MATEMÁTICAS SEMANA UNO

7/24/2019 MATEMTICAS SEMANA UNO

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CONJUNTOS NUMERICOSEstn formados por:

Nmeros Enteros.

El conjunto de los nmeros enteros est Formado por los naturales,sus opuestos (negativos) y el cero. Se representan mediante la letra Z.

Z= {... 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}


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Operaciones con nmeros enteros

Suma de nmeros enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valoresabsolutos y al resultado se le pone el signo comn.

3 + 5 = 8

(3) + (5) = 8


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2. Propiedades de la suma.

1. Interna:

a + b E a Z

3 + (5) E a Z2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + ( 5) = 2 + [3 + ( 5)]

5 5 = 2 + ( 2)

0 = 0


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3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + ( 5) = ( 5) + 2

3 = 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(5) + 0 = 5

5. Elemento opuestoa + (-a) = 0

5 + (5) = 0

(5) = 5


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Resta de nmeros enterosLadiferenciade losnmeros

enterosse obtiene sumandoal minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 5 = 27 (5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de nmerosenteros1.Interna:a b E a Z10 (5) E a Z


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2. No es Conmutativa:

a - b b - a

5 2 2 5

Multiplicacin de nmeros enterosRegla de los signos


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Propiedades de la multiplicacin de nmeros enteros.

1. Asociativa:

(a b) c = a (b c)

(2 3) (5) = 2 [(3 (5)]6 (5) = 2 (15)

-30 = -30

2. Conmutativa:

a b = b a

2 (5) = (5) 2

-10 = -10


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3. Distributiva:a (b + c) = a b + a c(2) (3 + 5) = (2) 3 + (2) 5(2) 8 =- 6 + (- 10)

-16 = -166. Sacar factor comn:a b + a c = a (b + c)

(2) 3 + (2) 5 = (2) (3 + 5)


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Divisin de nmeros enteros

Propiedades de la divisin de nmeros enteros

2. No es Conmutativo:

a : b b : a6 : (2) (2) : 6

Potencia de nmeros enteros

La potencia de exponente natural de un nmero entero esotro nmero entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la

potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicacin de lassiguientes reglas:


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1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de labase.

Propiedades.a0= 1

a1= a

am an= am+n

(2)5(2)2= (2)5+2= (2)7= 128

am: an= am - n


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(2)5: (2)2= (2)5 - 2= (2)3= 8

(am)n= am n

[(2)3]2= (2)6= 64

an bn= (a b)n

(2)3 (3)3= (6)3= 216

an: bn= (a : b)n

(6)3: 33= (2)3= 8

Potencias de exponente entero negativo


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Raz cuadrada de un nmero entero

Las races cuadradas de nmeros enteros tienen dos signos: positivo ynegativo.

El radicando es siempre un nmero positivo o igual a cero, ya que setrata del cuadrado nmero.


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Operaciones combinadas con nmeros enteros

Prioridades en las operaciones.

1.Efectuar las operacionesentre parntesis, corchetes y

llaves..2.Calcular las potencias yraces.

3.Efectuarlos productos y cocientes.

4.Realizarlassumasyrestas.


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CONJUNTO DE NMEROS

RACIONALESSe llama nmero racional a todo nmero que puede representarsecomo el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.Se representa por Q.


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OPERACIONES CON NMEROSRACIONALESSUMA Y RESTA DE NMEROS RACIONALESCon el mismo denominador.

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene eldenominador.


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Con distinto denominador

En primer lugar sereducen los denominadores a comn denominador

, y se suman o se restan los numeradores de las fraccionesequivalentes obtenidas.
http://www.vitutor.com/numeros/racionales/r4.htmlhttp://www.vitutor.com/numeros/racionales/r4.html


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Propiedades de la suma de nmeros racionales

1. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)


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2. Conmutativa:

a + b = b + a

3. Elemento neutro:

a + 0 = a


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4. Elemento opuesto

a + (a) = 0

El opuesto del opuesto de un nmero es igual al mismo nmero.


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Multiplicacin de nmeros racionales


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Propiedades de la multiplicacin de nmeros racionales

1. Asociativa:

(a b) c = a (b c)


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2. Conmutativa:

a b = b a

3. Elemento neutro:

a 1 = a


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4. Elemento inverso:

5. Distributiva:

a (b + c) = a b + a c


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6. Sacar factor comn:

a b + a c = a (b + c)

Divisin de nmeros racionales


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Potencias de nmeros racionales

Potencias de exponente entero y base racional


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Propiedades

3. Producto de potencias con la misma base


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4. Divisin de potencias con la misma base:

5. Potencia de una potencia

6. Producto de potencias con el mismo exponente:


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7. Cociente de potencias con el mismo exponente:


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NMEROS REALESFormado por los racionales e irracionales, se designa por la letra R.Con los nmeros reales podemos realizar todas las operaciones,excepto la radicacin de ndice par y radicando negativo, y ladivisin por cero.


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OPERACIONES CON NMEROSREALES

SUMA DE NMEROS REALESPropiedade.1.Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no vara el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

2.Conmutativa:

El orden de los sumandos no vara la suma.

a + b = b + a


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Multiplicacin nmeros reales

Propiedades.

1.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no vara el resultado. Si a, b y c sonnmeros reales cualesquiera, se cumple que:

(a b) c = a (b c).

2.Conmutativa:

El orden de los factores no vara el producto.a b = b a


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3.Distributiva:

El producto de un nmero por una suma es igual a la suma de losproductos de dicho nmero por cada uno de los sumandos.

a (b + c) = a b + a c4.Sacar factor comn:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor comn, podemos transformarla suma en producto extrayendo dicho factor.

a b + a c = a (b + c)


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RAZN

Razn es el cociente entre dosnmeros o dos cantidadescomparables entre s, expresado

como fraccin.Los trminos de una razn sellaman: antecedente yconsecuente. El antecedente es eldividendo y el consecuente es eldivisor.


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Diferencia entre razn y fraccin.

La razn en los lados de unrectngulo de 5 cm de altura y 10 cmde base es:No hay que confundir razn confraccin.Si es una fraccin, entonces a y bson nmeros enteros con b0,

mientras que en la razn losnmeros a y b pueden ser decimales.


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Proporcin

Una proporcin es una igualdad entre dos razones.

Propiedades de las proporcionesEn una proporcin del producto de los medios es igual al productode los extremos.


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En una proporcin o en una serie de razones iguales, la suma delos antecedentes dividida entre la suma de los consecuentes esigual a una cualquiera de las razones.

Si en una proporcin cambian entre s los medios o extremos laproporcin no vara.


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Cuarto proporcional

Es uno cualquiera de los trminosde una proporcin.Para calcularlo se divide por el

opuesto, el producto de los otrosdos trminos.


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Medio proporcionalUna proporcin es continua sitiene los dos medios iguales.Para calcular el medio

proporcional de unaproporcin continua se extraela raz cuadrada del producto

de los extremos.


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Tercero proporcionalEn una proporcin continua, sedenomina tercero proporcional acada uno de los trminos desiguales.Un tercero proporcional es igual al

cuadrado de los trminos iguales,dividido por el trmino desigual.


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Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de lascantidades es 100.

Ejemplos

Una moto cuyo precio era de 5.000 , cuesta en la actualidad 250 ms. Cul es el porcentaje de aumento?5000 250

100 x

El 5%.


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Tambin se puede calcular directamente del siguiente modo:

100 92.5 8800 x


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El precio de un ordenador es de 1200 sin IVA. Cunto hay quepagar por l si el IVA es del 16%?

100 116

1200 x


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REGLA DE TRES DIRECTAConsiste en que dadas dos cantidades correspondientes amagnitudes directamente proporcionales, calcular la cantidad deuna de estas magnitudes correspondiente a una cantidad dada dela otra magnitud.


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La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre lasmagnitudes se establecen las relaciones:

A ms ms.

A menos menos.Ejemplos:

Un automvil recorre 240 km en 3 horas. Cuntos kilmetroshabr recorrido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya que a

menos horas recorrer menos kilmetros.


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240 km 3 h

x km 2 h


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REGLA DE TRES COMPUESTA

La regla de tres compuesta seemplea cuando se relacionan tres oms magnitudes, de modo que a

partir de las relaciones establecidasentre las magnitudes conocidasobtenemos la desconocida.

Una regla de tres compuesta secompone de varias reglas de tressimples aplicadas sucesivamente.


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Como entre las magnitudes se pueden establecer relacionesde proporcionalidad directa o inversa, podemos distinguir trescasos de regla de tres compuesta:

Regla de tres compuesta directa


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Ejemplo:

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias hanconsumido una cantidad de agua por valor de 20 .

Averiguar el precio del vertido de 15 grifos abiertos12 horas durante los mismos das.A ms grifos, ms euros Directa.

A ms horas, ms euros Directa.

9 grifos 10 horas 20

15 grifos 12 horas x

R ld i


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Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas diarias construyen un

muro en 2 das. Cunto tardarn 4 obreros trabajando 7 horasdiarias?


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A menos obreros, ms das Inversa.

A ms horas, menos das Inversa.

5 obreros 6 horas 2 das4 obreros 7 horas x das


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Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo.

Si 8 obreros realizan en 9 das trabajando a razn de 6 horas porda un muro de 30 m. Cuntos das necesitarn 10 obreros

trabajando 8 horas diarias para realizar los 50 m de muro quefaltan?


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A ms obreros, menos das Inversa.

A ms horas, menos das Inversa.

A ms metros, ms das Directa.

8 obreros 9 das 6 horas 30 m

10 obreros x das 8 horas 50 m

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