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MATEMÁTICAS 4ºACT

IES”ANTONIO CALVÍN” 28

TEMA 2. EL NÚMERO REAL

1. NÚMEROS RACIONALES.

Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números

enteros. Es decir, se pueden expresar en forma de fracción.

Los números decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos son

racionales, pues, podemos escribirlos en forma fraccionaria.

Sin embargo no todos los números son racionales

NATURALES → 0; 4 ; 6

24 ; 81

N

ENTEROS

Z

ENTEROS -11 ; 6

24

NEGATIVOS

RACIONALES

Q

FRACCIONARIOS 0,31;4

3;7,3131…

IRRACIONALES 2 ; 3 ;3 5 ;П

2. NÚMEROS IRRACIONALES

Un número irracional es aquel que no puede escribirse en forma de fracción y

tiene infinitas cifras decimales no periódicas. El número П es un número irracional. Por tanto su expresión decimal es

infinita no periódica: П = 3,141592653……..

La raíz n- ésima de un número, si no es exacta, tampoco es racional. Por

ejemplo, no son racionales 2 , 3 ,3 5

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ACTIVIDADES

1) Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuales

irracionales:

a) 1,5

b) 5

3

c) 0,333333…

d) 7

e) 2,010010001….

f) 25

a) 3,2888888….

1. RAÍCES

Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe n a , a un número b

que cumple la siguiente condición:

absiba nn

n a se llama radical; a radicando, y n, índice de la raíz

Algunas peculiaridades de las raíces.

Si a ≥ 0, n a existe cualquiera que sea n

Si a< 0, sólo existen raíces de índice impar

Aunque 4 tiene dos raíces cuadradas, con 4 nos referimos solo

a la positiva: 4 = 2. En general, un número positivo, a, tiene

dos raíces cuadradas: aya

Forma exponencial de los radicales.

Los radicales se pueden expresar como potencias de la siguiente manera:

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n

1

n aa y en general n

m

n m aa

Por ejemplo:

3 64 = 4222 23

63 6

333327 6

62

6

326 3

26

ACTIVIDADES

2. Expresa en forma exponencial:

a) 5 x

b) 15 6a

c) 13a

d) x

e) 5

3 2x

f) 3 x

3. Calcula:

a) 2

1

4

b) 3

1

125

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c) 4

1

625

d) 3

2

8

e) 6

5

64

f) 4

3

81

Potencias y raíces con calculadora

Raíces cuadradas

180 → se da a las teclas 180 = 13.41640786

Potencias

Hay otra tecla, xy, con la que se pueden obtener potencias. Por ejemplo;

264 → se da a las teclas 2 xy 64 = 1.84467440719

Como sabes, este número es 1.844674407·1019

Tecla y

1

x

Con esta tecla, se obtienen directamente raíces n-ésimas ( el índice de la

raíz es y)

5 350 → 350 y

1

x 5 = 3.227108809

En otras calculadoras, en lugar de la tecla y

1

x existe otra tecla x . Se realiza así:

5 350 → 5 x 350 = 3.227108809

ACTIVIDADES

4. Utilizando la calculadora, calcula:

a) 1025

b) 4 48

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c) 8 3024

d) 03,0

e) 4 03,0

f) 8 03,0

g) 74

h) 2100

i) 1,4120

j) 5 37

k) 4

1

625

2. PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Los radicales tienen una serie de propiedades que debemos conocer y utilizar

con soltura. Todas ellas son consecuencias inmediatas de conocidas propiedades

de las potencias.

Simplificar radicales

Expresando los radicales en forma exponencial vemos que, a veces se pueden

simplificar. Por ejemplo:

33339 2

1

4

2

4 24

Reducir radicales a índice común

Cuando queremos comparar dos radicales de distinto índice, no siempre resulta fácil. Si

los expresamos con el mismo índice, es mucho más sencillo. En realidad, se trata

simplemente de reducir a común denominador.

Por ejemplo, para comparar 70con5863

66 26

2

3

1

3 343369586586586586

3 586 > 70

66 36

3

2

1

34300070707070

Sacar factores fuera de una raíz

Para simplificar algunos radicales, y para sumarlos y restarlos, a veces es necesario

sacar factores fuera de una raíz. Por ejemplo:

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232·32·318 22

5125·3·25·3·25·3·2720 22424

Juntar dos radicales en uno solo

Por ejemplo:

30020·1520·15

Poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz

Por ejemplo:

66 226 26 33 1082·32·32·3

222

2

32

16

32

16 6 365

8

6

6 2

6

3

Potencia de un radical

Por ejemplo:

642222 62

12

124

3

55 33

5 822

Raíces de raíces

Por ejemplo:

63 22

124 3 55

Suma y resta de radicales

Dos radicales distintos no pueden sumarse si no es obteniendo sus expresiones

decimales aproximadas. Solo pueden sumarse radicales idénticos.

ó 3 77 solo pueden realizarse de forma aproximada, o bien

dejarlas indicadas.

Sí puede simplificarse la expresión siguiente:

517551157

Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta.

Previamente deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o

simplificarlas. Por ejemplo:

23

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222523242·52·32501832 225

232222248 4 234

Racionalización de denominadores

Al proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador se le llama

racionalización de denominadores.

En cada caso, nos haremos la pregunta: ¿por qué expresión he de multiplicar el

denominador para que el producto no tenga radicales?. Una vez encontrada la

expresión, también multiplicaremos por ella el numerador para que el resultado final

no varíe.

1er CASO: RAÍCES CUADRADAS.

Por ejemplo:

3

32

3·3

3·2

3

2

2º CASO: OTRAS RAÍCES

Por ejemplo:

7

7

7

7

7·7

7·1

7

15 3

5 5

5 3

5 35 2

5 3

5 2

3er CASO: SUMAS Y RESTAS DE RAÍCES.

Hay que tener en cuenta que: (a + b) · (a – b) = a2 – b2

Y que a la expresión ba se le llama conjugado de ba y, al revés,

ba es el conjugado de ba .

Por ejemplo:

2

35

35

35

35

35

35·35

35·1

35

122

7

226

29

226

23

226

23·23

23·2

23

22

2

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ACTIVIDADES

5. Simplifica:

a) 12 9x

b) 12 8x

c) 5 10y

d) 6 8

e) 9 64

f) 8 81

10. ¿Cuál de los dos es mayor en cada caso?

a) 34 13y31

b) 93 132650y51

11. Reduce:

a) 53 2·2

b) 63 3·6

c) 10 64 ba

12.Saca del radical los factores que sea posible:

a) 3 4x32

b) 3 53 cba81

c) 5 64

13. Simplifica:

a) 3 3

9

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b) 2

165

c) 33

4 53

cab

cba

d) 6

3 2a

e) 33

x·x

f)

8

2

14. Efectúa:

a) 825018

b) 277512

15. Racionaliza los denominadores:

a) 2

5

b) 7

5

c) 3 2

1

d) 5 23

2

e) 23

4

f) 32

3

ACTIVIDADES DEL TEMA

16. Expresa en forma de potencia con exponente fraccionario:

a)3 25

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b) 5 2a

c) 8 5a

d) 3 x

e) 1a

g) 4 2a

h) 2

17. Expresa en forma de raíz:

a) 32/5

b) 23/4

c) a1/3

d) z1/2

e) x1/4

f) a3/2

g) x-1/2

h) x-3/2

18. Calcula:

a) 251/2

b) 271/3

c) 1252/3

d) 813/4

19. Calcula las siguientes raíces:

a) 4 16

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b) 5 243

c) 4 1

d) 3 1

e) 1

g) 3 27

i) 144

20. Obtén con calculadora:

a) 5 9

b) 3 173

c) 4 314

d) 4

5

3

e) 328

f) 283/4

g) 8-1/3

h) 0,021/2

i) 0,2-1/2

21. Multiplica y simplifica el resultado:

a) 6·3·2

b) 3 23 a·a

c) 8·10·5

d) 3a·a

22. Simplifica los siguientes radicales:

a) 6 35

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b) 15 122

c) 10 8a

d) 12 84 b·a

e) 8 22yx

f) 4 12x

23. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor en cada caso:

a) 43 4,3,2

b) 6 54 33 4 3,5,2

24. Divide y simplifica el resultado:

a) 3

12

b) 2

43

c) 44

3

20:

12

5

d) 4

4 2

a

a

e) 3

2:

2

3

f)4

6

10

20

25. Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales:

a) 3 16

b) 28

c) 4 102

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d) 8

e) 200

f) 300

26. Calcula y simplifica en cada caso:

a) 10

2

b) 4

3 2

c) 8

4 23

d) 4 8

e) 10

2

f) 6

3 2

27. Calcula y simplifica:

a) 35333

b) 18772482

c) 50328423

d) 4875827125

e) 3

25

4

232

28. Efectúa:

a) 50080320

b) 4554125

c) 333 513540

29. Racionaliza y simplifica

a) 2

2

b) 6

4

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c) 12

6

d) 15

3

e) 3 5

3

f) 8 5a

1

g) 3 x

1

h) 4 2

2

i) 21

2

j) 23

4

k) 31

1

l)25

23

m) 31

1

n) 35

1

o) 23

1

p) 23

10

30. Expresa como potencia única:

a) 3 3·3

b) 3 42

c) aa

d) 3 4

8

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e) 2

3 8

a

a

f) 63 2 a·a

31. Expresa en forma exponencial:

a) 3

5 2a

b) 8 25 a·a

c) 3 4 x

d) 3

a

e) 2

4 2a

f) 5

a

32. Reduce aun solo radical:

a) 43 2 2·2

b) 6 54 3 a·a

c) 2·2

84

8

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