ECUACIONES DE RECTAS MECU 3031

Diferentes formas de una ecuación Una ecuación en dos variables se puede expresar en más

de una forma equivalente utilizando correctamente

operaciones inversas para despejar la ecuación para

cualquiera de sus variables.

Formas de la ecuación lineal:

• Forma general 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

• Forma estándar 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

• Forma punto-pendiente 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Diferentes formas de una ecuación

Escribir la ecuación 𝟑

𝟒𝒙 −

𝟐

𝟑𝒚 = 𝟔,

despejada para y.

ECUACION DE LA RECTA

• Una ecuación en dos variables que representa una recta es

• y = m x + b

• Por ejemplo, a la derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1

Nota: La gráfica tiene tres características distintivas:

su inclinación

intercepto – y

intercepto - x

Noción de pendiente

Se describe la inclinación de

una recta con una medida

llamada pendiente.

A mayor pendiente, mayor

inclinación. (En la figura L1 está

más inclinada que L2.)

Para calcular la pendiente,

tomamos dos puntos por los

cuales pasa la recta,

𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 y calculamos:

Ejemplo

Hallar la pendiente de la recta que

pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7).

Pendiente Positiva y Negativa

Ilustramos ambos casos:

Graficar una recta dado su pendiente

Grafique la recta que pasa por P(2, 1) y que

tiene pendiente igual a

a) 5

3 b) −

5

3

Rectas horizontales y verticales

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a (a) el eje de x (b) el eje de y

SOLUCION:

Determinar la ecuación de una recta

Dada la pendiente

de una recta, m, y un

punto sobre la recta,

P(x1, y1 ), usamos

y – y1 = m(x – x1) ,

para hallar la

ecuación de la recta.

y2-y1

x2-x1

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 7) y B(-3, 2).

SOLUCION: • La figura muestra una gráfica de la recta cuya

ecuación buscamos. • Para hallar la ecuación necesitamos,

primeramente hallar la pendiente.

y – y1 = m(x – x1)

Forma Pendiente-Intercepto

y = mx + b

El número b es el intercepto en y de la

gráfica.

La gráfica es una recta con pendiente m

y que pasa por el punto (0, b) .

Ilustramos:

Pendiente-Intercepto (cont.)

y2-y1

x2-x1

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Ejemplo

Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto.

Ejemplo

SOLUCION:

a) Determinar pendiente

b) Hallar el intercepto en y

Use la pendiente para dibujar la gráfica de la ecuación 3x – 5y = -10.

Solución - cont Dibujar la gráfica de la ecuación

3x – 5y = -10.

Ejemplo

Hallar la pendiente y el intercepto en y de la recta con ecuación: 3x – 6y 7 = 0.

Solución:

Ejemplo Una línea tiene pendiente de e int-y en (0, 16). Hallar una ecuación para la línea. Solución:

7

9

Ejemplo

Una línea tiene pendiente de y pasa por el punto (–3, 6). Determinar una ecuación para la línea.

2

3

Ejemplo Hallar la ecuación de la línea que contiene los puntos (2, 3) y (1, 4).

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas, m1 y m2, son paralelas si y

solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2

Dos rectas, m1 y m2, son perpendiculares

si y solo si m1m2 = -1 ,

(esto es, que una de las pendientes es el

recíproco negativo de la otra. ) 𝒎𝟐 = −𝟏

𝒎𝟏

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).

Hallar y comparar pendientes:

Pendientes iguales; rectas paralelas.

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).

Hallar y comparar pendientes:

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3

Convertir cada ecuación a la forma pendiente intercepto:

Ejemplo Hallar la ecuación lineal que cumple las siguientes condiciones: • pasa por el punto (6, -7) • Su gráfica es perpendicular a la gráfica de

6x + 3y = 4.

SOLUCION:

Ejemplo • Determinar la recta que satisface las siguientes

condiciones: a) pasa por (3, -1) b) Es paralela a 5x – 2y = 4

Ejemplo El crecimiento de un feto después de 12 semanas de edad se puede aproximar por la fórmula, L= 1.53t – 6.7, donde L es la longitud (en centímetros) y t es la edad (en semanas). La longitud prenatal puede ser determinado por ultrasonido. Aproxime la edad de un feto cuya longitud es de 28 centímetros. Solución:

Ejemplo

La relación entre la temperatura, F, en la escala Fahrenheit y la temperatura, C, en Centígrados está dada por:

• 𝟎℃ = 𝟑𝟐℉ • 𝟏𝟎𝟎℃ = 𝟐𝟏𝟐℉

Hallar una ecuación lineal para esta relación Solución: