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Universidad Técnica de LojaEscuela de Ingeniería QuímicaMecánica de FluidosMarzo 2008 – Agosto 2008

MECÁNICA DE FLUIDOS

Tema 0. Análisis Vectorial

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1. Álgebra vectorial

Suma de vectores:

-B

B

Regla del paralelogramo

C = A + BD= A - B

Regla cabeza cola

C = A + B-B

D= A - B

A = aA A

AAAa =

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Multiplicación de un escalar por un vector:

k A = aA (kA)

aA

A

aA

El producto de un escalar positivo por un vector, multiplica k veces el módulo de A, sin modificar su dirección.

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Producto punto o escalar:

A·B = AB cos θAB

Algunas propiedades:

A·B = B·AA·A = A2 o A = (A·A)1/2

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Producto cruz o vectorial:

A x B = an AB sen θAB

A x B = - B x A

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Producto escalar triple:

A·(BxC) = (A·an) BC sen α

A·(BxC) = C·(AxB) = B·(CxA)

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2. Sistemas de coordenadas ortogonales

Coordenadas cartesianas:

x y

z

z = zo

y = yox = xo

P(xo,yo,zo)

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dx dy

dz

rr + dr

az

ax ay

x y

z

zyx aaar zyx ++=

zyx aaar dz dy dxd ++=

dzy d dxdv =

zzyyxx BABABA ++=A·B

zyx

zyx

BBBAAA

zyx aaaBA =×

zyx aaaA zyx AAA ++=

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

===

0

1

xzy zyx

zzyyxx

·aa·aa·aa

·aa·aa·aa

⎪⎩

⎪⎨⎧

=×=×=×

=×=×=×

xzyyxzzy , , aaaaaaaaa

0aaaaaa

x

zzyyxx

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Coordenadas cilíndricas:

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zr zr aar +=

zrθ aaar dz dr rdd ++θ=

drdzrddv θ=

zaaaA zrr AAA ++= θθ

zzrr BABABA ++= θθA·B

zr

zr

r

BBBAAA

θ

θ

θ

=×zaaa

BA

⎩⎨⎧

======

θθ

θθ

01

zrr

rr

z

zz

·aa·aa·aa·aa·aa·aa

⎩⎨⎧

=×=×=×=×=×=×

θθθ

θθ

rzrzzr

zrr

, , aaaaaaaaa0aaaaaa z

11

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

φ+φ−=

φ+φ=

φ

zz

yx

yxr

aa

aaa

aaa

cossen

sencos

φ

φaφ

r

za

ra

z

φ

y

φcosya

x

φ− senxa

φsenya

φcosxa

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

φ+φ=

φ−φ=

φ

φ

zz aa

aaaaaa

cossen sencos

ry

rx

r

r

aa

aa

−=φ∂

∂

=φ∂

∂

φ

φ

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Coordenadas esféricas:

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RRar =

φφθ+θ+= aaaR θ d Rsen Rd dRd R

dRddsenRdv 2 φθθ=

zzRR BABABA ++= θθA·B

ϕθ

ϕθ

ϕθ

=×BBBAAA

R

R

R aaaBA

φφθθ ++= aaaA AAA RR

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

===

ϕθϕθ

ϕϕθθ

01

RR

RR

·aa·aa·aa·aa·aa·aa

⎪⎩

⎪⎨⎧

=×=×=×

=×=×=×

ϕθθϕϕθ

ϕϕθθ

RRR

RR

, , aaaaaaaaa0aaaaaa

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φθsencosya

φθcossenxa

xϕ φθcoscosxa

φaθcosza

φcosya

θφθsensenya

θ− senxa

Ra

θaθ− senza

y

z

⎪⎩

⎪⎨

⎧

φ+−=

θ−φθ+φθ−=

θ+φθ+φθ=

φ

θ

cosθsin

sensencoscoscos

cos sensencossen R

yx

zyx

zyx

aaa

aaaa

aaaa

⎪⎩

⎪⎨

⎧

φ+−=

θ−φθ+φθ=

θ+φθ+φθ=

φ

θ

cosθsin

sensencoscoscos

cos sensencossen R

yx

zyx

zyx

aaa

aaaa

aaaa

0

R

=θ∂

∂

−=θ∂

∂

=θ∂

∂

φ

θ

a

aa

aa

θR

θR

R

aaa

aa

aa

θ−θ−=θ∂

∂

θ=θ∂

∂

θ=φ∂

∂

φ

φθ

φ

cossen

cos

sen

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3. Cálculo vectorial

Diferenciación e integración de vectores:

Sea A(t) = Ax(t) ax + Ay(t) ay + Az(t) az

zyx

x

aaa

aaa

AAA

dtdA

dtdA

dt

dA

t)t(A)tt(A

limt

)t(A)tt(Alim

t)t(A)tt(A

lim

t)t()tt(lim

dt)t(d

zyx

zzz

0tyyy

0t

xx

0t

0t

++=

∆−∆+

+∆

−∆++

∆−∆+

=

∆−∆+

=

→∆→∆→∆

→∆

∫∫∫∫ ++= dt)t(Adt)t(Adt)t(Adt)t( zyx zyx aaaΑ

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Integral de línea:

∫∑ =θ∆=

∞→C

N

1iiiN

d·cosrAlim rA

AAi

A

x y

zri-1

ri-1 + ∆ri

θ

C

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Integral de superficie:

∫∫∑ =∆→∆

sii0s

dsslimi

A·n·nA ii

ds

n

A

S

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Divergencia:

∫∫υ∆=∇=

→υ∆S

0dS1lim div A·n·AA

zA

yA

xA zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇·A Coordenadas cartesianas

( )z

AAr1rA

rr1 z

r ∂∂

+φ∂

∂+

∂∂

=∇ φ·A Coordenadas cilíndricas

( ) ( )φ∂

∂

θ+θ

θ∂∂

θ+

∂∂

=∇ φθ

ARsen

1senARsen

1ARRR

1R

22·A Coordenadas

esféricas

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Teorema de la divergencia de Gauss

∫∫∫∫∫ =∇SV

dSdV A·n·A

ds

n

dV

A

S

20

21

∫∆=×∇=

→∆C

0sd

s1limot r rA·nAARotacional:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∆=×∇=×∇ ∫→∆

uu Cu

0su ds1lim · rA·AaA u

Coordenadas cartesianas: Coordenadas esféricas:

zyx AAAzyx ∂∂

∂∂

∂∂

=×∇

zyx aaa

A

φθ

φθ

θφ∂∂

θ∂∂

∂∂

θ

θ=×∇

ARsenRAAR

RsenR

senR1

R

R

2

aaa

A

Coordenadas cilíndricas

zr

r

ArAAzr

r

r1

φ

φ

∂∂

φ∂∂

∂∂

=×∇

zaaa

A

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Teorema de Stokes

( ) ∫∫∫ =×∇CS

ddS rA·nA ·

dr

ndS

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Dos identidades nulas:

( ) 0A · =×∇∇

( ) 0 =∇×∇ V

0F · =∇

Clasificación de campos. Un campo vectorial F es:

Solenoidal si:

Irrotacional (conservativo) si: 0F =×∇