Matemáticas 3 Matemáticas 3 - forosecundariasep.com.mx · • Cambios de signo 27 • Productos...

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MatemáticasMatemáticas 3

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Eduardo Mancera Martínez

Matemáticas 3

El libro Matemáticas 3 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Clemente Merodio López.

1

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 3 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D. R. © 2007 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-2077-9Primera edición: abril de 2008

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

Edición:José Luis Acosta

Colaboración:Claudia Navarro Castillo, Javier Esquivel

Coordinación editorial:Armando Sánchez Martínez

Revisión técnica:Raúl Zamora, José Luis Córdova Frunz

Corrección de estilo:José Luis Acosta, Alberto de la Fuente

Diseño de interiores:José Luis Acosta

Diseño de portada:Francisco Ibarra Meza

Ilustración:Sergio Bourguet, Eliud Monroy,Abelardo Culebro Bahena, Augusto Mora, Astrid Stoopen, Naandeyé García

Diagramación:Sergio Bourguet, Eliud Monroy, Cristóbal Henestrosa, Martha Covarrubias, Astrid Stoopen, Naandeyé García

Editor en Jefe de Secundaria:Roxana Martín-Lunas Rodríguez

Gerencia de Investigación y Desarrollo:Armando Sánchez Martínez

Gerencia de Procesos Editoriales:Laura Milena Valencia Escobar

Gerencia de Diseño:Mauricio Gómez Morin Fuentes

Coordinación de Arte y Diseño:Francisco Ibarra Meza

Coordinación de Sistemas Electrónicos:Victor Manuel Vallejo Paquini

Fotomecánica electrónica:Gabriel Miranda Barrón, Manuel Zea Atenco, Benito Sayago Luna

El libro Matemáticas 3 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

2

Originalmente ateneo significaba institución literaria o científica. La palabra viene del griego Athenaion, que era el templo de Atenea en Atenas, donde los poetas, oradores

y filósofos compartían sus obras. En la Roma antigua, el ateneo era el lugar destinado al estudio de las artes y las técnicas. Por extensión, en la actualidad ateneo significa institución donde se cultiva el conocimiento y el aprecio de las artes.

Atenea era la diosa griega de la paz, la serenidad, la inteligencia y la sabiduría. Su imagen representaba, entre otras cosas, la prudencia. De ahí que la palabra ateneo hasta nuestros días se asocie con el progreso intelectual y espiritual del ser humano.

Si entendemos la educación como arte moral, razonamiento científico y sabiduría práctica que extiende los límites de la libertad y permite a las personas enriquecerse y enriquecer a quienes las rodean, entonces, el objetivo de la serie Ateneo seguirá siendo transformar a las personas para que ellas transformen el mundo de manera favorable.

Desde los primeros ateneos se sabía que el ser humano nunca está completamente hecho, sino en continua marcha, perfeccionándose de un modo inacabable. El sujeto de la educación es una construcción por hacer, para alcanzar más altos niveles de existencia y satisfacer todas las necesidades de su espíritu.

Sin embargo, la persona se perfecciona en comunidad; se ve en sus semejantes y en ellos y con ellos descubre su destino. Al mismo tiempo, la comunidad social también se perfecciona en el respeto del individuo. La valoración de la persona es indispensable para equilibrar las partes con el todo.

El presente libro de la serie Ateneo tiene como objetivo ofrecerte oportunidades para la construcción del conocimiento matemático, de acuerdo con los planes y programas de estu-dio vigentes. Se apoya el libro en secuencias didácticas obtenidas de diversas fuentes como la historia de la disciplina y algunos resultados de la investigación y desarrollo educativo, ade-más de que se fomenta el trabajo colegiado con tus compañeros.

Para tu maestro este libro ofrece una herramienta de trabajo flexible, con la información básica para cultivar el conocimiento matemático y el aprecio por esta asignatura. Por lo mis-mo, en el desarrollo de los contenidos se recuperan prácticas del Ateneo, consideradas tam-bién en los planes y programas de estudio de la asignatura de matemáticas para la educación secundaria, como son la reflexión, la formulación de argumentaciones y la exploración de di-ferentes vías para aproximarse al conocimiento y resolver problemas.

El enfoque planteado recupera las experiencias en la resolución de problemas, el trabajo colegiado e induce la reflexión sobre temas nodales de la asignatura. También se adelanta a prever la generación de errores a partir de preguntas frecuentes y actividades formuladas para ese propósito.

En la medida en que tú estudies y te prepares, serás más capaz de elegir quién quieres ser y de transformar favorablemente el mundo en que te tocó vivir. Por ello, en este texto de la serie para la educación secundaria, queremos revivir el espíritu del Ateneo y participar con estos materiales en una formación que te permita alcanzar las metas que te fijes como ser humano y como ciudadano de un país que necesita personas como tú, en un mundo cuya complejidad exigirá que siempre estés muy preparado y atento.

La inauguración de una nueva escuela, como promueven las más recientes tendencias edu-cativas, es una excelente oportunidad para avanzar en lo antes expuesto, así que, bienvenido al ateneo.

Presentación

3

1 Las letras se multiplican 12• Símbolos o palabras 14 • Letras y números que quieren

multiplicarse 15• Los rectángulos y las letras

que se multiplican 23• Cambios de signo 27• Productos notables 28

2 Rompecabezas algebraicos 34• Letras que se desmultiplican 36

3 Triángulos en cuadriláteros 42• Triángulos congruentes 44• Curiosidades sobre triángulos

con lados congruentes 47• Propiedades de cuadriláteros 53

4 Entre rectas y circunferencias 60

• De secantes a tangentes 62

5 De ángulos y circunferencias 68

• Nuevos nombres 70• Relación entre ángulos

centrales e inscritos en una circunferencia 70

• Triángulos inscritos 74

6 Arcos y coronas, pero… no para una reina 78

• Coronas, sectores y segmentos circulares 80

7 Las razones del cambio 88• Cambio en tiempo 90

8 Exploraciones en la información 100

• Una investigación de campo 102

9 Cuadrados y cubos en las ecuaciones 110

• Las ecuaciones según al-Jwarizmi 112 • Calcular un cuadrado es construir

un cuadrado 113• ¿Calcular cubos con cuadrados? 114• Conocida el área de un

cuadrado, ¿se puede obtener la longitud de su lado? 115

• Para quedar de acuerdo en algunos términos 118

• Ecuaciones con términos cuadráticos o cúbicos 120

10 El mundo de las cuadráticas 126• De cuadráticas a productos

de dos factores 128• Cuadrados y raíces iguales 130• Cuadrados incompletos 132• Aplicaciones de las ecuaciones

de segundo grado 139

11 De triángulos chicos a grandes y de grandes a chicos 144

• Ampliaciones y reducciones 146• Convenciones para establecer

la semejanza de triángulos 147• Dibuja, mide y compara 149

12 Criterios de semejanza a partir de los lados 154

• Criterio LLL 156• Criterio LAL 158

13 Semejantes polígonos o polígonos semejantes 166

• Más lados, ¿misma semejanza? 168

14 Mediciones indirectas 174• Errores en las mediciones

indirectas 176

15 Lo que indican los índices 180• Números que indican 182• Indicadores e índices 182

16 Como que es, pero no es… 188• Simular la probabilidad 190

21

4

Contenido BloqueBloque

17 Dependencia entre variables 198

• Los teoremas de Tales de Mileto 200• Funciones y fotocopias 201• Una función conocida 202

18 Haciendo la vida de cuadráticas 208

• La fórmula general 210• Terrenos y cuadráticas 216• Autobuses y cuadráticas 216

19 Tales proporciones 220• Rectas y proporciones 222• Una aplicación conocida

y el teorema de Tales 226

20 ¿Qué es la homotecia? 232• Homotecias adelante y atrás 234

21 Lo que no cambia… en las homotecias 240

• Cosas que no cambian a pesar de los cambios 242

• Va de nuez, homotecias repetidas 245

22 Comportamientosrectos y no tan rectos 250

• Recipientes y modelos matemáticos 252

• Modelos y sus curvas 255

23 Dime cómo es tu forma algebraica y te diré quién eres 260

• Cuatro funciones fundamentales 262• Gráficas que se estrechan

y alargan 263• Que sube y que baja 271• Para adelante y para atrás 273• Las distintas caras de las parábolas 277• ¿Qué dicen las canónicas? 278• ¿Qué dicen las generalas? 279• ¿Qué dicen las rectas

de las parábolas? 280

24 Los mensajes ocultos en las gráficas 284

• Gráficas con segmentos de rectas 286

25 ¿Quién genera a los números? 294

• Pitágoras, el fundador 296• Ecuaciones y sucesiones 297• Quien no se arriesga… 298

26 Teorema de Pitágoras 304• De cómo dos cuadrados llenan

un cuadrado 306• Recíproco del teorema

de Pitágoras 309

27 Las razones de los triángulos rectángulos 314

• Razones constantes 316• Las razones del seno, coseno

y tangente 318

28 Cálculo de lados mediante razones 326

• Empleo de las razones trigonométricas en el cálculo de los lados 328

29 Encontrar medidas sin medir 332• Aplicación de la trigonometría

en mediciones 334

30 ¿Cómo se mide el crecimiento? 338

• Crecimiento aritmético o lineal 340• Crecimiento geométrico

o exponencial 343

31 Mismo fenómeno, distintos datos 348

• Representaciones diferentes, nueva información 350

32 Sácale jugo a los problemas 360• Arquitectura y geometría 362• Varios caminos conducen

a Roma 363• En realidad… ¿cuántos

problemas se resolvieron? 365• Variaciones sobre un tema

conocido 367

33 La danza de las figuras 372• Giros y traslados 374• Si doblas, ¿qué ocurre? 376• Si cortas, ¿qué ocurre? 380• ¿Y las medidas de los cortes? 382

34 ¿Cómo calcularás volúmenes de conos y cilindros? 386

• Historia de pirámides y prismas 388• Cilindros y conos parientes

de prismas y pirámides 389• Historias reales 389

35 Conociendo más de los conos y cilindros 392

• Si el radio es fijo… 394• Si la altura es fija… 396

36 ¿Usar bigotes para analizar datos? 402

• Un intento sin bigotes 404• Ahora con mostacho 405• A mover el bigote 408

Bibliografía para el maestro 412

Fuentes utilizadas para la elaboración de la obra 412

3 4 5

5

Bloque Bloque Bloque

En este índice se muestra la correlación entre los temas del nuevo programa de estudios, organizados en tres ejes principales, y las lecciones donde se desarrollan dichos temas en la obra.

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico

TEMA Subtema Lección Página

Significado y uso de las operaciones Operaciones combinadas

1 12

2 34


Significado y uso de las literales

Patrones y fórmulas 25 294

Ecuaciones

9 110

10 126

18 208

32 360

Relación funcional 17 198

Eje Forma, espacio y medida


Formas geométricasRectas y ángulos

4 60

5 68

Cuerpos geométricos 33 372

Figuras planas 3 42

Semejanza

11 144

12 154

13 166

14 174

19 220

6

Índice temático


Medida

Estimar, medir y calcular

6 78

26 304

27 314

28 326

29 332

35 392

Justificación de fórmulas 34 386


TransformacionesMovimientos en el plano

20 232

21 240

Eje Manejo de la información


Análisis de la información Noción de probabilidad 16 188

Porcentajes 15 180


Representacìón de la información

Gráficas

7 88

8 100

22 250

23 260

24 284

30 338

31 348

Medidas de tendencia central y de dispersión 36 402

7

En cada entrada de bloque se incluyen los propósitos señalados en los programas de estudio, resaltando la importancia de éstos para el estudiante.

Entrada de bloque

Entrada de lección “Algo de lo que me enseñaron”Las entradas de lección se componen de tres apartados:

• Mis Retos informa al estudiante los conocimientos que se espera que adquiera o amplíe al terminar la lección.

• ¿Qué sé? recuerda al estudiante los contenidos trabajados en cursos anteriores que están relacionados con el desarrollo de la lección que inicia.

• ¿Qué lograré aprender? plantea cuestiones específicas al estudiante que lo ayudarán a determinar su dominio de los contenidos al terminar la lección.

“Algo de lo que me enseñaron” propone actividades sobre contenidos que es conveniente tener claros antes de abordar los temas de la lección. También sirve como evaluación diagnóstica.

En este bloque:

Efectuarás algunos cálculos que impliquen transformar expresiones algebraicas en otras equivalentes.

Justificarás algunas propiedades de figuras geométricas aplicando los criterios de congruencia de triángulos.

Encontrarás la solución de problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia.

Resolverás problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente.

Bloque 1“La frase más excitante que se puede oír en

ciencia, la que anuncia nuevos

descubrimientos, no es ‘¡Eureka!’ (‘¡Lo

encontré!’), sino ‘Es extraño…’ ”

Isaac Asimov

10 11

Mis retos Abordarás otras maneras de asegurar la semejanza de dos triángulos

a partir de la revisión de algunos elementos de dos triángulos, como

algunos lados o ángulos.

Determinarás las correspondencias que deben establecerse entre

los vértices para identificar partes homólogas y poder establecer la

semejanza de triángulos.

¿Qué sé? Ya conoces cómo operan los criterios de congruencia de triángulos

En la lección anterior revisaste el criterio de semejanza AAA, el cual

puede denotarse como AA también.

También conociste como reconocer las partes homologas para

establecer la proporcionalidad de los lados y la igualdad de ángulos.

¿Qué lograré aprender? Determinarás otros criterios para establecer la semejanza de

triángulos.

Analizarás las relaciones que puedes establecer entre lados y

ángulos de dos triángulos a fin de encontrar los elementos que son

necesarios para asegurar la semejanza de dos triángulos.

12Criterios de semejanza a partir de los lados

1 Dados los siguientes triángulos semejantes estable una correspondencia

entre sus vértices para determinar los ángulos congruentes de un triángulo

con los del otro triángulo y la proporcionalidad entre los lados.

2 ¿Habrá algún tipo de triángulo para el cual cualquier correspondencia entre

los vértices sería la adecuada para establecer la semejanza entre dos triángu-

los de ese tipo?

3 ¿Habrá algún tipo de triángulo para el cual a lo más dos correspondencias

entre los vértices serían las adecuadas para establecer la semejanza entre dos

triángulos de ese tipo?

4 Dados los datos considerados en los triángulos, encuentra los demás datos

faltantes para tener todas las medidas de sus ángulos y la longitud de sus

lados:

F

AD

E

C

B

FA

D

E

C

B

(b)(a)

3.18 cm

6.62 cm

20.11 cm

2.19 cm

5.74 cm

11.42 cm

8.38 cm

35

20.9

35

(b)

(a)

154 155

ALGO DE LO QUE ME ENSEÑARON

8

Estructura de la obra

Secciones particulares

Desarrollo de lección

Cada contenido planteado en el programa de estudios constituye un tema o subtema de la lección, los cuales se resaltan para su mejor identificación.

Este apartado, específico de la primera lección de cada bloque, explora algunas situaciones didácticas indicadas en los planes y programas de estudio.

Apertura de lección

“Para curiosos” es una sección que invita a los estudiantes a trabajar en equipo para buscar respuestas a preguntas frecuentes sobre el tema tratado, lo cual los involucra en situaciones que los ayudan a desarrollar su pensamiento crítico.

Para curiosos

“En el ateneo” es un espacio dedicado al planteamiento de actividades que se re comienda que el alumno realice en grupo para posteriormente redactar en su cuaderno las respuestas y los procedimientos para llegar a ellas. Aquí también se invita a la reflexión y se hace hincapié en las partes operativas cuando se considera necesario. En esta sección hay algo más que solamente “ejercicios”.

EN

EL ATENEO

Para una mejor comprensión de las técnicas algebraicas que usamos en la actualidad conviene echar una mirada al pasado. Podemos preguntar-nos, por ejemplo, ¿qué procedimientos cono-cían los antiguos para resolver ecuaciones, antes de que se inventaran las técnicas que ahora usamos, y antes del surgimiento de la notación moderna?

Un trabajo precursor en este sentido fue el del ma-temático y astrónomo persa Mohammed ibn Musa al-Jwarizmi, quien alrededor del año 820 de nuestra era ideó un sistema que consistía en reducir cual-quier ecuación de primer o segundo grado a una de seis formas básicas posibles, para las cuales estable-ció métodos específicos de resolución, siempre ba-sados en el uso de construcciones geométricas.

Así pues, vamos resolver la ecuación x2 x 1 0 siguiendo los pasos de al-Jwarizmi. Comencemos por reducirla a una de las formas básicas, para evi-tar el uso de coeficientes negativos, de esta manera: x2 x 1. A partir de aquí procedemos geométri-camente para hallar la solución. La ecuación ante-rior podemos escribirla como

x2 4 14 x 1.

El área de la figura asociada es igual a 1. Vamos a completar la figura para

convertirla en un cuadrado, añadiendo 4 pequeños cuadrados en sus extremos, cada

uno de ¼ de lado.

El área del nuevo cuadrado será

1 4 14

2 1 4

116 1

14

54 1.25.

¿Qué longitud tendrá un lado de ese cuadrado?, esto es, ¿qué número multiplicado por sí mismo da 1.25? Para saberlo, extraemos su raíz cuadrada y ob-tenemos que es aproximadamente 1.118.

Ahora bien, por la figura B también sabemos que la longitud de dicho lado puede expresarse como x 0.25 0.25 x 0.5, con lo que se llega a la igualdad

x 0.5 1.118.

Habiendo transformado así nuestra ecuación ori-ginal, aplicamos el procedimiento de reducción de al-Jwarizmi para obtener el valor de x:

x 0.618.

Las ecuaciones

segúnal-Jwarizmi

x2

¼ · x

¼ · x

¼ ·

x

¼ ·

x

¼

¼

x

Figura A

x2

x¼ ¼

¼ · x

¼ · x

¼ ·

x

¼ ·

x

¼

x

¼

Figura B

112

En un viaje en automóvil observas que el marcador de kilometraje indica 65 243 cuando el reloj marca las 15:00 hr y posteriormente, a las 17:00 hr, el kilometraje es de 65 423.

Si sabes que la velocidad de tu recorrido se mantuvo constante, lo podrías graficar como se muestra en la figura 1.

Así pues, partiendo de dicha suposición, ¿cuál es la razón de cambio del movi-miento del automóvil en el intervalo de tiempo que va de las 15:00 a las 17:00 horas? La obtendrás mediante el cociente de la distancia recorrida entre el tiempo em-pleado:

Distancia (km)Tiempo (horas)

.

¿Cuál es la razón de cambio en el intervalo de las 15:00 a las 16:00 horas? ¿En el de las 15:30 a las 16:45 horas?

¿Cuántos kilómetros recorre el automóvil cada media hora?

Si en un plano cartesiano trazas la recta que pasa por los puntos dados de la gráfi-ca de la figura 1, ¿qué valor tendría su pendiente? ¡Encuentra la expresión algebraica correspondiente a la recta!

y x .

Se están poniendo a prueba tres materiales como aislantes térmicos para ser utili-zados en techos de construcciones. Se desea saber si alguno de ellos se calienta más conforme pasa el tiempo.

Figura 1

15:00 17:00Tiempo(horas)

Distancia(km)

65 423

65 243

Movimiento del automóvil

65 450

65 400

65 350

65 250

65 200

65 150

91

LECCIÓN 7 LAS RAZONES DEL CAMBIO

Al final de cada lección se incluyen las siguientes dos secciones:

“Demuestro lo que sé y hago”

Es una evaluación sumaria en la que se integran los diversos contenidos estudiados en la lección. El maestro encontrará aquí actividades con las cuales puede plantear tareas o construir exámenes de acuerdo con sus necesidades.

“Conéctate”

Esta sección presenta opciones de consulta en Internet o en libros que permiten profundizar en algunos contenidos.

Considerando que los contenidos de Internet cambian o desaparecen sin previo aviso, las direcciones que se ofrecen sólo son un ejemplo de lo que se puede encontrar en este medio de información. Se recomienda utilizar un “motor de búsqueda” para hallar otras páginas sobre el tema de interés.

Por otra parte, aun cuando algunas referencias bibliográficas que se sugieren son publicadas por editoriales extranjeras, son parte de las fuentes que se pueden obtener en idioma español y se han detectado en bibliotecas de varias instituciones o en librerías.

Se pueden obtener artículos sobre la enseñanza y el aprendizaje de la matemática en revistas especializadas, como las incluidas en el índice de revistas de excelencia sobre investigación del conacyt . También se cuenta con revistas digitalizadas de distri bución gratuita, como la revista Uno, y otras publicaciones periódicas en hemerotecas de servicio gratuito en línea, como Redalyc.

9

Bloque 1“La frase más excitante que se puede oír en

ciencia, la que anuncia nuevos

descubrimientos, no es ‘¡Eureka!’ (‘¡Lo

encontré!’), sino ‘Es extraño…’ ”

Isaac Asimov

10

En este bloque:

Efectuarás algunos cálculos que impliquen transformar expresiones algebraicas en otras equivalentes.

Justificarás algunas propiedades de figuras geométricas aplicando los criterios de congruencia de triángulos.

Encontrarás la solución de problemas que impliquen relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia.

Resolverás problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente.

11

Mis retos En esta lección vas a deducir y utilizar un conjunto de fórmulas que

te permitirán obtener con soltura productos de multiplicaciones

(algebraicas y numéricas) que se presentan con suma frecuencia.

Para ello utilizarás representaciones geométricas asociadas al

producto de números.

¿Qué sé? En el curso anterior aprendiste a sumar y restar algunas expresiones

algebraicas de la forma ax + b. Para ello, utilizaste algunas

representaciones geométricas que te ayudaron a determinar los

procedimientos para llevar a cabo operaciones con este tipo de

expresiones.

En algunas ocasiones las literales denotaron números

supuestamente conocidos, mientras que en otras (ecuaciones de

primer grado) denotaron números desconocidos que se deseaba

determinar. De esta manera ampliaste tus conocimientos sobre el

manejo de las literales.

¿Qué lograré aprender? Interpretarás las literales en las expresiones algebraicas como

números cuyo valor no se especifica, y realizarás operaciones con

dichas expresiones.

Explorarás algunos procedimientos para realizar multiplicaciones de

expresiones algebraicas como (x + a)2, (x + a)(x + b) o (x + a)(x - a), y

simplificarás los resultados.

1 Las letras se multiplican

12

1 Encuentra los términos o factores que faltan en las siguientes expresiones.

• 3 ¥ = - 12 • 5 ¥ = -15x • 1

3 ¥ = -4

• 5 + = -7 • 4 + = -7x • - 1

2 + = -

1

5

• 2.6 ¥ = -8.32x • 0.7x ¥ = -0.3x • 3

4 ¥ = -

5

8 x

• -5x + (2 ¥ ) = -7x • 2

5 x + = -

3

7 x • -

1

2 x + = -

4

9 x

2 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba tus resultados.

• 5x - 3 = -7 • 1

5 x - 3 = -

2

3 x + 5 • 2.3x + 4.2 = -3.2 + 5.1x

• 4

7 -

2

7 x = -

2

5 •

1

5 - 0.4w = -3 •

3

4 u -

1

4 = -

3

2 u +

1

2

3 Proporciona ecuaciones de primer grado cuyas soluciones sean las que se

indican.

• x = -3 • r = 2.2 • y = 2

3 • m = 4

4 Dadas las siguientes expresiones algebraicas, encuentra una expresión que

satisfaga la igualdad.

• 2x2 - 5x + 1 + = x2 + 3 • -u2 - 3u - 4 + = -4u + 3

• -5p2 - 7p - 3 + = 6p2 + 3p - 5 • 1

2 y2 +

1

4 y +

1

3 + = y2 + y - 1

• 2.3w2 - 4.3w + 1.7 + = 5.2w2 + 1.7w - 2

5 Con las piezas que se muestran forma un rectángulo y encuentra su área

multiplicando la longitud de sus lados y sumando las áreas de las partes.

4 cm

4 cm

4 cm

1 cm

1 cm

1 cm

13


Es decir, desarrolla la solución a manera de texto: no puedes referirte a “x”, tienes que darle un nombre como “la cosa”, y no puedes usar términos como “más” o “menos” sino “añadir” o “quitar”; tampoco puedes usar la palabra “igualdad”, en vez de ella te debes referir a “el resultado es”.

También elabora un texto para indicar como resolver la ecuación -3x + 7 = 2.

¿Qué puedes concluir del experimento anterior? Discútelo con tus compañeros. ¡Disfruta unos minutos en la antigüedad! Pero ¡no te quedes ahí!

Símbolos o palabras

Distintas representaciones de la incógnita de una ecuación

Notación actual Diofanto Brahmagupta Leonardo Pisano Pacioli Bombelli

x V ya cosa (o chosa) co 1

x2 DU va censo ce o Z 2

x3 KU gha chubo cu o C 3

x4 DUD vava censo di censo ce ce 4

x5 DUK ghagha chubo di censi pº rº 5

Ya sabes que las letras no solamente sirven para construir palabras, también se han usado para representar números. Pero eso no sucedió de un momento a otro, fue el resultado de un largo proceso.

En la Grecia antigua, Diofanto de Alejandría fue uno de los primeros matemáticos en hacer uso de una notación especial para las expresiones matemáticas. Por ejemplo, en su tratado Aritmética introdujo el uso de determinadas letras griegas para representar la incógnita de una ecuación y sus potencias. En la siguiente tabla puedes observar una relación comparativa entre dicha notación de Diofanto y la que emplearon para el mismo propósito matemáticos de épocas posteriores.

Organízate con tus compañeros para responder las siguientes preguntas:

• ¿Quiénes fueron Diofanto, Brahmagupta, Leonar do Pisano, Pacioli y Bombelli?

• ¿En qué época vivieron? • ¿Cuáles fueron sus principales contribuciones

matemáticas?

En la tabla anterior también podrás notar que las incógnitas no siempre se expresaron mediante símbolos, sino también con palabras, de tal modo que en estos casos los procedimientos algebraicos cobraban prácticamente la apariencia de textos.

Intenta con tus compañeros un experimento. Resta 2x - 3 de 5x + 4, como lo haría un calculista antiguo.

14

BLOQUE 1

Letras y números que quieren multiplicarse

En el curso anterior se realizaron algunas operaciones de multiplicación de expresiones algebraicas.

Es posible relacionar operaciones de multiplicación de expresiones algebraicas con algunos arreglos de figuras geométricas sencillas. Para ello, utilizaremos la serie de piezas que se muestran en la figura 1, y que puedes elaborar con diferentes materiales. Recorta varias piezas de cada elemento mostrado utilizando las medidas que se indican.

A cada tipo de pieza asociaremos una expresión, como se muestra en la figura 2. Las piezas de color azul tendrán asignado un valor positivo y las de color amarillo un valor negativo.

Bajo estas convenciones, al juntar tres rectángulos azules y dos cuadrados azules, tendrías un arreglo como el de la figura 3, al cual es posible asociar una expresión algebraica. Escríbela completando los espacios en el texto bajo la figura.

x + .

Cuando se utilizan piezas que representan valores negativos la expresión algebraica puede derivarse de varias maneras. Por ejemplo, a la configuración de la figura 4 se le pueden asociar dos expresiones equivalentes. Anótalas.

x + ( ), o bien x - .

1 cm3.3 cm

1 cm1 cm

1 cm3.3 cm

1 cm1 cm

Figura 1

x 11x

Figura 2

Figura 3

Figura 4

15

LECCIÓN 1 • LAS LE t R A S S E M U Lt I p L I C A N

Lo anterior conduce a la siguiente igualdad algebraica:

x + ( ) = x - .

Modifiquemos los colores de la configuración anterior, usando esta vez tres rectángulos amarillos y dos cuadrados azules (figura 5). Completa bajo la figura las expresiones simbólicas correspondientes.

( x) + , o bien - x + .

Así pues, se puede afirmar que ( x) + = - x + . Otro arreglo posible es el de tres rectángulos amarillos y dos cuadrados amarillos,

como se ve en la figura 6.

( x) + ( ), o bien - x - .

Escribe sus posibles representaciones algebraicas, así como la igualdad correspondiente: ( x) + ( ) = - x - .

Trabajemos ahora con las piezas para analizar la multiplicación de expresiones algebraicas. Observa el arreglo de la figura 7 y escribe su representación algebraica.

x + .

Si se añaden tantas piezas como las que se tenían (figura 8), ¿cuál sería la expresión algebraica correspondiente al nuevo arreglo de cuatro piezas?

x + .

Observa que también puedes acomodar esas mismas cuatro piezas formando un rectángulo como el de la figura 9, cuyas dimensiones (base y altura) aparecen ahí indicadas.

2

x 1

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

16

BLOQUE 1

Entonces el área de dicho rectángulo se puede expresar con números y literales de la siguiente manera:

(x + ).

Así, tenemos dos expresiones algebraicas asociadas a la misma configuración de piezas, con lo que podemos establecer la siguiente igualdad:

x + = (x + ),

que también se puede escribir así:

(x + ) = x + .

Esto se ilustra en la figura 10.

es lo mismo que

es lo mismo que

Discute con tus compañeros lo siguiente.

¿Se puede afirmar que 6(x + 1) = 6x + 6 ó que 6(x + 1) = 6x + 1? ¿Las dos expresiones

son correctas? ¿Por qué?

¿Cuál es la expresión correcta: 4(x + 5) = 4x + 20 ó 4(x + 5) = 4x + 5? ¿Por qué?

¿Cuál de las tres expresiones es correcta y por qué?

• -5(x + 7) = -5x - 35

• -5(x + 7) = -5x + 7

• -5(x + 7) = -5x - 7

Si se utilizan fracciones o decimales u otras letras, ¿cómo se procede? Escribe una

expresión equivalente a cada una de las siguientes:

• 2

3 (2t - 1) • -

3

4 S-

1

5 u +

4

5 D

• -0.33 (0.45z + 0.5) • -0.75 S1

5 r + 4D

Para curiosos

Figura 10

17


¿Cuáles serían las expresiones algebraicas asociadas a los arreglos de las figuras 11 a 14? ¿Qué igualdades se pueden establecer con ellas?

Se puede representar la multiplicación por un número negativo mediante un cambio de color de las piezas empleadas.

Con ayuda de tus compañeros realiza las siguientes operaciones con y sin signo negativo en el primer factor. Apóyate en las correspondientes representaciones con piezas de las figuras 15 a 17.

x + = ( x + ), o también: ( x + ) = x + .

B

=

x + = ( x + ), o también: ( x + ) = x + .

C

=

x + = ( x + ), o también: ( x + ) = x + .

A =

x + ( ) = [ x + ( )], o también: [ x + ( )] = x + ( ).

D

=

Figura 11

Figura 12

Figura 13

Figura 14

18

BLOQUE 1

Plantea con tus compañeros otros ejemplos parecidos a los anteriores y escribe cómo

realizarías una operación como las que se han visto hasta ahora, pero sin usar las pie-

zas, solamente con símbolos.

Por ejemplo, en los siguientes casos, ¿qué instrucciones escritas le darías a un compa-

ñero para que realice la operación indicada?

• 2(3x + 5) • 3(x - 7) • -5(2x + 4) • -(x + 9)

Discute con tus compañeros lo que sucedería si hubiera cantidades decimales impli-

cadas. ¿Cómo se resolverían las siguientes multiplicaciones?

• 4(3.12x + 1) • -2(12.3x - 2.7) • 6 S- 3

5 x +

2

7 D

Las instrucciones que redactaste en la primera pregunta, ¿sirven para resolver las

operaciones anteriores? Si no es así, ¿cómo las modificarías?

Para curiosos

Figura 15

2(-x + 1) = -2(-x + 1) =

Figura 16

3[-2x + (-3)] = 3(-2x - 3) = -3[-2x + (-3)] = -3(-2x - 3) =

Figura 17

4[5x + (-7)] = 4(5x - 7) = -4[5x + (-7)] = -4(5x - 7) =

19


La expresión a(x + b) = ax + ab puede ser útil para realizar cálculos numéricos también. Por ejemplo, calcula mentalmente la operación 4 ¥ 67, anota los resultados y compáralos con los de tus compañeros. ¿Recurrieron todos al mismo procedimiento?:

¥67

4268

En este caso es más fácil multiplicar mentalmente 4 ¥ 60 = 240 y 4 ¥ 7 = 28 y sumar los resultados: 240 + 28 = 268.

Discute con tus compañeros cómo se aplica en este último procedimiento la expresión a(x + b) = ax + ab.

El procedimiento que hemos venido analizando podemos expresarlo de manera general como “la multiplicación de un número cualquiera por la suma de dos números cualesquiera”, el cual representamos simbólicamente con:

a ¥ (x + b),

en donde a, x y b representan números cualesquiera.Con esta notación podemos ver que las igualdades que hemos construido,

con el apoyo visual de las piezas, son el desarrollo de dicha multiplicación, la cual podemos expresar como

a (x + b) = a ¥ x + a ¥ b.

Cuando no haya confusión pueden omitirse los signos de multiplicación, por lo que la expresión puede escribirse como

a (x + b) = ax + ab.

Intenta calcular mentalmente 7 ¥ 53 y 8 ¥ 107.

Si un mago te dice que pienses un número del 1 al 9, pero que no se lo digas, y te pide

el resultado de multiplicarlo por 55, para que inmediatamente te diga el número que

pensaste, ¿cómo le hizo? ¿Aplicó también a(x + b) = ax + ab?

Para curiosos

20

BLOQUE 1

Escribe la identidad algebraica que se obtiene al construir con las siguientes piezas

un rectángulo.

Realiza las siguientes multiplicaciones.

• 4 (x + 7) • 3 (x - 9) • -7 (5x + 3)

• -8 (2x - 5) • -5 (-x - 7) • 2

3 S1

6 x + 2D

• - 3

4 S2

5 x +

1

7 D • -0.35 (2.34x - 1.2)

• -1.7 (-3.5x - 4.3) • -0.35S- 2

7 x + 5D

Encuentra números que hagan las siguientes igualdades ciertas. Comprueba tus re-

sultados realizando el producto.

• 15 ( x + 11) = 10.5x +

• (0.5x + ) = 0.2x + 0.36

• 4

5 S x +

3

4 D =

4

15 x +

• -9 (5x - ) = x + 18

• S- 1

4D S x - D =

1

14 x +

3

16

1

2

3

EN

EL ATENEO

21


Calcula el área de los siguientes rectángulos.

Encuentra las dimensiones de los siguientes rectángulos cuya área está representada

por las expresiones algebraicas escritas en su interior. ¿La respuesta es única en todos

los casos?

Escribe las siguientes sumas como producto de un número por la suma de otros dos

números.

• 49x + 28 = ( x + ) • 253x + 385 = ( x + )

• - 2

48 x +

1

4 = ( x + )

Plantea una expresión algebraica que represente las siguientes situaciones.

• T es la edad de Pedro. Juan tiene la misma edad de Pedro más tres años.

• R es el área de un terreno; otro terreno tiene el doble de área que él menos 100 m2.

• Juan tiene una cantidad de dinero F y pierde esa misma cantidad más $234.

Resuelve las siguientes operaciones haciendo uso de la igualdad a (x + b) = ax + ab.

• 2 ¥ 37 = ( + ) =

• 5 ¥ 49 = ( + ) =

• 9 ¥ 18 = ( + ) =

• 11 ¥ 23 = ( + ) =

4

5

6

7

8

7

3

12 2x 5

( a ) ( b ) ( c )

( d )

3x 7

0.9x 23 4

9

x 0.512

( a )

6x 8

( b )

10x 36

( c ) ( d )

0.28x 0.63 x 12

34

22

BLOQUE 1

Los rectángulos y las letras que se multiplican

Si tienes un terreno rectangular de 14 m ¥ 19 m (figura 18), ¿cómo calculas su área?; ¿cuál es su valor? (Puedes omitir las unidades).

Si las dimensiones se expresan como 10 + 4 y 10 + 9, ¿cambia el área del terreno? Esto induce a pensar que el terreno puede ser subdividido en partes que tienen un

área fácil de calcular, como se observa en la figura 19.

Discute con tus compañeros una forma de calcular el área del terreno sin multiplicar 14 ¥ 19.

Podemos ampliar la situación anterior al caso en que las medidas del terreno sean representadas con literales. Considera por ejemplo que las dimensiones del terreno son x + 4 y x + 9, es decir un lado mide x m más 4 m y el otro los mismos x m más 9 m.

Figura 1819 m

14 m

10 9

10 9

10

10 4

4

Figura 19

Figura 20

x 9

Área del terreno: ( )( )

x 4

Área del terreno: ( )( )

23


En este caso el área no sería un número específico, sin embargo se puede representar por una expresión algebraica. ¿Cuál sería? Escríbela en el espacio correspondiente de la figura 20.

Ahora bien, considerando la forma en que están expresadas las dimensiones del terreno, podemos subdividirlo como se muestra en la figura 21. Así, el área del terreno puede escribirse también como la suma de varias partes. ¿Cuál sería la expresión algebraica de dicha área? Complétala en los espacios indicados en la figura 21.

De este modo, hemos expresado el área del terreno de dimensiones x + 4 y x + 9 de dos maneras (figuras 20 y 21). Esto nos conduce a una igualdad; escríbela a continuación:

( + ) ( + ) = 2 + + .

Los ejemplos anteriores serán de utilidad para representar la multiplicación de expresiones algebraicas sencillas. Para esto vamos a emplear las piezas que se muestran en la figura 22.

9x

364x

x2

x 9

x 9

x

x 4

4

x 9

x 9

9x

364x

x2x x

4 4

Área del terreno: ( )( )Área del terreno: 2 + + Figura 21

1 cm3.3 cm

3.3 cm

1 cm1 cm

1 cm3.3 cm

3.3 cm 3.3 cm

3.3 cm

1 cm1 cm

Figura 22

24

BLOQUE 1

Algunas de ellas ya las tienes pues se usaron en la sección anterior, solamente te faltan los cuadrados grandes. Bastará con que recortes 10 cuadrados grandes de cada color.

Nuevamente, cada tipo de pieza tendrá asignada una expresión, como se indica en la figura 23. También en este caso las piezas azules se consideran “positivas” y las amarillas “negativas”.

Ahora, discute con tus compañeros la forma de representar algebraicamente cada una de las áreas de los arreglos rectangulares que se presentan en las figuras 24 a 27. (Cabe mencionar que hay dos maneras de hacerlo: una es expresando el área del rectángulo como el producto de la base por la altura y la otra es mediante la suma de las partes.)

Figura 23

x 11x

x2x2

Figura 25

Área: ( + )( + ) = 2 + + Área: ( + )( + ) = 2 + +

Figura 24

Área: ( + )( + ) = 2 + +

Figura 26

Área: ( + )( + ) = 2 + +

Figura 27

25


Después de haber realizado lo anterior, analiza con tus compañeros los siguientes procedimientos (figuras 28 a 30).

• (x + 4)(x + 3) = x (x + 3) + 4 (x + 3) = x2 + 3x + 4x + 12 = x2 + 17x + 12.

• (x - 4)(x + 3) = x (x + 3) - 4 (x + 3) = x2 + 3x - 4x - 12 = x2 - x - 12.

Para llegar al resultado en este caso se eliminaron algunas piezas. Recuerda que un número de piezas de un color se “equilibran” o cancelan con el mismo número de piezas de otro color, siempre y cuando sean del mismo tipo.

Observa también, en las figuras 29 y 30, que el color de los cuadrados pequeños es amarillo porque indican el producto de un negativo por un positivo.

• (x + 4)(x - 3) = x (x - 3) + 4 (x - 3) = x2 - 3x + 4x - 12 = x2 + x - 12.

Figura 28

Figura 29

Figura 30

26

BLOQUE 1

• (x - 4)(x - 3) = x (x - 3) - 4 (x - 3) = x2 - 3x - 4x + 12 = x2 - 7x + 12.

Observa que el color de los cuadrados pequeños es azul porque indican el producto de un negativo por otro negativo.

Cambios de signo

Un cambio de color en las piezas implica un cambio de signo en la expresión algebraica asociada. Considera los siguientes ejemplos.

• Al aplicar un signo menos a la expresión x + 2 tenemos que

- (x + 2) = -x - 2 ,

lo cual se representa cambiando el color a las piezas correspondientes (figura 32).

• Si aplicamos un signo menos a la expresión x - 2 obtenemos:

- (x - 2) = -x + 2 ,

como se ilustra en la figura 33.

Figura 31

Figura 32

Figura 33

Discute con tus compañeros cómo obtener el resultado de las siguientes expresiones

algebraicas.

• -(37x + 53) • -(49x - 97) • -(-59x + 79) • -(-81x - 9)

• -4 (0.7x + 0.3) • -8 S 1

2 x -

1

4 D • -0.9(-4x + 1.4) • -

4

5 (-0.2x - 0.9)

Para curiosos

x + 2 -(x + 2) = -x - 2

x - 2 -(x - 2) = -x + 2

27


Discute con tus compañeros la relación que existe entre las siguientes expresiones algebraicas:

(-x - 2) (x + 3) = -x2 - 5x - 6

• -(x + 2)(x + 3) =

(x + 2) (-x - 3) = -x2 - 5x - 6

(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6

-[(-x - 2) (x + 3)] =

(-x -2)(-x - 3) = x2 + 5x + 6

• -[-(x + 2)(x + 3)] =

(-x -2)(-x - 3) = x2 + 5x + 6

-[(x + 2) (-x - 3)] =

(x + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6

Productos notables

Para descubrir relaciones entre expresiones algebraicas es importante aguzar los sentidos y ser muy observadores. Por ejemplo, hay una regla que salta a la vista al multiplicar expresiones algebraicas del tipo (x + a)(x + b).

Observa los siguientes desarrollos y junto con tus compañeros obtén conclusiones.

(x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12

(x - 4)(x + 3) = x2 - x - 12

(x + 4)(x - 3) = x2 + x - 12

(x - 4)(x - 3) = x2 - 7x + 12

28

BLOQUE 1

Observa las regularidades que se presentan en las cuatro multiplicaciones anteriores:

• ¿Cuántos términos tiene siempre el resultado? • ¿Siempre habrá un término con x2 (término cuadrático)? • El coeficiente de x (término lineal), ¿cómo se calcula en términos de a y b? • El término restante (la constante), ¿cómo se calcula en términos de a y b?

Observa las siguientes secuencias para encontrar una forma de hacer las multiplicaciones del tipo (x + a)(x + b).

(x + 1)(x + 2):

(x + 1)(x + 2) x (x + 2) + 1(x + 2) x2 + 3x + 2

Esto es: (x + 1)(x + 2) = x (x + 2) + 1 (x + 2) = (x2 + 2x) + (x + 2) = x2 + 3x + 2.

1 Figura 34

(x + 3)(x - 4):

(x + 3)(x - 4) x (x - 4) + 3(x - 4) (x2 - 4x) + (3x - 12)

Es decir: (x + 3)(x - 4) = x (x - 4) + 3 (x - 4) = (x2 - 4x) + (3x - 12) = x2 - x - 12.

2

x2 - x - 12

Figura 35

29


Consideremos ahora un conjunto de productos de particular importancia, a los cuales se les denomina productos notables debido a que se presentan con mucha frecuencia en manipulaciones algebraicas de toda índole. Conocerlos te permitirá abreviar procedimientos.

Apoyándote en construcciones con piezas resuelve los tres productos notables que se ilustran en las figuras 36 a 38. Considera que las literales representan números positivos.

Discute con tus compañeros la forma de proceder si solamente se usan literales en el

tipo de multiplicación que estamos revisando. Esto es, si a, b, c y x son números posi-

tivos, ¿cuál es el resultado de las siguientes multiplicaciones?

• (a + b)(a + c). • (x + a)(x - b). • (x - a)(x - b).

Para curiosos

x2 x2a2

ac bc

bx bx

ax ab ax ab

ab x2 x2a2

ac bc

ab bx bx

ax ab ax ab

a

a

c

b

x

a

bx

x

a

bx

Así pues, es posible afirmar de manera general que

• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • (a + b)(a - b) = a2 - b2 • (a + b)(a + c) = a2 + (b + c) a + bc

a

a

b

b

a

b

ba

a

b

ba

Figura 36 Figura 37 Figura 38

(a + b)2 = (a - b)2 = (a + b)(a - b) =

30

BLOQUE 1

Discute con tus compañeros cómo utilizar estos productos para realizar mentalmente las siguientes operaciones:

• 12 ¥ 15. • 19 ¥ 19. • 24 ¥ 24. • 22 ¥ 18.

Imagina que tienes una calculadora con la tecla del 5 dañada. Discute con tus compa-

ñeros cómo realizarías las siguientes operaciones con dicha calculadora.

• 32 ¥ 5 • 25 ¥ 17 • 25 ¥ 35

Para curiosos

Encuentra el resultado de la multiplicación (x - 5)(x - 7) haciendo uso del arreglo de piezas que se muestra.

• (2x - 5)(3x - 7) • (3x + 2)(4x - 1) • (-2x + 1)(3x - 2)

Realiza las siguientes multiplicaciones.

• (x + 3)(x + 9) • (x + 5)(x - 12) • (-2x + 1)(4x - 3)

• (2x + 3)(4x + 9) • (x - 4)(x - 6)

Generaliza el procedimiento anterior y efectúa las siguientes multiplicaciones.

• -S 1

2 x -

1

3 DS-

1

4 x +

1

5 D • S

2

5 x -

1

7 DS-

1

2 x +

1

8 D

• (-2.3x + 3.7)(-5.2x - 3.2) • (-0.7x + 3)(3x - 0.5)

1

2

3

EN

EL ATENEO

31


Encuentra números tales que hagan ciertas las siguientes igualdades.

• (x + )(x + ) = x2 + 6x + 9

• (s + )(s + ) = s2 - 10s + 25

• (p + )(p - ) = p2 - 81

• (r + 2.3)(r + ) = r2 + 4.6r +

• (w - )Sw - 1

4D = w2 - w + 1

16

• (x + 7)(x - ) = - 49

Resuelve los siguientes productos notables. Llega al resultado en un paso y verifícalo

desarrollando el producto.

• (2x + 5)2

• (t - 12)2

• (r + 11)(r - 11)

El manejo de las literales debe hacerse con mucho cuidado. Discute con tus compa-

ñeros lo siguiente y responde considerando todas las posibilidades.

• R es un número que sumado con cualquier número P da el mismo número P (esto

es: P + R = P). ¿Qué puedes decir del valor de R?

• Si te dicen que un número Z sumado con otro número T da cero (Z + T = 0), ¿qué

puedes decir del valor de T?

• Si te dicen que al multiplicar un número H por otro número D el resultado es 0

(H ¥ D = 0), ¿qué puedes decir del valor de H?

• Si te dicen que un número E dividido entre el número S, el cual no es cero, da 1 (es

decir E

S = 1), ¿qué puedes decir del valor de S? ¿Es necesario pedir que S π 0?

Resuelve las siguientes operaciones, sin aplicar inicialmente el algoritmo de la multi-

plicación.

• 103 ¥ 97

• 31 ¥ 32

• 152 ¥ 15

En tus libros de física y química identifica los temas donde se utilizan expresiones

algebraicas similares a las que estudiaste en esta lección y haz un listado de ellos.

4

5

6

7

8

32

BLOQUE 1

Demuestro lo que sé y hago1 Realiza las siguientes operaciones.

• - 49

S15

x + 13D • -3.7 (-2.4x - 5.7)

• - (-x + 4.7)(x - 7.3) • - S15

x - 17DS- 1

7 x + 1

5D

• (-4x + 5.6)(-3.2x - 7.3)

2 Encuentra números que hagan las siguientes igualdades ciertas. Comprueba tus resultados efectuando la multiplicación.

• 1.5 ( x + 11) = 8.85x + 16.5

• S- 27D( x - ) = - 4

21 x + 32

21

• (x + )(x + ) = x2 + 24x + 44

• (s - )(s - ) = s2 - 14s + 49

• (p - )(p + ) = p2 - 256

3 Resuelve los siguientes productos notables.

• S35

x + 811D

2

• (5p - 13)2

• (r + 1.4)(r - 1.4)

4 Plantea una expresión algebraica que represente las siguientes situaciones.

• El equipaje de Pedro pesa W kilos y el de Juan pesa lo mismo menos 3 kilos. ¿Cuál es la expresión que representa el peso del equipaje de Juan?

• Armando obtuvo la misma calificación que Roberto más 17 puntos. ¿Cuál es la calificación de Roberto si la de Armando es x?

• Un terreno cuadrado de G metros de lado se extenderá 12 metros de un lado y 7 metros del otro. ¿Cuál es la expresión algebraica del área del terreno con los lados extendidos? ¿Hay otra forma de expresarla?

5 Resuelve las siguientes operaciones sin recurrir inicialmente al algoritmo de la multiplicación.

• 5 ¥ 94

• 12 ¥ 16

• 105 ¥ 95

• 41 ¥ 43

• 23 ¥ 23

ConéctateSobre historia del álgebra puedes consultar los siguientes sitios:

• http://www.insa-col.org/sites/url/melissa/

• http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html

Para revisar conceptos y procedimientos básicos del álgebra:

• http://student_star.galeon.com/conten.htm

También puedes apoyarte en el sigiuente texto:

• Ricardo Moreno Castillo y José Manuel Vegas Una historia de las matemáticas para jóvenes. Desde la Antigüedad hasta el Renacimiento Nivola, Madrid, 2006.

33


Mis retos Ahora conocerás el procedimiento de la factorización, mediante el

cual las sumas y restas de expresiones algebraicas se pueden escribir

como productos. Este procedimiento suele ser muy útil en la

resolución de ecuaciones.

Utilizarás modelos geométricos para representar factorizaciones.

¿Qué sé? Ya trabajaste con productos del tipo x (ax + b), (x + a)2 y

(x + a)(x - a), los cuales conducen a expresiones de las formas

ax2 + bx, x2 + 2ax + a2 y x2 - a2, respectivamente.

¿Qué lograré aprender? En la lección anterior estudiaste la multiplicación de expresiones

algebraicas. Ahora vas a realizar el procedimiento inverso; es decir,

conociendo el resultado de la multiplicación (el producto), podrás

encontrar las expresiones algebraicas que al multiplicarse conducen

al resultado dado.

Para llevar a cabo la factorización establecerás relaciones entre los

coeficientes de los productos y los factores en que éstos se

descomponen.

2 Rompecabezas algebraicos

34

1 Encuentra números que hacen válidas las siguientes igualdades.

• (7 - 3) = -32 • (8 + )( - 9) = -30

• ( - 4)2 = 25

2 Para cada una de las siguientes expresiones determina los números con los

que se satisface la igualdad.

• (2x - 3) = -12x +

• (5x + ) = -15x + 21

• ( x + 3)(5x - ) = 10x2 + x - 21

• ( x - 9)2 = 4x2 - x +

3 Efectúa las siguientes multiplicaciones.

• 4

7 S-x -

5

9 D • Sx -

5

8D2

• S- 1

2 x + 0.46D(2x - 0.5)

• (3x - 1)(3x + 1) • (3x + 2.7)2 • -2.34(7.05x - 4.76)

4 Una forma de comprobar si un desarrollo algebraico es correcto consiste en

asignar valores numéricos a las literales y verificar si la igualdad resultante es

verdadera. Basta con que en un caso no se cumpla la igualdad numérica para

saber que la igualdad algebraica originalmente planteada no es válida, aun

cuando existan algunos casos en que sí se cumpla la igualdad.

Ejemplo: Verificar si la igualdad (x - 3)2 = x2 + 9 es verdadera.

• Al tomar x = 0: el primer miembro resulta (0 - 3)2 = 9; y el segundo,

02 + 9 = 9. Por tanto, con x = 0 la igualdad se cumple.

Sin embargo:

• Al tomar x = 1: el primer miembro es (1 - 3)2 = 4, pero el segundo miembro

es 12 + 9 = 10. De ahí se concluye que la igualdad (x - 3)2 = x2 + 9 no es

verdadera.

Utilizando este procedimiento determina cuáles de las siguientes igualdades

algebraicas son válidas.

• -7(-x - 4) = -7x - 28 • - 1

2 S6x -

3

4D = 3

8 - 3x

• Sx - 3

4D2 = x2 -

3

4 x -

9

16 • (2x - 7)(2x + 7) = 4x2 - 49

35


Letras que se desmultiplican

Discute con tus compañeros cómo escribir los siguientes números como productos de dos números:

• 45 = ¥ • 36 = ¥ • 43 = ¥ • 55 = ¥ • 152 = ¥ • 276 = ¥

Algo similar se puede hacer con las expresiones algebraicas:En la lección anterior se estudiaron multiplicaciones como

producto

2(3x + 1) = 6x + 2. factores

Si invertimos los miembros de la igualdad anterior obtenemos que

producto

6x + 2 = 2(3x + 1) . factores

Esto nos lleva a preguntarnos cómo es que, dado un producto, pueden obtenerse sus factores, lo que equivale a realizar el procedimiento opuesto a la multiplicación.

Con tus compañeros analiza los siguientes casos:

• x2 + 2x = x(x + 2) .

• x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) .

Figura 1

=

x2 + 2x x (x + 2)

x + 2

x

Figura 2

=

x2 + 3x + 2 (x + 1)(x + 2)

x + 2

x + 1

36

BLOQUE 1

• x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.

• x2 - 4 = (x + 2)(x - 2) .

Con base en las conclusiones que obtuviste con tus compañeros, discute con ellos alguna forma de encontrar los factores que se piden en cada uno de los siguientes casos.

• Caso 1: 8x - 2 = ( )( ) .

• Caso 2: x2 + 5x = ( )( ) .

• Caso 3: x2 + 7x + 12 = ( )( ) .

• Caso 4: x2 - 3x - 10 = ( )( ) .

• Caso 5: x2 - 6x + 9 = ( )( ) .

• Caso 6: x2 - 9 = ( )( ) .

Seguramente te habrás dado cuenta de que para identificar los factores de un producto puede ayudar construir un rectángulo con las piezas que representan dicho producto. En cada caso las dimensiones del rectángulo serán los factores buscados.

Junto con tus compañeros redacta algunas instrucciones que se deban seguir para encontrar los factores en cada uno de los casos modelo que se presentarán a continuación. Elabora las instrucciones de tal manera que solamente hagan referencia a la

Figura 3

Figura 4

=

x2 + 4x + 4 (x + 2)2

x + 2

x + 2

=

x2 - 4 (x + 2)(x - 2)

x - 2

x + 2

37

LECCIÓN 2 • ROMPECABEZAS ALGEBRAICOS

manipulación de los coeficientes y no al uso de las piezas. Después aplica tu procedimiento para hallar los factores de los casos similares al modelo. (Si bien cada caso modelo se ilustra mediante construcciones con piezas, éstas no te servirán en los casos similares, debido a las cantidades empleadas en ellos; de ahí la necesidad de que tus instrucciones no estén planteadas en función de piezas.)

6x - 4 = (2 ¥ 3)x - (2 ¥ 2) = 2(3x - 2) .

Casos similares:

• 66x - 506 =

• 34

x - 74

=

• 10.8x - 6 =

Caso 1

3x - 2

(2 ¥ 3) x 2 ¥ 22

x2 + 8x = x(x + 8) .

Casos similares:

• x2 - 7x =

• 4x2 + 8x =

• 49

x2 + 23

x =

Caso 2

x + 8

x x 2 8 x

x2 + 6x + 5 = x2 + (5 + 1)x + (5 ¥ 1) = (x + 1)(x + 5) .

Casos similares:

• x2 + 22x + 120 =

• x2 + 20x + 99 =

• x2 + 56

x + 16

=

Caso 3

x + 5

x + 1 x 2

x ¥ 1 5 ¥ 1

5x

x2 - 5x - 14 = x2 + (-7 + 2)x + (-7 ¥ 2) = (x + 2)(x - 7) .

Casos similares:

• x2 + 5x - 14 =

• x2 - 3x - 180 =

• x2 - 215

x - 115

=

Caso 4

x - 7

x + 2

x 2 -7x

2x -7 ¥ 2

38

BLOQUE 1

x2 - 4 = (x + 2)(x - 2).

Casos similares:

• x2 - 121 =

• x2 - 529 =

• x2 - 449

=

Caso 6

x - 2

x + 2

x 2 -2 x

2 x -2 ¥ 2

x 2

4

Si en la expresión del producto se utiliza otra letra en lugar de x, ¿los números en la

factorización resultante cambian?

Por ejemplo, si tenemos que -4x + 8 = -4(x - 2), ¿cuál será el resultado de facto

rizar -4w + 8?

Para curiosos

Encuentra números con los cuales las siguientes igualdades sean ciertas. Comprueba

tus resultados realizando la multiplicación.

• x2 + x + 54 = (x + 6)(x + ) • x2 + x - 273 = (x + )(x - 13)

• x2 + x + 169 = (x + )2 • x2 - 30x + = (x - )2

• x2 - 289 = (x + )(x - )

1

EN

EL ATENEO

Este procedimiento de descomponer en factores la expresión algebraica de un producto se denomina factorizar.

x2 - 8x + 16 = (x - 4)2.

Casos similares:

• x2 - 24x + 144 =

• x2 + 46x + 529 =

• x2 + 43

x + 49

=

Caso 5

x - 4

x - 4

x 2 -4x

4 ¥ 4 -4x

39


Intenta construir rectángulos con los siguientes conjuntos de piezas. En los casos en que sea posible

esa construcción, anota los factores resultantes.

Comprueba las siguientes factorizaciones realizando la multiplicación.

• x2 - 7x + 10 = (x - 2)(x - 5)

• x2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)

Una vez que encuentras unos factores (en otras palabras, que logras armar un rectángulo), ¿puedes

construir otro rectángulo diferente, es decir, usando diferentes dimensiones, con las mismas piezas?

¿Siempre será posible construir un rectángulo independientemente de la cantidad de piezas con

sideradas?

Seguramente ya te habrás dado cuenta de que para factorizar se requiere, en algunos casos, encon

trar dos números cuya suma sea el coeficiente de x y cuyo producto sea la constante. Observa los si

guientes ejemplos:

• x 2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) • x 2 - x - 12 = x2 + (-1)x - 12 = (x - 4)(x + 3)

Con base en este procedimiento factoriza las siguientes expresiones.

• x 2 + x - 12

• x 2 - 7x + 12

También hay casos de factorización cuya forma corresponde con el desarrollo de determinados pro

ductos notables. Por ejemplo:

• x 2 + 6x + 9 = x 2 + 2(3)x + (3)2 = (x + 3)2 . • x 2 - 9 = x 2 - (3)2 = (x + 3)(x - 3) .

Factoriza las siguientes expresiones e identifica el producto notable del que provienen.

• x 2 - 6x + 9 • x 2 + 6x + 9 • x 2 - 64 • x2 - 25

49

2

3

4

5

6

3 + 4 = 7

3 ¥ 4 = 12

-4 + 3 = -1

-4 ¥ 3 = -12

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 - b2 = (a + b) (a - b)

x 2 + 5x + 4 x2 + 6x + 4 x2 + 7x + 10

(a) (b) (c)

40

BLOQUE 1

Demuestro lo que sé y hago1 Se va a construir un mueble con base en el diseño que

se muestra en la figura. Las secciones cuadradas pequeñas medirán 7 cm de lado y la secciones cuadradas grandes pueden hacerse de cualquier magnitud.

• Si se van a producir tres modelos del mueble, cada uno de distinto tamaño, calcula el área frontal que cada modelo habrá de cubrir si el lado de los cuadrados grandes tiene las siguientes magnitudes:

a) 25 cm b) 40 cm c) 90 cm

• Deduce una fórmula para calcular el área frontal que abarcaría el mueble para diferentes magnitudes del lado del cuadrado grande.

2 Factoriza las siguientes expresiones algebraicas; comprueba tus resultados realizando la multiplicación.

• x2 + 5x - 24 • x2 - 16x + 64 • 9x2 + 30x + 25

• 315x2 - 630x • 13x2 + 39 • x2 - 4981

3 En otras asignaturas encontrarás expresiones algebraicas como las que has estudiado hasta el momento. Las siguientes ecuaciones son conocidas en la f ísica; investiga para qué se usan y qué representa cada uno de sus términos.

• d = vit + 12

at2 • ec = 12

mv2

ConéctatePara conocer más sobre el tema se pueden consultar páginas como

• http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm

• http://www.galeon.com/student_star/factor01.html

Unos textos para apoyar la enseñanza y aprendizaje del estos temas son

• Grupo Azarquiel Ideas y actividades para enseñar álgebra Colección Cultura y Aprendizaje Síntesis, Madrid, 1993.

• Arnulfo Andrade Antecedentes de álgebra elemental Trillas, México, 1995.

41


333333333333333333333333333333333Eduardo Mancera Martínez

Mat

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3

MatemáticasMatemáticas 3

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