MATRICES
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MATRICES
Y
DETERMINANTES
MATRICESUna matriz es todo arreglo rectangular
de números reales definidos en filas y/o columnas entre paréntesis o
corchetes. Así tenemos:
5 17 23 8
A
1 0 32 1 0
B
0 5 13 2 04 1 1
C
NOTACION MATRICIAL
Las matrices se denotan por letras mayúsculas y los elemento se designan con aij.
Donde: i = es la i – ésima fila o renglón j= es la j – ésima columna
NOTACION MATRICIAL Así notamos: En la matriz A: a11=5
Columna 1
Fila 1
5 17 23 8
A
Así notamos: En la matriz B: b21 =2
Columna 1
Fila 2
NOTACION MATRICIAL
1 0 32 1 0
B
FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ
El arreglo de los elementos en cualquier línea horizontal forman un renglón o fila de la matriz.
Ej:
5 12 23 8
A
Renglón o fila 1
Renglón o fila 2
Renglón o fila 3
FILAS Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ
El arreglo de los elementos en cualquier línea vertical forman un columna de la matriz. Ej:
5 12 23 8
A
Columna 1
Columna 2
DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ
Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:
5 12 23 8
A
A tiene 3 filas y 2 columnas
3 2( )ij xA aDe: tenemos:
DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ
Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:
2 3( )ij xB b
B tiene 2 filas y 3 columnas
De: tenemos:1 0 32 1 0
B
DIMENSION U ORDEN DE UNA MATRIZ
Esta definida por el número de filas o renglón y el número de columnas. Ej:0 5 13 2 04 1 1
C
A tiene 3 fila y 3 columnas
3 3( )ij xC cDe: tenemos:
En las siguientes alternativas entre paréntesis ponga V si es verdadero y F si es falso
2 3 71 0 4
A
1 31 0
B
a) a22 = b22
b) a12 < b21
c) a23 + b12= a13
d) a12+ a23 > b12
e) A (aij)3x2
f) B (bij))2x2
g) Los elementos del primer renglón de la matriz A son 2y 1
(V)
(V)(V)
(V)
(F) (F)
(F)
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ VECTOREs un arreglo que tiene únicamente un renglón o
una columna. Ej:
2 3 1R
401
C
Matriz renglón
Matriz columna
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ RECTANGULAREs una matriz cuyo número de renglones es
diferentes de las columnas, es decir m n
3 1A 21
C
4 12 01 1
B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ NULA O CEROEs una matriz con todos los elementos
ceros. Ej:
0 0 0A 0 00 0
C
000
B
0 0 00 0 0
D
0 00 00 0
E
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ CUADRADAEs una matriz que tiene el mismo número de
renglones y columnas es decir m=n. Ej:
2A3 3 32 0 14 1 2
C
1 01 2
B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ TRIANGULAR
Estas matrices se dividen en:Matriz Triangular superiorMatriz Triangular Inferior.
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los
elementos bajo la diagonal principal o secundaria iguales a cero. Esto es aij=0 si i > j.
Ej:
3 3
1 3 50 2 40 0 6
xA
2 1 05 4 01 0 0
B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ TRIANGULAR INFERIOREs una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a
cero. Esto es aij=0 si i < j. Ej:
3 3
1 0 05 4 03 2 6
xA
0 0 10 1 02 4 2
B
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ SIMETRICAToda matriz cuadrada es simétrica, si los elementos
opuestos respecto a la diagonal principal o secundaria son iguales, es decir a12=a21 , a32 =
a23. etc . Ej:
3 3
1 2 12 3 01 0 6
xA
3 3
5 0 30 1 43 4 8
xB
TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero.
Esto es aij=0 si i = j. Toda matriz diagonal es una matriz triangular superior e inferior a la vez. Ej:
3 3
1 0 00 3 00 0 6
xA
2 2
1 00 4xB
Nota: Algún elemento de la diagonal principal puede ser cero, pero no todos
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ ESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos sobre y debajo de la diagonal principal igual a cero, y los elementos de la
diagonal principal son iguales entre sí. Esto es aij=0 si i = j, aij=k con k
Ej:
3 3
2 0 00 2 00 0 2
xA
2 2
4 00 4xB
TIPOS DE MATRICES ESPECIALES
MATRIZ IDENTIDADEs una matriz cuadrada que tiene todos sus
elementos iguales a cero excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1 y se
denota Inxn. Ej:
2 2
1 00 1xI
3 3
1 0 00 1 00 0 1
xI
4 4
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
xI
TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ TRANSPUESTA
Sea A una matriz de orden m x n, la transpuesta “A” es de orden n x m, es decir las filas se
transforman en columnas. La matriz transpuesta se denota Ej:
Sea hallar
F1 = C1F2 = C2F3 = C3
TIPOS DE MATRICES ESPECIALESMATRIZ ANTISEMETRICA
Es una matriz cuadrada cuyos elementos opuestos a la diagonal principal, son valores opuestos. Los
elementos de la diagonal son todos ceroEn la matriz antisimétrica se cumple que:
1.
2.
IGUALDAD DE MATRICESMATRIZ ANTISEMETRICADos matrices son iguales si:1. Tienen igual dimensión.
2. Los elementos correspondientes son iguales.
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