Medidas de dispersión y de posición

LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE POSICIÓN ESTADÍSTICA APLICADA A LA FUNCIÓN POLICIAL

* Repasando el Servicio de Policía Comunal

* Concepto de policía comunal.

* Elementos de la policía comunitaria

* Prevención del Crimen Basada en la Comunidad

Título del Recurso: Las medidas de dispersión y de posición

Propósito: Conocer las medidas dispersión y posición y su aplicabilidad en el

estudio de problemas vinculados a la función policial.

Palabras Claves: dispersión, posición, estadística, medidas.

Tabla de Contenido:

Duración de la Navegación: Treinta minutos (30) minutos, aproximadamente.


Autor: Universidad Nacional Experimental de la Seguridad (UNES)

Diseño pedagógica web: Marcos Vasquéz y Javier Trias

Edición y Montaje: Carleidys Rodríguez - [email protected]

Experto en Contenido: Marcos Vásquez y Migdalys Marcano

Fecha de creación: 17 de noviembre del 2011

mailto:[email protected]


En nuestro esfuerzo por describir un

conjunto de números hemos visto que

es de utilidad ubicar el centro del

conjunto de datos. Pero identificar una

medida de tendencia central rara vez es

suficiente. Una descripción más

completa del conjunto de datos puede

obtenerse si se mide qué tan dispersos

están los datos alrededor de dicho punto

central. Esto es precisamente lo que

hacen las medidas de dispersión. Indican cuánto se desvían las observaciones

alrededor de su media.

Veamos los siguientes conjuntos:

CONJUNTO DE DATOS A CONJUNTO DE DATOS B CONJUNTO DE DATOS C

0,5,10 4,5,6 5,5,5

Los tres tienen una media de cinco. ¿Se debe por tanto concluir que los conjuntos

de datos son similares? Claro que no. Sin embargo, si se informa sólo sus medias,

si ver las observaciones, se puede concluir que hay similitud. Una imprecisión más

notoria de los conjuntos de datos resultaría si se compara el grado en el cual se

dispersaron las observaciones individuales en cada conjunto de datos o se

expandieron alrededor de la media cinco. Las observaciones en el primer conjunto


de datos están muy dispersas por encima y por debajo de la media, mientras que

aquellas del segundo grupo de datos están comparativamente cerca de ésta. El

tercer conjunto de datos no tiene dispersión, todas las observaciones son iguales

a la media. Sabiendo esto, sería poco probable asumir de manera errónea

cualquier similitud en los conjuntos de datos simplemente con base en su media.

En este sentido, las medidas de dispersión son muy útiles e informativas.

La medida de dispersión más simple (y menos útil) es el rango o recorrido. El

rango es simplemente la diferencia entre la observación más alta y la más baja.

Su ventaja es que es fácil de calcular. Su desventaja es que considera sólo dos de

los cientos de observaciones que hay en un conjunto de datos. El resto de las

observaciones se ignoran. Si tenemos una muestra (x1,…,xn) ordenada de menor

a mayor, el rango viene dado por la siguiente ecuación:

Si los datos no están ordenados el rango viene dada por:

Veamos un ejemplo:

Se realizo un estudio basado en los años de servicio que poseen los oficiales

en determinada división y estos son los resultados arrojados:

13 10 1 2 4 14 11 7 4 5


Se desea calcular el rango a partir de estos datos con lo cual debemos

primero ordenar los datos de menor a mayor:

1 2 4 4 5 7 10 11 13 14

Una vez ordenados calculemos el rango:

La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores

respecto a un valor central (la media). Es la media de los cuadrados de las

diferencias entre cada valor de la variable y la media de La muestra o población.

Comúnmente se denota S2 o σ2. Formalmente la varianza para una población

X=(x1,…,xn) se calcula de la siguiente forma:

Esta varianza es utilizada cuando se posee los datos de una población.

Ejemplo: Tomando los datos del ejemplo anterior calculemos la varianza, primero

calculemos la media:

Una vez calculamos la media podemos hallar la varianza:

En algunos casos se suele trabajar con la varianza centrada, que se utiliza para

cuando se poseen muestras de la población, esta viene dada por la siguiente

expresión:


La varianza puede ser en algunas ocasiones difícil de interpretar, por

ejemplo en el caso antes estudiado qué significa tener una varianza tan grande en

comparación con los datos. Para evitar este problema definimos otra medida de

dispersión, la desviación típica o desviación estándar, esta se halla con la raíz

cuadrada positiva de la varianza. Comúnmente se representa con las letras S o σ.

Formalmente esta se calcula de la siguiente forma:

Ejemplo: Calculemos la desviación típica para la población anterior:

COVARIANZA

La covarianza entre dos conjuntos de datos es un resumen estadístico que

permite conocer si las variables están relacionadas entre sí. Si tenemos dos

grupos de variables X e Y, la covarianza viene dada por la siguiente expresión:

Si la covarianza es positiva, hay una dependencia directa o positiva entre las

variables; es decir, a grandes valores de X le corresponden grandes valores de Y

Si la covarianza es negativa, hay una dependencia inversa o negativa entre las

variables; es decir, a grandes valores de X le corresponden pequeños valores de

Y.

Si la covarianza es “0”, decimos que no hay relación lineal entre las variables.


Como extensión de la idea de mediana (que

divide los datos en dos partes iguales)

podríamos pensar en aquellos valores que

dividen a los datos en cuatro partes iguales

aproximadamente, representados por Q1, Q2

y Q3, los cuales se llaman primero, segundo

y tercer cuartil, respectivamente, claramente

Q2 es la mediana.

Si denotamos por Q1 = x0.25, Q2 = x0.50, Q3 = x0.75 la notación nos dice el significado

de cada uno de ellos, así, x0.25 es un valor tal que aproximadamente el 25% de las

observaciones están a su izquierda, similarmente para los otros casos.

Análogamente, los valores que dividen los datos en diez partes iguales se llaman

deciles:

En algunas aplicaciones, especialmente cuando hay una gran cantidad de datos,

es preferible usar percentiles (división de datos en cien partes iguales). El percentil

Pp o percentil p−ésimo es el centil de p% y representa un número tomado entre las

observaciones, ordenadas de menor a mayor tal que p% de la muestra está a la

izquierda y el (100 − p)% está a la derecha. Para hallar Pp procedemos de manera

análoga al caso de la mediana.

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra con p= 1,.., 99, en la

tabla de las frecuencias acumuladas. Luego aplicamos la siguiente ecuación:


En donde Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil,

N es la suma de las frecuencias absolutas, Fi-1 es la frecuencia absoluta

acumulada anterior a la clase media y ai es la amplitud de la clase.

Ejemplo: La Universidad Nacional Experimental de la Seguridad realizo una

evaluación para determinar el grado de avance de sus discentes en una escala del

1 al 100, arrojando la siguiente tabla de frecuencia:

Clases Frecuencia (fi) Frecuencia absoluta (Fi)

[0,10) 189 189

[10,20) 213 402

[20,30) 335 737

[30,40) 315 1052

[40,50) 343 1395

[50,60) 460 1855

[60,70) 585 2440

[70,80) 351 2791

[80,90) 274 3065

[90,100) 203 3268

Se va realizar una premiación a las y los discentes por merito, a partir de los

resultados de la evaluación, solo se tomaran en cuenta el 20% de la población.

Para ello calculemos el percentil 80-ésimo ya que a la izquierda de este se refleja

el 80% de los datos y a su derecha el 20% de ellos.

Primeramente calculamos la ubicación del percentil, para ello resolvamos la

siguiente ecuación:


Con esta información conocemos que el percentil se encuentra en la clase

[70,80), el Li es 70, el Fi-1 es igual a 2440, el fi es igual a 351 y ai vale 10. Una vez

hallados los datos, calculemos el percentil:

De esta forma sabemos que los y las discentes con calificación por encima de

74.968 son los candidatos a recibir la premiación.

Hacer un estudio estadístico no es necesariamente complejo, pero requiere

dedicarle tiempo y practicar para conseguir buenos resultados. Por ello, en el

siguiente espacio encontraras diversos problemas estadísticos que te invitamos a

realizar.

1. Según el informe de la CONAREPOL la tasa de delitos que mas impactan a la

ciudadanía se presentan en la siguiente tabla:

Delito 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Hurtos 316 291 268 212 191 213 236 208 198

Robos 141 133 144 145 135 168 166 126 119

Robos de

autos

70 69 105 124 131 174 178 125 112

Lesiones 137 138 132 105 114 131 122 129 146

Secuestros 59 50 44 67 113 201 277 233 206


Tasa por cada 100000 habitantes

En base a estos datos realice lo siguiente:

a) Calcule las medias, medianas, modas y desviación típica de la muestra

para cada delito, compárelas y analícelas.

b) Realice un histograma para las 5 variables utilizando un color distinto

para cada tipo de delito.

c) Tome los últimos 3 años y realice tres gráficos circulares con los

porcentajes por delito de cada año.

2. Para organizar tu plan de patrullaje diario decides hacer un estudio estadístico

basado en el horario de salida del trabajo o centro educativo de las personas

que habitan el sector. Los horarios recabados de las encuestas realizadas se

presentan a continuación:

1pm 11am 5pm 7pm 5pm 3pm

11am 10am 12pm 2pm 8pm 8pm

7pm 5pm 6pm 3pm 12pm 11am

10am 5pm 3pm 4pm 6pm 9pm

1pm 7pm 6pm 4pm 3pm 8pm

7pm 11am 10am 12pm 1pm 10am

9am 1pm 2pm 7pm 8pm 6pm

10pm 10am 1pm 2pm 6pm 7pm

Realiza un estudio de la media, mediana, moda y varianza de los horarios

presentados, analiza los resultados e interprétalos. ¿Cuál es el mejor horario para

comenzar tu ruta de patrullaje? Elabora un histograma con las frecuencias de los

horarios e interpreta el mismo.

3. Los sitios de venta ilícita o no de alcohol cercanos a instituciones educativas y

a sitios de recreación son un serio problema para nuestro país, por lo cual se


quiere realizar un estudio de una determinada zona de caracas basado en

estos lugares. Se consideran 3 instituciones educativas y 8 sitios de recreación

para llevar a cabo los estudios, los resultados son los siguientes:

Lugares N° de lugares de venta

ilícita

N° de lugares de venta

licita

Institución A 6 2

Institución B 5 3

Institución C 7 4

Parque A 4 5

Parque B 7 3

Parque C 5 1

Cancha A 5 0

Cancha B 6 3

Cancha C 5 4

Cancha D 7 3

Cancha E 5 5

Utilizando estos datos calcula la media mediana y desviación típica de ambas

variables e interpreta sus resultados. Realiza un gráfico que compare el

comportamiento de las medias de las instituciones, los parques y las canchas en

cuanto a los lugares de venta ilícita, interpreta el gráfico obtenido.

4. A continuación se presentan los datos del número de infracciones de tránsito

registradas en un conocido cruce, los datos se presentan durante los doce

meses del año anterior:

321 412 326 375 398 306

299 2354 487 378 384 455


Calcula las medidas de tendencia central (media, moda (si la hay) y mediana) e

indica cual representa mejor a los datos. Calcula la desviación típica de la muestra

e interpreta el resultado.

5. Se realizan encuestas relacionadas con la situación delictiva que se presenta

en una determinada zona del país, a partir de estos datos se desea conocer

que factor influye en que los jóvenes cometan actos delictivos. El resumen de

las encuestas por zonas se presenta en la siguiente tabla:

Zona Delitos

por mes

Delitos

realizados

por

jóvenes

Complejos

deportivos

activos

Sitios de

recreación

Instituciones

educativas

A 356 145 5 4 5

B 273 167 4 4 5

C 425 328 2 2 4

D 420 315 3 2 3

E 156 101 7 4 5

F 736 456 1 1 6

G 398 333 2 1 4

H 245 185 4 3 3

Calcula, analiza e interpreta desde el punto de vista policial, la covarianza entre

las variables presentadas.

6. Cada factor que influye en el hecho de resolver o no alguna situación de

enfrentamiento debe ser debidamente estudiado, por lo que queremos analizar

dos de los factores que influyen en este, el factor plan táctico y el factor tiempo

de respuesta. Para llevar a cabo dicho estudio analizaremos diversas


situaciones que se le presentaron a 30 oficiales policiales, estas se presentan a

continuación:

Oficial Tiempo de

respuesta

(seg)

Plan Táctico (5-20)

Res

uelv

e

Tie

mp

o

de

eje

cu

ció

n

mo

tora

T

iem

po

d

e

rea

cc

ión

Co

be

rtu

ra

(1-6

)

Oc

ult

am

ien

to

(1-3

)

Dis

tan

cia

(1-5

)

Fac

tor

so

rpre

sa

(1-4

) R

es

tric

ció

n

(1-2

)

1 1 0.5 6 3 4 3 2 1

2 2 1 2 2 1 3 2 2

3 1 1.5 4 3 5 4 1 1

4 0.5 0.5 5 2 1 1 1 1

5 1 0.5 2 3 4 4 2 1

6 1 1 1 2 2 2 1 2

7 1 2 4 3 2 3 2 2

8 1.5 1.5 5 3 5 4 2 1

9 0.5 1 2 1 2 3 1 2

10 1 1.5 4 3 5 4 2 1

11 1.5 0.5 1 1 1 1 1 2

12 1 1 6 3 2 3 1 2

13 2 1.5 6 3 2 3 2 1

14 1 0.5 5 2 4 4 2 1

15 1.5 2 2 3 5 4 2 1

16 0.5 1 3 2 2 2 1 2

17 1 0.5 4 2 4 3 2 1

18 2 1 3 2 1 2 1 2

19 2 2 1 2 1 3 1 2

20 1.5 1 6 3 4 3 2 1


21 0.5 2.5 6 3 5 3 2 1

22 2 0.5 2 1 1 2 2 2

23 1 0.5 5 3 5 4 2 1

24 1.5 1.5 4 2 5 3 2 1

25 1 1.5 5 3 5 2 1 1

26 1 1 3 2 3 1 2 1

27 1.5 2 1 1 2 1 1 2

28 1 2 6 3 4 2 2 1

29 1.5 0.5 2 2 2 3 1 2

30 2 1 2 3 5 4 2 1

En la tabla se muestran las siguientes variables:

a) “Tiempo de respuesta” medida en segundos que se divide en tiempo de

ejecución motora y tiempo de reacción.

b) “Plan táctico” medida cuantitativamente del 5 al 20 siendo 5 un deficiente

plan táctico y 20 un correcto plan táctico. El plan táctico se divide a su vez

en cobertura (medida del 1 al 6), ocultamiento (medida del 1 al 3), distancia

(medida del 1 al 5), factor sorpresa (medida del 1 al 4) y restricción (medida

del 1 al 2)

c) “Resuelve” que indica si el funcionario o la funcionaria resuelve (1) o no (2)

al momento de la acción.

Utilizando estos datos y analizándolos de manera estadística responde lo

siguiente:

a) ¿En donde se debe hacer énfasis a la hora de capacitar a sus funcionarios

y funcionarias policiales, en el tiempo de respuesta o en el plan táctico?,

para ello calcule la covarianza de las variables mencionadas con la variable

denominada “resuelve”

b) Tomando solo los casos en donde el funcionario o la funcionaria resuelve,

calcule los porcentajes en los cuales esto se debe al hecho de tener un

buen plan táctico o al hecho de tener un buen tiempo de respuesta


(Recuerde que puede deberse a ambos factores o a ninguno (Factor

suerte)), para ello guíese por la media de de cada variable a la hora de

indicar si un factor influyo en el momento de resolver.

c) Utilizando los porcentajes del ítem b realice un grafico apropiado que

muestre estos resultados, luego analícelos y escriba un breve informe de un

párrafo con los resultados obtenidos.

7. Se quiere estudiar los accidentes de tránsito en una zona de caracas, para ello

se divide dicha zona en dos partes y se realiza el estudio durante un mes. Los

resultados de estos estudios se presentan a continuación:

Días (Zona A) Accidentes de

tránsito

Días (Zona B) Accidentes de

tránsito

(1 al 5) 13 (1 al 5) 25

(6 al 10) 15 (6 al 10) 22

(11 al 15) 21 (11 al 15) 27

(16 al 20) 56 (16 al 20) 21

(21 al 25) 13 (21 al 25) 55

(26 al 30) 15 (26 al 30) 37

Elabora dos gráficos de frecuencia uno para cada zona y compáralos. Realiza un

estudio de la covarianza entre las muestras e interpreta el resultado obtenido.

¿Sera necesario elaborar tablas de datos para ambas zonas o con una se puede

generalizar?, justifica tu respuesta.

8. Realiza una encuesta con tus compañeros en donde conozcas los siguientes

datos: edad, peso, altura, color de cabello, color de ojo, último digito de la

cedula de identidad. Utilizando estos datos realiza el siguiente estudio:

a) Calcula las medidas de tendencia central para las variables edad, peso

y altura.


b) Calcula la moda de las variables color de cabello y color de ojo.

c) Elabora un histograma para cada una de las variables.

d) Calcula la desviación típica de las variables edad y último digito de la

cedula de identidad.

e) Calcula la correlación entre las variables peso y altura e interpreta su

resultado.

9. Se desea comparar el índice delictivo que se presenta en dos zonas aledañas

de Catia, para ello se relacionan los sucesos ocurridos un día viernes entre las

9pm y las 5am del sábado. Los datos se presentan en las tablas siguientes:

Horas zona A Incidencias zona

A

Horas zona B Incidencias zona

B

9pm a 10pm 2 9pm a 10pm 1

10pm a 11pm 1 10pm a 11pm 0

11pm a 12am 0 11pm a 12am 1

12am a 1am 1 12am a 1am 0





Utilizando estos datos responda las siguientes interrogantes:

a) ¿Cuál es la media de delitos en cada zona?

b) Calcule la correlación entre ambas variables e interprete el resultado.

c) Calcula el rango de la muestra.

d) A partir del cálculo del percentil 60 de las dos muestras qué puedes

concluir. ¿Son iguales? ¿Cómo se interpreta esto?


10. Se están analizando las personas que han cometido el delito de robo a mano

armada en Venezuela, para organizarlas de forma apropiada en las diferentes

cárceles del país a partir de su nivel de peligrosidad, teniendo en cuenta que

un mayor número de denuncias por robo a mano armada representan un nivel

alto de peligrosidad.

Se requiere dividir la población en tres grupos que contengan: el primero el 30%

menos peligroso, el segundo entre el 30% y el 70% de peligrosidad y el tercero los

30% más peligrosos.

Se te presentan a continuación diversas cantidades correspondientes al número

de denuncias por robo a mano armada de los delincuentes sin ningún tipo de

orden, a partir de estos datos indique el número de delitos a los cuales

correspondería cada grupo. Los datos son los siguientes:

1 5 4 7 10 4 11 13 2 2 1 5 6 8

5 7 3 10 11 3 12 4 5 13 14 3 9 3

1 2 5 2 3 5 7 17 7 9 8 6 7 4

5 4 11 20 21 18 15 4 3 2 4 5 7 5

4 6 8 2 1 1 5 1 3 6 12 13 5 2

8 7 8 8 8 9 10 4 6 9 8 6 4 5

10 11 5 4 4 4 8 7 2 9 5 6 1 1

4 6 3 8 7 2 5 1 1 6 8 1 7 10

11. En el viejo modelo policial se ha detectado un alto índice de desviaciones

policiales, se desea conocer las razones de estas desviaciones por lo cual se

te pide analizar los datos correspondientes a los incidentes de este tipo

detectados dentro de una estación policial determinada que se presumen estar

vinculados con los años de servicio. Los años de servicio de los oficiales

involucrados son los siguientes:

1 2 6 7 4 5 3 7 5 2 2 2

5 7 5 3 4 2 1 3 1 4 3 6

1 1 3 8 7 4 3 1 1 3 5 3


1 20 5 7 8 9 4 5 11 10 4 12

3 4 9 14 12 2 4 5 1 2 3 9

8 6 7 5 5 2 7 9 13 12 7 3

2 1 10 1 2 3 7 5 1 2 17 2

13 10 9 3 6 5 4 7 1 2 14 1

12 16 18 15 1 3 2 6 3 1 11 1

14 3 17 2 1 4 3 7 2 1 3 1

Utilizando estos datos realiza lo siguiente:

a) Elabora un histograma con las frecuencias de los años de servicio y analiza

el comportamiento de la grafica. Se recomiendo agrupar los datos por

clases.

b) Calcule la media, mediana, moda y desviación típica de la muestra.

Interpreta la información recogida.

c) Agrupe el 80% de la muestra calculando el percentil adecuado.

12. Se realizó una prueba de tiro con el fin de estudiar la eficacia de las y los

oficiales en el uso del arma de fuego. Los porcentajes de acierto en el blanco

son los siguientes:

35% 71% 23% 85% 75% 54% 99% 87% 67% 66% 70%

56% 33% 95% 88% 83% 76% 73% 70% 60% 52% 44%

43% 76% 81% 20% 23% 41% 53% 74% 67% 87% 82%

50% 10% 23% 65% 74% 78% 45% 89% 56% 78% 67%

90% 56% 95% 92% 100% 78% 89% 45% 67% 56% 40%

90% 56% 37% 89% 88% 90% 74% 71% 68% 83% 82%

56% 59% 90% 67% 29% 57% 49% 60% 63% 45% 78%

47% 67% 89% 84% 58% 90% 98% 59%


Un superior te solicita ayuda para llevar a cabo un análisis a fondo de los datos

obtenidos, para lo cual te pide:

a) Un estudio de las medidas de tendencia central de la muestra y la

interpretación de las mismas.

b) Analiza la dispersión de los datos por medio del cálculo estadístico del

rango y de la desviación típica.

c) Toma el 70% de los porcentajes de acierto más bajos y realiza lo siguiente:

a. Construye un informe con el análisis del cálculo de la media,

mediana y desviación típica de la muestra.

d) Organiza los datos en 10 grupos y elabora un grafico de histograma y uno

circular. ¿Qué se puede apreciar en ellos?

e) Elabora una conclusión breve sobre el análisis realizado.

13. Se posee una numerosa cantidad de datos provenientes de registros del

número de delitos por hurto mes a mes en caracas en los últimos años. Los

datos se presentan con ningún orden en particular:

2300 4567 1198 5437 2876 9856 2350 4876 1230 7896

5469 3586 10239 9867 4732 7623 6512 8592 7428 5391

5692 5693 6528 6712 9673 6523 7654 7634 6934 6523

5467 9675 1298 1764 3658 956 3498 2765 8756 5683

3595 3478 4592 9689 8768 8886 4523 8765 6512 7563

4756 2359 5681 6345 8760 4573 7083 2700 5618 3209

4590 5680 3400 9005 4607 4609 5673 8723 6543 8745

7598 5623 9823 7529 7472 8631 8428 8352 6731 1854

Realice una tabla de datos apropiada para analizar los datos. Calcule la media,

mediana, moda y desviación típica de la muestra y posteriormente interprete los

resultados. Realice un histograma de la muestra e intérprete su comportamiento.

Calcula los cuartiles de la muestra.


14. Se requiere dividir un grupo de oficiales a partir de los años e experiencia que

estos poseen, esto con la intención de realizar un operativo de manera eficaz.

La división que se va a realizar debe contener oficiales de distintos niveles de

experiencia pero no se posee una norma de cómo hacerlo. Se van a elaborar 4

grupos de oficiales y los datos de los mismos se presentan a continuación:

Oficial Años de

experiencia

Oficial Años de

experiencia

Oficial Años de

experiencia

Pérez 2 Rondón 4 Vásquez 4

González 3 Calderón 8 Ordoñez 1

Gamboa 5 Caicedo 4 Colmenares 19

García 1 Leal 12 Apolón 13

Acosta 5 Jiménez 3 Navas 2

Gutiérrez 1 Requena 4 Cifuentes 10

López 6 Sánchez 6 Hernández 5

Olivos 4 Briceño 1 Urdaneta 9

Bolívar 7 Tovar 8 Mendoza 1

Elabora los grupos de oficiales utilizando los cuartiles calculados a partir de la

muestra.


Spiegel, M (2006). Probabilidad y estadística. México. Editorial McGraw-Hill.

Mendenhall, W y Beaver et al, R (2008). Introducción a la probabilidad y

estadística. México. Editorial Thomson.

Olivares, M (2004). Estadística descriptiva. Universidad Central de Venezuela.

Medidas de dispersión y de posición

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