Introducción:

La palabra Trigonometría se compone de trigonon que significa triángulo y metria que significa medición, es decir; medición de triángulos.

2.1 Ángulos

Medir ángulos ha sido una actividad desde épocas milenarias.

Tales de Mileto (ca. 630‐545 A. C. ) quien se presume eradiscípulo de Pitágoras calculaba la altura de edificaciones a partirde obtener los ángulos.

Trigonometría

Teodolito electrónico

Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme.

Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción paraconocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.

Trigonometría

Actualmente se utiliza un teodolito para medir ángulos en tierra firme.

Este instrumento es indispensable en trabajos topográficos y de la construcción paraconocer cotas, desniveles de terreno, etc., así como calcular distancias.

¿Cómo lo hacia Tales de Mileto?

El sol ilumina el objeto por lo que seproduce una sobra y lo que se observa esun triangulo rectángulo (de 90°)

aquel que tiene un Angulo recto, esdecir

El sol ilumina el objeto por lo que seproduce una sobra y lo que se observa esun triangulo rectángulo (de 90°)

aquel que tiene un Angulo recto, esdecir :

El triangulo tiene 3 ángulos (a, b y c) y3 lados ( A, B y C) en donde :

C Hipotenusa, A Cateto adyacente,

B Cateto opuesto.

α

β

χA

B

C

Recordar…

α

β

χ

La  suma de  los ángulos debe ser  180°

°=++ 180χβαComo  c tiene 90 °

βαβα

−°=°=°−°=+

909090180

Llamado ángulo complementario 

Triángulos rectángulos.

Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras                     afirma que:  conocemos el tercer  lado.

A2 + B2 = C2Eso sí, debemos saber si los lados 

que conocemos son catetos A

B

C

Medida de ángulosParamedir ángulos se utiliza:

Grado sexagesimal es la amplitud del ángulo resultante de dividir la circunferencia en 360partes iguales.

Un grado tiene 60 minutos (') y unminuto tiene 60 segundos ('').1º = 60' = 3600''1' = 60''

Radianes

Un radián (rad) es la medida del ángulo central de unacircunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud de suradio.

360º = 2π rad180º= 1 π rad

Ejemplos:Paramedir ángulos se utiliza:

cambiar 30 ° a radianes

rad6180

30 ∏=

°∝=

_______

3∝

=∏∏ 180 3

.180 ∏°

∏°= 60

3180=∝=

30° rad

cambiar π/3 rad a gradoscambiar π/3 rad °

°°

=∝∏

30180

Ejercicio:Expresa los siguientes ángulos en los dos sistemas de medida:

G. sexagesimal 60 º 210º

Radianes 2π/3 5π/6

Tus resultados se parece a estos?

G. sexagesimal 60 º 120 210º 150°

Radianes π/3 2π/3 7π/6 5π/6

2.2 Funciones Trigonométricas:

αsecante

cosecante

seno

coseno αα

αsen

αcosαtan

αcotan

αcosec

αsec

2.2 Funciones Trigonométricas:

Seno de ángulo agudo:

CA

==hipotenusa

opuesto catetosen α

α

β

χA

B

C

α1 AC

BC

2.2 Funciones Trigonométricas:

Seno de ángulo agudo:

CA

==hipotenusa

opuesto catetosen α

Coseno de un ángulo agudo:

CB

==hipotenusa

adyacente cateto cosα

α1 AC

BC

α

β

χA

B

C

α1 AC

BCα

β

χA

B

C

2.2 Funciones Trigonométricas:

Tangente y cotangente de un ángulo agudo

BA

==adyacente cateto

opuesto catetotan α α

β

χA

B

C

AB

==opuesto cateto

adyacente catetocotan αα1 AC

BC

2.3 Gráficas trigonométricas

6π

3π

2π

32π

65π π

67π

34π

23π

35π

311π π2

4π

43π

45π

47π

21

21

−

23

23

−

1

1−

22

22

−

0

a

COS a

0 6π

4π

3π

2π

32π

65π

43π π 6

7π45π

34π

23π

35π

47π

311π π2

1 22

−22

−22

22

21

−21

−21

21

23

−23

−23

23 0 0 11−

Gráficas de la función coseno

f(x)=cos x

Gráficas de la función tangente

33

−

1

1−

6π

3π

2π

32π

65π π

67π

34π

23π

35π

311π π2

4π

43π

45π

47π0

33

3−

3 f(x)=cos x

Gráficas de la función Tangente

f(x)= tg x

Gráficas de la función cotangente

f(x)=cotg x

33

−

1

1−

6π

3π

2π

32π

65π π

67π

34π

23π

35π

311π π2

4π

43π

45π

47π0

33

3−

3

Gráficas de la función Tangente

f(x)= t x1

1−

6π

3π

2π

32π

65π π

67π

34π

23π

35π

311π π2

4π

43π

45π

47π0

Gráficas de la función Tangente

f(x)= t x1

1−

6π

3π

2π

32π

65π π

67π

34π

23π

35π

311π π2

4π

43π

45π

47π0

f(x)=cosec x

Identidades Trigonométricas

f(x)= t xRelación fundamental de trigonometría

1cos22 =+ ααsenSi en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

222 acb =+

Expresándolo de otra forma:

α

ba

cα

2.4 Identidades TrigonométricasRelación fundamental de trigonometría

1cos22 =+ ααsen1.‐ Si en el triángulo rectángulo 

BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos:

222 acb =+2.‐ Expresándolo de otra forma:

c

b

a

α

1ac

ab 22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

3.‐ O lo que es lo mismo:( ) ( ) 1cossen 22 =α+α

4.‐Expresándolo de otra forma:

1cossen 22 =α+α

2.4 Identidades TrigonométricasRelación fundamental de trigonometría

Si es el ángulo complementario de , hay un triángulo rectángulo quelos tiene como ángulos agudos y se tiene que:β α

( )βαβ −== o90 coscossen

( )βαβ −== o90sen sen cos

1

cos

sen α

α

βα

Suma diferencia de dos ángulos

( ) =β+αsen

( ) =β−αsen β⋅α−β⋅α sencoscossen

β⋅α+β⋅α sencoscossen

( ) =β+αcos

( ) =β−αcos β⋅α+β⋅α sensencoscos

β⋅α−β⋅α sensencoscos

( ) =β+αtg

( ) =β−αtgβ⋅α+β−α

tgtg1tgtg

β⋅α−β+α

tgtg1tgtg

Ángulo Mitad(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)

( ) =α+αsen

( ) =α+αcos

( ) =α+αtg

=α2sen =α⋅α+α⋅α sencoscossen

=α⋅α−α⋅α sensencoscos

=α⋅α−α+α

tgtg1tgtg

α⋅α⋅ cossen2

=α2cos α−α 22 sencos

=α2tgα−α2tg1

tg2

=α2sen α⋅α⋅ cossen2=α2cos α−α 22 sencos

=α2tgα−α2tg1

tg2

Ángulo Mitad(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)

=α2cos =α−α 22 sencos =α−α− 22 sensen1 α− 2sen21

=α2sen2 α− 2cos1

=α2sen 22cos1 α− 2

2cos1 α−±=αsen

=α2cos =α−α 22 sencos =α+−α 22 cos1cos 1cos2 2 −α

=α2cos2 α+ 2cos1

=α2cos2

2cos1 α+

=αtg

22cos1 α+

±=αcos

α+α−

±2cos12cos1

2cos1

2sen α−

±=α

2cos1

2cos α+

±=α

α+α−

±=α

cos1cos1

2tg

Ángulo Mitad(nos basaremos en las fórmulas de las razones trigonométricas del ángulo doble)

1.‐ Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: 222 acb =+

2.‐ Si dividimos la expresión anterior por   b2  o por c2

2

2

2

2

2

2

ba

bc

bb

=+

3.‐ Expresándolo de otra forma:

( ) ( )22 eccosgcot1 α=α+

α=α+ 22 eccosgcot1

2

2

2

2

2

2

ca

cc

cb

=+

α=α+ 22 sectg1

( ) ( )22 sectg1 α=α+

ba

c

α

Funciones trigonométricas

Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo a   , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura. 

El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección                    de la hipotenusa con el círculo. 

Pero no es necesario tener todo el rectángulo, bastacon tener la recta que une       con el origen.

α

αPαP

αP

DEFINIMOS para un ángulo a , medido a partir de la recta l   contra las manecillas del reloj:

αsen

la abscisa de    

la ordenada de    

αcos

αP

αP

Funciones trigonométricas

Ley del CosenoEl cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente

Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC:

( ) =−+= 222 mcha

=+−+= 222 mcm2ch

=+−+−= 2222 mcm2cmb

(en AHC)

=+−+−= 2222 mcm2cmbcm2cb 22 −+=

(Como en AHC      m = b . cos A)Acoscb2cba 222 ⋅−+=

Bcosca2cab 222 ⋅−+=

Ccosba2bac 222 ⋅−+=Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:

Ley del SenoLos lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

La ley de seno sirve para relacionar los lados de un triángulo conlos ángulos opuestos.

Consideremos un triángulo ABC.

⎭⎬⎫

⋅=⋅=

BsenahAsenbh

C

C ⇒⋅=⋅⇒ BsenaAsenbBsen

bAsen

a=⇒

Trazamos la altura correspondiente al vértice C.Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces:

hA

C

BA

ab

c

Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

⎭⎬⎫

⋅=⋅=

BsenchCsenbh

A

A BsencCsenb ⋅=⋅⇒

Csenc

Bsenb

=⇒