Material para décimo año 2010

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

ÁLGEBRA

PROFESOR: NELSON QUESADA MURIILO

CURSO LECTIVO 2010

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

_______________________________

SECCIÓN: __________

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LICEO AMBIENTALISTA DE HORQUETAS DE SARAPIQUÍDEP. DE MATEMÁTICASPROF. NELSON QUESADA MURILLOTOMADO DE: PROF. DERE ELIZONDO CAMPOS

Primero conozcamos el Álgebra, rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la

aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5 son las medidas de los lados de un triangulo rectángulo, ya que , luego 9 + 16 = 25). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema:

El álgebra se desarrollo debido en gran parte a la necesidad de resolver ecuaciones de distintos tipos. Así por ejemplo, los matemáticos egipcios, griegos e hindúes de la antigüedad resolvieron algunos tipos de ecuaciones de primero y de segundo grado con coeficientes numéricos, fundamentalmente para dar respuesta a problemas que conducían a tales ecuaciones. Sin embargo, no desarrollaron propiedades y métodos generales para determinar sus respectivas raíces (soluciones), básicamente por la carencia de simbología apropiada que les permitiera sintetizar sus ideas y conocimientos. La falta de símbolos en el álgebra persistió durante muchos siglos. En forma gradual, las palabras más usadas en matemática se fueron abreviando. Pero apenas cerca del año 1500 d.C. el álgebra simbólica comenzó a emerger.

El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

(Referencias: Pág. de internet http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html , Planeamiento de la Prof.: Evelyn Umaña G., Imágenes: Planeamiento de la Prof.: Rocío Arguedas Ch. )

ECUACIONES CUADRÁTICAS¿Qué es una ecuación cuadrática?

http://html.rincondelvago.com/origen-del-algebra.html

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Objetivo #1: Resolver ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Contenidos:

Ecuaciones cuadráticas con una incógnita. Solución de una ecuación cuadrática:

Despeje (ax2 = c). Fórmula general (ax2 + bx = 0). Con calculadora.

Conjunto solución.

Definición: Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así,

es una ecuación de segundo grado.Ecuaciones cuadráticas completas: Son de la forma , donde , tal que tienen un término en , un término en y un término independiente de .

Así, y o bien son ecuaciones cuadráticas completas.

Ecuaciones cuadráticas incompletas: Son de la forma , donde , tal que carecen del término independiente en ó de la forma , donde , tal que carecen del término en .

Así, y son ecuaciones cuadráticas incompletas.

Ahora la pregunta es, ¿cómo se resuelve una ecuación cuadrática en una variable?

Para responder a la pregunta primero consideremos que toda ecuación de segundo grado en una variable, tiene a lo sumo dos raíces reales, distintas o iguales. Las cuales corresponden a los valores que satisfacen dicha ecuación. Luego, el conjunto solución de una ecuación corresponde al conjunto formado por valores que son solución de la ecuación, y que se denota con la letra mayúscula .

Ahora, para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita consideremos los siguientes casos:

Caso #1: Cuando la ecuación es de la forma , o sea b = 0.

Ejemplos: Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1)

2)

4

3)

4)

5)

6)

7)

Práctica #1: Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Caso #2: Cuando la ecuación es de la forma , o sea

5

Nota: Cuando la ecuación es de este tipo, una de sus raíces siempre será CERO y su resolución es más rápida utilizando la factorización por factor común,

, como se explica a continuación.


1)

2)

3)

4)

5)

6)

6

7)

8)


1) 2) 3)

4) 5) 6)

Caso #3: Cuando la ecuación es de la forma general o canónica .

Primero: Se calcula el discriminante ( ) de la ecuación mediante la siguiente fórmula:

Segundo: Cuando se tiene este valor, se dan tres casos:

a) > 0 (+), tiene dos soluciones que se encuentran mediante las fórmulas:

b) = 0, tiene dos soluciones iguales (una solución) que se encuentra mediante la fórmula:

Hay que poner bastante atención, porque vamos a conocer nuevos conceptos.

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c) < 0 (-), no tiene solución en los números reales.

O bien


1)

2)

3)

4)

5)

8


1) 2) 3)

4) 5) 6)

Caso #4: Utilizando la calculadora científica:

Calculadoras Viejas: mode mode 1 2

Calculadoras Nuevas: mode 5 3

Nota: El uso de la calculadora no es el único método de resolver una ecuación cuadrática visto en clase, por lo cual si se presenta resolver una ecuación cuadrática en un examen, si esta se encuentra en un desarrollo o en una respuesta corta se deben de realizar los pasos visitos en los demás casos, pero puede hacer uso de la calculadora para revisar su respuesta o bien para realizar una selección única, etc. siempre y cuando se pueda usar.

Ejemplos: Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la calculadora.

1)

2)

3)

4)

9

5)

Práctica #4: Utilizando la calculadora, encuentre el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Un problema es una situación planteada que para determinado sujeto no tiene una solución evidente e inmediata, y por lo cual hay que buscar o resolver dicho planteamiento para hallar la respuesta al problema.

¿Qué es un problema?

¿Cómo resolver un problema con la ayuda de las ecuaciones cuadráticas?

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Algunos de los problemas que se presentan en matemáticas tienen solución aplicando cálculos mediante la resolución de ecuaciones cuadráticas, y que permiten a su vez resolver situaciones que son de la vida cotidiana.

Cuando se plantea un problema y este da origen a una ecuación de segundo grado con una incógnita, se tiene que, al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para la incógnita. Por lo cual, solamente se aceptan como soluciones del problema los valores de la incógnita que satisfagan las condiciones del problema y se rechazan los que no lo cumplan.

(Referencias: Planeamiento de la Prof.: Evelyn Umaña G., Imágenes: Planeamiento de la Prof.: Rocío Arguedas Ch., Libro: A. Baldor “ALGEBRA”).

Objetivo #2: Resolver problemas que involucran, en su solución, ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

Contenidos:

Problemas que requieren, para su solución, ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Ejemplos: Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

1) Para que la ecuación 3x2 – 6xk + 2 = 0 tenga dos soluciones iguales, ¿cuál debe ser el valor de la constante k?

2) ¿Cuál puede ser el valor de k para que la ecuación x2 – 6x + k = 0 no tenga solución en IR?

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3) ¿Cuál puede ser el valor de k para que la ecuación x2 – 8x + k = 0 tenga dos soluciones diferentes?

4) Si x = 3 es una raíz de la ecuación 6x2 – 11x + k = 0, entonces ¿cuál es el valor de la constante k?

5) Álvaro es dos años mayor que Bruno y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130. ¿Cuáles son las edades de Álvaro y de Bruno?

6) La altura h por encima del suelo de un proyectil lanzado hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 44 m está dada por: donde t es el tiempo en segundos.

a) Determine el instante en que el proyectil chocará con el suelo.b) Hallar el instante en que el proyectil está a 44 m por encima del suelo.

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7) Construya la ecuación cuadrática que tiene como raíces los números 3 y – 5.

8) El largo de un terreno rectangular es el doble que el ancho. Si el largo aumenta en 40 m y el ancho en 6 m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno.

9) Una compañía tiene 180 trabajadores que están dispuestos u ordenados en filas. El número de trabajadores que hay en cada fila es 8 más que el número de filas que hay. ¿Cuántas filas hay y cuántos trabajadores hay en cada fila?

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PRÁCTICA: Realice cada uno de los siguientes problemas. Trabaje en el cuaderno, debe realizar planteo, desarrollo y respuesta del problema si lo amerita.

1) Se arroja un objeto hacia arriba su altura h en metros sobre el suelo después de t segundos, viene dada por la fórmula: h = 120t – 5t 2. ¿Cuántos segundos tardará el objeto en llegar al suelo?

2) Construya la ecuación cuadrática que tiene como raíces los números –2 y 5.

3) Para que la ecuación 4x2 + kx – 1 = 0 tenga dos soluciones iguales, ¿cuál debe ser el valor de la constante k?

4) La suma de las áreas de dos círculos es y la diferencia entre las medidas de sus respectivos radios es 8. ¿Cuál es la medida del radio del círculo menor? Si “x” representa la medida del radio del círculo menor, entonces determine una ecuación cuadrática que permita resolver el problema.

Factorización de polinomios

Objetivos:

a) Efectuar la factorización de polinomios en forma completa, mediante la combinación de métodos.

Contenidos:

1) Factorización completa de polinomios: factor común y fórmula notable, grupos y factor común, grupos y diferencia de cuadrados.

2) Factorización del trinomio de segundo grado con una variable: fórmula general, inspección, fórmula notable, teorema del factor, usando la calculadora.

¿Qué es factorizar?

¿Cómo determinar la factorización de un polinomio?

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Factorizar un polinomio consiste en expresarlo como producto de otros polinomios, llamados sus factores, donde el grado de estos factores no puede ser mayor que el grado del polinomio.

Existen diferentes métodos de factorización, los cuales permiten ubicar un polinomio en alguno de ellos, para luego poderlo factorizar.

Los métodos de factorización que estudiaremos serán los siguientes:

a) Factorización por factor común.b) Factorización por fórmula general y por inspección.c) Factorización por productos notables y por agrupación. d) Factorización por división (Teorema del factor).

Método por Factor común:

Si cada expresión algebraica se encuentra presenta en todos y cada uno de los monomios que forman un polinomio, se dice que esta expresión algebraica es factor común de los términos del polinomio.

Para factorizar por este método haremos lo siguiente:

a) Determinar el m.c.d. (máximo común divisor) de los coeficientes numéricos de los términos del polinomio, si que existe.

b) Extraer las variables que aparezcan en todos sus términos, con el menor exponente. La expresión que se obtiene con el paso a y b es el factor común del polinomio.

c) Ahora se toma cada término del polinomio dado y se divide por el factor común, los resultados de las divisiones forman un nuevo polinomio.

d) La factorización del polinomio dado, será igual al producto del factor común por el polinomio que se obtuvo como resultado de la división anterior.

Ejemplos:

a)

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b)

c)

d)

e)

f)

Practica 1 Factorice los siguientes polinomios por factor común.

1) 64ab – 48a3b = 2) 9x3y5 + 18x2y6z2 – 45xy4 =

3) 25x7 – 10x5 + 15x3 = 4) 18m2n4 + 6m2n2 – 36m2n3 =

5) 4a6b2c4 + 8a5b3c4 + 12a6b4c3 = 6) 15x2y4 + 6x2y2 – 36x2y5 – 75x2y =

7) 2x(y - 1) + 5y(y - 1) – 4(y - 1) = 8) 4x(z - 2) – 3y(z - 2) + 5z(2 - z) =

Método por Fórmula General:

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Todo trinomio cuadrático ( ), se puede factorizar haciendo uso de las correspondientes soluciones de la ecuación cuadrática ( )

Los pasos a seguir son:

a) Calcular el discriminante (), el cual nos indicará si el polinomio es factorizable. Si el discriminante es negativo entonces el polinomio no es factorizable en R.

b) Determinar las soluciones (si existen), , en el caso de existir una única solución son iguales.

c) La factorización corresponde a: .

Ejemplos:

1) 2x2 + 5x – 3 = = 49

2) x2 – x – 6 = = 25

3) 4x2 – 20x + 25 = = 0

4) –x2 + x – 1 = = -3

Práctica 2 Factorice por fórmula general cada uno de los siguientes polinomios.

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1) 2x2 + 11x - 2 = 2) -3x3 + 2x + 1 =

3) 4x2 – 16 = 4) 6x2 + 5x + 1 =

5) 3x2 – x + 4 = 6) -3 + 13x + 10x2 =

7) 6x2 + 12x = 8) x2 + 4x + 4 =

Método por Inspección:

CASO 1: Para polinomios de la forma ax2 + bx + c, con a = 1.Un polinomio de la forma ax2 + bx + c, con a = 1, se puede factorizar en forma rápida por este método de factorización. El procedimiento a seguir consiste en buscar dos números enteros: n y m , que multiplicados den el término c y sumados b. Estos números n y m , permiten factorizar así el polinomio:

X2 + bx +c = (x + n)(x + m)Ejemplos:

1) X2 – 5x + 6 =

2) X2 + 3x – 10 =

3) X2 – x – 20 =

4) X2 – 12x + 35 =

CASO 2: Para polinomios de la forma ax2 + bx + c, con a ≠ 1.

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Para factorizar éstos polinomios de segundo grado, se buscan dos monomios que multiplicados den el término “ax2”, dos números que multiplicados proporcionen el valor de “c”. Los valores obtenidos multiplicación en cruz y sumados deben dar el resultado de términos del centro “bx”. Los ejemplos siguientes ilustran el procedimiento a seguir en estos casos:

Ejemplos: Factorice los siguientes polinomios.1) 6x2 – 10x – 4 = (3x +1)(2x – 4)

3x 12x 4 12x + 2x = 10x

2) 25x2 – 30x + 16 =

3) 36x2 + 36x + 9 =

4) 8x2 + 14x – 15 =

Práctica 3 : Factorice, utilizando el método de inspección (caso 1 ó caso 2), cada uno de los siguientes polinomios.

1) x2 + 3x 40 = 2) 3x3 8x + 5 =

3) x2 – 15x + 36 = 4) 5x2 + 6xy + y2 =

5) 4x2 – 6x + 4 = 6) x2 – 8x – 33 =

7) x2 + 2x – 24 = 8) 16 x2 4xy2 6y4 =

Método por primera y segunda fórmula notable

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Este método se aplica a TRINOMIOS CUADRÁTICOS PERFECTOS, es decir, a polinomios de tres monomios de los cuales dos tienen raíz cuadrada y el tercero es el resultado de la multiplicación de dos veces el primero por el segundo.

A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

A2 2AB + B2 = (A B)2

Polinomio Factorización

Ejemplos:Factorice en forma completa los siguientes polinomios mediante fórmula notable.

1) 9x2 12x + 4 = 4) 25a6 + 20 a3b2 + 4b4 =

2) a6 + 10a3b2 + 25b4 = 5) 16a2x4 + 9y8 24ax2y4 =

3) 1 10b5 + 25b10 = 6) 4x2p7 + x4 + 4p14 =

Método por tercera fórmula notable

Se aplica en binomios cuyos términos tienen raíz cuadrada y se encuentran separados por la operación RESTA.

A2 B2 = (A + B)(A B)


Ejemplos: Factorice en forma completa cada uno de los siguientes polinomios por medio del

método de tercera fórmula notable.

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1) 4b2 a2 = 4) 4a2 (a 3b)2 =

2) a4 b4 = 5) (3x y)2 25x2 =

3) a2 4m6 = 6) (3m n)2 (4m 5n)2 =

Práctica 4 : Factorice los siguientes polinomios aplicando el método de primera, segunda o tercera fórmula notable.

1) x2 1 = 5) 49x4 70x2y3 + 25y6 =2) x4 + 8x2w2 + 16w4 = 6) 16w2x4 25m6 =3) 6xk4 + x2 + 9k8 = 7) (x 5p)2 4x2 =

4) a4 4a2b3 + 4b6 = 8) 25p2 pw4 + w8 =

Método por agrupación

Se emplea en polinomios con un número par de términos y en nuestro caso particular cuatro términos. Se debe aplicar factor común tres veces y agrupar los términos de dos en dos.

Ejemplos:

21

Factorice en forma completa cada uno de los siguientes polinomios mediante el método de agrupación.

1) 3x2 + 6xy + 4xy +8y2 =

2) 2bx 2by + 3kx 3ky =

3) 9px 12py 8wy + 6wx =

4) 3p2 + 6p + p + 2 =

5) 3kw 15km2 6k3w + 30k3m2 =

Práctica 5 : Factorice los siguientes polinomios aplicando el método de agrupación.

22

1) 3xm + 6xk2 5pm 10pk2 = 5) xm 2ym + 3xp4 6yp4 =2) 3am 6an + m 2n = 6) 5w2x + bx 10w3 2bw =3) 2am3 5m3b2 + 4a 10b2 = 7) 1 3b2 + 2b 6b3 =4) 2x3y 6xyp 7yx2 + 21yp = 8) 3p4m 5km + 3np4 5nk =

Método combinado

En este método se combinan dos o más métodos de los cinco estudiados anteriormente.

Ejemplos:Factorice en forma completa.

1) 2x5 8x3y2 =

2) a5b ab =

3) 3x3 3x + 2x2y 2y =

4) a3 ab2 + a2b b3 =

23

5) 3x(a + b) + 5y(a2 b2) =

6) x2(2a b) 2x(2a b) + (2a b) =

Práctica 6 : Factorice los siguientes polinomios en forma completa.

1) 5a4b3 5a2b5 = 4) 2a4(x + y) a2b(x + y) 15b2(x + y) =2) 3x3 6x2 24x = 5) x3 + x2 x 1 =3) 6a5 60a4b + 150a3b2 = 6) (a + y)x2 2xy(a + y) + y2(a + y) =

Método por suma y resta de cubos

Este método se aplica en binomios cuyos términos se suman o restan y ambos tienen raíz cúbica.

A3 + B3 = (A + B)(A2 AB + B2)

A3 B3 = (A B)(A2 + AB + B2)


Ejemplos:Factorice en forma completa.

1) 27x3 + y6 =

24

2) x3y6 1 =

3) 125m9 + n12 =

4) 64x3m9 512x6k3 =

Práctica 7 : Factorice los polinomios que se muestran a continuación, por medio de la suma o resta de cubos.

1) X9 y9 =

2) x4 + xy6 =

3) 125 27m15 =

4) 128x4m2 16xm8 =

5) 64k12 + 8p3 =

6) x3y6 343m9 =

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Objetivos:

1. Plantear el concepto de expresión algebraica fraccionaria. 2. Simplificar expresiones de fracciones algebraicas, cuando sus términos son monomios.3. Simplificar expresiones de fracciones algebraicas cuando sus términos son polinomios.4. Simplificar expresiones de fracciones algebraicas cuando hay que cambiar de signos a uno o más términos.

Contenidos:

Concepto de expresión algebraica. Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias cuyo numerador y

denominador estén constituidos por monomios, binomios y polinomios, de no más de cuatro términos, con una o dos variables.

Expresiones Algebraicas Fraccionarias

Las expresiones algebraicas fraccionarias son aquellas que contienen monomios, binomios, trinomios o polinomios tanto en el numerador como en el denominador.

Las fracciones algebraicas son similares a las fracciones aritméticas, en ellas el denominador debe ser diferente de cero. Por lo tanto en adelante las expresiones dadas cumplirán con este requisito.

Ejemplos: , ,

SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

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Simplificación de Expresiones Algebraicas Fraccionarias

Consiste en reducir (de ser posible), la fracción a su forma más simple, encontrando una fracción equivalente cuyo numerador y denominador no posean factores en común.

Caso I: Simplificación de fracciones cuyos términos son monomios.

En este caso se utiliza la división de monomios estudiada en octavo año, para la cual se aplica la ley de cancelación, la división de potencias de igual base y la simplificación de fracciones numéricas.

Ejemplos:

a)

b)

Caso II: Simplificación de fracciones cuyos términos son polinomios.

Si los términos de una fracción son polinomios se deben simplificar al máximo (de ser posible), para luego cancelar los factores iguales que se encuentren en el numerador y el denominador.

Ejemplos:

a)

b)

c)

27

d)

Nota: La ley de cancelación es una propiedad exclusiva de la multiplicación, por lo tanto, los términos de una fracción algebraica deben factorizarse para poder simplificarlos utilizando esta ley.

Ejercicios 1

Simplifique las siguientes fracciones algebraicas.

1)

2)

3)

4)

28

5)

6)

7)

8)

9)

29

Objetivos:

1. Realizar multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas.2. Calcular el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.3. Realizar sumas, restas, y combinación de éstas, de fracciones algebraicas, aplicando el mínimo común múltiplo, cuando así sea necesario.

Contenidos:

Operaciones con dos expresiones algebraicas fraccionarias: adición, sustracción, multiplicación y división, cuyo numerador y denominador estén constituidos por monomios, binomios y polinomios de no más de cuatro términos (con una o dos variables).

Operaciones con Fracciones Algebraicas

Las operaciones suma, resta, multiplicación y división definidas para las fracciones aritméticas, son aplicables a las fracciones algebraicas, en las cuales la fractorización de polinomios resulta una herramienta fundamental.

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

Recordemos que en las fracciones numéricas se multiplican numerador por numerador y denominador por denominador por denominador, luego de ser posible se simplifica el resultado.

Ejemplo:

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRICAS

30

Podemos obtener también este producto empleando primero la ley de cancelación:

Al multiplicar fracciones algebraicas resulta más sencillo el proceder primero factorizando los términos de las fracciones, cancelar factores comunes en los numeradores y denominadores y finalmente se multiplican los factores resultantes.

Ejemplos:

1)

2)

3)

Ejercicios 1

31

Resuelva las siguientes multiplicaciones. Trabaje en su cuaderno.

1)

2)

3)

4)

5)

División de Fracciones Algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas se debe invertir el divisor y cambiar la operación a multiplicación y luego se resuelve la multiplicación.

Ejemplos:

1)

2)

Respuestas

1)

2)

3)

4)

5)

32

3)

Ejercicios 2Resuelva las siguientes divisiones. Trabaje en su cuaderno.

1)

2)

3)

4)

Respuestas

1)

2)

3)

4)

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

33

En la suma y resta de fracciones algebraicas existen dos tipos de operaciones, los cuales veremos por medio de los dos

siguientes casos.

Primer caso: Cuando las fracciones son homogéneas (mismo denominados) se conserva el denominador, y se suman o restan los numeradores, y se simplifica al máximo el resultado.

Ejemplos:

1)

2)

3)

4)

5)

Segundo caso: Cuando las fracciones son heterogéneas (diferente denominador) se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, el cual lo divido por los denominadores y luego el resultado lo multiplico por los numeradores de las fracciones originales.

Primero veamos cómo encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de expresiones algebraicas.

34

Procedimiento: 1) Se calcula el m.c.m de los números.2) Se colocan todas las letras que hay, y si se repiten se toma la de mayor exponente.3) En el caso de ser polinomios se factorizan primero.

Ejemplos:

1)

2)

3)

Después de haber visto el método del cómo determinar el mínimo común múltiplo (m.c.m), lo vamos a aplicar en la suma y resta de fracciones algebraicas.

Ejemplos:

1)

2)

3)

35

4)

5)

6)

Práctica General de Operaciones con Fracciones AlgebraicasA) Efectuar cada una de las operaciones con fracciones algebraicas homogéneas.

1) 5)

2) 6)

3) 7)

36

4) 8)

B) Encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de las siguientes expresiones algebraicas.1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

C) Determine el resultado de las siguientes sumas y restas de fracciones algebraicas, según sea el caso.

1) 4)

2)

3) 5)

Respuestas de la Práctica General

Ejercicios A

1) a 3) [ 2 5) 7)

2) 4) 6) 8)

Ejercicios B

1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

Ejercicios C

37

1) 4)

2)

3) 5)

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