Matemáticas III (14-2)

Agosto de 2014

COLEGIO DE BACHILLERESDEL ESTADO DE BAJA CALIFORNIA

FRANCISCO ARTURO VEGA DE LAMADRIDGobernador del Estado de Baja California

MARÍA DEL ROSARIO RODRÍGUEZ RUBIOSecretaria de Educación y Bienestar Social y Directora General del ISEP del Estado de Baja California

MARCO ANTONIO ESPONDA GAXIOLASubsecretario de Educación Media Superior, Superior, Formación Docente y Evaluación

ARCELIA GALARZA VILLARINODirectora General del CBBC

IVÁN LÓPEZ BÁEZDirector de Planeación Académica del CBBC

MATEMÁTICAS III

Primera edición, agosto de 2013

Diseñado por: Lic. Norman Edilberto Rivera Pazos Arq. Juan Ramón Islas Sambrano Ing. Yohanna Lucía Rocha Meza Ing. Javier Enrique Borja Barrón Lic. Ma. Irma González Carrión

Actualizado por: Lic. Gastón Santos Cabrera Lic. Javier Enrique Borja Barrón Arq. Juan Ramón Islas Sambrano Lic. Francisco Aurelio Salcido Berkovich

Segunda edición, agosto de 2014

Actualizado por: Ing. Yohanna Lucía Rocha Meza Ing. Jesús Arturo González Hernández Ing. Raquel Laureán Almanza

En la realización del presente material, participaron:

JEFA DEL DEPARTAMENTO DE ACTIVIDADES EDUCATIVAS Teresa López Pérez

EDICIÓN, AGOSTO DE 2014 Gerardo Enríquez Niebla Diana Castillo Ceceña

La presente edición es propiedad delColegio de Bachilleres del Estado de Baja California.Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra.

Este material fue elaborado bajo la coordinación y supervisión de laDirección de Planeación Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Baja California.Blvd. Anáhuac #936, Centro Cívico, Mexicali, B.C., México.www.cobachbc.edu.mx.

PRESENTACIÓN

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICAS DEL CAMPO DE MATEMÁTICAS

BLOQUE I:

RECONOCES LUGARES GEOMÉTRICOS

BLOQUE II:

APLICAS LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOS

RECTILÍNEOS Y POLÍGONOS

BLOQUE III:

APLICAS LOS ELEMENTOS DE UNA RECTA

COMO LUGAR GEOMÉTRICO

BLOQUE IV:

UTILIZAS DISTINTAS FORMAS DE LA

ECUACIÓN DE UNA RECTA

BLOQUE V:

APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS

ECUACIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA

BLOQUE VI:


ECUACIONES DE LA PARÁBOLA

BLOQUE VII:


ECUACIONES DE LA ELIPSE

ANEXO

2

12

27

40

58

68

78

Í N D I C E

En el marco de la Reforma Integral de la Educación Media Superior, Colegio de Bachilleres del Estado de

Baja California (CBBC), se ha propuesto la meta de formar y consolidar el perfil de egreso en el bachiller, poniendo

a disposición del alumno los elementos necesarios que le permitan crecer y desarrollar conocimientos, habilidades,

actitudes y valores para poder enfrentar los retos de un mundo globalizado, vertiginoso, competitivo y complejo. Por

tanto, es importante que el proceso educativo implemente estrategias que contemplen actividades de aprendizaje en

diversos contextos y escenarios reales, donde el estudiante con creatividad, habilidad y destreza sepa desarrollar,

movilizar y transferir las competencias adquiridas.

En virtud de lograr lo anterior y consciente de la dificultad para que el alumnado tenga acceso a una bibliografía

adecuada, pertinente y eficaz con el entorno socio-económico actual, el CBBC brinda la oportunidad a los estudiantes

de contar con materiales didácticos para el óptimo desarrollo de los programas de estudio de las asignaturas que

comprende el Plan de Estudios Vigente. Cabe subrayar que, dichos materiales son producto de la participación de

docentes de la Institución, en los cuales han manifestado su experiencia, conocimientos y compromiso en pro de la

formación de los jóvenes bachilleres.

Los materiales didácticos se dividen en dos modalidades: Guía de Actividades del Alumno para el Desarrollo

de Competencias, dirigida a las asignaturas de los Componentes de Formación Básica y Propedéutica, y Guía

de Aprendizaje; para las capacitaciones del Componente de Formación para el Trabajo. Cabe señalar que, los

materiales se encuentran en un proceso permanente de revisión y actualización por parte de los diferentes equipos

docentes así como del equipo editorial. Las guías se pueden consultar en la página Web del CBBC: www.cobachbc.

edu.mx en la sección alumnos / material didáctico.

Es necesario, hacer énfasis que la guía no debe ser tomada como la única herramienta de trabajo y fuente

de investigación, ya que es imprescindible que los estudiantes lleven a cabo un trabajo de consulta en otras fuentes

bibliográficas impresas y electrónicas, material audiovisual, páginas Web, bases de datos, entre otros recursos

didácticos que apoyen su formación y aprendizaje.

PRESENTACIÓN

Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en la capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional e influir en él), contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. Estas competencias junto con las disciplinares básicas constituyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato.

Se autodetermina y cuida de sí

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

3. Elige y practica estilos de vida saludables.

Se expresa y se comunica

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

Aprende de forma autónoma

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Trabaja en forma colaborativa

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Participa con responsabilidad en la sociedad

9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.

11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.

COMPETENCIAS GENÉRICAS QUE EXPRESAN EL PERFIL DEL EGRESADO

Las competencias disciplinares de Matemáticas buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos.

Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. Las competencias propuestas a continuación buscan formar a los estudiantes en la capacidad de interpretar el entorno que los rodea matemáticamente.

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

COMPETENCIAS DISCIPLINARES BÁSICASDEL CAMPO DE MATEMÁTICAS

1

RECONOCESLUGARES

GEOMÉTRICOS

“Cuando el álgebra y la geometría se complementaron. . . marcharon hacia la perfección” L. Lagrange.

2

En este bloque alcanzarás desempeños que te permitan conocer las características matemáticas que definen un lugar geométrico. Así mismo, recordarás las características de un sistema de coordenadas rectangulares, pues ubicarás puntos en el plano cartesiano lo cual te llevará a la identificación de lugares geométricos. La intención es que comprendas la importancia de la Geometría Analítica en nuestro entorno y su estrecha relación con diferentes áreas.

Desempeños a demostrar:

- Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares. - Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas. - Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.

Competencias a desarrollar:

- Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas; así mismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. - Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. - Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. - Elige fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. - Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. - Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

Objetos de aprendizaje:

- Geometría analítica introductoria - Sistema de coordenadas rectangulares - Parejas ordenadas: • Igualdad de parejas • Lugares geométricos

RECONOCES LUGARES GEOMÉTRICOSBLOQUE I

3

Actividad 1: Localiza puntos en el plano y en el espacio.

En el siguiente plano cartesiano se encuentra una figura escondida, descubre cual es, ubicando correctamente las parejas ordenadas (puntos) y uniéndolas cuidadosamente en el orden que aparecen, considerando que donde aparece el símbolo X hay que dejar de unir, levantando el lápiz.

Fuente: http://neoparaiso.com/imprimir/figuras-plano-cartesiano.html

(0,8), (0,12), (3,15), (5,15), (5,14), (3,12), (2,12), (2,9), (4,11), (6,11), (8,9), (8,13), (10,11), (14,11), (16,13), (16,7), (15,6), (13,5), (11,5), (9,6), (8,7), (8,4), (9,4), (9,2), (6,2), (6,6), (4,6), (3,5), (3,4), (5,4), (5,2), (1,2), (0,8) X (9,8), (9,10), (11,10), (11,8), (9,8) X (13,10), (15,10), (15,8), (13,8), (13,10) X (11,7), (12,8), (13,7), (11,7)

a) Al unir los puntos, ¿qué figura se forma?

b) ¿En qué cuadrante del plano cartesiano se formó la figura?

c) Si el signo de todas las coordenadas cambiara a negativo, ¿en qué cuadrante quedarían ubicados?

EL TESORO ESCONDIDO

a) ¿Qué entiendes por coordeda?

b) ¿En qué coordenada se encuentra enterrado el tesoro del mapa?

Reconoces lugares geométricos

La Geometría Analítica es la fusión del Álgebra y la Geometría. Estudia las figuras geométricas mediante el análisis matemático y del álgebra en un plano cartesiano.En Geometría, las parejas ordenadas en el plano cartesiano, son aquellas formadas por dos elementos que representan un punto en dicho plano, de tal forma que el primer elemento es del eje de las abscisas y el segundo de las ordenadas. P (x, y).Al eje de las “x” se les llama abscisas y al eje de las “y” ordenadas; al punto donde se interceptan las dos rectas perpendicularmente se le llama origen.

Igualdad de parejas:Dos parejas de puntos en el plano serán iguales, si son iguales sus respectivas coordenadas, por ejemplo: (x, y) = (a, b) si y solo si x = a, y = b.

Lugares geométricos:Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad, por ejemplo, el lugar geométrico de todos los puntos que representa la expresión algebraica y = x + 3, es una línea recta, inclinada hacia la derecha y tres unidades arriba del origen. También hay que tomar en cuenta que los lugares geométricos pueden estar representados por otro tipo de figuras geométricas como son: de tipo parabólico, circular y elíptica.

Situación didáctica:

Reconoces lugares geométricos.

4

Autoevaluación:Lista de cotejo para actividad 1 del bloque I

Alumno: Sí No Ponderación

Indicador de desempeño:Entregué a tiempo la actividad. Localicé los puntos en el plano cartesiano. Respondí correctamente a los cuestionamientos. Obtuve la figura solicitada. TOTAL

Nota: Cada indicador tiene una ponderación de 2.5.

Actividad 2: Puntos y líneas en el plano.Resolver de manera individual.

A) Al inicio del semestre la maestra Teresa dejó a sus alumnos indicar las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano:

¿Qué coordenada tiene cada punto?

A( ) B( ) C( ) D( ) E( ) F( ) G( ) H( ) I( ) J( )

B) Grafica las siguientes parejas ordenadas en un mismo plano y determina si son colineales o no colineales. Utiliza para cada inciso un color distinto.

a. (3,5), (3,6), (3,7), (3,8) b. (12, 1), (- 3, - 2), (2, -1)

c. (0,4), (3,-2), (-2,8). d. (5,-3), (4,-3), (3,-3), (-3,1)

e. (-2,3), (-6,1), (-10,-1). f. (3,1), (4,1), (5,1), (-3,1)

Bloque I.

5

C) Grafica los siguientes parejas ordenadas y determina, por observación a qué tipo de triángulo corresponden.

a. A (3,8), B (-11,3), C (-8, -2). b. A (-2,3), B (5,1), C (3,4). c. A(4,3), B(-2,1), C(-2,6). d. A(-3,1), B(-4,5), C(-6,3). e. A (1, 4), B (5, 5), C (6,2). f. A (10, 5), B (3, 2), C (6,-5). g. A (0, 9), B (-4,-1), C (3, 2).

a)

b)


6

c)

d)

e)

Bloque I.

7

f)

g)

D) Identifica los puntos de los vértices de las siguientes figuras.


8

Heteroevaluación:Lista de cotejo para Actividad 2 del bloque I


Indicador de desempeño:Entregua a tiempo la actividad. Localiza los puntos en el plano cartesiano. Determina las coordenadas a partir de un punto en el plano. Entrega con limpieza. TOTAL


Actividad 3 (Integradora). Graficando diferentes curvas. Reunirse en equipos de tres personas con quienes no se haya trabajado antes.

Usando los datos de las tablas que se muestran a continuación, utiliza un plano cartesiano para la gráfica de cada tabla, usando distintos colores.

X Y X Y X Y-4 0 -4 -16 -4 9-3 2.6 -3 -9 -3 7-2 3.5 -2 -4 -2 5-1 3.9 -1 -1 -1 30 4 0 0 0 11 3.9 1 -1 1 -12 3.5 2 -4 2 -33 2.6 3 -9 3 -54 0 4 -16 4 -7

Tabla 1 Tabla 2 Tabla 3

Bloque I.

9

Investiguen a qué tipo de curva pertenece y contesta lo siguiente:• ¿Qué forma tiene la gráfica de cada tabla?• ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a cada una de las gráficas que realizaste? a) y = -x2 b) y = 16-x2 c) y = -2x + 1


10

Reafirmando lo comprendido

a) En la figura que se muestra, considera al eje de las abscisas (x) como eje de simetría.

b) La figura muestra la vista aérea de una residencia. Los puntos P y Q señalan lugares donde deben ubicarse tomas de agua para el riego del jardín. De acuerdo con el plano cartesiano trazado, ¿cuáles son las coordenadas de dichos puntos?

A) P (-8, 2) y Q (4, -3)B) P (-8, -2) y Q (4, -3)C) P (-2, -8) y Q (-3, 4)D) P (-8, 2) y Q (4, 3)


Referencias:

Ajoy, D. (2014). Figuras en el Plano Cartesiano.Retrieved from neoparaiso: http://neoparaiso.com/imprimir/figuras-plano-cartesiano.html Geogebra. (2014).geogebra.org Retrived from http://www.geogebra.org/cms/es/

¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A y C del triángulo simétrico reflejado?

A) A’(-5, -1) , C’( 1, 4) B) A’(-5, 1) , C’(-1, -4) C) A’(-1, 1) , C’(-5, -4) D) A’(-4, -1) , C’(-5, 1)

Heteroevaluación:Lista de cotejo para actividad 3 del bloque I


Indicador de desempeño:Entrega a tiempo la actividad. Localiza los puntos en el plano cartesiano. Reconoce lugares geométricos. Entrega con limpieza. TOTAL

Autoevaluación de desempeños del estudiante en el primer bloque:

Grupo : Siempre A veces Difícilmente Observaciones

Indicador de desempeño:BLOQUE IIdentifico las características de un sistema de coordenadasrectangulares.Localizo y ubico puntos en el plano cartesiano.Relaciono una expresión matemática con su gráficacorrespondiente.Reconozco las relaciones entre puntos que determinan unlugar geométrico.Entrego mis actividades con limpieza, orden y en el tiempoque me indica el profesor.

Bloque I.

11

“LA RAZÓN DE UNA PERSONANO SIEMPRE ES UNA RAZÓN MATEMÁTICA”

APLICAS LAS PROPIEDADES

DE SEGMENTOS RECTILÍNEOS Y

POLÍGONOS

12

Desempeños a demostrar: - Identifica las características de un segmento rectilíneo. - Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. - Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.

Competencias a desarrollar: - Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas; así mismo interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. - Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. - Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. - Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. - Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. - Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.


- Segmentos rectilíneos: • Dirigidos y no dirigidos. - Distancia entre dos puntos. - Perímetro y área de polígonos. - Punto de división de un segmento. - Punto medio.

APLICAS LAS PROPIEDADES DE SEGMENTOSRECTILÍNEOS Y POLÍGONOSBLOQUE II

En este bloque alcanzarás desempeños que te permiten explorar las posibilidades analíticas para realizar cálculos métricos de segmentos rectilíneos y polígonos. El contenido de este bloque te ayudará a identificar las características de los segmentos rectilíneos tanto dirigidos como los no dirigidos; también a calcular la distancia entre dos puntos; del mismo modo, a obtener áreas y perímetros de polígonos. En la última sección del bloque, aprenderás a dividir una recta en segmentos, obteniendo los puntos que dividen a dichos segmentos en una razón dada

13

Observa el mapa y responde lo que se te pide:

Según el mapa, si lo ubicamos en el primer y cuarto cuadrante del plano, podemos decir que la ciudad de Ensenada se localiza en las coordenadas E(4, -12) y la ciudad de Mexicali se localiza en M(10, -7).

a) Mediante la fórmula, determina la distancia en línea recta, que existe entre Mexicali y Ensenada:b) ¿Tiene sentido tu respuesta?c) Cada unidad equivale a 18 km, ¿cuál es la distancia real entre ambas ciudades?

A B

Segmento rectilíneo. Es un pedazo de recta, tiene principio y tiene fin.

Segmentos dirigidos. Aquellos segmentos que tienen un determinado sentido, indicados con la punta de una flecha.

La distancia AB es igual a – AB, aunque en magnitud si son iguales, sólo el sentido que llevan los hace diferentes.

Aquí trabajaremos con segmentos no dirigidos, tomando en cuenta que la distancia siempre es positiva, de aquí que la distancia está definida como valor absoluto, es decir, positiva.

Por ejemplo:

Determina la distancia no dirigida entre los puntos A(7) y el punto B(- 9).

Situacion didactica:

Segmentos rectilíneos

Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.

dAB

=

dAB

= = -17 = + 17

x2 - x1

14

Distancia entre dos puntos en el plano:

Para calcular el valor de la distancia entre los dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2, y2), por el Teorema de Pitágoras obtenemos la fórmula:

Ejemplos:

1) Determina la distancia entre los pares de puntos: Q(3, - 4), P(- 2, 7).

Nombramos a las coordenadas como y .Ahora, los sustituimos en la fórmula de distancia entre dos puntos:

2) Distancia entre los puntos G(- 3, - 8), S(- 4, 5)

Nombramos a las coordenadas como y Ahora, los sustituimos en la fórmula de distancia entre dos puntos:

Demostraciones y comprobaciones:

Ejemplo: Demuestra por medio del concepto de distancia entre dos puntos que los triángulos son rectángulos y comprueba tus resultados gráficamente:A (2, - 2), B (- 8, 4), C (5, 3)

Bloque II.

(x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2d =

(x1 - y1) (x2, y2)

(x1 - y1) (x2, y2)

15

Para que sea un triángulo rectángulo, debe satisfacer el Teorema de Pitágoras, es decir:

Por tanto, sí es un triángulo rectángulo.

Comprobemos este resultado con la elaboración de la gráfica:

Después de haber realizado algunos ejemplos y trabajado con las explicaciones de tu maestro realiza los siguientes ejercicios como se te indica.

Actividad 1. Cálculo de distancia y gráfica. Resolver en equipo, de manera ordenada y en limpio.

A. Construye la gráfica para cada uno de los siguientes ejercicios y calcula la distancia entre cada pareja de puntos. Utiliza colores distintos para cada uno.

1. A(-2,3), B(-6,1).

2. C(-10,-1), D(1,3).

3. E(-2,-3), F(3,7).

4. G(5, -1), H(9, 21).


16

B. Demuestra que los triángulos son triángulos rectángulos. Posteriormente, compruébalo realizando su gráfica. Cada triángulo con distinto color. 1. A(10,5), B(3,2), C(6,-5)

2. D(0,9), E(-4,-1), F(3, 2)

3. G(3, -2), H(-2, 3), I(0, 4)

C. Demuestra por medio del concepto de distancia entre dos puntos, que los puntos dados son colineales y realiza las gráficas de cada ejercicio, comprobando así tus resultados obtenidos.

1. A(0,4), B(3,-2), C(-2,8)

2. D(-2,3), E(-6,1), F(-10,-1)

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10987654321

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10987654321

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10

Bloque II.

17

D) Demuestra por medio del concepto de distancia entre dos puntos que los triángulos son isósceles:

1. A(2,-2), B(-3,-1), C(1,6)

2. D(-2,2), E(6, 6), F(2,-2)

3. G(3,-2), H(-2,3), I(0,4).

Utiliza tu habilidad para practicar con el concepto:

E. Hallar el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto (-3,6). Nota: tiene 2 soluciones: (3,-2), (3,14).

F. Hallar el punto de abscisa 6 que diste 5 unidades del punto (3,- 2). Nota: tiene 2 soluciones: (6,2), (6, -6).

Perímetro y área de polígonos:

El perímetro de cualquier polígono es la suma de las medidas de todos sus lados. Podrías utilizar el concepto de la distancia entre dos puntos para calcular sus lados.

Fórmula de distancia entre dos puntos:

Mientras que el área de un polígono lo calcularemos con la fórmula:

= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)

2


18

Ejemplo: Encontrar el área del siguiente polígono: (-1,-2), (4,2), (-3,5)

= ½ [(–2 + 20 + 6) – (–8 –6 –5)] = ½ [(24) – (–19)] = ½ (43) = 21.5 u2

Solución: Área= 21.50 u2

Actividad 2: Perímetros y áreas de figuras en el plano.Resolver de manera individual.

Resuelve lo que se te indica:

1. Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son: a) (-4, -3), B (-1, 5) y C (3, 2).

b) P(4, 0), Q(2, 5), R(-3, 2) y S(-1, -6).

2. Hallar el área de los triángulos cuyos vértices son: a) A (2,-3), B (4,2), C (-5,-2).

b) D(-8, -2), E(-4, -6), F(-1, 5).

c) A(3,-2), B(4,3), C(-1,1)

Bloque II.

19

Punto de división de un segmento.

Punto medio:

Para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento utilizaremos las fórmulas:

Ejemplo:Calcula la coordenada del punto medio entre R(-7,2) y S(3,4)

Punto que divide al segmento en una razón dada:

Si un segmento se divide en n partes iguales, la razón para determinar las coordenadas de cada punto que divide a dicho segmento, se calcula de la siguiente manera:

De esta manera, por ejemplo el punto P1 divide al segmento en 5 partes iguales, por lo cual su razón se expresa r = 1 , el punto P3 tiene una razón r = 3 , el punto P4 tiene una razón r = 4 . 5 2 1

Ejemplo:

Calcula el punto de división de un segmento, utilizando r = 2 para el segmento cuyos puntos son (-2,3), (-6,1).

Ahora lo resolveremos con la razón (r = ½): sustituimos estos puntos en la fórmula y resolvemos.


20

Comprobemos gráficamente este resultado para ver si efectivamente estos dos puntos dividen en tres partes iguales al segmento dado:

Saber más:

Te invitamos a visitar las siguientes páginas de Internet:http://www.matetam.com/blog/entradas-jesus/segmentos-dirigidoshttp://www.tutiempo.net/p/distancias/calcular_distancias.htmlhttp://matematicasies.com/?Distancia-entre-dos-puntos

Actividad 3. División de un segmento. Resolver en limpio y de forma ordenada, en binas:

Se presenta a continuación una serie de ejercicios. Deberás realizar las gráficas y procedimientos en cada ejercicio para comprobar tus resultados obtenidos.

Efectivamente, los puntos P y Q vemos que sí dividen exactamente en tres partes iguales al segmento AB.

x =2 +

1+

( 6)1212

x = 2 332

x = 532

x = 103

y =3 +

1+

(1)12

12

y =3 + 1

232

y = 32

72

Q = 10 7 3 3

,

y =73

Bloque II.

21

1. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento limitados por sus extremos:

a) (5, -1), (9, 21)

b) (1,3), (-2,-3)

c) (1,2), (-3,10)

d) (-2,3), (-6,1)

e) (-10,-1), (1,3)


22

Bloque II.

23

2. Calcula los puntos que dividen en una razón r = 1 a los segmentos: 3 a) (-10,-1), (1,3)

b) (-2,-3), (3,7)

c) (5, -1), (9, 21)

d) (1,3), (-2,-3)

e) (1,2), (-3,10)

i. Carpintería: Los puntos A (5, 3) y B (-3, -3) representan los extremos de un trozo de madera que será usado por un carpintero para elaborar un mueble, al cual se le agregara una muesca en la tercera parte de su longitud (r = 1/3), tomando como referencia el punto A. Calcula la coordenada exacta donde ubicará esa muesca, mostrando tus operaciones y selecciona la opción correcta.

a) (1.5,3)b) (0.75,3)c) (3,0.75)d) (3,1.5)


24

Referencias:

http://esdocs.org/docs/index-57547.htmlhttp://www.prepafacil.com/cobach/Main/SegmentosDirigidosYNoDirigidoshttp://www.matetam.com/blog/entradas-jesus/segmentos-dirigidoshttp://www.sectormatematica.cl/contenidos/distancia.htmhttp://www.profesorenlinea.cl/geometria/Distancia_entre_dos_puntos.htmlhttp://www.tutiempo.net/p/distancias/calcular_distancias.htmlhttp://matematicasies.com/?Distancia-entre-dos-puntosGeogebra (2014).geogebra.org. Retrived from http://www.geogebra.org/cms/es/

Nota: Cada indicador tiene una ponderación de 2.

Heteroevaluación:Lista de cotejo para las actividades del bloque II


Indicador de desempeño:Entrega a tiempo la actividad.Entrega con limpieza. Sustituye y realiza correctamente el procedimiento.Obtiene el resultado correcto.Realiza las gráficas correspondientes donde se indica.TOTAL

Autoevaluación de desempeños del estudiante en el segundo bloque.

Grupo : Siempre A veces Difícilmente Observaciones

Indicador de desempeño:Determino la distancia entre dos puntos, gráfica yalgebraicamente.Determino el putno de división de un segmento en unarazón dada.Hago el cálculo de perímetros y áreas de u npolígono.Entrego mis actividades con limpieza, orden y en el tiempoque me indica el profesor.

Bloque II.

25

Instrumentos de autoevaluación y coevaluaciónCorte I

26

APLICAS LOS ELEMENTOS

DE UNA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO

27

Desempeños a demostrar: - Reconoce la recta como lugar geométrico. - Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. - Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas o ejercicios.


- Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas; así mismo interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. - Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. - Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. - Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. - Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. - Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. - Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


- Línea recta - Definición - Pendiente y ángulo de inclinación de una recta - Ángulo formado por dos rectas - Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

APLICAS LOS ELEMENTOS DE UNA RECTACOMO LUGAR GEOMÉTRICOBLOQUE III

En este tercer bloque, comenzarás con el estudio de un lugar geométrico llamado recta, identificándola como uno de los modelos más importantes en diversas áreas. Estudiarás su definición y una de sus principales características: la pendiente. Comprenderás la relación entre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta. Seguido a esto, calcularás los ángulos que se forman al cruzarse dos rectas. Por último, analizarás las condiciones de paralelismo y perpendicularidad como casos especiales en el posicionamiento de dos o más rectas.

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Cuando se construyen rampas para que circulen sillas de ruedas, es muy importante que dichas rampas cuenten con las medidas correctas, una rampa mal construida puede traer serios problemas para la persona discapacitada que intente subirla o bajarla.

a) Para que una rampa cuya base mide 150 cm, alcance una altura de 30 cm, ¿qué función trigonométrica te permite calcular el ángulo de elevación que deberá tener dicha rampa?

b) Calcula dicho ángulo:

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Línea recta:

Uno de los modelos más importantes en la aplicación a la ingeniería, las ciencias naturales y administrativas es el de una ecuación lineal de dos variables, además de ser la ecuación más sencilla de la geometría analítica.

Línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos tales que tomados dos de ellos cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente m es constante.

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta:

Pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con respecto a la horizontal, puede estar dado en valor numérico o en grados.

Existen pendientes positivas y negativas. Si al observar un plano cartesiano de izquierda a derecha, la recta va hacia arriba, se dice que su pendiente es positiva, si va hacia abajo se dice que es negativa.

Actividad 1: Pendientes y ángulos de inclinación.Realizar en binas.

1. Para analizar la línea recta se muestran las siguientes gráficas, obtener el valor de la pendiente “m” y el ángulo de inclinación “α”.

Para ello usaremos la fórmula:

Para el ángulo de inclinación:

Bloque III.

29

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico.

2. Tracen la gráfica con los dos puntos y calculen la pendiente “m” y el ángulo de inclinación “α” de cada uno de los siguientes ejercicios.

a. (–2,3), (–6,1).b. (–10, –1), (1,3).c. (–2, –3), (3,7).d. (5, –1), (9, 21).e. (1,3), (–2, –3).f. (1,2), (–3,10).

a)

-3 -2 -1 1 2

1 2 3

-1

-1

2

3

4

4

3

2

1

1 2

4

3

2

1

-1

-2

4

3

2

1

1

2

-2 -1

-2 -1 1 2 3 4

-1

-2

-3

4

3

2

1

b)

c) d)

e) f)

-2 -1

-3 -2 -1 1 2 3

30

3. En una unidad habitacional se requiere instalar un transformador eléctrico y se necesita un cableado desde una subestación localizada en el punto A(-1,5), hasta un punto B (3,2). Calcula la pendiente “m” y el ángulo de inclinación “α” de la recta que se forma con dichos puntos.

(-1.5)

(3,2)

0

yA

B

Bloque III.

31

4. Se presentan algunos puntos que pretenden estar sobre la misma recta pero para saber si hay colinealidad o no, hay que calcular el valor de la pendiente, ya que si sus pendientes son iguales, quiere decir que pertenecen a la misma recta. Utilizando el concepto de pendiente, demuestra que los siguientes conjuntos de puntos son colineales.

1. A (–3, 4), B (3, 2) y C (6, 1)

2. A (–7, –5), B (0, 1) y C (14, 13)

Ángulo formado por dos rectas

Es el que se forma entre dos rectas que se intersectan en un punto, se mide en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj. La pendiente de la recta donde inicia el ángulo se considera m1 y la pendiente de la recta donde termina el ángulo se considera m2, como se muestra en la siguiente imagen:

Se calcula utilizando la fórmula:

Ejemplo: Dados los siguientes puntos de un triángulo, determina la medida de los ángulos interiores. A(3,-2), B(4,3), C(-1,1).


32

Bloque III.

Primeramente se determinan las pendientes de cada lado del triángulo, utilizando la expresión

Ahora obtendremos el ángulo interior A del ∆ABC, utilizando la fórmula

Se marca el ángulo A en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, como se indica en la gráfica, tomando como m1 en donde inicia y como m2 donde finaliza, de manera que la m1=5 y m2=-3 4Sustituyendo en la fórmula tenemos:

Ahora determinaremos el ángulo interior B, en este caso la m1= 2 y m2=5 5

Y finalmente la medida del ángulo interior C, tomando como m1= - 3 y m2= 2 4 5

Recuerda que la suma de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 180°.

33

Actividad 2. Ángulos entre rectas. Resolver de manera individual.

1. Calcular el ángulo entre dos rectas:

a) Una recta tiene pendiente igual a – ½ y la otra igual a ¾.

b) Una recta tiene pendiente igual a 2 y la otra igual a –4.

c) Una recta pasa por (2, – 3) y (– 8, – 9), la otra pasa por (0, –4) y (10, –6).

d) Una recta pasa por (–7, 6) y (12, – 20), la otra pasa por (5, –5) y (–12, 6).

2. Para los siguientes ejercicios tendrás que construir el triángulo y encontrar cada uno de los ángulos interiores. Realiza los cálculos en el resto de la página.

a) A(3, 2), B(5, –4), C(1, –2). Sol. 45º, 45º, 90º.

b) A(4, 2), B(0,1), C(6, –1). Sol. 109º 39.2´, 32º 28.3´, 37º 52.5´.

c) A(–3, –1), B(4,4), C(–2,3). Sol. 113º 29.9´, 40º 25.6´, 26º 4.5´.


34

Rectas paralelas

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y sólo si sus pendientes m1 y m2 son iguales (m1 = m2).

Bloque III.

35

Para demostrar que dos rectas son paralelas solamente tendrás que calcular sus pendientes y si son iguales entonces podrás decir “son rectas paralelas”.

Rectas perpendiculares

Una condición de perpendicularidad, consiste en que dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es igual a – 1.

Para demostrar que dos rectas son perpendiculares podrás realizar los siguientes procedimientos:

I. Calcular las dos pendientes y su producto deberá ser igual a -1, o bienII. Calcular la pendiente “m1”, luego calcular “m2”, considerando que la pendiente es recíproca y de signo contrario, obteniéndose: m1 = - 1 m2

Para realizar las demostraciones toma en cuenta el concepto de paralelismo y perpendicularidad entre las rectas.

Actividad 3: Demostración de paralelismo y perpendicularidad mediante pendientes. Resolver en limpio y de manera ordenada en equipo.

1. Demostrar por medio de la pendiente que los puntos de las rectas dadas son paralelas.

a) La recta A (–1, –2) y B (0, 1), con la recta C (–3, 2) y D (–4, 1).

b) La recta E (–1, –5) y F (2, 1), con la recta G (1, 5) y H(–2, –1).


36

2. Demostrar por medio de pendiente que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo:

a) A(–1, –2), B(0, 1), C(–3, 2), D(–4, –1)

b) E(–1, –5), F(2, 1), G(1, 5), H(–2, –1).

c) I(2, 4), J(6, 2), K(8, 6), L(4, 8).

3. Demostrar por medio de pendientes que los puntos dados son colineales:

a) M(0,4), N(3, –2), O(–2,8).

b) P(–2,3), Q(–6,1), R(–10, –1).

4. Se presentan los puntos de las siguientes rectas, para que demuestres por medio de pendientes su condición de perpendicularidad:

a) La recta A(0, 9) y B(–4, –1), con la recta C(0, 9) y D(3, 2).

Bloque III.

37

b) La recta E(–2, 8), F(–6,1), con la recta G(–2, 8), H(0, 4).

5. Grafica los siguientes puntos en un plano cartesiano: P(2, 2), Q(–3, –1), R(1,6).

a) ¿Qué figura se forma? b) ¿Cuál es el perímetro de la figura? c) Calcula los ángulos interiores de la figura d) Indica si algún par de rectas es perpendicular ___. Justifica tu respuesta.

6. En una empresa donde manufacturan tableros electrónicos, la inserción de cada componente en la tabla electrónica se realiza por medio de una máquina, la cual tiene las coordenadas que ubican con exactitud a cada componente electrónico. Si un resistor el cual presenta las coordenadas (7,4) y (5,3) se debe colocar con respecto a otro componente de manera perpendicular. ¿Cuál debe ser el valor de la pendiente de la línea en la cual se puede ubicar este componente?

a) -2 b) ½ c) ½ d) 2

Nota: Cada indicador tiene una ponderación de 2.

Heteroevaluación:Lista de cotejo para las actividades del bloque III



-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10987654321

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10


38

Autoevaluación de desempeños del estudiante en el segundo bloque:

Grupo: Siempre A veces Difícilmente Observaciones

Indicador de desempeño:BLOQUE IIILlevo a cabo el desarrollo correcto para encontrar la pendientey ángulo de inclinación de una recta.Relaciono el signo de la pendiente con el crecimiento o decrecimiento de una recta.Distingo las características de las pendientes que representana rectas paralelas y perpendiculares.Obtengo la ecuación de la recta a partir de pares ordenados.Entrego mis actividades con limpieza, orden y en el tiempoque me indica el profesor.

Referencias

Geoan. (2008). Rectas Perpendiculares. Retrieved from Geoan: http://www.geoan.com/recta/perpendiculares.htmlprofesor en línea. (2014). Ecuacion en Línea. Retrieved from Profesor en linea: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuación_de.htmlVázquez, A. (Director). (2013). Pendiente de una Recta, Teoría [Motion Picture] retieves from http://www.youtube.com/watch?v=xeZElTAyMOk.VITUTOR. (2012). Rectas Paralelas. Retrieved from VITUTOR: http://www.vitutor.com/geo/rec/e_9.html wikipedia.org. (2014). Pendiente. Retrieved from wikipedia.org: http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_la_rectaGeogebra (2014).Geogebra.org. Retrived from http://www.geogebra.org/cms/es/

Bloque III.

39“EL PRINCIPIO DE LAS AUTOPISTAS ES LA LÍNEA RECTA”

UTILIZAS DISTINTAS FORMAS

DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA

40

Desempeños a demostrar: - Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. - Transforma ecuaciones de una forma a otra. - Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas o ejercicios de la vida cotidiana.


- Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas. - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. - Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. - Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. - Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad. - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. - Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. - Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. - Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


- Ecuaciones de la recta: o Pendiente y ordenada al origen. o Punto - pendiente. o Dos puntos. o Simétrica. - Ecuación general y normal de una recta. - Distancia de una recta a un punto. - Distancia entre dos rectas paralelas.

UTILIZAS DISTINTAS FORMAS DE LAECUACIÓN DE UNA RECTABLOQUE IV

El cuarto bloque hace un análisis de las diferentes formas en las que se presenta la ecuación de la recta, por lo que harás uso de conocimientos en aritmética y álgebra para obtener la ecuación general de la recta a partir de dichas formas y viceversa. Además, aprenderás a calcular la distancia entre un punto y una recta, así como la distancia entre dos rectas paralelas.

41

La ecuación del lugar geométrico se obtiene por la pendiente:

Despejando para resolver a favor de y:

Donde m está dado por:

a) ¿Qué lugar geométrico está representado al unir los puntos?

Ecuaciones de la recta

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente

Atendiendo a la definición del lugar geométrico, tenemos que:

El modelo y – y1 = m (x – x1), determina la ecuación de una recta, conociendo su pendiente m y un punto (x1, y1) por donde pasa.

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P, grafica la recta a partir del punto y el valor de la pendiente.

P (0,2), m = 3. Sol. 3x – y + 2 = 0.


En cierta ciudad, te cobran 35 pesos por subirte a un taxi más 5 pesos por cada kilómetro recorrido. La ecuación que representa a esta situación es y = 5x+35.

Completa el cuadro y realiza la gráfica:http://emsbasics.com/2011/06/26/the-art-of-the-transfer-part-1/taxi_cartoon/

Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta.

42

Analíticamente, encontremos la ecuación de la recta:

Sustituimos estos valores en la fórmula: y – y1 = m (x – x1)

y – 2 = 3 (x – 0) y – 2 = 3 x

La ecuación la escribimos en su forma general, con el primer término en x positivo, de preferencia. 3 x – y + 2 = 0

Ahora, geométricamente, encontremos su gráfica en el plano cartesiano:

a. Localizamos el punto (0, 2) y lo nombramos en el plano.b. Con el lápiz, nos colocamos en este punto, y a partir de aquí, nos moveremos.c. Verticalmente hacia arriba (porque el numerador es positivo) 3 unidades y de ahí se mueve horizontalmente a la derecha 1 unidad, pues la pendiente 3 = 3 . 1 Nos queda: 3 x – y + 2 = 0.

Actividad 1: Ecuación de la recta dado un punto por el que pasa. Resolver de manera ordenada y en limpio, en binas.

Realizar los siguientes ejercicios, de manera similar al ejemplo anterior: construye la gráfica, realiza las indicaciones en la gráfica y concluye indicando la ecuación general.

Bloque IV.

43

a) P (3,-5), m = ¾. Sol. 3x – 4y – 29 = 0.b) P (0,-3), m = -2. Sol. 2x + y + 3 = 0.c) P (0,4), m = 1/3. Sol. x – 3y + 12 = 0.d) P (0,-1), m = 0. Sol. y. + 1 = 0.e) P (2,0), m = 0. Sol. y = 0.f) P (-5,-7), m = 0. Sol. y + 7 = 0. g) P (0,2), pendiente indefinida. Sol. x = 0.h) P (2,-5), pendiente indefinida. Sol. x – 2 = 0.i) P (-3,4), pendiente indefinida. Sol. x + 3 = 0.j) P (-5, -14) y m = – ½. Sol. x+2y+35=0k) P (-6, 5) y m = – ¾. Sol. 3x+4y-2=0


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Ecuación de la recta en su forma Pendiente – Ordenada al origeny = mx + b

La ecuación de la recta pendiente-ordenada, se refiere a la ecuación ordinaria de la recta, es la forma que se pre-senta más comúnmente:

Donde “m” es la pendiente y “b” es la ordenada al origen.Nos referimos a la ordenada al origen como el punto donde la recta corta al eje vertical y.

Encuentra la ecuación de la recta dada su pendiente (m) y el punto que corta al eje de las ordenadas (b), en su forma general.

Ejemplo: Escribe la ecuación de la recta dada su pendiente y ordenada

m = 2, b = 5. Escribimos la ecuación: y = mx + b

Sustituimos: y = 2x + 5

Pasamos todo al primer miembro para igualarlo a cero: y – 2x – 5 = 0Ordenamos para dejarlo en su forma general: - 2x + y – 5 = 0Como el término en x debe estar de preferencia positivo, multiplicamos todo por menos, o simplemente le cambiamos de signo a todos los términos:

2x – y + 5 = 0

Actividad 2: Ecuación de la recta en forma pendiente-ordenada. Resolver de manera individual. Realiza los siguientes ejercicios, siguiendo la misma secuencia para elaborarlo. (Recuerda que tienes que construir las gráficas e indicar los valores y procedimientos que se te solicitan en los ejemplos).

a) m = - 7, b = - 1.

b) m = 6, b = - 9.

c) m = ½, b = 3.

d) m = ¾, b = - 2.

e) m = - 4/5, b = - 3.

f) m = 7/9, b = 6.

g) m = 3/7, b = 2/7.

Bloque IV.

45


46

Ecuación de la recta dados dos puntos

Para poder obtener la ecuación de la recta dados dos puntos, es necesario calcular la pendiente primero y posteri-ormente escribir la ecuación con cualquiera de los dos puntos.

Ejemplo: Calcular la ecuación de la recta con extremos en los puntos (2,-3) y (4,2).Nombramos los puntos como (x1, y1) y (x2, y2), y los sustituimos en la fórmula:

Como el 2 está dividiendo, pasa multiplicando a y + 3, y el 5 multiplica a x – 2:2y + 6 = 5x – 10

Como el término en x, 5x, ya está positivo, entonces ahora, pasamos 2y + 6 del otro miembro de la ecuación con sus signos cambiados:

5x – 2y – 6 – 10 = 0

5x – 2y – 16 = 0.

Actividad 3. Ecuación de la recta dados dos puntos. Realizar en binas. Entregar en hojas blancas, en limpio y a tiempo.

Se presenta una serie de ejercicios donde se proporcionan los resultados a los que deberás llegar. Escribe el procedimiento correcto para llegar a la solución de cada ejercicio. a) (-4,1) y (3,-5). Sol: 6x + 7y + 17 = 0 b) (7,0) y (0,4). Sol: 4x + 7y – 28 = 0 c) (-5,3) y (8, - 11). Sol: 14x-13y+31=0 d) (9,12) y (-10, -13). Sol: 25x-19y+3=0 e) (0, - 9) y (14, 0). Sol: 9x-14y-126=0 f) (0,0) y (5,-3) Sol: 3x + 5y = 0 g) (5,-3) y (5,2) Sol: x – 5 = 0 h) (-3,4) y (-3,-5). Sol: x + 3 = 0 i) (-5,2) y (3,2). Sol. y – 2= 0 j) (4,-5) y (-6,-5). Sol: y + 5 = 0

Ecuación simétrica de la recta

La ecuación simétrica, también conocida como la ecuación de las intersecciones. Dichas intersecciones están sobre los ejes X y Y son en (a, 0) y (b, 0), donde a ≠ 0 y b ≠ 0. Los Segmentos de una recta, es decir, sus interpretaciones.

Bloque IV.

47

*Ejercicio en plenaria: Escribir la ecuación de la recta que pasa por las intersecciones, en la forma simétrica:

a. a=9, b=- 7. b. a=– 8, b=10. c. (– 11,0), (0, - 10) d. (9,0), (0, 6) e. (5,0), (0, 8)

Ejemplo de cómo pasar de ecuación simétrica a su forma general:

Eliminemos primero los denominadores, multiplicando por 15:

Simplificando se eliminan los denominadores: 5x – 3y = 15

Igualando a cero, es decir, pasando el 15 al primer miembro:

5x – 3y – 15 = 0

*Utilizar las respuestas del ejercicio en plenaria (anterior) para transformarlos de la forma simétrica a la forma general de la recta. Resolver en plenaria.

Pendiente e intersecciones de la recta a partir de su ecuación general

Se llama forma general de la recta a la ecuación lineal de dos variables x y y de la forma: A x + B y + C = 0

Donde A, B y C son números reales cualesquiera, A o B debe ser diferentes de cero y C no necesariamente debe ser cero. Si dividimos toda la ecuación entre el coeficiente B, encontramos las fórmulas siguientes:

Recuerda que la pendiente es m; la intersección en el eje X es a, y la intersección en el eje Y es b.


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Ejemplo: Calcula el valor de la pendiente y las intersecciones de las siguientes ecuaciones, exprésalos en fracciones y en decimal. 4x + 7y + 8 = 0

Con los valores de las intersecciones podemos fácilmente trazar la gráficas de la recta. Como a = - 2, en el eje X, y como b = - 8/7 = - 1.1 en el eje de las Y, y así tenemos la gráfica:

*Ejercicios para practicar utilizando la ecuación de la recta general. Obtener la pendiente y las intersecciones de las rectas con el plano. Resolver en plenaria.

a. –8x + 9y – 2 = 0. b. 3x + 8y + 90 = 0. c. x + y + 1 = 0 d. 5x – 9y + 9 = 0.

Familia de rectas paralelas a la recta:

Ejemplo: Encontrar la familia de rectas 4x – 7y + 9 = 0.

Analíticamente, para que sean paralelas deben tener la misma pendiente, es decir, la forma 4x – 7y + k = 0. Y como el parámetro k puede tomar cualquier valor, obtenemos así una familia de rectas paralelas.

Gráficamente tenemos:

Todas estas rectas son paralelas a 4x – 7y + 9 = 0,Para obtenerlas, sólo le doy valores al parámetro K, en este caso sustituimos: k = +7, k = +3, k – 0, k = - 4.

Bloque IV.

49

Para los siguientes ejercicios recuerda que el valor de “k” en la ecuación representa que tú puedas obtener diferentes rectas “Familia de rectas” lo que significa que podrás realizar diferentes rectas para cada ejercicio que se te presentan a continuación.

Construye las gráficas de acuerdo a las indicaciones del maestro.

a. 5x – 3y + 20 = 0. b. 6x + 9y – 40 = 0. c. –9x + 11y + 5 = 0. d. 2x + 3y + 6 = 0. e. –3x + 5y + 15 = 0.


50

En el siguiente ejemplo encuentra la ecuación de la familia de rectas perpendiculares a la siguiente recta:

Ejemplo:

5x – 3y + 2 = 0.

Calculamos la pendiente:

Así, la pendiente perpendicular será, la fracción invertida y con el signo cambiado: m = - 3 5De esta pendiente tenemos los valores de A y B, ahora escribimos la ecuación y nos queda:

3x + 5y + k = 0

Donde k es un parámetro que puede tomar cualquier número real, generando así una familia de rectas perpendiculares a la ecuación inicial 5x – 3y + 2 = 0.

Tabulando, o construyéndola en un graficador, la gráfica queda:

5x-3y+2=0

3x+5y+k=0

Tomando como guía el ejemplo anterior, resuelve los siguientes ejercicios, encuentra la ecuación de la familia de rectas perpendiculares a las siguientes rectas:

a) 5x – 3y + 20 = 0.

b) 6x + 9y – 40 = 0.

c) –9x + 11y + 5 = 0.

Bloque IV.

51

Normal: Una recta también queda determinada si se conocen la longitud de la perpendicular a ella trazada desde el origen (0,0) y el ángulo que dicha perpendicular forma con el eje de las abscisas x.

Sea AB la recta y ON la perpendicular desde el origen O a AB. La distancia p (parámetro) de O a AB se considera siempre positiva, cualquiera que sea la posición de AB, es decir, para todos los valores del ángulo w que la perpendicular forma con el semieje x positivo desde O.

Tenemos la ecuación de la recta en su forma normal: xcos w + y sen w – p = 0

Fórmula para convertir de la forma general a la forma normal:

Donde el signo del radical será el opuesto al de C.

Ejemplo: Reduce la ecuación a la forma normal: 12x – 5y – 8 = 0.

Determinemos primero el valor del factor normalizador con su signo correspondiente:

Como C (- 8) es negativo, entonces C será

positivo.

Por tanto, la ecuación 12x – 5y – 8 = 0, en su forma normal es:

Con la ayuda del profesor y utilizando el ejemplo anterior construye la forma normal de la ecuación de la recta, a partir de su ecuación general: a) 12x – 5y – 52 = 0 b) 3x – 4y + 12 = 0 c) 3x – 4y – 24 = 0 d) x – y – 4 = 0 e) x – 5y – 5 = 0

Ecuación normal de una recta


52

Distancia de un punto a una recta

La distancia de un punto a una recta es la longitud de la perpendicular desde el punto P(x1, y1) a la recta Ax + By + C = 0.

Para fines geométricos, utilizaremos la siguiente formula, donde se estudiará el signo del radical, el cual nos dará información de la colocación del punto con respecto a la recta y al punto de origen:

Ejemplo 1. Sea la recta 3x + 2y – 6 = 0, y el punto P (1, 4). De aquí tenemos A = 3, B = 2 y C = – 6. Lo sustituimos en la fórmula:

Veamos la gráfica:

Bloque IV.

53

Ejemplo 2: Sea la recta 3x + 2y – 6 = 0, y el punto P (–2, –1). De aquí tenemos A = 3, B = 2 y C = – 6. Lo sustituimos en la fórmula:

Veamos la gráfica:

Actividad 4 (integradora). Distancia entre dos rectas paralelas. Realizar en binas.

Encuentra la distancia entre los siguientes pares de paralelas y grafícalas. Realiza esta actividad en tu cuaderno. a. 2x + 3y – 6 = 0 y 2x + 3y + 2 = 0 b. x – 3y + 4 = 0 y x – 3y – 5 = 0 c. 2x + 5 y – 10 =0 y 2x + 5y –16 = 0

Utilicen los ejemplos que se presentaron y los que proporcionó el profesor en clase para hallar la distancia del punto a la recta en los siguientes ejercicios: a) (- 5, 4), 4x – 9y – 12 = 0 b) (9, - 8), 8x + 13y – 25 = 0 c) (2, –1), 2x – 5y + 10 = 0. d) (3, 4), 2x + 5y + 10 = 0. e) (4, –1), 4x – 3y + 12 = 0.

Actividad 5. Reafirmando conocimientos. Realizar en equipo, entregar en hojas blancas, a tiempo, de forma ordenada y en limpio.

1. Transforma de la forma simétrica a su forma general:


54

2. Transforma de la forma general a su forma pendiente y ordenada al origen: a. 3x – y + 2 = 0. h. x + 3 = 0. b. 3x – 4y - 29 = 0. i. 5x – 2y – 16 = 0. c. 2x + y + 3 = 0. j. 6x + 7y + 17 = 0. d. x – 3y + 12 = 0. k. 4x + 7y – 28 = 0. e. y + 1 = 0. l. 3x + 5y = 0 f. y = 0. m. x – 5 = 0 g. y + 7 = 0. n. x + 3 = 0

3. Transforma de la forma general a la forma simétrica: a) 5x – 2y – 16 = 0. b) 6x + 7y + 17 = 0. c) 4x + 7y – 28 = 0. d) 3x + 5y = 0.

4. Miscelánea: a) Una recta tiene por ecuación , ¿cuál es el valor de la pendiente de una recta perpendicular respecto a ésta?

b) ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que es perpendicular a otra recta que tiene por ecuación: c) ¿Cuál es la pendiente de una recta perpendicular a otra recta que tiene por ecuación 2x – 3y + 3 = 0?

d) ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4, -7) y cuya pendiente es ? e) ¿Cuál es la ecuación de la recta que tiene una pendiente y pasa por el punto P(2, 7)? f) El valor de la pendiente de una recta es m = -3 y las coordenadas de un punto por el que pasa, son P(1, -2). ¿Cuál es la ecuación que representa a esta recta?

g) ¿Cuáles son los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) de la función?

i. m= b= ii. m= b= iii. m=1 b=2 iv. m=2 b=1

h) ¿Cuál es el valor de la pendiente (m) y la ordenada en el origen (b) de la recta que se muestra en la gráfica?

a) m= b=4 b) m=2 b= c) m=2 b=4 d) m=4 b=2

Bloque IV.

55

i) Dada la ecuación lineal 3y – 4x + 9 = 0, determina los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b). a) m= b=-9 b) m= b=3 c)m= 4 b=3 d) m=4 b=9

5. Si una empresa que transporta valijas establece sus tarifas de la siguiente manera: $ 8 por km recorrido y $ 12 por cada valija transportada, ¿cuánto costará trasladarse 100 km con una valija?, ¿y 200 km?

a) Utilizando el procesador de textos, disponible en sus equipos portátiles, armen una tabla, similar a la que se presenta debajo, y complétenla considerando que se lleva una sola valija:

b) Expresen la fórmula de la función que relaciona la distancia en kilómetros (km) y el valor del traslado.

c) Analicen la misma situación pero trasladándose con dos valijas.

d) En un mismo gráfico, y utilizando el programa GeoGebra o algún graficador en línea, representen estas dos situaciones: viajan con una valija y viajan con dos valijas. Analicen lo que sucede con la pendiente de la recta.

e) Otras empresas de la competencia tienen las siguientes tarifas:

f) Representen gráficamente las ecuaciones planteadas en la tabla anterior.

g) Discutan entre todos qué empresa conviene contratar para gastar menos dinero.

Tomada de www.educ.ar

Heteroevaluación:Lista de cotejo para las actividades del bloque IV




56

Autoevaluación de desempeños del estudiante en el cuarto bloque:


Indicador de desempeño:BLOQUE IVReconozco las distintas formas de la ecuación de la recta.Transformo ecuaciones de una forma a otra.Obtengo la ecuación de la recta a partir de pares ordenados.Resuelvo problemas utilizando las distintas formas de la ecuación de la recta.Entrego mis actividades con limpieza, orden y en el tiempoque me indica el profesor.

Referencias:

CENTRO DE CAPACITACIÓN INTERNET (2014). FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA. Retrieved fromMatemáticas: http://docencia.udea.edu.co/Matematicas/4.4.htmleduc.ar. (2014). Función lineal. Retrieved from educ.ar: http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=15188&referente=docentes

ematematicas.net. (2014). Ejercicios de Matemáticas. Retrievedfrom ematematicas.net: http://www.ematematicas.net/ecrecta.php?a=3

Sociedad de Construcción Primaria. (2014). Ecuación de una Recta. Retrieved from LigeoIndustrial: http://mmpchile.c5.cl/pag/productos/indus_recta/los%20originales/conc1.htm

VITUTOR. (2012). Ecuación general de la recta. Retrieved fromVITUTOR: http://www.vitutor.com/geo/rec/d_5.html

wikipedia.org. (2014). Pendiente. Retrievedfrom wikipedia.org: http://es.wikipedia.org/wiki/Pendiente_de_la_recta

Geogebra (2014).geogebra.org. Retrived from http://www.geogebra.org/cms/es/

Bloque IV.

57

APLICAS LOSELEMENTOS Y LAS

ECUACIONES DE UNA CIRCUNFERENCIA

58

En este bloque comenzarás el estudio de otro lugar geométrico: la circunferencia. Por tal motivo, se hace un breve repaso para que recuerdes los segmentos y rectas asociados con esta figura. Además, estudiarás las diferentes ecuaciones de la circunferencia así como sus conversiones y gráficas, por lo que mucho ayudará que recuerdes el teorema de Pitágoras, las técnicas de factorización, productos notables y el método de completar un trinomio cuadrado perfecto. Podrás entender por qué es otro de los lugares geométricos utilizados en gran variedad de aplicaciones.


- Identifica y distingue los diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia. - Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las trasforma de una forma a otra. - Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución problemas o ejercicios de la vida cotidiana.


- Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas. - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. - Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. - Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. - Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad. - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. - Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. - Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. - Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


- Circunferencia - Rectas y segmentos: radio, diámetro, cuerda, secante y tangente - Ecuaciones de la circunferencia - Ecuación canónica - Ecuación ordinaria - Ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos - Ecuación general de la circunferencia

APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONESDE UNA CIRCUNFERENCIABLOQUE V

59


Observa los círculos colocados en el plano cartesiano y responde:

a) ¿En qué coordenadas se encuentra ubicado el centro de cada una de las circunferencias? A( , ) , B( , ) , D( , )b) ¿Cuánto mide el radio de cada una de las circunferencias? RA= RB= RD=

LA CIRCUNFERENCIA

La ecuación ordinaria de una circunferencia cuyo centro (fuera del origen) es el punto C(h, k) y radio r es:(x - h)2 + (y – k)2 = r2

Definición:

La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano P(x, y) que son equidistantes de un punto fijo.

El punto fijo es el centro de la circunferencia y cualquier segmento de recta cuyos extremos sean un punto cualquiera de la misma y su centro se llama radio.

La ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria,es: x2 + y2 = r2

Aplicas los elementos y las ecuacionesde una circunferencia.

60


En el centro de operaciones de misiones espaciales se necesita saber la manera de ubicar posiciones en la circunferencia un planeta o asteroide. Se sabe que debido a la rotación de los cuerpos celestes, éstos no son completamente esféricos; sin embargo, se puede hacer la suposición de que lo son con una buena aproximación.

La forma de encontrar un punto en la circunferencia de un planeta es mediantela ecuación de ese lugar geométrico, con base en un punto de referencia u origen de coordenadas. Suponiendo que la Tierra se encuentra en el origen de coordenadas de un plano cartesiano, obtén la ecuación de la:

a) Circunferencia terrestre b) Circunferencia de la Luna c) Circunferencia de Marte

¿Qué datos serían necesarios para obtener estas ecuaciones?¿Qué datos permiten describir a una circunferencia?

En plenaria

Como una lluvia de ideas, ayudándose con una circunferencia graficada en el pizarrón, recordar la definición y trazar cada uno de los segmentos y rectas asociados con ella:

a) Radio b) Diámetro c) Cuerda d) Tangente e) Secante

Actividad 1: Las cónicas. Demuestra tu creatividad. En equipo.

Realizar una muestra sobre las distintas aplicaciones donde aparezcan las cónicas: elipse, parábola, circunferencia e hipérbola, ya sea una exposición oral, maqueta, exposición fotográfica, pintura, narración literaria, animación, etc.

Ecuación general de una circunferencia.

La forma ordinaria se puede desarrollar y presentar en la denominada ecuación general, de la siguiente manera.

(x-h)2+(y-k)2=r2

x2-2hx+h2+y2-2ky+k2=r2

x2+y2-2hx-2ky+h2+k2-r2=0

A fin de no escribir tantas letras se puede realizar las siguientes situaciones:Tomamos - 2h = D, - 2k = E, h2 + k2 – r2 = F obtenemos entonces la ecuación:

x2+y2+Dx+Ey+F=0

Bloque V.

61

Ejemplo 1:

Escribe la ecuación de una circunferencia que tiene centro en el origen y radio igual a 5.Datos Fórmula SustituciónC(0,0) x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 52

r = 5 x2 + y2 = 25 Forma ordinaria x2 + y2 - 25= 0 Forma General de la ecuaciónGráfica

Ejemplo 2:Determina la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto C(- 4, 3) y radio es r = 3.Datos Fórmula Sustitución C (- 4, 3) ( x – h )2 + ( y – k )2 = r2 ( x – (- 4) )2 + ( y – 3 )2 = (3)2

r = 3 Procedimiento ( x + 4 )2 + ( y – 3 )2 = 9 x2 + 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = 9 x2 + y2 + 8x – 6y + 16 + 9 – 9 = 0 x2 + y2 + 8x – 6y + 16 = 0 Forma General de la ecuación

Gráfica

Ejemplo 3:a) Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en C(-3, 4) y pasa por el punto A(5, - 1).

Cálculo del radio mediante distancia entre 2 puntos

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

C(-4,3)

654321

-1-2-3-4-5

-7 -6 -5 -4 -3 -2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8

r = 3


62

Ejemplo 4:

b) Hallar la coordenada del centro y la medida del radio de la circunferencia que tiene como ecuación:

x2+y2-6x+10y+30=0

Ecuación dada

Agrupando términos “x” y “y”

Completando el cuadrado en “x” y “y”

Factorizando y simplificando.

La circunferencia tiene centro en C(3, - 5) y radio r = 2.

Actividad 2: Circunferencia.Realiza en limpio y de forma ordenada en equipo.

1. Determina la ecuación general de la circunferencia que satisface las siguientes condiciones:

a) Centro en el origen y radio r = 8 b) Centro en el origen y radio r = 6 c) Centro en el origen y pasa por el punto (3, 4) d) Centro en (3, -1) y radio r = 5 e) Centro en ( -6, 1) y radio r = 7 f) Centro en (4, - 1) y pasa por el punto (- 1, 3) g) Centro en ( -3, 4) y pasa por el punto (6, 2)

2. Relaciona las siguientes gráficas con la ecuación de la circunferencia correspondiente, escribiendo cada inciso en el paréntesis.

3. Escribe en forma desarrollada (forma general) las siguientes ecuaciones de las circunferencias que están en su forma ordinaria.

x2+y2-6x+10y+30=0

(x2-6x)+(y2+10y)=-30

(x2-6x+9)+(y2+10x+25)=-30+9+25

(x-3)2+(y+5)2=4

a)

( ) x2+y2=16

( ) (x-3)2+(y+2)2=16

( ) (x-4)2+(y+2)2=16

b)

c)

a) b)

c)

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

7654321

-1-2-3-4-5-6-7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

54321

-1-2-3-4-5-6-7-8

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bloque V.

63

a) (x + 1)2 + (y – 3)2 – 25 = 0

b) (x – 6)2 + (y – 4)2 = 3

c) x 2+ (y + 5) 2 = 4

d) (x + 2)2 + y2 – 36 = 0

e) (x + 4)2 + (y – 9)2 = 40

4. Dada la ecuación ordinaria de la circunferencia determina sus elementos, la coordenada del centro y la medida del radio.

a) (x + 1)2 + (y – 3)2 – 25 = 0 b) (x – 6)2 + (y – 4)2 = 3 c) x 2 + (y + 5)2 = 4 d) (x + 2)2 + y2 – 36 = 0 e) (x + 4)2 + (y – 9)2 = 40

5. De las siguientes ecuaciones de la circunferencia en su forma general conviértela a la forma ordinaria y encuentra la coordenada del centro y la medida del radio.

a) x2 + y2 + 8x + 6y – 11 = 0

b) x2 + y2 – 16 = 0

c) x2 + y2 - 6x + 2y – 15 = 0

d) x2 + y2 - 8x + 2y – 24 = 0

e) x2 + y2 - 6y – 55 = 0

6. Contesta lo siguiente:

a) ¿Cuál es el lugar geométrico descrito por la trayectoria de un avión que se mantiene sobrevolando la ciudad de Tijuana a una distancia constante de 5 km de la torre del aeropuerto, esperando instrucciones para su aterrizaje?

b) El servicio sismológico de Baja California detectó un sismo en el valle de Mexicali e indicó que su epicentro se localizó a 50 km al Este y 30 km al Sur del centro de la ciudad de Mexicali con un radio de 20 km a la redonda. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que afectó el sismo? Indica si el sismo afectó a la ciudad de Mexicali.


64

Autoevaluación de desempeños del estudiante en el quinto bloque:


Indicador de desempeño:BLOQUE VIdentifico los diferentes tipos de rectas y segmentos asociadosa la circunferencia.Distinto los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia.Transformo a la ecuación general a partir de los elementosde la circunferencia.Obtengo los elementos necesarios para graficar la circunferencia a partir de cualquiera de sus ecuaciones.Soluciono problemas cotidianos usando las ecuaciones dela circunferencia.Entrego mis actividades con limpieza, orden y en el timpo que me indica el profesor.

Heteroevaluación:Lista de cotejo para la actividad 2 del bloque V



Actividad 3. Trabajo de investigación y ejercicio en binas. A entregar en hojas blancas y a tiempo.

1. Consulta en algún libro de Geometría Analítica el caso de hallar la ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos. Describe por escrito cuál es el planteamiento para obtener la ecuación y elige un ejemplo numérico, anotando con detalle el procedimiento para obtener la ecuación.

2. Encuentra la ecuación de la circunferencia circunscrita en el triángulo cuyos vértices son los puntos:

a) A(1, 5); B(7, -1) y C(13, 11) b) A(- 4, -1); B(12, 7) y C( - 10, 11)

3. Selecciona la opción correcta que responda la pregunta: Si una circunferencia tiene su centro en (-2, -2) y pasa por el punto (1, -2), ¿cuál es su ecuación? a) (x-2)2+(y-2)2=3 b) (x-1)2+(y+2)2=3 c) (x+1)2+(y-2)2=9 d) (x+2)2+(y+2)2=9

Bloque V.

65

Referencias:

González, J. (2007). Trigonometría. Retrieved from Ecuaciones de la circunferencia: http://prof-gonzales-trigonometria.blogspot.mx/2007/07/blog-post_5225.htmlmatematicatuya.com (Director). (2011). Ecuación de la circunferencia. Forma canónica [Motion Picture] retrived from: http://www.youtube.com/watch?v=HGYMfv7OW1A Profesor en línea. (2014). Ecuación de la circunferencia. Retrieved from profesor en lÍnea: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circunferencia.htmlProfesor en línea. (2014). Elementos de la circunferencia y del círculo. Retrieved from Profesor en línea: http://www.profesorenlinea.cl/geometria/CirculoCircunfelementos.htmGeogebra. (2014).geogebra.org. Retrived from http://www.geogebra.org/cms/es/


66

Instrumentos de autoevaluación y coevaluaciónCorte II

67

APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONES DE

LA PARÁBOLA

68

En este bloque comenzarás el estudio de la parábola, un lugar geométrico que ya has graficado pero que ahora analizarás sus elementos: foco, vértice, directriz y lado recto. Reconocerás cuando se trata de una parábola horizontal o vertical. Obtendrás sus ecuaciones a partir de estos elementos y también al contrario, obtener sus elementos partiendo de la ecuación, ya sea la general o la ordinaria. Finalmente, podrás entender la importancia que tiene la parábola, pues está relacionada con movimientos de objetos, con la construcción de estructuras y hasta con el simple hecho de cambiar de canal en tu televisión.


- Identifica los elementos asociados a la parábola - Reconoce la ecuación ordinaria y general de la parábola - Aplica los elementos y ecuaciones de la parábola en la solución problemas o ejercicios relacionados con su entorno.


- Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. - Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. - Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. - Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad. - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. - Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. - Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. - Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.


- La parábola. - Elementos asociados a la parábola. - Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen. - Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen. - Ecuación general de la parábola.

APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONESDE LA PARÁBOLA

BLOQUE VI

69

La parábola

Situación didáctica¿Has escuchado de la famosa comba que un jugador puede hacer con el balón? ¿Y qué pasa con el lanzamiento de un balón de futbol americano o en el golf? ¿Y en los clavados? De manera cotidiana hemos escuchado el término parábola: la bola bateada por un jugador de béisbol sigue una trayectoria en forma de parábola hasta llegar al jardinero que la atrapa, el balón de basquetbol sigue una parábola hacia la canasta, la antena de recepción de señal de televisión es de forma parabólica, los faros de un automóvil, los anteojos, y losreflectores que sirven para concentrar la luz o para reflejarla son igualmente parabólicos. De aquí la importancia de analizar esta sección curva que tiene tantas aplicaciones prácticas.

El uso de parábolas en la arquitectura

El arco más simple de mayor resistencia es el de forma parabólica. Esta propiedad ha sido utilizada en arquitectura e ingeniería desde la antigüedad para construir puentes, túneles y acueductos resistentes.

Cómo será posible que el hombre pueda lograr esas formas en la construcción? ¿Qué medidas deben tomar los arquitectos o ingenieros? ¿Cómo trazarían la parábola en papel para hacer el modelo? ¿Cuáles datos son importantes para trazar una parábola?

parámetro p, o distancia focal. El segmento de recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola se le conoce como lado recto y determina la amplitud de ella (ancho focal). El lado recto puede determinarse mediante la expresión: LR = 4p, lo que significa que la longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Podemos definir a la parábola como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco y una recta fija llamada directriz.En la parábola, un punto se mueve en el plano de tal manera que su distancia a la recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.Por definición si el punto P pertenece a la parábola, la distancia de los segmentos PD y PF es la misma, de donde se concluye que la distancia del vértice a la directriz es la misma que del vértice al foco. A la distancia del vértice al foco o del vértice a la directriz, se le conoce

Aplicas los elementos y las ecuacionesde la parábola.

The Gateway Arch en San Luis Missorui, E.U.

Pasillo de una construcción antigua en Europa.

Puente Pía María, en Oporto Portugal.

eje

focolado recto

directrizvértice

D

P

F

V

70

La parábola en el plano cartesiano:

La parábola en el plan cartesiano se puede encontrar con su vértice en el origen o fuera de él, en posición horizontal o vertical, y cada una de sus posiciones determinará su ecuación.Si la parábola tiene su eje de simetría paralelo al eje “x”, sus ecuaciones son:

• Con vértice en el origen: y2 = ± 4 p (x) , considerando que el vértice v(h, k) es v(0, 0).

• Con vértice fuera del origen: (y-k)2 = ± 4 p (x-h) , siendo el vértice de coordenada v(h, k), tomando el signo positivo si se abre hacia la derecha y negativo si se abre hacia la izquierda.

Si la parábola tiene su eje de simetría paralelo al eje “y”, sus ecuaciones son: • Con vértice en el origen: x2 = ± 4 p (y) , considerando que el vértice v(h, k) es v(0, 0)

• Con vértice fuera del origen: (x - 4)2 = ± 4 p (y - k), siendo el vértice de coordenada v(h, k), tomando el signo positivo si se abre hacia arriba y negativo si se abre hacia abajo.

Bloque VI.

eje foco

lado

rect

o

dire

ctriz

vérti

ce

focolado recto

directriz

eje

focolado recto

directrizvértice

lado recto

directriz

eje

D

F

V

71

En todos los casos, estas ecuaciones expresadas en su forma ordinaria, pueden transformarse a su forma general: Cy2 + Dx + Ey + F = 0 para la parábola horizontal, y Ax2 + Dx + Ey + F = 0 para la parábola vertical.

Ejemplos:

1.- Determina el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es x2 = 12y

Solución: Como la ecuación es del tipo x2 = 4 py, significa entonces que la parábola es vertical y abre hacia arriba. Comparando ambas ecuaciones se tiene que 4p = 12, de donde p = 3.

Tanto el foco como la directriz están a una distancia “p = 3” del vértice V(0, 0), por lo que el foco es F(0, 3) y la directriz es y = -3.

2.- Obtén todos los elementos y construye la gráfica de la parábola 2x2 + 8 y= 0.

Solución: La ecuación 2x2 + 8y = 0 la transformamos al tipo x2 = 4 py

de donde lado recto LR = 4p = 4, entonces p = 1

Es una parábola vertical hacia abajo, por lo que el foco se encuentra a “p = 1” distancia hacia abajo del vértice V(0, 0).

Foco F(0, -1), directriz x = 1

F(0,1)

y = 1

2

1

0

-1

-2

-3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


72

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10987654321

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10

Actividad 1: Parábola en el origen. Resolver de manera individual, comprobar en plenaria.

a) Para una parábola con vértice en el origen y cuyo eje de simetría coincide con el eje “x” pasa por el punto (6, 6), encuentra la ecuación de la parábola, coordenada de su foco, ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

b) Determina la coordenada del foco y la ecuación de la directriz de la parábola que tiene como ecuación y2 = 8x . Construye su gráfica.

c) Determina la coordenada del foco y la ecuación de la directriz de la parábola que tiene como ecuación x2 = -20y Construye su gráfica.

Bloque VI.

73

d) El puente Pía María tiene una longitud de 543m y fue construido por Gustavo Eiffel.

Supón que el lado recto de la parábola que describe el puente tiene una longitud de 360 m y que coincide con el ancho del río (esto es, el lado recto coincide con la superficie del agua). Si además, suponemos que la vía del tren es el eje “x”, y que el eje “y” es una línea imaginaria que divide al puente y su arco en dos partes iguales.

1.- ¿Cuál es la ecuación ordinaria que describe la parábola del puente Pía María?

2.- ¿Cuál sería su forma general?

3.- ¿A qué distancia vertical hacia abajo, desde la estructura horizontal (que hace de eje x), estaría el foco de la parábola?

e) Determina ecuación, el lado recto y la ecuación de la directriz de la parábola con vértice en el origen cuyo foco está en el punto F(-5, 0). Además traza su gráfica.

Consulta en la página electrónica las instrucciones para construir un compás parabólico, y contesta las siguientes preguntas.http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Practica/pr-44/PR-44b.htm

a) ¿Cuál es el nombre del conjunto de curvas formado por la elipse, parábola y la hipérbola? b) ¿Qué material utilizaste para realizar el trazo de la parábola? c) ¿Qué requisito debe cumplir la cuerda a utilizar en el trazo de la parábola? d) De acuerdo al trazo realizado, ¿cuál es la propiedad de la parábola que se cumple?

La parábola con vértice fuera del origen: (y-k)2 = ± 4 p (x-h) Parábola horizontal (x-h)2 = ± 4 p (y-k) Parábola vertical


74

Ejemplos:

1. Determina la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los puntos V(-4, 3) y F(-1, 3).

Solución:

2. Encontrar la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta y = - 5, y como foco F(0, 3).

Solución:

Como la directriz y el foco de una parábola se encuentran a la misma distancia del vértice y como se observa en la gráfica, la distancia vértice a directriz es 8 unidades, entonces la distancia vértice foco es p = 4.

Lo primero a considerar es el trazo de los elementos (foco y vértice) en el plano cartesiano, ahí se observa que la distancia foco-vértice es de p = 3. Además que la gráfica es horizontal hacia la derecha por lo que la ecuación a utilizar es del tipo:

(y-k)2 = 4 p (x-h) con vértice (h, k)

Que sustituyendo valores se obtiene la ecuación ordinaria:

(y-3)2 = 4(3)(x-(-4))(y-3)2 = 12(x+4)

Esta ecuación se puede desarrollar para obtener la ecuación general:

(y-3)2 = 12(x+4)y2-6y+9 = 12x+48y2-12x-6y-39 = 0

V(-4,3) F(-1,3)

a

x = -7

D

8

7

6

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

Bloque VI.

75

La gráfica nos muestra una parábola vertical hacia arriba por lo que la ecuación a utilizar es del tipo:(x-h)2 = 4p(y-k) con vértice (h, k) = (0, -1). Que sustituyendo valores se obtiene la ecuación ordinaria:

Actividad 2: Ecuación y gráfica de la parábola. Resolver en binas, para entregar en hojas blancas y a tiempo.

a) Traza la gráfica y determina la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta y – 4 = 0, foco F(-5, 0).

b) Hallar la ecuación de la parábola, así como su directriz y longitud del lado recto, si su vértice está en el punto V(3, 3) y el foco en F(3, 1),

c) Determina la ecuación de la parábola con foco F(2, -3) y directriz en x = 6. Grafica

d) Traza la gráfica de la parábola cuyo vértice está en (-2, 3) y el foco en (-2, 2) y determina su ecuación general.

e) Determina la ecuación ordinaria de la parábola que tiene su vértice V(3, -2), pasa por el punto P(7, 6), y su eje de simetría es paralelo al eje “x”. Traza la gráfica.

f) Traza la gráfica de la parábola con foco en el punto F(4, 1) y vértice en V(2, 1), y determina sus elementos y la ecuación ordinaria y general.

g) Determina todos los elementos de la parábola x2-10x-8y+1 = 0 obteniendo primero su ecuación ordinaria.

(x-0)2 = 4(4) (y-(-1))x2 = 16(y+1)

Esta ecuación se puede desarrollar para obtener la ecuación general:

x2 =16(y+1)x2 - 16y - 16 = 0


76

Heteroevaluación:Lista de cotejo para la actividad el bloque VI



Autoevaluación de desempeños del estudiante en el sexto bloque:


Indicador de desempeño:Identifico los elementos asociados a una parábola.Distingo las ecuaciones de las parábolas verticales y horizontales con centro en el origen.Construyo la gráfica de la parábola al conocer suselementos.Obtengo los elementos de la parábola a partir de sus elementos.Entrego mis actividades con limpieza, orden y en el tiempo que me indica el profesor.

Referencias:

Aula fácil. (2014). Ecuación de la parábola en la forma general. Retrieved from Aula facil: http://cursosgratis.aulafacil.com/matematicas-conicas/curso/Lecc-17.htm

Geoan. (2008). Ecuación de la Parabola. Retrieved from Ecuación reducida de la parábola: http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_parabola.html

Wikipedia.org. (2014). Parábola. Retrieved from wikipedia.org: http://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1bola_%28matem%C3%A1tica%29

Geogebra (2014). Geogebra.org. Retrived from http://www.geogebra.org/cms/es/

Bloque VI.

77

APLICAS LOSELEMENTOS Y LAS ECUACIONES DE LA

ELIPSE

78

El último bloque aborda a la elipse como lugar geométrico. Aquí identificarás los elementos de la elipse, sus ecuaciones con centro en el origen y fuera de él. También identificarás cuando se trata de una elipse horizontal y cuando es vertical. Podrás trazar la gráfica de una elipse a partir de sus elementos o de su ecuación general u ordinaria.


- Identifica los elementos asociados a la elipse. - Reconoce la ecuación ordinaria y general de la elipse. - Aplica los elementos y las ecuaciones de la elipse, en la solución de problemas o ejercicios de su entorno.


- Elipse - Elementos asociados a la elipse - Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes coordenados - Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados - Ecuación general de la elipse


- Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. - Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. - Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez. - Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. - Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad. - Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. - Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. - Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. - Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONESDE LA ELIPSE

BLOQUE VII

79

Aplicas los elementos y las ecuacionesde la eclipse.

La elipse

Desde que el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas, teniendo al Sol en uno de sus focos, y no en órbitas circulares como antes se creía, la elipse empieza a tomar la importancia que le merece. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbita elíptica alrededor del Sol. También los satélites se mueven en órbitas de este tipo.

Muchos engranes, cubiertas y bóvedas en edificios, las bóvedas elípticas tienen la propiedad de que el sonido o la luz que surgen de un foco se reflejan en la bóveda pasando por el otro.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría.

a) ¿En qué otras situaciones u objetos observas elipses en tu vida cotidiana?

Elipse

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano, llamados focos, es siempre igual a una constante.

Por definición PF + PF’ = constantePF + PF’ = 2aSiendo 2a, el eje mayor de la elipse y P un punto cualquiera de ella.Se observa en la gráfica que “2a” es la distancia de vértice a vértice, ya que “a” es la distancia de uno de los vértices al centro de la elipse.

Otros elementos de la elipse:

Se llama semieje menor “b” a la distancia del centro de la elipse al punto (0, b) o al punto (0, - b), lo que determina la distancia b – b’ como el eje menor de la elipse. El eje menor de la elipse es “2b”.

La distancia focal es la distancia entre foco y foco, denominada “2c”, siendo “c” la distancia de un foco al centro de la elipse.

A los valores a, b y c se les llama parámetros de la elipse y se relacionan mediante la fórmula: a2 = b2 + c2 Excentricidad e = c/a

80

Ecuaciones de la elipse con centro en el origen: • Si la elipse está trazada con el eje mayor sobre el eje “x”, es decir, horizontal, su ecuación ordinaria es =1, observando que los vértices V-V’ están sobre el eje “x”.

• Si la elipse está trazada con el eje mayor sobre el eje “y”, es decir, vertical, su ecuación ordinaria es

= 1, observando que los vértices V-V’ están sobre el eje “y”.

• Le ecuación general es Ax2 + By2 + F = 0

Ecuaciones de la elipse con centro fuera del origen:

• Para la elipse horizontal, considerando que el centro es C(h, k) es

• Para la elipse vertical, considerando que el centro es C(h, k) es

• La ecuación general es Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

La mesa elíptica

Un carpintero desea cortar una cubierta de mesa elíptica, de una hoja de madera de 4 x 8 pies, para ello debe trazar la elipse. ¿A qué distancia del centro de la hoja de madera deben colocarse los focos? ¿De qué longitud será el trozo de cuerda que se sujetará a los focos para producir la elipse? ¿Cuál será la ecuación general de la elipse trazada, considerada como de centro en el origen?

Solución:La ecuación de la elipse que corresponde al trazo

en la mesa es

Donde la distancia V-V’ es el largo de la mesa, siendo V-V’ = 2a = 8 pies, de donde a = 4, a2 = 16

B-B’ es el ancho de la mesa por lo que B-B’ = 2b = 4 pies, de donde b = 2, b2 = 4El valor “c” se calcula mediante la fórmula a2 = b2

+ c2

(pies) --Distancia del centro a un foco

La distancia de foco a foco es 2c, entonces 2(3.46) = 6.92 pies.

La longitud de la cuerda corresponde a la propiedad PF + PF’ = 2a, entonces la longitud es 2(4) = 8 pies.

Lado recto =

Bloque VII.

81

Le ecuación de la elipse es

Actividad 1: Consultando el Internet. Realizar en binas.

Consulta en la página electrónica las instrucciones para construir un compás elíptico, y contesta las siguientes preguntas: http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Practica/pr-44/PR-44.htm

a) ¿Qué es una cónica, y cuáles son las curvas que pertenecen a esta familia? b) ¿Qué material utilizaste para realizar el trazo de la elipse? c) ¿Cuál es la propiedad más importante que debe cumplir la elipse para realizar el trazo? d) Muestra al profesor por lo menos dos trazos realizados por este método.

Ejemplos resueltos:

1. Determina la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje mayor igual 8 y eje menor igual a 6, con vértices en eje “x”. Traza la gráfica y calcula todos sus elementos.

Solución: Eje mayor = 2a = 8, de donde a = 4, a2 = 16Eje menor = 2b = 6, de donde b = 3, b2 = 9

Ecuación simétrica: por estar los vértices en eje “x”.

• Ecuación general 9x2 + 16y2 - 144 = 0 45, valor que determina el ancho de la elipse, pasando por los focos.

(Perpendicular al eje de simetría).Vértices: V(-4, 0) V’(4,0),Para determinar focos se calcula distancia focal,

Focos: F(- 2.64, 0), F’(2.64, 0)

2. Determina la ecuación simétrica de la elipse de ecuación 25x2 + 9y2 - 225 = 0, y los elementos necesarios para el trazo de la curva.


82

Solución:

Partiendo de la ecuación 25x2 + 9y2 - 225 = 0, la transformamos a una ecuación simétrica

dividiendo entre 225:

Siempre el valor de a > b, de ahí que a2 = 25, a = 5 y b2 = 9, b = 3, dado que a2 es denominador de y2, entonces se trata de una elipse vertical con vértices V(0, ± 5).

Para calcular focos es necesario calcular “c” mediante la fórmula:

Focos F (0, 4).

Gráfica:

3. Dada la elipse de ecuación 16x2 + 9y2 - 144 = 0, traza la gráfica y obtén sus elementos.

Actividad 2: Ecuación de la elipse. Realizar de manera individual.

1. Un astrónomo busca obtener la ecuación que describe el movimiento de la Tierra alrededor del Sol para configurar un telescopio electrónico que se ajuste a la posición del planeta conforme éste se mueve. Por otro lado, está diseñando una sonda que sea enviada fuera del sistema solar desde la cual se pueda observar el movimiento del planeta.

a) ¿Qué forma tiene la trayectoria que describe el movimiento de la Tierra alrededor del Sol?b) ¿En dónde se ubica el Sol, según la forma de la trayectoria de los planetas?c) ¿Qué datos serán necesarios para construir la ecuación?

2. Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen, foco F(4,0) y vértice V(5,0). Traza la gráfica.

Bloque VII.

83

4. Obtén la ecuación de la elipse con centro en el origen, foco F(0, 3) y eje mayor igual a 10. Traza la gráfica.

5. Obtener la ecuación de la elipse con centro C(0, 0), focos y excentricidad e= . Traza la gráfica.

Elipse con centro fuera del origen

Ejemplo resuelto:

Obtén centro, vértices, focos, lado recto, excentricidad y traza la gráfica de la elipse de ecuación:

Solución:Se trata de una elipse vertical ya que a2 = 9 es denominador de y2, lo que significa que los vértices están en el eje “y”.

Centro C(h, k), entonces C(-2, 1),

a2 = 9, a = 3, vértices V(-2, 4), tres lugares hacia arriba del centro (a = 3) V’(-2, -2) tres lugares hacia abajo del centro

b2 = 4, b = 2, eje menor definido por los puntos (0, 1) y (-4, 1), dos lugares a la derecha e izquierda del centro.

Focos F(-2, 3.24) y F’(-2, -1.24),

2.24 lugares hacia arriba y abajo del centro de la elipse.

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10987654321

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

-10


84

Actividad 3: Obtiene, identifica y grafica elementos de la elipse.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del centro y vértices de la elipse que tiene por ecuación:

=1 ?

2. Obtener la ecuación ordinaria y general de la elipse cuyo centro está en el punto C(-2,3), un foco en el punto F(-6,3) y un vértice en el punto V(3,3) .

3. Dada la ecuación de la elipse =1, identifica las coordenadas de su centro y los vértices.

Traza la gráfica.

4. Traza la gráfica de la elipse con centro C(2, 1), eje menor comprendido entre los puntos (2, 6) y (2, –4) y lado recto LR=25/3. Determina los demás elementos.

5. Traza la gráfica de la elipse =1 y determina sus elementos.

Para el trazo de gráficas y un mejor análisis de las gráficas se recomienda el programa Geogebra.

Para saber más te invitamos a visitar las siguientes páginas de internet: http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html http://www.ditutor.com/geometria_analitica/ecuacion_elipse.html http://www.vitutor.net/1/33.html

La elipse en Internet

En direcciones como las que se proponen a continuación puedes apoyarte para obtener más información sobre las definiciones de:

- Ecuación de la elipse con centro en el origen y fuera de él en forma canónica u ordinaria. - Gráficas de las elipses con centro o fuera del origen. - Sus elementos y, - Ejemplos resueltos y para resolver.

http ://www.geoan.com/conicas/ecuacion_elipse.html http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/La_Elipse.html http://www.educacionplastica.net/zirkel/elipse.html

Bloque VII.

85

Referencias:

Disfruta las matemáticas. (2011). Elipse. Retrieved from Drisfuta las matemáticas: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html

Ditutor. (2010). Ecuación de la Elipse. Retrieved from Ecuación reducida de la elipse: http://www.ditutor.com/geometria_analitica/ecuacion_elipse.html

VITUTOR. (2010). Ecuación de la elipse. Retrieved from vitutor: http://www.vitutor.net/1/33.html

Wikipedia. (2014). Elipse. Retrieved from wikipedia.org: http://es.wikipedia.org/wiki/ElipseGeogebra (2014).Geogebra.org Retrived from http://www.geogebra.org/cms/es/

Autoevaluación de desempeños del estudiante en el séptimo bloque:


Indicador de desempeño:Identifico los elementos asociados con la eclipse.Obtengo la ecuación ordianaria y la general de eclipses horizontales o verticales con centro en el origen.Obtengo la ecuación ordinaria y la general de eclipses horizontales o verticales con centro fuera del origen.Entrego mis actividades con limpieza, orden y en el tiempo que me indica el profesor.

Heteroevaluación:Lista de cotejo para las actividades del bloque VII




Matemáticas III (14-2)

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