Mathcad - EJES-Estudio de Caso-publicado33 (1)

8/19/2019 Mathcad - EJES-Estudio de Caso-publicado33 (1)

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FACULTAD NACIONAL DE INGENIERIAELEMENTOS DE MÁQUINAS 1

CASO DE ESTUDIO DISEÑO DE EJES

DATOS

Pot 5hp ω 740rpm

R pol 68.70mm

R eng 42.30mm

Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 27


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RESOLUCION

Como primer paso se tendra encontrar las fuerzas solicitantes y reacciones existentes en el eje,por cuanto encontramos:

El momento torsor solicitante será: MtPot

ω Mt 48.11 N mEn la polea

La fuerza generada sobre la polea será:

donde: α es el angulo que abraza la correaexpresado en radianes.

f el coeficiente de friccion poleacorrea

S1 se toma como la fuerza mas grande de tensión del lado de la correa cargada, y S2 del ladode la correa floja.

sea f 0.4 α 153deg

entonces k ef α

2.91

S1 2.91 S2=

Por otro lado se tiene:

Por sumatoria de fuerzas estáticas se tendrá que la suma delas dos fuerzas da dos veces la fuerza media.

Por sumatoria de momentos, se tiene que la fuerza que ejerceel movimiento resulta de la resta de la mayor menos la menor.

reemplazando3.91S2 2 S0=

1.91 S2 F=

Finalmentedespejando sepuede obtener las

relacionesmostradas.

Para el presente caso la fuerza tangencial de la polea seria F.

Mt S1 S2 r 2=

FMt

R pol

F 700.35 N

S2 2F

1.91 S2 733.35N

F 1.91 S2

F 1400.71 N

S1 S2 F S1 2134.06 N



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Sumatoria de momentos en el eje "X",en el punto de la polea.

R ay 50 F2ry 93.5 R by 137 0=

sumatoria de fuerzas en "Y"

R ay R by F2ry F1ry 0=

de donde resolviendo:

R ay

R by

577.5

493.31

N

Realizando el mismo precedimeinto en el eje "Y"

Sumatoria de momentos en el eje "Y", en el punto de la polea.

R ax 50 F2tx 93.5 R bx 137 0=

sumatoria de fuerzas en "Y"

R ax R bx F2tx F1tx 0=

R ax

R bx

3836.41

623.86

N

La ecuación de momentos de todo el eje será:

Mx z( ) F1ry z R ay z 50mm( ) μ z 50mm( ) F2ry z 93.5mm( ) μ z 93.5mm( ) μ 137mm z( )

0 0.05 0.1 0.15 0.2

10

10

20

30

Mx z( )

z



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My z( ) F1tx z R ax z 50mm( ) μ z 50mm( ) F2tx z 93.5mm( ) μ z 93.5mm( ) μ 137mm z( )

0 0.05 0.1

100

50My z( )

z

0 0.05 0.1

150

100

50

50

traza 1

traza 2

GRAFICA DE MOMENTOS EN EL EJE

LONGITUD [m]

M O M E N T O S [ N * m ]

Mx z( )

My z( )

z

A manera de estudio se va a calcular primero la sección del diámetro 3, el apoyo del rodamientointermedio.

CALCULO DEL EJE SEGÚN NORMA DIN 44713



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EN LA SECCION 3

En la sección 3 se tiene dos situaciones:La primera antes de considerar la reacción Ra (a 42,5mm), cuyos factores de entalladura1.serán para un apoyo de hombros.Y la otra considerando la reacción Ra (a 57,5mm), en la cual el factor de entalladura es la de2.una endidura para anillo de sujeción.

Diámetro del eje en el apoyo de hombros z3 42.50mm

Estimación del diametro del eje:

Trabajando con material st60

σust60 60kgf

mm2

σust60 588.399 MPa Esfuerzo último

σyst60 37kgf

mm2

σyst60 362.846 MPa Esfuerzo admisible

asumiendo una tensión al corte de 0.57 σ badm

τadm σyst60 0.57 τadm 206.82 N

mm2

además el ESFUERZO ADMISIBLE EXPERIMENTAL, que sugiere Decker (E.M.pag. 233, tabla72) es:



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σ badm 80 N

mm2

a flexión

τadm 50 N

mm

2 a torsión

El momento máximo a flexión en ese punto será:

M3x Mx z3( ) 2117.29 N cm

M3y My z3( ) 8819.16 N cm

Mmax3 M3x( )2

M3y( )2

Mmax3 90.7 N m

Estimación a flexión del eje en el punto 3

df3

Mmax3

0.1 σ badm

1

3

df3 22.465 mm

Estimación a cortante por torsión

dt3

Mt

0.2 τadm

1

3

d

t3

16.882 mm

Se asume un diámetro mínimo de 25 mm con st60 de3 25mm

el modulo de sección para ese diámetro será:

w b3 0.1 de33

w b3 1.56 cm3

a flexión σ b

Mmax1

w b1

=

w3 0.2 de33

w3 3.13 cm3

a torsión



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Recalculo de la tensión de flexión

σ b

Mmax3

w b3

σ b 58.05 MPa

Tensión a la torsión

τMt

w3

τ 15.4 MPa

No se tiene fuerzas axiales solicitando al eje.Tensión a tracción σ 0

N

m2

Cálculo de la tensión equivalente

Se debe combinar todos los tipos de tensiones en una sola equivalente, así:

σv2 σ02

3 α02

τ2

=

σ0 σ σ b σ0 58.05 MPa

Luego debemos seleccionar el valor de 0 que es el factor de fatiga, en el cual si el eje tieneflexión alternativa y torsión permanente 0=0.4, si la torsión fuese pulsatoria 0=0.7, y el casomás crítico es cuando la torsión y la flexión son alternativos, entonces 0=1.0.

Para el presente caso de estudio, se considerará TORSION PULSATORIA.

α00.48

3a 1=if

1.47

3a 2=if

3

3a 3=if

α0 0.4

σv3 σ02

3 α02

τ2

σv3 59.02 MPa

NOTA.-

Cuando el eje gira a menos de 1000 rpm, no se considera que este entre en fatiga, por consiguiente se puede utilizar la tensión equivalente para obtener el diámetro definitivo del eje enesta sección.

dff3

Mmax3

0.1 σv3

1

3

dff = 24.862 mm > df3 22.46 mm



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Mismo criterio de evaluación se tendria si se hace la comparación siguiente:

la tensión equivalente (tensión solic itante) =< la resistencia admisible del material

σv3 59.02 MPa σ badm 80 MPa

CALCULO DE LA RESISTENCIA A LA FATIGA

La ecuación que verifica que el dimensionado del eje resiste a cargas cíclicas, se expresa de laforma:

σG

σw b0

βkb 1 R ( ) k σw=

σGEsfuerzo a la fatiga (esfuerzo solicitante)

σwResistencia a la fatiga del material

b0Coeficiente de acabado superficial

βkbCoeficiente de entalladura

R Grado de reposo del eje

k Factor para el límite de resistencia a la fatiga del material

Esta ecuación se puede interpretar como:

El esfuerzo a fatiga solicitante debe ser menor o igual a la resistencia a fatiga delmaterial multiplicado por su factor.

σG k σw

Se hace notar que el factor de limite de fatiga es proximo a 2, y el valor de resistencia ala fatiga del material es proximo a la mitad del esfuerzo último del material, con lo quese comprueba que todo diseño a fatiga se calcula a resistencia última del material y noasi respecto de su esfuerzo de fluencia como en losestudios de carga estática.



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Coeficiente de acabado superficial

Se puede obtener del grafico 189 (E.M. Decker, pag 236)

En el gráfico entramoscon el valor de la tensiónúltima del material (eje

de las abscisas), y eltipo de acabadosuperficial (eje de lasordenadas de laderecha). Tomamos lacurva que corresponda yvamos horizontalmentehasta los valores de laizquierda que son loscoeficientes de acabadosuperficial, en estecaso:

b0 0.95

Cálculo del coeficiente de entalladura

El coeficiente de entalladura esta determinado por el coeficiente de forma de entalladura, elcual se extrae de gráficas de coeficientes de entalladura, por ejemplo para apoyo de hombros,de las gráficas del texto de Decker:

βkbαkb

1 ρ χ =

Como se tenia el valor del diámetro deleje igual a 25mm, entonces el apoyode hombro podemos suponer tenga30mm.De la misma definición salta el valor dela altura t=2.5mm.Por fabricación y para evitar concentraciones de esfuerzoselevadas, se debe dar en fabricaciónun radio de curvatura en las esquinas,en este caso definimos este con r=1mm.



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t 2.5mm r1 1mm d 25mm D 30mm

d

D0.83

r1

t0.4

De forma análoga a la gráfica del acabado superficial, tomamos los valores de las abscisas ylas ordenadas de la derecha como ingreso.

αkb 2.4

Luego encontramos el valor de ρ "Ro" es el radio de entalladura más crítico para elmaterial.

de la tabla para ST60, con σu σB= 600 N

mm2

=

el radio de entalladura ρ 0.06mm

La caida de tensión por la entalladura: χ 2

de3

2

ρ

χ 33.41

1

mm

β

kb

αkb

1 ρ χ

0.99

El valor de la resistencia a la fatiga del material se toma de la misma tabla 73.

σw 270MPa por que: σust60 588.4 MPa

El grado de reposo " R"

El grado de reposo indica el tipo de movimiento al que esta sometido el eje, así:

R 0= Si el eje tiene flexión y torsión alternativas

R 0.5= Si el eje tiene flexión alternativa y torsión pulsatoria

R 0.25= Si el eje tiene flexión alternativa y torsión permanente

Para el presente caso: R 0.25

Factor límite de fatiga

Este valor modifica el valor limite de resistencia contra el cual se compara el esfuerzo a lafatiga obtenido (el esfuerzo solicitante).

k 2.1= si el eje tiene torsión y flexión.

k 1.6= si el eje solo tiene torsión

En el presente tramo: k 2.1



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Reemplazando

σG

σw b0

βkb 1 R ( ) 344.27 MPa k σw 567 MPa

el dimensionado es CORRECTO !!!

La seguridad contra rotura:

El valor de la seguridad contra rotura por fatiga nos da un valor que expresa cuantas veces latensión a la fatiga es superior a la tensión equivalente, o para entender mejor esta relación,ordenamos las expresiones:

σG k σw= además k σw ≈σu

entoncesSD

σu

σv=

Ahora si, podemos analizar cuantas veces superior es la Resistencia ultima del materialrespecto de la tensión solicitente máxima que esta representada por el esfuerzo equivalente.

SD 2 cuando el grado de reposo R=0...0.25

SD 1.7 cuando el grado de reposo R=0.25...0.75

SD 1.4 cuando el grado de reposo R=0.75...1.0

SD

σG

σv3

SD 5.83 1.7 esto cumple

Ahora se va a revisar el método de dimensionado según la normaASME

ESTIMACIÓN DE LA RESISTENCIA A FATIGA DEL MATERIAL DEL EJE

Se calcula la resistencia a la fatiga del material..

Se σust60 0.5 σust60 σust60 200ksiif

100ksi σust60 200ksiif

Se Se σust60 Se 294.2 MPa

PRESUNCIÓN DE LOS FACTORES DE CARGA QUE AFECTAN AL EJE

Para la obtención del diametro inicial todos los factores se consideran como 1,ya para el reclaculo se debe obtener los valores de cada uno de ellos.



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7.1 Factor de Carga

C1 1 flexiónif

0.7 axialif

=

C1 1

7.2 Factor de Tamaño

d 15mm

cc2 d 1

1mm

0.097

C2 d( ) 1 d 8mmif

1.189 cc2 8mm d 254mmif

0.6 d 254mmif

C2 C2 d( )

C2 0.91

7.3 Fac to r d e Su perf ic ie

C3 A Sut b

=

Que tipo de acabado superficial tiene el material

1.- Maquinado 2.- Rectificado 3.- Rolado en caliente 4.- Forjado

Escriba la respuesta (1,2,3 o 4)

resp 2

A 1.58 resp 1=if

4.51 resp 2=if

57.7 resp 3=if

272 resp 4=if

b 0.085 resp 1=if

0.265 resp 2=if

0.718 resp 3=if

0.995 resp 4=if

C3 A σust601

106Pa

b

C3 0.83

7.4 Factor deTemperatura

Temp 20cc4 1 0.0058

1

1 Temp 450( )

C4 1 Temp 450if

cc4 450 Temp 550if

C4 1



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7.5 Fac to r de Conf iab il idad

Escriba la confiabilidad que desea a su diseño (valores únicos a elegir)

50%, 90%, 99%, 99.9%, 99.99% y 99.999%

confia 99.00%

C5 1 confia 50%=if

0.897 confia 90%=if

0.814 confia 99%=if

0.753 confia 99.9%=if

0.702 confia 99.99%=if

0.659 confia 99.999%=if

C5 0.81

8. OBTENCIÓN DE LA TENSIÓN A LA FATIGA CORREGIDA

Sf C1 C2 C3 C4 C5 Se Sf 182.21 MPa

9. CÁLCULO DE LA SENSIBILIDAD A LAS MUESCAS Y LOS FACTORES DECONCENTRACIÓN

El factor de concentración de esfuerzos a la fatiga es:

K f 1 q K t 1 =

para ello encontramos el factor de concentración de esfuerzos

K t Akt

r kt

d

bkt

=

donde:

Akt 0.96689 r kt 1 d 15 bkt 0.15417

K t Akt

r kt

d

bkt

K t 1.47

además el valor de la sensibilidad a las muescas

q 1

1 Neuber

r kt

= σust60 85.34 ksi

Neuber 0.08

q 1

1 Neuber

r

kt

q 0.93



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K f 1 q K t 1 K f 1.43

Se puede utilizar los siguientes factores referenciales para diseñar:

Parachaveteros:

de perfil K tch1 2.0

de corredera K tch2 1.6

Chaflanes de hombros:

bordes cortantes K tbc 2.5

bordes redondeados K tbr 1.5

Aguj eros Pasantes:

K tap 3

10. SELECCIÓN DEL FACTOR DE SEGURIDAD

El factor de seguridad para diseño se puede elegir según el número correspondiente a loscriterios siguientes:

Materiales conocidos y cargas conocidas.1.Materiales y fuerzas medianamente conocidas.2.Materiales medianamente conocidos con fuerzas fluctuantes.3.

Materiales mediananmente conocidos con fuerzas de impacto.4.

Factor 2

Ns 2 Factor 1=if

2.5 Factor 2=if

3 Factor 3=if

5 Factor 4=if

Ns 2.5

11. CÁLCULO DE LOS DIÁMETROS ESTIMADOS

Momentos flectores alternantes y medios

Mmax Mmax3

Mmin

Mmax3



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Ma

Mmax Mmin

2

Mm

Mmax Mmin

2

Momentos torsores

Mtmax Mt

Mtmin Mt

Mta

Mtmax Mtmin

2

Mtm

Mtmax Mtmin

2

Los diámetros saldrán según la ecuación:

d3

32 Ns

π

K f Ma

Sf

2

0.75Mtmax

σyst60

2

1

3

d3 26.4 mm

Redondeando:

d31 30mm d31 30 mm

CALCULO DE LOS COJINETES DE DESLIZAMIENTO Y DE ELEMENTOSRODANTES

Obtención de las reacciones resultantes:

R a R ay2

R ax2

R a 3879.63 N

R b R by2

R bx2

R b 795.33N

CARGA SOBRE EL COJINETE

P R b P 795.33 N

COJINETES DE DESLIZAMIENTO

Holgura por diseñohol d31 d3 3.6 mm



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Por normalización en fabricación y recomendación de la norma, para un AJUSTE conholgura, pues debe circular el aceite, se toma el ajuste C11/h9, cuyos rangos se muestran acontinuación:

Para el eje único 52 μm 0.05 mmPara el agujero 60μm 0.06 mm

El rango de holgura entre estos es: 52 60( ) μm 0.112 mm

La velocidad del eje:

ω 77.491

s

La velocidad tangencial:

Vt π d31 ω Vt 7.3

m

s

La tolerancia diametral:cr

1mm

20.5 mm

La longitud del cojinete:

Debe ir desde long/d=1 hasta long/d=0.25 Long 0.5 d31 15 mm

Selección del número de Ocvick

Se recomienda para moteres de funcionamiento liviano y alta velocidad valores inferiores a 30

O N 15 nº Ocvick

La excentricidad por olgura:

ε 0.21394 0.38517 log O N 0.0008 O N 60

ε 0.7

La constante adimensional Ke:

K εε π

21 ε

2 16 ε2

1

2

4 1 ε2

2

K ε 2.47

Obtención de la viscos idad absoluta del aceite para la carga solicitada:



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νa

P cr 2

K ε Vt Long3

νa 3.27 Pa s

la holgura minima que requiere

hmin cr 1 ε( ) hmin 0.15 mm

por cuanto para fabricación cambia el ajuste, pudiendo darnos un A11/h11

eje 130 μm

agujero 300μm

La tolerancia d iametral: cr 430μm

20.22 mm

νa

P cr 2

K ε Vt Long3

νa 0.6 Pa s

la holgura minima que requiere

hmin cr 1 ε( ) hmin 0.06 mm

SELECCION DE COJINETES DE ELEMENTOS RODANTES



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Se determina el diámetro del eje, además de la carga estática a soportar, con esos valores seingresa a las tablas de rodamientos.

d31 30 mm F P 795.33 N

En la primera fila encontramos el rodamiento necesario: C 10.9kN



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La vida del rodamiento

L10C

F

3

1000000 rpm L10 2.57 109 rpm

con trabajo de 8 horas dia a 740rpm, estos deberan durar

tdias

L10

8 60 1

day740 rpm

tdias 7246.99 day

El eje tendra un ajuste de agujero un ico H7/r6

el agujero 8μm

el eje 12μm


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