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D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2009 Prohibida su reproducción sin la autorización de los titulares de los derechos.

Módulo 2 Los procesos del pensamiento matemático

Presentación

[Ve a la página del diplomado para ver el interactivo]

Resultados de aprendizaje Al final del módulo, el participante será capaz de:

1. El alumno comprenderá cómo macro-procesos y procesos se entrelazan para dar vida al proceso de matematización.

2. El participante tomará un examen de práctica ENLACE y un examen de práctica PISA, y reflexionará sobre las áreas de oportunidad de aprendizaje de sus alumnos y de él mismo.

3. El participante explicará en sus propias palabras, después de haber leído el material del módulo y el material publicado por PISA, su concepción de los macro-procesos de reproducción, conexión y reflexión.

4. El participante encontrará tres ejemplos de reactivos ENLACE y tres reactivos PISA que ilustren los tres macro-procesos, y explicará por qué los ejemplos seleccionados sirven para tal propósito.


Tema 1. Introducción a los macro-procesos y procesos

Los macro-procesos y procesos que representamos en el esquema conceptual se pueden ver en la siguiente tabla.

Las matemáticas son una ciencia exacta, pero la ciencia de la psicología cognitiva que intenta explicar los procesos matemáticos no lo es.

Por ello no es posible esperar que cada una de las Xij presentadas en la tabla sean elementos independientes y claramente distinguibles unos de los otros.

El pensamiento matemático no ocurre gracias a la aplicación de un proceso para dar lugar a la aparición de otro.

¿Qué podemos esperar de los macro-procesos y procesos?


Sí No • Que ciertos problemas o situaciones

tengan “rasgos dominantes” de uno u otro proceso.

• Que ciertos problemas o situaciones sean fáciles o difíciles no en forma absoluta sino de acuerdo a la red semántica de conocimientos construidos previamente por el alumno.

• Que un buen problema, desde el punto de vista pedagógico, es aquel que puede promover el mayor procesamiento de la información posible.

• Que los procesos operen independientemente el uno del otro.

• Que los procesos se puedan diferenciar claramente el uno del otro.

El punto clave para entender el proceso de matematización en términos de sus procesos componentes es tener siempre en mente que varios procesos pueden ocurrir al mismo tiempo, tal vez uno de ellos dominante, y que el proceso de aprendizaje matemático hace que aquello que en algún momento fue reflexivo sea simplemente reproductivo.

Todo proceso de aprendizaje auténtico en cierta medida abarca las etapas de reproducción, conexión y reflexión.

Expliquemos esto con el Teorema de Pitágoras.


Para uno de nuestros alumnos, aprender el Teorema de Pitágoras adecuadamente implicó:

• Reproducir ideas geométricas, algebraicas y numéricas;

• Conectarlas para establecer una demostración del mismo;

• Y aplicarlas a la resolución de problemas para reflexionar sobre sus significados.

Se dice entonces que el concepto se ha construido gracias a la armoniosa combinación de los tres procesos. Sin embargo cuando todo esto ya se ha dado y se sigue practicando con el concepto se va generando más automaticidad en su uso.

De ahí que cada vez que se necesite el teorema de Pitágoras para entender un concepto o resolver un problema, el alumno recurrirá menos a procesos reflexivos, o conectivos y el dominio de los procesos reproductivos será más evidente.

El conocimiento previo del alumno juega un papel crucial en la descripción de estos procesos. El uso de estos procesos de matematización está en función de lo que el alumno ya sabe.

Lo que es conocimiento reflexivo profundo en algún momento para el estudiante es sólo conocimiento reproductivo para su maestro. Veamos el caso de Carmen y Estela.


Para Carmen, representa un esfuerzo muy grande de conexión y reflexión resolver un problema.

Sin embargo, Estela simplemente reproduce lo que ya sabía.

Veamos en qué consisten los macro-procesos en el siguiente tema.

Tema 2. Los macro-procesos

A pesar de estas ambigüedades siempre presentes para determinar qué procesos están presentes en la ejecución de las competencias matemáticas, y de que en cierta medida todos los procesos ocurren al mismo tiempo, es conveniente explicarlos por separado como si fueran piezas discretas de la competencia matemática.

Es importante recordar que estos procesos no son independientes el uno del otro, sino que uno adquiere preponderancia sobre el otro en ciertos momentos.



a) Macro‐proceso: Reproducción

Veamos qué sucede en la clase del maestro Ricardo. Ricardo les pide a sus alumnos que resuelvan un problema que involucra el desarrollo de un binomio al cuadrado.

Veamos qué proceso llevan a cabo sus alumnos.

Alma, por su parte, recordó la forma

trinomial equivalente a esta expresión:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Brenda recordó el procedimiento para obtenerla:

(a + b)² = (a + b) (a + b) = a² + ab + ab +b² = a² + 2ab + b²


Si alguna de ellas no recordara esto, o no quisiera hacerlo, entonces sabe dónde buscar la información (como en su libro de texto) y reproducir así el conocimiento que le es necesario.

En este macro-proceso:

• Se detecta principalmente la habilidad de repetir lo que ya ha sido aprendido.

• Son procesos cognitivos fundamentalmente memorísticos que permiten recuperar la información en el momento que sea necesario y usarla, en el mejor de los casos, con alta automaticidad.

• El conocimiento matemático está ya incorporado en las redes semánticas del alumno o es de fácil localización y recuperación para su aplicación en un contexto determinado.



Todo desempeño matemático de suficiente complejidad, como queda representada por casi todos los temas del currículo de la escuela secundaria, presenta esta característica reproductiva.

Toda competencia matemática será sostenida por un conocimiento previo que no sólo se comprendió sino que se

automatizó a un nivel de respuesta casi inmediata.

1

Uno de los más grandes problemas en el aprendizaje de las matemáticas es precisamente que el alumno no tiene la capacidad para reproducir el conocimiento matemático que sostiene una habilidad determinada.

¿Tú te enfrentas a esto en el salón de

clases y con los alumnos?

Según las características del aprendizaje significativo, deberá realizar lo siguiente:

¿Qué otros problemas enfrentan los alumnos y maestros? 2

Cuando un alumno está tratando de comprender, por ejemplo, la obtención de la fórmula de segundo grado, no puede

3

Mucho del conocimiento matemático tiene una naturaleza algorítmica. Es decir, se demanda

4

Un alumno puede aprender el teorema de Pitágoras con precisión completa, puede operar con sorprendente facilidad en todas sus


distraer su atención en detalles de multiplicación, exponenciación, sumas o restas o simplificación de radicales.

No es de extrañarse que un alumno que se encuentra con obstáculos para reproducir el conocimiento que sostiene una competencia, no pueda adquirir dicha competencia.

del aprendiz un aprendizaje procedimental que con suficiente práctica llega a ser automático minimizando los procesos de conexión y reflexión.

Esto es también fuente de grandes problemas en el aprendizaje de las matemáticas.

manifestaciones, como exponente, como ecuación, como radical y aun así no tener ni la más mínima idea sobre por qué tal resultado es verdadero, no sabe cómo explicar su demostración, no sabe para qué sirve, no sabe aplicarlo en problemas concretos.

Sin embargo, si le dan un triángulo en el cual dos de sus lados son conocidos y uno desconocido no tendrá problemas en lo absoluto para encontrar este último.

Para el caso del problema # 4, tal conocimiento reproductivo que es automático pero no reflexivo difícilmente podrá utilizarse para la resolución de problemas. Es decir, el alumno sabe el contenido matemático de un problema pero no sabe cómo conectarlo a una situación nueva, ni sabe reflexionar sobre sus resultados.

Un gran porcentaje de respuestas correctas en exámenes estandarizados dependen de los procesos reproductivos y es por esto que se hacen críticas muy fuertes a este tipo de evaluaciones y no sin razón.



Hemos terminado de revisar el macro‐proceso: Reproducción. Vayamos al siguiente que es: Conexión.

b) Macro-proceso: Conexión

¿Qué sucede en este macro-proceso de Conexión?

El alumno tiene que demostrar que es capaz de llamar desde sus almacenes de memoria matemática un conocimiento que le es relevante para la solución de un problema, que si bien presenta similaridades con problemas antes estudiados, esa situación en particular no es familiar.


Relación del proceso de Reproducción y Conexión

El proceso de conexión a veces es obvio, una vez que se ha dado la información al alumno, pero en general será retador para el alumno descubrirlo por sí mismo.

Es importante señalar que el proceso de conexión depende en gran medida del proceso de reproducción como ya habíamos indicado antes.

El proceso de matematización se construye a través de habilidades y conocimiento previos sólidamente conectados con habilidades y conocimientos nuevos.

Si la base del edificio no está construida, será imposible construir la punta.

¿Recuerdas el problema de las manecillas del reloj?

El que vimos en el módulo 1.

No es fácil conectar la situación con un problema matemático y más difícil aun será conectarlo con un problema de velocidad. Pero una vez hecho esto la solución del problema se irá desarrollando con menos dificultades y el solucionador de problemas irá reproduciendo la información matemática que considere relevante.

En general un problema que el alumno resuelva de inmediato, lo más probable es que sea producto de procesos reproductivos más que de procesos conectivos.


Sin embargo, esto no es del todo cierto pues algunas veces las conexiones son instantáneas. Vamos a explicar esto con un Ejemplo, derivado del Problema de Gauss.


Este es un proceso genial de conexión. Sin embargo observa que todos los procesos individuales de recuperación del conocimiento están al alcance de nuestra mano.

Cada paso individual del ejemplo es simple y perfectamente comprensible. No hablamos más que de sumas colocadas en cierta posición, ninguno de los elementos de la argumentación matemática nos es desconocido. Aun más podemos decir que todos los pasos individuales están altamente automatizados y podemos traerlos a la consciencia a voluntad con extraordinaria rapidez, pero la combinación de conocimientos es lo que hace tal proceso genial (más genial es por supuesto en un niño de 10 años).

Si deseas saber más de este hecho consulta: http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

Como ves en el ejemplo, tales manifestaciones de genialidad conectiva no son por supuesto comunes, pero todo problema novedoso le da al alumno la oportunidad de conectar su conocimiento en forma parecida, pero rara vez igual a las situaciones que él ha encontrado en el salón de clases o en sus libros de texto.

Tal proceso no será simple a menos que el alumno haya tenido ya una gran cantidad de experiencia con problemas similares. Si esto último sucede el alumno estará más bien reproduciendo que conectando.



El maestro Ramiro tomó la siguiente información como consejos para aplicar en su salón de clases:

• Reconocer que el alumno típicamente tendrá dificultades con un problema que demande conectar el conocimiento pero, para un alumno bien preparado, serán problemas que se pueden resolver.

• Estos problemas estarán dentro de su zona de desarrollo próximo.

• Por lo que deberá tener disponibles problemas no tan fáciles que le produzcan aburrimiento, no tan difíciles que le produzcan ansiedad.

• Recordar que un alumno que no confronta conflictos cognitivos tratando de conectar ideas generalmente no está aprendiendo.

Nótese también que el éxito en la solución de problemas depende de los procesos reproductivos. Si estos no existen tampoco existirán los procesos conectivos. Pero no porque los procesos reproductivos existen necesariamente han de darse los procesos conectivos. A esto se le llama “condición necesaria pero no suficiente”.


Es necesaria la presencia de los procesos reproductivos pero no son suficientes para la solución de un problema determinado.

Hemos terminado el segundo macro-proceso, vayamos al tercero: Reflexión.

c) Macro-proceso: Reflexión

Los procesos reflexivos dentro de la matematización de un problema nos llevan a capturar los significados más profundos de la situación matemática que se ha vivido.


Vuélvase a notar la estrecha dependencia que todo el proceso tiene con los procesos reproductivos. Sin ellos el alumno difícilmente tendría los elementos para pensar matemáticamente en el problema o para encontrar una solución si ya ha logrado establecer un modelo matemático.

La creatividad para establecer conexiones y la habilidad para reflexionar matemáticamente está intrínsecamente unida a la posesión de “piezas matemáticas” que el alumno puede llamar a voluntad a la mesa de trabajo donde se está resolviendo el problema, como cuando una persona selecciona piezas que ajusten a un rompecabezas.

Sin embargo hay que hacer notar que el proceso de reproducción exitosa no podría ocurrir sin reflexión. Veamos un caso que sucedió en el salón del maestro Ricardo.


La resolución es la siguiente:

Ricardo, les puso este ejercicio en el

pizarrón.

Vamos a hacerte unas preguntas:

¿Por qué el alumno ha de saber justificar el algoritmo de la suma de fracciones cuando lo que necesita es simplemente resolverlo para dar respuesta a un

problema? 1. Para entender los pasos lógicos que llevan de un conocimiento simple a uno complejo. 2. Para evitar simplemente memorizar conocimiento complejo. 3. Para promover los procesos cognitivos de reflexión que necesitarán en otras situaciones.

Es como aprendemos a usar una hoja electrónica como el Excel, no tenemos ni idea de los procesos de cálculo involucrados en la operación del programa pero ciertamente podemos utilizarlo para resolver nuestros problemas.


Podemos hacerlos repetir muchas veces “a cuadrada más b cuadrada es igual a a cuadrada más el doble del producto de a por b más el cuadrado de b”. (a + b)2 = a² + 2ab + b² Podemos hacer que escriban esta igualdad también muchas veces y de tiempo en tiempo monitorear que lo recuerdan adecuadamente. De esta manera finalmente tendremos éxito logrando que los alumnos automáticamente puedan reproducir tal expresión. Con esto se ha logrado un conocimiento reproductivo automático no reflexivo.

¿Te gustaría promover la reflexión?

Ve qué podrías hacer con este mismo ejercicio.

[Ve a la página del diplomado para ver el documento]

Volvemos a la pregunta:

¿Qué hemos ganado con la aplicación de este proceso reflexivo si finalmente lo único que se necesita para resolver el problema es la fórmula?

La respuesta más importante a esta pregunta es que el alumno se acostumbra a un proceso de reflexión matemática.

• No podemos demostrar estrictamente todo el conocimiento que el alumno debe adquirir, según marca el currículo matemático, pero sí podemos tratar de hacer esto

en sus puntos más sobresalientes. Por ejemplo, el alumno debe saber la solución de

una ecuación cuadrática en forma automática, pero también debe estar consciente

de los procesos más elementales como: o Completar el cuadrado y factorización

o Uso de radicales y manejo de una ecuación, que trajo como consecuencia lógica una fórmula que sirve para encontrar las raíces de toda ecuación cuadrática.

• Todo problema, como se explicará después, siempre deja espacio para la reflexión.


• El resolver un problema en un sentido matemático estricto de dar una respuesta correcta es sólo una etapa en el proceso de matematización.

• Todo problema resuelto puede crear nuevos problemas no resueltos a través de un proceso de generalización.

o Por ejemplo, en la ilustración del problema de Gauss, un proceso de reflexión produce una generalización que parece ser totalmente plausible. Un matemático podría demostrar que es en verdad válida para cualquier número natural. Una simple situación de conteo, de sumar un número natural después del otro, nos puede llevar a procesos de reflexión profunda si sabemos aprovechar sus rasgos matemáticos sobresalientes.

Ya vimos los tres macro-procesos y algunos ejemplos para explicarlos.

¿Te quedaron claros?

Te invito a que realices un ejercicio donde compruebes tus aprendizajes acerca de los tres macro-procesos: Reproducción, Conexión y Reflexión.

¿Estás listo?

[Ve a la página del diplomado para ver los documentos]


Tema 3. Procesos

En este tema veremos los siete procesos matemáticos del marco teórico de PISA, y su relación con los macro-procesos.


Proceso: Pensamiento y Razonamiento

Haz clic en cada uno de los procesos para ir a la información.

X11 Aspectos Reproductivos El proceso de pensamiento y razonamiento en su matiz reproductivo implica dos

facetas fundamentales: reconocer la lógica o el procedimiento del pensamiento matemático y recuperarlo en el momento que sea necesario.

Esto resumido en tres preguntas quedaría representado por lo siguiente:

Haz clic en las preguntas.


X12 Aspectos Conectivos El proceso de pensamiento y razonamiento en su matiz conexionista implica mayor

sofisticación cognitiva.

Aquí hay que darse cuenta cómo una situación cualquiera involucra matemáticas y qué tipo de matemáticas tenemos que usar para dar respuesta a nuestro problema.

Como en el ejemplo de los frijolitos en el recipiente cilíndrico.

Ejemplo de los frijolitos

Recuerden el problema de los frijolitos en el recipiente cilíndrico.

• No fue difícil tal vez conectar con la geometría de un cilindro y las famosas fórmulas de perímetro y área de un circulo o volumen del cilindro

• Pero sí fue tal vez un poco más difícil hacerlo al utilizar cada frijolito como unidad de


medida. Esto implicaba por supuesto salirse de los paradigmas de medición donde

nuestra unidad de medida es el milímetro, el centímetro o el metro.

El proceso involucró también utilizar una buena cantidad de procedimientos algorítmicos de solución de ecuaciones y reducción de expresiones algebraicas.

Finalmente la estimación del número de frijoles demandó que el solucionador conectara con los procedimientos aritméticos básicos.

X13 Aspectos Reflexivos Finalmente el proceso de pensamiento y razonamiento en su matiz de reflexión implica

darse cuenta de las posibilidades que el problema ofrece.

Como en el ejemplo de las manecillas del reloj.

Ejemplo de las manecillas del reloj

El problema de las manecillas del reloj demandó ser reflexivo sin tener elementos matemáticos obvios.

• Hay que estar generando los datos de elementos matemáticos no nombrados en el problema pero que están intrínsecamente asociados a él.

• No se habla de velocidad, de ángulos, de distancias pero gracias a los procesos reflexivos sabemos que existen.

• Además una vez resuelto el problema es casi inmediato que surja otra pregunta, después de su primer encuentro ¿cuándo se vuelven a encontrar las manecillas? ¿es

posible encontrar una fórmula general que permita calcular todos los encuentros?

X21 Aspectos Reproductivos ¿Qué es importante de este

proceso para que lo tomes en cuenta en tus clases?

• En el proceso de reflexión los alumnos encuentran elementos de novedad generados por sus propias deliberaciones al vivir los procesos de reproducción y conexión.


• Toma en cuenta que un problema que para un alumno demanda trabajar al nivel de reproducción, puede significar para otro un trabajo a nivel de reflexión.

• Y que el conocimiento previo del alumno impregna todos los modos de procesamiento matemático.

El proceso de argumentación en su matiz reproductivo está muy relacionado con situaciones donde intentamos dar razones o justificar paso a paso por qué ocurren los resultados matemáticos de cierta manera y no de otra.

Veamos cómo justificaría Gustavo este problema.

Gustavo encuentra razones o justificaciones para avalar lo que ha estado observando y

al hacerlo reproduce los argumentos antes aprendidos en clase. Él justifica que tal suma de fracciones es correcta porque el seguimiento de un algoritmo así lo demanda.


X22 Aspectos Conectivos Esto puede ser más complejo, pero sigue siendo un proceso de reproducción

argumentativo pero ahora con tintes conectivos.

Veamos un ejemplo en la demostración de la fórmula para calcular el área de un trapecio.


El que el proceso de solución sea reproductivo o conectivo o reflexivo tiene que ver con el nivel de elaboración y organización del pensamiento por parte del alumno.

Por ejemplo, Álvaro sigue con comprensión la explicación paso a paso de su maestro, entonces el alumno está reflexionando reproductivamente.

O como el caso de Estela que tiene que seguir el proceso sola, entonces está conectando con material relevante que ya conoce pero no sabe cómo combinarlo para llegar a la solución.

Para ella es obvio que el área total


sea igual a la suma de las áreas pero no necesariamente ha de darse cuenta que tal entendimiento axiomático de la realidad es un punto de partida para encontrar el área del trapecio.

De igual manera sabe que la suma de tres segmentos es igual al segmento original

que les dio origen. Pero no necesariamente conectará este conocimiento con la situación matemática que está viviendo, es decir, que b2 = b1 + x + x = b1 + 2x.

Proceso: Comunicación y utilización de operaciones y lenguaje técnico

X31 Aspectos Reproductivos Es difícil pensar que pudiera existir competencia matemática sin la habilidad de

expresar verbalmente o por escrito para uno mismo o para otros las conexiones lógicas de un concepto matemático o los procedimiento involucrados en la solución de problemas.

Las matemáticas son en sí mismas un lenguaje y por ello el alumno debe poseer una narrativa que propiamente le permita transmitir y comprender el conocimiento.


Veamos el caso de dos alumnos, en donde a ambos se les da a resolver la siguiente ecuación:

No sólo es importante comunicar verbalmente el pensamiento matemático sino también hacerlo adecuadamente por escrito, donde cada paso indique la forma de procesamiento sin omitir pasos que son importantes en el discurso escrito de las matemáticas.

El que un alumno diga cotidianamente…

“muevo las “x” a la izquierda y los números a la derecha”

Se tiene un pensamiento puramente procedimental,

… o que diga:

“resto 4x en los dos miembros de la ecuación”, “sumo 24 en los dos miembros de la ecuación.”

Tenemos un acto de habla que recuerda un principio


una regla verbal que permite operar de cierta manera con las ecuaciones.

matemático general de acción como es la propiedad aditiva de la igualdad.

… hace una gran diferencia.

Comunicar el conocimiento matemático reproduciendo los principios detrás de los procedimientos ayuda a la comprensión matemática global.

X33 Aspectos Reflexivos

Finalmente el proceso de comunicación reflexiva tiene como elemento clave la novedad, el psiempre “da para más”, siempre podemos resolver nuevos problemas.

Veamos la explicación con un ejemplo, donde un alumno intenta resolver un problema.

La edad de Juan hace tres años era tres veces la de Antonio. En tres años la edad dserá el doble de la de Antonio. ¿Cuál es la edad de Juan y cual la de Antonio?

Ver problema a continuación



Proceso: Construcción de modelos

X41 Aspectos Reproductivos

Este es uno de los puntos cruciales del proceso de matematización. El mundo cotidiano no está escrito en lenguaje matemático; es necesario descubrirlo re-escribiéndolo en la nueva lengua.

Por ejemplo No es lo mismo preguntarse…

“¿Cuál será la altura de ese edificio?”

Que preguntarse:

“¿Cómo puedo usar triángulos semejantes para medir la altura de ese edificio?”

Podemos encontrar soluciones

simples como:

• Subir al último piso del edificio, atar una cuerda a una piedra y dejar caer la piedra hasta la base del edificio para luego medir la longitud de la cuerda.

Sin embargo esta segunda pregunta puede llevar a crear un modelo matemático como:


Nuestro modelo matemático sería entonces:

Ve cómo se construye el modelo matemático


X42 Aspectos Conectivos La construcción de modelos matemáticos adquiere características conectivas cuando

tal modelo no es un “copiado-pegado” de un libro de texto sino que adquiere características únicas al solucionador del problema.

Repasemos el problema de las manecillas del reloj para explicar este aspecto conectivo en la construcción de modelos.

Ve la explicación aquí


X43 Aspectos Reflexivos


Vuelve a la tercera forma de solución del problema de las manecillas del reloj.


[Ve a la página del diplomado para ver la información]

• Haciendo a un lado casi por completo criterios algebraicos y geométricos;

• sólo considerando el número de grados recorridos por minuto tanto en el minutero como en el horario;

• considerando la diferencia entre ellos;

• y finalmente considerando que se alcanzan las manecillas cuando la distancia entre ellas es de 360 grados;

… llegamos también a la solución.

Dado que el problema se presentó originalmente como algebraico, entonces la solución aritmética tomó tintes reflexivos.

Si se hubiera presentado primero la solución aritmética, la solución algebraica hubiera tenido una naturaleza reflexiva.

Los modelos matemáticos no son reproductivos, conectivos o reflexivos en forma absoluta, todo depende del contexto en el cual se desarrollen.

Proceso: Planteamiento y solución de problemas

X51 Aspectos Reproductivos Nuestro aprendizaje de las matemáticas generalmente inicia no por descubrimiento

sino por reproducción de conceptos, técnicas algorítmicas, terminología y resolución de problemas típicos.

Los libros de texto y todos los maestros de matemáticas promueven una gran cantidad de trabajo en esta dirección.

¿Qué podemos recomendarte a ti y al maestro Ramiro para que fomenten en su salón de clases?


Los alumnos deben:

• Conocer los bloques elementales del quehacer matemático;

• Esto hará que después ellos solos (en el mejor de los casos)

puedan resolver problemas;

• Y así confrontar situaciones matemáticas no tratadas

directamente en el libro de

texto.

Veamos la analogía de cuando aprendemos una lengua. Haz clic aquí.

Todos los problemas cuya solución depende de una de sustitución directa de fórmulas tienen una característica reproductiva.

Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado:

Aprendimos que la probabilidad de un suceso es la fracción que resulta del número de veces en las que se puede observar el suceso…

Esto dividido por el número total de sucesos posibles…

Y luego calcular la probabilidad de obtener el número 3 en el lanzamiento de un dado.

El alumno inclusive pudiera plantear el problema que intente calcular la probabilidad de obtener un número primo en el lanzamiento de un dado.

A pesar de que tal planteamiento muestra ya un poco más de creatividad por parte del alumno, la solución del problema sigue siendo consecuencia casi inmediata de una definición y por ello el alumno está planeando y resolviendo problemas a un nivel fundamentalmente reproductivo.


X52 Aspectos Conectivos Ramiro les preguntó a sus alumnos lo

siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de que pueda obtener un rey de una baraja?

Una de las alumnas, con su conocimiento básico de probabilidad y de la estructura de una baraja, contestó lo siguiente:

Teniendo 52 barajas, cuatro reyes, la probabilidad será 4/52.

Ahora, le hace otra pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de obtener una baraja de corazones rojos?

Ella sabe que hay 13 barajas, desde el as hasta el rey. Con esta característica, la probabilidad será de 13/52.

Todo esto ha tenido un carácter reproductivo o sea una aplicación directa de una definición básica de probabilidad.

Ahora le pregunta:

¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta que sea rey o que sea simplemente

La alumna no hizo las conexiones correctas, por lo que desarrolló un razonamiento incorrecto más o menos de la siguiente manera:


corazones rojos? Ver más grande

Tal razonamiento es incorrecto porque la aplicación directa de la fórmula está ignorando un hecho fundamental: hay una carta dentro de la baraja que es al mismo tiempo rey y corazón rojo.

Esto es el número de veces en los cuales puede suceder el evento rey o corazón rojo es 4+13-1. Por ello:

No hay duda de que el alumno sabe que existe un rey de corazones rojos pero típicamente el alumno no conectará tal conocimiento adecuadamente dentro de la solución del problema.

El planteamiento y solución del problema demanda obviamente mucho más que una situación puramente reproductiva.

X53 Aspectos Reflexivos Estos resultados más o menos pueden comprenderse, sin embargo un alumno

reflexivo intentará precisar los componentes de este problema hasta un punto en el cual todos sus detalles sean obvios.

¿Cómo precisar todos los razonamientos puestos en este problema? Una manera sería encontrando una forma de representación que deje en claro toda la trama conceptual del problema creando lo que pudiera llamarse un espacio de conteo.

Ve la siguiente tabla.


En el planteamiento y resolución del problema en una etapa reflexiva entonces hemos creado nuevas formas de representación del problema para que éste elimine sus puntos difíciles y nuestra comprensión sea total.

Proceso: Representación

X61 Aspectos Reproductivos El concepto de “representación” es uno de los más importantes en matemáticas.

Los conceptos matemáticos se representan con nombres a través de:

• Terminología • Fórmulas a través de agrupaciones de variables


• Gráficas • Tablas

Los libros de texto y nuestros maestros, como ya hemos mencionado varias veces, nos dan el material para ser reproducido después cuando supuestamente lo necesitemos para resolver un problema.

De esta manera podemos aprender una ecuación cúbica en varias representaciones:


Con esto el alumno sabe que una función cúbica tiene diferentes formas de representación y cuando use cualquiera de estos tipos de representación estará usando un conocimiento reproductivo.

X62 Aspectos Conectivos Para ilustrar lo que es una representación conectiva supongamos que al alumno se le

pide ahora que resuelva un problema como el siguiente:

Se tiene una lámina rectangular de 9 metros de largo por 5 de ancho y se desea construir con ella un recipiente para almacenar agua para que pueda beber el ganado.

¿Cómo debe cortarse la lámina para que pueda construirse un recipiente que contenga el mayor volumen?

Veamos la resolución del problema. [Ve a la página del diplomado para ver el interactivo]


Nota: Obsérvese que la resolución de este problema demandó reproducir el conocimiento anterior sobre formas de representación, pero el punto clave para encontrar la respuesta fue conectar la nueva función cúbica que surgió como modelo matemático del problema en forma creativa con las características especiales del problema.

X63 Aspectos Reflexivos Nos queda entonces explicar las características que pudiera tener la representación

reflexiva.

Uno de los puntos cruciales del problema es la comprensión de la dinámica de cambio de la forma del recipiente según el tamaño de la “pestaña” que se corte de la lámina.

Una representación adecuada del problema nos puede llevar a reflexionar adecuadamente sobre el mismo y así entenderlo en forma más precisa.

Veamos tres preguntas clave.


Una representación gráfica del problema puramente cualitativa permite entonces al solucionador de problemas comprender la dinámica geométrica de la situación y con ello


puede darse cuenta cualitativamente de que tiene que existir un volumen máximo situado entre dos posibles situaciones extremas de una caja muy extendida, de gran área pero casi sin altura y otra caja de gran altura pero casi sin base.

Este es entonces una representación reflexiva del problema.

Nótese de nueva cuenta que esto es trabajo del solucionador del problema, ni los libros ni el problema mismo pide que se haga este tipo de procesamiento cognitivo.

El alumno decide hacerlo y con ello deja atrás las representaciones reproductivas.

¿Qué puedes hacer en tu salón de clases?

Usa simplemente estas últimas para lograr algo representaciones reflexivas que aumenten la comprensión del problema.

Proceso: Uso de herramientas de apoyo

X71 Aspectos Reproductivos ¿Qué harías si tuvieras que trabajar con las

matemáticas sin utilizar herramientas de apoyo?

• ¿Cómo crearías una buena gráfica sin papel milimétrico?

• Cómo crearías una adecuada demostración geométrica sin compás y


sin regla?

• ¿Cómo hacer matemáticas sin lápiz ni papel?

La tecnología electrónica y de cualquier otra índole ha sido siempre un elemento crucial del aprendizaje de las matemáticas.

Tecnologías modernas nos han liberado de la tiranía del cálculo aritmético, del tedio

de la construcción gráfica de funciones, del pesado trabajo de manipulación y organización de grandes cantidades de información numérica.

Dentro del gran número de opiniones diversas sobre lo que debería ser el uso apropiado de la tecnología en el aprendizaje de las matemáticas, hay un acuerdo absoluto acerca del mismo: las matemáticas no se pueden aprender adecuadamente sin mediadores del conocimiento.

Las herramientas de apoyo tienen una naturaleza reproductiva cuando ellas se aplican exactamente en la situación que fueron aprendidas.

Si por ejemplo, Gustavo ha

aprendido a hacer cálculos aritméticos complejos a la perfección en su calculadora para dar respuestas a ejercicios de diferente complejidad propuestos en su libro de texto, entonces es capaz de reproducir lo que otros le han enseñado y esto por supuesto es un logro en sí mismo, pero es un logro incompleto.

Se puede reproducir el uso dentro de un dominio de conocimiento muy cercano al contexto en que tal conocimiento fue adquirido.


X72 Aspectos Conectivos Alma quiere saber si la

simplificación algebraica de la siguiente ecuación es válida.

Ella realiza varias pruebas numéricas con esta expresión rápidamente en su calculadora y comprueba que tales deliberaciones son erróneas.

De esta simple manera podría automonitorear su uso del material algebraico y darse cuenta de lo equivocada que estaba su suposición original.

Este simple ejemplo es una manera de mostrar que la tecnología puede utilizarse en un sentido conectivo. Es decir, una habilidad ganada en cierto contexto nos permite aplicarla en un contexto completamente diferente en el que fue aprendida.

X73 Aspectos Reflexivos Desde un punto de vista reflexivo la tecnología es una poderosa herramienta para

pensar sobre situaciones matemáticas y descubrir cosas a través de la experimentación y la observación.

Esta alumna puede estar un poco confundida acerca lo que significa el que una ecuación de segundo grado tenga raíces imaginarias.

Puede decidir hacer una colección de 10 de estas ecuaciones y graficarlas toda ellas en una calculadora gráfica.

Con este simple ejercicio de uso de la tecnología, ella observará de inmediato algo muy obvio que una gran cantidad de alumnos ignoran.

El hecho de que una ecuación de segundo grado tenga como solución raíces imaginarias es debido a que la gráfica de tal ecuación nunca corta o toca el


eje horizontal de un sistema cartesiano.

La tecnología en un sentido reflexivo nos da entonces la capacidad de explorar situaciones que son consecuencia de operaciones ya aprendidas y así descubrir sus implicaciones y encontrar evidencias para explicar sus resultados.

Con esto hemos terminado el módulo.

Conclusión

En este módulo hemos reflexionado sobre los procesos mentales que nos llevan a encontrar soluciones de problemas, a entender conceptos matemáticos, a comunicar efectivamente nuestros pensamientos etc., y hemos vislumbrado cómo estos procesos mentales ayudan a un aprendizaje significativo de las matemáticas.

Si un aprendizaje matemático llega a ser puramente repetitivo entonces podemos asumir que el proceso de aprender significativamente de una manera u otra se ha detenido. Cuando empezamos a encontrar conexiones con otras ideas o cuando reflexionamos y entendemos una situación problemática entonces el conocimiento adquiere vida y significado.

A lo largo de toda esta descripción hicimos énfasis en que las matemáticas son una ciencia exacta, pero la ciencia de la psicología cognitiva que intenta explicar los procesos matemáticos no lo es. Por ello no es posible esperar que cada uno de los procesos sean actividades mentales perfectamente separables y distinguibles de los otros procesos. Al analizar los procesos mentales nos encontramos frecuentemente en áreas grises donde no sabemos con certeza dónde empieza uno y dónde termina el otro.

Los procesos y subprocesos mostrados no pueden tampoco establecerse en orden jerárquico en el cual unos son más difíciles que otros. El pensamiento matemático no ocurre gracias a la aplicación de un proceso para dar lugar a la aparición de otro. Tampoco se puede pensar que un proceso se manifiesta como capacidad de bajo nivel o de alto nivel de desarrollo matemático.

Indicamos que la dificultad de un problema o el nivel de procesamiento es contextual y todo depende del conocimiento previo construido por el aprendiz y cómo lo usa para confrontar una tarea matemática, así lo que para algunos usuarios de las matemáticas representa un proceso reproductivo simple, para otros puede representar un procesamiento reflexivo de alto nivel.

No debemos esperar, entonces, que un proceso o macro-proceso opere independientemente del otro, que un problema sea difícil o fácil en forma absoluta, pues eso dependerá de cuánto ya sabe el aprendiz.


Hay que tener presente, finalmente, que un buen problema es aquel que hace trabajar muchos procesos mentales pues al hacerlo eleva la competencia matemática en todos sus aspectos relevantes.

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