Conservación de la masa

Cinemática del flujo de fluidos

Descripciones lagrangianas y eulerianas

Líneas y trayectorias de corriente

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∇+∂∂

≡ · vtDt

D

( )

zv

yv

xv

t

zyx · vvv

tDtD

zyx

zyx

∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

=

ρ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+++∂ρ∂

=ρ

zyxzyx iiiiii

En coordenadas cartesianas:

La derivada material

En coordenadas cilíndricas:

( )

zv

rv

rv

t

zr1

r · vvv

tDtD

zr

rzrr

∂ρ∂

+θ∂ρ∂

+∂ρ∂

+∂ρ∂

=

ρ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+θ∂∂

+∂∂

+++∂ρ∂

=ρ

θ

θθθ zz iiiiii

dS

dS

Volúmenes y superficies de control

∫∫=

≡

S

dSQ

dS dQ

V·n

V·n

∫∫ρ=

ρ≡

S

dSm

dS md

V·n

V·n

&

&

El volumen de fluido que atraviesa hacia fuera por un elemento dS de unasuperficie de control durante el intervalo de tiempo dt es v·n dt dS, donden es la normal unitaria a la superficie S que apunta hacia fuera del volumende control.

Conservación de la masa

Forma integral de la conservación de la masa

0dSdVdtd

SV

=ρ+ρ ∫∫∫∫∫ v·n

Otras formas de expresar la conservación de la masa:

salentV

mmdVdtd

&& −=ρ∫∫∫

{ } { } { } { }[ ]∫∫∫∫∫∫∫ −=ρ−ρf

i

t

tsalent

Vi

Vf dttmtmdVtdVt &&

Forma diferencial de la conservación de la masa

( ) 0·t

=ρ∇+∂ρ∂ v

En coordenadas cartesianas:

( ) ( ) ( ) 0vz

vy

vxt zyx =ρ

∂∂

+ρ∂∂

+ρ∂∂

+∂ρ∂

En coordenadas cilíndricas:

( ) ( ) ( ) 0vz

vr1vr

rr1

t zr =ρ∂∂

+ρθ∂∂

+ρ∂∂

+∂ρ∂

θ

Flujo incompresible

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂+

∂∂

ρ<<ρ

zv

yv

xv

DtD zyx

ible)(incompres 0DtD

ible)(incompres 0

=ρ

=∇·V

Conservación de las especies químicas

0dSdVdtd

Si

Vi =ρ+ρ ∫∫∫∫∫ v·n Sin reacciones químicas y en

ausencia de procesos difusivos

∫∫ρ=S

ii dSm v·n&

( ) ( )salientiV

i mmdVdtd

&& −=ρ∫∫∫

( ) 0·t i

i =ρ∇+∂ρ∂

v

Reacciones químicas

( )quím

ii

i

t·

t⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ρ∂

=ρ∇+∂ρ∂ v

∫∫∫∫∫∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂ρ∂

=ρ+ρV quím

i

Si

Vi dV

tdSdV

dtd v·n

i química especie la deón desaparici de velocidadri ≡