndola nuevamente a radical tendremos:

15 3

15 5

2

6 = 15

3

5

2

6= 15

3

55

2

)3)(2(= 15 52 )3)(2( 15 972

Otra forma de resolver radicales con diferente ndice es aplicando la frmula

siguiente:

mnny

b

mxam y

b

n xa

Ejemplo 5.

Resuelva la expresin:

442348411.010227908144.810747561509.4

390625

7

5

7

5

7

5 20 82012

2015

8

)4)(5()3)(5(

)2)(4(

4 3

5 2

xx

EJERCICIO 5

Resuelve los siguientes ejercicios:

46

1. 2592 2. 3888

3. 68 4. 3 250

5. 4

27 6. 3

216

48

7. 4 1250 8. 481

32

9. 1280 10. 3 4158

EJERCICIOS. 6

1.- 31037323 2.- 31057325

3.- 20251037108212 4. 123238

5.- 125

50 6.- 123 3

7.- 634

5

3

2 8.-

3

7

9.- 55 84 10.- 3 31037323 Actividad No. 5.

Conocimiento de los nmeros reales:

Material:

1 hoja de papel de cuadrcula grande.

1 tijera para papel.

1 regla o escuadra.

1 lpiz y borrador.

47

Desarrollo:

Dibujar un cuadrado de 10 x 10 y cortarlo, numerndolo del 1 al 100 como se

indica:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

40 39 38 37 36 35 34 33 32 31

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

60 59 58 57 56 55 54 53 52 51

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

80 79 78 77 76 75 74 73 72 71

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

100 99 98 97 96 95 94 93 92 91

Utilizando la tabla anterior realiza las siguientes operaciones:

a) Determina la suma de la primera columna

1 + 20 + 21 + 40 + 41 + 60 + 61 + 80 + 81 + 100 = 505

b) Determina la suma de la primera fila

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 + 9 + 10 = 55

Determina la suma de la segunda fila

20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 155

Determina la suma de la tercera fila

21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30 = 255

c) Observa los resultados del inciso anterior. Podras predecir el resultado de la

suma de la cuarta fila? ____________ cul ser? _______________.

48

5. Una fbrica requiere construir un nuevo almacn que le de un espacio de

5000 m2, si el almacn va ha ser cuadrado, cuntos metros tendr por

lado?

Apoyado en la recta numrica y usando nmeros reales resuelve los

siguientes ejercicios:

1. Si Luis Miguel tiene $10.00 y le pagan $4.00 que le deban:

a) Representa esto en una recta numrica

R =

b) Hacer la operacin con nmeros reales:

R = ____________________________

2. Juan Manuel tiene un peso de 100 kg., se puso a dieta. En el primer mes baj

9 kg., y en el siguiente mes bajo 11.4 kg. cul es su peso despus de los dos

meses de dieta?

R = ____________________________

3. Grafca en la recta numrica los siguientes nmeros reales: - ,

, , 2

3

1 16

4

3

3

8

0 10 14

l = lado del cuadrado

A = 5000m2

La frmula del rea del

cuadrado es: A = ( l ) ( l ) = l2

A = 5000 m2

l

l

I = A

I = 5000

I = 70.71 m

49

4. Escribe en forma de potencia, los siguientes productos:

a) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) = R= __________________________

b) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = R= __________________________

c) ( -6 ) ( -6 ) = R= __________________________

5. Resuelve las operaciones que se indican, aplicando las Leyes de los Radicales:

a) 36

25 b)

9

4

0

50

1.2. Razones y proporciones

Actividad No. 6.

El objetivo es establecer comparaciones para comprender los conceptos de razn

y proporcin.

Material:

Una cubeta de plstico.

Un recipiente de dos litros.

Un recipiente de 100ml, (0.1 litro)

Agua

Desarrollo:

De una cubeta llena de agua, vierte el contenido en el recipiente de dos litros,

hasta completar un litro y medio, ayudado por el recipiente de 100 ml.

Observa cuantas veces se tuvo que llenar el recipiente de 100 ml.

Haz la comparacin entre litro y medio y 100 ml de los dos recipientes.

Conclusin:________________________________________________________

__________________________________________________________________

Cul es el resultado de dividir 1500 ml (1.5 lts.) entre 100 ml.?, ser esta la

operacin una

razn?._________________________________________________________

51

Razn: Es la relacin comparativa que existe entre dos cantidades de la misma

especie. Cuando se comparan dos cantidades, pueden hacerlo por diferencia

(razn aritmtica) y por cociente (razn geomtrica).

La razn se compone de dos trminos, antecedente y consecuente, ejemplo:

Antecedente 9 - 5 consecuente

Proporcin: Se define como la igualdad entre dos razones y se escribe como:

6 - 4 = 10 - 8 Proporcin aritmtica

2 : 1 :: 6 : 3

Proporcionalidad: Dos cantidades son proporcionales cuando al variar una de

ellas, la otra tambin vara.

Proporcionalidad directa: Cuando al aumentar una cantidad la otra tambin

aumenta o cuando disminuye una la otra tambin lo hace.

Proporcionalidad inversa: Cuando al aumentar una cantidad la otra disminuye o

cuando disminuye una de ellas la otra aumenta.

9

5

Antecedente

consecuente

Proporcin geomtrica

2

1

6

3

=

Razn Razn

52

Tanto por ciento: Se llama Tanto por ciento de una especie unidad, a una

varias de las cien partes en que se puede dividir dicha especie unidad; y se

simboliza por:

% 100

n

Ejemplos:

1. La mam de Luis va a comprar tela para mandar hacerse un vestido. El metro

de tela de popelina cuesta $ 15.00, mientras que el de seda cuesta $ 90.00.

cuntos metros de popelina puede comprar?, con el dinero que necesita para

la compra de un metro de seda?. Y cul es la diferencia entre el costo de un

metro de seda y un metro de popelina?

Datos:

Precio del metro de popelina = $15.00

Precio del metro de seda = $90.00

X = diferencia de precio de seda y popelina

Y = cociente de precio de seda entre popelina

Operaciones:

X = precio de 1m de seda el precio de 1m de popelina

X = $90.00 - $15.00

X = $75.00; este resultado se le llama razn aritmtica

Y = Costo de un metro de seda

Costo de un metro de popelina $15.00

$90.00 Y =

= 6

53

2. Un estudiante del C.E.T.i.s. No. 163 va a comprar sus tiles escolares y

cursar 7 materias; en cada una utilizar una libreta que le cuesta $15.00

cunto tendr que pagar por 7 libretas?

Datos:

Una libreta = $15.00

7 libretas = $X

Operaciones:

x

7

15

1 o 115: :7 : x a esta igualdad se le llama proporcin

Despejando X resulta:

X = ( 7 ) ( 15 )

X = $105.00

Se observa que a ms libretas compradas ms dinero gasta, a esto se le llama

proporcin directa.

3. Dos estudiantes de computacin tardan en capturar un trabajo 2.5 hrs.; 5

estudiantes cunto tiempo necesitan para realizarlo?

Datos:

2 estudiantes

5 estudiantes

tiempo 1 = 2.5 hrs.

tiempo 2 = X

Operaciones:

Procediendo en forma directa quedara:

Y = 6 veces ms caro el metro de seda; a este resultado se le llama

razn geomtrica

54

x

5.2

5

2 en donde 25.6

2

)5.2)(5(x hrs.

Esto es un error ya que no es posible que 5 estudiantes ocupen ms tiempo en

realizar el trabajo, lo cual nos indica que la proporcin no es directa, sino inversa,

y procedemos de la siguiente manera:

Se invierte cualquiera de las razones para convertir a proporcin inversa, es

decir:

5.25

2 x 1

5

)2)(5.2(x hr. Este resultado es el correcto.

1. Pedro tiene $20.00 y Juan $10.00, Cules son las razones aritmtica y

geomtrica de lo que tiene Pedro en relacin a lo que tiene Juan?

R = Razn aritmtica = $10.00

Razn geomtrica = El doble

2. El costo normal de un refrigerador es de $8,200.00, pero al pagar al contado

se hace un descuento del 12%, Cunto paga un cliente al adquirir de contado

el refrigerador? R = $7,216.00

3. La distancia de una ciudad a otra es de 220 km., un autobs tarda en recorrer

sta distancia 2.75 hrs. a 80 km/hr, Cunto tardar en recorrer la misma

distancia si aumenta la velocidad a 110 km/hr? R = 2 hrs

4. Si al pap de Juan le aumentan el sueldo en un 10%, a la quincena ganara

$3,795.00, Cunto gana actualmente?. R = $3,450.00

5. En un grupo de 54 estudiantes, el 33.33% son mujeres, Cuntos hombres hay

en el grupo?. R = 36 hombres

6. Si una camisa cuesta $60.00 y tiene un descuento del 20%. Cunto pag?.

R = $48.00

55

7. Un agricultor quiere comprar un tractor que le cuesta $130,000.00, pero l tiene

$80,000.00 y le han prometido rebajarle un 12% de lo que pueda pagar al contado

lo restante lo pagar en letras mensuales cargadas al 8%, Cunto pagar el

agricultor finalmente?. R = $57,152.00

8. Calcule el porciento indicado en cada caso:

20% de 50 R = 10

140% de 1000 R = 1400

0.5% de 200 R = 1

9.- En la plaza Cristal, ofrecen un descuento del 35% en el departamento de

farmacia. Una seora compr medicinas por un monto de $1300.00. Cunto

pag en total, considerando su descuento? R = $845.00

56

2. LGEBRA

2.1. Lenguaje algebraico

2.1.1. Introduccin al lgebra

El lgebra es el lenguaje que en matemticas se utiliza principalmente para

resolver problemas similares de la vida real.

Por ejemplo: lee el siguiente prrafo y contesta las preguntas que se indican.

Un nio curioso le pregunta a un agente de trnsito, porqu observa el

paso de los automviles? y le contesta que est registrando el lmite de velocidad

de los diferentes vehculos que transitan, sabiendo que no debe exceder de 40

km/h = 11.11 m/seg. En recorrer una calle de 100 m., obtiene los siguientes

tiempos al azar:

a) VW 15 segundos en cruzar la calle--------- --- 6.66 m/seg

b) CHEVY NOVA 12 segundos en cruzar la calle------8.33 m/seg

c) NISSAN 8 segundos en cruzar la calle----------------12.5 m/seg

d) CONVERTIBLE 5 segundos en cruzar la calle-----20 m/seg

e) MERCURY 20 segundos en cruzar la calle--------- 5 m/seg

Pregunta:

Cules automviles rebasan el lmite de velocidad que podra causar un

accidente? ________2______________.

Existe alguna relacin que facilite la solucin.?

Resultado:

VW =

100

15

= 6.66 m/seg

Nissan =

100

8

= 12.5 m/seg

Chevy nova =

100

12

= 8.33 m/seg

57

Al concluir el anlisis de las velocidades de los autos se puede establecer

que la relacin de eventos repetitivos se generalizan con el uso de las letras

dando origen a frmulas y expresiones algebraicas.

Actividad de estudio

Un agente de trnsito federal ubicado en la autopista Mxico

Quertaro, toma el tiempo de recorrido de varios vehculos con una distancia de

un kilmetro, donde se tiene una velocidad permitida de 90 Km/Hr.

90

1=

1

=

()

90= 0.011

1

0.011

0.011(60 )

= 0.66 1/0.66

90 ()

(60)(60)=

0.025

0.025

=

1

=

1

0.025= 40

Su registro de tiempos es indicado en la siguiente tabla:

Vehculo Color Tiempo en recorrer 1Km [seg.]

velocidad c d

Focus Rojo 48.9 (60)

48.9()= 1.22/

Y

Chevy Azul 40.5 1.48km/hra

Rambler Blanco 39.5 1.51 *

Beetle Amarillo 40.2 1.49

Audi Plata 30.4 1.97 * X

Chevrolet Verde 32.1 1.87 *

Tsuru III Rojo 42.0 1.42

Suburban Blanca 45.6 1.31

Con base a los datos de la tabla anterior, determina en tu cuaderno:

a) La frmula que relaciona la velocidad con la distancia y el tiempo.

Convertible =

100

5

= 20 m/seg.

Mercury =

100

20

= 5 m/seg.

58

=

b) La relacin para convertir los metros/segundos, anota la equivalencia de

metros/segundos a kilmetros/hora.

()(60 )

(1000)()= 0.06

=

0.06

c) Cuntos y cules vehculos infringen la ley de trnsito? Mrcalos en la

columna c de la tabla.

d) Cul es el auto de mayor velocidad y el de menor velocidad? Mrcalos con

una (X) y una (Y) respectivamente en la columna d de la tabla.

e) Cul es el intervalo permitido de velocidad?

Lenguaje Algebraico

El lgebra presenta un panorama del mundo de los nmeros reales,

monomios y polinomios, ecuaciones e inecuaciones, adems descubrirs los

lugares donde se usa el lenguaje algebraico y manejo de las expresiones,

observars la importancia que tiene la jerarquizacin de las operaciones y podrs

identificar quienes y en dnde se trabaja con ecuaciones e inecuaciones.

Para resolver un problema se hace lo siguiente:

1) Identificar el problema del mundo cotidiano. 2) Transferir el problema al lenguaje matemtico 3) Resolver el problema matemtico 4) Aplicar el problema matemtico al problema real.

Traduccin del lenguaje comn al lenguaje algebraico y viceversa.

El lenguaje algebraico es la manera correcta de escribir y leer las

expresiones algebraicas, relacionando los elementos y smbolos de la aritmtica

con los algebraicos.

Los matemticos tienen un idioma con el cual se pueden comunicar

mundialmente, el Lenguaje Algebraico. ste le ha permitido eliminar

prcticamente todas las confusiones que pudieran surgir para la realizacin de su

trabajo. En ste tema aprenderemos a convertir los problemas cotidianos al

59

lenguaje algebraico y nos daremos cuenta que es ms fcil resolver los problemas

que involucran nmeros, letras y smbolos y comprobar sus resultados de sta

forma.

Traduccin de algunas expresiones del lenguaje comn al lenguaje algebraico:

Traduccin de algunas expresiones algebraicas al lenguaje comn:

a) Un nmero cualquiera

b) La suma de tres cantidades

c) La edad de Mara es el doble de la de

Juan

d) El volumen de una esfera es 4/3 por el

radio al cubo

e) El cuadrado de la hipotenusa es igual a

la suma del cuadrado de los catetos

.............................................. x

................................. a + b + c

..................................... M = 2J

............................. V = 4/3 r3

............................. c2 = a2 + b2

a) (a + b ) (a b) ........................................

b) sen2 + cos 2 = 1................................

c) (a + b )2 ..................................................

d) a2 + b2......................................................

e) a2 - b2 .....................................................

f) A = bh .................................................

g) ..........................................

El producto de la suma por la

diferencia de dos nmeros.

El seno de cualquier ngulo al

cuadrado ms el coseno del mismo

ngulo al cuadrado es igual a la

unidad.

El cuadrado de la suma de dos

nmeros.

La suma de los cuadrados de dos

nmeros.

La diferencia del cuadrado de dos

nmeros

El rea es igual al producto de la base

por la altura

Cociente de dos cantidades

a

b

60

Como vez, el lenguaje algebraico es la conversin del lenguaje comn a

smbolos y viceversa.

a) Convierte al lenguaje comn las siguientes expresiones algebricas:

1. A = r2 ...................................................................

2. ( a b )2 ................................................................

3. C = d ...................................................................

4. d = v t .................................................................

5. A = b a ..................................................................

b) Convierta las siguientes expresiones del lenguaje comn al algebraico:

1. El permetro de un rectngulo es la suma de dos veces el largo y dos veces el

ancho.

________________________

2. Un nmero que al multiplicarlo por 7 y restarle 12, el resultado es 149.

____________________________

3. Energa es igual a un medio de la masa por el cuadrado de la velocidad.

____________________________

4. Momento lineal es igual a la masa por la velocidad de desplazamiento de la

masa.

_____________________________

5. Trabajo es igual a la fuerza por la distancia.

_____________________________

2.1.2. Notacin algebraica

61

Al estudiar el lenguaje algebraico observamos la relacin entre signos,

letras y nmeros a lo que llamamos notacin algebraica. A continuacin

estudiaremos los elementos que son bsicos en este tipo de notacin , los cuales

se denominan signos del lgebra, cuya clasificacin es:

a) Los signos de operacin son:

1) Para la adicin (+): ejemplo: 2 metros + 3 metros.

2) Para la sustraccin es (-): ejemplo: 3 metros 2 metros.

5. Signos de potenciacin: ( x )n = xn

( 4 ) 3 = 4 . 4 . 4

6. Signos de radicacin: n a Se lee como raiz ensima de a

a) Signos de operacin

b) Signos de relacin

c) Signos de agrupacin

Signos del lgebra

X ejemplo 3 metros X 2 metros

( ) ( ) ejemplo (3 metros)(2 metros)

. ejemplo 3 metros . 2 metros por ejemplo 3 metros por 2 metros

3) Para la multiplicacin es:

4) Para la divisin es:

ejemplo 3 metros 2 metros

ejemplo 2 metros 3 metros

/ ejemplo 3 metros / 2 metros

62

3 28 yx

b) Signos de relacin:

Estos signos nos permiten identificar la relacin que se establece entre dos

cantidades, los cuales son:

a) El signo de igualdad es : =, ejemplo: 1/4 = 0.25

b) El signo mayor que es: >, ejemplo: 0 > -1

c) El signo mayor o igual que es: ejemplo x 3

d) El signo menor que es: Mayor que. mayor o igual que:

63

Expresiones algebraicas

Expresin algebraica: Es la representacin de nmeros y letras que conforman las operaciones bsicas.

Ejemplos:

3x2 ; 2mn + n ; 7x 2y + z

Trmino algebraico: Es el conjunto de signos, numeros y letras que representan

una cantidad algebraica que consta de uno o varios smbolos no separados entre

si por el signo + o . Y que representa la unidad basica del lgebra.

Ejemplo:

x ; 3m ; 2xy ; 1/3 y

Elementos de un trmino: Las partes que lo forman son: el signo, el coeficiente, la

literal, y el exponente, (al exponente se le conoce como grado).

Ejemplo 1:

an Exponente n

Literal a

Signo positivo

Coeficiente 1

64

Ejemplo 2:

El coeficiente es el nmero de veces que se suma la base y generalmente

es el primer factor que conforma un trmino, pero este puede ser de dos clases:

El exponente nos indica el nmero de veces que se tomo la base como funcin.

Ejemplo: a n = a . a . a . . . n.

Los trminos se pueden clasificar de la siguiente manera:

COEFICIENTE

NUMRICO

LITERAL

-7xy el coeficiente es 7.

a xy el coeficiente es a.

Es el que no tiene denominador literal, ejemplo. :

3 ; 3x2y ; 2m

1. Trmino entero:

Es aquel que tiene denominador literal, ejemplo:

a 7xy

z

52b

C3 2b

; ;

2. Trmino fraccionario:

Es aquel trmino que no esta afectado por un radical y

puede ser entero o fraccionario:

6a2b

x

;

3m

4

5xy2

z

; ; 2x

3. Trmino racional:

Exponentes 1 y 2

Coeficiente 6 Literales m y n

Signo negativo -6mn2

65

Si el coeficiente de un trmino es cero, se tiene un trmino cuyo valor absoluto es cero o nulo, ejemplo:

Recuerda que toda cantidad multiplicada por cero es nulo cero

0x2y = 0; 0a2 = 0

9. Trmino nulo:

Son aquellos que tienen los mismos factores literales con los mismos exponentes.

-6m y 8m ; 7a2b y -2a2b

7. Trminos semejantes:

Son aquellos que tienen diferentes factores lineales, ejemplo:

3ab y 7ax ; 3x4 y 6z3

8. Trmino no semejante:

Son aquellos que tienen el mismo grado absoluto:

3x2 y 7y2 ; 8a2b2 y 5x2y2

5. Trminos homogneos:

Son aquellos que tienen distinto grado absoluto, ejemplo:

3x y 7y2 ; 8a2b y 5x2y2x

6. Trminos heterogneos:

Clasificacin de las expresiones algebraicas:

EXPRESIN ALGEBRAICA

MONOMIO

POLINOMIO

Consta de un trmino Ejem. 2x3

BINOMIO

TRINOMIO

Consta de dos trminos Ejem. 2x3 +3x

Consta de tres trminos Ejem.: 6x2 + 2x - 4

7.- Trminos no semejantes: Son aquellos que tienen diferentes factores literales, ejem. :

3ab y 7ax ; 3x4 y 6z3

Es aquel que si esta afectado por un radical y puede

ser entero o fraccionario, ejemplo:

2xy

ab2x

5 ;

ab

3m ;

4. Trmino irracional:

z

6x3y

66

Actividades de estudio:

1. Dados los siguientes trminos identifica sus elementos:

TRMINO SIGNO COEFICIENTE LITERAL GRADO

-x2

mx

- 3x3y

7abx

2. Escribe en cada rengln la clase de trmino a la que pertenecen las siguientes

expresiones:

a) 2ax _______________________

b) 5ab / c _____________________

c) y7 _____________________

d) 2axy, 3ax2, 5a2x _____________

e) 4x2y, 7xy3 __________________

67

Jerarquizacin de las operaciones

En la vida cotidiana hemos escuchado, que todas las cosas tienen un

orden, por ejemplo el jerarca de Roma, el patriarca de los Mayas o los reyes de

Espaa, de donde se deriva un nivel de arriba hacia abajo.

En las expresiones algebraicas tambien existe un orden de importancia

como se muestra en el siguiente problema. El orden en que se realizan las

operaciones es: potenciacin y radicacin; despus multiplicacin y divisin, y por

ltimo sumas y restas, al igual que en aritmtica.

Ejemplo:

Una persona dispone de $100.00 y quiere repartirlo entre dos de sus hijos

en partes iguales. Cunto le toca a cada uno?. Es claro que la divisin

resuelve el problema :

100 / 2 = 50

por lo tanto cada hijo recibir $50.00

Sin embargo cmo se comprueba ste resultado?. Este resultado se

comprueba multiplicando $50.00(2) = $100.00

Pero por qu razn 50 (2) = 100?

Bueno esto es cierto ya que: el 2 como coeficiente indica que el 50 se

repite 2 veces como factor, es decir:

50 + 50 = 100 o sea 50 veces 2 es 100.

Ahora si estamos completamente convencidos de que 100 / 2 = 50; porque

por medio de las tres operaciones (divisin, multiplicacin y suma) vemos que las

dos primeras se sustentan en la adicin.

Se tiene una secuencia de operaciones sin parntesis, como la siguiente:

4 + 4 X 6 8 4 2 =

68

Qu operacin realizaras primero?

Nos preguntariamos lo siguiente: cal operacin hago primero?, aunque la

suma es la primera operacin que se localiza de izquierda a derecha, en este

ejemplo la suma ya no se realiza primero, sino que multiplicamos 4 X 6, despes

dividimos el resultado de la multiplicacin entre 8, el cociente que resulte ser

dividido entre 4, finalmente le sumamos 4 y al resultado le restamos 2, quedando:

Signos de agrupacin:

Los signos de agrupacin nos indican que las operaciones contenidas en

ellos deben realizarse primero.

16

4

+

3

4

-

8

4

=

11

4

= 2

3

4

Tendramos:

Sustituyendo:

4 =

16

4

2 =

8

4

y

4 6 / 8

4

4+ +

- 2 =

24 / 8

4

4 + - 2 =

3

4

4 + - 2 =

69

Los signos de agrupacin tienen su fundamentacin en la propiedad

asociativa, la cual tiende a una reduccin de los trminos que engloban. Adems

se pueden manejar como un solo trmino antecedido de un signo ms (+) o

menos (-), que multiplicar a los trminos encerrados de acuerdo con las leyes de

los signos.

Estos se emplean para indicar que las cantidades encerradas entre ellos

deben considerarse como un todo o como una sola cantidad; los cuales son:

a) Parntesis ordinario ................... ( )

b) Parntesis angular o corchete .... [ ]

c) Parntesis llave ..........................

d) Smbolo de vnculo ..................... ___

Reglas para el orden de las operaciones: en una expresion con varias

operaciones y signos de agrupacin, simplifique primero cualquier expresion

dentro de los smbolos de agrupacin iniciando siempre de los smbolos de

agrupacin ms internos.

Un director desea conocer cuntos estudiantes estn aprobados y

reprobados en las especialidades de construccin (C), administracin (A) e

informtica (I); adems cuntos son mujeres (M) y hombres (H) por especialidad.

El jefe de servicios escolares le dice que lo tiene de la siguiente manera:

{[20CH + 30CM (3CHR + 5CMR)] + [19AH + 26AM (2AHR + 7AMR)] + [25IM + 23IM (4IMR +

3IMR)]} donde R significa reprobado.

reduciendo los trminos semejantes de esta expresin se tiene:

={[20CH + 30CM 3CHR 5CMR] + [19AH+26AM 2AHR 7AMR] + [25IM + 23IM 4IMR

3IMR]}

={20CH + 30CM 3CHR 5CMR + 19AH+26AM 2AHR 7AMR + 25IM + 23IM 4IMR 3IMR}

=20CH + 30CM 3CHR 5CMR + 19AH+26AM 2AHR 7AMR + 25IM + 23IM 4IMR 3IMR

17CH + 25CM + 17AH + 19AM + 21IH + 20IM

70

cuya interpretacin es la siguiente:

Ejercicio:

1. El costo total de una llamada telfonica se puede calcular usado la siguiente

expresin:

T = 1.94 + 1.09(n 1) + 0.03[1.94 + 1.09(n 1)]

Donde T es el costo total en pesos de una llamada por telfono a Pars, n

es la duracin de la llamada en minutos. Si n es igual a 10 minutos, cul es el

costo de la llamada?.

Valor numrico de una expresin algebraica:

Como ya lo hemos visto, una expresin algebraica es el resultado de un

problema prctico; condensado en una frmula (expresin algebraica).

Veamos el caso de las escalas termomtricas: Celsius y Farenheit; sus

puntos de fusin y ebullicin son los siguientes:

C

100

F

212

C

100

F

212

F

ESTUDIANTES

APROBADOS 119

17 HOMBRES

25 MUJERES CONSTRUCCIN 42

ADMINISTRACIN 36

INFORMTICA 41

17 HOMBRES

19 MUJERES

21 HOMBRES

20 MUJERES

ESTUDIANTES

REPROBADOS 24

3 HOMBRES

5 MUJERES CONSTRUCCIN 8

ADMINISTRACIN 9

INFORMTICA 7

2 HOMBRES

7 MUJERES

4 HOMBRES

3 MUJERES

71

Podemos aplicar las proporciones a estas escalas de temperatura, en

donde C es la temperatura en grados centigrados y F es la temperatura en grados

farenheit.

Esta es una expresin algebraica (frmula) que relacina dos escalas de

temperatura.

1. EVALUAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

F - 32

212 -32

C - 0

100 - 0

=

F - 32

180

C

100

=

C =

100

180 (F 32)

C =

5

9 (F 32)

3x 5y

X - 2

Cuando x = 4 ; y = 2 a)

Cuando x = 3 ; y = -1 (3y x) (y x)

b)

72

c)c)

2. Cuntos grados centgrados seran 70 F?

3. Transformar 130 F a grados centgrados

2.2. OPERACIONES CON POLINOMIOS

2.2.1 Adicin y sustraccin de polinomios.

Adicin o suma de polinomios.

En una competencia uno de los participantes realiz tres saltos. En el

primero alcanz 3 m, en el segundo solo 2 m y en el tercero 3 m. Cul fue la

distancia acumulada? Para obtener la respuesta slo tienes que sumar las

distancias esto es:

3m +2m+3m.

Con seguridad ya tienes la respuesta.

En lgebra las expresiones 3m, 2m y 3m pueden interpretarse como

monomios, ya que cada una representa un trmino algebraico. Los tres trminos

son semejantes por tener igual la parte literal y el mismo exponente; para

sumarlos se procede de la siguiente manera:

3m + 2m + 3m = (3+2+3 )m = 8m Propiedad distributiva.

Ejercicios:

Al sumar monomios, reducimos los trminos semejantes. Se aplica el

mismo criterio para efectuar adiciones entre polinomios.

Ejemplos:

Sean los polinomios (5x2 + 8 +7x), (9x2 +15x) y (10 4x +8x2), realiza la suma.

ab - 2a + b2 Cuando a = 9 ; b = 4

73

(5x2 + 7x + 8) + (9x2 + 15x) + (8x2 4x + 10)

Se agrupan los trminos semejantes.

(5x2 + 9x2 + 8x2) + (7x + 15x 4x) + (8 + 10)

y obtenemos el resultado:

22x2 + 18x + 18

La adicin de polinomios tambin se puede resolver en forma vertical,

agrupando los trminos semejantes en forma de columnas:

5x2 + 7x + 8

9x2 + 15x

8x2 4x + 10

22x2 + 18x + 18

Con los pasos anteriores se puede concluir que, para efectuar la suma de

polinomios:

a) Se ordenan los polinomios en forma decreciente respecto a una misma variable.

b) Se agrupan los trminos semejantes.

c) Se reducen los trminos semejantes.

Sustraccin de polinomios.

Para elaborar un informe de las ventas del mes, el empleado de un almacn

de telas, examin los restantes de cada rollo de tela y observ que la etiqueta del

contenido original de uno de los rollos deca: 48m + 50cm. Al medir el sobrante de

la tela que an no se venda, encontr: 15m + 25cm. Qu cantidad se debe de

reportar como vendida?.

Para responder a esta pregunta debes de efectuar una sustraccin entre el

contenido original y el sobrante de la tela, ya tienes la respuesta?.

Este resultado se obtiene al reducir

trminos semejantes.

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Volviendo al problema del inventario se tiene:

(48m + 50 cm ) ( 15m + 25cm )

(48m + 50 cm ) + (-15m 25cm )

48m + 50cm + -15m 25cm

33m + 25cm Total de tela vendida.

Leyes de los exponentes

Cul es el resultado de las multiplicaciones siguientes, por simple inspeccin?

1000 x 100 = 10000 x 1000 =

1000 x 1000 = 100000 x 10000 =

Podrn determinar los productos anteriores, si escribes el nmero 1 seguido

de tantos ceros como lo haya en ambos factores. As :

10000 x 1000 = 10000000

4 ceros 3 ceros 7 ceros

Considera este otro ejemplo:

La ciudad de Tapachula, Chis., tiene 150 000 habitantes y se duplica cada

10 aos, entonces. Cul ser la poblacin en 50 aos?

En 10 aos la poblacin ser 150 000 x 2

En 20 aos la poblacin ser 150 000 x 2 x 2

En 30 aos la poblacin ser 150 000 x 2 x 2 x 2

En 40 aos la poblacin ser 150 000 x 2 x 2 x 2 x 2

En 50 aos la poblacin ser 150 000 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

La forma rpida de resolver los productos anteriores se basa en una de las

leyes de los exponentes, las cules se presentan a continuacin. Recuerda que el

exponente nos indica las veces que se toma como factor la base:

Para determinar la sustraccin

de monomios y polinomios,

cambiamos los signos del

sustraendo y se realiza la

suma.

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a5 = aaaaa 34 = 3 3 3 3

base 5 factores base 4 factores

(a + 4 )2 = (a + 4 )(a + 4 ) xn = xxx...xn

base 2 factores base n factores

Las leyes de los exponentes son de gran utilidad para resolver

multiplicaciones y divisiones de polinomios. Estas son:

1. Producto de potencias de la misma base.

Esta ley se aplica en los casos donde se pide multiplicar potencias que

tienen la misma base, por ejemplo: a4 a3 = aaaa aaa = a7

misma base 4 factores 3 factores

Observa que si slo se efecta la adicin de los exponentes y se escribe la

misma base, se tiene:

a4 a3 = a4+3 = a7

En general se puede expresar:

Si a es un nmero cualquiera y m y n son enteros positivos se tiene

am an = am+n

2. Potencia de potencia

Cuando una potencia se eleva a otra potencia, tenemos una potencia de potencia :

a2 es una potencia

( a2 )3 es una potencia de potencia

Para resolver esta expresin se observa que el nmero 3 indica tomar tres

veces como factor la expresin a2 , es decir:

(a2 )3 = a2 a2 a2

Esto es un producto de potencias de la misma base, por lo que basta sumar

sus exponentes y se encuentra el resultado, as:

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(a2 )3 = a2 a2 a2 = a6

Otra forma de resolver este ejemplo consiste en multiplicar los exponentes

(a2 )3 = a2 * 3 = a6

En general si a es un nmero cualquiera y m y n son enteros positivos se tiene

(am )n = am n

3. Cociente de potencias de igual base.

El cociente de potencias de igual base se puede expresar como:

Por lo que x6 = x6-3 = x3

x3

La divisin de dos potencias de la misma base se resuelve mediante la

diferencia del exponente del numerador y el denominador.

En general si a es un nmero cualquiera diferente de cero y m y n son

exponentes enteros positivos se tiene