UNIDAD IIIMEDIDAS DE DISPERSIÓN

“Medidas de dispersión”

Miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media.

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

En algunos casos existen conjuntos de datos que tienen la misma media y la misma mediana, pero esto no refleja qué tan dispersos están los elementos de cada conjunto.

Ejemplo:

Conjunto 1. 80, 90, 100, 110, 120Conjunto 2. 0, 50, 100, 150, 200

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

1005

1201101009080 Media

1005

200150100500 Media

Conjunto 1

Conjunto 2

Observa que para ambos conjuntos la Mediana es igual a 100. También nota que los datos del conjunto 2 están más dispersos con respecto a su media que los datos del conjunto 1.

Existen diversas medidas estadísticas de dispersión, pero muchos autores coinciden en que las principales son:

Rango

Varianza

Desviación estándar

Coeficiente de variación

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado (Límite superior) y el valor más bajo (Límite inferior).

RANGO

FÓRMULA

Ejemplo 1.

Ante la pregunta sobre número de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas:

2 1 2 4 1 32 3 2 0 5 1

Calcula el rango de la variable

Solución.

MAX MINRango X X

5 0 5Rango

Ejemplo 2.

Hay dos conjuntos sobre la cantidad de lluvia (mm) en Taipei y Seúl en un año.

Calcula el rango en cada una de las ciudades.

Solución.

Aplicando la fórmula correspondiente tenemos:

Taipei

Seúl

305 66 239Rango mm mm mm

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov DicTaipei 86 135 178 170 231 290 231 305 244 122 66 71Seúl 40 77 83 89 147 168 184 252 209 101 32 13

252 13 239Rango mm mm mm

En este caso se puede observar que el rango es el mismo para ambos casos aunque las cantidades sean diferentes.

050

100150200250300350

Can

tid

ad

de llu

via

(m

m)

Mes

Cantidad de lluvia en Taipei y Seúl 1998

Taipei

Seoul

Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. La sumatoria obtenida se divide por el tamaño de la muestra.

VARIANZA (Datos no agrupados)

FÓRMULA2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n

Muestral

Poblacional

2

2 1

( )N

i xi

x

N

La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.

Ejemplo 1.

Calcula la varianza para los siguientes datos

2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1

Solución.

Primero es necesario obtener la media. En este caso

Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

2.16x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (2 2.16) (1 2.16) (2 2.16) (4 2.16) (1 2.16) (3 2.16) (2 2.16) (3 2.16) (2 2.16) (0 2.16) (5 2.16) (1 2.16)

12 1s

2 21.66721.9697

11s

Ejemplo 2.

A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza.

Solución.

Primero es necesario obtener la media de cada conjunto de datos. En este caso

Estudiante A

Estudiante B

Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

Volumen de ácido medido (cm 3̂)Estudiante A 8 12 7 9 3 10 12 11 12 14Estudiante B 7 6 7 15 12 11 9 9 13 11

8.910

1412111210397128 x

1010

111399111215767 x

Solución (Continuación).

Estudiante A

Estudiante B

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (8 9.8) (12 9.8) (7 9.8) (9 9.8) (3 9.8) (10 9.8) (12 9.8) (11 9.8) (12 9.8) (14 9.8)

10 1s

2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (7 10) (6 10) (7 10) (15 10) (12 10) (11 10) (9 10) (9 10) (13 10) (11 10)

10 1s

2 91.69.16

10s

2 767.6

10s

También llamada desviación típica, es una medida de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores puntuales del promedio en una distribución.

Específicamente, la desviación estándar es "el promedio de la distancia de cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o con la letra sigma,σ, según se calcule en una muestra o en la población.

Una desviación estándar grande indica que los puntos están lejos de la media, y una desviación pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos no agrupados)

FÓRMULA2

1

( )

1

n

ii

x xs

n

N

xN

ixi

1

2)(

Muestral

Poblacional

Ejemplo 1.

Si retomamos el ejemplo 1 que corresponde a la varianza:

Calcula la desviación estándar para los siguientes datos

2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1

Solución.

Una vez que hemos calculado la media y la varianza, sólo resta calcular la raíz cuadrada de la varianza.

2.16x

2 21.66721.9697

11s

1.40341.9697S

Ejemplo 2.

Considerando nuevamente el segundo ejemplo que estudiaste para calcular la varianza, tenemos:

A continuación se muestran dos conjuntos de datos obtenidos a partir de un experimento químico que realizaron dos estudiantes distintos. Calcular la varianza.

Solución.

Una vez que has calculado la media y la varianza, es necesario calcular la desviación estándar a partir de la obtención de la raíz cuadrada de la varianza.

Estudiante A

Estudiante B

Volumen de ácido medido (cm 3̂)Estudiante A 8 12 7 9 3 10 12 11 12 14Estudiante B 7 6 7 15 12 11 9 9 13 11

2 91.69.16

10s

2 767.6

10s

026.316.9S

756.26.7S

Es una medida de dispersión que se utiliza para poder comparar las desviaciones estándar de poblaciones con diferentes medias y se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

FÓRMULA

100%S

CVx

Muestral

Poblacional

100%CV

Ejemplo 1.

En dos cursos los promedios que sacaron sus alumnos fueron 6.1 y 4.3 y las desviaciones estándar respectivas fueron 0.6 y 0.45 respectivamente. ¿En qué curso hay mayor dispersión?

Solución

Para responder esto, debemos obtener el coeficiente de variación aplicando la fórmula

Claramente, el curso A tiene una dispersión menor que el B, pese a presentar una mayor desviación estándar.

%8.9%)100(1.66.0 ACV

%4.10%)100(3.445.0 BCV

100%S

CVx

Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencias, el significado de las medidas de dispersión es el mismo, sin embargo la manera de calcularlas es diferente.

Enseguida se muestra la fórmula para la varianza, pero recuerda que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la primera.

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR (Datos agrupados)

FÓRMULA

11

)(1

2

12

1

2

2

nn

fx

xf

n

xxfs

k

i

k

iii

ii

k

iii

21

2

1

2

2)(

N

xf

N

xfk

iii

k

iii

Muestral

Poblacional

Ejemplo 1.

Se han registrado durante 20 días, el número de viajeros que hacen reservaciones a una agencia de viajes pero que no las hacen efectivas:

Calcula las medidas de dispersión de la variable en estudio. Interpreta

iNúmero de viajeros

(xi )Frecuencia

(fi)

1 12 3

2 13 3

3 14 6

4 15 3

5 16 5

Total 70 20

Solución.

Tal como lo indica la fórmula, primero es necesario multiplicar la variable (xi ) por la frecuencia (fi) y añadirlo como una columna a la tabla.

iNúmero de viajeros

(xi )Frecuencia

(fi)xi fi

1 12 3 36

2 13 3 39

3 14 6 84

4 15 3 45

5 16 5 80

Total 70 20 284

......

...1

2

1

2

k

i

k

iii fx

s

Solución (Continuación).

Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (x i )2.

iNúmero de viajeros

(xi )

Frecuencia

(fi)xi fi xi

2

1 12 3 36 144

2 13 3 39 169

3 14 6 84 196

4 15 3 45 225

5 16 5 80 256

Total 70 20 284 990

...

......1

2

2

k

iix

s

Solución (Continuación).

Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (fixi

2).

iNúmero de

viajeros(xi )

Frecuencia (fi)

xi fi xi2

fixi2

1 12 3 36 144 432

2 13 3 39 169 507

3 14 6 84 196 1176

4 15 3 45 225 675

5 16 5 80 256 1280

Total 70 20 284 990 4070

.........

1

2

2

k

iiixf

s

Solución (Continuación).

Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula

iNúmero de

viajeros(xi )

Frecuencia (fi)

xi fi xi2

fixi2

1 12 3 36 144 432

2 13 3 39 169 507

3 14 6 84 196 1176

4 15 3 45 225 675

5 16 5 80 256 1280

Total 70 20 284 990 4070

11

2

12

2

nn

fx

xfs

k

i

k

iii

ii

Solución (Continuación).

iNúmero de

viajeros(xi )

Frecuencia (fi)

xi fi xi2

fixi2

1 12 3 36 144 432

2 13 3 39 169 507

3 14 6 84 196 1176

4 15 3 45 225 675

5 16 5 80 256 1280

Total 70 20 284 990 4070

3992.19579.1

9579.11920284

40702

2

s

s

Ejemplo 2.

De acuerdo a la siguiente tabla, calcula la varianza y la desviación estándar:NOTA

xFREC. ABSOLUTA

fFREC. ABSOLUTA

ACUMULADA FREC. RELATIVA %

FREC RELATIVA ACUMULADA %

1.2 1 1 0.1 0.11.4 2 3 0.2 0.31.6 3 6 0.3 0.61.8 8 14 0.8 1.42.0 14 28 1.4 2.82.2 18 46 1.8 4.62.4 19 65 1.9 6.52.6 22 87 2.2 8.72.8 25 112 2.5 11.23.0 26 138 2.6 13.83.2 27 165 2.7 16.53.4 31 196 3.1 19.63.6 35 231 3.5 23.13.8 38 269 3.8 26.94.0 45 314 4.5 31.44.2 46 360 4.6 36.04.4 48 408 4.8 40.84.6 52 460 5.2 46.04.8 58 518 5.8 51.85.0 60 578 6.0 57.85.2 56 634 5.6 63.45.4 54 688 5.4 68.85.6 51 739 5.1 73.95.8 50 789 5.0 78.96.0 46 835 4.6 83.56.2 44 879 4.4 87.96.4 40 919 4.0 91.96.6 32 951 3.2 95.16.8 31 982 3.1 98.27.0 18 1000 1.8 100

TOTAL 1000 4717 23970.12  

Solución.

El primer paso es calcular xi fi:NOTA

xFREC. ABSOLUTA

fFREC. ABSOLUTA

ACUMULADA FREC. RELATIVA %

FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi

1.2 1 1 0.1 0.1 1.21.4 2 3 0.2 0.3 2.81.6 3 6 0.3 0.6 4.81.8 8 14 0.8 1.4 14.42.0 14 28 1.4 2.8 282.2 18 46 1.8 4.6 39.62.4 19 65 1.9 6.5 45.62.6 22 87 2.2 8.7 57.22.8 25 112 2.5 11.2 703.0 26 138 2.6 13.8 783.2 27 165 2.7 16.5 86.43.4 31 196 3.1 19.6 105.43.6 35 231 3.5 23.1 1263.8 38 269 3.8 26.9 144.44.0 45 314 4.5 31.4 1804.2 46 360 4.6 36.0 193.24.4 48 408 4.8 40.8 211.24.6 52 460 5.2 46.0 239.24.8 58 518 5.8 51.8 278.45.0 60 578 6.0 57.8 3005.2 56 634 5.6 63.4 291.25.4 54 688 5.4 68.8 291.65.6 51 739 5.1 73.9 285.65.8 50 789 5.0 78.9 2906.0 46 835 4.6 83.5 2766.2 44 879 4.4 87.9 272.86.4 40 919 4.0 91.9 2566.6 32 951 3.2 95.1 211.26.8 31 982 3.1 98.2 210.87.0 18 1000 1.8 100 126

TOTAL 1000 4717 23970.12    

Solución (Continuación).

Después se obtiene el cuadrado de la variable x, o sea, (x i )2.NOTA

xFREC. ABSOLUTA

fFREC. ABSOLUTA

ACUMULADA FREC. RELATIVA %

FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi xi

2

1.2 1 1 0.1 0.1 1.2 1.441.4 2 3 0.2 0.3 2.8 1.961.6 3 6 0.3 0.6 4.8 2.561.8 8 14 0.8 1.4 14.4 3.242.0 14 28 1.4 2.8 28 42.2 18 46 1.8 4.6 39.6 4.842.4 19 65 1.9 6.5 45.6 5.762.6 22 87 2.2 8.7 57.2 6.762.8 25 112 2.5 11.2 70 7.843.0 26 138 2.6 13.8 78 93.2 27 165 2.7 16.5 86.4 10.243.4 31 196 3.1 19.6 105.4 11.563.6 35 231 3.5 23.1 126 12.963.8 38 269 3.8 26.9 144.4 14.444.0 45 314 4.5 31.4 180 164.2 46 360 4.6 36.0 193.2 17.644.4 48 408 4.8 40.8 211.2 19.364.6 52 460 5.2 46.0 239.2 21.164.8 58 518 5.8 51.8 278.4 23.045.0 60 578 6.0 57.8 300 255.2 56 634 5.6 63.4 291.2 27.045.4 54 688 5.4 68.8 291.6 29.165.6 51 739 5.1 73.9 285.6 31.365.8 50 789 5.0 78.9 290 33.646.0 46 835 4.6 83.5 276 366.2 44 879 4.4 87.9 272.8 38.446.4 40 919 4.0 91.9 256 40.966.6 32 951 3.2 95.1 211.2 43.566.8 31 982 3.1 98.2 210.8 46.247.0 18 1000 1.8 100 126 49

TOTAL 1000 4717 23970.12    

Solución (Continuación).

Ahora se multiplica el cuadrado de la variable por la frecuencia, es decir, (f ixi2).

NOTA x

FREC. ABSOLUTA f

FREC. ABSOLUTA ACUMULADA

FREC. RELATIVA %

FREC RELATIVA ACUMULADA % xi fi xi

2 fixi2

1.2 1 1 0.1 0.1 1.2 1.44 1.441.4 2 3 0.2 0.3 2.8 1.96 3.921.6 3 6 0.3 0.6 4.8 2.56 7.681.8 8 14 0.8 1.4 14.4 3.24 25.922.0 14 28 1.4 2.8 28 4 562.2 18 46 1.8 4.6 39.6 4.84 87.122.4 19 65 1.9 6.5 45.6 5.76 109.442.6 22 87 2.2 8.7 57.2 6.76 148.722.8 25 112 2.5 11.2 70 7.84 1963.0 26 138 2.6 13.8 78 9 2343.2 27 165 2.7 16.5 86.4 10.24 276.483.4 31 196 3.1 19.6 105.4 11.56 358.363.6 35 231 3.5 23.1 126 12.96 453.63.8 38 269 3.8 26.9 144.4 14.44 548.724.0 45 314 4.5 31.4 180 16 7204.2 46 360 4.6 36.0 193.2 17.64 811.444.4 48 408 4.8 40.8 211.2 19.36 929.284.6 52 460 5.2 46.0 239.2 21.16 1100.324.8 58 518 5.8 51.8 278.4 23.04 1336.325.0 60 578 6.0 57.8 300 25 15005.2 56 634 5.6 63.4 291.2 27.04 1514.245.4 54 688 5.4 68.8 291.6 29.16 1574.645.6 51 739 5.1 73.9 285.6 31.36 1599.365.8 50 789 5.0 78.9 290 33.64 16826.0 46 835 4.6 83.5 276 36 16566.2 44 879 4.4 87.9 272.8 38.44 1691.366.4 40 919 4.0 91.9 256 40.96 1638.46.6 32 951 3.2 95.1 211.2 43.56 1393.926.8 31 982 3.1 98.2 210.8 46.24 1433.447.0 18 1000 1.8 100 126 49 882

TOTAL 1000 4717 23970.12   4717  23970.12

Solución (Continuación).

Una vez obtenidos todos los datos anteriores, se procede a aplicar la fórmula

11

2

12

2

nn

fx

xfs

k

i

k

iii

ii

7217.11100010004717

12.239702

2

s

3121.17217.1 s

Varianza

Desviación estándar

Fuentes de información• http://medicina.unimayab.edu.mx/propedeutico/2009/semana1/chpt04.ppt.• http://beta.upc.edu.pe/matematica/mbcc/paginas/recursos/semana14/Clase01_Sema

na14.ppt• http://www.demre.cl/text/doc_tecnicos/p2009/estadistica_descriptiva.pdf• http://www.cgonzalez.cl/archivos/estadistica2.ppt.• http://repositorio.utpl.edu.ec/bitstream/123456789/3013/1/estadisticasegundobimestr

e-090305174953-phpapp02.ppt.

• netdrive.puiying.edu.hk/~ms/f7it/MATHS.PPT

Créditos

 

Título : Medidas de dispersión

Colaborador: M. en C. Mario Arturo Vilchis Rodríguez

Nombre de la Asignatura: Estadística aplicada a la mercadotecnia

Programa Académico Lic. Mercadotecnia