Trabajo Final Números Racionales

Metodologa, Observacin y Prctica de la Enseanza Trabajo final 2011

1

Ttulo: Nmeros Racionales Autor: Cravero, Diego Profesores: Fregona, Dilma Esteley, Cristina Delgado, Erika Viola, Fernanda Carrera: Profesorado de Matemtica Fecha: 21/12/2011


2

RESUMEN

El presente trabajo, informa sobre la prctica realizada por el alumno Cravero Diego, en un Instituto Terciario de la Ciudad de Crdoba, en cursos de primer ao del Profesorado de Educacin Primaria, en el marco de la unidad curricular Desarrollo del Pensamiento Matemtico. El tema desarrollado fue: Nmeros Racionales.

Contiene informacin general de la institucin, modalidad de trabajo, desarrollo de la planificacin, anlisis de una problemtica desde una perspectiva terica y algunas consideraciones finales.

PALABRAS CLAVES

Nmeros Racionales

CLASIFICACIN

97 Mathematics Education 00 General


3

Agradezco especialmente a las profesoras Dilma Fregona, Cristina Esteley, Erika Delgado

y Fernanda Viola por el apoyo constante durante el perodo de prcticas y por hacerme

reflexionar durante todo el ciclo lectivo sobre distintas cuestiones fundamentales de la

prctica docente, entre ellas la planificacin, la cual es una herramienta clave que se debe

usar de manera consciente si queremos brindar una educacin de calidad

El Autor


4

"La meta principal de la educacin es crear hombres que sean capaces de hacer cosas nuevas no simplemente de repetir lo que otras generaciones han hecho; hombres que sean creativos, inventores y descubridores. La segunda meta de la educacin es la de formar mentes que sean crticas, que puedan verificar y no aceptar todo lo que se les ofrece". JEAN PIAGET


5

NDICE

INFORMACIN GENERAL ........................................................................... 6

LA INSTITUCIN ........................................................................................... 6

EL AULA ........................................................................................................ 6

PROGRAMA DE LA UNIDAD CURRICULAR : ............................................. 7

PLANIFICACIN DEL PRACTICANTE ......................................................... 7

CONCLUSIN: ............................................................................................ 29

ANEXO 1: .................................................................................................... 30

ANEXO 2: .................................................................................................... 38

Nota

Para la mejor comprensin del informe, se distingui con distintas tipografas de letras: lo

que este escrito en Arial ser lo principal del informe detalles consideraciones del autor,

lo que este en Arial (cursiva) sern las citas textuales de artculos de autores y lo que

este escrito en Baskerville Old Face (cursiva), sern los dilogos y descripciones de lo que

paso en el aula durante las practicas


6

INFORMACIN GENERAL

La Institucin donde se desarrollaron las prcticas. Fue un Instituto Superior de la ciudad de Crdoba. El curso donde se efectuaron las prcticas, fue un 1 ao del Profesorado de Educacin Primaria La cantidad de estudiantes: 16 Los horarios de clase: Mircoles 15:40 - 16:20 hs. - 16:30 -17:50. El perodo de observaciones: 31 de Agosto - 7 de Septiembre ao 2011. El perodo de prcticas: 14 de Septiembre - 19 de octubre ao 2011.

LA INSTITUCIN

Es un Instituto de nivel superior de la Ciudad de Crdoba, en donde se dictan los Profesorados de Educacin Inicial, Educacin Primaria y una Tecnicatura en Seguridad Vial. Es un edificio de dos plantas; en las cuales se encuentran una sala de profesores, secretara, un espacio asignado a la Asociacin Cooperadora, un saln de usos mltiples en donde se desarrollan generalmente los actos, aulas, biblioteca, baos y laboratorio de informtica con acceso a internet ,

EL AULA Durante el periodo de observaciones, el tema dictado por la docente fue un repaso de sistema de numeracin en distintas bases, y luego tom una evaluacin. La modalidad de trabajo era con una metodologa terico-prctica, y se acostumbraba mucho a que las estudiantes pasen al frente a defender sus producciones, con la intencin de acostumbrarlas a trabajar en el pizarrn ya que era un Profesorado de Educacin Primaria. Las clases se desarrollaban en un aula bien iluminada, con bancos como los de escuela primaria solo que en tamao adulto (sillas y mesas independientes). En la unidad curricular que se dictaba, las estudiantes usaban un apunte terico-prctico confeccionado por un grupo de docentes de los ISFD de la ciudad de Crdoba al que se ados uno confeccionado por el practicante Las estudiantes, aunque las tareas fuesen individuales, se distribuan en grupos generalmente de cuatro personas. Tres estudiantes solan trabajar en forma individual, eventualmente integraban los grupos. A pesar de que haba dos grupos aparentemente alejados entre s, no haba problemas de movilidad de los integrantes de un grupo a otro. La amplitud del aula y la cantidad de estudiantes, favorecan las relaciones interpersonales.


7

PROGRAMA DE LA UNIDAD CURRICULAR : La planificacin anual de la unidad curricular se divida en cuatro unidades: La unidad I era transversal a toda la unidad curricular y estaba subdividida en: procedimientos vinculados con la resolucin de problemas, con el razonamiento, y con la comunicacin. La unidad II se refera a los campos numricos: nmeros naturales, definicin, problemas que se resuelven con nmeros naturales, significado ordinal, cardinal, representacin en la recta numrica, sistemas de numeracin posicionales y no posicionales, concepto de base de un sistema de numeracin. La unidad III, trataba los nmeros racionales: usos de la fraccin, comparacin de fracciones, densidad y orden en Q; fracciones y expresiones decimales. Lectura y escritura de expresiones decimales. Y finalmente en la unidad IV se hablaba del pensamiento matemtico, contribucin de la matemtica al desarrollo del pensamiento de los escolares y el papel del profesor.

PLANIFICACIN DEL PRACTICANTE Tema de la prctica: fracciones para resolver distintos tipos de problemas: reparto, medida, resultado de la divisin entre dos nmeros, razn, probabilidad, proporcionalidad (escala). Representacin en la recta numrica. Fracciones equivalentes. Orden. Nmero racional. Aclaramos que escala, Representacin en la recta numrica, Fracciones equivalentes, Orden, y nmero racional no se dictaron en las practicas porque no alcanz el tiempo (esa parte de la planificacin se encuentra en el anexo 1). Objetivos generales:

Adquirir habilidades en la comunicacin de procesos y resultados matemticos en forma oral y escrita utilizando diferentes representaciones y el vocabulario matemtico pertinente.

Ofrecer variedad de experiencias de aprendizaje en cuanto a organizacin de la tarea- grupal e individual formas de estudio, ritmo de trabajo, tipo de tarea, formas de acceso, materiales utilizados, etc.

Desarrollar la capacidad de modelizar situaciones.

Propiciar el establecimiento de relaciones basadas en el respeto y la tolerancia. Objetivos especficos: Que las Estudiantes: Comprendan que la ampliacin del campo numrico responde a la necesidad prctica de expresar los resultados de un reparto, de una medicin, razn, proporcin y probabilidad y a la necesidad terica de eliminar las restricciones para la divisin con nmeros enteros. Seleccin, organizacin y secuenciacin de los contenidos: Se planific partiendo desde los usos ms tradicionales de fraccin (medida, razn, reparto, proporcionalidad) hasta los menos usuales (probabilidad, escala) y a la vez desde


8

una perspectiva histrico-cronolgica, de cmo surgi la necesidad del concepto de nmero racional. Luego de desarrollar situaciones problemticas con los contextos planteados anteriormente, se decidi dar una definicin de nmero racional.

La dinmica general de la clase era: El practicante instaba a que los estudiantes resuelvan actividades proporcionadas por una gua terico-prctica que elabor el practicante1. Las estudiantes las resolvan, y luego pasaban al frente para defender sus ideas (esto tena su basamento en el hecho de que se estn formando como maestros). Se promova la discusin, y el papel del docente era el de moderador, cuestionando las producciones para trabajar con el error, y formalizar los conocimientos. En general se daba un tiempo para que resolvieran los ejercicios en clase y los que no llegaban a hacer se dejaban como tarea debido al corto tiempo de prcticas (4 clases ms la instancia evaluativa). Y esta tarea se retomaba en la prxima clase con una puesta en comn, cuando los tiempos lo permitieron. A continuacin se describen las seis primeras actividades planteadas a las estudiantes, con la indicacin de que las resuelvan como puedan y se muestran algunas de las estrategias empleadas para su solucin. Dichas actividades proponen el uso de fracciones en problemas de reparto. 1) Cada grupo de 3 alumnos, en una excursin, recibi 5 alfajores. Si todos quieren comer la misma cantidad, cmo se pueden repartir los alfajores? Qu cantidad de alfajor recibe cada uno? La produccin de una de las estudiantes fue la siguiente:

Donde cada columna representaba un alfajor y cada color lo que le corresponda a cada uno de los

alumnos. Y seal que a cada alumno le correspondan 1 alfajor ms 2/3 de otro. La estudiante tom el todo como un ente de naturaleza continua. Si bien se le dijo que haba llegado a la respuesta correcta, se remarc que luego se lo discutira nuevamente cuando se tratara la diferencia entre lo discreto y lo continuo.

1 Esa gua de actividades se elabor en el mbito de la Facultad con la participacin de Claudia Noelia Doria Medina,

compaera de curso.


9

Otra estudiante hizo esta produccin, la cual estaba correcta ya que representaba la doble naturaleza del problema; continuo y discreto a la vez. Los nmeros indican que parte le tocaba a cada uno. (Alumno 1, Alumno 2 , etc.)

3 3

Se llego a la conclusin de que a cada alumno le corresponda un alfajor y dos tercios de otro al igual

que la otra estudiante.

2) Lautaro tiene 8 chocolates iguales y quiere repartirlos equitativamente y sin que sobre nada con sus amigos Luca y Fermn. Busca distintas maneras de hallar cunto le corresponde a cada uno. 3) Busca tres maneras de repartir en partes iguales y sin que sobre nada 8 alfajores entre 5 chicos. 4) Manuel tena 250 caramelos y le dio 50 a su hermano Qu parte del total de caramelos le qued? Expliquen cmo lo pensaron 5) Martn quiere repartir alfajores entre 10 amigos.

a) Cuntos alfajores necesita si quiere darle a cada uno 1/3 de alfajor? b) Y si quiere darle dos alfajores y 1/3 a cada uno?

Las estudiantes dieron respuestas como la siguiente: Para el tem a): -Estudiante: 3 alfajores y un tercio. -Profesor: Vas al kiosco y comprs 3 alfajores y un tercio?

-Estudiante: ah, ok, 4 alfajores En la parte b): -Estudiante: 2x 10=20 alfajores, ms los cuatro para los tercios, o sea 24 alfajores.

6) Dos amigos ganan $1000 en la lotera y se reparten en partes iguales. Uno de ellos toma su parte y le entrega a su madre y a su padre Con que parte del premio se queda? Por qu?

1 2 1 2 1 2 3

1 2 1 2 1 2 3

3


10

Las estudiantes en general, resolvieron de manera correcta los ejercicios, y luego hubo una discusin de cada ejercicio en particular. Generalmente haba una puesta en comn de los resultados obtenidos, tanto los ejercicios que se resolvieron en clase como los que se dejaban de tarea. Los siguientes tres ejercicios plantean el uso de las fracciones para resolver problemas de medida. 7) Se trata de medir la longitud de cada uno de los segmentos siguientes (hechos con tiras de papel). Podran hacer esa medicin con una regla, y en ese caso, la unidad de medida sera el centmetro o el milmetro. Aqu le proponemos tomar como unidad la tira u Determinen la longitud de las tiras A, B, C y D con respecto a la unidad U.

.

En este ejercicio se le proporcion a cada una de las estudiantes un conjunto de rplicas de cartulina de todas las tiras con sus respectivas longitudes

2. Se les entreg a cada una, 5 tiritas de color verde, 2

de color celeste, 4 de color naranja, 4 de color rojo, y tres de color azul, y se las invit a que midieran

a la tira U. Se pueden diferenciar al menos dos estrategias para la resolucin de este ejercicio:

Supongamos que tomamos como unidad la tira verde (U) y queremos saber cul es la relacin con la tira naranja (C).Una forma de comparar las longitudes consiste en ver cuantas tiras C necesito para igualar la longitud de una serie de tiras U. Como una tira U es mayor que una tira C, pero dos tiras C son mayores a una tira U, debemos ver qu pasa con dos tiras U, en este caso la serie de dos tiras U es ms larga que la de dos tiras C. Siguiendo el proceso, se llega a que cuatro tiras C son de igual longitud que tres tiras U. De aqu se deduce la relacin entre las longitudes: cada cuatro tiritas de color naranja, se necesitan tres verdes para que coincidan las medidas (como se muestra en la figura siguiente. Tambin se pens de esta

forma el ejercicio para que surgiera el concepto de razn (cada tres verdes, cuatro naranja, la

razn es 4/3) y entonces se les preguntaba: si cada tres tiras U hay cuatro C, Cunto mide C respecto a U? se esperaba que las estudiantes se dieran cuenta de la relacin, es decir, de la razn como una fraccin

2Las longitudes respectivas tomando la verde como unidad eran: 3/4 de la unidad, 4/3 de la unidad, de la

unidad.etc. esta informacin no fue suministrada

U A

B C

D


11

Las estudiantes no se dieron cuenta de esa relacin, pero surgi otra resolucin que tambin se

haba previsto, que fue la siguiente:

Marcaban la parte que sobraba, o faltaba, de la tira a medir en relacin a la tira U. Luego

trasladaban la parte marcada sobre la tira unidad y observaban cuntas veces esa partecita

entraba en la unidad. De esa forma se daban cuenta en cuantas partes estaba dividida la

unidad. Por ejemplo al poner arriba la tira verde (U) de la tira roja (B) sobra una parte que

entra cuatro veces en U. Luego, contaban cuantas de esos cuartos de U entran en la tira B. De

esa forma llegaban a la conclusin que al necesitar cinco cuartos de U, la tira B mide 5/4

veces la unidad como se ilustra en la siguiente figura.

8) Marquen sobre el borde de una hoja un segmento como el siguiente:

Determinen la medida de estos segmentos tomando esa unidad y sin usar la regla.

9) a) Determinen cuanto miden las varillas tomando como unidad de medida la varilla i.

A B

C D E F


12

i.

b) Si toma como unidad de medida la varilla ii, cunto mide la varilla i? c) Es cierto que la varilla i entra ms de dos veces en la iii? Por qu? d) Midan todas las varillas tomando como unidad de medida la varilla v. En los siguientes dos problemas aparece la nocin de razn. 10) Luisa y Ana preparan licuado de manzana mezclando el jugo de frutas con agua. Luisa mezcla 2 vasos de agua con 3 de jugo, Ana 3 de agua con 4 de jugo. a) El sabor de alguno de los licuados es ms intenso o ambos saben igual? b) Cuntos vasos de jugo debe incorporar Luisa por cada 6 vasos de agua? c) Cuntos vasos de jugo debe aadir Ana por cada 6 vasos de agua?

El sabor a manzana no depende solamente de la cantidad de vasos de jugo, sino tambin de la cantidad de vasos de agua, es decir, de la relacin entre ambas cantidades. Esta relacin se llama razn. Una razn puede expresarse con dos cantidades: tres vasos de agua por cada dos de jugo, de cada cinco vasos de licuado, dos son de jugo, etc.

11) Para preparar una pintura de color anaranjado se mezclan 6 litros de pintura roja con 26 litros de pintura amarilla.

a) Cuntos litros de pintura amarilla se necesitan para obtener la misma tonalidad si se usan doce litros de pintura roja?

b) Cuntos litros de pintura roja se necesitan para obtener la misma tonalidad si se utilizan 78 litros de pintura amarilla?

c) Si en la mezcla se utilizan 4 litros de pintura roja, y 13 de amarilla se obtiene un color ms claro, ms oscuro o igual que el anterior? Por qu?

d) Si en la mezcla se usan 3 litros de pintura roja y 14 de amarilla, se obtiene un color ms claro o ms oscuro? Por qu?

En este ejercicio se inserta una unidad mltiple, ya que resultados de investigacin muestran que este tipo de problemas plantea otras dificultades.

ii.

v iv iii


13

12) Qu parte del total de cuadrilteros son trapecios?

13) a) Qu nmero multiplicado por 5 da 30? Cul es el resultado de 30 dividido 6? Por qu? Cul es el resultado de 20 dividido 7? Por qu? Qu nmero multiplicado por 5 da 2? Por qu? b) Cul es el resultado de 0 dividido 4? Por qu? Cul es el resultado de 11 dividido 0? Por qu? Cul es el resultado de 0 dividido 0? Por qu? Este ejercicio se incluy con la intencin de remarcar que la fraccin tambin es el resultado de una divisin, se trabaj con la necesidad de expresar nmeros que no eran resultados de una divisin exacta. Aqu se intenta mostrar a la fraccin como un nmero y no como un cociente indicado. Adems se incluy el inciso b para que tomaran en cuenta de que no se puede dividir por cero, y que cero dividido cualquier nmero da como resultado cero.

Cerrando ideas de lo trabajado hasta el momento, podemos introducir ahora la siguiente definicin:

A pesar de que se plante la fraccin como nmero se decidi enunciar esta definicin provisoria en trminos de expresin .Resultados de investigacin muestran que la concepcin de nmero racional lleva tiempo a partir de una concepcin operacional. Cabe destacar que si bien la nocin de fraccin ha sido utilizada para resolver problemas de reparto, medida, razn y como resultado de la divisin entre dos nmeros, veremos ms adelante otros usos posibles.

Toda expresin del tipo , en la cual a y b son nmeros enteros y b distinto de cero, se

llama fraccin. a es el numerador

b es el denominador


14

14) Qu parte de la figura sombre en cada caso

}

16) Pinta en cada caso la parte de la figura indicada con una fraccin, y realiza cada uno

de tres maneras diferentes

17) Carla comi de torta de frutilla y Toms de torta de chocolate. Es verdad qu Toms comi ms torta? Por qu? En esta ocasin se recalc el tema de los supuestos, por ejemplo: si la torta de frutilla era de distinto tamao que la de chocolate, no se podra aseverar nada a travs de la informacin dada. Es decir: si la torta de frutilla es igual al doble de la torta de chocolate, entonces Toms y Carla comieron lo mismo.

b) c) a)

a)1/2

a) 1/2

b) 2/3

c) 3/4

d) 5/6

e) d) f)

)


15

O tambin, si la torta de frutilla es mayor que el doble de la de chocolate, entonces siempre Carla comer ms que Toms.

18) De los 32 caramelos que tena en una bolsa, Federico comi partes. Julin, su amigo, le dice: Ayer yo com 20 caramelos muchos ms que vos! Tiene razn Julin? Por qu? 19) Dibujar una figura si se sabe que

20) En una chacra hay 120 rboles; la mitad son manzanos y 5/6 del total se secaron a

consecuencia de una plaga.

a) Cuntos manzanos hay?

b) Cuntos rboles se secaron?

c) Cuntos manzanos se secaron como mximo? Y como mnimo?.

21) Para preparar una pintura de determinado color se mezclan 12 litros de pintura blanca

con 3 litros de pintura verde.

a) Por otro lado, se quiere hacer una mezcla que tenga la misma tonalidad pero

usando 4 litros de pintura verde. Cuntos litros de pintura blanca se debern usar en

este caso?

b) Si se ponen 9 litros de pintura blanca, cuntos litros de pintura verde se deber

utilizar para obtener la misma tonalidad?

22) Observe el modelo y luego complete:

a) El hexgono constituye su

tercera parte.

b) el hexgono constituye

sus dos terceras partes


16

Qu semejanzas y diferencias hay entre estas actividades?

23) Encuentre el dato que falta y explique por escrito el procedimiento seguido.

24) Complete con la fraccin que corresponde, analice cuidadosamente sus acciones y

descrbalas.

2


17

Aqu exponemos una tpica clasificacin de las fracciones que se usa en la enseanza:

Fracciones Propias:el numerador es menor que el denominador. La fraccin es menor

que la unidad.

Fracciones Impropias el numerador es mayor que el denominador. La fraccin es

mayor que la unidad.

Fracciones Aparentes: representan enteros. El numerador es mltiplo del

denominador.

Otros problemas que involucran fracciones

Registrar en la tabla que sigue la cantidad de veces que aparece cada cara del dado en alrededor de 30 tiradas.


18

1 2 3 4 5 6

Grupo 1

Grupo 2

Grupo 3

Grupo 4

Totales

Las fracciones tambin se usan para expresar resultados obtenidos al resolver problemas

de probabilidades. De qu se trata? En un experimento aleatorio, la probabilidad de que

ocurra un suceso se calcula como el cociente entre el nmero de casos favorables y el

nmero de casos posibles, si stos son igualmente probables.

Probabilidad de un suceso = posibles casos de nmero

favorables casos de nmero

Por ejemplo, al arrojar un dado que no est cargado, todos los nmeros en sus caras

tienen la misma probabilidad de salir, ese nmero es 6

1. Se dice que los casos son

igualmente probables.

La intencin de este ejercicio era introducir la nocin de probabilidad terica desde un experimento.

Para esto, se las invit a que se reunieran en grupos de 4, y a cada grupo se les entreg un dado, se les

pidi que hicieran 30 tiradas por grupo, y anoten en la tabla cuantas veces sala cada uno de los

nmeros de las caras del dado. Luego se sumaban todos los resultados de las tiradas en la tabla (en

esta oportunidad 60 tiradas, pues eran dos grupos), y se analizaba cules eran las probabilidades

reales que haban resultado del experimento.


19

25) En una bolsa hay una bolilla negra y dos blancas. Si se saca una al azar, cul es la

probabilidad de que sea blanca? Cul es la probabilidad de sacar una roja?

26) Calcula en cada caso las probabilidades cuando se lanza un dado de que ocurra lo

siguiente:

a) obtener un nmero par d) obtener un nmero primo

b) obtener un mltiplo de tres e) obtener un nmero impar

c) obtener un nmero mayor que cuatro f) obtener un mltiplo de 12 g) obtener un nmero menor o igual que cuatro

h) obtener un mltiplo de 1

27) Para una fiesta de cumpleaos se calcula que cada chico come 1/8 kg. de palitos

salados.

a) Qu cantidad de palitos hay que comprar si van 7 chicos a la fiesta? Y si van 14?

b) si se compr 1 kg de palitos salados, cuntos chicos se esperaba que fueran? Y si

se compr kg? y si se compr 1 ?

28) Para el mismo cumpleaos se decidi comprar 1/8 kg de salchichas para cada chico.

a) completa la siguiente tabla:

Salchichas (en

kg)

2

2

Nmero de chicos

1

2

3

4

b) Cmo hiciste para calcular cuntos chicos comen con 2 kg de salchichas?

29) Un chico tarda de hora en caminar 6 cuadras. Completa la siguiente tabla

suponiendo que siempre camina a la misma velocidad:


20

30) Para una cena en la que se van a servir pastas, se calcula que hay que comprar kg

de fideos y litro de gaseosa por persona.

a) Cuntos kilos de fideos y cuantos litros de gaseosa es preciso comprar si en la

cena hay 8 personas?

b) Si se compraron1 kg de fideos y 3 litros de gaseosa Cuntas personas se

esperan?

c) Alcanzan 3 kg de fideos y 6 litros de gaseosa para 10 personas?

Hasta aqu se llego con los contenidos trabajados,, que no fueron todos los planificados , ya que no

alcanz el tiempo. Las tareas y actividades que no pudieron desarrollarse se encuentran en el anexo

1.

Cuadras caminadas

6

3

12

Tiempo que tarda en horas

1


21

EVALUACIN Criterios de Evaluacin: Presentacin Pertinencia en relacin con las consignas Claridad conceptual Relacin teora-prctica

La INSTANCIA DE EVALUACIN se aprueba con 4 (cuatro), debiendo contar con la resolucin correcta del 60 % de las actividades propuestas La profesora tena el siguiente criterio de valoracin respecto a los porcentajes obtenidos

en la instancia evaluativa:

Hasta 30: 1 - de 31 a 45: 2 - de 46 a 59: 3 - de 60 a 64: 4 de 65 a 69: 5 de 70 a 74: 6

de 75 a 81: 7 de 82 a 88: 8 de 89 a 95: 9 de 96 a 100: 10

A continuacin se detallan las instancias evaluativas que se emplearon para acreditar el mdulo. Tema 1:

INSTANCIA EVALUATIVA PARCIAL N 5

Alumno: Fecha:

19/10/2011

CALIFICACIN: Problema 1 = 15% Problema 2 = 15% Problema 3 = 20%

Problema 4 = 20% Problema 5 = 20% - Problema 6 = 10%;

ACTIVIDADES

1) De una canasta de 36 plantines, 1/3 son prmulas y 1/4 son godesias y el resto son

pensamientos. Cuntos plantines de cada clase hay?

2) Lautaro quiere repartir alfajores entre 17 amigos.

a) Cuntos alfajores necesita si quiere darle a cada uno 1/8 de alfajor?

b) Y si quiere darle un alfajor y 1/8 a cada uno?

3) Determin el dato que le corresponde a cada transformacin

De . es


22

De 3/2 es

4) Julia no dispone de una regla y decide usar como unidad de medida la tira gris Cunto

miden las tiras a) y b) segn esa unidad? Explic cmo lo hiciste

a) b)

5) Para hacer caf, Marisa puede usar varias mquinas. En la mquina A pone 3

cucharadas de caf para hacer 4 tazas. En la mquina B pone 4 cucharadas de caf para

hacer 6 tazas. Si siempre usa el mismo caf. En cul de estas cafeteras el caf sale

ms fuerte? Por qu? Cuntas cucharadas se tendran que poner en la mquina A si

necesito hacer 24 tazas de caf? Y en la mquina B cuntas cucharadas necesitara

para 18 tazas?

6) En una caja hay 7 bolitas. De las cuales 3 son verdes, 2 son azules, 1 es roja y 1 es

amarilla

Calcul las probabilidades de:

a) Salga una azul d) Salga una verde

b) Salga una roja e) Salga una amarilla

c) Salga una blanca f) No salga blanca


23

Tema 2

INSTANCIA EVALUATIVA PARCIAL N 5

Alumno:

Fecha: 19/10/2011

Tema 2

CALIFICACIN: Problema 1 = 15% Problema 2 = 15% Problema 3 = 20%

Problema 4 = 20% - Problema 5 = 15% - Problema 6 = 15%

ACTIVIDADES

1) De una canasta de 48 plantines, 1/6 son prmulas y 1/4 son godesias y el resto son


2) Lautaro quiere repartir alfajores entre 15 amigos. a) Cuntos alfajores necesita si quiere darle a cada uno 1/4 de alfajor? b) Y si quiere darle un alfajor y 1/4 a cada uno? 3) Determin el dato que le corresponde a cada transformacin.

De es

De . es

4) Julia no dispone de una regla y decide usar como unidad de medida la tira gris Cunto

miden las tiras a) y b) segn esa unidad? Explic cmo lo hiciste

a) b)

5) Para hacer caf, Marisa puede usar varias mquinas. En la mquina A, pone 2

cucharadas de caf para hacer 3 tazas. En la mquina B, pone 3cucharadas de caf para

hacer 5 tazas. Si siempre usa el mismo caf. En cul de estas cafeteras, el caf sale

ms fuerte? Por qu? Cuntas cucharadas se tendran que poner en la mquina A si

necesito hacer 18 tazas de caf? Y en la mquina B cuntas cucharadas necesitara

para 20 tazas?

Valor del ngulo

del sector

circular 45


24

6) En una caja hay 7 bolitas. De las cuales 3 son rojas, 2 son azules, 1 es verde y 1 es

amarilla

Calcul las probabilidades de:

a) Salga una roja d) Salga una amarilla

b) Salga una verde e) Salga una azul

c) Salga una negra f) No salga negra

Resultados de las evaluaciones:

Calificacin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cantidad de Estudiantes 1 1 1 2 2 3 0 2 0 2

Grfico


25

Porcentaje de aprobados y desaprobados


26

ANALISIS DE PROBLEMAS DESDE UN MARCO TERICO: Vamos a analizar distintos problemas que surgieron durante el desarrollo del tema desde

marcos tericos complementarios. Los datos que mostramos a continuacin provienen de

la instancia evaluativa:

De una canasta de 36 plantines, 1/3 son prmulas y 1/4 son godesias y el resto son


Una resolucin fue la siguiente

Aqu podemos observar que la estudiante no reconoce la parte del todo que se pide, dividi en 36 partes la unidad y consider 3/36 como 1/3, al igual que en el caso de en donde tom 4/36. Se puede ver segn Tall (1996) en un estudio que se hizo acerca del concepto de nmero racional a estudiantes del profesorado, donde afirma que desde el punto de vista cognitivo, se tiene una imagen del concepto en la mente del individuo que consiste en "todas las imgenes mentales y propiedades y procesos asociados" ( Tall y Vinner, 1981). El individuo trae una experiencia antes del encuentro con la definicin formal del concepto. Estos acercamientos al concepto de fraccin, en trminos de Tall (1996), no slo afectan a la forma en que el individuo construye las representaciones mentales del concepto, sino que con frecuencia se manifiestan a travs los esfuerzos para resolver problemas con una inadecuada "imagen del concepto evocada". En este caso, la definicin personal produce una imagen distorsionada del concepto (en el ejemplo, que de 36 sea 4 y no 36 dividido 4, o sea 12). En otra de las resoluciones analizadas por las alumnas del mismo problema, se puede observar adems la dificultad en el reconocimiento de la unidad. Esta estudiante no identific que el entero era una unidad mltiple y la represent como vemos en la figura siguiente.


27

Esta estudiante, tom, como vemos en la Figura 2, un entero y lo dividi en tres e identific el tercio buscado. Luego al resto le dio una entidad de entero pues lo dividi en dos. A cada mitad la volvi a dividir en dos e identific cada una de esas partes en cuartos. En este caso, pierde de vista que la suma de las partes tiene que reconstruir el entero. No pudo ver que 1/3+ 1/ 4 + 1/4 + 1/ 4 + 1/ 4 = 1/3+ 4/4= 1/3+ 1 = 1 1/3 algo que es mayor a la unidad, es decir, la unidad no qued invariante. Este tipo de concepciones errneas; segn Piaget (1948) es clsica en nios de edades tempranas, que dice entre otras cosas, que generalmente los nios no se dan cuenta que despus de reconstruidas las partes en que se dividi la unidad, la misma debe quedar invariante. Siguiendo con otro de los problemas analizados, se observa que hay dificultades en la identificacin de unidades discretas, y tambin de no saber distinguir cul es el entero y cul la parte. En algunos casos, las estudiantes adivinaban o creaban algoritmos para sacar cul era la fraccin en juego, decan: la cantidad de la derecha va arriba (numerador) y la de la izquierda abajo (denominador) sin distinguir la parte y el todo. Por ejemplo, en el caso de la actividad presentada (Figura 1), formaban la fraccin tomando como denominador la cantidad de elementos de la figura de la izquierda y como numerador la cantidad de elementos de la figura de la derecha. De esta forma llegaban a la fraccin 8/9. Figura 1 Ponce (1995) dice al respecto:..

. al sealar 3/5 de este conjunto los nios suelen indicar tres fichas como respuesta...

El autor, identifica esto como un obstculo didctico, (en trminos de Brousseau (1993)) ya que indica que al cambiar a una unidad discreta, las estudiantes se encuentran con otro problema, otro conocimiento, y no reconocen la parte del todo que se les pide.


28

Adems, Ponce (1995,39) reconoce un obstculo para la enseanza de fracciones: las representaciones:

Ciertas representaciones tradicionales del concepto de fraccin tambin forman un obstculo para su aprendizaje. La prctica de tomar un entero, dividirlo en partes y sombrear algunas, etc., no explicita cul es el problema que llev a esta solucin, no queda claro a qu pregunta est respondiendo este objeto. Es una herramienta que ha perdido gran parte de su sentido, en tanto se desconoce cul puede ser su utilizacin.

. Por mi experiencia en las prcticas pude observar que, los conocimientos previos de las estudiantes parecen muy limitados a nivel de las representaciones de las fracciones. Estas llegan a este nivel pensando generalmente que las fracciones son partes de pizzas, partes sombreadas de un rectngulo o un cuadrado. Estas representaciones parecen ser las nicas formas posibles de ver las fracciones. Adems se pudo observar, como dice Tall (1996) que se presentaban distorsiones en los conceptos. Por otro lado hay en la enseanza una falta de definiciones (Wu, 2011) consistentes que lleven a los estudiantes, en este caso a la definicin formal. Cuestin que puede indicar que en los mtodos de enseanza hay que rever este tipo de enfoque con respecto a las fracciones. En esta planificacin, se trat de que las estudiantes (futuras docentes) trabajen con el concepto de fraccin, ms all de lo algortmico, pues es un saber a ensear y no se pueden dejar bajo la nica responsabilidad de los docentes que a la hora de transmitirlos les generan dudas.


29

CONCLUSIN:

Las fracciones son un conocimiento complejo y lleno de obstculos a la hora de ensear pues se usa en diferentes contextos, y las representaciones que se hacen de ellas son siempre acotadas en relacin a la complejidad que ellas conllevan adems de las definiciones carentes de precisin que de ellas se ensean .Y esto por ende genera muchas trabas a la hora de ensearlas. Como futuro docente, a modo de conclusin de lo que las prcticas significaron para m, podra decir que fue una experiencia formadora en varios niveles. Adems de los didcticos y pedaggicos, puedo decir que ense y aprend. Ya que no solo hubo que planificar un saber a ensear. Sino que tambin fue formativa a nivel gestin, a nivel comunicacin, que fueron desde las relaciones con los docentes, directivos, alumnos. Porque hubo que sortear varias instancias, que no se presentan ante uno si no se tiene contacto con colegas, instituciones, etc. Existen muchos aspectos que solo se ven en la prctica. Y esto es lo que esperaba yo como alumno de la materia MOPE: una instancia en la que se puedan ver distintas facetas de lo que es ser docente adems de teoras pedaggicas y/o didcticas. A nivel personal, quiero agradecer a las profesoras. Que siempre estuvieron presentes en todas las diferentes dimensiones que se presentan en la prctica docente. Ellas siempre me indicaron el camino a seguir y realmente me ayudaron en todos los aspectos que se presentaron en las prcticas. Adems quiero agradecer a los compaeros con los que compart la materia. Pues con ellos compart experiencias, puntos de vista, y este trabajo conjunto fue muy formativo. Trabajo que en forma individual no podra haberlo hecho. El aula fue un espacio de reflexin donde se comparti mucho ms que conocimientos tericos. Pues como dice Paulo Freire:

..Los hombres no se hacen en el silencio, sino en la palabra, en el trabajo, en la accin, en la reflexin.


30

ANEXO 1:

En este anexo se describe la parte de la planificacin que no se desarroll por falta de tiempo y est compuesto por ejercicios que pertenecan a los contenidos no dictados pero que estaban en la planificacin. 31) a) Escrib que mapas trajeron los integrantes de tu grupo. Cmo explics que en un trozo de papel estn representadas regiones de diferentes tamaos? b) Toma dos mapas que representen una misma regin y comparar la escala que se utiliz. c) Calcula la distancia aproximada entre dos puntos que aparezcan en los dos mapas utilizando una regla

32) Un auto recorre 180 km en una hora y media y otro recorre 20 km en de hora Cul

va ms rpido? 33) Un terreno tiene forma rectangular, de 14 metros de largo y 22 metros de ancho. Dibuja el terreno usando una escala donde 1 cm representa 4 metros. 34) Para hacer un plano una distancia de 8 km se representa con 5 cm. a) Cunto medir en el plano una distancia de 12 km b) Una distancia en el plano es de 7 cm. Cul es la distancia real? Representacin de fracciones en la recta numrica Para introducir el tema, se plantea la siguiente actividad: Parte A) Se entrega a cada alumno una hoja, dividida en dos partes. Una parte con lneas paralelas horizontales equidistantes y la otra con lneas paralelas oblicuas tambin equidistantes. Adems, cada alumno tendr un segmento ab (el mismo para todos) dibujado sobre un papel transparente. La consigna es: partir en 5 partes iguales el segmento ab, usando como recurso las hojas rayadas. Por superposicin, se verifica si coinciden las partes. Parte B) Se divide a la clase en equipos de 4 estudiantes, dos sern emisores y dos receptores, alejados entre s. Todos los alumnos reciben una hoja transparente con un segmento mn cuya longitud es la misma para todos. Para la mitad de los equipos, el segmento mn tiene marcado el punto r (1/6) Para la otra mitad, el segmento mn tiene marcado el punto q (1/7) Consigna: usando las hojas rayadas, tiene que redactar un mensaje para que el equipo que lo reciba pueda ubicar en su segmento el punto que Uds. tienen marcado. Cuando


31

terminan se superponen los segmentos para verificar. Si ambos grupos, emisor y receptor logran la tarea, ganan. Tanto para los equipos ganadores como los perdedores, analizar los mensajes y la construccin. 35) Sobre la actividad anterior, si al extremo m le asignamos el nmero 0 y al n el nmero 1, qu nmero corresponde al punto q? Y a r? 36) Otro modo de dividir un segmento por ejemplo para representar la fraccin 3/5, es dibujar una semirrecta con origen en el punto correspondiente al 0, y a partir de all sealar cinco puntos equidistantes.

Unir el punto 5 con el 1 y trazar una paralela a dicho segmento que pase por el 3. Una justificacin de por qu esta tcnica funciona se encuentra en el Anexo I. Habra que analizar en clase el Anexo 2, que permite justificar esta tcnica y tambin la de la hoja con rectas paralelas equidistantes. 37) Dados los siguientes segmentos y su medida respecto de una unidad, construir la

unidad y dibujarla.

2/3

3/2

1/2

4/3

4/5

7/7


32

38) Un robot avanza con pasos regulares de modo tal que sale de 0 y con cinco pasos llega al 1. (a) Representa en una recta numrica los primeros pasos del robot. (b) Qu nmero pisa con el tercer paso? Y con el octavo paso? (c) Si la longitud de pasos se duplica, cules son los primeros 10 nmeros que pisa?

39) Ubica los nmeros , 9/10, en esta recta numrica

0 1 40) En la recta numrica estn ubicados el 0 y Dnde se encuentra el 1? Y el 2? 0 3/4 41) En siguientes recta aparecen graficados los puntos c y d. A qu fraccin le coresponden? 42) Representar en la misma recta numrica, usando el mtodo de las paralelas para dividir un segmento en partes iguales, las fracciones , 2/3, 5/4, 7/2, y 5/8. 43) En cada una de las siguientes rectas numricas se han presentado nmeros con signos de interrogacin. Cules son esos nmeros?

0 c 1 d 2

0 1

?

0

?

1

0

?

1

?

2

7

?

8

11

?

10

?


33


34

Comparacin de fracciones. Fracciones equivalentes Revisando diferentes escrituras de los resultados obtenidos, podemos introducir la siguiente

definicin:

45) Para repartir 3 chocolates en partes iguales, y sin que sobre nada entre cuatro personas Sofi y Laura hicieron lo siguiente: Sof: yo part cada chocolate en 4 partes iguales. Le di una de esas partes a cada persona. En total le di 3 partes de a cada una. Entonces cada persona recibi de chocolate Laura: Como cada chocolate tiene 8 partes iguales. Le di dos partes de cada chocolate a cada persona. Cada una recibi 6/8 de chocolate. En los dos casos todas las personas reciben lo mismo? Por qu?

45) Indique en los siguientes repartos cules son los chicos que reciben mayor cantidad. Anoten como lo pensaron.

a) 4 alfajores entre 3 personas d) 21 alfajores entre 8 personas b) 12 alfajores entre 7 personas e) 42 alfajores entre 16 personas c) 20 alfajores entre 15 personas f) 40 alfajores entre 14 personas

46) Completa para que las fracciones sean equivalentes. Es siempre posible? Por qu?

a) 10

25

2 b)

36

48

12 c)

250

10

25

d) 153

7

e)

32

100

1208 f)

43

2

Del ejercicio anterior, podemos obtener una regla para simplificar o amplificar fracciones. Podemos observar que multiplicando el numerador y el denominador de una fraccin por

un mismo nmero se obtiene una fraccin equivalente. Por ejemplo, en 3

7 multiplicamos

numerador y denominador por 5 y obtenemos 35/25. Esta tcnica se denomina amplificacin de una fraccin x 5

x 5

Una fraccin es equivalente a otra si se verifica que a . d = b . c


35

La tcnica recproca, es decir dividir numerador y denominador por un mismo nmero, se conoce como simplificacin. La fraccin que ya no se puede simplificar se llama fraccin irreducible : 4

: 4 47) Decid en cada caso que fraccin es mayor. Explic como lo hiciste

Para comparar dos fracciones a veces es fcil. Puedes identificar cual es el caso ms difcil de los anteriores? Para resolverlos, a continuacin le proponemos una tcnica: 48) Las siguientes fracciones estn ordenadas de mayor a menor? Ordnalas si no lo estn

49) Encontr tres fracciones entre y 1 .Explica cmo hiciste para encontrarlas. Se

podrn encontrar dos fracciones ms?

50) Cuntas fracciones podes encontrar entre y 1 que tengan denominador 15?

Ejercicios para profundizar 51) Ordena de menor a mayor cada terna de nmeros fraccionarios.

a) . b) . c) .

52) Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones. Explica como pensaste. 53) Completa los espacios en blanco de modo que las fracciones resulten equivalentes.

a) . b) . c) .

Para comparar dos fracciones buscamos fracciones equivalentes que

tengan el mismo denominador y comparar los numeradores


36

d) 54) Completen con < > segn corresponda

d)

55) En esta tabla se representa la cantidad de harina y agua necesaria para hacer vainillas

a) Completa la tabla

Cantidad de harina (En Kilogramos)

1

Cantidad de agua (en litros)

2

b) Si se usa 1 kilo y medio de harina Cunta agua se necesitar?

Para analizar El conjunto de fracciones positivas Q tiene infinitos elementos. En el diagrama se ha

representado a ese conjunto con algunos de sus elementos. As como al estudiar los nmeros naturales hablamos de una relacin de equivalencia que se define sobre un


37

conjunto para obtener una particin, en Q+ determinamos una particin teniendo en cuenta la relacin es equivalente a entre fracciones. As el nmero es el representante irreducible de la clase de las fracciones equivalentes a l, es decir; = 2/4 = 3/6 = 4/8 = Del mismo modo el nmero 7, es el representante de la clase de los nmeros equivalentes a l, tales como: 7/1 = 700/100 = 49/7 = Entonces .

Toda fraccin representa un nmero racional y dos fracciones equivalentes definen el mismo nmero racional. As, para el racional 4/3 es posible escribir, por ejemplo, una coleccin de fracciones 8/6 = 40/30 = 48/36, etc. Para el racional 7/5 es posible otra coleccin 14/10= 21/15, etc. Al representante irreducible de cada clase es lo que se llama nmero racional.


38

ANEXO 2:

Este anexo estaba pensado para que cuando se dictara la divisin en partes iguales de un

segmento, las estudiantes tengan una explicacin del mtodo que se les iba a ensear (la

idea era entregarles a cada una de ellas, una copia del mismo).


39


40


41

BIBLIOGRAFA

Balbuena, H. et al (1983): Descubriendo las fracciones, Temas de Educacin Primaria, Departamento de Investigaciones Educativas del Instituto Politcnico Nacional, Mxico.

Bonyuan S. M. Cabrera G. - Dalma A. Demarchi G. Diani G. Garca A. M. Garca M. Gonzlez G. - Goyeneche S. - Oviedo A. - Picca E. (2011). Apuntes de clase para la unidad curricular Desarrollo del pensamiento matemtico del primer ao del Profesorado de Educacin Primaria. Crdoba

Brousseau G. (1993) Problemas en la enseanza de los decimales. Traduccin realizada con autorizacin del autor por Dilma Fregona y Rafael Soto, Crdoba, Facultad de Matemtica Astronoma y Fsica, UNC.

Cagliero L. y otros (2009) Postitulo en enseanza de la matemtica Fa.M.A.F. Fregona D. (1999.) El libro de la Matemtica 7, Buenos Aires, Estrada Piaget J. y Otros, (1948, 2 ed 1973) La geomtrie spontane de l enfant.

Presses Universitaires de France. Traduccin de un fragmento del captulo XII realizada por Dilma Fregona, para su estudio en la formacin inicial y continua de profesores.

Ponce H. (1995),Ensear y aprender matemtica. Propuestas para el segundo ciclo. Ediciones Novedades Educativas. Bs. As

Tall D. y Pinto M. (1996) Student Teachers Conceptions of the Rational Numbers Proceedings of PME 20. Valencia, vol. 4, pp. 139146.

Tall D. y Vinner S. (1981) Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity, Educational Studies in Mathematics, 12 2, 151169. Wu, H. (2011)The Mis-Educaction of MathematicsTeachers - Notices of the AMS,

vol 58, N 3 p.372-384 (Traduccion no autorizada realizada por Cristina Esteley)

Trabajo Final Números Racionales

Documents

Transcript of Trabajo Final Números Racionales