Matriz (matemáticas)

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensionalde números. Dado que puede definirse tanto la suma co-mo el producto de matrices, en mayor generalidad se diceque son elementos de un anillo. La notacion de una matrizA tiene la forma:

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

... . . . ...an1 an2 · · · ann

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sir-ven, en particular, para representar los coeficientes delos sistemas de ecuaciones lineales o para representartransformaciones lineales dada una base. En este últimocaso, las matrices desempeñan el mismo papel que losdatos de un vector para las aplicaciones lineales.Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de va-rias formas, lo que también las hace un concepto clave enel campo del álgebra lineal.

1 Historia

El origen de las matrices es muy antiguo. Los cuadradoslatinos y los cuadrados mágicos se estudiaron desde hacemucho tiempo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registraen la literatura china hacia el 650 a. C.[2]

Es larga la historia del uso de las matrices para resol-ver ecuaciones lineales. Un importante texto matemáticochino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nue-ve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu ZhangSuan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del mé-todo de matrices para resolver un sistema de ecuacionessimultáneas.[3] En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni po-co", el concepto de determinante apareció por primeravez, dos mil años antes de su publicación por el matemá-tico japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemánGottfried Leibniz en 1693.Los “cuadrados mágicos” eran conocidos por los mate-máticos árabes, posiblemente desde comienzos del sigloVII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemá-ticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectosde las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere quela idea provino de China. Los primeros “cuadrados má-gicos” de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983,en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'ilIhkwan al-Safa).[2]

Después del desarrollo de la teoría de determinantes porSeki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecua-ciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer pre-sentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer.Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron laeliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vezel término « matriz » en 1848/1850.En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría dematrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matri-cial, como forma abreviada de escribir un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas.Cayley, Hamilton, HermannGrassmann, Frobenius, OlgaTaussky-Todd y John von Neumann cuentan entre losmatemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría delas matrices. En 1925, Werner Heisenberg redescubre elcálculo matricial fundando una primera formulación de loque iba a pasar a ser la mecánica cuántica. Se le conside-ra a este respecto como uno de los padres de la mecánicacuántica.Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II GuerraMundial, usó la teoría de matrices para investigar el fe-nómeno de aeroelasticidad llamado fluttering.

2 Introducción

2.1 Definición

Unamatriz es un arreglo bidimensional de números (lla-mados entradas de la matriz) ordenados en filas (o ren-glones) y columnas, donde una fila es cada una de laslíneas horizontales de la matriz y una columna es cadauna de las líneas verticales. A una matriz con n filas y mcolumnas se le denomina matriz n-por-m (escrito n×m) donde n,m ∈ N−{0} . El conjunto de las matrices detamaño n×m se representa comoMn×m(K) , dondeKes el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño deuna matriz siempre se da con el número de filas primeroy el número de columnas después.Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismotamaño y los mismos elementos en las mismas posiciones.A la entrada de una matriz que se encuentra en la fila i−ésima y la columna j− ésima se le llama entrada i, j oentrada (i, j) -ésimo de la matriz. En estas expresionestambién se consideran primero las filas y después las co-lumnas.

1

2 2 INTRODUCCIÓN

Se denota a las matrices con letra mayúscula, mientrasque se utiliza la correspondiente letra en minúsculas paradenotar a las entradas de las mismas, con subíndices querefieren al número de fila y columna del elemento.[4]Porejemplo, al elemento de una matriz A de tamaño n ×m que se encuentra en la fila i− ésima y la columna j−ésima se le denota como aij , donde 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤j ≤ m .Cuando se va a representar explícitamente una entradala cuál está indexada con un i o un j con dos cifras seintroduce una coma entre el índice de filas y de columnas.Así por ejemplo, la entrada que está en la primera fila yla segunda columna de la matriz A de tamaño 50 × 100se representa como a1,2 mientras que la entrada que estáen la fila número 23 y la columna 100 se representa comoa23,100 .Además de utilizar letras mayúsculas para representarmatrices, numerosos autores representan a las matricescon fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetosmatemáticos.[cita requerida] Así A es una matriz, mientrasqueA es un escalar en esa notación. Sin embargo ésta no-tación generalmente se deja para libros y publicaciones,donde es posible hacer ésta distinción tipográfica con fa-cilidad. En otras notaciones se considera que el contextoes lo suficientemente claro como para no usar negritas.Otra notación, en sí un abuso de notación, representa a lamatriz por sus entradas, i.e. A := (aij) o incluso A :=aij .Como caso particular de matriz, se definen los vectoresfila y los vectores columna. Un vector fila o vector ren-glón es cualquier matriz de tamaño 1 × n mientras queun vector columna es cualquier matriz de tamañom×1.A las matrices que tienen el mismo número de filas quede columnas,m = n , se les llama matrices cuadradasy el conjunto se denota Mn(K) , alternativamente a lanotación usualMn×n(K) .

2.2 Ejemplo

Dada la matriz A ∈ M4×3(R)

A =

1 2 31 2 74 9 26 0 5

es una matriz de tamaño 4× 3 . La entrada a23 es 7.La matriz R ∈ M1×9(R)

R =[1 2 3 4 5 6 7 8 9

]es una matriz de tamaño 1 × 9 : un vector fila con 9 en-tradas.

2.3 Operaciones básicas entre matrices

Las operaciones que se pueden hacer con matrices pro-vienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicacionesen álgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su for-ma muy particular de ser implementadas, no son únicas.

2.3.1 Suma o adición

Sean A,B ∈ Mn×m(K) . Se define la operación de su-ma o adición de matrices como una operación binaria+ : Mn×m(K) ×Mn×m(K) −→ Mn×m(K) tal que(A,B) 7→ C = A + B y donde cij = aij + bij en elque la operación de suma en la última expresión es la ope-ración binaria correspondiente pero en el campo K . Porejemplo, la entrada c12 es igual a la suma de los elementosa12 y b12 lo cual es a12 + b12 .Veamos un ejemplo más explícito. Sea A,B ∈ M3(R)

1 3 21 0 01 2 2

+1 0 57 5 02 1 1

=

1 + 1 3 + 0 2 + 51 + 7 0 + 5 0 + 01 + 2 2 + 1 2 + 1

=

2 3 78 5 03 3 3

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

2 2 13 2 12 3 22 0 4

+

0 1 41 4 02 1 10 2 2

=

2 3 54 6 14 4 32 2 6

A la luz de estos ejemplos es inmediato ver que dos matri-ces se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismotamaño. La suma de matrices, en el caso de que las en-tradas estén en un campo, poseen las propiedades de aso-ciatividad, conmutatividad, existencia de elemento neu-tro aditivo y existencia de inverso aditivo. Ésto es así yaque éstas son propiedades de los campos en los que estánlas entradas de la matriz.

Propiedades de la suma de matrices

Sean A,B,C ∈ Mn×m(K) , donde K es un campo en-tonces se cumplen las siguientes propiedades para la ope-ración binaria +

• Asociatividad

(A+B) + C = A+ (B + C)

• Conmutatividad

(A+B) = (B +A)

2.3 Operaciones básicas entre matrices 3

• Existencia del elemento neutro aditivo

Existe 0 ∈ Mn×m(K) tal que

A+ 0 = 0 +A = A

• Existencia del inverso aditivo

Existe D ∈ Mn×m(K) tal que

A+D = 0

a esta matriz D se le denota por −A .En efecto, estas propiedades dependen del conjunto en elque estén las entradas, como se ha dicho antes, aunque enlas aplicaciones generalmente los campos usados son R(los números reales) y C (los números complejos).Por como se definió la operación binaria adición se diceque ésta operación es una operación interna por lo que secumple intrínsecamente la propiedad de queMn×m(K)es cerrado bajo adición. Con éstas propiedades se tieneque (Mn×m(K),+) es un grupo abeliano.En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entra-das de la matriz sea un anillo (A,+A, ·A) , la operaciónde adición de matrices continúa dotando de estructura degrupo abeliano a (Mn×m(A),+) , ya que bajo un anillo(A,+A, ·A) se tiene que (A,+A) es un grupo abeliano.En el caso de que las entradas estén en un grupo (G,+G), éste necesita ser un grupo abeliano para que la adiciónde matrices siga dotando de estructura de grupo abelianoa (Mn×m(G),+) .

2.3.2 Producto por un escalar

Sean A ∈ Mn×m(K) y λ ∈ K . Se define la ope-ración de producto por un escalar como una funciónK×Mn×m(K) −→ Mn×m(K) tal que (λ,A) 7→ B =λA y donde bij = λaij en donde el producto es la ope-ración binaria correspondiente pero en el campo K . Porejemplo, la entrada b12 es igual al producto λa12 .Veamos un ejemplo más explícito. Sea A ∈ M2×3(R) y2 ∈ R

2

[1 8 −34 −2 6

]=

[2(1) 2(8) 2(−3)2(4) 2(−2) 2(6)

]=

[2 16 −68 −4 12

]También es inmediato observar que el producto por unescalar da como resultado una matriz del mismo tamañoque la original. También el producto por un escalar de-penderá de la estructura algebraica en la que las entradasestán. En el caso de que estén en un campo serán dos dis-tributividades (una respecto de suma de matrices y otrarespecto de suma en el campo), asociatividad y una pro-piedad concerniente al producto por el elemento neutro

multiplicativo del campo. A continuación se presentan laspropiedades.

Propiedades del producto por un escalar

Sean A,B ∈ Mn×m(K) y λ, µ ∈ K , donde K es uncampo, entonces se cumplen las siguientes propiedadespara la operación producto por un escalar

• Asociatividad

(λµ)A = λ(µA)

• Distributividad respecto de la suma de matrices

λ(A+B) = λA+ λB

• Distributividad respecto de la suma en el campo

(λ+ µ)A = λA+ µA

• Producto por el neutro multiplicativo del campo

1KA = A

Por como se definió la operación de producto por esca-lares se dice que Mn×m(K) es cerrado bajo productopor escalares. Con éstas propiedades y las de la adiciónse tiene que Mn×m(K) es un espacio vectorial con lasoperaciones de suma y producto por escalares definidasantes.En el caso de que las entradas y los escalares no estén enun campo sino en un anillo entonces no necesariamen-te existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista,con lo cual el anillo es un anillo con uno, se dice queMn×m(A) es un módulo sobre A .Ahora, a partir de las propiedades básicas se puede de-mostrar inmediatamente queEste último resultado permite usar la notación −λA sinriesgo de ambigüedad.

2.3.3 Producto de matrices

El producto de matrices se define de una manera muy pe-culiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen.El origen proviene del papel de las matrices como repre-sentaciones de aplicaciones lineales. Así el producto dematrices, como se define, proviene de la composición deaplicaciones lineales. En este contexto, el tamaño de lamatriz corresponde con las dimensiones de los espaciosvectoriales entre los cuales se establece la aplicación li-neal. De ese modo el producto de matrices, representa lacomposición de aplicaciones lineales.En efecto, en ciertas bases tenemos que f : V −→ Wse puede representar como f(x) = Ax donde x es la

4 3 OTROS CONCEPTOS RELACIONADOS CON MATRICES

A

B

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dos matricesAy B dando como resultado la matriz AB .

representación de un vector de V en la base que se haelegido para V en forma de vector columna. Si tenemosdos aplicaciones lineales f : V −→ W y g : W −→ Uentonces f(x) = Bx y g(x) = Ax , luego la aplica-ción g ◦ f : V −→ U se representará como g ◦ f(x) =g(f(x)) = g(Bx) = ABx donde AB es el producto delas representaciones matriciales de f, g . Nótese que lacomposición no se puede dar entre cualquier aplicaciónsino entre aplicaciones que vayan de V → W → U , enparticular debe de haber una relación entre las dimensio-nes de los espacios vectoriales. Una vez dicho ésto pode-mos definir el producto de la siguiente manera.Sean A ∈ Mn×m(K) y B ∈ Mm×p(K) . Se define elproducto de matrices como una funciónMn×m(K)×Mm×p(K) −→ Mn×p(K) tal que (A,B) 7→ C = ABy donde cij =

∑mk=1 aikbkj para toda i, j , es decir cij =

ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+ · · ·+aimbmj . Por ejemplo, laentrada c12 = a11b12+a12b22+a13b32+ · · ·+a1mbm2

.Veamos un ejemplo más explícito. Sean A ∈ M2×3(R)y B ∈ M3×2(R)

[1 0 2

−1 3 1

]3 12 11 0

=

[1(3) + 0(2) + 2(1) 1(1) + 0(1) + 2(0)

−1(3) + 3(2) + 1(1) −1(1) + 3(1) + 1(0)

]=

[5 14 2

]dónde la matriz producto es como habíamos establecidoen la definición: una matriz C ∈ M2×2(R) .Sin tomar en cuenta la motivación que viene desde lasaplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos ladefinición de la función de producto de matrices y sólo setoma en cuenta la definición de las entradas, el productono estará bien definido, ya que si A no tiene el mismonúmero de columnas que B de filas entonces no podre-mos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en

el mayor de éstos números habrá sumandos que no estándefinidos ya que una de las matrices no tendrá mas entra-das, mientras que si tomamos el menor habrá entradas dealguna de las matrices que no se tomen en cuenta. Así esnecesario que A tenga el mismo número de columnasque B de filas para que AB exista.Como se puede suponer también, las propiedades de éstaoperación serán más limitadas en la generalidad ya queademás de las limitaciones impuestas por la naturalezade las entradas está esta limitación respecto a tamaño. Esclaro, además, que el producto de matrices no siempre esuna operación interna.

Propiedades del producto de matrices

Sean A,B,C matrices con entradas en K , donde K esun campo, entonces se cumplen las siguientes propieda-des para el producto de matrices (considerando que losproductos existan)

• Asociatividad

A(BC) = (AB)C

• Distributividad respecto de la suma de matricespor la derecha

(A+B)C = AC +BC

• Distributividad respecto de la suma de matricespor la izquierda

A(B + C) = AB +AC

El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuerala composición de funciones lineales sería conmutativa yeso en general no sucede. Obviamente existen casos parti-culares de algunos tipos de matrices en los que si hay con-mutatividad. En el caso en que tengamosMn(K) tendre-mos que el producto entre matrices en Mn(K) tambiénestá enMn(K) . En ese casoMn(K) además de espaciovectorial es un álgebra sobre un campo. En el caso de queel conjunto al que pertenecen las entradas sea un anilloconmutativo con uno entoncesMn(A) además de módu-lo es un álgebra sobre un anillo. Mas aún (Mn(K),+, ·)con · el producto de matrices es un anillo.

3 Otros conceptos relacionados conmatrices

3.1 Rango de una matriz

El rango de una matrizA es la dimensión de la imagen dela aplicación lineal representada porA , que coincide conla dimensión de los espacios vectoriales generados por lasfilas o columnas de A .

5

3.2 Matriz traspuesta

La traspuesta de una matriz A ∈ Mn×m(X) , dondeX no es necesariamente un campo, es una matriz B ∈Mm×n(X) tal que bij = aji . Por ejemplo la entradab12 = a21 .Veamos un ejemplo más explícito. Sea A ∈ M2×3(R)

[1 8 −34 −2 6

]entonces su traspuesta es

1 48 −2

−3 6

Así, informalmente podríamos decir que la traspuesta esaquella matriz que se obtiene de la original cambiandofilas por columnas. Las notaciones usuales para denotarla traspuesta de una matriz son AT , At .La trasposición de matrices tiene las siguientes propieda-des (donde ahora sí el conjunto de entradas debe ser almenos un anillo conmutativo):

(AT )T = A,

(A+B)T = AT +BT ,

(AB)T = BTAT ,

Si A ∈ Mn×m(X) representa una aplicación lineal, en-tonces la matrizAT describe la traspuesta de la aplicaciónlineal.

3.3 Matrices cuadradas y definiciones re-lacionadas

Una matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismonúmero de filas que de columnas. El conjunto de todaslas matrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la mul-tiplicación de matrices, es un anillo que generalmente noes conmutativo.M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es unálgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de lasmatrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativacompleja.La matriz identidad In de orden n es la matriz n por nen la cual todos los elementos de la diagonal principal soniguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0.La matriz identidad se denomina así porque satisface lasecuacionesMIn =M y InN = N para cualquier matrizMm por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:

I3 =

1 0 00 1 00 0 1

.La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo dematrices cuadradas.Los elementos invertibles de este anillo se llamanmatrices invertibles, regulares o no singulares. Unamatriz A n por n es invertible si y sólo si existe una ma-triz B tal que

(left)

En este caso, B es la matriz inversa de A, identificadapor A−1 . El conjunto de todas las matrices invertiblesn por n forma un grupo (concretamente un grupo de Lie)bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.Si λ es un número y v es un vector no nulo tal que Av =λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y queλ es su valor propio asociado. El número λ es un valorpropio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo quesucede si y sólo si pA(λ) = 0, donde pA(x) es el polinomiocaracterístico de A. pA(x) es un polinomio de grado ny por lo tanto, tiene n raíces complejas múltiples raícessi se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matrizcuadrada tiene como mucho n valores propios complejos.El determinante de una matriz cuadrada A es el productode sus n valores propios, pero también puede ser definidapor la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles sonprecisamente las matrices cuyo determinante es distintode cero.El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usadopara calcular el determinante, el rango y la inversa de unamatriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.La traza de una matriz cuadrada es la suma de los ele-mentos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus nvalores propios.Una matriz de Vandermonde es una matriz cuadrada cu-yas filas son las potencias de un número. Su determinantees fácil de calcular.

4 Aplicaciones

4.1 Las matrices en la Computación

Las matrices son utilizadas ampliamente en la compu-tación, por su facilidad y liviandad para manipular infor-mación. En este contexto, son una buena forma para re-presentar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo nu-mérico. En la computación gráfica, las matrices son am-pliamente usadas para lograr animaciones de objetos yformas.

6 9 NOTAS

4.2 Teoría de matrices

La teoría de matrices es un rama de las matemáticasque se centra en el estudio de matrices. Inicialmente unarama secundaria del álgebra lineal, ha venido cubriendotambién los temas relacionados con la teoría de grafos, elálgebra, la combinatoria y la estadística.

4.3 Matrices relacionadas con otros temas

Una matriz puede identificarse a una aplicación linealentre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Asíla teoría de las matrices habitualmente se considera co-mo una rama del álgebra lineal. Las matrices cuadradasdesempeñan un papel particular, porque el conjunto dematrices de orden n (n entero natural no nulo dado) po-see propiedades de « estabilidad » de operaciones.Los conceptos de matriz estocástica y matriz doblemen-te estocástica son herramientas importantes para estudiarlos procesos estocásticos, en probabilidad y en estadística.Las matrices definidas positivas aparecen en la búsquedade máximos y mínimos de funciones a valores reales, y avarias variables.Es también importante disponer de una teoría de matricesa coeficientes en un anillo. En particular, las matrices acoeficientes en el anillo de polinomios se utilizan en teoríade mandos.En matemáticas puras, los anillos de matrices puedenproporcionar un rico campo de contraejemplos para con-jeturas matemáticas.

4.4 Matrices en teoría de grafos

En teoría de los grafos, a todo grafo etiquetado correspon-de la matriz de adyacencia. Una matriz de permutación esuna matriz que representa una permutación; matriz cua-drada cuyos coeficientes son 0 o 1, con un solo 1 en cadalínea y cada columna. Estas matrices se utilizan en com-binatorio.En la teoría de grafos, se llama matriz de un grafo a lamatriz que indica en la línea i y la columna j el númerode aristas que enlazan el vértice i al vértice j. En un grafono orientado, la matriz es simétrica. La suma de los ele-mentos de una columna permite determinar el grado deun vértice. La matrizMn indica en la línea i y la columnaj el número de caminos a n aristas que adjuntan el vérticei al vértice j.

5 Algunos teoremas

• Teorema de Cayley-Hamilton

• Teorema de Gerschgorin

6 Véase también• Descomposición de Schur

• Descomposición en valores singulares

• Descomposición QR

• Determinante (matemática)

• Eliminación de Gauss-Jordan

• Factorización LU

• Forma canónica de Jordan

• Lema de Schur

• Matlab

• Matriz triangular

7 Referencias• Beezer, Rob, Un primer curso en álgebra lineal, li-cencia bajo GFDL. (En inglés)

• Jim Hefferon: Álgebra lineal (Libros de texto enlínea) (En inglés)

8 Enlaces externos• Una breve historia del álgebra lineal y de la teoría dematrices lineal (En inglés)

• Matemáticas/Matrices(En Wikilibros)

• Reducir matrices por Gauss Jordan de manera On-line

9 Notas[1] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre ma-

temáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.

[2] Swaney, Mark. History of Magic Squares.

[3] Shen Kangshen et al. (ed.) (1999). Nine Chapters of theMathematical Art, Companion and Commentary. OxfordUniversity Press. cited byOtto Bretscher (2005). LinearAlgebra with Applications (3rd ed. edición). Prentice-Hall.p. 1.

[4] De Burgos, Juan. «Sistemas de ecuaciones lineales».Álgebra lineal y geometría cartesiana. p. 6. ISBN9788448149000.

7

10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

10.1 Texto• Matriz (matemáticas) Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1ticas)?oldid=85642836 Colaboradores: RomeroSchmidtke, Joseaperez, Sabbut, Moriel, JorgeGG, Pieter, Lourdes Cardenal, Alberto Salguero, Sanbec, DefLog, Zorosandro, Bermie-go, Triku, Tostadora, Tano4595, Camilosw, El Hoy, Gengiskanhg, Jecanre, Cinabrium, Yopohari~eswiki, Santiago Hernández, Chewie,Soulreaper, Airunp, JMPerez, Emijrp, La Maga, Orgullobot~eswiki, RobotQuistnix, Platonides, Veltys, Alhen, Chobot, Caiserbot, Yrbot,Amadís, BOT-Superzerocool, Davidsevilla, Adrruiz, Vitamine, YurikBot, Mortadelo2005, GermanX, Euratom, C-3POrao, Tigerfenix,Eduardo Lima, Eskimbot, CHV, Ummowoa, CaStarCo, Paintman, BOTpolicia, Ricard Delgado Gonzalo, Rdaneel, CEM-bot, Jorgelrm,Retama, Baiji, IvanStepaniuk, Davius, Rastrojo, Antur, Jjafjjaf, FrancoGG, Jatt~eswiki, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Thijs!bot, RobertoFiadone, Yeza, RoyFocker, Inajle, Will vm, Malguzt, Mgallege, Botones, Isha, JAnDbot, Kved, Gaius iulius caesar, TXiKiBoT, Epnob,Astroza, Humberto, Rei-bot, Casary, Pólux, BL, Sebanievas87, Macalla, Jtico, AlnoktaBOT, 2orejas1boca, VolkovBot, Technopat, Queni-nosta, Matdrodes, BlackBeast, AlleborgoBot, 3coma14, Muro Bot, Alexandrosas, Komputisto, Numbo3, BotMultichill, Gerakibot, SieBot,Mushii, Danielba894, PaintBot, Cobalttempest, Bigsus-bot, BOTarate, Manwë, Marcodallacamina, Javierito92, Dnu72, HUB, L&T2, An-tón Francho, DragonBot, Farisori, Veon, Leonpolanco, Juan Mayordomo, Açipni-Lovrij, UA31, AVBOT, Steve.jaramillov, LucienBOT,J.delanoy, Diegusjaimes, MelancholieBot, Julio Isaac Moreno Díaz, Lampsako, Andreasmperu, Luckas-bot, MystBot, Nallimbot, Ptbotgou-rou, Jotterbot, Angelsaracho, Jorge 2701, CayoMarcio, Mcapdevila, SuperBraulio13, Almabot, Kender00, Xqbot, Jkbw, GNM, Umburi,FrescoBot, Ricardogpn, Esceptic0, Igna, Botarel, Jlbezares, Rojasyesid, D'ohBot, Hprmedina, TobeBot, Halfdrag, RedBot, PatruBOT,Sheldonspock, Euclides, Tarawa1943, Eudescontreras, Proferichardperez, EmausBot, AVIADOR, ChessBOT, Africanus, J. A. Gélvez,Rubpe19, Ezequieldiazbarral, Danicm, Jcaraballo, Waka Waka, Mpinomej, Movses-bot, MerlIwBot, Franco68, Nodulation, MetroBot, In-vadibot, Elessar.telkontarg, LlamaAl, Gaard van der Pol, Creosota, Julinspi, MatemáticaAlejandra, QFI.RICRADO, Lautaro 97, Addbot,Balles2601, FedeBosio, DavosMat, JacobRodrigues, MrCharro, Jarould, Lectorina, Carlos Silvero, Johansneider y Anónimos: 336

10.2 Imágenes• Archivo:Matrix_multiplication_diagram.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/Matrix_multiplication_diagram.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: User:Bilou

10.3 Licencia del contenido• Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0