Mecánica de Materiales II: Flexión en Vigas Asimétricas · Universidad Simón Bolívar Mecánica...

Universidad Simón Bolívar

Mecánica de Materiales II:Flexión en Vigas Asimétricas

Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar


• Introducción• Introducción

• Vigas asimétricas a flexión• Vigas asimétricas a flexión

• Ejes principales de Inercia• Circulo de Mohr

• Ejes principales de Inercia• Circulo de Mohr

• Ejercicio• Ejercicio

Contenido


Viga de sección asimétrica sometida a la acción de un momento flector

MR

Introducción Vigas a flexión Ejes Principales de Inercia Ejercicio


Vista de la sección transversal de la viga

x

y

MR

Eje Neutro

MY

Mx

dA

x

y



z

y

MX MX

S1 S2

e fy

dz

inicial Longitud0 == llef

Eje neutro

Viga antes de ser sometida a la acción del momento MX - (Plano YZ)



MX MX

S1 S2

e’ f ’y

Eje neutro

dz

final Longitud'' == ffe lldθ

ρ

Acción del momento MX - (Plano YZ)



z

x

MY MY

S1 S2

e fx

dz

inicial Longitud0 == llef

Eje neutro

Viga antes de ser sometida a la acción del momento MY - (Plano XZ)



MY MY

S1 S2

e’ f ’x

Eje neutro

dz

final Longitud'' == ffe lldθ

ρ

Acción del momento MY - (Plano XZ)



Vista de la sección transversal de la viga

x

y

MR

Eje Neutro

MY

MX

dA

X

y

Centro geométrico



Conclusión:•El origen del sistema principal de inerciaestá ubicado en el centro geométrico de lasección transversal.



x

y

MR

Eje Neutro

MY’

MX’

y’

x’

MY

MX θ

Introducción Vigas a flexiónEjes

Principales de Inercia

Ejercicio

dA

x

y

x’y’


Sean 2 sistemas de coordenadas XY y X’Y’:θCosx ⋅θSeny ⋅

θCosy ⋅θSenx ⋅

y

xθ

y

x



Ejercicio


Momentos Principales de Inercia:Un sistema principal de inercia es aquel en elque los valores de inercia son los valoresmáximos y mínimos.



Ejercicio


Conclusiones:•Para los Ejes Principales de Inercia laorientación viene dada porθ.•El producto de inercia es cero para los EjesPrincipales de Inercia.



Ejercicio


Círculo de Mohr de la Inercia (Método gráfico)

I2 I12θ

2yx II +

( )xyx II ,

( )xyy II −,

I

Ixy

( )2

2

1 22 xyyxyx I

IIIII +

−+

+= ( )2

2

2 22 xyyxyx I

IIIII +

−−

+=



Ejercicio


Círculo de Mohr de la Inercia (Método gráfico)

I2 I1I

Ixy



Ejercicio

y

x2θ

θ

( )xyx II ,

( )xyy II −,


( )2

2

2 22 xyyxyx I

IIIII +

−−

+=

( )2

2

1 22 xyyxyx I

IIIII +

−+

+=

En resumen:

( )yx

xy

II

Itg

−⋅

−=2

2θ



Ejercicio


Conclusiones:•Todoeje de simetríaes un Eje Principal deInercia•Todo eje perpendicular a un eje de simetríaque pase por el centro geométrico es un EjePrincipal de Inercia



Ejercicio


Centro geométrico

Eje perpendicular

Eje de simetría

Ejemplo:



Ejercicio

Ejes principales de inercia


z

y2500 mm

5000 mm

200 Kgf

Sección transversal

Determine los ejes principales así como losmomentos aplicados:

Perfil L-65x7x65

Perfil I-160



Procedimiento:

x1

y1

x2

y2

x

y

x1

y1

x2

y2I 1

I 2

θ

MM2

M1



Pasos para la resolución del problema:•Cálculo de la sección transversal más crítica•Ubicación del centro geométrico del perfil compuesto

x1

y1

x2

y2

x0

y0

1,85 cm

17,85 cm

3,7 cm

8 cmy

x



Pasos para la resolución del problema:•Traslado de las inercias

•Perfil I•Perfil L

x2

y2

x2

y2

x1

y1

x1

y1



Pasos para la resolución del problema:•Traslado de las inercias

•Perfil L (Detalle importante)

x1

y1

Eje perpendicular Eje de simetría

Para el sistema x1y1, existe un producto de InerciaIx1y1

que hay que trasladar porque no son ejes principales deinercia.

θ



( )2

2

2 22 xyyxyx I

IIIII +

−−

+=

( )2

2

1 22 xyyxyx I

IIIII +

−+

+=

( )yx

xy

II

Itg

−⋅

−=2

2θ

Pasos para la resolución del problema:•Cálculo de las inercias principales

x

y

I 1

I 2

θ

M



I 1

I 2

MM2

M1

Pasos para la resolución del problema:•Cálculo de los Momentos

θ



I 1

I 2

Pasos para la resolución del problema:•Cálculo del eje neutro•Visualización de los puntos mas críticos•Cálculo de los esfuerzos

Eje Neutro

β

A

B2

2

1

1

I

xM

I

yM AAA

⋅+⋅=σ

yA

xA

yB

xB

2

2

1

1

I

xM

I

yM BBB

⋅+⋅=σ


( )21

12

IM

IMtg

⋅⋅=β

M

θ

M2

M1

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