MathCad 14

Elab

C

MA

borado po

UFA

CARRERA INCON

ANUA

or: Ing.

UNIVERSIDAACULTAD NANGENIERA

N ACREDITA

AL DEMA

Miguel A

ORU

AD TCNICAACIONAL DMECNICA

ACIN INTE

E APATHC

A. Ruiz O

URO BOL

A DE ORURDE INGENIERA ELECTRRNACIONA

PRENCAD

Orellana

LIVIA

RO RA

ROMECNICL AL

NDIZA

CA

AJE

ManualdeAprendizajedeMathCad 2008

Elaboradopor:Ing.MiguelA.RuizOrellana Pgina1

MANUALDEAPRENDIZAJEDEMATHCAD

INTRODUCCION

ElpresentemanualintroductorioalusodeMathCad,pretendeiniciar,incentivaryencaminara

los estudiantes de la Universidad Tcnica de Oruro en el uso del software matemtico

MathCad,esperando suaplicacinpuedamejorar lacalidadacadmicade la institucin,y

brindar sobre todo a los estudiantes, de una potente herramienta de clculo para su

desempeoensuvidauniversitariayprofesional.

ElsoftwaredeMathCad,alserunaplataformamatemtica,quenoprecisadelaprendizajede

unlenguajeespecficodeprogramacin,yademspermiteevaluarlasecuacionestalcomose

escriben,esidealparalarealizacindememoriasdeclculointeractivas,demodificacinfcil

porcuantolaaplicacindeestaherramientatendrimpactoenvariasasignaturas.

POR QUEMATHCAD?

Habiendo revisado laestructura y facilidadesdeotrospaquetesmatemticos, sedestaca la

versatilidaddeMathCadpara la realizacindememoriasde clculo,pudiendo conjuncionar

texto,ecuaciones,grficos, imgenesenunsolodocumento,queademsescompletamente

compatibleconlalneadeMicrosoft(WordyExcel).

Evidentemente,existesoftwareconpotencialidadesmatemticassuperioresaMathCad,talel

caso deMatLab, que permite el clculo simblico dematrices nxn (MathCad calcula hasta

600x600), sin embargo,mencionadasoperaciones tienen su campode aplicacin especfico

(p.ej.clculoporelementosfinitos),msMatLab,nopresentaunentornotanamigablecomo

MathCad,ademsdenecesitardosentornosparalarepresentacingrficadelasecuaciones,

pudiendoresaltaresteaspectocomoinconvenientecomndevariospaquetesmatemticos.

OBJETIVOSDELMANUAL

El presente manual pretendeintroducir al estudiante en el uso del software MathCad,

como herramienta de clculomatemtico, agilizando as eldesarrollo de sus operaciones

matemticas.

ESTRUCTURADELMANUAL

Enbuscade introduciralestudianteenelusodeMathCad loantesposible,seestructurael

presentemanualen6partes, compuestas cadaunadeuna guade claseque contendr la

ManualdeAprendizajedeMathCad 2008

Elaboradopor:Ing.MiguelA.RuizOrellana Pgina2

explicacindelasoperacionesmscomunesarealizar,ademsdelaresolucindeproblemas

tipoguiadospasoapaso.

ManualdeMathCad

Guia1

OperacionesAritmaticas

OperacionesAlgebraicas

ResoluciondeEcuaciones

Guia2

Matrices

Tablas

ImportaciondeExcel

Guia3

Derivacion

Integracion

Graficacin

Guia4

TrabajoconUnidades

Ejerciciosdeaplicacin

Guia5

Programacin

ResolucindeVigas

Guia6 CclulodeEjes

Manual de aprendizaje - MathCad 2008

CURSO MATHCADGUIA N 1

1. OBJETIVOS

CONOCER EL ENTORNO BASICO DE MATHCAD1.REALIZAR OPERACIONES ARITMTICAS2.REALIZAR OPERACIONES ALGEBRAICAS3.RESOLVER ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES.4.

CONOCER EL ENTORNO BASICO DE MATHCAD

La pantalla de MathCad se presenta de la siguiente forma:

En la barra de Menus se tiene los siguientes menus:

BARRA DE MENUSFILE [Archivos] FORMAT [Formato] HELP [Ayuda]EDIT [Edicin] SYMBOLICS [Simblico] VIEW [Ver]INSERT [Insertar] WINDOW [Ventanas]

Men File o Archivos

Agrupa todos los comandos referentes al trabajo de los archivos, vale decir un nuevo documento,guardar, cerrar, abrir; adems de la configuracin del tamao de la hoja de trabajo, la impresin yvista previa de los documentos.

Men Edit o Editar

Tal cual en otros paquetes informaticos en este se agrupa las opciones de edicin de contenido deldocumento, por ejemplo: copiar, pegar, cortar, seleccionar, etc.

Menu View o Ver

En este se puede reslatar tres utilizadas importantes:La primera es que se encuentra la opcin de barra de herramientas, desde la cual podemosactivar y desactivar las barras de herramientas, la ms importante la barra "Matemtica".La segunda, aqui se agrupan las opciones de configuracion de encabezado y pie de pgina,anotaciones y regiones.La tercera es referenta a "Actualizar" [Control+R], que limpia la pantalla de cambiosrealizados.

Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 1 de 16


Men Insert o Insertar

Los comandos relevantes de este menu son:Insercin de Grficos.1.Insercin de Unidades.2.Insercin de Objetos de otras aplicaciones.3.

Con las opciones de este menu se controlan basicamente todas las alternativas de intercambio einterrelacin de archivos MathCad con otras aplicaciones.

Men Format o Formato

Con sus comandos de este se configura y da formato a la aplicacin (texto, ecuacin, grficos, fondo,etc.).

Men Tools o Herramientas (en versiones anteriores Math)

Agrupa los comandos de clculo, optimizacin, proteccin de hoja y configuracin de algunosparmetros inherentes a la hoja de clculo.

Men Simbolic o Simbolico

Contiene los comandos que permiten ejecutar las operaciones simbolicas.

Men Window o Ventana

Por medio de esta podemos desplazarnos entre varios archivos abiertos.

Men Help o Ayuda

Esta men que normalmente es poco frecuentado contiene la ayuda para la utilizacin decomandos y operaciones que no se encuentran en la paletas de herramientas. Se debe remarcarque MathCad tiene cientos de comandos matemticos para la automatizacin de operacionesmatemticas, mas esta no se encuentran en las paletas de herramientas, son comandos escritos y esun grave error por parte nuestra obviarlos, pues estaramos desechando gran parte del potencialdel paquete.

DESCRIPCION DE LAS BARRAS DE MENUS

* BARRA STANDARD

* BARRA DE FORMATO

* BARRA DE HERRAMIENTAS

- BARRA PRINCIPAL DE TRABAJO: MATH [MATEMTICA]

* CALCULATOR * CALCULUS

* GRAPH* BOOLEAN

* MATRIX* PROGRAMMING

* GREEK* SYMBOLIC

* EVALUATION



CONFIGURACION DE LA HOJA DE TRABAJO* TAMAO DE LA HOJA

El tamao de hoja se puede configurar desde el men "Ficheros" - "Configurar Pgina".



CONFIGURACION DEL TEXTO

Es sumamente importante cunfigurar el estilo del texto para poder trabajar en un documento deMathCad, pues de esta manera se podr obtener Estilos tipo Titulo, Subtitulo, etc. Esto se efectuadesde el menu "Formato".

CONFIGURACION DE VARIABLES Y CONSTANTESSiguiendo el mismo formato, estas se configurarn desde el men formato, pero esta vez la opcinEcuacin.

CONFIGURACION DE VARIABLES Y CONSTANTESSiguiendo el mismo formato, estas se configurarn desde el men formato, pero esta vez la opcinEcuacin.

CONFIGURACION DEL FONDO DE PANTALLAEl fondo de pantalla de MathCad por defecto es de color blanco, sin embargo muchas veces esteresulta muy agresivo a la vista, entonces se puede entrar al menu formato, opcin color, yseleccionar fondo.

INSERCION DE ENCABEZADOS Y PIE DE PAGINAA diferencia del formato de otros paquetes, la insercion de los encabezados y pies de pgina, queincluyen la numeracin automtica de las pginas se la encuentra en el menu Ver, opcinencabezado.



PALETAS DE COMANDOSLa paleta que agrupa al resto de las paletas, es la paleta "MATEMATICAS", misma que aparecehabilitada por defecto al abrir un documento, de no ser as, se puede ingresar al menu "VER" -"BARRA DE HERRAMIENTAS" - "MATEMATICAS".

OPERACIONES ARITMTICAS

En MathCad las operaciones aritmticas se las realiza, tal cual se escribe las operaciones encuaderno, pudiendo obtener los operandos ms frecuentes de la barra de "Clculo", que sedesglosa de la paleta de Matemticas.

suma simple: 2 2+ 4= teclear 2 + 2 y utilizar la igualdad de evaluacinnumrica.

Ingreso Por Teclado:

a) 8 3100 35+

0.265= AltGr \ 8*3 Barra espaciadora / 100 + 3 ^5Barra espaciadora =

b)log 12( ) sin

35

1.026= log(12) * sin (3 / 5 Barra espaciadora * p Ctrl+G Barra espaciadora) =



OPERACIONES ALGEBRICAS

Para operar algebraicamente, primero se debe definir variables.Las variables se definen por medio de la igualdad de definicin, tal como se muestra acontinuacin:

a 5:= b 5:= c a b+ 10=:=A 6:= B 10:= C A B+ 16=:=

Se debe tener cuidado con el uso de maysculas y minsculas, el MathCad las considera comodistintas variables.

30deg:= 15deg:= 15:=sin ( ) 0.5= sin ( ) 0.259= sin ( ) 0.65=

Los valores que leen las funciones trigonomtricas por defecto se encuentran en radianes, a noser que se especifique expresamente otra unidad, como por ejemplo grados [deg].

VARIABLES DE RANGO

Para agilizar los clculos, en MathCad se puede trabajar facilmente con variables de rango, estoes variables que van desde un valor hasta otro.

i 1 5..:= i : 1 ; 5i

12

3

4

5

= sin i( )0.8410.909

0.141

-0.757

-0.959

=

NOTA: ES IMPORTANTE TENER CUIDADO CON EL INGRESO DE LOS TERMINOS Y ELMANEJO DE LA BARRA ESPACIADORA.

Definicin de funciones

Las funciones se pueden definir tal cual las variables, pero estas deben estar en funcin de una ovarias variables dependientes.La resolucin de las funciones normalmente implica la utilizacin de variables de intervalo en laubicacin de las variables independientes.

Ejemplo

Un paracaidista de masa 68.1 kg salta de un globo aerosttico, considerando un coeficiente deresistencia del aire de 12.5kg/s, determinar el valor de su velocidad durante los primeros 12segundos de caida libre.

Ecuacin de la velocidad:

v t( )g m

c1 e

c

m

t

=



definiendo la funcin y la variableindependiente:

v t( )9.8 68.1

12.51 e

12.5

68.1

t

:= t 0 12..:=

v t( )

08.953

16.405

22.607

27.769

32.066

35.642

38.618

41.095

43.157

44.873

46.301

47.49

= t01

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

=

0 3 6 9 12 150

10

20

30

40

50

v t( )

t

La ecuacion mostrada describe la perdida de carga en funcin del caudal y del dimetro detuberia. Para que dimetro se tendr una caida de presin menor a dos?.

Q: CaudalD: Diametro de tuberiaL: Longitud de Tuberia

hlL

1721Q1.85 D4.85=

L 200:= Q 10:= D 12

34

, 2..:=

hl D( )L

1721Q1.85 D4.85:=

D

0.50.75

1

1.25

1.5

1.75

2

= hl D( )0.2852.038

8.227

24.281

58.788

124.161

237.271

=



RESOLUCION DE ECUACIONES

Ecuaciones: Utilizacin de los comandos: Given y Find

a)Resolucion clasicaDe ecuacin 1 despejamos x:

x = 2 - 5*y Ec. 3Reemplazando la ecuacion 3 en 2 se tiene:

2*(2 - 5*y) + 3*y = 54 - 10*y + 3*y = 5-7*y = 1

Despejando y se tiene:

y = - (1/7)

Reemplazando el valor de y en Ec. 3 setiene:

x = 2 + 5*(1/7)x = 19/7

x 1:= y 1:=Dado

x 5y+ 2=2 x 3 y+ 5=Sol Find x y, ( ):=

Sol

25

7

17

=

Procedimiento:

1. Definir las variables X y Y dandoles un valor aleatorio.2. Escribir el comando Given3. Escribir las ecuaciones utilizando el igual de la Paleta Boolean4. Darle un nombre a los resultados: Sol, seguidamente asignar la palabra Find entre parentesis escribir las variables incognitas5. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.

b) Encontrar el valor de "A" de la ecuacin siguiente:

H 86.6:= A 1:= Valor de PesquizaG 254:= M 340:=Dado

GH M2 A

AM

+=

A Find A( ):=A 57.966=

Procedimiento:

1. Definir la variable A dandole un valor aleatorio.2. Definir las variables: G, M y H con su respectivo valor.3. Escribir el comando Given4. Escribir la ecuacion utilizando el igual de la Paleta Boolean5. Darle un nombre al resultado: A, seguidamente asignar la palabra Find entre parentesis escribir la variable incognita.6. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.



c) Utilizacin delcomando: Root

Resolucion clasica

Para resolver la ecuacin se aplica diferentesmtodospor ejemplo:

* Ruffini

o simplemente la ecuacin:

x = b b2 4 a c+

2 a

Hallar la raz de:

x2 x+ 3=x 2:=soln root x2 x+ 3 x, ( ):=soln 1.303=

Comprobacin:x 1.303:= x2 x+ 3=Procedimiento:

1. Escribir la ecuacin utilizando el igual de la paleta Boolean.2. Definir la variable x dandole un valor aleatorio. 3. Darle un nombre al resultado: soln, seguidamente asignar la palabra root entre parentesis escribir la ecuacon seguido de la coma y la

variable a evaluar).4. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.

Trabajando una funcin con raices complejas:

Ecuacin x5

1

ex+ 7 0=

Valor de pesquisa x 2:=

Solucin x2 root y x( )5 1ex

+ 7 y,

:=

x2 0.414=

d)Utilizacin del comando:Proot (Polyroot) Resolucion clasica

Para resolver la ecuacin se aplicadiferentesmtodos por ejemplo:

* Ruffini

p y( ) y2 10 y 2+:=

U

2

101

:=

res polyroots U( ):=

res0.204

9.796

=



Procedimiento:

1. Escribir una variable que sea funcin de la incognita, definir esta variable y escribir la ecuacin.2. Expresar la ecuacin en forma de vector.3. Darle un nombre al resultado: res, seguidamente definir esta variable y escribir la palabra polyroots entre parentesis escribir el nombre del vector.4. Escribir el nombre del resultado y presionar el igual de evaluacin.

polyroots

y5 8y3 2x2+ 6 0=

v

60

2

80

1

:=

y1

y2

y3

y4

y5

polyroots v( ):=

y1

y2

y3

y4

y5

2.9060.855

0.505 0.789i+0.505 0.789i

2.75

=




1. OBJETIVOS

APRENDER A TRABAJAR CON MATRICES1.TRABAJAR CON TABLAS2.IMPORTAR DATOS DESDE EXCEL3.EJERCICIOS DE APLICACION4.

APRENDIENDO A TRABAJAR CON MATRICES

La paleta de matrices se puede desglosar de la paleta de Matemticas, tal como se ve en lafigura:

Para definir una matriz, se debe realizar cual si fuera una variable, es decir, dar el nombre de laMatriz, igualdad de definicin e insertar la matriz.

Q

11

4

7

2

5

8

3

6

9

:=

Q1 1, 11= Valor de celda 1,1

NOTA.- Las matrices en MathCad por defectoempiezan en el valor de 0,0 como subindice,pudiendo cambier ello en "Herramientas" -"Opciones de Hoja de Trabajo"

Inversa

Q

11

4

7

2

5

8

3

6

9

= Q 1

0.1

0.20.1

0.22.6

2.467

0.1

1.8

1.567

=



Inversa Simblica

Ma11

a21

a12

a22

:=a11

M 1

a22a11 a22 a12 a21

a21a11 a22 a12 a21

a12a11 a22 a12 a21

a11a11 a22 a12 a21

Determinante

M a11 a22 a12 a21

Q 30=

Columna de Matriz

Q

11

4

7

2

5

8

3

6

9

= A Q 1 := A

11

4

7

= A 22=

Matriz Traspuesta

QT11

2

3

4

5

6

7

8

9

= MT

a11

a12

a21

a22

Sumatoria de Vectores

B 10 12 14( ):= B 36=Insercin de imagenes

El MathCad trata a las imagenes como vectores, pudiendo trabajar en ellas los colores comoceldas de una degradacin, sim embargo tambien se puede introducir imagenes de formasimple desde el icono de imagen en el menu de Matrices, y entre comillas se le da el nombre dela imagen desde la raz del archivo, por ejemplo:

"F:\UTO\TEXTO MATHCAD\einstein.jpg"



Ejerciocio MatricesUna empresa metalurgica precisa de hierro y carbono por tres semanas en lascantidades indicadas, existen tres ofertantes con los precios mostrados. Encontrarcual es el proovedor ms conveniente?

Materialhierro carbon

1sem 9 82sem 5 73sem 6 4

PreciosEmpresa1 Empresa2 Empresa3

Hierro 540 630 530Carbon 420 410 440

MA

9

5

6

8

7

4

:= P 540

420

630

410

530

440

:=

precios MA P8.22 1035.64 1034.92 103

8.95 1036.02 1035.42 103

8.29 1035.73 1034.94 103

=:=

EMPRE1 precios 1 :=

EMPRE2 precios 2 :=

EMPRE3 precios 3 :=

TOTALES POREMPRESATOTAL1 EMPRE1 1.878 104=:=

TOTAL2 EMPRE2 2.039 104=:=TOTAL3 EMPRE3 1.896 104=:=

Ejemplo combinado:Utilizacin del comando: LsolveResolver el sistema de ecuaciones mostrado:

x y+ z+ 2=x y 2z+ 3=2x 3y+ z 5=



Matriz: M Vector:V

M

1

1

2

1

13

1

2

1

:= V

2

3

5

:=

A

B

C

lsolve M V, ( ):=

A

B

C

3.4

0.80.6

=

A 3.4= B 0.8= C 0.6=

TRABAJANDO CON TABLAS

Para trabajar con tablas, se debe insertar una desde el icono de la Barra Estandar

Trabajando con una TablaVaca:

Tabla21 2

12

3

45

1 782 45

3 12

4 165 5

:=

Fila1 Tabla2 1 := Fila1

1

2

3

4

5

=

A

B

C

D

E

Tabla2 1 :=

A

B

C

D

E

1

2

3

4

5

=

Dedonde:

A 1=Obteniendo valores de otra Forma.

F Tabla23 1, := F 3=



Trabajando con una Tabla deExcel:

Tabla11 3 5 92 4 45 513 5 78 864 7 56 675 8 14 27

:=

Para insertar valores desde excel, se tiene tres opciones:

a) Insertar como pagina adjunta

Si se tiene una tabla en excel, se puede ir al menu insertar y elegir insertar componente, porejemplo:

y se insertar la tabla a MathCad, que con doble clic sobre ella se habilita la hoja de Excel contodas sus funciones, pero dentro MathCad.

NOTA.- TODOS LOS VALORES CALCULADOS EN EXCEL, SON ACTUALIZADOSEN MATHCAD Y PUEDEN SER EXTRAIDOS PARA CLCULOS POSTERIORES.

b) Habilitando una nueva tabla en MathCad

Otra manera de trabajar con tablas desde excel es sacar los valores del mismo y en una nuevatabla de MathCad pegarlos con la opcin "Pegar Tabla".

c) Copiando y pegando directamente

Finalmente, tambien se puede trabajar haciendo un copiar y pegar, el elemento por defecto seintroduce como objeto excel, suceptible de ser editado.



Ejerciciodeaplicacin:

Se llevo a cabo una prueba de tensin en una probeta de ensayo de acero que tenia undimetro original de 0.503 pulg. Y una longitud calibrada de 2.00 pulg. Los datos semuestran en la tabla. Traze el diagrama esfuerzo deformacin unitaria y determineaproximadamente el mdulo de elasticidad, el esfuerzo de cedencia, el esfuerzo ltimo y elesfuerzo de ruptura.

tabla11 2 3 4 5

12

3

4

5

"N" "Peso [kip]" tensin [pulg]" ia [pulg/pulg]" Esfuerzo [Ksi]"1 0 0 0 0

2 1.5 -4510 -42.510 7.54

3 4.6 -31.510 -47.510 23.12

4 8 -32.510 -31.2510 ...

:=

1 2 3 4 5

12

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1 0 0 0 02 1.5 -4510 -42.510 7.538

3 4.6 -31.510 -47.510 23.116

4 8 -32.510 -31.2510 40.201

5 11 -33.510 -31.7510 55.276

6 11.8 -3510 -32.510 59.296

7 11.8 -3810 -3410 59.296

8 12 0.02 0.01 60.302

9 16.6 0.04 0.02 83.417

10 20 0.1 0.05 100.503

11 21.5 0.28 0.14 108.04

12 19.5 0.4 0.2 97.99

13 18.5 0.46 0.23 92.965

Ea = FAr

=

Long=

De la probeta:

Long 2in:= diam 0.503in:= Ar diam2

40.199 in2=:=

e1 tabla2 4 := tabla2 5 :=



0 0.1 0.2

50

100

55.27

92.96

0.002

e1

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Esfuerzo

DeformacinUnitaria

EsfuerzoDeformacin

0.000000

7.537688

23.115578

40.201005

55.276382

59.296482

59.296482

60.301508

83.417085

100.502513

108.040201

97.989950

92.964824

:=

0.00000

0.00025

0.00075

0.00125

0.00175

0.00250

0.00400

0.01000

0.02000

0.05000

0.14000

0.20000

0.23000

:= MM

0.00000

0.00025

0.00075

0.00125

0.00175

0.00250

0.00400

0.01000

0.02000

0.05000

0.14000

0.20000

0.23000

0.000000

7.537688

23.115578

40.201005

55.276382

59.296482

59.296482

60.301508

83.417085

100.502513

108.040201

97.989950

92.964824

:=

i 1 13..:= j 1 2..:=

0 5 10 15

50

100

150

MMi 2,

i

0 0.046 0.092 0.138 0.184 0.23

30

60

90

120

150

E1i

i

i:=

Promedio Modulo de elasticidad

E1

1

12

3

4

5

6

7

043.0151043.0821043.2161043.1591042.37210

...

= mean E1( ) 13626.04=




1. OBJETIVOS

APRENDER A DERIVAR SIMBOLICA Y NUMERICAMENTE1.APRENDER A INTEGRAR SIMBOLICA Y NUMERICAMENTE2.REALIZAR GRAFICOS EN 2D Y 3D3.

APRENDER A DERIVAR SIMBOLICA Y NUMERICAMENTE

DERIVADAS NUMERICAS

Para derivar numericamente en MAthCad, simplemente se debe definir la funcin a derivar, unvalor de evaluacin de la variable independiente y pedir el resultado con la igualdad de evaluacinumrica.

Dada la funcin derivar ynumericamente y comprobar el resultado.

f x( ) x51

x2+ cos 2 x( )+:=

valor de evaluacin x 2:=

la derivada evaluadax

f x( )dd

81.264=

comprobacin:

derivando manualmente (esto se consigue apoyando el cursor sobre la variable a derivar ydesde el men de simblico - opcin diferenciar:

x51

x2+ cos 2 x( )+ 5 x4 2

x3 2 sin 2 x( )



g x( ) 5 x4 2x3

2 sin 2 x( ):= g x( ) 81.264=

de la misma forma se procede a derivar enecimamente:

x 2=3x

f x( )d

d

3233.196=

Derivadassimbolicas

Basicamente las derivadas simbolicas se obtienen de la misma forma, a diferencia de que paraestas la variable no debe estar definida anteriormente, por lo cual se utiliza una variblediferente. Por otro lado no se pide el resultado con igualdad, sino con la flecha de evaluacinsimblica.

f h( ) h51

h2+ cos 2 h( )+:=

hf h( ) 5 h

4 2h3

2 sin 2 h( )



INTEGRALESLa integracin se realiza de forma semejante, distinguiendo las integrales definidas (integracinnumrica) y las integrales indefinidas (integracin simblica)

Integrar la funcin siguiente:

f x( ) x51

x2+ cos 2 x( )+:=

Asistidos por una integral definida:

1

2xf x( )

d 10.167=

Comprobando, integrando manualmente:

x51

x2+ cos 2 x( )+ 3 x sin 2 x( ) x7+ 6

6 x

K x( )3 x sin 2 x( ) x7+ 6

6 x:= K 2( ) K 1( ) 10.167=

IntegracinSimblica

Para integrar simblicamente, acudimos a una integral indefinida, cambiando la variable deintegracin a una que no est definida anteriormente:

hf h( ) d

3 h sin 2 h( ) h7+ 66 h



GRAFICACION La representacin grfica en el mismo entorno de trabajo que el clculo simblico o el numricoconstituye una de las ventajas ms importantes que ofrece Mathcad.Para graficar se precisa por lo menos de una variable independiente y una funcin o variabledependiente.La variable independiente puede estar definida por una inecuacin (por defecto mathcad tomade menos a mas infinito) o por una variable de rango.

Graficar las siguientes funciones:

i 2 1.98 , 2..:= 2 h< 2

10 5 0 5 1010.5

0

0.5

1

sin h( )

h10 5 0 5 101

0.50

0.5

1

sin i( )

i

Funcin 2

f x( ) x51

x2+ cos 2 x( )+:=

x 1:=x1 root x5

1

x2+ cos 2 x( )+ x,

:= x1 0.951=

f1 x( ) x5 1

x2+ cos 2 x( )+:= f2 x( )

3 x sin 2 x( ) x7+ 66 x:=

f1 0.95( ) 0.011=x 10 10..:=Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 4 de 10


10 5 0 5 10

1 105

1 105

2 105

FuncionIntegral

GRAFICA FUNCION vs. INTEGRAL

VAR. INDEPENDIENTE

VA

R. D

EPEN

DIE

NTE

0.01

f1 x( )

f2 x( )

0.95

x

Ejemplo. 3

Graficacin de una Ecuacin Diferencial.Utilizacin del comando: Given y Odesolve

Dado

100 2tx t( )d

d

2 10

tx t( )d

d+ 101 x t( )+ 50 cos 1

4t=

x 0( ) 0= x' 0( ) 1=

x Odesolve t 100, ( ):=

0 20 40 60 80 100

21

1

2Ecuacin Diferencial

Tiempo

Func

in

x t( )

t



GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES

Para graficar en tres dimensiones, se debe definir una funcin que dependa de otras dos variables,pudiendo hacer esto como funciones corrientes (variable independiente - dependiente) o comofuncin de vectores.

Sea: x 1 10..:= y 1 10..:=

zx y, x2 y3+:=

z z

Definiendo en funcin de tres variables

f x( ) 5 sin x( ):= a 0:= b 2:=

m1 50:= i 1 m1..:=

n1 50:= j 1 n1..:=



las funciones:xi a i

b am1

+:= j j

2 n1

:=

Xi j, xi cos j( ):= Yi j, xi sin j( ):= Zi j, f xi( ):=

X Y, Z, ( )




1. OBJETIVOS

APRENDER A MANEJAR UNIDADES EN MATHCAD1.EJERCICIOS DE APLICACION2.

Para trabajar con unidades, basicamente se debe insertar la abreviacin de la unidad despus delvalor numerico deseado; la expresin de la unidad va en el espacio para instruccin [PlaceHolder] que tiene el MathCad despues de cada valor o variable.De forma semejante si se quiere cambiar la unidad en un resultado, se debe insertar en el espaciopara instruccin la unidad deseada para que el paquete realice la transformacin. Por ejemplopara encontrar el rea de un rectngulo:

Base 10cm:= Altura 2.5in:=

Area Base Altura 63.5 cm2=:=Area 9.84 in2=

Como se evidencia, y se considera uno de los mayores potenciales del paquete, no importa en quesistema de unidades se introduce una variable, despues de operar la misma, se puede exigir elresultado en otro sistema de unidades, o en varios sistemas.

NOTA.- Se hace notar que para utilizar Unidades en MathCad se recomienda revisarsu abreviatura, pues puede ser causa de errores de clculo; por ej. si se quieredefinir una unidad de fuerza en Kilogramos, la abreviacin es [kgf], puesto que[kg] es la abreviacin de unidades de masa.Por otro lado cuando se introduce ecuaciones con factores de conversin preestablecidos, se debe analizar el caso, pues MathCad realiza la transformacin deunidades internamente, no requiriendo un factor de conversin.

Ejemplo de Aplicacin

Calcular las variaciones absolutas de longitudes.

Ea 2 105 MN

m2:= A1 2cm2:= A2 5cm2:= A3 6cm2:=

L1 0.8m:= L2 0.4m:=F1 20kN:= F2 60kN:=

L3 0.4m:= L4 0.4m:=

1F1 L1A1 Ea

=

1F1 L1A1 Ea

:= 1 0.4 mm=



2F1 L2A2 Ea

:= 2 0.08 mm= 3F1 F2+( ) L3

A2 Ea:= 3 0.32 mm=

4F1 F2+( ) L4

A3 Ea:= 4 0.27 mm=

La deformacin total es:

t 1 2+ 3+ 4+ 1.07 mm=:=

Ejercicio 2

Calcular la deformacin total de la viga de seccin variable.

P 10kN:= Lon 0.3m:=d1 0.01m:= d2 0.01 2x+( ) m:= x

Ar d2

4=

tot

PLon

3

Ar Ea2

0

Lon

3x

PAr

d+=

tot x( )P

Lon3

d12

4Ea

2

0

x

xP

0.01m 2x+( )24

Ea

d+=

x 0 0.05m, 0.3m..:=

tot x( )P

Lon3

d12

4Ea

8 P Ea

0

x

x1

0.01m 2x+( )( )2

d+:=

tot x( )

0.060.07

0.07

0.07

0.07

0.07

0.07

mm= x

050

100

150

200

250

300

mm=



Ejercicio 3

La ecuacin mostrada, representa al factor de concentracin de esfuerzos a flexinen un elemento circular, con secciones variables que presentan un radio decurvatura.Dada la ecuacin de la concentracin de esfuerzos, que esta en funcin de los dosdimetros y su radio de curvatura, obtener una grfica de multiple curvas.

kt x( ) 0.752 x0.33=

Definiendo la ecuacin: kt a x, ( ) a 0.752 x 0.33:=d 10mm (Aqui se define una constante

d=10mm)El dimetro menor:

Los radios de entalladura: r 2mm 2.5mm, 4.5mm..:=

Los diametros mayores de los ejes: D 20mm 22mm, 28mm..:=

la realcin D/d se denomina "a"

a

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

:=

La relacin r/d ser"X"

x r( )rd

:=

0.2 0.3 0.4 0.51.5

2

2.5

3

3.5

4CONCENTRACION DE ESFUERZOS A FLEXION

Relacion r/d

Con

cent

raci

n d

e es

fuer

zos

kt a1 x r( ), ( )kt a2 x r( ), ( )kt a3 x r( ), ( )kt a4 x r( ), ( )kt a5 x r( ), ( )

x r( )



Ejercicio 4

Seleccionar una chaveta para las condiciones expuestas en los datos, con las consideraciones siguientes:Tenga un factor de seguridad de 1.75 a carga esttica.1.Cumpla un factor de seguridad de 3 a carga cclica.2.

DATOS Material de la chaveta AISI 1020

y1020 4640kgf

cm2:= u1020 1.67 y1020:= 1020 0.57 y1020:=

Esfuerzos dediseo

Ns 1.75:=

dy1020

Ns2651.43

kgf

cm2=:=

d0.5y1020

Ns1325.71

kgf

cm2=:=

Potencia del equipo

Pot 100hp:= 200rpm:=Dimensiones del eje

deje 65mm:= ancho de la chaveta b 18mm:=

Inicializando la longitud de la chaveta: Long 1mm:=El momento torsor:

MtorPot

36306.53 kgf cm=:=

Dado

d

Mtor

0.5 dejeb Long=

Long1 Find Long( ):= Long1 46.81 mm=Dimensiones de la cua afatiga 1

Nfs

1ae

mu

+=Nfs 3:=

a x2

y2+ x y 3 a Long( )+=

m x2

y2+ x y 3 m Long( )+=

a Long( )Fa

b Long= m Long( )Fm

b Long=



MtoraTormax Tormin

2= Mtorm

Tormax Tormin+2

=

FaMtora

deje 0.5= Fm

Mtormdeje 0.5

=

CALCULO Para carga ciclica se tiene el momento torsor mximo y mnimo:

Tormax 1.5 Mtor 54459.8 kgf cm=:=

Tormin 0.3 Mtor 10891.96 kgf cm=:=

El momento alternante

MtoraTormax Tormin

221783.92 kgf cm=:=

El momento medio

MtormTormax Tormin+

232675.88 kgf cm=:=

La fuerza alternativa

FaMtora

deje 0.56702.74 kgf=:=

La fuerza media

FmMtormdeje 0.5

10054.12 kgf=:=

Para la resolucin se toma un rango de longitud de chaveta, en algun punto se cumplir con elfactor de seguridad solicitado

Long 50mm 55mm, 100mm..:=

a Long( )Fa

b Long:= m Long( )Fm

b Long:= x 0:= y 0:=

a Long( ) x2

y2+ x y 3 a Long( )2+:=

m Long( ) x2

y2+ x y 3 m Long( )2+:=

e 0.5 u1020:=

Nfs Long( )1

a Long( )

e

m Long( )

u1020+

:=



Long

5055

60

65

70

75

80

85

90

95

100

mm= Nfs Long( )

1.721.89

2.06

2.23

2.4

2.57

2.75

2.92

3.09

3.26

3.43

=

0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.11.5

2

2.5

3

3.5

1.75

3

Nfs Long( )

0.09

Long



Se tiene un contenedor de alambre que alberga 8000 m de este, para meter a un horno derecocido, el alambre tiene un dimetro de 4,5mm y es de material A307. considerando unadiferencia de temperatura de 375C y dadas las medidas del sistema:

Calcular el dimetro de las barras soporte del contenedor.1.Determinar el descenso total del sistema cuando este en funcionamiento.2.

Se considera todo el material con A36, el espesor del contenedor es de 5mm

Objetivo

Determinar el dimetro de las barras.1.Determinar la deformacin del sistema.2.

Datos Los de la figura

Anlisis Primero se debe calcular las solicitaciones, con ellas los dimetros y luego ladeformacin longitudinal por temperatura y peso.

Desarrollo

L=2m

L=0.5m

diam=1.5m

diam=?

Alambre

Contenedor

Longitud del alambre: Lal 8000m:=dimetro del alambre: dal 4.5mm:=

al 7.5kgf

dm3:= dm 10cmPeso especifico del alambre:

Longitud de la barra: Lb 0.5m:=Espesor delcontenedor:

ec 5mm:=alto delcontenedor:

ac 2m:=Dimetro del contenedor: dc 1.5m:=

diferencia detemperatura

Dt 375 C 648.15 K=:= 12 10 6 1

1K:=

coeficiente de dilatacin:



Propiedadesdelmaterial

A36

uA36 58ksi:= uA36 4077.8kgf

cm2=

yA36 36ksi:= yA36 2531.05kgf

cm2=

Ec 20000N

mm2:=

RESOLUCION

CALCULO DE LAS SOLICITACIONTOTAL

SOLTOT Pesoalambre Pesocontenedor+=

Peso del alambre:

Volal Lal dal

2

4:= Volal 1.27 105 cm3=

wal Volal al:= wal 954.26 kgf=

Peso delcontenedor:

Volcont ac dc ec( ) dc2

4 ec+:= Volcont 55959.62 cm3=

wcont Volcont al:= wcont 419.7 kgf=

El pesototal

wtot wal wcont+:= wtot 1373.96 kgf=

Paraeldimetrodelabarra:

yFsAr

=

donde: Fswtot

2:= Fs 686.98 kgf= Ar

db2

4=

entonces se puedeestablecer:

db 1mm:=Dado

yA36Fs

db

2

4

=

db Find db( ):= db 5.88 mm=Elaborado por: Ing. Miguel A. Ruiz Orellana 8 de 10


Nota: si se utilizara un factor de seguridad fs=2, por falta de certificacin del material y malaoperacin del equipo se tendra.

fs 2:= dyA36

fs:= d 124.11 MPa=

Dado

dFs

db

2

4

=

db Find db( ):= db 8.31 mm=Por cuanto se puede asumir un valor de: db 10mm:=

Ab db

2

4 0.79 cm2=:=

LADEFORMACIONTOTALSER:

tot temp peso+=

temp tbarra tcontenedor+=

peso pbarra pcontenedor+=

pbarraFs LbAb Ec

:= pbarra 2.14 mm=

pcontenedor2Fs ac

dc ec Ec:= pcontenedor 0.06 mm=

tbarra Dt Lb:= tbarra 3.89 mm=

tcontenedor Dt ac:= tcontenedor 15.56 mm=

temp tbarra tcontenedor+:= temp 19.44 mm=

peso pbarra pcontenedor+:= peso 2.2 mm=

tot temp peso+:= tot 21.65 mm=

Se evidencia que para efectos de diseo del horno, esta longitud no esdespreciable.




1. OBJETIVOS

APRENDER A PROGRAMAR EN MATHCAD1.EJERCICIOS DE APLICACION - RESOLUCION DE VIGAS2.

La paleta de programacin en MathCad es sumamente sencilla, destacando en ella las funciones deciclo o de bucle.El gran potencial de la programacin dentro de MathCad, respecto de la programacin en otroslenguajes comunes como el Visual Estudio, Delphi y otros es que MathCad ya tiene programadas comopalabras reservadas las funciones matemticas, reduciendose nuestro trabajo a llamar a dichasfunciones y realizar un grupo de operaciones establecidas. Por ejemplo si se quiere encontrar un valordeterminado de una matriz, con cualquier otro lenguaje se debe programar la matriz y realizar labusqueda en ella, mientras que en MathCad, la matriz se define de forma comun, y con un bucle sepide la busqueda del valor especfico.

PROGRAMACION

Para especificar que se trata de una rutina de programa, se utiliza la barra de ADD LINE [ Adicinde Linea de programa].

Tal vez la forma ms sencilla de empezar a programar es utilizando el comando "IF".

COMANDO ifEjemplo 1

Seleccionar el material con el que se quiere trabajar, para ello asignar un valor a la variable "a":

a 1:=u 37

kgf

mm2

a 1=if

42kgf

mm2

a 2=if

60kgf

mm2

a 3=if

:=

u 37kgf

mm2=

entonces si selecciono 1, habr escogido el material ST37, devolviendome el valor de su esfuerzoltimo, de igaul forma con a=2, se elegir un ST42 y ST60 respectivamente.



a 2:=u 37

kgf

mm2

a 1=if

42kgf

mm2

a 2=if

60kgf

mm2

a 3=if

:=

u 42kgf

mm2=

Un ejercicio interesante es combinar la programacin con la utilizacin de los comandos de control,de esta forma si empleamos un cuadro de lista:

Editando los valores desde edicion de Script (boton derecho sobre el cuadro de lista)

Asi, se puede obtener la expresin directamente para seleccionar:

Seleccione el material con el cual va ha trabajar:St37St42St60

u 37kgf

mm2

a 1=if

42kgf

mm2

a 2=if

60kgf

mm2

a 3=if

:=

u 37kgf

mm2=



Comando Definicin Local

Para definir una variable o agrupar varias operaciones en una variable se recurre al comandoDefinicin Local (la flecha de derecha a izquierda), interpretando el comando como: a lavariable"x" se le asigna "y".

x 1 10..:=

f x w, ( ) z x2 1x

+

w ez

:=

x

12

3

4

5

6

7

8

9

10

= f x 3, ( )22.17

270.05

33926.2973.4210

112.6410161.5310216.610282.1210355.0510438.9110

=

Comando While

El comando While repetira un ciclo hasta que se cumpla la condicin definida.

Polinomio

f n( ) a 0i 0

a h k+( )ii i 1+

i nwhile

a

:=

h

f 2( ) h k+( )2f 3( ) h k+( )3

f 3( ) expandir h3 3 h2 k+ 3 h k2+ k3+f 4( ) expandir h4 4 h3 k+ 6 h2 k2+ 4 h k3+ k4+

NOTA.- Cuando se utiliza los comandos de programacin, no se deben escribir estos,se los debe coger desde la paleta de programacin.



Comando For

Trabaja igual que while, pero en este el numero de ciclos se define como dato conocido.

Generar una matriz con los datos de la funcin F(i,j).

F i j, ( ) i j:=Ma inf sup, paso, ( ) f 1

o 1

Mf o, F i j, ( )o o 1+

j inf inf paso+, sup..for

f f 1+

i inf inf paso+, sup..for

M

:=

Ma 0 0.4, 0.1, ( )

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.10

0.1

0.2

0.3

0.20.10

0.1

0.2

0.30.20.10

0.1

0.40.30.20.10

=

Programacin del Mtodo de Newton Raphson

Sea la funcin encontrar su raiz:

f z( ) 0.5e

z

3 0.5 sin z( ):=

2 0 2 4 6

1

2

3

f z( )

0.677

z

Introduzca Valor de x :

x 2:=Introduzca El Error :

0.001:=Introduzca La Funcin:

f x( ) 0.5e

x

3 0.5 sin x( ):=

1ra Derivada de launcin --> x

f x( )dd

0.5 cos 2( ) 0.16666666666666666667 e2

3

+



Raiz DD 1

sol xf x( )

xf x( )d

d

DD x solx sol

DD while

x

:=ProgramaAplicacin de la sentencia While -->

La Raiz Es --> Raiz 3.462398=

Se obtiene el mismo resultadocon el comando "root" root f x( ) x, ( ) 3.462398=

SELECCION DE UN PERFIL

Teniendo el valor del modulo de seccion requerido para seleecionar el codigo de perfil , realizaruna rutina que realice dicha busqueda.

Se puede introducir los valores tabulados desde excel, asi a la tabla PC se copia la columna decodigo de perfil y luego el valor de su modulo de seccin.

PC1 2

12

3

4

5

6

7

"C5X9" 3.56"C5X67" 3

"C4X75" 2.29

"C4X54" 1.93

"C3X6" 1.38

"C3X5" 1.24

"C3X4" 1.1

:=

PC1 PC 2 := PC1

3.56

3

2.29

1.93

1.38

1.24

1.1

=

ESCOGER q PC1, ( ) i 1

i i 1+PC1i 1, qwhile

i

:=

q 2.3:=f ESCOGER q PC1, ( ) 1:=

Si el modulo es: q 2.3= El codigo del perfilser:

PCf 1, "C5X67"=



APLICACION EN RESOLUCION DE VIGAS

METODO DE SECCIONES MULTIPLES

1.5m

1.0m

0.5mF1=100kgf

q=500kgf/0.5m

Ra Rb

OBJETIVO: Calcular el punto donde se encuentra la flecha mxima.

ANALISIS: Obtencin de la ecuacin por el mtodo de secciones.

DATOS: Acero AISI 1020, de Seccin circular de diam. 1"

L1 0.5m:= L2 0.5m:= L3 1m:=

d1 1in:= q500kgf0.5m

:= qe 500kgf:=

u 393MPa 3.93 108 Pa=:= Ea 207GPa:=

y 296MPa 2.96 108 Pa=:= Ga 80GPa:= a 7680

kgf

m3:=

F1 100kgf:= DESARROLLO Ra 1N:= Rb 1N:=Reacciones:

Dado

Ra Rb+ qe F1 0=

Ra 1.5m( ) qe 1.25m( ) F1 0.5m( ) 0=Ra

Rb

Find Ra Rb, ( ):= RaRb

4412.99

1471

N=



Analisisportramos

Tramo1 0 x< L1V1 x( ) Ra q x:=

M1 x( ) Ra x qx2

2:=

Tramo2 L1 x< L1 L2+V2 x( ) Ra qe:=

M2 x( ) Ra x qe x 0.25m( ):=

Tramo3 L1 L2+ x< L1 L2+ L3+V3 x( ) Ra qe F1:=M3 x( ) Ra x qe x 0.25m( ) F1 x 1m( ):=

Las funciones generales:

V x( ) V1 x( ) 0 x< L1ifV2 x( ) L1 x< L1 L2+ifV3 x( ) L1 L2+ x< L1 L2+ L3+if

:= M x( ) M1 x( ) 0 x< L1ifM2 x( ) L1 x< L1 L2+ifM3 x( ) 1m x< 1.5mif

:=

x 0 0.01m, 1.5m..:=

0 0.5 1

4 1032 103

2 1034 103

V x( )

x

0 0.5 1 1.5

200

400

600

800

1 103

M x( )

0.49

x

Para el momento maximo derivamos la ecuacin de M1

Ra x qx2

2 Ra q x 0=

x1Raq

:= x1 0.45 m= Punto donde se ubica la flecha mxima



RESOLUCION DE VIGAS POR EL METODO DE FUNCIONES DE SINGULARIDAD

El metodo de funciones de singularidad ofrece una ventaja trabajando en MathCad, y es que lafuncion de singularidad se programa en dos pasos, entonces sepuede obviar el trabajo de realizar elanlisis por tramos, pudiendo escribir la funcin de corrido y evaluar en uno solo.La condicin presentada se muestra en la tabla siguiente, que basicamente nos dice que si el tramoen cuestin es inferior al valor de la posicin de la carga, este se hace cero.

La expresin general de las funciones de singularidad se escribencomo:

donde: n: cualquier entero (positivo o negativo). n

x0: el valor de x en la frontera del intervalo.

x: el valor de la longitud de anlisis.

Los corchetes se reemplazan por parntesis algebraicos (suceptibles de evaluacin) cuandose cumple x =>x0, y por "0" cuando x


CLCULO DE LAS REACCIONES

DadoRa Rb+ P q 1 m 0=Ra x3 qe 1.5 m P 1 m+ 0=

Ra

Rb

Find Ra Rb, ( ):=Ra

Rb

151.2

1663.17

kgf=Ra

Rb

1482.74

16310.15

N=

ESCRIBIENDO LA ECUACION DEL MOMENTO

Por singularidad:

Escribiendo en MathCad....

M x( ) Ra x qx x1( )2

2 q

x x2( )22

+ Rb x x3( )=NOTA.- Se aclara que MathCad no acepta anotar una expresin entrecorchetes de desigualdad.

Escribiendo la funcin de Heaviside, o salto unidad, la cual nos sirve para hacer cumplir lacondicin de que si el tramo es menor a la longitud de aplicacin de la fuerza, el valor de esa sehace cero:

funcion de heaviside

t a, ( ) 0 t aif1 otherwise

:=

Aplicando a la ecuacin obtenida

M x( ) Ra x qx x1( )2

2 x x1, ( ) q x x2( )

2

2 x x2, ( )+ Rb x x3( ) x x3, ( )+

x4 x, ( ):=

x 0 0.01m, 4m..:=



0 1 2 3 4 5

1 104

5 103

5 103

M x( )

x




1. OBJETIVOS

APLICAR LA HERRAMIENTA MATEMTICA "MATHCAD", PARA EL CLCULO DE EJES.

DiseodeEjessegnNormasDIN44713

PROPIEDADESDEALGUNOSMATERIALES

A36 yA36 36ksi:= yA36 248.21 MPa=uA36 58ksi:= uA36 399.9 MPa=

SegnSAE/AISI1030

y1030 38000lbf

in2:= y1030 262.001 MPa=

u1030 68000lbf

in2:= u1030 468.843 MPa=

SegnDINSt42

yst42 26

kgf

mm2:= yst42 254.973 MPa=

ust42 42kgf

mm2:= ust42 411.879 MPa=

st42 yst42 0.57:= st42 145.33 MPa=SegnDINSt60

yst60 37kgf

mm2:= yst60 362.846 MPa=

ust60 60kgf

mm2:= ust60 588.399 MPa=

METODOLOGIA

OBJETIVO: Dimensionar el eje, para la potencia y velocidad citadas.ANALISIS: Primero se analiza el eje como una viga estatica, y luego se calcula a lafatiga.DATOS DEL PROBLEMA

Datos del motor Pot 15hp:= 1500rpm:=

Momento Torsor: MtorPot

:= Mtor 71.21 N m=



Diam. Rueda:

diam. Pion:

d2 48 2 mm:= d2 96 mm=d1 35 2 mm:= d1 70 mm=

Longitudes L1 97.5mm:= L2 155mm:= L3 215mm:=

D2=

96m

m

D1=

70m

m

R5,00

100,00 30,00

60,00

25,00

25,00

R5,00

3,00

1,00

30,00

25,00

R5,00 R5,00

L1=97,50

L2=155,00

L3=215,00

CLCULOSIMPLIFICADODELASFUERZASTANGENCIALESPara clarificar el metodo de clculo, se considerar solo la componente tangencial de las fuerzasgeneradas en los engranajes.Para considerar los dos componentes, simplemente corresponder analizar por componente yobtener una resultante del momento flector obtenido.

F1Mtor0.5d1

:= F1 2034.55 N= fuerza del pion

F2Mtor0.5d2

:= F2 1483.52 N= fuerza de la rueda

ANALISISDELEJECOMOVIGA(ANALISISESTATICO)Clculo de las reacciones: Ra 1N:= Rb 1N:=

Dado

Ra Rb+ F1 F2 0=

Rb L3 F2 L2 F1 L1 0=

Ra

Rb

Find Ra Rb, ( ):= RaRb

1525.91

1992.16

N=



Anlisisdelavigaportramos

tramo1

0mm x< L1Q1 x( ) Ra:=M1 x( ) Ra x:=

tramo2 L1 x< L2Q2 x( ) Ra F1:=

M2 x( ) Ra x F1 x L1( ):=tramo3

L2 x< L3Q3 x( ) Ra F1 F2:=M3 x( ) Ra x F1 x L1( ) F2 x L2( ):=

Los momentos y cortantes sern:

Q x( ) Q1 x( ) 0mm x< L1ifQ2 x( ) L1 x< L2ifQ3 x( ) L2 x< L3if

:= M x( ) M1 x( ) 0mm x< L1ifM2 x( ) L1 x< L2ifM3 x( ) L2 x< L3if

:=

0 0.1 0.2

50

100

150

M x( )

x

0 0.1 0.2

20001000

1000

2000

Q x( )

x

CALCULODELEJEENLASECCIONDELARUEDA

Estimacindeldiametrodeleje:

Trabajando con material st60

asumiendo una tensin al corte de 0.57badm

adm yst60 0.57:= adm 206.82N

mm2=



El momento mximo en ese punto ser:

Mmax M2 L2( ) 119.53 N m=:=Estimacin a flexin del eje en el punto del engranaje2

drefMmax

0.1 yst60

1

3

:= dref 14.879 mm=

Estimacin a cortante portorsin

drefMtor

0.2 adm

1

3

:= dref 11.985 mm=

Se asume un dimetro mnimo de 15 mm con st60 de2 15mm:=

el modulo de seccin para ese dimetro ser:

wb2 0.1 de23:= wb2 0.34 cm3= a flexin

w2 0.2 de23:= w2 0.68 cm3= a torsin

Recalculo de la tensin de flexin

bMmaxwb2

:= b 354.16 MPa=

Tensin a la torsin

Mtorw2

:= 105.49 MPa=

Tensin a traccin 0N:=

Clculodelatensinequivalente

Se debe combinar todos los tipos de tensiones en una sola equivalente, as:

v2 02 3 0

2 2+=

0 b+:= 0 354.16 MPa=a=1 si hay flexin alternativa y torsin permanentea=2 si hay flexin alternativa y torsin pulsatoriaa=3 si hay flexin alternativa y torsin alternativa



flexin alternante - torsin permanenteflexin alternante - torsin pulsatoriaflexin y torsin alternante

00.48

3a 1=if

1.473

a 2=if

33

a 3=if

:=

v2 02 3 0

2 2+:= v2 361.62 MPa=

CALCULODELARESISTENCIAALAFATIGA

Gw b0

kb 1 R( )k w=

Clculodelcoeficientedeentalladura

kbkb

1 +=

kb 2.8:= Coeficiente de forma deentalladura2 0.06mm:=

2

de2

22

+:= caida de tensin

33.471

mm=

kbkb

1 2 +1.16=:=

b0 0.95:= coeficiente de influencia de la superficiew 270MPa:= por que: ust60 588.4 MPa= tabla 73R 0.5:= grado de reposok 2.1:= factor lmite de fatigaReemplazando

Gw b0

kb 1 R( )442.84 MPa=:= k w 567 MPa=



adems la seguridad contra rotura:

SDGv2

:= SD 1.22= 1.7

eldimensionadoescorrectodeesetramo!!!

CALCULODELEJEENLASECCIONDELPION

Estimacindeldiametrodeleje:

El momento mximo en ese punto ser:

Mmax M L1( ) 148.78 N m=:=Estimacin a flexin del eje en el punto del engranaje 1

drefMmax

0.1 yst60

1

3

:= dref 16.006 mm=

Estimacin a cortante por torsin

drefMtor

0.2 adm

1

3

:= dref 11.985 mm=

Se asume un dimetro mnimo de 20 mm con st60 de1 20mm:=el modulo de seccin para ese dimetro ser:

wb1 0.1 de13:= wb1 0.8 cm3= a flexin

w1 0.2 de13:= w1 1.6 cm3= a torsin

Recalculo de la tensin de flexin

bMmaxwb1

:= b 185.97 MPa=

Tensin a la torsin

Mtorw1

:= 44.51 MPa=

Tensin a traccin 0N:=



Clculodelatensinequivalente

Se debe combinar todos los tipos de tensiones en una sola equivalente, as:

v1 02 3 0

2 2+=

0 b+:= 0 185.97 MPa=a=1 si hay flexin alternativa y torsin permanentea=2 si hay flexin alternativa y torsin pulsatoriaa=3 si hay flexin alternativa y torsin alternativa

flexin alternante - torsin permanenteflexin alternante - torsin pulsatoriaflexin y torsin alternante

00.48

3a 1=if

1.473

a 2=if

33

a 3=if

:=

v1 02 3 0

2 2+:= v1 188.51 MPa=

CALCULODELARESISTENCIAALAFATIGA

Gw b0

kb 1 R( )k w=

Clculodelcoeficientedeentalladura

kbkb

1 +=

kb 2.8:= Coeficiente de forma deentalladura2 0.06mm:=

2

de1

22

+:= caida de tensin

33.431

mm=

kbkb

1 2 +1.16=:=



b0 0.95:= coeficiente de influencia de la superficiew 270MPa:= por que: ust60 588.4 MPa= tabla 73R 0.5:= grado de reposok 2.1:= factor lmite de fatigaReemplazando

Gw b0

kb 1 R( )442.71 MPa=:= k w 567 MPa=

adems la seguridad contra rotura:

SDGv1

:= SD 2.35= 1.7

eldimensionadoessuficiente

20m

m

15m

m

5mm

6mm


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