ÍNDICE.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS. PAGINAS

1.1. NOTACIÓN INDICIAL.

1.2. OPERACIONES DE TENSORES.

1.3. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE VALORES Y

VECTORES PROPIOS.

1.4. GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL.

1.5. TEOREMAS DE GREEN Y STOKES.

BIBLIOGRAFÍA.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 1

1.1. Notación indicial.

El convenio de sumación de Einstein, notación de Einstein o notación indicial a la convención utilizada para abreviar la escritura de sumatorios, en el

que se suprime el símbolo de sumatorio (representado con la letra

griega sigma - Σ). El convenio fue introducido por Albert Einstein en 1916. Se

aplica en matemáticas en especial a los cálculos realizados en álgebra

lineal destinados a la física. El convenio se aplica sólo a sumatorias sobre

índices repetidos. El convenio se usa especialmente con tensores donde es

muy frecuente la operación de suma sobre índices repetidos y sería muy

fatigoso escribir explícitamente los signos de sumatorios.

Definición. Dada una expresión lineal en   en la que se escriben todos sus

términos de forma explícita:

u=u1x1+u2x2+…+un xn

Esta puede expresarse convencionalmente como el sumatorio:

u=∑i=1

n

ui x i

La notación de Einstein obtiene una expresión aún más condensada

eliminando el signo de sumatorio y entendiendo que en la expresión resultante

un índice indica suma sobre todos los posibles valores del mismo.

u=ui x i

Índice. Un índice utilizado en la notación de Einstein puede aparecer en forma

de producto hasta dos veces en mismo término de una expresión, por lo que

las siguientes expresiones son válidas:

k i x i

V i=u ij x j C ijk ei e j ek

Y las siguientes expresiones no se encuentran definidas o son inválidas:

x i y i z i

amxmj ymk

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 2

En cálculo de tensores es también común utilizar una de las ocurrencias como

un subíndice y la otra como un superíndice. Por ejemplo, en la siguiente

expresión en .

aμbμ=a0b0+a1b1+a2b2+a

3b3

Un índice que se repite dos veces en el mismo término de una ecuación se

conoce como índice mudo, por ejemplo:

A=A i ei

Un índice que se repite en cada uno de los términos de una expresión a

excepción de los términos constantes se conoce como índice libre:

Sr=ar x i+br x j+cr−1

Los índices libres no se expanden en forma de sumatorio, sino que representan

un sistema de ecuaciones independientes.

Representación vectorial.Se emplea el convenio de Einstein en Álgebra

lineal para distinguir fácilmente entre vectores columna y vectores fila. Se

puede, por ejemplo, poner índices sobre-escritos para representar elementos

en una columna e índices subscritos para representar elementos en una fila.

Siguiendo esta convención, entonces:

u=ui=[u1 , u2…un ] Para i=1,2,3 ,…,n

Representa 1 xn vector fila y representanx 1 vector columna.

V=v j=[u1

u2

un] Para j=1,2,3 ,…,n

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 3

En matemática y en física teórica y en particular en la relatividad general, los

vectores fila representan vectores contravariantes mientras que los vectores

columna representan vectores covariantes.

1.2. Operaciones de Tensores.

Producto tensorial y producto exterior.Dados dos tensores se puede definir

entre ellos el llamado producto tensorial cuyo resultado es un tensor de tipo

más complejo cuyas componentes pueden obtenerse a partir de los tensores

originales.

El producto de dos tensores es un tensor cuyo rango es la suma de los rangos

dados por los dos tensores. Este producto implica la multiplicación ordinaria de

los componentes de un tensor y es llamado producto exterior.

Por ejemplo:

Aijk Bm

l =Cℑjkl

Subir y bajar índices.En una variedad riemanniana existe la posibilidad de

definir una operación sobre tensores, que en general no puede realizarse en

una variedad cualquiera. Esa operación permite substituir en los cálculos un

tensor de tipo   por otro de tipo   con tal que . Esta

operación se denomina usualmente ley de subir o bajar índices.

Esa operación se basa en la existencia de un isomorfismos entre espacios

de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad

riemanniana o pseudoriemanniana  . Por tanto para emplear, la subida

y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico  (y su inverso ,

llamado co-tensor métrico).

Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la

relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representada por

tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el

significado físico, según las necesidades del problema planteado.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 4

Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango,

puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables

gracias a la operación de "subir y bajar índices":

Contracción.La contracción de tensores es una operación que reduce el orden

total de un tensor. Esta operación reduce un tensor tipo (n ,m ) a otro tipo

(n−1 ,m−1 ). En términos de componentes, esta operación se logra sumando el

índice de un tensor contravariante y un covariante. Por ejemplo, un tensor

(1,1)   puede ser contraído a un escalar a través de ; donde el convenio de

sumación de Einstein es empleado. Cuando el tensor (1,1) se lo interpreta

como un mapeo lineal, esta operación es conocida como la traza.

La contracción se utiliza usualmente con el producto tensorial para contraer el

índice de cada tensor. La contracción puede también entenderse en términos

de la definición de un tensor como un elemento de un producto tensorial de

copias del espacio   con el espacio  , descomponiendo primero el tensor en

una combinación lineal de tensores más simples, y posteriormente aplicando

un factor de   a un factor de  . Por ejemplo:

Puede ser escrito como la combinación lineal de

La contracción de   en el primero y último espacio es entonces el vector:

Producto interno. El producto interno de dos tensores se produce al

contraer el producto exterior de los tensores. Por ejemplo, dados dos

tensores   y   su producto externo es Igualando índices,

, se obtiene el producto interno:  .

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 5

1.3. Métodos para el cálculo de valores y vectores propios.

En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador

lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan

lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este

escalar λrecibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A

menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores

propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es

el conjunto de vectores propios con un valor propio común.

Las transformaciones lineales del espacio —como la rotación, la reflexión, el

ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista

podrían incluirse otras transformaciones— pueden interpretarse mediante el

efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como

flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección

y sentido determinados.

Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o

no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por

un escalar, y por tanto no varían su dirección.

El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido

multiplicado.

Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios

del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.

La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del

espacio propio asociado.

El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el

conjunto de todos sus valores propios.

Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector

situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor

propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los

vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión,

su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de

esta rotación) que es un número real.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 6

Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente

manera: Si A: V → V es un operador lineal en un cierto espacio

vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar tales que

Av=c v

Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio

asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor

propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un

vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el

valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, el espacio propio para el valor propio c. Observe además que un  un espacio propio Z es

un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el

vector Aw también pertenece a Z. espacio propio Z es un subespacio invariante de A, es decir dado w un vector en Z, el vector Aw también

pertenece a Z.

Casos de interes espcial. Intuitivamente, para las transformaciones lineales del

espacio de dos dimensiones , los vectores propios son:

Rotación: ningún vector propio de valores reales (existen en cambio

pares valor propio, vector propio complejos).

Reflexión: los vectores propios son perpendiculares y paralelos al eje de

simetría, los valores propios son -1 y 1, respectivamente.

Escalado uniforme: todos los vectores son vectores propios, y el valor

propio es el factor de escala.

Proyección sobre una recta: los vectores propios con el valor propio 1

son paralelos a la línea, vectores propios con el valor propio 0 son

paralelos a la dirección de la proyección.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 7

Cálculo de valores propios y vectores propios de matrices.Si se quiere

calcular los valores propios de una matriz dada y ésta es pequeña, se puede

calcular simbólicamente usando el polinomio característico. Sin embargo, a

menudo resulta imposible para matrices extensas, caso en el que se debe usar

un método numérico.

Cálculo simbólico.Una herramienta importante para encontrar valores propios de

matrices cuadradas es el polinomio característico: decir que λ es un valor propio

de A es equivalente a decir que el sistema de ecuaciones lineales A v = λ v --

> A v - λ v = 0 (Factorizando por v queda) (A - λI) v = 0 (donde I es la matriz identidad)

tiene una solución no nula v (un vector propio), y de esta forma es equivalente

al determinante:

det (A−λI )=0

La función p(λ) = det (A−λI )es un polinomio de λ pues los determinantes se

definen como sumas de productos. Éste es el polinomio característico de A:

los valores propios de una matriz son los ceros de su polinomio característico.

Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse resolviendo la

ecuación:

Si A es una matriz n×n, entonces   tiene grado n y A tiene como máximo n 

valores propios.

El teorema fundamental del álgebra dice que esta ecuación tiene

exactamente n raíces (ceros), teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los

polinomios reales de grado impar tienen un número real como raíz, así que

para n impar toda matriz real tiene al menos valor propio real. En el caso de las

matrices reales, para n par e impar, los valores propios no reales son pares

conjugados.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 8

Encontrando vectores propios. Una vez que se conocen los valores propios λ,

los vectores propios se pueden hallar resolviendo el sistema de ecuaciones

homogéneo:

Una forma más sencilla de obtener vectores propios sin resolver un sistema de

ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece

que cada matriz cuadrada satisface su propio polinomio característico. Así,

si   son los valores propios de A se cumple que

por lo que los vectores columna de   son vectores

propios de  .

Ejemplo de matriz sin valores propios reales. Un ejemplo de matriz sin valores

propios reales es la rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj:

Cuyo polinomio característico es   y sus valores propios son el par de

conjugados complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son reales.

Ejemplo

Considérese la matriz

que representa un operador lineal R³ → R³. Si se desea computar todos los

valores propios de A, se podría empezar determinando el polinomio

característico:

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 9

y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores propios de A son 2, 1

y -1. El teorema de Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada

satisface su propio polinomio característico. Es decir:

Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede comprobar que

De donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.

Cálculo numérico. En la práctica, los valores propios de las matrices extensas no

se calculan usando el polinomio característico. Calcular el polinomio resulta muy

costoso, y extraer las raíces exactas de un polinomio de grado alto puede ser difícil de

calcular y expresar: el teorema de Abel-Ruffini implica que las raíces de los polinomios

de grado alto (5 o superior) no pueden expresarse usándose simplemente raíces

enésimas. Existen algoritmos eficientes para aproximar raíces de polinomios, pero

pequeños errores en la estimación de los valores propios pueden dar lugar a errores

grandes en los vectores propios. En consecuencia, los algoritmos generales para

encontrar vectores propios y valores propios son iterativos. La manera más fácil es el

método de las potencias: se escoge un vector aleatorio   y se calcula una secuencia

de vectores unitarios:

,  ,  , ...

Esta sucesión casi siempre convergerá a un vector propio correspondiente al

mayor valor propio. Este algoritmo es sencillo, pero no demasiado útil

aisladamente. Sin embargo, hay métodos más populares, como

la descomposición QR, que se basan en él.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 10

1.4. Gradiente, divergencia y rotacional.

Gradiente.En cálculo vectorial, el gradiente   de un campo escalar   es

un campo vectorial. El vector gradiente de   evaluado en un punto genérico   

del dominio de ,  ( ), indica la dirección en la cual el campo   varía más

rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de   en la dirección

de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador

diferencial nabla   seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente

con la divergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar

entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante

, o usando la notación . La generalización del concepto de

gradiente a campos   vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.

Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una

presión P (campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un

punto genérico del espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará

más rápidamente. Otro ejemplo es el de considerar el mapa de líneas de nivel

de una montaña como campo escalar que asigna a cada pareja de

coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2 variables).

En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de

máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será

perpendicular a las líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El

gradiente se define como el campo vectorial cuyas funciones coordenadas son

las derivadas parciales del campo escalar, esto es:

Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las

derivadas direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional

según un vector:

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 11

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que,

multiplicado por el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:

Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El

gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

Interpretación del gradiente. De forma geométrica el gradiente es un vector que

se encuentra normal (perpendicular) a la curva de nivel en el punto que se está

estudiando, llámese (x , y ) ,(x , y , z), (tiempo, temperatura), etcétera. Algunos

ejemplos son:

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un

campo escalar, de tal manera que en cualquier punto ∅ (x , y , z), la

temperatura es ∅ (x , y , z). Asumiremos que la temperatura no varía con

respecto al tiempo. Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el

gradiente en ese punto nos dará la dirección en la cual se calienta más

rápido. La magnitud del gradiente nos dirá cuán rápido se calienta en esa

dirección.

Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x , y ) se define

como H (x , y) . El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la

que hay un mayor grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos

mostrará cuán empinada se encuentra la pendiente.

Propiedades. El gradiente verifica que:

Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por   =cte.

Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.

Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.

Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).

El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional,

esto es,

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 12

Divergencia.La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el

flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que

rodea a un volumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o

"sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.

Divergencia de un campo vectorial.La divergencia de un campo vectorial en

un punto es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por

unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero:

Donde   es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite. El

símbolo   representa el operador nabla.

Esta definición está directamente relacionada con el concepto de flujo del

campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se

dice que el campo posee fuentes. Si la divergencia es negativa, se dice que

tiene sumideros. El ejemplo más característico lo dan las cargas eléctricas, que

dan la divergencia del campo eléctrico, siendo las cargas positivas manantiales

y las negativas sumideros del campo eléctrico. Se llaman fuentes escalares del

campo   al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de 

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a través

del teorema de Gauss o teorema de la divergencia.

Coordenadas cartesianas. Cuando la definición de divergencia se aplica

al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas,

El resultado es sencillo:

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 13

Coordenadas ortogonales. Sin embargo, para un caso más general

de coordenadas ortogonales curvilíneas, como las cilíndricas o las

esféricas, la expresión se complica debido a la dependencia de los

vectores de la base con la posición. La expresión para un sistema de

coordenadas ortogonales es:

Donde los   son los factores de escala del sistema de coordenadas,

relacionados con la forma del tensor métrico en dicho sistema de coordenadas.

Esta fórmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (

) se reduce a la expresión anterior.

Para coordenadas cilíndricas ( ) resulta:

Para coordenadas esféricas ( ) resulta

Coordenadas generales. En sistemas de coordenadas generales, no

necesariamente ortogonales, la divergencia de un vector puede

expresarse en términos de las derivadas parciales respecto a las

coordenadas y el determinante del tensor métrico:

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 14

Rotacional. En el cálculo vectorial, el rotacional o rotor es un operador vectorial que

muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

Matemáticamente, esta idea se expresa como el límite de la circulación del

campo vectorial, cuando la curva sobre la que se integra se reduce a un punto:

Aquí,   es el área de la superficie apoyada en la curva , que se reduce a un

punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un

vector), sino solo su componente según la dirección normal a   y orientada

según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo

deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas

en planos perpendiculares.

Fuente vectorial y escalar. Al campo vectorial,J, que se obtiene

calculando el rotacional de un campo F en cada punto,

J=∇×F

Se conoce como las fuentes vectoriales de F (siendo las fuentes escalares las

que se obtienen mediante la divergencia).

Un campo cuyo rotacional es nulo en todos los puntos del espacio se

denomina irrotacional o se dice que carece de fuentes vectoriales. Y si está

definido sobre un dominio simplemente conexo entonces dicho campo puede

expresarse como el gradiente de una función escalar, o dicho de otra forma, el

campo deriva de un potencial:

Expresión en formas cartesianas.

Partiendo de la definición mediante un límite, puede demostrarse que la

expresión, en coordenadas cartesianas, del rotacional es

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 15

Que se puede expresar de forma más concisa con ayuda del

operador nabla como un producto vectorial, calculable mediante

un determinante:

Debe tenerse muy presente que dicho determinante en realidad no es tal pues

los elementos de la segunda fila no tienen argumento y por tanto carecen de

sentido. Además dicho determinante sólo puede desarrollarse por la primera

fila. En definitiva, la notación en forma de determinante sirve para recordar

fácilmente la expresión del rotacional.

En la notación de Einstein, con el símbolo de Levi-Civita se escribe como:

Propiedades:

Todo campo potencial (expresable como el gradiente de un potencial

escalar) es irrotacional y viceversa, esto es,

Todo campo central (radial y dependiente sólo de la distancia al centro)

es irrotacional.

En particular, el campo electrostático de una carga puntual (y por

superposición, cualquier campo electrostático) es irrotacional.

El rotacional de un campo vectorial es siempre un campo solenoidal,

esto es, su divergencia siempre es nula:

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 16

Ejemplos:

En un tornado los vientos están rotando sobre el ojo, y un campo vectorial

que muestra las velocidades del viento tendría un rotacional diferente de

cero en el ojo, y posiblemente en otras partes (véase vorticidad).

En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte

individual de un disco que rota, el rotacional tendrá un valor constante en

todas las partes del disco.

Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles

tuvieran diversos límites de velocidad, el rotacional en las fronteras entre

los carriles sería diferente de cero.

La ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère-Maxwell, dos de

las ecuaciones de Maxwell, se pueden expresar muy simplemente usando

el rotacional. La primera indica que el rotacional de un campo eléctrico es

igual a la tasa de variación de la densidad del flujo magnético, con signo

opuesto debido a la Ley de Lenz; la segunda indica que el rotacional de un

campo magnético es igual a la suma de la densidad de corrientes y la

derivada temporal de la densidad de flujo eléctrico.

1.5. Teoremas de Green y de Stokes.

Teorema de Green. En física y matemáticas, el teorema de Green da la relación

entre una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C y una integral

doble sobre la región plana D limitada por C. El teorema de Green se llama así por el

científico británico George Green y es un caso especial del más general teorema de

Stokes. El teorema afirma:

Sea C una curva cerrada simple positivamente orientada, diferenciable por

trozos, en el plano y sea D la región limitada por C. Si L y M tienen derivadas

parciales continuas en una región abierta que contiene D,

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 17

A veces la notación

Se utiliza para establecer que la integral de línea está calculada usando la

orientación positiva (antihoraria) de la curva cerrada C.

Relación con el teorema de la divergencia:

El teorema de Green es equivalente a la siguiente analogía bidimensional

del teorema de Stokes:

Donde   es el vector normal saliente en la frontera.

Para ver esto, considere la unidad normal en la parte derecha de la ecuación.

Como   es un vector apuntando tangencialmente a través de una

curva, y la curva C está orientada de manera positiva (es decir, en contra del

sentido de las agujas del reloj) a través de la frontera, un vector normal saliente

sería aquel que apunta en 90º hacia la derecha, el cual podría ser  .

El módulo de este vector es:

.

Por lo tanto:

.

Tomando los componentes de:

El lado derecho se convierte en:

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 18

Que por medio del teorema de Green resulta:

Teorema de Stokes.El teorema de Stokes en geometría diferencial es una

proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza

varios teoremas del cálculo vectorial. Se nombra así por George Gabriel

Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del

teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia

que él mantuvo con Stokes.

El teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una

función f en el intervalo [a, b] puede ser calculada por medio de

una antiderivada F de f:

El teorema de Stokes es una generalización de este teorema en el siguiente

sentido:

Para la F elegida,  . En el lenguaje de las formas diferenciales es

decir que f(x) dx es la derivada exterior de la 0-forma (como por ejemplo

una función) F: dF = f dx. El teorema general de Stokes aplica para formas

diferenciales mayores   en vez de F.

En un lenguaje matemático, el intervalo abierto (a, b) es una variedad

matemática unidimensional. Su frontera es el conjunto que consiste en los

dos puntos a y b. Integrar f en ese intervalo puede ser generalizado como

integrar formas en una variedad matemática de mayor orden. Para esto se

necesitan dos condiciones técnicas: la variedad matemática debe ser

orientable, y la forma tiene que ser compacta de manera que otorgue una

integral bien definida.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 19

Los dos puntos a y b forman parte de la frontera del intervalo abierto. Más

genéricamente, el teorema de Stokes se aplica a variedades

orientadas M con frontera. La frontera ∂M de Mes una variedad en sí misma

y hereda la orientación natural de M. Por ejemplo, la orientación natural del

intervalo da una orientación de los dos puntos frontera.

Intuitivamente ahereda la orientación opuesta a b, al ser extremos opuestos

del intervalo. Entonces, integrando F en los dos puntos frontera a, b es

equivalente a tomar la diferencia F(b) − F(a).

Por lo que el teorema fundamental relaciona la integral de una función sobre un

intervalo, con una integral o suma de la primitiva de la función en los límites

que encierran dicho intervalo:

Por otro lado el teorema de Green hace algo similar en dos dimensiones,

relaciona la integral a lo largo de una curva simple con la integral de una

combinación de derivadas sobre un área limitada por la curva simple:

Similarmente el teorema de la divergencia relaciona la integral de una función

sobre una superficie con la integral de una combinación de derivadas sobre el

interior del conjunto:

El teorema de Stokes generaliza todos estos resultados, relacionando la

integral sobre una frontera con la integral de una función "derivada" sobre el

interior de la región limitada por la frontera.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 20

Formulación General.Sea M una variedad de dimensión n diferenciable por trozos

orientada compacta y sea ω una forma diferencial en M de grado n-1 y de clase C. Si

∂ M denota el límite de M con su orientación inducida, entonces

aquí d es la derivada exterior, que se define usando solamente la estructura de

variedad. El teorema debe ser considerado como generalización del teorema

fundamental del cálculo y, de hecho, se prueba fácilmente usando este

teorema.

El teorema se utiliza a menudo en situaciones donde M es una subvariedad

orientada sumergida en una variedad más grande en la cual la forma ω se

define.

El teorema se extiende fácilmente a las combinaciones lineales de las

subvariedades diferenciables por trozos, las, así llamadas, cadenas. El teorema

de Stokes demuestra entonces que las formas cerradas

definidas módulo una forma exacta se pueden integrar sobre las cadenas

definidas módulo borde. Ésta es la base para el apareamiento entre los grupos

de homología y la cohomología de deRham.

El clásico teorema de Kelvin-Stokes:

que relaciona la integral de superficie del rotacional del campo vectorial sobre

una superficie Σ en el 3-espacio euclidiano a la integral de línea del campo

vectorial sobre su borde, es un caso especial del teorema de Stokes

generalizado (con n = 2) una vez que identifiquemos el campo vectorial con

una 1-forma usando la métrica en el 3-espacio euclidiano.

Asimismo el teorema de Ostrogradsky-Gauss o Teorema de la divergencia:

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 21

Es un caso especial si identificamos un campo vectorial con la n-1 forma

obtenida contrayendo el campo vectorial con la forma de volumen euclidiano.

El teorema fundamental del cálculo y el teorema de Green son también casos

especiales del teorema de Stokes generalizado.

La forma general del teorema de Stokes que usa formas diferenciales es de

más alcance que los casos especiales, por supuesto, aunque los últimos son

más accesibles y a menudo son considerados más convenientes por físicos e

ingenieros.

Otra forma de escribir el mismo teorema es la siguiente:

Donde   es un campo vectorial cualquiera.

Establece que la integral de superficie del rotacional de un campo

vectorial sobre una superficie abierta es igual a la integral (curvilínea) cerrada

del campo vectorial a lo largo del contorno que limita la superficie.

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 22

Bibliografía

Fuentes Virtuales:

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorial

http://w3.mecanica.upm.es/mmc-ig/Apuntes/indices.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio

http://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_(matemática)

http://es.wikipedia.org/wiki/Gradiente

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Green

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Stokes

Fundamentos de la mecánica de los medios continuos. 23