MATEMÁTICAS 2

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

MATEMÁTICAS II

GUÍA DE ACTIVIDADES DEL ALUMNO PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS

SEGUNDO SEMESTRE

FEBRERO DE 2012

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA LIC. RAÚL S. ALEMÁN SALAZAR DIRECTOR GENERAL ING. ANA LILIA MARTÍNEZ MUÑOZ DIRECTORA DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Edición, febrero de 2012 Diseñado y actualizado por: Fís. Norman Edilberto Rivera Pazos Revisaron: Ing. Luis Gallegos Flores Ing. María Estela Buenrostro Medina Ing. Bertha Varela Gutiérrez La presente edición es propiedad del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California, prohibida la reproducción total o parcial de esta obra. En la realización del presente material, participaron: JEFE DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS, Teresa López Pérez; COORDINACIÓN DE EDICIÓN, Roque Juan Soriano Moreno: EDICIÓN, Elvia Munguía Carrillo / Gerardo Enríquez Niebla.

Í N D I C E PRESENTACIÓN COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS BLOQUE I: UTILIZAS ÁNGULOS, TRIÁNGULOS, Y RELACIONES MÉTRICAS ............................................................................. 3 BLOQUE II: COMPRENDES LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS .............................................................................................. 13 BLOQUE III: RESUELVES PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS ............................................ 23 BLOQUE IV: RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS ................................................................................................ 31 BLOQUE V: EMPLEAS LA CIRCUNFERENCIA .............................................................. 39 BLOQUE VI: DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ................................... 47 BLOQUE VII: APLICAS LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .................................... 59 BLOQUE VIII: APLICAS LAS LEYES DE SENOS Y COSENOS ........................................ 67 BLOQUE IX: APLICAS LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL ................................................. 75 BLOQUE X: EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD..................................................................................... 83

ANEXOS

PRESENTACIÓN

¿Qué es formación de competencias en bachillerato? Es un enfoque didáctico

que pretende desarrollar en el estudiante conocimientos, habilidades de pensamiento,

destrezas, actitudes y valores que le permitan incorporarse a la sociedad de una forma

inteligente, consciente, propositiva, activa y creativa; y que en un momento dado, las

utilice para enfrentarse a una situación de vida concreta, resuelva problemas, asuma

retos, etc.

En la actualidad, es una exigencia ofrecer una educación de calidad que logre la

formación y consolidación del perfil de egreso en el bachiller de tal forma que pueda

contar con los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollarse en un

mundo cambiante, globalizado, competitivo y complejo; por lo que el proceso educativo

debe caracterizarse por presentar estrategias que contemplen actividades de

aprendizaje en diversos contextos y escenarios reales, donde pongan en juego,

movilice y transfiera las competencias desarrolladas.

Este material dirigido al estudiante, es producto de la participación de los

docentes, donde pusieron de manifiesto su experiencia, conocimiento y compromiso

ante la formación de los jóvenes bachilleres; mismo que se presenta en dos

modalidades: Guías de actividades para el alumno y la planeación didáctica para el

docente y se podrán consultar en la página web del Colegio: www.cobachbc.edu.mx

en la sección de alumnos o en docentes respectivamente.

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN

EL PERFIL DEL EGRESADO Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. Se autodetermina y cuida de sí:

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros

3. Elige y practica estilos de vida saludables

Se expresa y se comunica 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la

utilización de medios, códigos y herramientas apropiados

Piensa crítica y reflexivamente 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos

establecidos 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,

considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva

Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

Trabaja en forma colaborativa 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos

Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo

10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE

MATEMÁTICAS

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Utilizas ángulos, triángulos y relaciones métricas

1

BLOQUE I

UTILIZAS ÁNGULOS,

TRIÁNGULOS Y

RELACIONES MÉTRICAS


2


3

DESEMPEÑOS A DEMOSTRAR:

Identifica diferentes tipos de ángulos y triángulos. Utiliza las diferentes propiedades y características de los diferentes tipos de ángulos y

triángulos, a partir de situaciones que identifica en su comunidad Resuelve ejercicios o problemas de su entorno mediante la aplicación de las

propiedades de la suma de ángulos de un triángulo.

Una vía de tren se encuentra en dirección Oeste-Este, y una carretera que se intercepta con la vía tiene dirección Noreste. Existe un proyecto para alinear la carretera con la vía para mejorar el tránsito vehicular. ¿Cuántos grados tendría que moverse la carretera para lograr la alineación? Algunos ingenieros dicen que bastaría orientar la carretera con la dirección NE-E. ¿Qué dirección es ésta? ¿Cuántos grados tendría que moverse la carretera si se acepta este proyecto? ¿Cuántos tipos de ángulos se forman entre la carretera y la vía? ¿Cuáles son? Carretera N Vía

E

Situación didáctica

UTILIZAS ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS

B l o q u e I


4

Actividad diagnóstica:

i) Realiza dibujos o esquemas donde muestres los ángulos indicados:

- agudo

- recto

- obtuso

- llano

ii) ¿Qué características tienen los ángulos complementarios y los suplementarios?

Secuencia didáctica

1. Tipos de ángulos. Esquema dos rectas cortadas por una secante, ángulos complementarios y suplementarios. Actividad: Según la figura, escribe en la línea la letra o letras que correspondan a las definiciones dadas. Ángulos: - Alternos internos ________ - Alternos externos ________ - Correspondientes ________ - Opuestos por el vértice _______ - Adyacentes ________ - Complementarios _________ - Suplementarios _________ - Consecutivos __________

Entreguen la hoja con el nombre de los compañeros del equipo al profesor

a b

d c

e f

g h

h k


5

2. Junto con los compañeros de tu equipo (no más de 5 personas), en el material proporcionado por el profesor o el que tú has traído, busca diagramas, esquemas o fotografías donde aparezca algún tipo de los ángulos que se estudiaron en la actividad anterior.

Decide junto con tus compañeros el tipo de ángulos que ven, recorten las imágenes y péguenlas en una cartulina, para después exponer el collage identificando ante el grupo los ángulos que se ven sus imágenes. Busquen al menos 10 imágenes.

3. A partir de las siguientes imágenes o diagramas, responde a las preguntas que se te

formulan.

¿Qué tipo de ángulos logras observar en la figura? Márcalos con tu lápiz.

¿Puedes encontrar ángulos opuestos por el vértice, consecutivos, suplementarios y adyacentes? Represéntalos con letras y márcalos en el diagrama.


6

¿Qué tipo de ángulos identificas en esta figura? Márcalos.

¿Son correspondientes los ángulos marcados? ¿Por qué?

Escribe el tipo de ángulos que son los que se observan en las tres secciones de la puerta.

Ponle nombre a los ángulos de esta figura (usa letras minúsculas) y define el tipo de ángulos que son.

4. Dadas las siguientes figuras, obtén el valor de las incógnitas, usando las propiedades de triángulos. Explica por qué.

A _________ B _________

C _______ D _______

125° C

D

B

A

60°


7

B _________

D ________ E ________

5. Las siguientes figuras muestran la forma en que un árbol puede ayudarse para crecer verticalmente o corregir la dirección del tronco. ¿Cuál es la forma aproximada de cada triángulo que forman los soportes de los árboles?

____________________ ________________ ________________________ 6. Identifica en cada figura el tipo de triángulos que se observan, según la longitud de sus

lados o de sus ángulos. a) ______________________ b) _______________________ _____________________ ______________________ E, es isósceles y rectángulo

B

Z

132°

Z

Z

65°

X X D

E


8

c) __________________________ __________________________ _I, es escaleno y oblicuángulo__ __________________________ __________________________ __________________________

7. En las siguientes imágenes, traza los triángulos que observes o pueden formarse, prolongando alguna o algunas líneas e identifica el tipo de triángulos que son, por sus lados o por sus ángulos.

a) Condominios b) Virus de la gripe aviar

E

C

D

G

I J

H

L K

A

B


9

c) El caballo de Troya d) Virus de la Rubeola

8. Dadas las siguientes figuras, obtén el valor de los ángulos desconocidos:

K 24º

W 71º

¿Cuánto vale el ángulo K? ¿Cuál es el valor de W?

6 Q=37º 4 4 P 6 V

31º D 22º

Obtén el valor de V. ¿Cuántos triángulos distintos puedes observar?

¿Qué tipo de triángulo es el PVQ? ¿Qué tipo de triángulos son?

¿Cuánto vale el ángulo D?


10

Material a utilizar:

Pizarrón Fotocopias

BLOQUE II

COMPRENDES LA

CONGRUENCIA DE

TRIÁNGULOS

Comprendes la congruencia de triángulos

12


13


Utiliza los criterios de congruencia para establecer si dos o más triángulos son congruentes entre sí.

Resuelve ejercicios en los que se requiere la aplicación de los criterios de congruencia.

Argumenta el uso de los criterios de congruencia en la resolución de triángulos.

Marco de ventana

Juanito hizo un hueco triangular en una pared de su casa (ver figura 1), para mandar fabricar un marco de ventana.

Desafortunadamente cuando el fabricante quiso medir el marco de la ventana antes de entregar su trabajo, no encontró su cinta métrica y sólo había medido dos ángulos y un lado (ver figura 2).

Figura 1 Figura 2

Cuando Juanito vio el marco de ventana, gritó muy feliz: ¡YA TENGO MI VENTANA TRIANGULAR!

¿Crees que Juanito tiene la razón? ¿Cómo dedujo que las medidas del marco estaban correctas?

COMPRENDES LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

B l o q u e II



14


1. Responde las siguientes preguntas y elige la respuesta correcta. Después, intercambia con

un compañero tu hoja y califica las respuestas de tu compañero, siguiendo la instrucción del profesor.

A) Dados los siguientes triángulos, determinar cuáles son congruentes:

i. ii. iii.

a) Sólo I y II b) Sólo I y III c) Sólo II y III d) I, II y III e) Ninguno

B) Un alumno para demostrar en el cuadrado de la figura que ABC BCD, determinó que AB BD, que AC DC y que el CAB BDC, por ser rectos. ¿Qué criterio de congruencia utilizó?

a) LLL b) LAL c) ALA d) AAL e) LLA

C) En la figura, el CDE es isósceles. C es punto medio de AD y D es punto medio de CB. ¿Qué criterio de congruencia permite demostrar que el ACE BDE?

a) LAL b) ALA c) LLA d) LLL e) AAL

D) Para demostrar que los triángulos AOB y COD de la figura, son congruentes, es necesario saber que:

a) AB DC b) BAO DCO c) AB //CD

d) AO DO y AB CD e) BO CO y AO DO


15

E) Marca la alternativa de la proposición verdadera:

a) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes.

b) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo.

c) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales.

d) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL

e) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

F) Los triángulos ABC y DEF de la figura son congruentes, entonces la medida de EF es:

a) 9 b) 15 c) 17 d) 40 e) Falta información

G) En la figura, ABCD es rectángulo y el DEA CFB. ¿Qué criterio permite demostrar que el EAD FBC?

a) LLL b) LLA c) ALA d) LLA e) Falta Información

H) En la figura, ABC equilátero y AF BD CE. El criterio que permite demostrar que los triángulos AFD, ECF y BDE son congruentes es:

a) LAL b) LLL c) ALA d) LLA e) LAA

40


16

2. Elige la respuesta correcta.

Sugerencia: Puedes usar papel lustre vegetal o transparente.

A) ¿Cuál de los siguientes pares de triángulos son congruentes?

a) b)

c)

B) Marca la alternativa correcta. Para cada par de triángulos sólo hay una expresión válida de las tres propuestas:

a)

ABC DEF ABC EDF ABC EFD

A B

C E

D F


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b) (A) ABC DEF (B) ABC DFE (C) ABC FED

c)

ABC DEF ABC EDF ABC EFD

C) Si ABC DEF, selecciona la proposición falsa en cada ítem:

a) AC DF, ángulo B ángulo E, BC DE, ángulo C ángulo F b) AB ED, ángulo A ángulo D, ángulo C ángulo F, AB EF

c) AB DE, BC FE, ángulo C ángulo D, AC DF D) Si UVW XYZ, completar:

a) Ángulo U ___________ d) VU ____________ b) Ángulo V ___________ e) UW ___________ c) Ángulo W ___________ f) VW ____________

E) Si MNO PQR, formular los seis pares de partes congruentes:

F) Si Ángulo A Ángulo B AP BT Ángulo T Ángulo P AR BJ Ángulo R Ángulo J PR TJ

Entonces ___________ es congruente con ___________

A

B C

C

A B

D

E

F

E

D F


18

G) Si ABC DEF. ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) BCA EFD b) CBA FDE c) ACB EFD d) CAB FDE.

H) Si el ABC es equilátero.

a) ¿Es verdadera la proposición ABC BCA? ______

b) ¿Cuáles otras proposiciones pueden escribirse? _________________________ 3. En las siguientes figuras, formula las proposiciones de congruencia para cada par que se

encuentra en la figura (usa papel transparente). A) B)

C

A B

W

U

S V

T R

B

A C E D


19

C)

4. Dado el ABC. A B C A) Copiando los lados a, b, c construye otro triángulo congruente al ABC. B) Copiando la longitud del lado c, la del lado b y el ángulo A, ¿es este triángulo congruente al

ABC? C) ¿Qué otras combinaciones de tres de las seis partes permiten dibujar un triángulo

congruente con el ABC?

Q p

R O

M N


20


Liga a una presentación de Power Point acerca de los criterios de congruencia.

http://www.slideshare.net/carmenbatiz3/congruencia-de-tringulos-postulados-y-teoremas-1252324

Referencias:

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=137527

Pintarrón

Fotocopias

Resuelves problemas de semejanza de triángulos y teorema de Pitágoras

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BLOQUE III

RESUELVES PROBLEMAS DE

SEMEJANZA DE

TRIÁNGULOS Y TEOREMA

DE PITÁGORAS


22


23


Argumenta la aplicación de los criterios de semejanza.

Aplica los teoremas de Tales y de Pitágoras.

Resuelve ejercicios o problemas de su entorno aplicando los teoremas de Tales y

Pitágoras.

Dos técnicos en telecomunicaciones instalan una torre de 10m de altura y necesitan asegurar la torre con tres cables o tirantes que se sujetarán de la torre a una altura de 9m y en el piso, a 4m de la base de la torre. ¿Podrán tender los tres cables con 25m? A 30m de donde están situados, hay una antigua torre que será sustituida por otra similar a la primera. Si uno de los técnicos coloca un lápiz de 12cm a una distancia de 25cm respecto de sus ojos, el lápiz cubre completamente la imagen de la torre. Con simple cálculo el técnico le dice a su compañero que la vieja torre es más alta que la que ellos está colocando. ¿Es posible que este cálculo sea correcto o sólo es un invento? Secuencia didáctica

1. Observa con atención el video de YouTube sobre el Teorema de Tales

http://www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY (3.31 min). y contesta lo que se te pide:

RESUELVES PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS

B l o q u e s III



24

A) ¿Cuál es la idea central del video?

B) ¿Qué se dice de las rectas paralelas?

C) ¿De cuántas maneras encontramos las rectas paralelas?

D) Establece la relación que existe entre la melodía y las imágenes.

Participa en una plenaria sobre una reflexión del video, donde el docente será el moderador.

2. Haz una lectura en tu libro de texto acerca del Teorema de Tales, congruencia y semejanza, y luego responde cada una de las siguientes cuestiones sobre el Teorema de Tales:

A) Se dice que dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivos __________ y sus lados correspondientes _______.

B) Establece la diferencia entre Congruencia y Semejanza.

C) Escribe con tus propias palabras el Teorema de Tales.

3. Observa con atención el video en la página: asesoriadematematica.com sobre el teorema de Pitágoras http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a21m2p.html 10 min, y contesta lo que se te pide:

A) En parejas, recorten dibujos o imágenes que tengan relación con un triángulo rectángulo.

B) De 5 de esos recortes, midan los tres lados y comprueben que cumplen con el Teorema de

Pitágoras.

C) ¿Cómo podrías definir la hipotenusa y los catetos?

D) Escribe la forma en la que entiendes el Teorema de Pitágoras.

4. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando el Teorema de Tales. Trabaje en equipo de tres o cuatro personas.


25


26


27

5. Resuelve los siguientes ejercicios, en forma individual, usando el Teorema de Pitágoras.

A) En un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, hallar la hipotenusa cuando:

a) a = 5, b = 12. b) a = 8, b = 15. c) a = 4, b = 5. d) a = 15, b = 20.

e) a = 2 2 , b = 2 2 . B) En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es c, hallar el cateto desconocido cuando:

a) a =8, c = 10. b) b =10, c = 26. c) a =20, c = 25. d) b =21, c = 29.

e) a =5, c = 5 2 . C) Hallar la altura de un triángulo isósceles si sus lados iguales miden 10 unidades y su base

es:

a) 12 b) 16 c) 10 d) 18

6. Resuelve en pares o en equipos de tres los siguientes problemas, aplicando el Teorema

de Pitágoras. A) Una escalera de 8 m de largo está apoyada sobre una pared, a cierta altura de la pared hay

una ventana y la escalera está exactamente debajo de la ventana. Si la escalera está apoyada en el piso a 2.5 m de la base de la pared, ¿cuál es la altura a la que está la ventana?

B) Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 14 cm de longitud. Suponiendo que los

catetos son iguales, obtén la longitud de cada cateto.


28

C) Una repisa está sostenida por un soporte de metal, como se muestra en la figura. Si A = 7 cm, obtén el valor de la longitud L de la repisa.


Pintarrón Fotocopias

A

L

23 cm 32 cm

Reconoces las propiedades de los polígonos

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BLOQUE IV

RECONOCES LAS

PROPIEDADES DE LOS

POLÍGONOS


30


31


Reconoce polígonos por el número de sus lados y por su forma. Aplica los elementos y propiedades de los polígonos en la resolución de problemas.

En un salón de clases dos estudiantes discuten la forma de anillo del benceno y su profesor les explica que su estructura molecular es C6H6, ya que consiste en 6 átomos de carbono con un átomo de hidrógeno vinculado en cada átomo de carbono. Después les dibujó su figura en el pizarrón y los alumnos realizaron las siguientes preguntas.

a) ¿Qué polígono representa dicha figura?

b) ¿Cuál es la medida de cada ángulo interior? ¿Cuánto medirá el ángulo formado en la doble ligadura (CCH)?

(Ejemplo: pág. 94 Matemáticas 2, geometría y trigonometría de Ibáñez y García).

RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

B l o q u e IV



32


1. Realiza en binas lo que se le pide a continuación. Un reporte escrito de esta actividad

puede considerarse para actividad sumativa.

A) Observa detenidamente, las figuras de diferentes polígonos.

a) ¿Qué polígono es regular o irregular? b) ¿Cómo identificas a un polígono regular? c) ¿Cómo identificas a un polígono irregular? d) ¿Qué dificultades se presentan al resolver la actividad?

B) En las siguientes figuras, une los puntos para generar polígonos con la cantidad de lados que se te indican.

5 lados 6 lados 7 lados 8 lados

a) ¿Qué polígono es cóncavo o convexo?

b) ¿Cómo identificas a un polígono cóncavo?

c) ¿Cómo identificas a un polígono convexo?

d) ¿Cuáles de los 4 polígonos que formaste en la actividad anterior fueron cóncavos?


33

C) En la siguiente figura, identifiquen en parejas los elementos de un polígono regular.

a) ¿Cómo identificas a la apotema? b) ¿Por qué crees que el apotema sólo esta presente en un polígono regular? c) ¿Cómo identificas al radio? d) ¿Cómo identificas a una diagonal?

D) Contesta las preguntas relacionadas con las siguientes figuras:

a b

a) En la figura “a”, ¿cuántas diagonales puedes trazar desde un solo vértice?

b) En la figura “a”, encuentra una fórmula para obtener la cantidad de diagonales desde un solo vértice.

c) En la figura “b”, ¿cuántas diagonales puedes trazar desde todos los vértices?

d) En la figura “b”, encuentra una fórmula para obtener la cantidad de diagonales totales de un polígono.


34

2. Contesta los siguientes incisos (en pares).

A) Sabiendo que el ángulo central de un polígono regular, está formado por dos radios consecutivos. Utiliza tu juego de geometría para trazar los ángulos centrales de los polígonos con 5, 6 y 7 lados.

B) Sabiendo que la suma de los ángulos interiores de un polígono es 180º.

Encuentra la cantidad de triángulos interiores en cada polígono y la suma de ángulos interiores.

Número de lados Figura Número de triángulos

Suma de ángulos interiores

4

5

8


35

3. Perímetros y áreas (en clase, lluvia de ideas). a) Recuerda con tus compañeros las fórmulas para obtener perímetro y área de cada una de las figuras siguientes y completa la tabla:

Figura Perímetro Área

Cuadrado

Rectángulo

Triángulo

b) Obtén el perímetro y área de las siguientes figuras. En el caso de las irregulares, decide

con tus compañeros qué estrategia tomar para calcular el área.

Insertar tabla del archivo adjunto.

c) Problemas. i) En un patio se va a cubrir una zona de 5m de largo por 2 m de ancho con piezas

de adoquín cuya forma es de un triángulo cuya altura y base son de 15 cm respectivamente. ¿Cuántas piezas se necesitan para cubrir esa zona del patio?

ii) En una pintura abstracta se observa un cuadrado que contiene exactamente a un círculo, es decir que la circunferencia toca los cuatro lados del cuadrado. Si el cuadrado está pintado de azul y el círculo de rojo, ¿cuál es el área azul visible si el cuadrado tiene 2m de lado?

4. Resolver la actividad 4 de los anexos. 5. (Optativa). Revisar los siguientes videos en casa o en el centro de cómputo o en el aula de

clase, si las condiciones del plantel lo permiten. Se puede hacer al inicio del bloque. Anexo 1: Se agrega la liga de Internet donde se explican los temas vistos en este bloque: http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/ Anexo 2: videos donde se explica la clasificación de los polígonos: http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a23m2p.html Anexo 3: videos donde se explican los temas de diagonales de un polígono: http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a24m2p.html http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a25m2p.html Anexo 4: videos donde se explican los temas de ángulos de un polígono: http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a26m2p.html http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a26_1m2p.html


36

Material a utilizar: Graficador de funciones online. http://fooplot.com/index.php Páginas para descarga de programas para graficar funciones. http://www.programas-gratis.net/b/programa-para-graficar-funciones-matematicas

Programa winplot para graficar funciones. Se puede elegir la versión en español. http://math.exeter.edu/rparris/

Excel Proyector Laboratorio de cómputo (en donde sea posible). Material para hacer gráficas en papel (lápiz, regla, borrado).

Empleas la circunferencia

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BLOQUE V

EMPLEAS LA

CIRCUNFERENCIA


38


39


Reconoce y distingue los distintos tipos de rectas, segmentos y ángulos asociados a la circunferencia.

Emplea las propiedades de los elementos asociados como radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y secante a la circunferencia en la resolución de problemas.

Resuelve ejercicios de perímetros y áreas de circunferencia. En una empresa se fabrica cable con un diámetro exterior igual a 0.41 cm junto con el aislante y un diámetro de 0.34 cm sin aislante. Según los datos anteriores:

a) ¿Cuál es la longitud del espesor del aislante?

b) ¿Cuál es el área de la sección transversal de alambre sin aislante?

c) ¿Cuál es el área de la sección transversal del alambre con aislante?

(Ejemplo: pág. 110 Matemáticas 2, geometría y trigonometría de Ibáñez y García).

EMPLEAS LA CIRCUNFERENCIA

B l o q u e V



40


1. Identifica los segmentos y rectas contenidas en una circunferencia.

Elemento Segmento o punto

Radio

Diámetro

Centro

Cuerda

Secante

Tangente

Punto de tangente

Arco


41

2. Contesta los siguientes incisos (en pares).

A) En la siguiente figura, se muestra la preferencia de los alumnos de un plantel al practicar un deporte.

a) ¿Cómo supo el dibujante qué tamaño darle a cada deporte?

b) Realiza una nueva distribución si: béisbol= 45%, voleibol=15%, basquetbol=30% y fútbol=10%.

c) ¿Cuáles son los elementos relevantes de la circunferencia en esta aplicación?

B) Contesta las preguntas relacionadas con las siguientes figuras:

a b

a) En la figura “a”, ¿cómo se llama al ángulo ACB y por qué?

b) En la figura “a”, si el arco AB

70o¿cuánto vale el ángulo ACB?

c) En la figura “a”, si el ángulo ACB 25o¿cuánto vale el arco AB

? d) En la figura “b”, si el ángulo AOB 80o¿cuánto vale el ángulo ACB?

e) En la figura “b”, si el ángulo ACB 35o¿cuánto vale el arco AB

?

Basquetbol


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C) Contesta las preguntas relacionadas con las siguientes figuras:

a b

a) En la figura “a”, si conoces a la recta tangente y el centro de una circunferencia ¿cómo se encuentra su punto de tangencia?

b) En la figura “a”, una vez que encuentres el punto de tangencia, traza un ángulo semi inscrito.

c) En la figura “b”, si el arco AB

110o , ¿cuánto vale el ángulo semi inscrito formado por la tangente que pasa por A y el segmento AB?

d) En la figura “b”, si el arco AB

110o , ¿cuánto vale el ángulo AOB ?

3. Perímetros y áreas. a) Ejercicios. Insertar tabla. b) Problemas.

i) En una cancha se va a pintar la circunferencia central que tiene un diámetro de 5m. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia?

ii) Un estanque tiene una forma circular con un área de 78.5 m2. ¿De qué longitud es el muro que rodea al estanque?

iii) En un campo se han sembrado de trigo tres regiones circulares. Si en total se usaron 126m de malla ciclónica para el cerco de las tres regiones, obtenga el área total sembrada.

4. Optativa, según las condiciones del plantel o de los grupos.

A

O

B


43

Anexo 1: Se agrega la liga de Internet donde se explican los temas vistos en este bloque: http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/ Anexo 2: videos donde se explica los elementos de la circunferencia: http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a30m2p.html Anexo 3: videos donde se explican los tipos de ángulos en la circunferencia: http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a29m2p.html http://asesoriasdematematicas.com/preparatorias/2semestre_p/a29_1m2p.html


- Fotocopias

- Juego de geometría

- Colores

- Calculadora

- Libreta de apuntes - Pintarrón y plumones


44

Describes las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos

45

BLOQUE VI

DESCRIBES LAS RELACIONES

TRIGONOMÉTRICAS PARA

RESOLVER TRIÁNGULOS

RECTÁNGULOS


46


47


Identifica diferentes sistemas de medida de ángulos. Describe las razones trigonométricas para ángulos agudos. Aplica las razones trigonométricas en ejercicios teóricos – prácticos.

Santiago Calatrava y su obra Arquitecto nacido en 1951 en Benimamet (Valencia), profesionalmente ha llevado a cabo toda su actividad en sus estudios de Arquitectura e Ingeniería en París y Zurich. Considerado un especialista en el diseño de puentes -aunque ha realizado trabajos de diverso tipo- es autor de obras tan conocidas como el puente del Alamillo y el Pabellón de Kuwait en la Expo´92, ambas en Sevilla, o la torre de comunicaciones de Montjuic, en Barcelona, y fue uno de los nominados para realizar la reforma del histórico edificio del parlamento alemán (Reichstag). En 1993, el prestigioso Museo de Arte Moderno de Nueva York (MOMA) dedicó una gran exposición monográfica a su obra, como también se ha hecho en otras numerosas ciudades de varios países. Recientemente inauguró en Valencia un espectacular cine y planetario, L Hemisférico, primer edificio de la Ciudad de las Artes y las Ciencias, y trabaja también en la estación de Oriente, de Lisboa, el nuevo aeropuerto de Bilbao o la estación de Lieja, que será el enlace para las líneas de alta velocidad del centro de Europa, entre otros. http://noktok.wordpress.com/2009/10/18/santiago-calatrava/

DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

B l o q u e VI



48

El Puente de Alamillo, de Santiago Calatrava. Para cuando España decidió recibir la Expo’ 92 en una isla grande pero desierta en el Guadalquivir, el río de Sevilla, se construyeron nuevos puentes. Cuatro nuevos puentes fueron construidos, de los cuales Calatrava diseñó dos. Debido a las curvas del río, los puentes habrían sido situados de una manera tal que sus altos mástiles inclinados se hubieran alcanzado uno con el otro, formando un triángulo con un ápice lejos de la tierra. El diseño fue construido en última instancia como solo un puente, junto con el viaducto Cartuja. Aunque tenía el mismo impacto por ser una estructura solitaria, el mástil inclinado fue construido según lo diseñado inicialmente. El puente de Alamillo, es por mucho, el de la escala más grande, con un mástil de 142m que se ha hecho una señal visible desde la vieja ciudad de Sevilla. http://www.arqhys.com/arquitectura/alamillo-puente.html Puente de la Mujer, en Buenos Aires (Argentina): Se trata de un puente diseñado también por Calatrava en el que un sólo mástil aguanta la estructura mediante tirantes. Es peatonal, mide 170 metros de largo y está dividido en 3 secciones para poder girar y dejar paso a las embarcaciones. http://itopos.blogspot.com/2009/11/los-18-puentes-mas-extranos-del-mundo-i.html

a) ¿Cuáles son las figuras que predominan en la obra de Calatrava? b) ¿De qué forma las matemáticas pueden ser útiles para el beneficio de la sociedad y

además, que lo construido sea algo agradable a la vista? c) ¿De qué forma se podría saber la altura de los mástiles o de la escultura sin tener que

subir a lo alto de ellos? d) Discute estas preguntas en plenaria, guiado por el profesor.


49


1. Dada la definición de las funciones trigonométricas:

sen=seno csc=cosecante sen A= Cat .Op.

Hip csc A= Hip

Cat .Op.

cos=coseno sec=secante cos A= Cat . Ad .

Hip sec A= Hip

Cat . Ad .

tan=tangente cot=cotangente tan A= Cat .Op .Cat . Ad . cot A=

Cat . Ad .Cat . Op

2. Obtén los valores de las seis funciones trigonométricas para los siguientes triángulos:

A)

sen B= cos B= tan B= csc B= sec B= cot B=

B)

sen C= cos C= tan C= csc C= sec C= cot C=

Hipotenusa (Hip.), frente al ángulo de 90º Cateto opuesto

(Cat. Op.), frente al ángulo

Cateto adyacente (C forma al ángulo junto con la hipotenusa

A

5

B 3

4

5

C

1

2


50

C)

sen D= cos D= tan D=

csc D= sec D= cot D=

D)

sen H= cos H= tan H=

csc H= sec H= cot H=

De los resultados obtenidos en los ejercicios anteriores, ¿qué se puede observar en los valores de seno y cosecante, coseno y secante, tangente y cotangente, respectivamente? R: __________________________________________________________________________ Debido a esto, a cada par de estas funciones se les llama recíprocas. 3. Usando calculadora, obtén los valores de las funciones dadas.

Nota: Asegúrate que tu calculadora se encuentre en el modo D (degree=grado). sen 25º= tan 48º= cos 50º= cos 30º= sen 10º= tan 82º= sen 22º= tan 6º= cos 15º= cos 41º= sen 57º= tan 64º= 4. Dadas las siguientes situaciones, haz el diagrama correspondiente, responde la pregunta

en cada caso y escribe la fórmula despejada para la incógnita que se busca. A) Una escalera está apoyada en la pared, el ángulo en la base es de 50º, la escalera mide 4m. ¿Qué función trigonométrica usarías para calcular la distancia a la cual la escalera está de la base de la pared? B) Una torre está inclinada un ángulo de 82º respecto del piso. La longitud de la torre es de 15 m. ¿Con qué función trigonométrica obtendrías la altura de la torre?

52 4

D

2

H 6

10

8


51

C) La letra A aparece en un letrero espectacular (no por bonito, sino por grande). Si el ángulo en la parte superior de la letra es de 40º y su base es de 60 cm, ¿qué función trigonométrica permite calcular la altura de la letra? D) En un hospital, hay una rampa para discapacitados en la entrada. Tiene una altura de 40 cm y una longitud horizontal de 3 m. ¿Qué función trigonométrica le ayudaría a encontrar el ángulo de inclinación de la rampa respecto al piso? 5. Grados y radianes.

En la medición de ángulos, se utilizan dos tipos de unidades fundamentalmente, los grados y los radianes. Si se imagina un círculo, y uno de sus radios se moviera respecto al centro y diera una vuelta completa, éste recorrería 360º, o bien, se dice que se desplazó 2π radianes. De lo anterior se concluye que:

360º = 2π radianes ¿Puedes decir a cuántos radianes equivalen 180º? ¿Y 90º? ¿Y 60° ó 45°? Nota: Aquí, se debe acordar con el profesor si prefiere que las medidas de los ángulos se den en términos de π, o en términos del valor de π, es decir, 3.1416. Ejemplo: 30º = π/6, pero si π=3.1416, entonces 30º=3.1416/6=0.5236 radianes Ejemplo:

i) Convertir 200º a radianes Usando la equivalencia 180º= π, se tiene que

200º

180ºπ = 3.49 radianes = 10 π/9

ii) Convertir 1.3 radianes a grados.

Usando la misma equivalencia, se tiene que

1.3

π

180º = 74.48º

Nota: Observa que la palabra radianes o rad no se incluye en las operaciones. Observa también la forma en que se acomoda el factor de conversión, según las unidades que se quieren obtener.


52

Numeración 6. Realiza las siguientes conversiones de grados a radianes y viceversa.

De grados a radianes De radianes a grados

a) 50º = a) 3 π radianes =

b) 110º = b) π/4 radianes =

c) 300º = c) 0.67 radianes =

d) 250º = d) 1.8 radianes =

e) 500º = f) 2.5 radianes =

7. El Sr. López necesita una escalera para podar sus árboles de naranjas. Le dice al herrero que necesita alcanzar una altura de 3m sin estirar los brazos. El herrero calcula que el Sr. López mide 1.70m, y sabe que por seguridad, una persona no debe subir más arriba del penúltimo peldaño de la escalera. El herrero le vende una escalera como la que se muestra. Comprueba que el herrero vendió al Sr. López la escalera que necesita. Los 30 cm que se muestran en la figura indican la distancia entre la altura máxima de la escalera y donde está el penúltimo peldaño, es decir, hasta donde puede subirse el Sr. López con seguridad. 8. Valores exactos de las funciones trigonométricas (sólo para πQ2). Puede considerarse como optativa, junto con la actividad 8. A continuación, se presenta la forma de obtener los valores exactos de los ángulos de 30º, 45º y 60º. ¿Qué significan “valores exactos”? Que para estos ángulos, con base en ciertos valores de un triángulo rectángulo (para 30º y 60º) o isósceles (45º), se puede resolver un triángulo para alguna incógnita sin necesidad de usar las funciones de la calculadora. Para los ángulos de 30º y 60º Considera un triángulo equilátero de lado 2. Se divide en dos partes y se forman dos triángulos rectángulos de lados 2, 1 y 3 . Este último valor se obtiene de aplicar el teorema de Pitágoras.


53

Del teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2

Prueba que h = 3

Es claro que al dividir el triángulo equilátero

en dos triángulos rectángulos, el ángulo

superior se divide y queda un ángulo de 30º,

y el lado inferior se reduce a 1. Ahora bien: Para 30º, las funciones quedan definidas como:

sen 30º = 12 cos 30º =

23 tan 30º =

31

Para 60º, las funciones quedan definidas como:

sen 60º = 23 cos 60º =

12 tan 60º =

13 = 3

Para el ángulo de 45º Considera un triángulo rectángulo con catetos iguales (también es isósceles, ¿observa por qué?). Si los catetos son de longitud 1, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es 2 y puesto que los catetos son iguales, los ángulos agudos son de 45º.

sen 45º = 2

1

cos 45º = 2

1

tan 45º = 11 =1

Ejemplos: a) Una escalera está apoyada sobre una pared exactamente en la base de una ventana

situada a 6m de altura. Si la escalera forma un ángulo de 60º con el piso, calcula la longitud de la escalera.

30°

h 2

60° 1

60°

2 2

60° 60°

2

45°

2

45° 1

1


54

Sustitución:

c = 2/3

6 = 2/3

1/6 (habiendo usado la ley de medios y extremos) = 13

26 = 3

12 Este

es el resultado. b) Un objeto con un lado en forma de triángulo se usa en un escritorio para sostener libros,

como se muestra en la figura.

9. Ejercicios. Calcula los valores desconocidos, usando los valores exactos de los ángulos de 30º, 45º y 60º.

b= 20 sen 30º a = 8

tan60º

a = 15 cos 45º

Datos: Ángulo = 60º b = 6m c = longitud de la escalera

Diagrama:

b=6

60°

C

Fórmula: Como b=cateto opuesto c= hipotenusa la función que se usa es seno

sen 60º= 6c

Despeje:

c= 6

sen60º

De los valores exactos para las funciones, sabemos que

sen 60º= 23

¿Cuál es la base del objeto?

25 cms

a 45°

Fórmula a=cateto adyacente 25= hipotenusa la función que se usa es coseno

cos 45º =a

25

Sustitución

a=25 2

1

a= 2

25

Despeje a=25 cos45º De los valores exactos para 45º sabemos que

cos 45º= 2

1


55


Pintarrón Fotocopias


56

Aplicas las funciones trigonométricas

57

BLOQUE VII

APLICAS LAS FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS


58


59


Identifica e interpreta las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Reconoce las funciones trigonométricas en el círculo unitario. Aplica las funciones trigonométricas.

Es casi seguro que cuando eras niño alguna vez te subiste a la rueda de la fortuna, como la que se muestra en la imagen. Observa que la estructura metálica que sostiene a cada uno de los asientos es una circunferencia, y los brazos metálicos son radios de la misma. ¿Puedes calcular el valor aproximado del ángulo que existe entre cada brazo? ¿Cuál será el ángulo formado por la estructura metálica que sostiene la palabra “Chicago”? Si consideras a la línea horizontal que pasa por el centro de la circunferencia como el eje X, ¿cuánto mide el ángulo de referencia medido desde el eje X positivo (lado derecho del eje X) y el brazo izquierdo de la estructura fija que sostiene a la rueda de la fortuna?

APLICAS LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

B l o q u e VII



60


1. Trabajo por equipos. Con tus compañeros (equipo de 5 personas máximo) investiga lo que

es un círculo unitario, la equivalencia entre grados y radianes y la definición de las funciones seno, coseno y tangente. Después, en plenaria, los equipos expondrán y compararán los datos obtenidos en la investigación.

2. Triángulo de referencia y ángulo de referencia.

Lee el siguiente texto, coméntalo con dos o tres de tus compañeros y atiende la explicación del profesor.

Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo , se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de al eje horizontal. El ángulo de referencia es el ángulo agudo entre el lado terminal de y el eje horizontal.

y x P(a, b) A) Guiado por tu profesor realiza la construcción de los triángulos de referencia y

ángulos de referencia correspondiente a los siguientes ángulos:

1 1202 45

3 54

4 76

0

0

))

)

)


61

3. Evalúa, usando los triángulos de referencia apropiados: En clase: Como tarea: Círculo trigonométrico o unitario

Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sent). La circunferencia trigonométrica o unitaria es una circunferencia de radio de longitud igual a uno, con su centro en el origen (0,0) de un sistema de coordenadas cartesianas, de un plano euclídeo. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

4. Completa la tabla siguiente donde el ángulo está dado en radianes y grados, para graficar

las funciones trigonométricas, en hojas milimétricas, o usando una tabla en Excel u otro programa de graficación.

1 74

2 23

3 2104 240

0

0

) cos

)

) tan) sec

sen

1 23

2 210

34

0

) cos

)

) tan

sen


62

Θ (grados) Θ (radianes) Y = sen θ Y = cos θ Y = tan θ

0 0

30º π6

45º π4

60º π3

90º

120º

135º

150º

180º

210º

220º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

5. Haz una lectura en su libro de texto, en la biblioteca o en internet, acerca de la definición de

las Identidades Pitagóricas. 6. A partir de las identidades pitagóricas, verifica que se cumplan, usando los valores

propuestos. a) senA=3/5, cosA=4/5 b) tanB= -2/3, secB= 5 /3 c) cotC= - 5 /2, cscC=-3/2

Además de las que el profesor quiera añadir.


63


Pizarrón Fotocopias http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9trica


64

Aplicas las leyes de senos y cosenos

65

BLOQUE VIII

APLICAS LAS LEYES DE

SENOS Y COSENOS


66


67


Aplica las leyes de senos y cosenos.

¿Quién me salva?

En una playa se tienen dos torres de vigilancia, alineadas paralelamente a la playa. Patricio se encuentra en la torre 4 y Rodrigo se encuentra en la torre 6. En ese momento ambos observan a una persona en dificultades que pide auxilio. La persona se encuentra mar adentro, más cerca de la torre donde está Rodrigo. Los dos salen nadando rápidamente y Rodrigo llega primero a donde está la persona en problemas, unos segundos después, llega Patricio. ¿Cómo sería un diagrama donde se muestren las trayectorias que siguieron los dos salvavidas y la distancia que hay entre las torres de vigilancia? ¿Qué tipo de figura es? Comenta con tus compañeros cuáles datos serían suficientes para determinar la distancia que cada salvavidas nadó.

APLICAS LAS LEYES DE SENOS Y COSENOS

B l o q u e VIII



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1. Resuelve los siguientes problemas en forma individual. Después intercambia tu

trabajo con otro compañero para revisarlo. A) Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios aplicando la ley de senos:

a) ∠ A = 43°, a = 20, ∠B = 112°, calcular el lado b b) ∠ A = 28°, a = 21, ∠B = 15.56°, calcular el lado b c) ∠ C = 74.39°, c = 12, ∠B = 58.18°, calcular el lado b d) ∠ B = 102°, b = 22, ∠C = 51.61°, calcular el lado c e) ∠ A = 21°, a = 840, b = 485, calcular el ángulo B f) ∠ B = 45°, a = 804, ∠C = 35°, calcular el lado c

B) Tomando como referencia la situación didáctica. Patricio, el salvavidas del punto A,

observa al nadador a un ángulo de 58° y Rodrigo, el salvavidas del punto B, lo observa en un ángulo de 47°, si ambos están separados a una distancia de 50m entre sí.

¿Qué distancia tiene que recorrer cada salvavidas para rescatarlo? ¿Quién llegará primero? 2. Lee con atención la descripción de la ley de senos y de cosenos, y escucha la

explicación del profesor.


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Ley de senos En un triángulo oblicuángulo se cumple que la razón entre cualquiera de sus lados y el seno del ángulo opuesto a éste, es una constante, es decir, dado el triángulo: Imagen tomada de: http://www.aritor.com/trigonometria/triangulos_oblicuangulos.html

a

senA= cte , y lo mismo se cumple para los otros dos lados con sus respectivos

ángulos opuestos.

Por tanto, se tiene que: a

senA= b

senB= c

senC La forma de usar esta expresión es mediante la construcción de una proporción (la igualdad de dos de las tres razones), por ejemplo:

asenA

= bsenB

Donde un dato no se conoce. Por consiguiente, esta ley aplica cuando se conocen dos ángulos y un lado o dos lados y un ángulo, con la condición de que uno de esos lados y su ángulo opuesto sean conocidos. 3. Investiga en la biblioteca o en Internet cómo se expresa la ley de cosenos y cuándo

se usa y participa en plenaria para aclarar dudas respecto a su uso. 4. Un caso de la vida real (o se parece mucho).


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El ingeniero Torroja, auxiliado por Don Matías, logró determinar desde su punto de observación, dos de las medidas de un cráter, ambas a un ángulo de separación de 65°. Si desde ese punto las medidas fueron 450 m y 625 m, ¿cuál es el ancho del cráter?

5. Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios, aplicando la ley de cosenos: A) ∠C = 35°, a = 75, b = 185°, calcular el lado c B) ∠A = 116°, c = 12, b = 18, calcular el lado a C) a = 13, b = 15, c = 17, calcular el ángulo A D) a = 130, b = 220, ∠C = 28°, calcular el lado c E) ∠A = 60°, b = 25, c = 18, calcular el lado a F) ∠C = 45°, a = 6, b = 9, calcular el lado c 6. Problemas: A) Un biólogo coloca un dispositivo localizador a un halcón para una investigación. En

un momento dado, el halcón vuela 25 km con dirección sur, después cambia su vuelo con una dirección 75° al oeste. Si voló 35 km, ¿a qué distancia se encuentra del punto de partida?

B) Se colocará un arenero en forma de triángulo. Dos de sus ángulos miden respectivamente 85° y 45°, y el lado entre los dos ángulos mide 6 metros de largo. Si en su perímetro se colocará un cordón de concreto, ¿cuál es la longitud del cordón del arenero?

C) Para evitar que se caiga un poste que se encuentra con una inclinación de 75° con

relación al suelo, se colocó una viga de acero con una inclinación de 55°, con respecto al suelo. Si la columna mide 3.4 m, ¿cuánto mide la viga?


71

D) En un parque se requiere construir, además, una plataforma triangular para presentación de grupos musicales cuyos lados midan 34, 40 y 28 m. Para trazarlo los albañiles necesitan conocer los ángulos interiores, ¿cuáles son?


http://www.vitutor.com/al/trigo/tr_e1.html Calculadora Hojas blancas Juego de geometría


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Aplicas la estadística elemental

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BLOQUE IX

APLICAS LA

ESTADÍSTICA

ELEMENTAL


74


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Reconoce las medidas de tendencia central y dispersión. Aplica las medidas de tendencia central y dispersión en datos agrupados y no

agrupados. Fermín es un estudiante de preparatoria que hace su servicio social en un pequeño hospital de su comunidad. El médico a cargo, le dice que a partir del registro de todos los pacientes que fueron atendidos el mes pasado, elabore un reporte donde se observe gráficamente cuáles fueron las edades de las personas que acudieron al hospital, y cuál fue la edad promedio. Datos: 6, 14, 13, 13, 50, 45, 20, 22, 4, 7, 4, 11, 16, 22, 30, 78, 69, 68, 50, 33, 24, 66, 40, 23, 12, 65, 52, 58 De los datos obtenidos, Fermín construyó la siguiente tabla, ordenando la información, usando intervalos de edad.

No. de intervalo

Intervalo de edad

Frecuencia (No. de personas por

intervalo)

1 4-19 10

2 20-35

3 36-51 4

4

5 68-83 3

Total de pacientes =

APLICAS LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL

B l o q u e IX



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Debido a un problema con la energía eléctrica, no salvó el archivo de Excel que estaba haciendo y cuando recobró el archivo le faltaban algunos datos, como se observa en la tabla. ¿Cuáles son los datos faltantes? ¿Cuál es el total de pacientes que visitaron al doctor? Se supone que en un hospital, el mayor número de pacientes son muy jóvenes (menos de 20 años) o muy adultos (más de 65 años). ¿Será cierto? ¿Cuál es el porcentaje de personas que asistieron a consulta médica y están en este rango de edades? ¿Cuál es la edad promedio de los pacientes que visitaron al doctor? Observa el intervalo de edad No. 3. ¿Está el valor que obtuvo de a edad promedio entre los valores 36 y 51? ¿Por qué piensa que ocurrió esto?


Realiza una lectura previa en tu libro de texto o una investigación documental en Internet acerca de de las medidas de tendencia central básicas (media, mediana y moda) y dispersión básicas (desviación media, varianza y desviación estándar), para datos agrupados y no agrupados. Después, participa activamente en plenaria donde se platiquen sus resultados y ejemplos propuestos por el profesor.

1. Resuelve los siguientes problemas:

i. Los siguientes datos representan el tiempo (en minutos) en que fueron llenadas 8

cajas de sodas. Calcular el tiempo promedio en el que se llena una caja de sodas.

7,9,8,9,10,9.8,7

ii. Obtén la media aritmética y la desviación media de los siguientes datos no agrupados. 128,132,136,136,139,143,147

2. En un grupo de 40 alumnos del plantel, se preguntó el número de integrantes de cada

familia, obteniéndose los siguientes datos: 4,5,6,3,4,5,6,3,8,6

5,4,3,3,6,8,7,3,4,5 3,3,6,6,4,5,8,6,5,6 8,7,6,5,4,3,4,3,3,6

Debido a la cantidad de datos es recomendable agruparlos. A partir de los datos anteriores, completa la siguiente tabla de frecuencias y calcula la media y la varianza de datos agrupados.


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Número de integrantes Frecuencia % Media Varianza

3 10

Realiza un histograma y una gráfica circular con los datos anteriores.

3. (Trabajo en pares). Se pueden proponer sólo algunos incisos para actividades de evaluación sumativa.

¿Quiénes son más altos? El equipo de basquetbol representativo de Zona Valle se enfrentará al de Zona Costa. Siempre se ha corrido el rumor que el equipo de Zona Costa tiene jugadores de mayor estatura, por lo que tienen mayor ventaja. La Dirección General del Cobach tiene el registro de estatura de los jugadores que participarán en este encuentro deportivo y los publica para ambos equipos. Equipo Zona Costa: 1.73, 1.75, 1.83, 1.75, 1.89, 1.95, 1.85, 1.76, 1.75, 1.82, 1.90 (en metros). Equipo Zona Valle: 1.85, 1.69, 1.92, 1.89, 1.78, 1.78, 1.89, 1.88, 1.69, 1.95, 1.89 (en metros). Con base en esta información, determina qué equipo tiene los jugadores más altos. ¿Cómo puedes comparar las estaturas de ambos equipos para que nos ayude a saber quién tiene mayor ventaja por su estatura?

a) Para cada equipo, realiza la suma de todos los datos y divídelo entre el total de ellos. Al

resultado obtenido se le llamará media aritmética. ¿Cuál es la diferencia entre la media aritmética de cada equipo?


78

¿El equipo con la mayor media es donde está el jugador más alto? ¿Podría ocurrir que en el equipo con la mayor media no estuviera el jugador más alto?

b) Ordena de menor a mayor cada una de las estaturas, para cada equipo. ¿Qué estatura

es la que se encuentra a la mitad de la lista? Al valor así obtenido se le llama mediana. ¿Es la mediana muy diferente a la media aritmética? ¿Consideras que ambas pueden ayudarte a realizar la comparación de ambos equipos?

¿Cuál prefieres?

c) De cada lista de jugadores, ¿cuál estatura es la que más se repite?

¿Encuentras alguna similitud de este valor con la media y la mediana? Al valor que tiene más frecuencia o se repite más se le llamará moda. ¿En qué situaciones que conozcas puedes utilizar el concepto de moda? Escribe tres ejemplos.

____________________________________________________________

____________________________________________________________

____________________________________________________________

d) Un día antes del encuentro, decidió el comité deportivo aumentar a la lista de jugadores tres personas más por equipo. Zona Costa llevará a José, Arturo y Pedro, de 1.75, 1.84 y 1.68 m de estatura, respectivamente. Mientras que Zona Valle llevará a Luis, Jorge y Santiago de 1.78, 1.69 y 1.78 m.

Determinen para cada equipo la media aritmética, la mediana y la moda con estos nuevos datos. ¿Qué equipo tiene más ventaja por su estatura?

4. (Trabajo en equipos). Se pueden proponer sólo algunos incisos para actividades de evaluación sumativa.

¿Quién ganará la excelencia académica?

En el concurso de ciencias convocado por la Universidad Tecnológica de Tijuana, se entregará un premio a la excelencia académica a la institución que tenga el mayor promedio de calificación de sus alumnos participantes en el concurso. Participaron varios planteles del Colegio de Bachilleres, pero uno de ellos obtuvo las siguientes calificaciones en sus alumnos:


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Matemáticas: 7.3, 9.7, 9.2, 8.9, 9.3 Física: 5.8, 9.5, 9.2, 8.8, 8.5 Biología: 9.1, 9.5, 7.2, 9.3, 8.9 Química: los resultados están aún pendientes Uno de los equipos más fuertes a vencer es CETYS Tijuana, el cual obtuvo los siguientes resultados: Matemáticas: 9.2, 8.7, 9.0, 6.6, 8.1 Física: 9.1, 7.5, 8.2, 9.3, 8.3, Biología: 8.5, 9.2, 8.0, 9.3, 6.2 Química: aún pendientes

a) Calcula la media o promedio para cada escuela, por materia y general.

b) Realiza un histograma en Excel donde se observe el desempeño de cada escuela por materia (grafica materia vs calificación)

c) Escribe tus conclusiones a partir de la gráfica que has obtenido del desempeño de cada

escuela en la competencia.

d) De las calificaciones de ambos planteles determina la desviación estándar, tomando las 15 calificaciones como un solo conjunto

¿Cuál de los dos planteles presenta mayor variabilidad con relación a la medida de dispersión? ¿En cuál de las dos escuelas la preparación de sus alumnos es más homogénea? Explica tu respuesta.

e) Finalmente se dan las calificaciones de Química que estaban pendientes. Plantel Cobach obtuvo promedio por los 5 alumnos la calificación de 8.6 y CETYS Tijuana 8.7

¿Qué escuela lleva la ventaja para el premio?

f) En la ceremonia de premiación la escuela que obtuvo el tercer lugar tuvo como promedio de calificación en todas sus asignaturas 8.39

¿Qué escuela obtuvo el premio de excelencia académica?


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- Hojas impresas de esta actividad - Colores - Hojas cuadriculadas - Calculadora - Reglas.

Empleas los conceptos elementales de probabilidad

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BLOQUE X

EMPLEAS LOS CONCEPTOS

ELEMENTALES DE

PROBABILIDAD


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Distingue entre eventos deterministas y aleatorios. Utiliza las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.

¿A qué jugamos?

Los papás de Marco Antonio e Isabel decidieron salir a festejar su aniversario de bodas, por lo que los dejaron cuidando a los hermanos pequeños. Para no aburrirse Marco Antonio e Isabel inventaron unos juegos. Tenían el siguiente material: Un bote con 50 canicas, 20 azules, 15 blancas y el resto eran verdes. Un juego de dominó (28 piezas). Dos dados. Juego 1. Se pasaban el bote cinco veces, en cada vuelta, cada uno sacaba una canica, la mostraba a los demás y la regresaba al bote. Ganaba quien sacara primero tres canicas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres canicas verdes en cinco vueltas? Juego 2. Revolvían las piezas de dominó y por turnos levantaban una pieza, la mostraban y la volvían a poner boca abajo.

¿Cuál es la probabilidad de sacar una mula? ¿Cuál es la probabilidad de sacar una pieza cuya suma de puntos sea menor a 4?

EMPLEAS LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD

B l o q u e X



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1. Actividad en equipos.

De acuerdo a la definición de fenómeno aleatorio y de fenómeno determinístico, clasifica los siguientes eventos.

a) Lanzar una moneda para determinar si cae cara o sello. b) Conocer el número de meses del año 2015. c) Los días del año que se tendrán en Mexicali con más de 40°C de temperatura. d) Lanzar un dado para conocer la forma en que caerá. e) El número de horas que comprende la asignatura de Matemáticas II. f) Meter la mano en una caja con canicas rojas, para saber de qué color será la canica

seleccionada. g) De una urna con esferas marcadas del cero al nueve, sacar un número par. h) La cantidad de productos defectuosos en una maquiladora durante un mes. i) El promedio de las calificaciones 9, 8, 8, 9 y 6. j) Lanzar dos dados para determinar la suma de ambos. k) Escoger de entre varios cuadriláteros una figura que tenga 4 lados.

2. Volviendo a la situación didáctica, de las varias opciones que tenían Marco Antonio e

Isabel, deciden jugar lanzando dos dados para obtener la suma de ambos. Deciden jugar a ver quién tiene más puntos al tirar los dos dados. ¿Cuáles son los diferentes resultados posibles y cuáles son las probabilidades de cada uno de ellos?

Determina el espacio muestral o de posibles resultados para este evento, en un cuadro como el siguiente:

Total de puntos Posibles resultados probabilidad

2 (1,1) 1/36

3 (1,2), (2,1) 2/36

Del cuadro anterior, contesta lo siguiente:

a) Marco Antonio los tiró y obtuvo una suma de 6. ¿Qué probabilidades tiene Isabel de ganarle a Marco Antonio?

b) Isabel en su turno obtuvo como suma 5 y perdió. En su siguiente turno lanza los dados

y obtiene 7. ¿Qué probabilidad tiene Marco Antonio de perder? ¿Y de empatar?


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c) Si Isabel obtiene como suma 4 ó 6 cortará el césped o si Marco Antonio suma 5 ó 6, lavará los trastes al día siguiente. ¿Qué probabilidad tiene cada uno de recibir el castigo? ¿Quién tiene la mayor probabilidad de ser castigado?

d) Para darle mayor emoción deciden apostar 100 pesos a una sola tirada. Si la suma es

mayor a 9 gana Marco Antonio; y si los dados caen iguales, Isabel ganará. ¿Quién tiene mayor probabilidad de ganarse los 100 pesos? ¿Con qué probabilidad?

3. Actividad en pares.

Determina el espacio muestral para cada uno de los siguientes eventos: a) María tiene 3 cartas con los números 1,2 y 3; Marco Antonio 3 cartas: 8, 9 y 10.

Se extraen dos cartas a la vez. b) Se lanzan dos monedas al mismo tiempo para determinar cuántas caras o sellos ocurren.

c) Se lanzan tres monedas al mismo tiempo.

d) Se lanza un solo dado para obtener un número en la cara de arriba.

e) En un dominó, que la ficha sea “mula”, es decir, que tenga el mismo número en los dos lados de la ficha.

4. ¿A favor o en contra?

Analiza la información obtenida en la encuesta anterior, presentada en la tabla siguiente:

Semestre A favor En contra No. de votantes Segundo 300 250 550 Cuarto 280 200 480 Sexto 280 90 370 Total 860 540 1,400

Supón que un votante se selecciona al azar de los 1,400 alumnos votantes. a) Encuentra la probabilidad de que un votante seleccionado esté “a favor”. b) Encuentra la probabilidad de que un votante seleccionado esté “en segundo”. c) Encuentra la probabilidad de que un votante seleccionado esté “en cuarto”. d) Encuentra la probabilidad de que un votante seleccionado esté “en cuarto o a favor”. e) Encuentra la probabilidad de que un votante seleccionado esté “en cuarto o en

contra”. 5. Actividad en equipos.

En otra encuesta que se realizó en una escuela, se hizo la pregunta: ¿Qué tipo de alimentos prefieres? Y se obtuvieron los siguientes resultados:


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Semestre Tortas/sándwiches Tacos Ensaladas No. de personas

Segundo 200 250 100 550 Cuarto 280 120 80 480 Sexto 220 90 60 370 Total 700 460 240 1400

Del cuadro anterior contesta lo siguiente:

Supón que un alumno se selecciona al azar de los 1,400 participantes.

a) Encuentra la probabilidad de que prefiera tacos.

b) Encuentra la probabilidad de que prefiera ensaladas.

c) Encuentra la probabilidad de que prefiera tortas o sea de cuarto.

d) Encuentra la probabilidad de que prefiera ensaladas o sea de sexto.

e) Encuentra la probabilidad de que prefiera tortas y sea de segundo. 6. Actividad individual.

Nos vamos al hospital a investigar

Se realizó una encuesta en los diferentes hospitales de la región para investigar los nacimientos que se dieron en el último día del año. La siguiente tabla muestra el número de niños y niñas que nacieron en los hospitales de la región el último día del año.

Hospital Niños Niñas Total

IMSS 15 10 25

ISSSTECALI 4 6 10

ISSSTE 4 1 5

Total 23 17 40


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¿Cuál es la probabilidad de que naciera un niño en el ISSSTECALI? ¿y de que una niña nazca en el IMSS? ¿y de que nazca un niño o niña en en el ISSSTE?

Fórmula

=N

ByAm=ByAP

¿Cuál es la probabilidad de que se elija a un recién nacido del IMSS, si se escoge a un niño?

=N

ByAm=B|AP

n(B)= Cantidad de hombres en el grupo.

n(AyB) = Cantidad de niños que cumplen con los dos eventos.


- Hojas blancas - Calculadora.


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ANEXOS

Tabla para Bloque IV

En la siguiente actividad, las áreas de los polígonos irregulares se obtienen descomponiéndolas en polígonos regulares tales como rectángulos y triángulos.

Figura Perímetro Área

7 cm 11 cm

4 pulg. 9 pulg.

10 cm 7 cm 6cm

9 pulg. 4.5 pulg. 7 pulg.

Obtén el perímetro del área sombreada.

Obtén el área sombreada.

4 cm 2 cm 3 cm

Obtén el perímetro del área sombreada

Obtén el área sombreada

Tabla para Bloque V Figura Perímetro Área 5 cm

La base del triángulo mide 8 cm y pasa por el centro de la circunferencia.



4 cm 5 cm 3 cm



Baja California Camalú

Ciudad Morelos Ejido Nayarit

El Florido Ensenada

Estación Coahuila Extensión Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia

Extensión Maneadero del Plantel Ensenada Extensión Primer Ayuntamiento

Extensión Tecate Guadalupe Victoria

La Mesa Mtro. José Vasconcelos Calderón

Mtro. Rubén Vizcaíno Valencia Mexicali

Miguel Hidalgo y Costilla Nueva Tijuana

Nuevo León Primer Ayuntamiento Playas de Rosarito

Profr. Arturo David Velázquez Rivera Rosarito

San Felipe San Quintín

Tecate Tijuana Siglo XXI

Valle de Guadalupe

El Hongo El Rosario

Punta Colonet Real del Castillo

San Vicente Trabajadores No. 1 Trabajadores No. 2 Trabajadores No. 3 Valle de la Trinidad Valle de las Palmas

PLANTELES

CENTROS EMSAD

ESTE MATERIAL FUE ELABORADO BAJO LA COORDINACIÓN Y SUPERVISIÓN DE LA DIRECCIÓN DE PLANEACIÓN ACADÉMICA Y

REPRODUCIDO POR LA UNIDAD DE DISEÑO GRÁFICO E IMPRENTA DEL COLEGIO DE BACHILLERES DEL

ESTADO DE BAJA CALIFORNIA.

Blvd. Anáhuac 936, C. Cívico, Mexicali, B. C.

FEBRERO DE 2012 Esperamos recibir de los usuarios, en especial de los maestros

y alumnos del Colegio, cualquier observación que a su juicio

sea necesario hacernos llegar, más aún si se tratara de errores

u omisiones.

Dirigirse a la Dirección y domicilio arriba consignados.

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