Prctica No. 1 Nombre de la Prctica: Anlisis vectorial en tres dimensiones Objetivo especfico. Desarrollar la habilidad para la representacin geomtrica de vectores y sus operaciones en el espacio tridimensional.

Asignatura: Matemticas III Unidad: I. Vectores Objetivo de unidad. El estudiante aplicar las operaciones fundamentales con vectores en resolucin de problemas fsicos y geomtricos.

Introduccin El dominio cognitivo del concepto de vector, sus caractersticas, propiedades y relaciones en los programas educativos de ingeniera tiene dos objetivos fundamentales: por una parte, el propsito es desarrollar la capacidad de abstraccin que le posibilite construir sus habilidades para la modelacin de fenmenos fsicos inherentes a la actividad profesional de la ingeniera; por la otra , el dominio de estos conocimientos tiene el propsito de constituir un fundamento para su aplicacin en la solucin de la problemtica de actividad profesional. La instrumentacin didctica de las unidades de aprendizaje que integran el programa de estudio, sugiere el diseo de una estructura de estrategias de enseanza y de actividades de aprendizaje que posibiliten el logro de los objetivos de cada unidad y del programa. Con frecuencia para lograr el dominio operativo de los algoritmos del lgebra vectorial, se desatiende el aspecto relativo al anlisis e interpretacin de los procedimientos. Este hecho conduce a que el estudiante reduzca la existencia de vectores a slo tres dimensiones, sin considerar el carcter general que tiene la expresin Rn y olvidando que la representacin geomtrica de R2 y R3 son casos especficos, que desde luego revisten una gran importancia para la solucin de problemas de ingeniera. En esta prctica se pretende lograr el objetivo evitando generar el error de considerar que solo existen vectores en tres dimensiones, reafirmando que existen vectores de mayor dimensin pero considerando que solo se puede representar, por medio de coordenadas rectangulares, vectores hasta tres dimensiones. No se acude a software existente para matemticas, ya que si bien son instrumentos de gran utilidad, tambin se sabe que generan una automatizacin que inhibe el inters por dominar el conocimiento. Material y equipo necesario Hojas milimtricas Equipo de dibujo: escuadras, comps, transportador Calculadora (no graficadora) Metodologa 1. Anlisis de la teora que sustenta las actividades del taller 2. Elaboracin de una sntesis del tema por parte del estudiante, previa a la realizacin del taller 3. Induccin de las propiedades de las operaciones 4. Deduccin de relaciones entre las operaciones y su representacin geomtrica

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Sugerencias didcticas 1. Desarrollo de la fundamentacin terica previa al taller 2. Generar problemarios programados de acuerdo con el grado de dificultad y la construccin del tema. 3. Organizar la discusin de los resultados de las actividades y redactar las conclusiones 4. Elaboracin de modelos grficos de los procesos 5. Elaboracin de modelos fsicos (se sugiere que los estudiantes diseen sus modelos y definan los materiales a utilizar) Desarrollo Instrucciones Desarrolle las actividades que a continuacin se expresan en el orden sugerido 1. Defina por comprensin el producto cartesiano de conjuntos MXN si M = {u / u M } y N = {w / w N } 2. Defina por comprensin el conjunto R2 si R es el conjunto de los nmeros reales 3. Defina por comprensin el conjunto R3 si R es el conjunto de los nmeros reales 4. Defina por comprensin el conjunto R5 si R es el conjunto de los nmeros reales 5. Defina por comprensin el conjunto Rn si R es el conjunto de los nmeros reales 6. Grafique 5 pares ordenados en el plano cartesiano considerndolos como coordenadas 7. Grafique 5 pares ordenados en el plano cartesiano considerndolos como vectores 8. Grafique 5 tercias ordenadas en el espacio euclidiano considerndolas como coordenadas 9. Grafique 5 tercias ordenadas en el espacio euclidiano considerndolas como vectores 10. Determine la magnitud de la resultante de las componentes de un vector en tres dimensiones y grafquelos 11. Determine los ngulos que forma la resultante de las componentes del vector anterior con los ejes coordenados. 12. Establezca la relacin entre el vector unitario asociado al vector y las funciones trigonomtricas de los ngulos directores 13. Efecte la operacin S = P + Q + R 14. Grafique la operacin anterior, distinguiendo el procedimiento 15. Analice geomtricamente la operacin vectorial producto punto M N 16. Analice geomtricamente la operacin vectorial producto cruz MXN y como influye en su operatividad 17. Verifique que el vector resultante de la operacin anterior es un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores del producto 18. Verifique que la magnitud de MXN es igual al rea del paralelogramo que definen los vectores del producto 19. Verifique las propiedades del triple producto AXB C Estructura del reporte del estudiante Introduccin Justificacin. El estudiante establecer de acuerdo con su propia

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interpretacin, la aportacin que la prctica tiene para su formacin Objetivo. El estudiante redactar su propia interpretacin del objetivo de la prctica. Alcances y limitaciones. El estudiante definir el nivel de profundidad del trabajo y su contribucin. I. Fundamentacin terica II. Desarrollo de las actividades III. Anlisis de los resultados Conclusiones Bibliografa preliminar Zill Dennis G. Clculo con Geometra Analtica. Grupo Editorial Iberoamrica. Leithold Louis. Clculo con Geometra Analtica. Ed. Oxford (7. Edicin) Marsden J. E. Y Tromba A. J. Clculo Vectorial Ed. Addison-Wesley Iberoamericana Murray R. Spiegel Anlisis Vectorial Ed. Mc. Graw Hill Hwei P. Hsu Anlisis Vectorial Ed. Addison-Wesley Iberoamericana

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Gua de solucin 1. Defina por comprensin el producto cartesiano de conjuntos MXN si M = {u / u M } y N = {w / w N } Solucin: Si M = {u / u M } y N = {w / w N } entonces: MXN = {( u , w) / u M ; w N } 2. Defina por comprensin el conjunto R2 si R es el conjunto de los nmeros reales Solucin: Si R = {x / x R} entonces R 2 = RXR = {( x, y ) / x R; y R} 3. Defina por comprensin el conjunto R3 si R es el conjunto de los nmeros reales Solucin: Si R = {x / x R} entonces R 3 = RXRXR = {( x, y, z ) / x R; y R; z R} 4. Defina por comprensin el conjunto R5 si R es el conjunto de los nmeros reales Solucin: Si R = {x / x R} entonces R 5 = RXRXRXRXR = {( x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ) / xi R} 5. Defina por comprensin el conjunto Rn si R es el conjunto de los nmeros reales Solucin: Si R = {x / x R} entonces R n = {( x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ,... x n ) / xi R} 6. Grafique 5 pares ordenados en el plano cartesiano considerndolos como coordenadas Solucin:

y

A(3,5) B(2,4) C(3,-3) D(-3,4) E(-3,-3)

x7. Grafique 5 pares ordenados en el plano cartesiano considerndolos como vectores 4

Solucin:

yA[35] B[2,4] C[3,-3] D[-3,4] E[-3,-3]

x8. Grafique 5 tercias ordenadas en el espacio euclidiano considerndolas como coordenadas Solucin:

zQ(-4,-5,3) P(-4,3,5)

T(2,-6,5)

y

x

A(3,5) B(2,4) C(3,-3) D(-3,4) E(-3,-3)

yS (4,5,-3) R(6,6,-4)

5

x

9. Grafique 5 tercias ordenadas en el espacio euclidiano considerndolas como vectores Solucin:

T[2,-6,5] Q[-4,-5,3] P[-4,3,5]

S [4,5,-3]

R[6,6,-4]

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10. Determine la magnitud de la resultante de las componentes de un vector en tres dimensiones y grafquelos Solucin:

T =

(Vx ) 2

+ (Vy ) + (Vz )2

2

z

T[2,-6,5]

Vz

Vy Vx

x

y

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11. Determine los ngulos que forma la resultante de las componentes del vector anterior con los ejes coordenados. Solucin: T[2,-6,5] Vz

Vx

Vy

x

y zComo se puede observar, el vector V forma un tringulo rectngulo con el vector Vx y la lnea que une sus extremos, la cual se encuentra en un plano paralelo al plano YZ. Un efecto similar ocurre con sus componentes en y y z por lo que resulta vlido:Cos = Vx V

;

C = os

Vy V

;

C = os

Vz V

A estos cosenos se les conoce como cosenos directores y a los ngulos que involucran se les conoce como ngulos directores 12. Establezca la relacin entre el vector unitario asociado al vector y las funciones trigonomtricas de los ngulos directores Solucin: Como el vector unitario es el vector V dividido entre su magnitud V entonces el vector unitario es:=Vxi +Vyj +Vzk Vx Vy Vz = i+ j+ k = Cos i + Cos j + Cos k V V V V

Es decir, que el vector unitario define la direccin de un vector 13. Efecte la operacin S = P + Q + R Solucin: Si P[4,5,8] ; Q[-4,-8,4] y R[6,6,8] entonces S[(4-4+6),(5-8+6),(8+4+8)] , es decir S[6,3,20] 14. Grafique la operacin anterior, distinguiendo el procedimiento

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Solucin: Considrese un sistema de coordenadas rectangulares y ubquese el primer vector partiendo del origen P[4,5,8] ; Q[-4,-8,4] y R[6,6,8]

15. Analice geomtricamente la operacin vectorial producto punto M N Solucin: o El producto escalar de vectores M N se define como M N = M N C s en donde el ngulo es el que forman los dos vectores. De ah se puede deducir, que cuando el producto es cero, sin que alguno de los dos vectores sea cero, ocurre que el ngulo que forman es de 90 esta condicin permite simplificar la operacin de la siguiente forma: Si M = a1i + a 2 j + a 3 k y N = b1i + b2 j + b3 k entonces M N = ( a1i + a 2 j + a3 k ) ( b1i + b2 j + b3 k ) Al operar cada componente del vector M con cada componente del vector NM N = a1i b1i + a1i b2 j + a1i b3 k + a 2 j b1i + a 2 j b2 j + a 2 j b3 k + a 3 k b1i + a 3 k b2 j + a 3 k b3 k

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Aplicando la definicin para cada trminoM N = a1b1Cos 0 + a1b2 Cos a 3 b1Cos

2

+ a1b3 Cos

2

+ a 2 b1Cos

2

+ a 2 b2 Cos 0 + a 2 b3 Cos

2

+

2

+ a 3 b2 Cos

2

+ a 3 b3 Cos 0

Y como Cos 0 = 1 y Cos

2

=0

entonces el producto queda:

M N = a1b1 (1) + a1b2 (0) + a1 b3 (0) + a 2 b1 (0) + a 2 b2 (1) + a 2 b3 (0) + a 3 b1 (0) + a 3 b2 (0) + a 3 b3 (1) M N = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3

Finalmente se puede observar que el cociente Cos = M N posibilita la determinacin del ngulo que forman los vectores 16. Analice geomtricamente la operacin vectorial producto cruz MXN y como influye en su operatividad X El producto vectorial de vectores MXN se define como M N = M N Sen en donde el ngulo es el que forman los dos vectores. De ah se puede deducir, que cuando el producto es cero, sin que alguno de los dos vectores sea cero, ocurre que el ngulo que forman es de 0 esta condicin permite desarrollar la operacin de la siguiente forma: Si M = a1i + a 2 j + a 3 k y N = b1i + b2 j + b3 k entoncesMXN = ( a1i + a 2 j + a3 k ) X ( b1i + b2 j + b3 k )

M N

Al operara cada componente del vector M con cada componente del vector N

MXN = a1i b1i + a1i b2 j + a1i b3 k + a 2 j b1i + a 2 j b2 j + a 2 j b3 k + a 3 k b1i + a 3 k b2 j + a 3 k

Aplicando la definicin para cada trminoM N = a1b1 Sen 0 + a1b2 Sen a 3 b1 Sen

2

+ a1b3 Sen

2

+ a 2 b1 Sen

2

+ a 2 b2 Sen 0 + a 2 b3 Sen

2

+

2

+ a 3 b2 Sen

2

+ a 3 b3 Sen 0

Y como Sen 0 = 0 y Sen

2

=1

entonces el producto queda:

M N = a1 b1 (0) + a1b2 (1) k + a1b3 (1)( j ) + a 2 b1 (1)( k ) + a 2 b2 (0) + a 2 b3 (1)( i ) + a 3 b1 (1) j + a 3 b2 (1)( i ) + a 3 b3 (0)

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Simplificando y ordenando trminos:M N = a1b2 (k ) + a1b3 ( j ) + a 2 b1 ( k ) + a 2 b3 (i ) + a 3 b1 ( j ) + a 3 b2 ( i ) M N = a 2 b3 (i ) + a 3 b2 ( i ) + a 3 b1 ( j ) + a1b3 ( j ) + a1b2 (k ) + a 2 b1 (k ) M N = [ a 2 b3 a 3 b2 ]i [ a1b3 a 3 b1 ] j + [ a1b2 a 2 b1 ]k

Lo que se puede expresari MXN = a1 b1 j a2 b2 k a3 = b3 a2 b2 a3 b3 a1 b1 a3 b3 a1 b1 a2 b2

i

j+

k

17. Verifique que el vector resultante de la operacin anterior es un vector perpendicular al plano que contiene a los vectores del producto Solucin: Sea R el vector resultante del producto vectorial MXN Como R = [a 2 b3 a 3 b2 ]i [a1b3 a 3 b1 ] j + [a1b2 a 2 b1 ]k al efectuar R M se verificaR M = [ a 2 b3 a 3 b2 ]a1 [ a1b3 a 3 b1 ]a 2 + [a1b2 a 2 b1 ]a 3 en donde al hacer las

correspondientes simplificaciones algebraicas el resultado es cero, y como ninguno de los dos vectores es cero, entonces los vectores son perpendiculares. Este mismo anlisis se puede verificar usando el vector N en lugar del M. 18. Verifique que la magnitud de MXN es igual al rea del paralelogramo que definen los vectores del producto Analizando los valores absolutos de la operacin se puede observar lo siguiente: |N|

h |M|

En la figura el rea del paralelogramo es A = bh ; La base es la magnitud del vector M e La altura es h = N S n A =b = M N S n y como se observa es la definicin de la h e Entonces el rea es operacin MXN 19. Verifique las propiedades del triple producto AXB C

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